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AESA - SELF (Les triangles et les angles - 7ºano)

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AESA - SELF (Les triangles et les angles - 7ºano)

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Fiche de travail

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Une carte interactive d’histoire des mathématiques

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Une carte interactive d’histoire des mathématiques

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Pour utiliser la carte en plein écran, cliquer sur l'icône en haut à droite

L'approche historique et culturelle des mathématiques dans les programmes : de nouveaux angles pour l'apprentissage et l'enseignement de cette discipline

Que ce soit dans les programmes de la refondation de l'école (2015) ou dans le référentiel de l'éducation prioritaire (2013), la question de la confrontation explicite des élèves aux dimensions culturelles et historiques des mathématiques est nouvelle. Toutefois, depuis de nombreuses années, on trouve des travaux de recherche et de nombreux ouvrages pédagogiques et culturels qui irriguent ces formes d'enseignements, celles-ci étant plus ou moins mises en œuvre.

Certes, des enseignants, par des initiatives personnelles ou collectives (impulsions au sein d'une équipe, d'une circonscription, d'un réseau...) garnissent leur enseignement de récits convoquant des mondes extra-scolaires, en particuliers des récits nourris de culture mathématique (anecdotes, références à des sites, usage de documents authentiques, ouvrages, en particuliers certains manuels scolaires, conférences...), mais cela ne découlait pas d'une demande explicite des programmes en mathématiques (même si dans l'ancienne version du socle, le pilier cinq, dit " culture humaniste " pouvait servir de garantie institutionnelle pour ce type d'entreprise).

Dorénavant, suite à la refondation de l'École, le socle commun a été enrichi du terme " culture ", venant s'ajouter à ceux de " connaissances " et " compétences " déjà existants. Toutes les disciplines sont concernés, les mathématiques en particuliers, dès lors, on peut se poser la question de quelle culture, de quelle histoire parle-t-on ? Quelle histoire mathématique à enseigner ? Quelles formes pédagogiques ? (étude de textes authentiques, conférences-débat, conférence-atelier, mise en scène sous forme de saynètes, recherche multimédia...), y aurait-il des " incontournables " ou au contraire faut-il viser la diversité ? Et enfin quelle formation initiale et continue pour les enseignants du premier et du second degré, sur ces formes d'enseignements ?

On lit dans le référentiel éducation prioritaire : " Les élèves sont confrontés aux dimensions culturelles et historiques des savoirs enseignés pour les doter d'une culture qui leur donne des références indispensables pour situer les savoirs " et aussi par exemple, dans les programmes du cycle 3, en ce qui concerne les mathématiques, il est stipulé que " la mise en perspective historique de certaines connaissances (numération de position, apparition des nombres décimaux, du système métrique, etc.) contribue à enrichir la culture scientifique des élèves ".

En quoi la confrontation aux dimensions culturelles et historiques des mathématiques pose de nouveaux dilemmes aux enseignants ?

Un faisceau de nouvelles questions se présente à l'enseignant :
Peut-on calquer la construction des savoirs dans l'histoire à la construction des savoirs par les élèves ?
La prise en compte de la rencontre de l'épistémologie (construction des savoirs mathématiques dans l'histoire, versant phylogénétique) et de la didactique (construction des savoirs par les apprenants, versant ontogénétique) implique de penser le lien entre les deux dynamiques. Notons que l'une ne peut pas se calquer stricto-sensu sur l'autre, c'est le cas de l'exemple de l'enchaînement " nombres naturels, fractions puis nombre décimal " qui est historique, toutefois il est fort à parier que les obstacles rencontrés par l'Humanité soient des obstacles pour les élèves.

L. Desmet explique : " Cette approche [ " nombres naturels, fractions puis nombre décimal "] est pertinente à condition d'inhiber certaines connaissances sur les entiers naturels pour comparer les fractions par exemple (1/4 est plus petit que 1/3 malgré la connaissance que l'on a des entiers 3 et 4 et de leur ordre). " Certains chercheurs qui se sont exprimés, pensent que " la compréhension du système décimal est plus essentielle à la compréhension des nombres décimaux que la compréhension des fractions ", et tempèrent en expliquant qu'" il est impensable d'aborder les nombres décimaux sans que le fractionnement de l'unité en part égales n'ait été abordé au préalable ".

Quels nouveaux gestes pédagogiques demande une approche historique et culturelle des mathématiques ?
L'approche épistémologique demande un rapport au savoir qui s'inscrit dans le temps et l'espace en prise avec une construction sociopolitique des savoirs, ceux-ci étant ainsi recontextualisés, et de ce fait, demande l'élaboration d'un corpus documentaire, qui n'est ni l'échafaudage de concepts, ni l'usage de techniques de résolution de problème, mais une médiation entre ces derniers et l'histoire de la construction des savoirs mathématiques et de leurs usages.

Cet aspect est, pour certains enseignants, complètement étranger ; il est loin d'être évident de travailler à partir de documents historiques dans la classe. D'autre part, ce corpus n'est pas facilement identifiable, tant il est vaste, et n'est pas toujours adapté en l'état pour une mise en forme pédagogique et didactique, d'autant que les enseignants, formateurs, pilotes, premier ou second degré, n'ont pas forcément croisé, de manière institutionnelle, dans leur formation, la question de l'enseignement d'aspects culturels et historiques des mathématiques.

G. Brousseau nous rappelle que " les obstacles didactiques d'origine épistémologique sont ceux auxquels on ne peut, ni ne doit échapper, du fait même de leur rôle constitutif dans la connaissance visée. On peut les retrouver dans l'histoire des concepts eux-mêmes. Cela ne veut pas dire qu'on doit amplifier leur effet ni qu'on doit reproduire en milieu scolaire les conditions historiques où on les a vaincus. "

Comment les langues, terreaux de cultures, pour parler " mathématiques " portent en elles des concepts ?
En ce qui concerne l'approche culturelle des mathématiques, celle-ci soulève des difficultés, qui peuvent être présentes au cœur de la langue française. C'est le cas des transcodages entre structure des mots-nombres et chiffres-nombres (l'exemple de " quatre-vingt-dix " et " 90 ", abordé au cycle 2, étant emblématique d'un transcodage difficile et opaque quant aux structures sous-jacentes), mais aussi socioculturelle, comme le transcodage des mots-nombres entre langues, même issues de la francophonie (par exemple, " quatre-vingt-dix " en France qui se dit " nonante " en Belgique).

Il peut sembler difficile pour certains enseignants de faire vivre d'autres langues dans leur classe, peut-être pour ne pas brouiller leur message didactique par crainte d'une maîtrise incertaine de ces langues. À l'inverse, faire vivre des transcodages qui ne vivent que dans la classe (par exemple compter avec les mots-nombres chinois ou turcs, très proches de la structure décimale) ne garantit pas leurs transpositions dans l'environnement extra-scolaire de l'élève, peut être perçu par ce dernier comme une singularité dans son parcours scolaire et être peu mobilisé dans ses apprentissages sur le long terme. Néanmoins, notons que l'approche par les questions historiques et culturelles en mathématiques peut s'avérer être un levier puissant pour travailler les composantes symboliques, culturelles et cognitives des apprentissages, par exemple la connaissance de l'origine arabe du mot " chiffre " (son origine signifiant " zéro ") ou l'origine latine du mot " calcul " (son origine signifiant " caillou ") sont des passerelles simples et efficaces qui renseignent facilement les élèves sur l'enracinement des savoirs dans les langues.
Dans la culture mathématique, comment faire vivre les dialectiques entre concepts-objets et concepts-outils ?
L'entrée dans l'histoire et la culture des mathématiques montre l'enracinement de celles-ci dans des questions extra-mathématiques, et illustre comment des concepts mathématiques peuvent sous-tendre d'autres champs disciplinaires comme la musique, l'architecture, les lettres, la géographie, etc., et qui, bien que répondant au prescrit lié à l'interdisciplinarité, ajoute de la complexité dans les choix que les enseignants doivent réaliser dans leur démarche pédagogique au risque de brouiller une certaine conscience disciplinaire, mais n'en est pas moins cruciale pour la formation des élèves et la construction d'une conscience des visées humanistes des mathématiques, en témoignent les mots du mathématicien Charles Gustave Jacobi écrivant à cet autre illustre mathématicien Adrien-Marie Legendre, en 1830 : " ...que le but unique de la science, c'est l'honneur de l'esprit humain et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu'une question de système du monde ".

Une carte-ressource qui se veut utile, utilisable, acceptable et appropriable

Henrique Vilas Boas, enseignant de mathématique dans un REP+ (réseau d'éducation prioritaire), chargé d'étude au centre Alain Savary-Ifé-ENS et ancien formateur académique de l'académie de Lyon, propose une carte interactive, à la fois chronologique et spatiale, qui vise à faire connaître un corpus documentaire sur l'histoire et la culture des mathématiques, afin de permettre aux enseignants, coordonnateurs, formateurs et pilotes en éducation prioritaire ou ailleurs, d'identifier en un coup d'œil un cadre mathématique, une région du Monde et une époque.

Cette carte lui semble utile, en ce qu'elle constitue une ébauche de corpus documentaire (textes, audios et vidéos) construit à partir de références solides et stables (IREM, académies, laboratoires scientifiques...). Elle lui semble aussi utilisable car elle offre des repères, à la fois spatiaux et chronologiques, qui situent certaines mathématiques pratiquées ou pensées dans l'Histoire, mais aussi celles que l'on fabrique à l'école (comme les tablettes mésopotamiennes qui étaient probablement, pour certaines, des tablettes "d'étudiants").

Enfin, elle lui semble acceptable car il a cherché des ressources gratuites, sans publicités et garanties auprès des différents instituts, chercheurs, formateurs et enseignants qui offrent tous, avec acuité, un regard historique et culturel sur les mathématiques. Enfin, il souhaite que cette ressource soit le mieux possible appropriable, en particulier dans les réseaux d'éducation prioritaire, dans un souci de synthèse, sans rechercher l'exhaustivité, par la possibilité de se saisir d'extraits d'un corpus documentaire exigeant, mais à destination de non-experts de l'histoire et de l'épistémologie des mathématiques, de travailler avec les élèves ou pour le seul nourrissage culturel des enseignants, des formateurs ou d'une équipe de réseau, afin d'alimenter solidement les récits en la matière.
Comment utiliser la carte ?
Pour utiliser la carte, on peut cocher ou décocher les périodes (elles ont été choisies arbitrairement pour faciliter la recherche), on peut choisir une icône dans la carte (voir ci-dessous la légende iconographique), ou écrire un mot clé à l'aide de l'icône " loupe " (par exemple : " nombre ", " mesurer ", " Chine ", " IREM ", " Al Kindi ").

Chaque icône a été choisie pour un cadre visé, néanmoins des choix arbitraires ont parfois été faits et il se peut qu'il y ait plus d'informations que ce qui est indiqué.

Remerciements et point de vigilance
Les images ont été choisies libres de droit, néanmoins il se peut qu'il y ait des erreurs, merci de signaler tout problème de droit à l'image. Enfin de nombreux liens ont été proposés (IREM d'Aix-Marseille, de la Réunion, de Lyon, de Paris, de Basse-Normandie, de Rennes, de Poitiers, ICEM pédagogie Freinet, Educmaths-ENS, EducTice-ENS, Académie de Caen, Paris, Lyon, Grenoble, Lille, l'APMEP, Images des mathématiques du CNRS, vidéothèque du CNRS, l'UNESCO, CIJM, l'AMUCHMA, le site Matou Matheux, la revue en ligne québécoise acromaths, le site Dimension, le site mathématiques magiques, CanalU, le site Fermat science, la revue en ligne MathémaTICE, l'Académie des sciences, l'Académie des langues kanak, le site enseignement-latin, le site de métrologie française, le site Culture Maths de l'ENS, le site ethnographiques.org, l'observatoire astronomique de Lyon, France-TV et le site Statistix). Chaque lien est accompagné d'un petit texte de présentation des auteurs et du contenu, et aussi de repères sur l'usage dans le cycle approprié. Nous remercions chaleureusement tous les contributeurs qui ont bien voulu nous autoriser à diriger les liens sur leur site.

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Une carte interactive d'histoire des mathématiques

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Henrique Vilas Boas, enseignant de mathématique dans un REP+ (réseau d'éducation prioritaire), chargé d'étude au centre Alain Savary-Ifé-ENS et ancien formateur académique de l'académie de Lyon, propose une carte interactive, à la fois chronologique et spatiale, qui vise à faire connaître un corpus documentaire sur l'histoire et la culture des mathématiques, afin de permettre aux enseignants, coordonnateurs, formateurs et pilotes en éducation prioritaire ou ailleurs, d'identifier en un coup d'œil un cadre mathématique, une région du Monde et une époque.

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Centre Alain Savary - Education prioritaire - ifé

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Emotions et des sentiments des élèves en mathématiques

00:00:00

La discipline scolaire, un espace social qui ne se résume pas à des contenus

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Les remparts des mathématiques

00:06:22

Le vécu négatif est toujours lié à l'incompréhension

00:10:19

De l'intérêt de décrire les émotions et les sentiments en mathématiques

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émotions et sentiments des élèves en mathématiques

Dominique Lahanier-Reuter s'intéresse à la question des compétences psychosociales, qu'elle nomme plutôt "émotions et sentiments des élèves".

Elle fait le constat que les acteurs de la communauté éducative postulent que ces compétences sont a-disciplinaires, ce qui a pour conséquence un traitement inégal des émotions. C'est le cas de "la colère en mathématiques" parfois prise en compte pour certains élèves et pas pour d'autres.

Pourtant les témoignages d'élèves concordent, les émotions et les sentiments ressentis en cours de mathématiques s'ancrent bien souvent au coeur des objets d'enseignement.

La discipline scolaire, un espace social qui ne se résume pas à des contenus

La discipline scolaire constitue un espace social où les interactions des acteurs sur la discipline sont multiples et ne sont pas seulement cognitives. L'espace social de la classe est structuré par la présence d'un adulte et d'élèves. Il s'inscrit dans un contexte et une culture qui rendent possible ou empêchent l'expression de sentiments et d'émotions.

Les remparts des mathématiques

Selon Dominique Lahanier-Reuter, les mathématiques sont clivantes du point de vue du vécu disciplinaire. Si on s'intéresse aux témoignages des élèves qui apprécient les mathématiques, ils décrivent un monde de rituels, de routines, un monde sécurisant où l'on peut s'engager dans des défis. Lorsque les élèves ont un vécu négatif,c'est lorsqu'ils se sentent empêchés d'agir. Ces empêchements sont généralement dus à des incompréhensions récurrentes. Le monde des mathématiques devient alors hostile, figé; un monde dans lequel ces élèves ne peuvent rien faire.

La récurrence et la force des témoignages recueillis amènent les chercheurs à envisager la métaphore suivante : " La discipline mathématique est un espace social dans lequel on entre - ou pas - parce qu'il y a des remparts dans lesquels certains se sentent bien, protégés et que d'autres perçoivent comme inaccessibles, comme assignés à l'extérieur."

Le vécu négatif est toujours lié à l'incompréhension

Plusieurs raisons liées à la discipline, peuvent expliquer cette incompréhension chez les élèves.

En France, les mathématiques sont une discipline spiralaire dans laquelle il y a très peu de nouveaux contenus. Les élèves s'enferment dans l'incompréhension et ont peu d'occasion d'en sortir.

Certains contenus relèvent de l'évidence pour les enseignants qui se trouvent alors fortement gênés pour les expliquer.

Faire des exercices ne suppose pas d'avoir compris le sens des concepts.

De l'intérêt de décrire les émotions et les sentiments en mathématiques

Pour inciter les élèves à décrire leurs émotions et leurs sentiments en mathématiques, il faut se départir de la description des émotions primaires (colère, mécontentement..) et accorder la primeur à la description de la situation et de son contenu.

Les résultats de cette recherche montrent qu'une piste, pour les enseignants de mathématiques, consisterait à penser pour chacune des situations mathématiques proposée :

Quels types d'émotions peut-elle générer ?

Comment l'enseignant peut-il les gérer, les calmer, les susciter ?

Comment y faire appel dans la mémoire individuelle et collective ? Les émotions constituant en effet un point d'appui pour la mémoire didactique des élèves.

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Dominique Lahanier Reuter, didacticienne des mathématiques et chercheuse au laboratoire LACES EA de l'université de Bordeaux, présente ses travaux sur le(s) vécu(s) disciplinaire(s) des élèves et notamment en mathématiques. Elle met en avant la prise en compte des émotions et des sentiments comme levier dans l'enseignement des mathématiques.

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Le rôle des analogies dans la résolution de problèmes aux cycles 2 et 3

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Le rôle des analogies dans la résolution de problèmes aux cycles 2 et 3

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Centre Alain Savary - Education prioritaire - ifé

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Emmanuel SanderEmmanuel SANDER : https://www.unige.ch/fapse/idea/fr/equipe/sander/ est Professeur à l'Université de Genève, en psychologie. L'orientation générale de ses recherches s'inscrit dans une perspective cognitive et développementale en lien avec les questions de l'éducation. Ses problématiques concernent la mise en évidence et l'analyse du rôle des connaissances préalables dans les activités de compréhension et de raisonnement à travers des situations d'acquisition de connaissances.

1- Les connaissances du quotidien et les connaissances mathématiques interagissent en résolution de problèmes

00:00:00

2- Comparaison de 2 problèmes relevant des mêmes concepts mathématiques mais de difficultés très différentes

00:04:04

3- Lorsque les connaissances du quotidien font obstacle au traitement mathématique de la situation : Le recodage sémantique

00:11:44

4- Les analogies intuitives

00:15:06

5- Trois formes d'analogies intuitives, facilitatrices ou obstructives

00:18:50

6- Les analogies de substitution

00:23:42

7- Les analogies de scénario

00:34:54

8- Exemples pour distinguer analogies de substitution et analogies de scénario

00:39:00

9- Les analogies de simulation

00:41:00

Les connaissances du quotidien et les connaissances mathématiques interagissent en résolution de problèmes

En situation de résolution de problèmes arithmétiques, les élèves travaillent à la fois la cognition mathématique et la cognition langagière. C'est-à-dire qu'en résolution de problèmes, interviennent des aspects extra-mathématiques, qui vont permettre aux élèves de se construire une représentation mathématique des problèmes, qui reposent sur le langage. Cette intrication des aspects mathématiques et langagiers ne représente pas nécessairement un obstacle à la résolution. Un problème va évoquer des concepts qui relèvent de connaissances liées à la vie quotidienne de l'élève sur lesquelles il pourra s'appuyer pour construire une représentation mathématique du problème et donc des connaissances mathématiques.
En ce sens, au cycle 2, la résolution de problèmes peut représenter un appui pour construire le sens des opérations.

Comparaison de 2 problèmes relevant des mêmes concepts mathématiques mais de difficultés très différentes

Sur le plan des connaissances du quotidien, les deux problèmes ci-dessous font appel à des connaissances extra-mathématiques différentes :

Les oiseaux, les vers

Les oiseaux peuvent manger les vers

À l'école les partages sont généralement équitables

Etc.

Le deuxième énoncé représente une moindre difficulté de résolution parce que les élèves peuvent se construire une représentation mentale du scénario en réalisant une mise en correspondance. En CP, 96% des élèves résolvent correctement le deuxième problème tandis que seulement 25% réussissent le premier. Jean-Jacques Calmelet explique la différence entre une situation d'addition/soustraction et une situation d'ajout/retrait lors de la conférence de consensus du CNESCO "Nombres et Calculs au Primaire" qui s'est tenue en novembre 2015 -
On est donc en présence de deux énoncés de problèmes qui relèvent des mêmes connaissances mathématiques mais pas des mêmes connaissances extra-mathématiques. Pour le problème 2, on est même en mesure de s'interroger pour savoir si les connaissances du quotidien n'occultent pas le traitement mathématique de la situation. Est-ce que l'élève fait des mathématiques lorsqu'il traite mentalement d'une situation d'ajout/retrait http://www.cnesco.fr/fr/numeration/paroles-dexperts/conferences-introductives/

Lorsque les connaissances du quotidien font obstacle au traitement mathématique de la situation : Le recodage sémantique

Un même énoncé peut faire l'objet de lectures/interprétations de natures différentes. Quand on est enseignant et qu'on constate que les élèves mobilisent des stratégies de résolution inadaptées liées à des mésinterprétations du texte d'énoncé, comment aider les élèves pour favoriser une compréhension arithmétique du problème et la mobilisation des notions mathématiques adaptées ?
Comparer des problèmes dont les scénarios sont proches et qui relèvent des mêmes opérations pour analyser les relations sémantiques de ces énoncés, les ruptures et les continuités dans la compréhension du texte et la compréhension arithmétique de la situation, permet de repérer les notions mathématiques incarnées par ces énoncés.
Le recodage sémantique, conduit par l'enseignant, consiste à faire avancer la compréhension d'un élève en allant à l'encontre de son intuition. Parfois des éléments de la situation orientent vers une certaine conception mathématique, mais celle-ci n'est pas adaptée au problème. Le recodage sémantique va initier une autre façon de percevoir le problème, qui, elle, est cohérente avec les objectifs mathématiques visés.

Les analogies intuitives

Si on admet que toute connaissance nouvelle est appréhendée à partir de connaissances préalables, les analogies intuitives sont les manières dont spontanément, lorsqu'une notion est introduite, on va l'appréhender. Face à la nouveauté, l'élève va s'appuyer sur ce qui est connu. Les analogies intuitives ont donc une valeur adaptative très importante et très pertinente puisqu'à l'école les connaissances nouvelles reposent généralement sur des connaissances préalables
S'appuyer sur les analogies intuitives et non intuitives pour orienter le développement conceptuel
À partir du moment où un élève a une conception première d'une situation scolaire qui lui a permis d'entrer et de structurer une notion scolaire, celle-ci appartient à son répertoire d'analogies intuitives. Pour l'enseignant reconnaissant cette conception, se pose la question de comment la faire évoluer et favoriser son développement ? C'est là qu'intervient le recodage sémantique. L'enseignant va travailler avec l'élève sur des analogies non intuitives qui, elles, vont favoriser une décontextualisation et une montée en abstraction orientée par la pertinence mathématique.

Trois formes d'analogies intuitives, facilitatrices ou obstructives

Recherche ACE, Arithmétique et Compréhension à l'École élémentaire : Les travaux de recherche d'Emmanuel Sander et son équipe les ont conduits à concevoir un cadre théorique : le cadre A-S3 (Analogies intuitives de Substitution, de Scénario et de Simulation). Les outils construits par ACE http://blog.espe-bretagne.fr/ace/ s'inscrivent dans ce cadre théorique qui différencie trois formes d'analogies intuitives : les analogies de substitution, de scénario et de simulation. Dans la mesure où elles agissent parfois de manière facilitatrice et parfois de manière obstructive, il est utile de savoir comment les problèmes proposés se situent au regard de ces trois formes d'analogies pour en anticiper les effets et prendre en charge les questions qui en découlent :

Si l'analogie intuitive facilite la résolution, et que l'élève réussit, il a peut-être traité la situation sans mobiliser les connaissances mathématiques souhaitées. La question est alors de savoir s'il aurait réussi sans l'effet facilitateur.

Si l'analogie agit plutôt de façon obstructive et que l'élève échoue dans la résolution, comment l'aider à dépasser ces analogies intuitives ?

L'expérience montre qu'il y a interdépendance entre ces trois formes d'analogies mais qu'il est possible de les dissocier. Elles peuvent représenter un véritable levier au service des apprentissages dans la mesure où elles peuvent servir à :

Se prononcer sur la difficulté d'un problème pour prédire les difficultés que les élèves pourront rencontrer.

Analyser les performances des élèves en distinguant dans les résolutions réussies si elles reposent sur une expertise facilitée par les analogies intuitives ou si elles relèvent d'une compréhension plus profonde des notions mathématiques.

Concevoir des évaluations en cohérence avec les situations enseignées.

Planifier son enseignement en prenant en compte les analogies intuitives pour concevoir une progression des apprentissages mathématiques.

Travailler en formation.

Les analogies de substitution

Les analogies de substitution désignent le fait que la notion mathématique est perçue par analogie avec une connaissance familière issue de la vie quotidienne. Le langage ordinaire porte en lui ces analogies de substitution. Par exemple si on se réfère aux définitions extra-mathématiques de " soustraction " données par les dictionnaires, on trouve l'idée de " retirer ", " d'enlever ", " de perdre ". Or ce sens extra-mathématique ne recouvre que partiellement la notion mathématique de soustraction. C'est-à-dire que parmi les situations mathématiques relevant de la soustraction, seules quelques-unes sont incarnées par des problèmes relevant de situations de pertes. Si on se réfère à la typologie de Gérard Vergnaud, il recense 11 catégories de problèmes relevant de la soustraction et seulement 1 correspondant à l'analogie de substitution. Concrètement cela peut signifier qu'en présence de 11 problèmes arithmétiques différents relevant de la soustraction, un élève n'en traitera qu'un seul en utilisant une soustraction. Il aura, dans ce cas, mobilisé la connaissance du quotidien " une soustraction correspond à une situation de perte " car il s'agit pour lui de rechercher le résultat d'une perte. Les 10 autres problèmes ne traitant pas de ce type de situation, ils sont hors du domaine de validité de l'analogie de substitution de la soustraction. L'élève les traitera autrement. Leur reconnaissance comme problèmes relevant de la soustraction nécessitera un enseignement spécifique passant par une analyse sémantique du texte d'énoncé et un recodage sémantique nécessitant l'enseignement d'analogies non-intuitives.
Les analogies de substitution sont robustes et elles opèrent spontanément chez tout un chacun. Si on demande à un expert des mathématiques de produire un énoncé de problème arithmétique relevant de la soustraction, il produira spontanément un énoncé appartenant au domaine de validité de l'analogie de substitution, c'est-à-dire un énoncé traitant d'une situation de perte. Il est donc inutile de lutter contre les effets liés à ces analogies, il s'agit plutôt de les anticiper et de confronter régulièrement les élèves à des situations dans lesquelles elles n'opèrent pas pour d'analyser avec eux les contextes sémantiques d'énoncés de problèmes relevant de la soustraction.

Les analogies de scénario

Les analogies de scénario ont à voir avec les scénarios évoqués par les situations des problèmes. Parfois, les objets présents dans les situations invitent à des scénarios qui sont plus ou moins compatibles avec certaines opérations mathématiques. Par exemple, un problème dans lequel les objets sont " 12 oranges " et " 4 pommes " va spontanément évoquer la collection des " fruits " dans les connaissances du quotidien et orienter vers l'opération mathématique de l'addition. Tandis que si dans le problème il est question de " 12 oranges " et de " 4 paniers ", les données numériques sont les mêmes : 12 et 4, mais les connaissances du quotidien vont plutôt orienter vers une répartition équitable des oranges dans les paniers et donc vers une division. Selon les connaissances qu'on a des relations fonctionnelles entre les objets cités dans les énoncés mathématiques, il est difficile d'envisager que ces objets incarnent certaines opérations tant les scénarios du quotidien sont robustes. Ainsi dans l'énoncé avec " 12 oranges " et " 4 pommes ", la question " combien ai-je de fois de plus d'oranges que de pommes ? " va mettre en difficulté nombre d'élèves de cycle 3 car l'analogie de scénario joue un rôle obstructif, tandis que s'il s'agit des mêmes 12 oranges à ranger dans 4 paniers, le problème l'analogie de scénario jouera un rôle facilitateur du fait de la relation fonctionnelle existant entre les oranges et les paniers.

Exemples pour distinguer analogies de substitution et analogies de scénario

Dans ce chapitre, Emmanuel Sander propose trois énoncés de problèmes arithmétiques et les analyse sous l'angle des analogies de substitution et de scénario pour savoir si ces analogies fonctionnent plutôt de façon facilitatrice ou obstructive dans la résolution du problème.

Les analogies de Simulation

L'analogie de simulation revient à simuler mentalement la situation décrite par l'énoncé. Elle peut agir de façon facilitatrice ou obstructive.
Si on s'intéresse au premier problème, l'analogie de simulation va permettre de résoudre le problème par une procédure mentale de surcomptage (analogie facilitatrice) tandis que dans le second problème, la perte de 27 billes, nombre trop grand pour s'en construire une image mentale facile à manipuler, représente une analogie de simulation obstructive.

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Le rôle des analogies dans la résolution de problèmes aux cycles 2 et 3

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Novembre 2019, Emmanuel Sander, Université de Genève, montre comment tout individu s'appuie sur des connaissances de la vie quotidienne, les analogies intuitives, pour construire ses représentations mathématiques des problèmes arithmétiques. Suivant les situations, elles jouent un rôle facilitateur ou obstructif pour la résolution.