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📘 Cos’è un teorema?

Un teorema è un enunciato che è stato dimostrato essere vero attraverso un ragionamento logico a partire da assiomi, definizioni e teoremi precedenti. La dimostrazione è una sequenza di passaggi logici che conferma la veridicità dell’enunciato.

🧩 Differenza tra enunciato e teorema

Un enunciato è una proposizione che può essere vera o falsa.

Un teorema è un enunciato che è stato dimostrato vero.

📌 Esempi

1. Teorema di Pitagora: In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Questo è un teorema perché è stato dimostrato essere vero.

2. Enunciato: “Se un numero è divisibile per 4, allora è divisibile per 2.” Questo è un enunciato vero, ma non è un teorema perché non è stato dimostrato come una proposizione matematica formale.

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Esercizi Svolti

Esercizio 1

Indica se il seguente è un enunciato e se è vero o falso:

“5 è un numero dispari.”

Soluzione:

È un enunciato perché può essere vero o falso. È vero.

Esercizio 2

“x + 2 = 7” è un enunciato?

Soluzione:

È un enunciato aperto, perché dipende dal valore di x. Se x = 5, diventa vero.

Esercizi da Svolgere

Esercizio 1

Stabilisci se le seguenti frasi sono enunciati e specifica se sono veri o falsi:

a) “Il triangolo ha tre lati.”

b) “x è maggiore di 4.”

c) “Il numero 10 è un numero primo.”

2. Postulati

Esercizio Svolto

Esercizio 1

Spiega il significato del postulato: “Per due punti passa una e una sola retta.”

Soluzione:

Significa che, dati due punti qualsiasi in un piano, posso sempre tracciare una sola retta che li collega. Nessun’altra retta li può collegare entrambi.

Esercizio da Svolgere

Esercizio 1

Scrivi un esempio pratico in cui si applica il postulato: “Un segmento può essere prolungato indefinitamente in una linea retta.”

3. Teoremi

Esercizio Svolto

Esercizio 1

Applica il teorema di Pitagora:

In un triangolo rettangolo i cateti misurano 3 cm e 4 cm. Quanto misura l’ipotenusa?

Soluzione:

c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

c = \sqrt{25} = 5 cm

Esercizi da Svolgere

Esercizio 1

Applica il teorema di Pitagora in un triangolo rettangolo in cui i cateti misurano 5 cm e 12 cm. Calcola l’ipotenusa.

Esercizio 2

Individua la differenza tra un postulato e un teorema con un esempio per ciascuno.

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Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni matematiche contenente una o più incognite (cioè variabili da determinare), che è vera solo per particolari valori di queste incognite.

Esempio:

2x + 3 = 7

In questa equazione:

x è l’incognita,

2x + 3 è il primo membro,

7 è il secondo membro.

Risolvere un’equazione significa trovare tutti i valori dell’incognita che rendono vera l’uguaglianza.

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Equazioni di primo grado e relative disequazioni

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Applicazioni degli enunciati

Gli enunciati vengono usati:

Nei problemi logici e matematici per costruire ragionamenti validi.

Nella dimostrazione di teoremi (dove si parte da enunciati veri per arrivare ad altre verità).

Nei sistemi informatici e nella programmazione logica.

Tipi di enunciati

1. Enunciato aperto: contiene variabili (es. “x + 2 = 5”). Non è né vero né falso finché non si assegna un valore alla variabile.

2. Enunciato chiuso: non contiene variabili ed è quindi vero o falso (es. “3 + 2 = 5”).

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Cosa sono i postulati?

I postulati (chiamati anche assiomi) sono affermazioni considerate vere senza bisogno di dimostrazione.

Sono come le “regole di base” su cui si costruisce tutta la matematica o la geometria.

Caratteristiche dei postulati:

Non si dimostrano.

Si accettano come veri.

Servono per dedurre altre verità (teoremi).

Esempi di postulati semplici:

1. Postulato di Euclide (Geometria):

“Per due punti passa una e una sola retta.”

Significa che, se hai due punti, puoi sempre tracciare una sola retta che li unisce.

2. Postulato dell’addizione (Aritmetica):

“Se a = b, allora a + c = b + c”

Se due numeri sono uguali, anche le loro somme con lo stesso numero saranno uguali.

Esempio pratico:

Immagina che i postulati siano le regole di un gioco. Non si discutono, si usano per giocare (cioè per costruire formule, fare dimostrazioni, ecc.).

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Un enunciato è una proposizione che può essere vera o falsa. In matematica, è una frase o espressione che afferma qualcosa di preciso. Ad esempio:

“Il numero 2 è pari.”

“La somma di due numeri dispari è sempre dispari.”

Un enunciato può essere:

Chiuso: ha un valore di verità definito (vero o falso).

Aperto: contiene variabili e il suo valore di verità dipende dai valori assegnati a queste variabili.

📘 Cos’è un teorema?

Un teorema è un enunciato che è stato dimostrato essere vero attraverso un ragionamento logico a partire da assiomi, definizioni e teoremi precedenti. La dimostrazione è una sequenza di passaggi logici che conferma la veridicità dell’enunciato.

🧩 Differenza tra enunciato e teorema

Un enunciato è una proposizione che può essere vera o falsa.

Un teorema è un enunciato che è stato dimostrato vero.

📌 Esempi

1. Teorema di Pitagora: In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Questo è un teorema perché è stato dimostrato essere vero.

2. Enunciato: “Se un numero è divisibile per 4, allora è divisibile per 2.” Questo è un enunciato vero, ma non è un teorema perché non è stato dimostrato come una proposizione matematica formale.

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Cosa sono i postulati?

I postulati (chiamati anche assiomi) sono affermazioni considerate vere senza bisogno di dimostrazione.

Sono come le “regole di base” su cui si costruisce tutta la matematica o la geometria.

Caratteristiche dei postulati:

Non si dimostrano.

Si accettano come veri.

Servono per dedurre altre verità (teoremi).

Esempi di postulati semplici:

1. Postulato di Euclide (Geometria):

“Per due punti passa una e una sola retta.”

Significa che, se hai due punti, puoi sempre tracciare una sola retta che li unisce.

2. Postulato dell’addizione (Aritmetica):

“Se a = b, allora a + c = b + c”

Se due numeri sono uguali, anche le loro somme con lo stesso numero saranno uguali.

Esempio pratico:

Immagina che i postulati siano le regole di un gioco. Non si discutono, si usano per giocare (cioè per costruire formule, fare dimostrazioni, ecc.).

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Cosa sono i postulati?

I postulati (chiamati anche assiomi) sono affermazioni considerate vere senza bisogno di dimostrazione.

Sono come le “regole di base” su cui si costruisce tutta la matematica o la geometria.

Caratteristiche dei postulati:

Non si dimostrano.

Si accettano come veri.

Servono per dedurre altre verità (teoremi).

Esempi di postulati semplici:

1. Postulato di Euclide (Geometria):

“Per due punti passa una e una sola retta.”

Significa che, se hai due punti, puoi sempre tracciare una sola retta che li unisce.

2. Postulato dell’addizione (Aritmetica):

“Se a = b, allora a + c = b + c”

Se due numeri sono uguali, anche le loro somme con lo stesso numero saranno uguali.

Esempio pratico:

Immagina che i postulati siano le regole di un gioco. Non si discutono, si usano per giocare (cioè per costruire formule, fare dimostrazioni, ecc.).

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Cos’è un teorema?

Un teorema è un enunciato che è stato dimostrato essere vero attraverso un ragionamento logico a partire da assiomi, definizioni e teoremi precedenti. La dimostrazione è una sequenza di passaggi logici che conferma la veridicità dell’enunciato.

🧩 Differenza tra enunciato e teorema

Un enunciato è una proposizione che può essere vera o falsa.

Un teorema è un enunciato che è stato dimostrato vero.

📌 Esempi

1. Teorema di Pitagora: In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Questo è un teorema perché è stato dimostrato essere vero.

2. Enunciato: “Se un numero è divisibile per 4, allora è divisibile per 2.” Questo è un enunciato vero, ma non è un teorema perché non è stato dimostrato come una proposizione matematica formale.

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Enunciati

Esercizi Svolti

Esercizio 1

Indica se il seguente è un enunciato e se è vero o falso:

“5 è un numero dispari.”

Soluzione:

È un enunciato perché può essere vero o falso. È vero.

Esercizio 2

“x + 2 = 7” è un enunciato?

Soluzione:

È un enunciato aperto, perché dipende dal valore di x. Se x = 5, diventa vero.

Esercizi da Svolgere

Esercizio 1

Stabilisci se le seguenti frasi sono enunciati e specifica se sono veri o falsi:

a) “Il triangolo ha tre lati.”

b) “x è maggiore di 4.”

c) “Il numero 10 è un numero primo.”

2. Postulati

Esercizio Svolto

Esercizio 1

Spiega il significato del postulato: “Per due punti passa una e una sola retta.”

Soluzione:

Significa che, dati due punti qualsiasi in un piano, posso sempre tracciare una sola retta che li collega. Nessun’altra retta li può collegare entrambi.

Esercizio da Svolgere

Esercizio 1

Scrivi un esempio pratico in cui si applica il postulato: “Un segmento può essere prolungato indefinitamente in una linea retta.”

3. Teoremi

Esercizio Svolto

Esercizio 1

Applica il teorema di Pitagora:

In un triangolo rettangolo i cateti misurano 3 cm e 4 cm. Quanto misura l’ipotenusa?

Soluzione:

c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

c = \sqrt{25} = 5 cm

Esercizi da Svolgere

Esercizio 1

Applica il teorema di Pitagora in un triangolo rettangolo in cui i cateti misurano 5 cm e 12 cm. Calcola l’ipotenusa.

Esercizio 2

Individua la differenza tra un postulato e un teorema con un esempio per ciascuno.

# data[].attributes.body
postulati (chiamati anche assiomi) sono affermazioni considerate vere senza bisogno di dimostrazione.

Sono come le “regole di base” su cui si costruisce tutta la matematica o la geometria.

Caratteristiche dei postulati:

Non si dimostrano.

Si accettano come veri.

Servono per dedurre altre verità (teoremi).

Esempi di postulati semplici:

1. Postulato di Euclide (Geometria):

“Per due punti passa una e una sola retta.”

Significa che, se hai due punti, puoi sempre tracciare una sola retta che li unisce.

2. Postulato dell’addizione (Aritmetica):

“Se a = b, allora a + c = b + c”

Se due numeri sono uguali, anche le loro somme con lo stesso numero saranno uguali.

Esempio pratico:

Immagina che i postulati siano le regole di un gioco. Non si discutono, si usano per giocare (cioè per costruire formule, fare dimostrazioni, ecc.).