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Blake and fractals

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William Blake disse che paesaggi
Scorgeva infiniti
Di sabbia nel più piccolo grano
Contenuto nel cavo della mano
Ciascuno di noi trova esempi di ciò
Nell’opera di Mandelbrot:
I diagrammi frattali partecipano
Dell’essenza da Blake presentita.
Sempre la forma essenziale
Prevale prescindendo dalla scala:
E le particolari segnature
Da vicino e da lontano sono chiare.
Ingrandito il punto che avevi,
Quello stesso punto ritrovi.
E se ancora e ancora ingrandisci
Gli stessi dettagli riconosci;
Più fine del più fine capello
Ecco di Blake l’infinito,
Ricco di particolari a ogni livello
Come il mistico poeta aveva capito.
Jasper Memory
Blake and Fractals, 1990

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Comportamento collettivo esempio frattali ALESSANDRO SERRI

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Comportamento collettivo esempio frattali ALESSANDRO SERRI

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Il comportamento collettivo descrive il movimento di un gruppo di animali della stessa specie, che interagiscono tra di loro, coordinando le azioni del singolo con le azioni del gruppo.Una dimostrazione di frattale riscontrato in natura è lo stormo di uccelli.

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L'insieme di Mandelbrot (d'ora in poi indicato con M) è un luogo geometrico del piano complesso; più precisamente è l'insieme dei punti di tale piano che soddisfano la legge di Mandelbrot: Un punto c del piano complesso appartiene all'insieme se la successione definita ricorsivamente dalla formulaz(n+1) = z(n)*z(n) + c
con z(0) = 0non
diverge.

Cosa ha di speciale questo insieme?  E' presto detto: la sua frontiera (cioè il suo perimetro) è una curva frattale, uno dei frattali più complessi che si conoscano.La figura  mostra M nella sua interezza: i punti dell'insieme sono quelli di colore nero all'interno della grossa cardioide mentre gli altri colori sono usati per indicare le diverse velocità con cui la successione diverge, come spiegato più avanti.

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leonhard hrel, detto eulero contribui allo studio dei numeri complessi dando luce alla formula di eulero.
la formula dice che per un numero x si ha:
e^ix=cosx+i sinx
gauss invece contribui inventando il piano di gauss, un diagramma cartesiano nel quale si possono inserire i numeri complessi .
un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia, ovvero si ripete nella stessa forma anche su scale diverse,compare spesso nello studio dei sistemi dinamici e viene descritto in equazioni con l'ausilio di numeri complessi come l'insieme di mandelbort descritto dall equazione:
a+1=a^2+p
con a e p numeri complessi

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Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot nel libro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento "caotico", e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione;Dare una definizione soddisfacente di questi stranissimi enti matematici non è affatto facile: non ci è riuscito nemmeno il loro scopritore!  In prima approssimazione possiamo affermare che una curva si dice frattale se ha la proprietà dell'autosimilitudine: ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso del precedente; questo procedimento di "zoom" può proseguire all'infinito.  Da ciò derivano due curiose caratteristiche delle curve frattali:

pur essendo continue non ammettono una tangente unica in alcun punto;

presi due punti della curva, anche vicinissimi tra loro, la distanza fra essi (misurata lungo la curva) è sempre infinita.

Quest'ultimo fatto lo possiamo facilmente verificare per il fiocco di neve appena visto.  Ad ogni iterazione la lunghezza della curva cresce di un fattore 4/3: se il segmento di partenza ha lunghezza pari a 1, il secondo misura 4/3, il terzo 16/9, il quarto 64/27 e così via.  Questa successione è chiaramente divergente, cioè tende ad assumere un valore infinito.  Ma non è tutto: ogni pezzo del fiocco di neve, anche piccolissimo, gode della proprietà dell'autosimilitudine cioè contiene in sé un'infinita ricchezza di particolari, di minuscoli fiocchi di neve, e quindi anch'esso è di lunghezza infinita.

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In matematica, la formula di Eulero è una formula nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero.La formula di Eulero afferma che, per ogni numero reale si ha
e'x=cosx+isinx
dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche.Si tratta di una relazione usata per rappresentare i numeri complessi in coordinate polari, e che permette la definizione del logaritmo per argomenti complessi. La rappresentazione della funzione eix nel piano complesso è un cerchio unitario, e x è l'angolo che un segmento che collega l'origine a un punto del cerchio unitario forma con l'asse reale positivo, misurato in senso antiorario e in radianti.La formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale.

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Un famoso aneddoto narra che a nove anni di età, quando andava a scuola, il suo insegnante, J.G. Buttner, per tenere buona la classe, ordinò agli alunni di fare la somma di tutti i numeri da 1 a 100. Poco dopo, il giovanissimo Carl diede per primo la risposta esatta, sorprendendo l'insegnante. Non si è certi di quale metodo abbia adottato Gauss per risolvere il problema; presumibilmente, egli si era accorto che, mettendo in una riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101: Carl fece dunque il prodotto 100 x 101 e divise per 2, ottenendo facilmente il risultato.Gauss era particolarmente dotato nell'effettuare a mente conti molto complicati. Si dice che si divertisse a cercare numeri primi in un intervallo di mille numeri appena aveva del tempo libero. Dopo aver calcolato l'orbita di Cerere gli fu chiesto come avesse fatto a ottenere valori numerici così accurati. Rispose: "Ho usato i logaritmi". L'interlocutore gli chiese allora dove avesse trovato tabelle dei logaritmi che arrivavano fino a numeri così grandi. La replica di Gauss fu: "Tabelle? Li ho calcolati a mente!"
ALESSANDRO SERRI

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Gauss - Somma dei primi100 numeri naturali

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Il piano di Gauss, chiamato anche piano complesso,  può essere definito anche come un piano cartesiano leggermente modificato,in quanto nel piano la parte reale è rappresentata sull'asse x, e la parte immaginaria è rappresentata sull'asse y. L'asse x è chiamato anche l'asse reale e l'asse y asse immaginario.Il piano chiamato anche piano di Argand per il suo uso nei diagrammi di Argand.Il concetto del piano complesso consente una interpretazione geometrica dei numeri complessi. Nell'addizione, i numeri complessi si sommano come vettori, mentre la moltiplicazione di numeri complessi può essere espressa usando le coordinate , dove il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli dei fattori e l'argomento del prodotto è la somma degli angoli dei fattori.Il numero complesso può essere diviso in parte reale e immaginaria, in cui x e y sono numeri reali e la i è l'unità immaginaria. Appare infine il numero complesso z corrisponde al punto (x,y) del piano cartesiano.

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Riuscì a costruire un eptadecagono, inventò l’aritmetica modulare e scoprì, inoltre, che tutti i numeri naturali sono rappresentabili al più come somma di tre numeri triangolari.

Nel 1799 l’astronomo italiano Giuseppe Piazzi scoprì l’asteroide Cerere, ma lo poté seguire solo per alcuni giorni perché scomparve dietro la Luna. Gauss, che era nascosto dietro una tenda arabescata, calcolò il punto esatto in cui il corpo celeste sarebbe riapparso. Cerere, dopo qualche mese, fece capolino proprio nel punto indicato da Gauss.

Pare che avesse scoperto prima di altri colleghi i fondamenti della geometria non euclidea, ma che si fosse rifiutato di diffonderli per paura di dover affrontare le enormi discussioni che avrebbe sollevato.

E Come racconta Isaac Asimov, un giorno Gauss venne interrotto mentre stava risolvendo un problema numerico. Sua moglie stava morendo. Avrebbe risposto: “Ditele di aspettare finché non ho finito”.

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L’insieme di Cantor è un frattale.
è “autosimilare”, cioè ogni parte contiene il tutto. Possiamo quindi dire che ogni parte dell’insieme di Cantor, per quanto piccola, possiede tanti punti quanto il tutto e che qualunque dettaglio, se ingrandito con un apposito fattore , è una copia esatta del tutto

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è uno dei frattali più popolari, è l'insieme dei numeri complessi C.
l'insieme ha una forma complessa il cui contorno è un frattale.
e come possiamo notare da questa gif i frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all'infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale.

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Il fiocco di neve: il fiocco di neve frattale è anche conosciuto come merletto di Koch perché la costruzione geometrica di questa figura è stata presentata per la prima volta da H. von Koch.

La foglia di felce: la foglia di felce è uno degli esempi più esilaranti della presenza della geometria frattale in natura: la sua struttura infatti, si ripete nelle foglie più piccole che compongono quella grande.

Le chiocciole: il guscio della chiocciola è un altro esempio di frattale in natura. Il modello sul quale questo elemento si basa è la spirale che venne presa in considerazione per la prima volta da Archimede che scrisse un trattato intitolato “Sulle Spirali”.

La foglia di platano: in natura esistono un’immensa quantità di foglie strutturate secondo uno schema geometrico frattale e quella di platano è una di esse. Attraverso l’uso di quadrati si può riprodurre la foglia di platano con la geometra frattale.

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Johann Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30 aprile 1777 – Gottinga, 23 febbraio 1855) è stato un matematico, astronomo e fisico tedesco. Egli si mostrò un genio sin da bambino, infatti secondo la leggenda, all’età di tre anni il piccolo Gauss avrebbe corretto un errore del padre nel calcolo delle sue finanze. Un altro aneddoto racconta che a nove anni di età, quando andava a scuola, il suo insegnante, J.G. Büttner, per mettere a tacere i turbolenti allievi, ordinò loro di fare la somma di tutti i numeri da 1 a 100. Pochi secondi dopo, il giovanissimo Johann Carl Friedrich diede la risposta esatta (5050). L’insegnante fu talmente sorpreso che diede in escandescenze e i ragazzi, per calmarlo, dovettero dargli delle cifre da sommare. Il piccolo genio si accorse che la somma dei numeri agli estremi della serie dà sempre 101 (1+100, 2+99 fino a 50+51). Insomma 50 coppie che sommate danno 101. Bastava insomma una semplice moltiplicazione (50×101) per ottenere la risposta esatta: 5050, appunto. Gauss diede il suo contributo in molti campi della scienza a partire dall’astronomia per arrivare allo studio dei numeri complessi.  Essi infatti si rappresentano non sul piano cartesiano ma sul “piano di Gauss” dove le ascisse sono la parte reale del numero mentre le ordinate sono la parte immaginaria. Un altro personaggio che studiò i numeri complessi fu Eurelo. In matematica, la formula di Eulero è una formula nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero. Essa è stata provata per la prima volta da Roger Cotes nel 1714 e poi riscoperta e resa celebre da Eulero nel 1748. Nessuno dei due vide l'interpretazione geometrica della formula: la visione dei numeri complessi come punti nel piano arrivò solo circa 50 anni dopo, per opera di Caspar Wessel, Argand e Gauss.

La formula di Eulero afferma che, per ogni numero reale{\displaystyle x} si ha:

e 𝑗𝑧 = cos 𝑧 + 𝑗 sen 𝑧 ,

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche.

Molto importanti per lo studio dei numeri complessi sono i fratalli guardiamone l’etimologia:

Frattale agg. e s. m. [dal fr. fractal (termine introdotto nel 1975 dal matematico fr. B. Mandelbrot), der. del lat. fractus, part. pass. di frangĕre «spezzare» (v. fratto)]. – In matematica, denominazione di particolari enti geometrici (oggetti f. o assol. frattali) che possono essere caratterizzati da un numero non intero (cioè frazionario: e di qui il nome) di dimensioni, e quindi risultare, per es., intermedî tra quelli unidimensionali (linee) e quelli bidimensionali (superfici); sono solitamente definiti per mezzo di procedure ricorsive, e godono di determinate proprietà di scala, per cui rappresentazioni in scale diverse di uno stesso oggetto frattale presentano similitudini strutturali: in altri termini, se si ingrandisce con un opportuno fattore di scala una porzione comunque piccola dell’oggetto, si manifestano caratteristiche strutturali che riproducono quelle dell’oggetto non ingrandito.

Ai giorni nostri, l'inadeguatezza della geometria euclidea nella descrizione nella natura è un dato difficilmente contestabile. Dalla fine del XIX secolo la scienza si è orientata verso lo studio di sistemi complessi: basti pensare allo sviluppo eccezionale che ha avuto la teoria quantomeccanica o quella della relatività. Queste due teorie dimostrano come la ricerca non sia più legata all'immediata comprensibilità da parte dell'uomo. Questa tendenza alla complessità, può essere bene esemplificata appunto dai frattali, figure geometriche complesse e caotiche determinate per approssimazione di una funzione ricorsiva: noi non potremo mai sapere come sia la figura finale che ha le proprietà di un frattale, ma dovremo limitarci ad un'approssimazione, che può essere indicativa ma non è il frattale. Queste problematiche hanno dato l'avvio allo studio del "caos deterministico", cioè di situazioni di disordine ottenute però da processi matematico-fisici deterministici. Curiosità:            nella fisiologia umana possiamo individuare strutture riconducibili ai frattali: tra queste, i vasi sanguigni, le fibre nervose e le strutture canalizzate.
Da studi e misurazioni effettuati sul polmone umano e di altre specie di mammiferi è risultato che dette misurazioni mostrano i rapporti tipici di oggetti frattali. Anche se i vari organi assolvono a funzioni differenti, la loro struttura frattale consente di comprimere nel minimo spazio grandi capacità di estensione: se si pensa che la capacità respiratoria di un animale è direttamente correlata alla superficie dei suoi polmoni, e che questi, in un individuo normale, occupano uno spazio grande quasi come un campo da tennis, si comprende quanto efficace sia stata la scelta "frattale" fatta dalla natura per lo sviluppo dei nostri organi.

Il feto, secondo un’ipotesi ormai accreditata presso molti studiosi, sembra seguire una dinamica frattale nel suo processo di sviluppo e, inoltre, come non pensare ai frattali quando si guarda la doppia elica dei filamenti del DNA presente in ogni parte del nostro corpo?

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Un contributo fondamentale nella comprensione della transizione vetrosa è stato fornito dalla ricerca del fisico Giorgio Parisi
Grazie a complesse simulazioni al computer e a calcoli numerici, gli autori dello studio hanno elaborato un modello matematico in grado di rappresentare per la prima volta in modo realistico, la struttura interna del vetro.

L’importanza di questo risultato è dovuta al fatto che il vetro, a differenza di altri solidi ha una struttura interna caratterizzata dalla mancanza di ordine tra le molecole che lo costituiscono e dalla instabilità del sistema nei diversi stati della materia

Gli autori dello studio sono partiti dal comportamento delle molecole durante la transizione vetrosa. Man mano che il liquido si raffredda, i movimenti delle molecole diventano sempre più limitati, fino al punto di non potersi allontanare dalla loro posizione.

È stato dimostrato che nei materiali vetrosi le molecole si organizzano in una gerarchia frattale di stati, ovvero secondo i modelli matematici utilizzati per rappresentare realtà complesse nel mondo naturale come i profili di una montagna o di una costa, le nuvole, e addirittura le galassie.
Per descrivere un paesaggio energetico semplice nei vetri i ricercatori hanno fatto ricorso all’immagine degli stagni comunicanti. Quando l'acqua è alta (metafora della temperatura elevata) le particelle si muovono a loro piacimento da stagno a stagno senza problemi. Ma come il livello dell'acqua inizia ad abbassarsi (quindi la temperatura scende), le particelle rimangono intrappolate in uno dei piccoli stagni. Alla fine quando gli stagni si svuotano, le molecole rimangono congelate in configurazioni disordinate e rigide.
I ricercatori si sono chiesti a lungo che "forma" avessero esattamente i paesaggi di energia di vetro in fondo agli “stagni” e hanno dimostrato che il fondo di questi “stagni” è fortemente corrugato e descrivibile da una teoria frattale.

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i frattali sono ovunque in natura. Sono un modo compatto per descrivere la complessità del sistema naturale, incluso i corpo umano.

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Impressionante. Così su Gazza Golosa avevamo definito il programma di Madrid Fusion, visto il numero (e il valore) degli chef invitati a discutere di Post Avant- Garde, il nuovo corso della creatività. E la quattordicesima edizione della rassegna spagnola ha mantenuto le promesse con l’invito a tornare alle origini dell’evoluzione umana narrate nel video di presentazione.

Marcial ovvero Marziale (il termine francese avant-garde deriva dal linguaggio militare e indica il reparto che apre il cammino agli altri) è un uomo primitivo che trasforma il suo modo di nutrirsi “osservando, pensando e creando”, accompagnato e raccontato dalla voce fuori campo di Ferran Adrià. In un gioco di parole e di metafore, tra la scoperta e la creazione di strumenti per cucinare e giocare, il grande chef si domanda se anche in futuro si creerà nella stessa maniera.
Un originalissimo spunto è quello di Susi Diaz de La Finca, una delle poche chef donna presenti al congresso, stupisce con un intervento che parla di cucina dei frattali. Un frattale – come recita Wikipedia – è un oggetto geometrico che si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all’originale. Susi prepara un riso nero con verdure e polpo e, quando ha finito, sorprende tutti domandando se questo è la fine o l’inizio del piatto… Così, attraverso un video, dimostra come in realtà si tratti della base per altri 11 piatti – zuppa, bon bon, gelato, fritti… – perché anche “la cucina può avere infinite facce con un solo ingrediente”.

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L'analisi del comportamento caotico si basa sulla teoria matematica dei frattali: un frattale è una struttura geometrica irregolare che può essere suddivisa in elementi, ciascuno dei quali riproduce approssimativamente l'intero oggetto.
Inoltre, ogni frattale è caratterizzato dalla dimensione frattale definita come la capacità del frattale stesso a riempire lo spazio in cui è immerso.

I sistemi dinamici caotici sono caratterizzati dalla presenza di un attrattore strano nello spazio degli stati
Un attrattore è un oggetto frattale cui è associata una dimensione frattale.

Uno strumento potente per descrivere il comportamento dei sistemi caotici è lo spazio degli stati, che consente di rappresentare il comportamento in forma geometrica utilizzando il metodo delle Return Map. Una Return Map è uno strumento grafico che riporta in ascisse i valori delle registrazioni EGG ad un tempo T, e sulle ordinate i valori delle registrazioni al tempo T+t (t è il tempo di ritardo). Una Return Map è, quindi, un supporto grafico che permette un'analisi visiva del comportamento del sistema in esame.

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I grandi romanzi? Hanno dentro dei frattali

Sorprendentemente, opere che hanno fatto la storia delle letteratura hanno frasi organizzate secondo una struttura geometrica "a frattali". Anche la Bibbia

Brutte notizie per gli umanisti che odiano la matematica. Non se ne esce: anche nei grandi romanzi si nascondono oggetti matematici come i frattali – e, in quelli che sono basati sul flusso di coscienza, addirittura multifrattali.

Un’analisi statistica effettuata presso L’Istituto di fisica nucleare dell’Accademia polacca delle scienze ha infatti rivelato che, indipendentemente dalla lingua usata, grandi romanzi di autori internazionali come James Joyce, Julio Cortazar, Marcel Proust, Henryk Sienkiewicz e Umberto Eco (ovviamente di Eco hanno studiato Il nome della rosa) sono accomunati nella scrittura dalla costruzione di strutture frattali, ossia figure che si ripetono a cascata su scale diverse. E non solo, certe volte si trovano pure forme molto più complesse che in matematica sono conosciute come multifrattali, ovvero frattali di frattali.

I frattali sono oggetti matematici auto-simili: andando a guardare nel dettaglio un frammento di un frattale, la forma che emerge è identica a quella del particolare da cui si è partiti. I più famosi frattali sono quelli di Sierpinski o di Mandelbrot e sono detti monofrattali, il che significa che, quando si allarga, si ottiene l’effetto di ritrovare la forma originale muovendosi sempre con lo stesso ritmo in ogni parte del frattale. Ci sono poi i multifrattali, che nascono da intrecci di frattali e che, per dare luogo a questo stesso effetto, devono essere trattati allargando con velocità diverse in diversi punti.

Come si legge sulla rivista Information Sciences, i fisici di Cracovia hanno compiuto un’analisi statistica di oltre cento famose opere della letteratura mondiale, in diverse lingue e di diversi generi andando alla ricerca di correlazioni nella variazione delle lunghezze delle frasi ed è qui che sono emerse le dinamiche delle cascate.  Le 113 opere considerate erano scritte in inglese, francese, tedesco, italiano, polacco, russo e spagnolo da scrittori come Honoré de Balzac, Arthur Conan Doyle, Julio Cortazar, Charles Dickens, Dostoevskij, Alexandre Dumas, Umberto Eco, George Elliot Victor Hugo, James Joyce, Thomas Mann, Marcel Proust, Wladyslaw Reymont, William Shakespeare, Henryk Sienkiewicz, JRR Tolkien, Lev Tolstoj e Virginia Woolf. Ogni opera non aveva meno di 5mila parole (al fine di garantire l’affidabilità statistica).

I romanzi sono stati trasfigurati in senso matematico convertendo ogni frase nel numero delle sue parole e poi gli scienziati sono andati alla ricerca di relazioni (come per esempio una legge lineare). La domanda che si ponevano è: se una frase di una data lunghezza era x volte più lunga di un’altra, lo stesso rapporto era conservato quando si guardava a frasi più lunghe (o più corte)?
“Tutti i testi esaminati hanno mostrato auto-similarità in termini di organizzazione delle lunghezze delle frasi. Alcuni erano più espressivi, come per esempio Gli ambasciatori di Henry James. Le correlazioni erano evidenti e quindi in questi testi c’era la costruzione di un frattale”, ha spiegato Pawel Oswiecimka, che ha anche però sottolineato che, ovviamente, la frattalità di un testo letterario non sarà mai perfetta come quella nel mondo della matematica, dove è invece possibile andare a ingrandire all’infinito.

Più di una dozzina di opere hanno rivelato una struttura mutifrattale e quasi tutte appartenevano a genere del flusso di coscienza (con Finnegans Wake di Joyce più multifrattale di tutti). Anche la Bibbia, in particolare l’Antico Testamento, era molto multifrattale, così come L’opera struggente di un formidabile genio di Dave Eggers, Rayuela di Julio Cortazar, The Usa. Trilogy di John Dos Passos, Le Onde di Virginia Woolf, 2666 di Roberto Bolano, e l’Ulisse di Joyce. In alcune opere chiaramente basate sul flusso di coscienza, Atlas Shrugged di Ayn Rand e A la recherche du temps perdu di Marcel Proust, invece, la struttura multifrattale era appena percepibile.

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Un esempio di frattale molto famoso è, inoltre, la curva di Koch:
ASSOMIGLIA AD UN FIOCCO DI NEVE!!!!

Molti matematici infatti utilizzano l’equazione alla base di questa curva per studiare la forma dei fiocchi, riuscendo a ricavare informazioni dettagliate sul clima e sulle previsioni meteorologiche

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Al variare di w si possono presentare le due seguenti situazioni:

• i punti della successione z1, z2, ... rimangono tutti in un intorno dell’origine;

• i punti della successione z1, z2, ... si allontanano definitivamente dall’origine e tendono all’infinito.

I punti liberi, cioè quelli che si allontanano verso l’infinito, formano l’insieme dei punti di fuga, gli altri formano l’insieme prigioniero o prigione. La forma della prigione dipende dalla scelta di w. L’insieme di fuga e l’insieme prigione sono separati da una frontiera detta insieme di Julia. Sono punti di fuga quelli che si trovano a una distanza maggiore o uguale a 2 dall’origine; sono punti prigionieri quelli che si trovano a una distanza minore di 2 dall’origine. L’insieme di Mandelbrot è costituito dai punti w per i quali si ottengono insiemi di Julia connessi. Tale insieme permette pertanto di indicizzare gli insiemi di Julia. A ogni punto w del piano complesso corrisponde un diverso insieme di Julia che risulta connesso se w appartiene all’insieme di Mandelbrot, non connesso se non vi appartiene.

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Un aneddoto racconta che a nove anni di età, quando Gauss andava a scuola, il suo insegnante, J.G. Büttner, per mettere a tacere i turbolenti allievi, ordinò loro di fare la somma di tutti i numeri da 1 a 100. Pochi secondi dopo, il giovanissimo Johann Carl Friedrich diede la risposta esatta. L’insegnante fu talmente sorpreso che diede in escandescenze e i ragazzi, per calmarlo, dovettero dargli delle cifre da sommare. I dettagli della storia sono però assai incerti: qualcuno ritiene che Gauss si sia accorto che, mettendo in una riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101. Fatto questo, chiese all’assistente dell’insegnante la soluzione. Recenti studi ipotizzano però che Gauss quel giorno fosse assente a causa degli orecchioni.

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Lo studio della geometria frattale inizia con Mandelbrot verso l'inizio del ventesimo secolo. Negli insiemi frattali ad ogni numero viene associato un colore. La formula con cui viene generato l'insieme di Mandelbrot è la seguente:      Z= z^2 + c.

Si tratta di una parabola traslata rispetto all'origine di un termine noto c. L'incognita è indicata con z perché questa è la lettera che usualmente i matematici usano per i numeri complessi. Il frattale di Mandelbrot è definito in un piano semicomplesso (due assi sono per la parte reale ed immaginaria dei numeri, e la rappresentazione avviene grazie all'uso di colori diversi). Il modo di procedere può essere molto brevemente descritto nel modo seguente: per ogni punto X del piano complesso, si pone c = X, e poi, a partire da z = 0 + i*0, si calcola Z con la formula descritta sopra.

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La finanza frattale è l'applicazione di metodi, modelli e tecniche propri della geometria frattale all'analisi delle complesse dinamiche dei mercati finanziari.
Nella prima metà degli anni sessanta, i primi lavori di Mandelbrot evidenziarono la natura turbolenta dei mercati, costituiti da  sistemi dinamici estremamente complessi.
Le formulazioni originali di Mandelbrot, ancora non giunte a completa maturazione, vennero lasciate cadere all'inizio della decade successiva, anche a causa dell'amplissima diffusione raggiunta dalle teorie finanziarie ormai classiche .

È soltanto negli anni novanta che l'evoluzione delle teorie finanziarie di Mandelbrot e la crescente popolarità della modellistica frattale, unite al verificarsi di alcuni crolli dei mercati ,portarono ad una rinascita dell'interesse per la finanza frattale. Tale rinascita è avvenuta nel quadro dello sviluppo di una nuova branca della scienza chiamata econofisica.

Mandelbrot, analizzando le fluttuazioni giornaliere del prezzo del cotone venduto a New York nei cento anni precedenti, ritrovò ripetizioni di andamenti simili del suddetto prezzo in periodi diversi. Un chiaro esempio di presenza di geometria frattale in economia può essere osservato inoltre analizzando la rete di trasferimento quotidiano di denaro fra banche.

In Giappone, ad esempio, tutti questi trasferimenti interbancari di denaro avvengono tramite una speciale rete informatica fornita dalla Banca del Giappone, la quale registra ed analizza i dati dettagliati del trasferimento di denaro effettivo tra le banche. La quantità totale di flusso di denaro tra le banche giapponesi in un giorno è di circa 30 mila miliardi di yen, con un numero di transazioni giornaliere pari a circa 10 mila. Analizzando la corrispondenza fra queste due grandezze si può osservare un comportamento molto simile al caso precedente del prezzo del cotone.

Le tendenze irregolari dell’andamento della borsa sono raggruppate per dimensioni: le grosse variazioni arrivano in rapida successione seguite da sequenze di piccole variazioni. Il comportamento della borsa è quindi una struttura frattale.

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L'insieme di Mandelbrot è un luogo geometrico del piano complesso, ovvero è l'insieme dei punti di tale piano che soddisfa la legge di Mandelbrot:
z{n+1}= z^2 + c, con z{0}=0.
Iterando la formula per ogni punto del piano complesso è possibile suddividere i punti in due categorie:
- i punti che appartengono all'insieme;
- i punti che non appartengono all'insieme.
I valori Z{n} ottenuti dal processo di iterazione descrivono un percorso, chiamato "orbita", sul piano complesso. Quindi è possibile immaginare il procedimento di calcolo con cui si verifica l'appartenenza di un punto C all'insieme:
- se l'orbita va all'infinito significa che la serie diverge e quindi C non appartiene all'insieme;
- se l'orbita non va all'infinito e quindi la serie non diverge, allora C appartiene  all'insieme.
E' impossibile calcolare un'orbita completa, perchè questa è costituita da un numero infinito di punti Z{n} e quindi richiederebbe un numero infinito di interazioni per essere calcolata. Però è possibile dimostrare che se il modulo di Z{n} diventa superiore a 2, allora l'orbita diverge. Grazie a questo risultato possiamo riconoscere i punti che non appartengono all'insieme perchè la loro orbita esce dal cerchio di raggio 2.

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In matematica, la formula di Eulero è una formula nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero.

La formula di Eulero afferma che, per ogni numero reale {x} si ha

e^{ix}=cos x+isin x

dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche.

Si tratta di una relazione usata per rappresentare i numeri complessi in coordinate polari, e che permette la definizione del logaritmo per argomenti complessi. La rappresentazione della funzione e ix nel piano complesso è un cerchio unitario, e x è l'angolo che un segmento che collega l'origine a un punto del cerchio unitario forma con l'asse reale positivo, misurato in senso antiorario e in radianti.
La formula di Eulero dà origine ad un'identità considerata tra le più affascinanti della matematica, nota come identità di Eulero, che mette in relazione tra loro cinque simboli che sono alla base dell'analisi matematica: e, i, π, 1 e 0:

e^(i*π)+1=0

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I numeri complessi si rappresentano sul piano di Gauss, che non è altro che un piano con due assi dove la parte reale è rappresentata sull'asse x e la parte immaginaria è rappresentata sull'asse y. L'asse x è chiamato anche l'asse reale e l'asse y asse immaginario.  La sua creazione è generalmente attribuita a Jean-Robert Argand, in parallelo con Gauss: per non sminuire uno o l'altro matematico viene anche definito Piano di Argand-Gauss anche se fu descritto per la prima volta nel 1799 dal matematico norvegese-danese Caspar Wessel.

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Lo studio della geometria frattale inizia con Mandelbrot verso l'inizio del ventesimo secolo. Negli insiemi frattali ad ogni numero viene associato un colore. La formula con cui viene generato l'insieme di Mandelbrot è la seguente:      Z= z^2 + c.

Si tratta di una parabola traslata rispetto all'origine di un termine noto c. L'incognita è indicata con z perché questa è la lettera che usualmente i matematici usano per i numeri complessi. Il frattale di Mandelbrot è definito in un piano semi-complesso (due assi sono per la parte reale ed immaginaria dei numeri, e la rappresentazione avviene grazie all'uso di colori diversi). Il modo di procedere può essere molto brevemente descritto nel modo seguente: per ogni punto X del piano complesso, si pone c = X, e poi, a partire da z = 0 + i*0, si calcola Z con la formula descritta sopra.

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In analisi complessa, il piano complesso (chiamato anche piano di Argand-Gauss) è un modo per visualizzare lo spazio dei numeri complessi. Può essere pensato come un piano cartesiano modificato, con la parte reale rappresentata sull'asse X e la parte immaginaria rappresentata sull'asse Y. L'asse X è chiamato anche l'asse reale e l'asse Y asse immaginario.

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Gauss era un bambino prodigio. Esistono diversi aneddoti riguardo alla sua precocità; per esempio, Gauss, almeno secondo la leggenda, a 3 anni avrebbe corretto un errore del padre nel calcolo delle sue finanze.

Un altro aneddoto, più verosimile, racconta che a 9 anni il suo insegnante, J.G. Büttner, per mettere a tacere i turbolenti allievi ordinò loro di fare la somma dei numeri da 1 a 100. Quasi subito il bimbo Gauss diede la risposta esatta, sorprendendo l'insegnante ed il suo assistente Martin Bartels. Non si è certi di quale metodo abbia adottato Gauss; forse mise in una riga i numeri da 1 a 100 e in una riga sotto i numeri da 100 a 1, e vide che ogni colonna dava come somma 101: Carl moltiplicò 100 × 101 e divise per due, ottenendo il risultato corretto.

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Fiocco di neve

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Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale.

Si dice quindi geometria frattale, la geometria (non euclidea) che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti, nel moto browniano e nelle galassie[1].

Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità oppure autosomiglianza. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot nel libro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento "caotico", e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione anche non intera.

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In matematica, la formula di Eulero è una formula nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero.
La formula di Eulero afferma che, per ogni numero reale x si ha:
e 𝑗x = cos x + 𝑗 sen x ,

dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche.

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L'insieme di Mandelbrot è un luogo geometrico del piano complesso; più precisamente è l'insieme dei punti di tale piano che soddisfano la legge di Mandelbrot:

Un punto c del piano complesso appartiene all'insieme se la successione definita ricorsivamente dalla formula

z(n+1) = z(n)*z(n) + c

con z(0) = 0

non diverge.

Cosa ha di speciale questo insieme?  la sua frontiera (cioè il suo perimetro) è una curva frattale, uno dei frattali più complessi che si conoscano.

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L'insieme di Mandelbrot (d'ora in poi indicato con M) è un luogo geometrico del piano complesso; più precisamente è l'insieme dei punti di tale piano che soddisfano la legge di Mandelbrot:

Un punto c del piano complesso appartiene all'insieme se la successione definita ricorsivamente dalla formula:
z(n+1) = z(n)*z(n) + c
con z(0) = 0
non diverge.

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Frattale è un aggettivo che deriva dal francese Fractal, termine introdotto nel 1975 dal matematico francese B. Mandelbrot, der. del lat. fractus, part. pass. di frangĕre «spezzare» (v. fratto). – In matematica, denominazione di particolari enti geometrici (oggetti f. o assol. frattali) che possono essere caratterizzati da un numero non intero (cioè frazionario: e di qui il nome) di dimensioni, e quindi risultare, per es., intermedî tra quelli unidimensionali (linee) e quelli bidimensionali (superfici); sono solitamente definiti per mezzo di procedure ricorsive, e godono di determinate proprietà di scala, per cui rappresentazioni in scale diverse di uno stesso oggetto frattale presentano similitudini strutturali: in altri termini, se si ingrandisce con un opportuno fattore di scala una porzione comunque piccola dell’oggetto, si manifestano caratteristiche strutturali che riproducono quelle dell’oggetto non ingrandito.

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Il piano di Argand-Gauss, chiamato anche piano complesso, è un modo per visualizzare lo spazio dei numeri complessi. Può essere pensato come un piano cartesiano modificato, con la parte reale rappresentata sull'asse x e la parte immaginaria rappresentata sull'asse y. L'asse x è chiamato anche l'asse reale e l'asse y asse immaginario. Il piano complesso è a volte chiamato piano di Argand per il suo uso nei diagrammi di Argand. La sua creazione è generalmente attribuita a Jean-Robert Argand, in parallelo con Gauss, per cui viene da alcuni anche definito Piano di Gauss. Il concetto del piano complesso consente una interpretazione geometrica dei numeri complessi. Sotto addizione, i numeri complessi si sommano come vettori, mentre la moltiplicazione di numeri complessi può essere geometricamente espressa usando le coordinate polari, dove il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli dei fattori e l'argomento del prodotto (angolo dall'asse reale) è la somma degli angoli dei fattori.

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Con l'identità di Eulero si intende ad una relazione ben precisa che lega la funzione esponenziale con le funzioni trigonometriche: e^{ix}=cosx+isinx
Identità di Eulero:e^iπ+1=0.
Quest'identità è molto importante,poiché presenta le più importanti costanti della matematica:
-il numero di Nepero e
-l'unità immaginaria i
-il numero 1,neutro rispetto alla moltiplicazione
-il numero zero 0,elemento neutro rispetto l'addizione.

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Il padre della teoria dei frattali è considerato Benoit Mandelbrot, che per primo formalizzò le proprietà di queste figure, prima di lui considerate degli oggetti eccezionali, "mostri matematici"; diversi frattali classici sono infatti stati descritti da celebri matematici del passato, come Cantor, Peano, Hilbert, von Koch, Sierpinski, ma fu solo con The fractal geometry of nature che essi trovarono posto in una teoria unificata, che ne sottolineava i legami con forme tipiche della natura.  Il termine frattale deriva dal latino fractus (rotto,spezzato). Si tratta di una forma geometrica che all’ interno della sua rappresentazione si ripete allo stesso modo su scale differenti. Questo vuol dire che irrigidendo una sua qualsiasi parte si otterrà sempre una figura simile o uguale all’ originale.

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L'arte frattale è creata calcolando funzioni matematiche frattali e trasformando i risultati dei calcoli in immagini, animazioni, musica, o altre forme di espressione artistica. I frattali non sono solo oggetti matematici, privi di ogni attrattiva per chiunque non sia interessato alla materia, ma, grazie alla loro varietà e al loro piacevole aspetto grafico, possono diventare addirittura oggetto di "arte". Le immagini frattali sono grafici dei risultati dei calcoli, le animazioni frattali sono sequenze di questi grafici. L'arte frattale è creata solitamente con l'ausilio di un computer, al fine di accelerare il processo di calcolo della funzione frattale.

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I numeri complessi rappresentano un estensione dell'insieme R.

i motivi sono molteplici :l'impossibilità di risoluzione di equazioni di secondo grado,quando il numero è negativo.

Il numero complesso è rappresentato dall'espressione :z=x+iy;dove x,y∈ R,più propriamente x si chiama”parte reale”,mentre la y si chiama”coefficiente immaginaria”.

Si definisce unità immaginaria e si indica con “i”

i un numero (non reale) tale che i^2=−1.

Il piano cartesiano che utilizziamo per rappresentare i numeri complessi è dettopianodiArgand-Gauss: l'asse x è detto asse realee l'asse y invece è l'asse immaginario.Egli arrivo ad un interpretazione geometrica che consiste nell'associazione di ogni numero complesso:z=x+iy a un punto nel piano euclideo R^2.

La parte reale e la parte immaginaria assumono il ruolo rispettivamente di ascissa e di ordinata:P(x;y)=(Re”z”;Im”i”)ed il piano è chiamato appunto Piano di Gauss.

I numeri complessi si comportano in modo simile ai vettori bidimensionali e perciò soddisfano la regola del parallelogramma.

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LA GEOMETRIA DEI FRATTALI NEL NOSTRO MONDO

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LA GEOMETRIA DEI FRATTALI NEL NOSTRO MONDO

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La geometria dei frattali è in grado di rappresentare il nostro mondo disordinato, e descrive la forma di una nuvole, di un albero, di una montagna. Secondo Mandelbrot, le relazioni tra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda, infatti la teoria è che la natura si sia auto organizzata secondo un modello frattale, perchè più funzionale alla sopravvivenza, quindi i frattali realizzerebbero l'ottimizzazione del processo evolutivo. La natura è ricca di frattali. Ad esempio, in un albero come l'abete è facile notare come ogni singolo rametto riproduca in scala ridotta il proprio ramo e in miniatura l'albero nella sua grandezza!

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Un famoso aneddoto narra che a nove anni di età, quando andava a scuola, il suo insegnante, J.G. Buttner, per tenere buona la classe, ordinò agli alunni di fare la somma di tutti i numeri da 1 a 100. Poco dopo, il giovanissimo Carl diede per primo la risposta esatta, sorprendendo l'insegnante. Non si è certi di quale metodo abbia adottato Gauss per risolvere il problema; presumibilmente, egli si era accorto che, mettendo in una riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101: Carl fece dunque il prodotto 100 x 101 e divise per 2, ottenendo facilmente il risultato. Come già detto, però, i dettagli della storia sono assai incerti.

Gauss era particolarmente dotato nell'effettuare a mente conti molto complicati. Si dice che si divertisse a cercare numeri primi in un intervallo di mille numeri appena aveva del tempo libero. Dopo aver calcolato l'orbita di Cerere gli fu chiesto come avesse fatto a ottenere valori numerici così accurati. Rispose: "Ho usato i logaritmi". L'interlocutore gli chiese allora dove avesse trovato tabelle dei logaritmi che arrivavano fino a numeri così grandi. La replica di Gauss fu: "Tabelle? Li ho calcolati a mente!"

A Gauss viene attribuita la frase: "Sono soltanto tre i matematici che hanno fatto epoca: Archimede, Newton e Eisenstein."

Un giorno il grande esploratore tedesco Alexander von Humboldt, amico di Gauss, chiese al grande matematico francese Laplace quale fosse, a suo parere, il più grande matematico della Germania. Con sua grande sorpresa, la risposta fu: "Pfaff". "E di Gauss che ne dite?" replicò von Humboldt. "Gauss è il più grande matematico del mondo.", disse Laplace.

Tra le scoperte scientifiche di Gauss vanno ricordate:
il teorema fondamentale dell'algebra

quali sono i poligoni regolari costruibili con riga e compasso

introduzione dell'aritmetica modulare

il metodo dei minimi quadrati

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Il nome frattale fu coniato da Mandelbrot e deriva dal latino "fractus" cioè rotto, spezzato. Si tratta di una forma geometrica che all'interno della sua rappresentazione si ripete allo stesso modo su scale differenti. Le caratteristiche dei frattali è che non si basano su un'equazione,ma su un logaritmo, che si deve utilizzare per disegnare una curva.I frattali sono forme complesse,ma la loro comprensione si ottiene a partire da regole semplici.

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Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale.Si dice quindi geometria frattale, la geometria (non euclidea) che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti, nel moto browniano e nelle galassie.

I frattali sono degli oggetti matematici veri e propri, definiti in una maniera rigorosa attraverso delle formule. Lo studio della geometria frattale è tutto sommato abbastanza recente, ed inizia con Mandelbrot verso l'inizio del ventesimo secolo. Solo la potenza di calcolo fornita negli ultimi anni dall'avvento dei computer è però riuscita a mostrarci in tutti i loro dettagli questi straordinari oggetti.

La formula che genera l'insieme di Mandelbrot è la seguente:Z=z*z+ c

Si tratta semplicemente di quella che in analisi matematica è una parabola traslata rispetto all'origine di un termine noto c! L'incognita è indicata con z perché questa è la lettera che usualmente i matematici usano per i numeri complessi. Il frattale di Mandelbrot è infatti definito in un piano semicomplesso (due assi sono per la parte reale ed immaginaria dei numeri, e la rappresentazione avviene grazie all'uso di colori diversi)

Seguendo rigorosamente lo schema, grazie alla semplicissima formula Z=z*z+c, si crea un oggetto estremamente bello e complesso, che è proprio il frattale di Mandelbrot.

I frattali non sono solo oggetti matematici, privi di ogni attrattiva per chiunque non sia interessato alla materia, ma, grazie alla loro varietà e al loro piacevole aspetto grafico, possono diventare addirittura oggetto di "arte"

Abbiamo sinora visto solo l'aspetto visivo dei frattali. Essendo funzioni matematiche, è altrettanto possibile associarvi una rappresentazione sonora. L'effetto è meno diretto e sicuramente non è altrettanto gradevole.
L'altezza e la durata di una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l'autosimilarità che è così chiara nelle immagini. Esattamente come nella rappresentazione convenzionale, abbiamo a che fare con un "ordine nel disordine", un caos deterministico.

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L'insieme di Mandelbrot si colloca nel campo della dinamica complessa, il cui studio inizia con i matematici francesi Pierre Fatou e Gaston Julia all'inizio del XX secolo. I primi disegni dell'insieme di Mandelbrot risalgono al 1978 e fanno parte di uno studio di Robert Brooks e Peter Matelski riguardante i gruppi kleiniani; è Benoît Mandelbrot nel 1980 a visualizzare per primo la forma che oggi porta il suo nome e a riconoscere che si tratta di un frattale.

Lo studio approfondito di questo insieme comincia nel 1984 con il lavoro dei matematici Adrien Douady e John H. Hubbard, che ne scoprono molte fondamentali proprietà e gli danno il nome di Mandelbrot.

L'articolo di copertina del numero di  dell'agosto 1985, tradotto in italiano su Le Scienze nell'ottobre dello stesso anno, rappresenta un'immagine creata da Benoît Mandelbrot, Heinz-Otto Peitgen e John H. Hubbard; in quell'articolo l'insieme è definito "l'oggetto più complesso esistente in matematica" e, grazie anche alle colorate immagini che accompagnano l'articolo, inizia la popolarità dell'insieme anche presso il grande pubblico. I matematici Heinz-Otto Peitgen e Peter Richter diventano famosi promuovendo l'insieme con fotografie, libri e raccolte d'immagini.

Il lavoro di Douady e Hubbard coincide con una grande crescita d'interesse nella dinamica complessa e lo studio dell'insieme di Mandelbrot è subito un elemento centrale di questo campo. Una lista completa di tutti i matematici che da allora contribuiscono alla comprensione di questo insieme è al di là degli scopi di questa voce, ma una tale lista includerebbe senz'altro ai primi posti Mikhail Lyubich,  Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura e Jean-Christophe Yoccoz.

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ANEDDOTO

Un famoso aneddoto narra che a nove anni di età, quando andava a scuola, il suo insegnante, J.G. Buttner, per tenere buona la classe, ordinò agli alunni di fare la somma di tutti i numeri da 1 a 100. Poco dopo, il giovanissimo Carl diede per primo la risposta esatta, sorprendendo l'insegnante. Non si è certi di quale metodo abbia adottato Gauss per risolvere il problema; presumibilmente, egli si era accorto che, mettendo in una riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101: Carl fece dunque il prodotto 100 x 101 e divise per 2, ottenendo facilmente il risultato. Come già detto, però, i dettagli della storia sono assai incerti.

Gauss era particolarmente dotato nell'effettuare a mente conti molto complicati. Si dice che si divertisse a cercare numeri primi in un intervallo di mille numeri appena aveva del tempo libero. Dopo aver calcolato l'orbita di Cerere gli fu chiesto come avesse fatto a ottenere valori numerici così accurati. Rispose: "Ho usato i logaritmi". L'interlocutore gli chiese allora dove avesse trovato tabelle dei logaritmi che arrivavano fino a numeri così grandi. La replica di Gauss fu: "Tabelle? Li ho calcolati a mente!"

SCOPERTE

Tra le scoperte scientifiche di Gauss vanno ricordate:

·        il teorema fondamentale dell'algebra

·        quali sono i poligoni regolari costruibili con riga e compasso

·        introduzione dell'aritmetica modulare

·        il metodo dei minimi quadrati

NUMERI COMPLESSI

Il piano di gauss è un diagramma cartesiano sul quale è possibile rappresentare i numeri complessi come vettori del piano, ponendo in ascissa la parte reale e in ordinata la parte immaginaria del numero.

Anche se le vere basi ci vennero date da Eulero e De Moivre, fu solo con le pubblicazioni matematiche di Gauss che i numeri complessi entrarono a far parte del mondo matematico.

L'esistenza dei numeri complessi non è stata accettata completamente fino a che non è stata scoperta la loro interpretazione geometrica (vedi oltre) da Caspar Wesswl nel 1799, e poi riscoperta e resa famosa parecchi anni dopo da Carl Friedrich Gauss. Con Gauss la teoria dei numeri complessi ha avuto un'espansione notevole. L'idea della rappresentazione grafica dei numeri complessi era stata accennata fin da 1685, da John Wallis nel suo De Algebra tractatus.

Gauss fu il primo a dimostrare, nel 1799, il Teorema fondamentale dell'algebra, il quale afferma che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso, ossia che ogni polinomio a coefficienti complessi ha almeno una radice in C {\displaystyle C} C. Dal teorema segue che un polinomio di grado n ha esattamente n radici in campo complesso, se contate con le rispettive molteplicità.

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Eulero fu il primo ad usare la lettera "i" per rappresentare l'unità immaginaria. La sua formula: e^{ix}= cos x + i sin x, è una relazione usata per rappresentare i numeri complessi in coordinate polari e che permette la definizione del logaritmo per argomenti complessi. La rappresentazione della funzione e^ix nel piano complesso è un cerchio unitario e x è l'angolo.

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I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all'infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Questa è la definizione più intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa: l'atteggiamento corrente è quello di considerare frattale un insieme F che abbia proprietà simili alle quattro elencate qui di seguito:

1) Autosimilarità: F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti.

2) Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.

3) Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche. (la funzione è ricorsiva: F = {Z | Z = f(f(f(...)))}

4) Dimensioni di autosimilarità > della dimensione topologica

La caratteristica di queste figure, caratteristica dalla quale deriva il loro nome, è che, sebbene esse possano essere rappresentate (se non si pretende di rappresentare infinite iterazioni, cioè trasformazioni per le quali si conserva il particolare motivo geometrico) in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera. In effetti la lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitamene, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale.

ETIMOLOGIA

frat-tà-le
Significato Elemento geometrico che ripete la sua struttura su scale diverse. Etimologia dal latino: fractus spezzato, da frangere rompere, per via della dimensione frazionaria degli elementi ripetuti. Parola delle origini
Figura affascinante, archetipica: avvicinandosi con l'occhio alla montagna, stringendo dal suo corpo immenso, al singolo sperone di roccia fino al solitario sasso in vetta quasi non cambia forma; l'abete ha forma di abete nella sua interezza, e così in ogni ramo, in ogni rametto - in ogni ago l'intuizione di un abete; in ogni verso del grande poeta si intravede frattalmente il messaggio che il poema tutto porta. Figura più comune di quanto si possa pensare al primo impatto, ed elegante, bella: quando scovata od inserita in un discorso, lascia addosso la serendipità di chi non si sia fatto sfuggire una meraviglia sapendo poi meglio interpretare il mondo - che sia il frattale di un broccolo romanesco nel piatto, o un integerrimo valore di onestà che scaturendo dal cuore si sviluppa frattalmente in ogni frammento della vita.

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I FRATTALI ED IL LORO UTILIZZO NELLA LETTERATURA

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I FRATTALI ED IL LORO UTILIZZO NELLA LETTERATURA

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I frattali,figure matematiche per eccellenza,contrariamente alle nostre aspettative possono essere utilizzati anche nella letteratura:nei grandi romanzi si nascondono infatti anche oggetti matematici.

Un’analisi statistica effettuata presso L’Istituto di fisica nucleare dell’Accademia polacca delle scienze ha infatti rivelato che, indipendentemente dalla lingua usata, grandi romanzi di autori internazionali come James Joyce e Julio Cortazar,sono accomunati nella scrittura dalla costruzione di strutture frattali, ossia figure che si ripetono a cascata su scale diverse e non solo, certe volte si trovano pure forme molto più complesse che in matematica sono conosciute come multifrattali, ovvero frattali di frattali.

Nella nota rivista Information Sciences, i fisici di Cracovia hanno compiuto un’analisi statistica di oltre cento famose opere della letteratura mondiale, in diverse lingue e di diversi generi andando alla ricerca di correlazioni nella variazione delle lunghezze delle frasi ed è proprio qui che sono emerse le dinamiche utilizzate che riprendono la "forma" dei frattali! I romanzi sono stati trasfigurati in senso matematico convertendo ogni frase nel numero delle sue parole e poi gli scienziati sono andati alla ricerca di relazioni (come per esempio una legge lineare). La domanda che si ponevano era: se una frase di una data lunghezza era x volte più lunga di un’altra, lo stesso rapporto era conservato quando si guardava a frasi più lunghe (o più corte)?

“Tutti i testi esaminati hanno mostrato auto-similarità in termini di organizzazione delle lunghezze delle frasi. Le correlazioni erano evidenti e quindi in questi testi c’era la costruzione di un frattale”, ha spiegato Pawel Oswiecimka, che ha anche però sottolineato che, ovviamente, la frattalità di un testo letterario non sarà mai perfetta come quella nel mondo della matematica, dove è invece possibile andare a ingrandire all’infinito.

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In matematica, la formula di Eulero è una formula che trova uso nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero.

La formula di Eulero afferma che, per ogni numero reale x si ha:

e^{ix}=cos x+isin x

dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche. Si tratta di una relazione usata per rappresentare i numeri complessi in coordinate polari, e che permette la definizione del logaritmo per argomenti complessi. La rappresentazione della funzione eix nel piano complesso è un cerchio unitario, e x è l'angolo che un segmento che collega l'origine a un punto del cerchio unitario forma con l'asse reale positivo, misurato in senso antiorario e in radianti.

La formula di Eulero dà origine ad un'identità considerata tra le più affascinanti della matematica, nota come identità di Eulero, che mette in relazione tra loro cinque simboli che sono alla base dell'analisi matematica: e, i, π, 1 e 0:

e^{i, π}+1=0

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Mandelbrot e il termine frattale (Gabriele Zammarrelli)

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Mandelbrot e il termine frattale (Gabriele Zammarrelli)

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Il termine frattale coniato da Mandelbrot deriva dalla parola latina fractus (rotto, spezzato). Un frattale è composto da una figura che si ripete allo stesso modo su scale differenti ed è quindi basato su un'algoritmo e non su un'equazione, se il processo viene ripetuto infinite volte ad occhio nudo non si riesce più a distinguere la differenza. Il frattale più popolare anche oltre l'ambito matematico è quello di Mandelbrot. Il frattale di Mandelbrot ha una forma molto complessa ed è stato possibile visualizzarlo solo con l'avvento de computer.

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I frattali non sono altro che una successione di omotetie, quindi trasformazioni geometriche vincolate solo dall'invariabilità della forma dell'oggetto di partenza. Questa definizione permette di capire che possono essere utilizzati  per creare arte, non solo arti figurative ma anche musica.
Infatti, per esempio Bach compositore del XVII secolo, è stato sfruttato come esempio, poichè la sua musica può essere imitata dai frattali per la sua "ripetitività". Ovviamente questo è il limite della musica frattale: grandi variazioni melodiche possono mettere in difficoltà i sistemi che lavorano con i Frattali, per esempio Debussy. Questo è un esempio di musica frattale:

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Con i complessi è d'obbligo parlare di frattali, e il primo nella storia a pronunciare il loro nome fu proprio Mandelbrot.
il suo insieme infatti è matematicamente identificato da un sistema di due equazioni che esistono nel sistema di Gauss, infine sul piano cartesiano risulta così:

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IL matematico Leonhard Euler studiò i numeri complessi all'interno della trigonometria legando le funzioni seno e coseno ai complessi con questa equazione
e^(ix)=isinx+cosx
Da questa relazione si ricava poi la famosa identità di Eulero ,
ricavabile ponendo al posto della x  pigreco

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Un numero complesso è definito come un numero della forma x+yi con x e y numeri reali e i una soluzione dell'equazione x^2=-1 ed è detta unità immaginaria. I numeri complessi sono usati in tutti i campi della matematica, in molti campi della fisica, nonché in ingegneria, specialmente in elettronica/telecomunicazioni o elettrotecnica, per la loro utilità nel rappresentare onde elettromagnetiche e correnti elettriche ad andamento temporale sinusoidale. In matematica i numeri complessi formano un campo (nonché un'algebra reale bidimensionale) e sono generalmente visualizzati come punti di un piano, detto piano complesso. La proprietà più importante dei numeri complessi è basata sul teorema fondamentale dell'algebra, secondo il quale qualunque equazione polinomiale di grado n ha n soluzioni complesse, non necessariamente distinte.

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L'esistenza dei numeri complessi non è stata accettata completamente fino a che non è stata scoperta la loro interpretazione geometrica da Caspar Wessel nel 1799, e poi riscoperta e resa famosa parecchi anni dopo da Carl Friedrich Gauss. L'idea della rappresentazione grafica dei numeri complessi era stata accennata fin da 1685, da John Wallis nel suo De Algebra tractatus. Gauss fu il primo a dimostrare, nel 1799, il Teorema fondamentale dell'algebra, il quale afferma che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso, ossia che ogni polinomio a coefficienti complessi ha almeno una radice in C. Dal teorema segue che un polinomio di grado n ha esattamente n radici in campo complesso, se contate con le rispettive molteplicità. Di Gauss ricordiamo l'interpretazione geometrica dei numeri complessi come punti del pianosfera (piano di Argand-Gauss) e i suoi appunti, che mai volle pubblicare, contenenti la dimostrazione di alcuni importanti teoremi di una geometria che egli denominò in un primo tempo "anti-euclidea" (geometria non euclidea). Gauss temeva le "strida dei beoti", cioè le critiche dei filosofi sostenitori della concezione kantiana dello spazio e le irrisioni della cultura tradizionale e del "senso comune", e tenne perciò segrete le sue idee.

In analisi complessa, il piano complesso (di Argand-Gauss) è un modo per visualizzare lo spazio dei numeri complessi. Può essere pensato come un piano cartesiano modificato, con la parte reale rappresentata sull'asse e la parte immaginaria rappresentata sull'asse. L'asse x è chiamato anche l'asse reale e l'asse y asse immaginario.

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Fiore Dahlia

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La natura che ci circonda è ricca di frattali. Esempi possono essere il cavolfiore romano, il fiocco di neve, la felce o l'aloe polyphylla.

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Il termine frattale, dal francese fractal (termine introdotto nel 1975 dal matematico francese a Benoît Mandelbrot) e dal latino fractus, spezzato, indica particolari enti geometrici che possono essere caratterizzati da un numero non intero (cioè frazionario: e di qui il nome) di dimensioni. Sono solitamente definiti per mezzo di procedure ricorsive, e godono di determinate proprietà di scala, per cui rappresentazioni in scale diverse di uno stesso oggetto frattale presentano similitudini strutturali: in altri termini, se si ingrandisce con un opportuno fattore di scala una porzione comunque piccola dell’oggetto, si manifestano caratteristiche strutturali che riproducono quelle dell’oggetto non ingrandito. Il frattale è dotato perciò di omotetia interna, cioè si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse.
Per la loro bellezza, i frattali hanno suscitato grande interesse estetico oltre che scientifico: è addirittura nato un filone chiamato “arte frattale”. Per realizzare un’opera di arte frattale basta avere a disposizione un computer e un apposito software: si stabiliscono i parametri matematici e il programma disegna il frattale, che poi l’artista/programmatore colora a piacimento (sempre al computer). L’arte frattale è stata usata anche al cinema: per esempio per la realizzazione delle tempeste di neve nel cartone animato Frozen, il cui enorme successo mondiale è dovuto in parte anche alla sua spettacolarità visiva.
Il concetto di frattale ha ispirato anche le arti non figurative. Lo scrittore americano David Foster Wallace ha dichiarato di aver concepito la struttura originaria del suo romanzo Infinite Jest in analogia a un particolare frattale, il triangolo di Sierpiński.

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Ancor prima di stupire il suo insegnante all'età di 9 anni, Gauss fece rimanere a bocca aperta i genitori.
Infatti si racconta che all'età di 3 anni riuscì a correggere un errore del padre nel calcolo delle sue finanze.

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Il termine frattale deriva dal latino fractus cioè rotto, infatti i frattali possono essere considerati dalla matematica anche oggetti ''non interi''.
Nel 1975  Benoît Mandelbrot, nel libro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension, conia il termine frattale per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento "caotico".

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Un famoso aneddoto narra che a nove anni di età, quando andava a scuola, il suo insegnante, per tenere buona la classe, ordinò agli alunni di fare la somma di tutti i numeri da 1 a 100. Poco dopo, il giovanissimo Carl diede per primo la risposta esatta, sorprendendo l'insegnante. Probabilmente, egli si era accorto che, mettendo in una riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101: Carl fece dunque il prodotto 100 x 101 e divise per 2, ottenendo facilmente il risultato. Gauss era particolarmente dotato nell'effettuare a mente conti molto complicati.

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Esempio

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Essendo funzioni matematiche, è altrettanto possibile associarvi una rappresentazione sonora. L'effetto è meno diretto e sicuramente non è altrettanto gradevole.
L'altezza e la durata di una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l'autosimilarità che è così chiara nelle immagini. Esattamente come nella rappresentazione convenzionale, abbiamo a che fare con un "ordine nel disordine", un caos deterministico.
Esiste un noto effetto della teoria dei frattali, denominato Effetto Richardson, che prende il nome dal matematico Lewis Fry Richardson (1881-1953), il quale stabilisce che le misure di fenomeni naturali sono caratterizzate da un disturbo 1/f.
Cosa ha scoperto allora la squadra di Menon?
Analizzando la struttura spettrale di ritmi musicali i ricercatori hanno dimostrato che, oltre al pitch, pure i ritmi musicali rispondono a una legge di potenza 1/f.
Inoltre, si sono resi conto che i compositori, perfino quelli appartenenti alla stessa era, mostrano sistematicamente "spettri di ritmo 1/f" distintivi, unici.
Come abbiamo già detto, l'equilibrio perfetto tra prevedibilità e sorpresa rappresenta la chiave di un capolavoro musicale.
Gli autori della ricerca, inoltre, mettono in evidenza il fatto che queste strutture frattali nella musica non sono meri artifizi delle perfomance, bensì sussistono nella composizione scritta, prima che venga eseguita al pubblico.
Infine, essi ci avvertono che i compositori manipolavano (volontariamente o inconsciamente) la prevedibilità in ritmi 1/f al fine di fornire alle loro composizioni delle identità uniche, speciali!
Tirando le fila del discorso, i frattali sono oggetti geometrici fantastici, sorprendenti, in grado non solo di stupire per la loro bellezza e armonia, ma anche in quanto riescono a descrivere un'ingente quantità di fenomeni naturali e persino la buona musica.

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L'insieme di Mandelbrot o frattale di Mandelbrot è uno dei frattali più popolari, conosciuto anche al di fuori dell'ambito matematico per le suggestive immagini multicolori che ne sono state divulgate.
È l'insieme dei numeri complessi {c} per i quali la successione definita da:

{z_{0}=0
{z{n+1}=z{n}^{2}+c
è limitata.

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I vasi sanguigni, le fibre nervose e le strutture canalizzate sono riconducibili a strutture tipiche dei frattali

Anche se i vari organi assolvono a funzioni differenti, la loro struttura frattale consente di comprimere nel minimo spazio grandi capacità di estensione: se si pensa che la capacità respiratoria di un animale è direttamente correlata alla superficie dei suoi polmoni, e che questi, in un individuo normale, occupano uno spazio grande quasi come un campo da tennis, si comprende quanto efficace sia stata la scelta "frattale" fatta dalla natura per lo sviluppo dei nostri organi.

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L'arte frattale è creata calcolando funzioni matematiche frattali e trasformando i risultati dei calcoli in immagini, animazioni, musica, o altre forme di espressione artistica. Le immagini frattali sono grafici dei risultati dei calcoli, le animazioni frattali sono sequenze di questi grafici.
I frattali, quindi, non sono solo oggetti matematici, privi di ogni attrattiva per chiunque non sia interessato alla materia, ma, grazie alla loro varietà e al loro piacevole aspetto grafico, possono diventare addirittura oggetto di "arte".
Non è difficile realizzare arte frattale, se attrezzati con il software adeguato: Tierazon, un programma scaricabile dalla sezione Download, consente infatti di creare immagini "artistiche" partendo dai frattali. L'aspetto interessante di questo programma sta nel fatto che gli effetti che vengono applicati ai frattali non sono altro che funzioni matematiche che si "sovrappongono" alla creazione del frattale e fungono quasi da filtri grafici.

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Ad oggi, la matematica dei frattali è applicata allo studio dei tumori. Si è scoperto, infatti, che nell'organismo colpito da tale patologia tendono a formarsi vasi sanguigni che nutrono, specificamente, le cellule tumorali. Riuscire a fermare tale fenomeno può voler dire sconfiggere la malattia.

Ebbene, recenti studi stanno dimostrando che lo sviluppo di tali vasi sanguigni può essere misurato con l'applicazione della matematica frattale.

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In analisi complessa, il piano complesso (chiamato anche piano di Argand-Gauss) è un modo per visualizzare lo spazio dei numeri complessi. Può essere pensato come un piano cartesiano modificato, con la parte reale rappresentata sull'asse {x} e la parte immaginaria rappresentata sull'asse {y}. L'asse {x} è chiamato anche l'asse reale e l'asse {y} asse immaginario.

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Un famoso aneddoto narra che a nove anni di età, quando andava a scuola, il suo insegnante, J.G. Buttner, per tenere buona la classe, ordinò agli alunni di fare la somma di tutti i numeri da 1 a 100. Poco dopo, il giovanissimo Carl diede per primo la risposta esatta, sorprendendo l'insegnante. Non si è certi di quale metodo abbia adottato Gauss per risolvere il problema; presumibilmente, egli si era accorto che, mettendo in una riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101: Carl fece dunque il prodotto 100 x 101 e divise per 2, ottenendo facilmente il risultato. Come già detto, però, i dettagli della storia sono assai incerti.

Gauss era particolarmente dotato nell'effettuare a mente conti molto complicati. Si dice che si divertisse a cercare numeri primi in un intervallo di mille numeri appena aveva del tempo libero. Dopo aver calcolato l'orbita di Cerere gli fu chiesto come avesse fatto a ottenere valori numerici così accurati. Rispose: "Ho usato i logaritmi". L'interlocutore gli chiese allora dove avesse trovato tabelle dei logaritmi che arrivavano fino a numeri così grandi. La replica di Gauss fu: "Tabelle? Li ho calcolati a mente!"

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In matematica, la formula di Eulero è una formula nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero.

La formula di Eulero afferma che, per ogni numero reale {x} si ha

e^{ix}=cos x+isin x

dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche.

Si tratta di una relazione usata per rappresentare i numeri complessi in coordinate polari, e che permette la definizione del logaritmo per argomenti complessi. La rappresentazione della funzione e ix nel piano complesso è un cerchio unitario, e x è l'angolo che un segmento che collega l'origine a un punto del cerchio unitario forma con l'asse reale positivo, misurato in senso antiorario e in radianti.

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I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all'infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Questa è la definizione più intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa: l'atteggiamento corrente è quello di considerare frattale un insieme F che abbia proprietà simili alle quattro elencate qui di seguito:
1) Autosimilarità: F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti.
2) Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.
3) Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche. (la funzione è ricorsiva: F = {Z | Z = f(f(f(...)))}
4) Dimensioni di autosimilarità > della dimensione topologica
La caratteristica di queste figure, caratteristica dalla quale deriva il loro nome, è che, sebbene esse possano essere rappresentate (se non si pretende di rappresentare infinite iterazioni, cioè trasformazioni per le quali si conserva il particolare motivo geometrico) in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera. In effetti la lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitamene, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale.