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En matemáticas, se conoce como proporción a la relación de igualdad que existe entre dos razones, es decir, entre dos comparaciones entre dos cantidades determinadas. O sea: si a/b es una razón, entonces la igualdad a/b = c/d será una proporción.

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Una proporción es una igualdad entre razones. Dependiendo del tipo de razones igualadas, las proporciones pueden ser:

Proporciones aritméticas: es aquella proporción que se establece entre razones aritméticas. Una proporción aritmética define una igualdad de dos diferencias. Se denota: a.b :: c.d o a - b = c - d, se lee a es a b como c es a d.

Proporciones geométricas: es aquella proporción que se establece entre razones geométricas. Una proporción geométrica define una igualdad de dos cocientes. Se denota: a:b :: c:d o a / b = c / d, se lee a es a b como c es a d.

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PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES.

Propiedad 1: En toda proporción, la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente, como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente.
Propiedad 2: En toda proporción, la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente, como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente.
Propiedad 3: En toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos, como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos.
Serie de razones iguales: Una serie de razones iguales es una igualdad entre dos o más razones.

Propiedad 4: En toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes, como uno de los antecedentes es a su consecuente.

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Las principales propiedades que se cumplen en toda proporción a/p = b/q son: El producto de los extremos es igual al producto de medios a*q = b*p Si se invierten los términos se obtiene otra proporción p/a = q/b Si se intercambian los extremos o medios se obtienen otra proporción q/p = b/a Si se suma o se resta uno en ambos miembros de la igualdad se obtiene otra proporción (a + p) /p = (b +q) /q o también (a - p) /p = (b - q) /q EJEMPLO: Determinar si las siguientes razones son proporciones.

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La proporción es la igualdad entre dos o más razones.

O sea, si a/b corresponde a la razón, entonces a/b = c/d equivale a una proporción.

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Cuando se comparan dos cantidades por medio del cociente se habla de la razón entre ellas.

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1. Razón aritmética o por diferencia.
2. Razón geométrica o por cociente.

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Como la razón aritmética de dos cantidades no es más que la resta indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda suma o resta. Si al antecedente se le suma o resta una cantidad la razón aritmética queda aumentada o disminuida dicha cantidad.

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Es decir, la razón es la resta o la división entre dos cantidades, de manera que se pueda hacer una comparación entre ellas.

Si la razón es calculada por una resta es una razón aritmética, mientras que si es un cociente es una razón geométrica. Ambos casos los detallaremos a continuación.

La razón aritmética es la diferencia o resta entre dos magnitudes. A partir de esta razón, se puede definir una progresión aritmética que es aquella secuencia donde dos términos consecutivos cualesquiera siempre presentan la misma diferencia entre ellos.

Pon ejemplo, la siguiente es una progresión aritmética:

5, 16, 27, 38, 49, 60

En la progresión anterior, la razón es 11:

16-5=27-16=38-27=49-38=60-49=11

La expresión general para este tipo de progresión es la siguiente, donde x n es el enésimo término, siendo x ₁ el primer término, y d es la diferencia constante entre los números consecutivos de la misma.

Volviendo al ejemplo de arriba, el tercer término se calcularía de la siguiente forma:

x ₃=5+11(3-1)=5+(11×2)=5+22=27

La razón geométrica es aquella donde dos números está vinculados mediante un cociente y esto puede expresarse como una fracción.

Este tipo de razón da lugar a la progresión geométrica que es una sucesión de números donde una cifra es igual a la anterior multiplicada por una constante que es la razón geométrica o factor de progresión. Un ejemplo puede ser el siguiente:

6, 24, 96, 384, 1536

En el caso de arriba, el factor de progresión sería 4, lo puedo calcular dividiendo cualquiera de los números de la sucesión entre el que se encuentra inmediatamente antes. Así, nos damos cuenta que la razón se repite:

24/6=96/24=384/96=1536/384=4

La progresión geométrica tiene la siguiente fórmula general:

En la fórmula de arriba, x n es el enésimo término de la progresión, siendo x ₁ el primer término, y r es la razón constante en la sucesión. Por ejemplo, en el caso de arriba, podemos hallar el cuarto término de la siguiente manera:

Otros tipos de razones son las siguientes:

Razón simple: La razón simple de tres números es la división de las diferencias entre el primero y cada una de las otras dos cifras. Así, la razón simple de a,b y c sería:

(a-b)/(a-c)

Razón doble: La razón doble de cuatro números a,b, c y d se calcula como el cociente de la razón simple de a,c y d entre la razón simple de b, c y d.

(a-c)/(a-d)/(b-c)/(b-d)

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Es decir, la razón es la resta o la división entre dos cantidades, de manera que se pueda hacer una comparación entre ellas. Si la razón es calculada por una resta es una razón aritmética, mientras que si es un cociente es una razón geométrica. Ambos casos los detallaremos a continuación.

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Generalmente, se expresa como «a es a b». En una razón al primer término se le llama antecedente y al segundo se llama consecuente. a Antecedente b Consecuente

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Es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto termino de una proporción, cuando se conocen tres.

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La regla de tres simple puede ser directa o inversa. En el caso de la regla de tres simple directa, la proporcionalidad es constante: a un incremento de A, le corresponde un incremento de B en idéntica proporción.

En la regla de tres simple inversa, en cambio, la proporcionalidad constante sólo se conserva cuando, a un incremento de A, le corresponda una disminución de B.

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En la regla de tres simple se establece, por tanto, la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B , y conociendo un tercer valor C, se calcula un cuarto valor D.

Dicha relación de proporcionalidad existente entre A y B puede ser directa o inversa.

Será directa cuando, dentro de esa proporcionalidad, a un mayor valor de A le corresponda también un mayor valor de B (o a un menor valor de A le corresponda un menor valor de B), y será inversa, cuando a un mayor valor de A le corresponda un menor valor de B (o a un menor valor de A le corresponda un mayor valor de B).

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Uruguay (22%) y Argentina (21%) son las naciones de América Latina donde los consumidores pagan más IVA, con índices similares a los de muchos Estados de la Unión Europea.

Mientras que Paraguay (10%) y Panamá (7%) son los países que menos exigen a las carteras de los compradores.

Cuba es un caso aparte, ya que es la única nación de la región en la que no se aplica el IVA.

Lo que queda claro es que los porcentajes de IVA de los países de América Latina están lejos de los índices máximos y mínimos en el resto del mundo.

Según la base de datos internacional sobre impuestos VATLive, actualizada al minuto, la nación que tiene el tributo más alto del planeta es una que en el pasado perteneció a la órbita soviética: Hungría (27%).

Le siguen Dinamarca, Noruega, Suecia y Croacia (25%), y Finlandia, Islandia y Rumania (24%).

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Max Seitz

BBC Mundo, @maxseitz

Fuente de la imagen, THINKSTOCK

Ya sabes cómo es. Cada vez que compras un producto o un servicio en la calle o por internet, recibes una factura que detalla el precio de aquello que adquieres y el monto que se le añade en concepto de IVA (impuesto al valor agregado).

Y tú pagas por todo eso.

Ese "extra" puede parecer poco dinero o no, dependiendo del país y del tipo de mercancía. Pero si sumas todo lo que compras en un mes, es bastante lo que terminas gastando en IVA, un tributo que afecta directamente tu bolsillo.

En las últimas semanas se ha hablado mucho de este impuesto al consumo a raíz del fuerte aumento del 13% al 23% aplicado en Grecia, que ha golpeado a la gente común en una nación ya afectada por una profunda crisis económica.

Sin embargo, en algunas partes de América Latina el fisco cobra un IVA -o un gravamen equiparable- similar al griego, tras una serie de incrementos registrados en los últimos tiempos.

"Muchos países de la región están siguiendo la tendencia mundial de aumentar el impuesto o ampliar los sectores a los que se aplica", le explica a BBC Mundo Lucio Giaimo, analista tributario de la consultora internacional KPMG basado en Buenos Aires.

Giaimo apunta que Argentina, por ejemplo, recientemente empezó a cobrar IVA a los servicios en general, que antes no estaban gravados.

Pero no es el único caso. Uruguay reinstauró el impuesto a la compra de carnes blancas (pollo, cerdo y cordero) luego de siete años de exenciones. Y Puerto Rico, que actualmente no cuenta con un régimen de IVA, lo introducirá en 2016 (no obstante, este mes subió el Impuesto a las Ventas y el Uso, IVU, de 7% a 11,5%).

En otras palabras, estamos hablando de alzas de precios para los ciudadanos de a pie.

Cómo nos comparamos con el resto

Entonces, ¿pagamos más o menos impuesto al valor agregado en América Latina que en el resto del mundo? ¿Y en qué países de la región se exige más a nuestros bolsillos?

Según datos de Baker & McKenzie, una firma legal que asesora a compañías globales, el promedio del IVA que se cobra a nivel mundial es de 15%. Y la media de América Latina está por debajo de ese porcentaje: 9%.

Sin embargo, el panorama cambia cuando se consideran los casos particulares.

Así, buena parte de los países de la región (8 en total) se encuentran por encima de la media global.

Uruguay (22%) y Argentina (21%) son las naciones de América Latina donde los consumidores pagan más IVA, con índices similares a los de muchos Estados de la Unión Europea.

Mientras que Paraguay (10%) y Panamá (7%) son los países que menos exigen a las carteras de los compradores.

Cuba es un caso aparte, ya que es la única nación de la región en la que no se aplica el IVA.

A continuación, la lista completa:

¿Y el IVA más caro del mundo?

Lo que queda claro es que los porcentajes de IVA de los países de América Latina están lejos de los índices máximos y mínimos en el resto del mundo.

Según la base de datos internacional sobre impuestos VATLive, actualizada al minuto, la nación que tiene el tributo más alto del planeta es una que en el pasado perteneció a la órbita soviética: Hungría (27%).

Le siguen Dinamarca, Noruega, Suecia y Croacia (25%), y Finlandia, Islandia y Rumania (24%).

En el selecto grupo de los que cobran 0% de IVA figuran naciones tan diversas como Omán, Qatar, Siria, Tanzania, Gambia y Bután.

Yemen (2%), Corea del Norte (2%-4%), Nigeria (5%) y Tailandia (7%), entre otros, también ocupan la parte inferior del ranking.

Tabaco, salud, celulares...

BBC Mundo hizo un relevamiento de los distintos regímenes impositivos en América Latina para ver -a grandes rasgos- por cuáles productos y servicios los consumidores deben pagar más IVA que el general, o bien tienen descuentos y exenciones.

Si se piensa exclusivamente en el bolsillo de la gente común, la conclusión es que las reducciones y los "perdones" son pocos.

En algunas naciones la gente debe abonar un IVA mayor que el estándar por el tabaco y las bebidas alcohólicas (por ejemplo: Chile, República Dominicana, México, Panamá).

En otros se paga más por la <bold>telefonía celular</bold> y los <bold>servicios de internet</bold> (Honduras), o por los <bold>productos de lujo </bold>(de nuevo Chile). <image id="d5e606"/>

En cambio, hay países en los que hay reducciones o 0% de IVA para la atención médica, los medicamentos, los servicios de enseñanza o alimentos básicos (Colombia, Uruguay, Venezuela, Ecuador, Costa Rica, entre otros).

O bien en los que hay descuentos por el suministro eléctrico (otra vez Costa Rica), las telecomunicaciones (México) o los bienes inmuebles (Paraguay).

Los ejemplos más llamativos de exenciones al pago del IVA son los del transporte público (Perú) y la venta de hidrocarburos (Venezuela), entre otros. En este último caso, se trata sólo de combustibles producidos por Pdvsa o empresas mixtas.

Es imposible resumir en un sólo artículo las particularidades de todos los países.

Pero, por lo general, la decisión sobre qué bienes y servicios pagan más, menos o ningún IVA depende de la política económica de cada gobierno: a qué franja de la población desea beneficiar y a qué sector productivo quiere apoyar.

"Fácil de recaudar", pero "regresivo"

El analista de KPMG Lucio Giaimo le dice a BBC Mundo que la razón por la que América Latina ha seguido la tendencia global de aumentar o extender el IVA es porque se trata de un tributo fácil de recaudar.

"Los gobiernos saben que es mucho más sencillo y eficaz cobrarles a un gran número de consumidores que a un puñado de grandes empresas".

Y los resultados están a la vista, añade: "En América Latina hay países como Argentina en los que el IVA representa un 30% del total de la recaudación fiscal. Eso es mucho".

Claro que, desde la perspectiva de la gente común, el IVA es considerado un tributo "regresivo" y hasta "injusto" para algunos, ya que lo pagan todas las personas que hacen compras -y todas el mismo monto- sin importar su nivel socio-económico.

Giaimo afirma que otra tendencia destacable en nuestra región es que los fiscos recurren cada vez más a la tecnología para mejorar el cobro de este tributo; por ejemplo, mediante el uso de la facturación electrónica y un mejor manejo de los datos de los contribuyentes.

"Como consecuencia, en algunas partes de América Latina está disminuyendo la economía informal, la venta de productos y servicios sin factura", apunta.

No obstante, durante la III Conferencia Internacional sobre Financiamiento para el Desarrollo realizada a mediados de julio en Addis Abeba, expertos tributarios advirtieron que la situación aún dista de ser ideal en los países de la región.

Dijeron que los gobiernos latinoamericanos, si bien mejoraron su recaudación impositiva en general, siguen enfrentando el problema de la evasión del IVA, que oscila entre el 17% y el 37% del total de contribuyentes.

Sea como fuere, la mayoría de los consumidores que sí pagan el IVA deberían estar preparados, según los analistas.

Porque si los gobiernos de América Latina apuestan cada vez más a este impuesto como una manera fiable y eficiente de llenar sus arcas -siguiendo lo que sucede en otras partes del mundo-, podrían esperarse más aumentos del tributo o más productos afectados por él.

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¿Un tributo "injusto"?

El IVA es un impuesto al precio de compra. Es una carga fiscal sobre el consumo que es financiada por la persona que adquiere un producto o un servicio.

Si bien repercute directamente en nuestros bolsillos, los contadores lo consideran un tributo indirecto: el fisco no lo recauda directamente de quien lo paga -cada uno de nosotros-, sino de quien actúa como vendedor en el momento de la transacción comercial.

Salvo el consumidor final, el resto de los eslabones de la cadena comercial (el fabricante, el intermediario, el negocio en la calle) pueden descontar el IVA de su factura impositiva, de modo que no incide en sus costos.

Desde la perspectiva de la gente común, el IVA es considerado un tributo "regresivo", ya que lo pagan todas las personas que hacen una compra sin importar su nivel socio-económico.

El IVA fue introducido por primera vez en Francia en 1954, si bien la idea fue sugerida mucho antes, en 1918, por el industrial alemán Wilhelm von Siemens.

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El peso del IVA: en qué países de América Latina pagamos más impuestos al hacer las compras - BBC News Mundo

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Max Seitz BBC Mundo, @maxseitz Ya sabes cómo es. Cada vez que compras un producto o un servicio en la calle o por internet, recibes una factura que detalla el precio de aquello que adquieres y el monto que se le añade en concepto de IVA (impuesto al valor agregado).