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Attività sugli angoli, classe terza primaria

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Wordwall - Crea lezioni migliori più velocemente

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AppInventory rappresenta uno strumento digitale per la scoperta, l'apprendimento e la valutazione di un ampio insieme di applicazioni che, nonostante non siano generalmente state concepite per un utilizzo in ambito educativo, rappresentano una notevole potenzialità per implementare approcci didattici attivi supportati dalla tecnologia.

AppInventory for Education (AppInventory4Edu) rappresenta un'azione mirata di formazione continua per gli insegnanti delle scuole del Friuli Venezia Giulia, di ogni ordine e grado.
Tale progetto rientra tra le azioni di innovazione metodologica e didattica promosse dal Programma Regionale per la Scuola Digitale in Friuli Venezia Giulia 2021-2025.

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AppInventory rappresenta uno strumento digitale per la scoperta, l'apprendimento e la valutazione di un ampio insieme di applicazioni che, nonostante non siano generalmente state concepite per un utilizzo in ambito educativo, rappresentano una notevole potenzialità per implementare approcci didattici attivi supportati dalla tecnologia.

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Ecco uno schema riassuntivo sulle potenze.

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Ecco uno schema riassuntivo sulle potenze.

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La conchiglia di Fibonacci di Ilaria Mannino

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La conchiglia di Fibonacci di Ilaria Mannino

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Ecco una scheda da svolgere per prepararsi alla verifica.

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Geogebra: rette tagliate da una trasversale

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Geogebra: rette tagliate da una trasversale

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Vengono evidenziati gli angoli formati da due rette tagliate da una trasversale

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Geogebra: criterio generale di parallelismo

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Geogebra: criterio generale di parallelismo

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Rette parallele tagliate da una trasversale

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Rette parallele tagliate da una trasversale

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Momento della lettura: ~45 min Rivela tutti i passaggi

Guardando la natura intorno a te, potresti aver notato delle piante intricate come queste:

Inizialmente, queste forme sembrano molto complesse, ma quando le guardi più da vicino, potresti notare che entrambe seguono uno schema relativamente semplice: tutte le singole parti della pianta assomigliano all'intera pianta in miniatura. Lo stesso modello viene ripetuto più e più volte, su scale sempre più piccole. Continua

In matematica, questa proprietà si chiama auto-somiglianza e queste forme sono note come frattali. Rappresentano alcuni degli oggetti più belli e più bizzarri di tutta la matematica.

Per creare i frattali, dobbiamo iniziare con un modello semplice e quindi ripeterlo più e più volte, su scale sempre più piccole.

Uno dei modelli più semplici potrebbe essere un segmento, con altri due segmenti che si diramano da un'estremità. Se ripetiamo questo schema, entrambi i segmenti blu avranno altri due rami alle estremità.

Puoi spostare i punti blu per modificare la lunghezza e l'angolo di tutti i rami. Poi aumenta il numero di iterazioni utilizzando la barra di scorrimento sotto alla figura.

A seconda della posizione dei rami, puoi creare motivi completamente diversi - che assomigliano alla felce sopra, ad un albero o a dei pentagoni nidificati. Cos'altro puoi trovare? Continua

Un altro frattale famoso è il triangolo di Sierpinski. In questo caso, iniziamo con un grande triangolo equilatero, quindi lo tagliamo ripetutamente in triangoli più piccoli.

Nota che la forma finale è composta da tre copie identiche di se stessa, e ognuna di queste è costituita da copie ancora più piccole dell'intero triangolo! Puoi guardare il triangolo sempre più da vicino, e notare come i motivi e le forme continuano a ripetersi.

Le piante all'inizio di questo capitolo sembrano proprio ai frattali, ma è chiaramente impossibile creare dei veri frattali nella vita reale. Se continuiamo a ripetere lo stesso schema più e più volte, in scale sempre più piccole, arriveremmo a cellule, molecole o atomi che non possono essere divisi ulteriormente.

Tuttavia, usando la matematica, possiamo riflettere sulle proprietà dei veri frattali e scoprire che sono davvero sorprendenti... Continua

Dimensioni Frattali

Innanzitutto, pensiamo alla dimensione dei frattali. Una linea ha dimensione. Quando l'ingrandiamo di un fattore 2, la sua lunghezza aumenta di un fattore 2 1=2. Ovviamente!

Un quadrato ha dimensioni. Quando lo ingrandiamo di un fattore 2, la sua area aumenta di un fattore 2 2= .

Un cubo ha dimensioni. Quando lo ingrandiamo di un fattore 2, il suo volume aumenta di un fattore di 2 3= . Nota che il cubo più grande nell'immagine è formato da 8 copie del cubo più piccolo!

Ora diamo un'occhiata al triangolo di Sierpinski. Se lo ingrandiamo di un fattore 2, puoi vedere che la sua "area" aumenta di un fattore di .

Supponiamo che d sia la dimensione del triangolo di Sierpinski. Usando lo stesso modello di cui sopra, otteniamo 2 d=3. In altre parole, d = log 2 3 log 3 2 ≈ 1,585...

Ma aspetta... questa dimensione non è un numero intero! Sembra impossibile, ma questa è solo una delle strane proprietà dei frattali. In effetti, questo è ciò che dà il nome ai frattali: hanno una dimensione frazionaria.

Con ogni iterazione, rimuoviamo parte dell'area del triangolo di Sierpinski. Se potessimo farlo molte volte all'infinito, tutta l'area sarebbe rimossa: ecco perché il triangolo di Sierpinski è qualcosa tra un'area bidimensionale e una linea monodimensionale.

Mentre molti frattali sono auto-simili, una definizione migliore è che i frattali sono forme che hanno una dimensione non intera.

Continua

Curva di Koch

Ci sono molte forme in natura che sembrano ai frattali. Abbiamo già visto alcune piante all'inizio di questo capitolo. Altri esempi sono i fiocchi di neve e i cristalli di ghiaccio:

Per creare il nostro fiocco di neve frattale, dobbiamo ancora una volta trovare una semplice procedura da poter applicare più e più volte.

Come per il triangolo di Sierpinski, iniziamo con un singolo triangolo equilatero. Tuttavia, anziché rimuovere i triangoli più piccoli ad ogni passo, li aggiungiamo lungo i lati. La lunghezza del lato di ogni triangolo aggiunto è di quella del triangolo nel passaggio precedente.

La forma risultante si chiama curva di Koch, dal nome del matematico svedese Helge von Koch. Nota, ancora una volta, che piccole sezioni di un bordo del fiocco di neve sembrano esattamente alle sezioni più grandi.

Quando ingrandiamo un segmento della curva di Koch di un fattore 3, la sua lunghezza quadruplica triplica raddoppia.

Usando la stessa relazione tra dimensioni e fattori di scala come sopra, otteniamo l'equazione . Ciò significa che la dimensione della curva di Koch è d=log 3 4 ≈1.262.

Area

La creazione dei fiocchi di neve di Koch è quasi come una sequenza ricorsiva: conosciamo la forma iniziale (un triangolo) e sappiamo come passare da un termine al successivo (aggiungendo più triangoli su ogni lato):

Dopo la prima iterazione, il numero di nuovi triangoli aggiunti aumenta di un fattore ad ogni passaggio. Allo stesso tempo, l'area di questi nuovi triangoli diminuisce di un fattore ad ogni passo.

Supponiamo che il primo triangolo abbia un'area di 1. Quindi l'area totale dei tre triangoli aggiunti è 3 serie geometrica serie aritmetica serie quadratica, ×1 9=1 3. I seguenti passaggi formano tutti una con rapporto comune di .

Utilizzando la formula per la somma di infinite serie geometriche, possiamo calcolare che l'area totale del fiocco di neve di Koch è

A=1+1 3×1 1−4 9 1+9 4 9−1 4 =8 5=1.6.

Perimetro

Possiamo anche provare a calcolare il perimetro del fiocco di neve di Koch. Come abbiamo già visto prima, la lunghezza del perimetro cambia di un fattore pari a ad ogni passo.

Ciò significa che, ancora una volta, abbiamo una serie geometrica, ma in questo caso Ciò significa che il perimetro del fiocco di neve di Koch è in realtà non convergente infinitamente lungo! converge a 0 senza il primo termine.

Se questo ti sembra controintuitivo, ricorda che moltiplichiamo il perimetro di 4 3 ad ogni passo e lo facciamo per un infinito numero di volte.

È incredibile avere una forma con un'area finita e un perimetro infinito - ma questa è solo una delle tante proprietà inattese dei frattali.

Puoi trovare altri modi per creare i tuoi frattali? Continua

Spugna di Menger

I frattali non devono essere "piatti", come molti degli esempi sopra. Uno dei frattali più famosi che sembrano tridimensionali è la spugna di Menger, dal nome del matematico Karl Menger che la descrisse per la prima volta nel 1926.

Iniziamo con un cubo solido ed eseguiamo ripetutamente dei fori sempre più piccoli sui suoi lati. Ogni nuova iterazione ha della larghezza della precedente.

Un cubo 3×3×3 è composto da 27 cubi più piccoli, ma qui ne abbiamo rimossi alcuni. La spugna di Menger è composta da copie di se stessa, che sono 3 volte più piccole.

Ora possiamo provare a calcolare la dimensione d della spugna di Menger, proprio come abbiamo fatto per la curva di Koch sopra. In questo caso otteniamo 3 d=20 o d=log 3 20 ≈2.727.

Se immaginassi di tagliare sempre più buchi, per un numero infinito di volte, non rimarrebbe alcun volume effettivo. Ecco perché il cubo "non è proprio" tridimensionale! Continua

Frattali Lungo Le Coste

Una delle caratteristiche chiave di tutti i frattali che abbiamo visto finora è che puoi continuare ad "ingrandirli" e trovare sempre nuovi modelli. Intorno al 1920, il matematico britannico Lewis Fry Richardson si rese conto che lo stesso vale per il confine o la costa di molti Paesi.

Inizi con la forma base del paese e, ingrandendo, aggiungi insenature, baie ed estuari dei fiumi, quindi singole scogliere, rocce, ciottoli e così via:

Continua

Questo è un problema significativo nel calcolo della lunghezza dei confini di un Paese: come si decide quanto ingrandire e quali angoli e dettagli includere?

Un modo in cui potremmo misurare la lunghezza della costa britannica, ad esempio, è quello di prendere un lungo righello, camminare lungo le spiagge e quindi sommare tutte le distanze.

Se il righello è lungo ${rulers[index]} km, dobbiamo usarlo ${count} volte, quindi otteniamo una linea costiera totale di ${count} × ${rulers[index]} = ${count * rulers[index]} km.

Possiamo semplicemente continuare, con righelli sempre più piccoli, e ogni volta il risultato della lunghezza della costa aumenterebbe un po' di più. Proprio come prima con la curva di Koch, sembra che la costa della Gran Bretagna sia infinitamente lunga! Questo è spesso chiamato paradosso della linea costiera. Continua

Qualche decennio più tardi, il matematico Benoit Mandelbrot dell'IBM si imbatté sul lavoro di Richardson in un libro della biblioteca che era stato scartato. Riconobbe il suo significato e anche il modo in cui si collegava a ricerche più recenti su frattali e dimensioni.

La costa della Gran Bretagna certamente "sembra" frattale, ma non è auto-simile, come altri frattali che abbiamo visto prima. Per trovarne le dimensioni, possiamo disegnarla su una griglia e contare il numero di celle con cui si interseca.

Inizialmente, ci sono 88 celle intersecanti. Se ingrandiamo la costa di un fattore 2, ci sono 197 celle intersecanti - più del doppio! Continua

La dimensione della costa è aumentata di un fattore 197 88. Come prima, questo significa che la dimensione della costa è

d=log 2 197 88 ≈1.16

Se lo ripetessimo con griglie più grandi, scopriremmo che la dimensione della costa britannica è in realtà circa 1,21. Mandelbrot capì che questa dimensione frattale è anche una misura della rugosità di una forma - un nuovo concetto, che ha trovato importanti applicazioni in molte altre aree della matematica e della scienza.

Tanti Frattali nella Natura e nella Tecnologia

Mentre i veri frattali non possono esistere in natura, ci sono molti oggetti che assomigliano quasi a dei frattali. Abbiamo già visto piante, fiocchi di neve e coste, e qui ci sono altri esempi:

Tutti questi oggetti potrebbero apparire completamente casuali, ma proprio come i frattali, c'è un modello sottostante che determina come sono formati. La matematica può aiutarci a capire meglio le forme, e i frattali hanno applicazioni in vari campi, come medicina, biologia, geologia e meteorologia. Continua

Possiamo anche usare i frattali per creare "copie" realistiche della natura, ad esempio i paesaggi e le superfici usati nei videogiochi o nei film generati al computer. L'acqua, le montagne e le nuvole in questa immagine sono realizzate interamente al computer, con l'aiuto di frattali!

E possiamo persino invertire questo processo per comprimere le immagini digitali, per ridurne le dimensioni. I primi algoritmi sono stati sviluppati da Michael Barnsley e Alan Sloan negli anni '80 e se ne stanno ancora studiando di nuovi.

Per vedere più contenuti, devi prima completare tutte le attività e gli esercizi precedenti.
Sei bloccato? Passa al passaggio successivo o Rivelare tutti i passaggi

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Introduzione, Triangolo di Sierpinski, Insieme di Mandelbrot, Curve di Riempimento dello Spazio

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Somma degli angoli interni di un triangolo

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Somma degli angoli interni di un triangolo

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SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO

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SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO

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Buonasera prof le carico il lavoro sull’animale in via di estinzione

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BUONGIORNO PROF ECCO IL MIO LAVORO SULL'ANIMALE A RISCHIO ESTINZIONE

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Amazingly Simple Graphic Design Software - Canva

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Giochiamo con Archimede (e con i cinesi) * | L’Infinito Teatro del Cosmo

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Non si sa bene il significato del nome “stomachion”, ma sicuramente e’ stato studiato a fondo, se non addirittura creato, da Archimede. Questo non è un quiz, ma un gioco che si ricollega a una versione più semplice di origine cinese. Buon divertimento!

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Ecco la presentazione sugli Invertebrati

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Ecco la presentazione sugli Invertebrati

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Risolvi le espressioni con il metodo della frazione generatrice

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Risolvi le espressioni con il metodo della frazione generatrice

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Ilaria Mannino ecco il mio esperimento fatto con il the al limone

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Ilaria Mannino ecco il mio esperimento fatto con il the al limone

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Sostanza utilizzata: latte

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Determinazione dell’area di un triangolo a partire da quella del rettangolo

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Martina pagnotta sostanza utilizzata: latte  

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Martina pagnotta sostanza utilizzata: latte  

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Sostanza utilizzata: estathe limone

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Sostanza utilizzata: aceto balsamico

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Sostanza utilizzata: the al limone.

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Sostanza utilizzata: vino.

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Sostanza utilizzata:estathe al limone

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sostanza usata: Aceto

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The al limone

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Liquido utilizzato: latte

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Noemi Carlucci

Sostanza utilizzata: vino rosé.

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Sostanza utilizzata: The alla pesca

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Esperimento pH pepsi e latte

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Teorema di Pitagora: In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente all'unione dei quadrati costruiti sui cateti.

Teorema (Boyaj , 1832; Gervin, 1833).

Se due poligoni sono equiestesi, allora sono anche equicomposti.

Ossia, se due poligoni hanno area uguale, allora uno qualunque di essi può essere decomposto in un insieme finito di pezzi con i quali è possibile ricomporre esattamente l'altro poligono.

© 2002-2024, Fondazione Etudes Matematicis.
L'uso commerciale è proibito

Istituto di matematica Steklov
dell'Accademia russa delle scienze

Etudes Matematici

https://it.etudes.ru/etudes/pythagorean-theorem/

Teorema (Boyaj , 1832; Gervin, 1833).

Se due poligoni sono equiestesi, allora sono anche equicomposti.

Ossia, se due poligoni hanno area uguale, allora uno qualunque di essi può essere decomposto in un insieme finito di pezzi con i quali è possibile ricomporre esattamente l'altro poligono.

© 2002-2024, Fondazione Etudes Matematicis.
L'uso commerciale è proibito

Istituto di matematica Steklov
dell'Accademia russa delle scienze

Etudes Matematici

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Teorema di Pitagora : Puzzle interattivi / Etudes // Etudes Matematici

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Una simpatica dimostrazione interattiva del teorema di Pitagora.

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Stefano Pieretti

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lavoro aritmetica

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Buon pomeriggio prof ecco il mio lavoro sul grafico di aritmetica

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Buongiorno prof., ecco il mio grafico sulla Sicilia

Macchi Vittoria

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buongiorno Prof., le invio il grafico della Sicilia.

Sara Burnò

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buongiorno prf questo è il mio compito

buona giornata

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Lavoro di aritmetica

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Foglio di lavoro senza nome - Foglio1 (1)

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buon pomeriggio Prof,

Questo è il mio lavoro

Jamie Manuzzato

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muskaan zahera

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Macchi Vittoria

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Lavoro grafico a torta Sicilia di Melchiori

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Buonasera prof, ecco il lavoro di scienze sul cuore di Mannino, Macchi, Pieretti, Melchiori e Negri

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Buonasera prof, ecco il lavoro di scienze sul cuore di Mannino, Macchi, Pieretti, Melchiori e Negri

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stefano pieretti

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Foglio di lavoro senza nome - Foglio1 (1)

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Foglio di lavoro senza nome - Foglio1 (2)

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Foglio di lavoro senza nome - Foglio1 (3)

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lavoro aritmetica

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Foglio di lavoro senza nome - Foglio1 (3)

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Compito di aritmetica pagina 143 numero 632

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Compito di aritmetica pagina 143 numero 632

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Buongiorno prof, ecco il mio lavoro di aritmetica

https://docs.google.com/spreadsheets/d/10EzeZA_pq19U99_l5XrHpJvzhfVCZDIkCE3WEEIvPNI/edit?usp=drivesdk

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Foglio di lavoro senza nome - Foglio1 (1)

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buon pomeriggio prof, questo è il mio grafico per il 30\03\2026

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buon pomeriggio prof questo è il nostro lavoro sul cuore

fatto da: Carlucci,Mondello,Tornese,Rebbah,Amato

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Foglio di lavoro senza nome - Foglio1 (3)

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compito ARITMETICA

Sara Burnò

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Aereogramma pagina 143 es 632

Macchi Vittoria

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muskaan zahera

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Leonardo borsari

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Lavoro di aritmetica Melchiori