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Le medie statistiche possono essere di due tipi: le medie ferme, che si hanno quando si considerano tutti i termini della distribuzione, e le medie lasche, che invece si hanno considerando solo alcuni dei valori ottenuti.

Le medie ferme

La media aritmetica

Consideriamo una distribuzione statistica i cui valori sono:

e presentano una frequenza assoluta pari a 1.

Si definisce, allora, la media aritmetica come il valore

che, sostituito ad ogni valore della distribuzione, non ne altera la somma, cioè:

La media aritmetica, in questo caso, viene definita semplice, in quanto tutti i valori della distribuzione presentano una frequenza assoluta di 1.

Altrimenti, se i valori della distribuzione presentano frequenze diverse da 1, si può calcolare la media aritmetica tenendo conto delle diverse frequenze: indicando con

[math]f_1, f_2, ..., f_n[/math]

le frequenze relative agli

valori, la definizione di media aritmetica diventa:

E il valore

calcolato prende il nome di media aritmetica ponderata.

Esempio

Consideriamo una distribuzione di valori come la seguente:

Calcoliamo la media aritmetica della distribuzione sommando tutti i termini e dividendo poi tale somma per 10:

[math] m = \frac{21+20+24+30+21+30+28+26+28+26}{10} = \frac{254}{10} = 25,4 [/math]

La media geometrica

Data una distribuzione di

valori, ciascuno con frequenza uguale a 1, si definisce media geometrica semplice il valore

che, sostituito ai termini della distribuzione, non ne altera il prodotto, cio:

Come visto precedentemente, nel caso in cui i valori abbiano frequenza diversa da 1, si può modificare la formula introducendo le frequenze relative a ciascun valore, e si ha:

In questo caso, il valore di media trovato prende il nome di media geometrica ponderata.

Esempio

Consideriamo la distribuzione dell'esempio precedente, e calcoliamone la media geometrica.

Notiamo che alcuni valori appaiono più volte; sarà quindi necessario calcolare le relative frequenza, e applicare la formula seconda.

[math] f_{21} = f_{30} = f_{28} = f_{26} = 2 [/math]

[math] f_{20} = f_{24} = 1 [/math]

Ora possiamo calcolare la media geometrica:

[math] m_g = \sqrt[10]{21^2 \cdot 30^2 \cdot 28^2 \cdot 26^2 \cdot 20 \cdot 24} = 25,14 [/math]

Media quadratica

Data una distribuzione di

valori, ciascuno con frequenza uguale a 1, si definisce media quadratica semplice il valore

che, sostituito ai termini della distribuzione, non ne altera la somma dei quadrati dei valori, cioè:

Come in precedenza, nel caso in cui i valori abbiano frequenza diversa da 1, si modifica la formula introducendo le frequenze relative a ciascun valore, e si ha:

Il valore

così ottenuto prende il nome di media aritmetica ponderata.

Questo tipo di media molto utile nel caso in cui si voglia ottenere il valore medio di una distribuzione senza tenere conto del segno dei valori.

Esempio

Consideriamo la distribuzione degli esempi precedenti, e calcoliamone la media quadratica, tenendo conto, come prima, delle diverse frequenze dei valori:

[math] m_q = \sqrt{\frac{21^2+30^2 \cdot 2 +28^2 \cdot 2+26^2 \cdot 2+20^2+24^2}{10}} = 25,65[/math]

La media armonica

Data una distribuzione di

valori, non nulli e ciascuno con frequenza uguale a 1, si definisce media armonica semplice il valore che, sostituito ai termini della distribuzione, non ne altera la somma dei reciproci, cioè:

Anche in questo caso, possiamo determinare la media armonica ponderata, che si ha quando le frequenze dei valori sono diverse da 1:

Esempio

Consideriamo la distribuzione degli esempi precedenti, e calcoliamone la media armonica, tenendo conto, come in precedenza, delle diverse frequenze dei valori:

Possiamo notare, anche dagli esempi svolti, che, se i valori della distribuzione sono tutti positivi, tra le medie ferme sussiste la seguente relazione:

[math] m_a \le m_g \le m \le m_q [/math]

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Esercizio (dal forum)

Una societ di noleggio possiede diverse auto con diverso chilometraggio:

Qual è il numero medio di km?
E quanti km ha il 50 per cento delle auto

(Puoi trovare uno spunto per la soluzione nel forum di Matematicamente.it)

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Le medie statistiche sono di due tipi: medie ferme, che si hanno quando si considerano tutti i termini della distribuzione, e medie lasche.

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Buona lettura!!

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Le misure di variabilità sono utilizzate per descrivere il grado di variabilità delle osservazioni rispetto ad un indice di tendenza centrale.

In altri termini, le misure di variabilità consentono di valutare la dispersione dei dati attorno ad un valore centrale, che può essere rappresentato ad esempio dalla media o dalla mediana. Esse forniscono informazioni preziose sulla distribuzione dei dati, permettendo di ottenere una migliore comprensione del fenomeno osservato.

Le tecniche per misurare la variabilità di insiemi di dati sono numerose.
Tra queste, le più note (e più utilizzate) sono:

Visualizzeremo graficamente i concetti acquisiti di tendenza centrale e dispersione ritornando a parlare di asimmetria e introducendo il concetto di curtosi.

Il campo di variabilità (o gamma)

Il campo di variabilità, o Gamma (o range, per gli anglosassoni), è dato dalla differenza fra il valore massimo e quello minimo dei dati non raggruppati di una distribuzione di frequenza.

Si tratta di un calcolo velocissimo, che in R può essere computato così:

max(var) - min(var)

In realtà il massimo e il minimo sono visualizzabili anche con:

range(var)

e compaiono come primo e ultimo termine in:

fivenum(var)

Per dati raggruppati, il campo di range è definito come la differenza tra il confine superiore della classe massima e il confine inferiore della classe minima.

Un campo di variabilità modificato è un campo dal quale è stata eliminata una certa percentuale di valori estremi da entrambe le estremità della distribuzione (ad esempio l' 80 per cento intermedio).

Lo scarto medio

Lo scarto medio è una misura di variabilità che si basa sulla differenza dei singoli dati dalla loro media. Se si calcolasse la media sommando le differenze positive e negative fra i singoli dati e la media aritmetica, il risultato sarebbe sempre zero. Per questo motivo si sommano i valori assoluti delle differenze:

\( SM = \frac{\Sigma|X - \mu|}{N} \)

Quei "valori assoluti" pongono qualche problema di efficienza nella computazione, motivo per cui lo scarto medio non è molto usato. Esiste un altro modo per eliminare i valori negativi, ed ecco quindi che si introduce l'importante concetto di...

Varianza

La varianza è analoga allo scarto medio, poichè si basa sulle differenze fra i singoli dati dell'insieme e la loro media, ma queste differenze sono elevate al quadrato prima di essere sommate. La varianza viene indicata con il simbolo del sigma minuscolo al quadrato e la formula è:

\( \sigma^{2}=\frac{\Sigma(X - \mu)^{2}}{N} \\ \\ \)

R ha la funzione var() per il calcolo della varianza, ma computa ( n-1) al denominatore. Per avere il valore della varianza per N come denominatore, possiamo allora scrivere una funzione:

varpopol

In generale, risulta difficile interpretare il significato del valore di una varianza perchè le unità in cui è espresso non sono le medesime in cui sono espresse le osservazioni dell'insieme di dati.


Per questo motivo è stato introdotto lo scarto quadratico medio.


Lo scarto quadratico medio (o deviazione standard): la più usata delle misure di variabilità.


Lo scarto quadratico medio non è altro che la radice quadrata della varianza:
 \( \sigma = \sqrt{\frac{\Sigma(X - \mu)^{2}}{N}} \\ \\ \)

Lo scarto quadratico medio è di fondamentale utilità in statistica, particolarmente (come vedremo) in unione alla distribuzione normale di probabilità.


Nel caso di dati raggruppati si considera che il valore centrale di ciascuna classe rappresenti tutte le misurazioni comprese in quella classe. Si avrà dunque per la varianza la formula:
 \( \sigma^{2}=\frac{\Sigma f(X - \mu)^{2}}{N} \\ \\ \)

e per lo scarto quadratico medio:
 \( \sigma = \sqrt{\frac{\Sigma f(X - \mu)^{2}}{N}} \\ \\ \)

In R, la funzione per computare la deviazione standard è sd().
R tuttavia usa ( n-1) al denominatore. Quindi, se vogliamo il valore della deviazione standard per una popolazione (quindi con n al denominatore) possiamo definire un'apposita funzione:


sdpopol

Il coefficiente di variazione


Il coefficiente di variazione indica la grandezza relativa dello scarto quadratico medio rispetto alla media della distribuzione delle misurazioni.
E' utilissimo per raffrontare fenomeni espressi con differenti unità di misura, poichè il CV è un numero "puro", indipendente dall'unità di misura impiegata:
 \( CV = \frac{\sigma}{\mu} \)

Come sempre in R, esiste una funzione ad hoc : possiamo usare cv(), in questo caso definita in una libreria esterna,  labstatR. L'uso è banale:


library(labstatR)
dati

possiamo però anche calcolare il valore molto semplicemente senza ricorrere a librerie esterne:


dati

La forma di una distribuzione


Le distribuzioni di frequenza possono assumere le forme più varie. Fra tutte, quella di gran lunga più importante in statistica è la distribuzione normale, o distribuzione a campana, o ancora gaussiana.


In una distribuzione normale, i dati sono ripartiti in maniera simmetrica rispetto alla media.
In maniera molto semplice, per descrivere la forma della distribuzione basta confrontare la media con la mediana: se sono uguali, la distribuzione è simmetrica. Se la media è maggiore della mediana, avremo un' asimmetria positiva (con una "coda" più lunga a destra), se la media è minore della mediana l'asimmetria risulterà negativa (con la "coda" più lunga sulla sinistra).


La più nota formula per il calcolo dell'asimmetria di una distribuzione è quella per calcolare il coefficiente di asimmetria di Pearson:
 \( Asimmetria = \frac{3(\mu - med)}{\sigma} \\ \\ \)

Una distribuzione perfettamente simmetrica presenta un valore di asimmetria pari a 0. Una distribuzione asimmetrica a destra (positiva) presenta un valore positivo, mentre una distribuzione asimmetrica sinistra avrà un valore negativo.


In genere i valori di asimmetria cadono tra -3 e 3 e il fatto che al denominatore compaia la deviazione standard rende il valore indipendente dall'unità di misura.


Come calcolare l'indice di asimmetria in R ?
Il modo più semplice è quello di usare una libreria che ci metta a disposizione le funzioni che ci servono "belle e pronte"...


library (moments)
dati

la libreria "moments" fa al caso nostro. Vediamo però come calcolare l'indice anche senza fare ricorso ad una libreria. E' molto semplice.
Il primo passo è quello di ricordare che R utilizza n-1 al denominatore della varianza.
Noi però stiamo ragionando di una popolazione, dunque con n al denominatore. Dunque, andiamo a definire una funzione che ci consenta di ottenere il valore che ci serve:


varpopol

a questo punto possiamo calcolare il valore dell'indice di asimmetria:


dati

La curtosi


La curtosi è il grado di altezza raggiunto da una curva di distribuzione, in relazione alla distribuzione normale.


Abbiamo 3 casi:





1. una curva alta. che viene detta leptocurtica e che risulta molto concentrata intorno alla sua media


2. una curva normale, detta mesocurtica



3. una curva bassa e piatta, che viene definita platicurtica, poco concentrata intorno alla sua media






Si può misurare la curtosi dividendo il quarto momento per lo scarto quadratico medio elevato alla quarta potenza. Difficile? Più a dirsi che a calcolarsi.
Ecco la formula:
 \( Curtosi = \frac{\Sigma f(X -\mu)^{4}}{\sigma^{4}} \\ \\ \)

La curtosi di una curva mesocurtica ha un valore di 3. Ovviamente, un coefficiente di curtosi <3 indica una curva platicurtica, un valore >3 leptocurtica.

Come per il valore dell'indice di asimmetria, la libreria "moments" ci fornisce una comoda funzione già pronta:


library (moments)
dati

Ma a noi non dispiace di calcolarcelo "in proprio":


dati

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Scopri come misurare la variabilità dei dati con la statistica descrittiva. Leggi l'articolo per conoscere le tecniche più utilizzate.

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Buona Visione!!!

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differenze tra media aritmetica, geometrica e armonica

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TEORIA Media aritmetica, geometrica e armonica BIASCO ZANICHELLI

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Iniziamo statisticando insieme!!!!

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dopo la discussione successiva al video Elabora una mappa concettuale su quanto discusso e caricala in questa sezione...in allegato la rubrica di valutazione del prodotto che realizzerai..

Buon Lavoro!!

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Buona visione!!

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STATISTICA 56 - Esercizio sulla devianza

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Vediamo insieme come si calcola la media geometrica.

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Statistica facile - 07 - La media geometrica (misure di tendenza centrale)

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Buona visione pomeridiana!!

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Esercizi svolti sulla media aritmetica (molto semplici) - [Statistica]

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Vediamo insieme come si calcola la media armonica

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1.     Valori medi e misure di valore, in laboratorio di informatica Tempo 3h seguendo i seguenti step:

Attività di peer tutoring: la classe viene suddivisa in 8 gruppi da 2 componenti ciascuno eterogeneo per capacità e conoscenze. Tempo 2h e Ogni gruppo procederà nel seguente modo:

1.     Confronto e discussione tra i partecipanti del gruppo su quanto letto e visionato a casa e a disposizione del gruppo

2.     Svolgimento di 2 esercizi (con riferimento a realtà della vita quotidiana) 1 sul calcolo dei valori medi e 1 sulle misure di variabilità presenti sul libro di testo che saranno diversi per ogni gruppo. Successiva presentazione delle esercitazione svolta caricando tutto, compresa la traccia con tabelle, grafici ecc. su foglio excel condiviso e creando per ogni esercizio anche delle aree di scrittura per commentare i passaggi effettuati per svolgere gli esercizi assegnati. Al termine ogni Elaborato verrà caricato sul padlet.

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Consolidamento delle competenze mediante un compito di realtà.

Lavoro in gruppo: classe suddivisa in 4 gruppi ciascuno da 4 studenti, per:

Pianificare, progettare e svolgere una traccia di possibile esercizio statistico presentando il tutto su foglio excel condiviso da tutto il gruppo (in modo da garantire il coinvolgimento di tutti) che verrà caricato, al termine su padlet. Tempo 4h Procedendo con i seguenti step:

1.     effettuare un’analisi del settore oggetto di osservazione per stabilire anche quali dati osservare/analizzare, (il gruppo potrà avvalersi del materiale presente sul padlet per prendere spunto o effettuare delle ricerche libere sul web al fine di dare spazio alla creatività e alla libera iniziativa del gruppo.

2.     Partendo da una situazione reale che si intende osservare e raccogliere e rappresentare tutti dati ideati dal singolo gruppo in base all’attività di ricerca/analisi effettuata in precedenza.

3.     Stabilire cosa bisogna determinare

4.     Applicare e risolvere mediante l’applicazione degli indici trattati e commentare i risultati ottenuti

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Mettiti alla prova con un compito di realtà 

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Introduciamo i valori medi e le misure di variabilità 

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Introduciamo i valori medi e le misure di variabilità 

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Dopo una breve lezione frontale, per introdurre i valori di sintesi in statistica e la sua classificazione avvalendosi della LIM per scrivere e far vedere delle mappe concettuali tramite ricerca sul web, la classe viene divisa in 4 gruppi ciascuno formato da 4 studenti eterogenei individuati dal docente.

Ogni gruppo seguendo le domande guida fornite dal docente e dopo aver analizzato le informazioni sull'argomento reperibili attraverso: il libro di testo, ricerche sul web e il materiale presente in quest'area, dovrà creare e caricare su padlet un elaborato multimediale contenente:

Classificazione indici statistici

definizione, formula e uno o più esempi che ha colpito l'attenzione del gruppo ( questo per ogni indice).

Concludere il lavoro con una riflessione sull'argomento evidenziandone analogie o differenze tra gli indici trattati.

Buon Lavoro!!

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autovalutazione personale dello studente per UDA

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Osserva lo schema e autovalutati nei commenti

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Rubrica che verrà usata per valutare il prodotto caricato

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Rubrica di valutazione dello studente nell'attività di gruppo

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Rubrica di valutazione dello studente nell'attività di gruppo

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La griglia allegata verrà utilizzata per valutare il singolo studente nell'attività di gruppo

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Rubrica di Valutazione prodotto caricato

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Rubrica di Valutazione prodotto caricato

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Rubrica di valutazione dello studente nell'attività di gruppo

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Rubrica di valutazione dello studente nell'attività di gruppo