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Sequência numérica: O que são? ,lei de ocorrência,lei de formação, classificação, exemplos.

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Sequência numérica: O que são? ,lei de ocorrência,lei de formação, classificação, exemplos.

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Aqui terá um breve resumo sobre sequência.

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A sequência numérica é um conjunto de números que estão ordenados.

A sequência numérica é um conjunto de números organizados de forma ordenada. A sequência numérica pode ser montada com diferentes critérios - por exemplo, a sequência dos números pares ou a sequência dos múltiplos de 3. Quando conseguimos descrever esse critério com uma fórmula, chamamos essa fórmula de lei de formação da sequência numérica.
Leia também: Diferenças entre número, numeral e algarismo
Resumo sobre sequência numérica

Sequência numérica é uma lista de números organizada em ordem.

A sequência numérica pode seguir diferentes critérios.

A lei de ocorrência da sequência numérica é a lista de elementos que existem na sequência.

A sequência pode ser classificada de duas maneiras. Uma leva em conta a quantidade de elementos, e a outra leva em conta o comportamento.

Quanto à quantidade de elementos, a sequência pode ser finita ou infinita.

Quanto ao comportamento, a sequência pode ser crescente, constante, decrescente ou oscilante.

Quando a sequência numérica pode ser descrita por uma equação, essa equação é conhecida como lei de formação da sequência numérica.

O que são sequências?

As sequências são os conjuntos de elementos organizados em uma determinada ordem. No nosso cotidiano, podemos perceber várias situações que envolvem sequências:

Sequência de meses: janeiro, fevereiro, março, abril, ..., dezembro.

Sequência de anos das 5 primeiras copas do mundo do século XXI: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.

Existem várias outras sequências possíveis, como sequência de nomes ou sequência de idades. Sempre que há ordem estabelecida, existe uma sequência.

Cada elemento de uma sequência é conhecido como termo da sequência, então em uma sequência há o primeiro termo, segundo termo e assim por diante. De modo geral, uma sequência pode ser representada por:

Lei de ocorrência da sequência numérica

Podemos ter sequências de vários elementos, como meses, nomes, dias da semana, entre outros. A sequência é uma sequência numérica quando envolve números. Podemos formar a sequência de números pares, números ímpares, números primos, múltiplos de 5 etc.
Exemplos:
A sequência é representada por meio de uma lei de ocorrência. A lei de ocorrência nada mais é que a lista dos elementos da sequência numérica.

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → sequência dos números ímpares de 1 até 15.

(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → sequência dos números múltiplos de 5.

(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → sequência alternada entre 1 e -1.

Qual a classificação da sequência numérica?

Podemos classificar as sequências de duas maneiras diferentes. Uma delas é levando em consideração a quantidade de elementos, e a outra é levando em consideração o comportamento desses elementos.

→ Classificação da sequência numérica de acordo com a quantidade de elementos

Quando classificamos a sequência quanto à quantidade de elementos, há duas classificações possíveis: a sequência finita e a sequência infinita.

◦ Sequência numérica finita
Exemplos:
A sequência é finita se ela possui uma quantidade limitada de elementos.

◦ Sequência numérica infinita
Exemplos:
A sequência é infinita se ela possui uma quantidade ilimitada de elementos.

→ Classificação da sequência numérica de acordo com o comportamento da sequência

A outra maneira de classificar é quanto ao comportamento da sequência. Nesse caso, a sequência pode ser crescente, constante, oscilante ou decrescente.

◦ Sequência numérica crescente
Exemplos:
A sequência é crescente se um termo for sempre maior que o seu antecessor.

◦ Sequência numérica constante
Exemplos:
A sequência é constante quando todos os termos possuem o mesmo valor.

◦ Sequência numérica decrescente
Exemplos:
A sequência é decrescente se os termos da sequência sempre são menores que os seus antecessores.

◦ Sequência numérica oscilante
Exemplos:
A sequência é oscilante se houver termos maiores que os seus antecessores e termos menores que seus antecessores de forma alternada.

Lei de formação da sequência numérica

Em alguns casos, é possível descrever a sequência por meio de uma fórmula, porém isso nem sempre é possível. Por exemplo, a sequência dos números primos é uma sequência bem definida, entretanto não conseguimos descrevê-la por meio de uma fórmula. Conhecendo a fórmula, conseguimos construir a lei de ocorrência da sequência numérica.

Sequência dos números pares maiores que zero.

Note que ao substituir n por um número natural (1, 2, 3, 4, ...), encontraremos um número par:

Então, temos uma fórmula que gera os termos da sequência formada por números pares maiores que zero:

(2, 4, 6, 8, ...)

Sequência dos números naturais maiores que 4.

Calculando os termos da sequência, temos que:

Escrevendo a lei de ocorrência:
Veja também: Progressão aritmética - um caso especial de sequência numérica Questão 1
(5, 6, 7, 8,...)

Exercícios resolvidos sobre sequência numérica

Uma sequência numérica possui lei de formação igual a \(a_n=n^2+1\). Analisando essa sequência, podemos afirmar que o valor do 5º termo da sequência será:

A) 6

B) 10

C) 11
Resolução:
D) 25

E) 26
Questão 2
Alternativa E

Calculando o valor do 5º termo da sequência, temos que:

Analise as sequências numéricas a seguir:

I. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)

II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)

III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)

Podemos afirmar que as sequências I, II e III são classificadas respectivamente como:

A) crescente, oscilante e decrescente.

B) decrescente, crescente e oscilante.

C) oscilante, constante e crescente.
Resolução:
D) decrescente, oscilante e constante.

E) oscilante, decrescente e crescente.

Alternativa C

Analisando as sequências, podemos afirmar que:

I. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)

É oscilante, pois há termos que são maiores que seus antecessores e termos que são menores que os seus antecessores.

II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)

É constante, pois os termos da sequência são sempre os mesmos.

III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)

É crescente, pois os termos são sempre maiores que os seus antecessores.

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Sequência numérica: classificações, exemplos - Escola Kids

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Clique aqui, descubra o que é uma sequência numérica, saiba como as sequências numéricas podem ser classificadas e veja exemplos.

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Exercícios sobre sequência para fixar o conteúdo.

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Exercícios sobre sequência para fixar o conteúdo.

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As sequências numéricas são conjuntos de números que seguem uma ordem pré-estabelecida, ou seja, existe de um padrão entre eles.

A lei de formação ou termo geral de uma sequência é uma fórmula que define como os elementos da sequência são formados. A partir dela, podemos determinar qualquer termo de uma sequência.

No estudo das sequências numéricas, destacam-se as progressões aritméticas e progressões geométricas.

Ficou interessado nesse assunto e quer aprender mais?! Confira, a seguir, uma lista de exercícios de sequência numérica, todos com a resolução completa.

Exercícios de sequência numérica

Questão 1. Determine o próximo número da sequência:

19, 22, 25, 28, ...

Questão 2. Determine o 5º número da sequência:

42, 38, 34, 30, ...

Questão 3. Qual o número que continua a sequência?

12, 24, 48, 96, ...

Questão 4. Qual o próximo número?

240, 120, 60, 30, ...

Questão 5. Determine o valor de x na sequência:

6, 7, 9, 12, 16, 21, x

Questão 6. Qual o valor de x na sequência?

3, 6, 8, 16, 18, 36, x

Questão 7. Determine o valor de x na sequência:

5, 8, 7, 10, 9, 12, 11, x

Questão 8. Encontre o valor de x:

2, 7, 17, 32, 52, x

Questão 9. Determine o próximo número da sequência:

4, 9, 15, 23, 34, ...

Questão 10. Determine o temo geral da sequência:

4, 9, 16, 25, 36, ...

Questão 11. Determine o termo geral da sequência:

-4, 9, -16, 25, -36, ...

Questão 12. Qual o termo geral da sequência?

5, 10, 17, 26, 37, ...

Resolução da questão 1

Observe que cada número corresponde ao seu antecessor mais 3:

Portanto, o próximo número da sequência é 31, já que 28 + 3 = 31.

Resolução da questão 2

Observe que cada número corresponde ao seu antecessor menos 4:

Portanto, o próximo número é 26, já que 30 - 4 = 26.

Resolução da questão 3

Observe que cada número corresponde ao seu antecessor multiplicado por 2

Portanto, o próximo número é 192, já que 96 × 2 = 192.

Resolução da questão 4

Observe que cada número corresponde ao seu antecessor dividido por 2:

Portanto, o próximo número é 15, já que 30 : 2 = 15.

Resolução da questão 5

Observe que há um padrão:

Portanto, x = 21 + 6 = 27.

Resolução da questão 6

Observe que há um padrão, multiplica-se por 2 e soma-se 2, de forma alternada.

Portanto, x = 36 + 2 = 38.

Resolução da questão 7

Observe que há um padrão, soma-se 3 e subtrai-se 1, de forma alternada.

Portanto, x = 11 + 3 = 14.

Resolução da questão 8

Observe que há um padrão:

Portanto, x = 52 + 25 = 77.

Resolução da questão 9

Nesse caso, o padrão é observado em uma segunda etapa.

Para saber qual o próximo número da primeira fileira, devemos saber, antes, qual o próximo número da segunda fileira.

Pelo padrão observado, na terceira fileira, o próximo número da segunda fileira é 15, pois 11 + 4 = 15.

Então, o próximo número da primeira fileira é 34 + 15 = 49.

Resolução da questão 10

Queremos identificar o termo geral da sequência:

4, 9, 16, 25, 36, ...

Observe que os termos são quadrados perfeitos. Então, podemos escrevê-la da seguinte forma:

2², 3², 4², 5², 6², ...

Agora, considerando apenas a base de cada potência, veja que cada uma delas corresponde a posição que ocupa na sequência somado ao número 1.

Podemos reescrevê-la como:

(1+ 1)², (2 + 1)², (3 + 1)², (4 + 1)², (5 + 1)², ...

Portanto, o termo geral é:

Resolução da questão 11

A diferença entre a sequência abaixo e a sequência do exercício anterior, é que nessa os termos de posição ímpar possuem sinal negativo.

-4, 9, -16, 25, -36, ...

Podemos reescrevê-la como:

Portanto, o termo geral é:

Resolução da questão 12

Queremos encontrar o termo geral da sequência:

5, 10, 17, 26, 37, ...

Observe que cada termos dessa sequência corresponde a um quadrado perfeito somado 1, isto é, 5 = 4 + 1, 10 = 9 + 1, 17 = 16 + 1, e assim por diante.

Então, podemos reescrevê-la como:

4 + 1, 9 + 1, 16 + 1, 25 + 1, 36 + 1, ...

Considerando o termo geral da sequência (4, 9, 16, 25, 36, ...), do exercício 10, o termo geral dessa outra sequência é:
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Lista de exercícios de sequência numérica

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Confira uma lista de exercícios resolvidos, passo a passo, sobre sequências numéricas, termo geral, lei de formação, e muito mais!

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Matemática Rio com Prof. Rafael Procopio

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Sequências Numéricas | Matemática do ENEM

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Progressão Geométrica: O que é? , classificação e soma da PG.

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Progressão Geométrica: O que é? , classificação e soma da PG.

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Progressão Geométrica no ENEM | Exercícios resolvidos de PG

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Concursos públicos - progressão geométrica 

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Concursos públicos - progressão geométrica 

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Matemática para Concursos: Progressão Geométrica(P.G) em Exercícios.

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OBMEP- progressão geométrica + Exercícios de fixação 

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OBMEP- progressão geométrica + Exercícios de fixação 

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Tudo sobre PG, tá bem completo😊

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A Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) é uma realização do Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA, e tem como objetivo estimular o estudo da Matemática e revelar talentos na área.

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Portal da OBMEP - Progressões Geométricas

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A Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) é uma realização do Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA, e tem como objetivo estimular o estudo da Matemática e revelar talentos na área.

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Progressão aritmética: O que é, termos e exemplos

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Progressão aritmética: O que é, termos e exemplos

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Tudo muito bem explicadinho🤗

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A progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica que utilizamos para descrever o comportamento de certos fenômenos na matemática. Em uma PA, o crescimento ou decrescimento é sempre constante, isto é, de um termo para o outro, a diferença será sempre a mesma, e essa diferença é conhecida como razão.

Como consequência do comportamento previsível de uma progressão, é possível descrevê-la a partir de uma fórmula conhecida como termo geral. Por esse mesmo motivo, é possível também calcular a soma dos termos de uma PA utilizando uma fórmula específica.
Leia também: Progressão geométrica - como calcular?
Tópicos deste artigo

O que é uma PA?

Entendendo que uma PA é uma sequência de termos em que a diferença entre um termo e o seu anterior é sempre constante, para descrever essa progressão a partir de uma fórmula, precisamos encontrar o termo inicial, ou seja, o primeiro termo de uma progressão, e a sua razão, que é essa diferença constante entre os termos.

De modo geral, a PA é escrita da seguinte forma:

O primeiro termo é o a 1 e, a partir dele, ao somar a razão r, vamos encontrar o termos sucessor.

...

Logo, para escrever a progressão aritmética, precisamos saber quem é o seu primeiro termo e qual a sua razão.

Exemplo:

Vamos escrever os seis primeiros termos de uma PA sabendo que seu primeiro termo é 4 e sua razão é igual a 2. Conhecendo a 1 =4 e r = 2, concluímos que essa progressão começa em 4 e vai aumentando de 2 em 2. Sendo assim, podemos descrever os seus termos.
Termo geral de uma PA
Essa PA é igual a (4,6,8,10,12,14 ...).

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Descrever a PA a partir de uma fórmula facilita que encontremos qualquer um dos seus termos. Para encontrar um termo qualquer de uma PA, utilizamos a seguinte fórmula:

N→ é a posição do termo;

a ₁ → é o primeiro termo;

r → razão.

Exemplo:

Encontre o termo geral da PA (1,5,9,13,...) e o 5º, 10º e 23º termo.

1º passo: encontrar a razão.

Para encontrar a razão, basta calcular a diferença entre dois termos consecutivos: 5 - 1 = 4; então, nesse caso, r = 4 .

2º passo: encontrar o termo geral.

Como sabemos que a ₁= 1 e r = 4, vamos substituir na fórmula.

a n= 4n - 3 → termo geral da PA

3º passo: conhecendo o termo geral, vamos calcular o 5º, 10º e 23º termo.

Tipos de progressões aritméticas

Existem três possibilidades para uma PA. Ela pode ser crescente, decrescente ou constante.

Como o nome sugere, uma progressão aritmética é crescente quando, à medida que os termos vão aumentando, o valor deles também aumenta, ou seja, o segundo termo é maior que o primeiro, o terceiro é maior que o segundo e assim sucessivamente.

Para que isso aconteça, a razão precisa ser positiva, ou seja, uma PA é crescente se r > 0.

Exemplos:

(2,3,4,5,6,7,8,9 ...)
(0,5,10,15,20,25...)

Como o nome sugere, uma progressão aritmética é decrescente quando, à medida que os termos vão aumentando, o valor deles vai diminuindo, ou seja, o segundo termo é menor que o primeiro, o terceiro é menor que o segundo e assim sucessivamente.

Para que isso aconteça, a razão precisa ser negativa, ou seja, uma PA é crescente se r < 0.

Exemplos:

(10,9,8,7,6,5,4,3,2, ...)
(0, -5, -10, -15, -20, ...)

Uma progressão aritmética é constante quando, à medida que os termos vão aumentando, o valor continua o mesmo, ou seja, o primeiro termo é igual ao segundo, que é igual ao terceiro e assim sucessivamente.

Para que uma PA seja constante, a razão precisa ser igual a zero, ou seja, r = 0.
Veja também: Produto dos termos de uma PG - qual é a fórmula?
Exemplos:

(1,1,1,1,1,1,1....)
(-2, -2 -2, -2, ...)

Propriedades de uma PA

Dado um termo qualquer de uma PA, a média aritmética entre seu sucessor e antecessor é igual a esse termo.

Exemplo:

Considere a progressão (-1, 2 , 5, 8, 11) e o termo 8. A média entre 11 e 5 é igual a 8, ou seja, a soma do sucessor com o antecessor de um número na PA sempre é igual a esse número.

A soma de termos equidistantes é sempre igual.

Exemplo:

Soma dos termos de uma PA

Suponha que queiramos somar os seis termos da PA mostrada anteriormente: (16,13,10,7,4,1). Podemos simplesmente somar os seus termos - nesse caso em que há poucos termos, é possível -, mas se for uma sequência maior, convém utilizar a propriedade. Sabemos que a soma de termos equidistantes é sempre igual, como vimos na propriedade, então, se realizarmos essa soma uma vez e multiplicarmos pela metade da quantidade de termos, teremos a soma dos seis primeiros termos da PA.

Note que, no exemplo, estaríamos calculando a soma do primeiro com o último, que é igual a 17, multiplicada pela metade da quantidade de termos, ou seja, 17 vezes 3, que é igual a 51.

A fórmula da soma dos termos de uma PA foi desenvolvida pelo matemático Gauss, que percebeu essa simetria nas progressões aritméticas. A fórmula é escrita da seguinte forma:

S n → soma dos n elementos

a ₁ → primeiro termo

a n → último termo

n → quantidade de termos
Resolução:
Exemplo:

Calcule a soma dos números ímpares de 1 até 2000.

Sabemos que essa sequência é uma PA (1,3,5, .... 1997, 1999). Realizar a soma seria bastante trabalhoso, logo a fórmula é bastante conveniente. De 1 até 2000, metade dos números são ímpares, logo há 1000 números ímpares.
Acesse também: Soma de uma PG finita - como fazer?
Dados:

n→ 1000

Interpolação de meios aritméticos

Conhecendo dois termos não consecutivos de uma progressão aritmética, é possível encontrar todos os termos que estão entre esses dois números, o que conhecemos como interpolação de meios aritméticos.

Exemplo:

Vamos interpolar 5 meios aritméticos entre 13 e 55. Isso significa que há 5 números entre 13 e 55 e que eles formam uma progressão.

(13, ___,___,___,___,___, 55).

Para encontrar esses números, é necessário encontrar a razão. Conhecemos o primeiro termo (a ₁ = 13) e também o 7º termo (a ₇= 55), mas sabemos que:

Quando n = 7 → a n= 55. Também conhecemos o valor de a ₁=13. Assim, substituindo na fórmula, temos que:

55 = 13 + r ·( 7 - 1 )

55 = 13 + 6r

55 - 13 = 6r

42 = 6r

r = 42:6

r = 7.

Conhecendo a razão, podemos encontrar os termos que estão entre 13 e 55.

13 + 7 = 20

21 + 7 = 27

28 + 7 = 34

35 + 7 = 41

41 + 7 = 49

(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
Resolução
Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Enem 2012) - Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas.

A quantidade de cartas que forma o monte é:

Alternativa B.

Primeiro vamos calcular o total de cartas que foram usadas. Estamos trabalhando com uma PA cujo primeiro termo é 1 e a razão também é 1. Então, calculando a soma das 7 fileiras, o último termo é 7 e o valor de n também é 7.

Sabendo que o total de cartas usadas foram 28 e que há 52 cartas, o monte é formado por:

52 - 28 = 24 cartas
Resolução
Questão 2 - (Enem 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea que se inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de 20 metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1.380 metros da praça.

Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8.000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é:

A) R$512 000,00.
B) R$520 000,00.
C) R$528 000,00.
D) R$552 000,00.
E) R$584 000,00.

Alternativa C.

Sabemos que serão colocados postes de 20 em 20 metros, ou seja, r = 20, e que o primeiro termo dessa PA é 80. Além disso, sabemos que o último termo é 1380, porém, não sabemos quantos termos existem entre 80 e 1380. Para calcular essa quantidade n de termos, vamos utilizar a fórmula do termo geral.

Serão colocados 660 postes. Se cada um custará no máximo R$ 8.000, o maior valor que poderá ser gasto com a colocação desses postes é:

66· 8 000 = 528 000

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Progressão aritmética (PA): o que é, termos, exemplos - Brasil Escola

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Entenda o que é uma progressão aritmética, bem como aprenda a encontrar o seu termo geral e a calcular a soma de todos os termos.

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Matemática para concursos públicos - Progressão Aritmética - Parte 01

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OBMEP- progressão aritmética + exercícios de fixação 

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OBMEP- progressão aritmética + exercícios de fixação 

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Portal da OBMEP - Progressões Aritméticas

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Além da sequência numérica, temos a famosa sequência de Fibonacci

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O que é a sequência de Fibonacci e por que é chamada de 'código secreto da natureza'