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Função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto (representado pela variável x) a um único elemento de outro conjunto (representado pela variável y). Para cada valor de x, podemos determinar um valor de y, dizemos então que “y está em função de x”.

Vamos representar uma função de números naturais de forma que, para cada número natural escolhido, obtenha-se o seu dobro. Por exemplo, se escolhermos o 1, teremos o número 2; se escolhermos o 2, teremos o 4; se escolhermos o 3, teremos o 6 e assim por diante.

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Função é quando existe dois elementos, um deles é um valor que nao muda (numero fixo) e o outro sempre varia.
Funções tem vários graus, se nota o grau da função pelo maior expoente.
expoente é o numero que fica em cima na potencia.

exemplos de grau de funçoes:
1º grau:

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-Como encontrar a lei de uma função de 1º grau?

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-Como encontrar a lei de uma função de 1º grau?

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A formação de uma função do 1º grau é expressa da seguinte forma: y = ax + b, onde a e b são números reais e a é diferente de 0. ... Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º grau a lei de formação será a seguinte: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.

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É como se fosse um sistemas de coordenadas, com 2 retas. Na vertical a reta é chamada de ordenada e é representada pela letra y, na horizontal a reta é chama abscissa e é representada pela letra x. Após dado os valores de x e y, você encontra os pontos no Plano Cartesiano.

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-Como representar gráficos de funções no plano cartesiano?

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-Como representar gráficos de funções no plano cartesiano?

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De uma maneira geral, o gráfico de uma função y=f(x), representado no plano cartesiano, é o conjunto de todos os pontos ( x,y ) do plano tais que y=f(x) , isto é, a abcissa representa a variável independente x e a ordenada, o valor da função calculada nesse ponto. Este gráfico corresponde aos dados obtidos na tabela e pode ser traçado a partir dela.

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Dada uma função y=f(x), os valores de x para os quais f(x)=0 são chamados raízes da função. No gráfico cartesiano, as raízes são abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. Observe o gráfico abaixo:

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-Quais são as características de um gráfico de uma função de 1º grau?

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-Quais são as características de um gráfico de uma função de 1º grau?

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Toda função pode ser representada graficamente, e a função do 1º grau é formada por uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal de a.

Quando a > 0

Isso significa que a será positivo. Por exemplo, dada a função: f(x) = 2x – 1 ou
y = 2x - 1, onde a = 2 e b = -1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y

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Como descobrir a lei de uma função de primeiro grau através de dois pontos?

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Como descobrir a lei de uma função de primeiro grau através de dois pontos?

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Vamos determinar a função que passa por dois pontos. Para isso, precisamos encontrar as coordenadas destes dois pontos, sendo que a coordenada y’ é determinada pelo valor da função na coordenada x’ (x1, f(x1)), (x2, f(x2)).

Pela definição de função afim, temos que ela é determinada pela seguinte expressão f(x)=ax+b, ou seja, para determinar tal função, basta encontrarmos os coeficientes a, b. Veremos que para descobrir estes coeficientes precisamos apenas de dois pontos e o valor da função nesses pontos.

Antes de mostrarmos a expressão do caso geral, vejamos como proceder em um exemplo.

Com f(1)=4 e f(2)=6, temos, então, dois pontos e os valores da função nestes pontos.

Para f(1) temos: f(1) = 4 = a.1+b
Para f(2) temos: f(2) = 6 = a.2+b

Destacaremos essas duas relações de igualdade:

6=2a+b (-), se subtrairmos uma igualdade da outra, teremos o seguinte resultado:
4=a+b
2=a,       ou seja, a é igual a 2. Descobrimos o valor de um dos coeficientes. Para encontrarmos o outro, basta substituirmos o resultado em uma das igualdades. Usaremos a segunda:

4=a+b

como a=2 teremos ,  4=2+b  assim teremos,  b=2

Como f(x)=ax+b e a=2 e b=2, temos que esta função, para f(1)=4  e f(2)=6, será a seguinte:
f(x)=2x+b.

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Quando a função de 1º grau é crescente e quando é decrescente? O que isso muda no gráfico?

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Quando a função de 1º grau é crescente e quando é decrescente? O que isso muda no gráfico?

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Funções são regras que ligam cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro conjunto. Quando se trata de conjuntos numéricos, essas funções assemelham-se a equações que relacionam os elementos de um conjunto a outro por meio de suas variáveis. Uma função é crescente quando, aumentando-se os valores atribuídos ao domínio, os valores do contradomínio ficam cada vez maiores; caso contrário, a função é decrescente.

Para melhor compreender essas definições, veja alguns exemplos. Observe:

Funções crescentes

Um exemplo de função crescente é a função y = 4x + 5. Para perceber isso, observe a tabela a seguir:

Observe que o valor de x, a cada linha, é aumentado em uma unidade. Consequentemente, realizando-se os cálculos de y a partir da função dada, percebemos que, a cada linha, o valor dessa variável aumenta em quatro unidades.

Assim, quando o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta. Por essa razão, a função é crescente. Além disso, apenas observando o gráfico dessa função, é possível perceber que ela é crescente, pois, quanto mais à direita, mais alta a reta fica.

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O que é uma função quadrática ou de 2º grau?

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O que é uma função quadrática ou de 2º grau?

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A função do 2º grau ou função quadrática é uma função de domínio real, ou seja, qualquer número real pode ser o x e, a cada número real x, associamos um número da forma ax² + bx + c.

Em outras palavras, a função quadrática f é definida por:

Veremos, a seguir, como calcular esse tipo de função, relembrando a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da função, além de conhecermos o seu tipo de gráfico, seus elementos e como desenhá-lo com base na interpretação dos dados obtidos pela solução.

A função quadrática forma uma parábola em um plano cartesiano.

O que é uma função do 2º grau?

Uma função f: R à → é chamada de função do 2º grau ou função quadrática quando existir a, b, c € R com a ≠ 0, de maneira que f(x) = ax ² + bx + c, para todo x € R.

Exemplos:

f(x) = 6x² - 4x + 5 → a = 6; b = -4; c = 5.

f(x) = x² - 9 → a = 1; b = 0; c = -9.

f(x) = 3x² +3x → a = 3 ; b = 3 ; c = 0.

f(x) = x² – x → a = 1; b = -1; c = 0.

Para cada número real x, devemos substituir e realizar as devidas operações para encontrar sua imagem. Veja o exemplo a seguir:

Vamos determinar a imagem do número real -2 da função f(x) = 6x² - 4x + 5. Para isso, basta substituir o número real dado na função, assim:

f (-2) = 6(-2)² – 4(-2) +5

f (-2) = 6(4) + 8 +5

f (-2) = 24 + 8 + 5

f (-2) = 37

Logo, a imagem do número -2 é 27, resultando no par ordenado (-2; 37).

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A função de 2º grau sempre possui raízes?

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A função de 2º grau sempre possui raízes?

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Determinar a raiz de uma função é calcular os valores de x que satisfazem a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que podem ser encontradas através do Teorema de Bháskara:

Número de raízes reais da função do 2º grau

Dada a função f(x) = ax² + bx + c, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do número de raízes. Isso dependerá do valor do discriminante Δ.

1º caso → Δ > 0: A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.

2º caso → Δ = 0: A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz.

3º caso → Δ < 0: A função não possui raízes reais.

Soma e produto das raízes

Seja a equação, ax² + bx + c = 0, temos que:

Se Δ ≥ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por  e o produto das raízes por  . De fato, x’ e x’’ são as raízes da equação

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Como calcular raízes de funções quadrática?

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Como calcular raízes de funções quadrática?

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As raízes ou zeros da função quadrática são 2 valores numéricos que quando substituem o lugar de x na função, tornam o valor desta função igual a zero ƒ(x) = 0. A função quadrática é a famosa função polinomial do 2º grau, ou seja, é formada por um polinômio de grau 2. Por isso, toda função quadrática sempre possuíra exatamente duas raízes.

Graficamente, as raízes da função do segundo grau são os pontos em que a parábola – a forma gráfica da função quadrática – corta o eixo x, ou o eixo das abscissas. Para fazer referência a essas raízes, costumamos usar símbolos tais como x’ e x” ou x₁ e x₂.

O gráfico acima apresenta um dos comportamentos mais esperados da função do 2º grau, quando a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos. Contudo, nem sempre isso vai acontecer, pessoal! Tudo vai depender da quantidade de raízes reais que a função quadrática possuir.

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Como é o gráfico de uma função de segundo grau?

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Como é o gráfico de uma função de segundo grau?

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Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. Geralmente, essa regra é conseguida por meio de uma expressão algébrica muito parecida com uma equação e, dependendo do grau dessa expressão algébrica e da quantidade de variáveis que ela possui, é possível construir seu gráfico.

Definição de gráfico

O gráfico de uma função é o conjunto de pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem a seguinte condição: y = f(x). Em outras palavras, para cada valor de x, existe um único valor de y relativo a ele, obtido pela lei de formação da função.

Os gráficos mais importantes estudados no ensino fundamental pertencem à função do primeiro grau e do segundo grau. No ensino médio, também são estudados os gráficos da função logarítmica, exponencial, trigonométrica etc. Neste artigo, discutiremos uma técnica que pode ser usada para construir o gráfico de uma função do segundo grau.

Gráfico da função do segundo grau

Uma função do segundo grau é aquela que pode ser escrita da seguinte maneira:

f(x) = ax² + bx + c

Em que a, b e c são números reais, chamados coeficientes, com a sempre diferente de zero, e x é a variável independente.

O gráfico dessas funções é sempre uma parábola que pode ser construída a partir de três pontos que pertencem a ela: vértice e as duas raízes, ou vértice e dois pontos “aleatórios”.

1 – Encontrando o vértice da parábola

As parábolas que podem ser usadas como gráfico de uma função do segundo grau devem ter sua concavidade voltada para cima ou para baixo. No primeiro caso, a parábola possui um ponto mais baixo, onde a função deixa de ser decrescente e passa a ser crescente. No segundo caso, a parábola possui um ponto mais alto, onde a função deixa de ser crescente e passa a ser decrescente. Esse ponto é chamado vértice.

Para encontrar as coordenadas do vértice V = (xv, yv), podemos usar as seguintes fórmulas:

xv = – b
2a

e

yv = – Δ
4a

2 – Encontrando as duas raízes da parábola

As raízes de uma função são os pontos nos quais o gráfico dessa função encontra o eixo x do plano cartesiano. No caso das funções do segundo grau, o número de raízes pode ser 0, 1 ou 2. Se a função possui duas raízes, o melhor a ser feito é usá-las na construção do gráfico.

Para encontrar as raízes de uma função do segundo grau, utilize a fórmula de Bháskara. Primeiro, determine o discriminante da função:

Δ = b² – 4ac

Em seguida, substitua-o na fórmula de Bháskara, assim como os coeficientes:

x = – b ± √?
2a

As coordenadas das raízes da função serão: A = (x’, 0) e B = (x’’, 0). A partir desses três pontos, as duas raízes e o vértice, basta colocá-los no plano cartesiano e ligá-los por meio de uma parábola. Nesse processo, note que a parábola terá a concavidade voltada para baixo se o vértice estiver acima do eixo x, ou terá a concavidade voltada para cima se o vértice estiver abaixo do eixo x.

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Qual a relação entre o valor do delta e o número de raízes de uma função quadrática?

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Qual a relação entre o valor do delta e o número de raízes de uma função quadrática?

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O discriminante é o famoso delta que calculamos quando vamos resolver uma equação do 2° grau utilizando a fórmula de Bhaskara.

Os valores de  são as constantes da equação da forma . Após substituir esses valores na expressão do discriminante e obter o valor de delta, calculamos as raízes da equação a partir da seguinte fórmula:

Outra funcionalidade do discriminante é que, mesmo antes de aplicar a fórmula de Bhaskara, ele nos permite saber se a equação do 2° grau possui ou não raízes e, no caso de possuir, se elas são iguais ou diferentes.

Raízes de uma equação do 2° grau

A partir do valor do discriminante, podemos ter três situações diferentes em relação às raízes ou soluções de uma equação do 2° grau.

1º caso)   → Possui duas raízes reais diferentes.

Quando calculamos delta e o valor obtido é um número positivo, isso significa que a equação do 2° grau possui duas raízes reais e que, além disso, elas são diferentes.

2° caso) → Possui duas raízes reais iguais.

Se o valor de delta for igual a 0, então a equação do 2° grau também possui duas raízes reais, mas diferente do caso anterior, aqui elas são iguais.

3° caso)  → Não possui raízes reais.

Quando o valor de delta é negativo, significa que não existem raízes reais para a equação do 2° grau.

Observe que na fórmula de Bhaskara delta aparece sob um radical, , e como não existe raiz quadrada de um número negativo dentro do conjunto dos reais, não existem também soluções reais para a equação.

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O que é vértice de uma parábola? Quais são suas coordenadas?

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O que é vértice de uma parábola? Quais são suas coordenadas?

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Para determinarmos os vértices de uma parábola temos que encontrar o par ordenado de pontos que constituem as coordenadas de retorno da parábola. Esse ponto de retorno da parábola, mais conhecido como vértice da parábola, pode ser calculado com base nas expressões matemáticas envolvendo os coeficientes da função do 2º grau dada pela lei de formação y = ax² + bx + c.

O valor de x na determinação do vértice de uma parábola é dado por  e o valor de y é calculado por  . Nesse caso, temos que, quando o coeficiente a for maior que zero, a parábola possui valor mínimo e quando a menor que zero, valor máximo.

Valor mínimo (a > 0)

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Valor máximo (a < 0)

Exemplo

Para produzirmos x unidades de uma mercadoria, temos que o custo dessa produção em reais é dado pela expressão matemática C = x² – 80x + 3000. Com base nessa expressão, determine a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo e qual o valor mínimo do custo.