# data[].attributes.headline
ТРЕУГОЛЬНИКИ

# data[].attributes.subject
ТРЕУГОЛЬНИКИ

# data[].attributes.headline
Прямоугольный треуго

# data[].attributes.body
Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой.
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами.
Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по двум катетам)
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по катету и острому углу).
Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

# data[].attributes.headline
Равнобедренный

# data[].attributes.subject
Равнобедренный

# data[].attributes.body
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.
Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем.
Рассмотрим несколько из них:
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

Дан Δ ABC.

Из точки В проведем высоту BD.

Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).

Прямые АС и BD называются перпендикуляром.

В Δ ABD и Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).

АВ = ВС — боковые стороны равны.

Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.

Следовательно Δ ABD = ΔBCD.

Биссектриса, высота и медиана это один отрезок - BD

Вывод:

1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

# data[].attributes.headline
Равносторонний треугольник - треугольник, у которого все стороны равны.Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?Равносторонний треугольник. Свойства.Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны 60∘60​∘​​ .Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме 180∘180​∘​​ , значит, каждый по 60∘60​∘​​ .Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:Центр равностороннего треугольника. Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не 1212 особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!Итак, ещё раз:Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.Описанная и вписанная окружности в равностороннем треугольнике. R=2⋅rR=2⋅rУже должно быть очевидно, отчего так.Посмотри на рисунок: точка OO – центр треугольника. Значит, OBOB – радиус описанной окружности (обозначили его RR), а OKOK – радиус вписанной окружности (обозначим rr).Но ведь точка OO – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:12:1, считая от вершины.Поэтому OB=2OKOB=2OK, то есть R=2⋅rR=2⋅r.Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

# data[].attributes.subject
Равносторонний треугольник - треугольник, у которого все стороны равны.Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?Равносторонний треугольник. Свойства.Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны 60∘60​∘​​ .Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме 180∘180​∘​​ , значит, каждый по 60∘60​∘​​ .Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:Центр равностороннего треугольника. Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не 1212 особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!Итак, ещё раз:Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.Описанная и вписанная окружности в равностороннем треугольнике. R=2⋅rR=2⋅rУже должно быть очевидно, отчего так.Посмотри на рисунок: точка OO – центр треугольника. Значит, OBOB – радиус описанной окружности (обозначили его RR), а OKOK – радиус вписанной окружности (обозначим rr).Но ведь точка OO – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:12:1, считая от вершины.Поэтому OB=2OKOB=2OK, то есть R=2⋅rR=2⋅r.Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

# data[].attributes.headline
Теорема Пифагора.          Формула теоремы Пифагора Теорема В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов c2=a2+b2              Доказательство теоремы Пифагора. Пусть треугольник ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C.    Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание высоты обозначим как H .Прямоугольный треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам ( ∠ACB=∠CHA=90∘, ∠A - общий). Аналогично, треугольник CBH подобен ABC .Введя обозначения BC=a ,AC=b, AB=c из подобия треугольников получаем, что a/c=HB/a, b/c=AH/bОтсюда имеем, что a2=c⋅HB, b2=c⋅AH. Сложив полученные равенства, получаем a2+b2=c⋅HB+c⋅AHa2+b2=c⋅(HB+AH)a2+b2=c⋅ABa2+b2=c⋅ca2+b2=c2. Что и требовалось доказать.   

# data[].attributes.subject
Теорема Пифагора.          Формула теоремы Пифагора Теорема В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов c2=a2+b2              Доказательство теоремы Пифагора. Пусть треугольник ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C.    Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание высоты обозначим как H .Прямоугольный треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам ( ∠ACB=∠CHA=90∘, ∠A - общий). Аналогично, треугольник CBH подобен ABC .Введя обозначения BC=a ,AC=b, AB=c из подобия треугольников получаем, что a/c=HB/a, b/c=AH/bОтсюда имеем, что a2=c⋅HB, b2=c⋅AH. Сложив полученные равенства, получаем a2+b2=c⋅HB+c⋅AHa2+b2=c⋅(HB+AH)a2+b2=c⋅ABa2+b2=c⋅ca2+b2=c2. Что и требовалось доказать.   

# data[].attributes.headline
Работу выполняли:

# data[].attributes.subject
Работу выполняли:

# data[].attributes.body
Равнобедренный треугольник: Егор Казанцев
Прямоугольный треугольник: Абдрахимов Марсель
Равносторонний треугольник: Зайниев Леонардо
Теорема Менелая:
Салимов Радмир
Теорема Пифагора: Мамлеев Тамерлан

# data[].attributes.headline
Теорема Менелая

# data[].attributes.subject
Теорема Менелая

# data[].attributes.body
Запомнить отношение просто: действуем по принципу «вершина - точка, точка - вершина».

AC1/C1B * BA1/A1C * *CB1/B1A = 1