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P 89 à 98

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Ministère de l'Education Nationale et de la Jeunesse

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Enseignement du calcul : un enjeu majeur pour la maîtrise des principaux éléments de mathématiques à l’école primaire

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Le Bulletin officiel de l’éducation nationale, de la jeunesse et des sports publie des actes administratifs : décrets, arrêtés, notes de service, etc. La mise en place de mesures ministérielles et les opérations annuelles de gestion font l’objet de textes réglementaires publiés dans des BO spéciaux.

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Nombres et calculs - Mathématiques - Éduscol

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Les élèves travaillent sur des programmes de calculs en lien avec le chapitre sur la division euclidienne. Il s'agit pour eux d'une première approche de l'utilisation d'un tableur à partir d'une situation portant sur des éléments très familiers de la vie courante, à savoir les billets en euros.

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éduscol | Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement supérieur et de la Recherche | Dgesco

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Accueil | éduscol | Ministère de l’Éducation Nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche | Dgesco

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éduscol | Ministère de l’Éducation Nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche | Dgesco

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Ressource Eduscol

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éduscol | Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement supérieur et de la Recherche | Dgesco

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La Méthode Cuisenaire

Les "Nombres en Couleurs"® - Note explicative à l'attention des parents

Votre enfant dispose d'un matériel génial pour apprendre à calculer. Le matériel et la méthode se montreront très efficaces si votre enfant maîtrise pas à pas les différentes étapes de son apprentissage, telles qu'elles ont été mises au point par son inventeur Georges CUISENAIRE. En voici les principes:

3 moyens d'appréhension

Votre enfant approche d'abord les réglettes, et les nombres qu'elles représentent en observant leur longueur et leur couleur. La mémoire visuelle, la mémoire auditive, et la mémoire tactile interviennent, pour chaque enfant suivant sa meilleure sensibilité. La mise en action de ces trois types de mémoire active ces différentes facultés, accélère le processus d'apprentissage, et compense l'une ou l'autre déficience de perception.

L'auto-correction

A chaque stade de l'apprentissage, votre enfant à l'occasion de s'auto-corriger, ou mieux, de comprendre pourquoi sa réponse est correcte ou incorrecte. C'est une puissance incontestable de la méthode CUISENAIRE qui remplace la sanction du maître ou la "correction radicale du bic rouge"

Les différentes phases de l'apprentissage
La Phase qualitative La Phase quantitative La soustraction La multiplication La division Les puissances

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Les nombres en Couleurs de Georges Cuisenaire est une méthode de calcul très moderne qui s'inscrit totalement dans l'approche actuelle de l'enseignement des mathématiques à l'école fondamentale. L'approche se fait à chaque étape par le jeu. La manipulation des réglettes en jeu libre , puis en jeu dirigé pour atteindre une notion fondamentale du calcul.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Il n'existe pas de techniques qui à elles seules, permettraient de mémoriser n'importe quoi, dans n'importe quelle condition. La mémoire, c'est l'aptitude à enregistrer des informations et la possibilité de les exprimer et de s'en servir pour se rappeler (mémoire orientée vers le passé) ou pour construire et faire des projets (mémoire orientée vers l'avenir). La mémoire, c'est une succession de 3 phases distinctes : l'entrée, le stockage et la sortie des informations.

Il existe quelques principes :

- Préciser très clairement aux élèves ce qui est à savoir, à retenir, à lire, à savoir-faire, ... quand on leur donne une leçon à apprendre : projet d'apprendre. (Réseau d'images mentales)

- Mémoriser est plus facile si le contenu est intéressant et si on a compris (sens de l'apprentissage). Comprendre donc le sens de " multiplier " et de " fois ". Avoir une image mentale (quadrillage, rangées de...).

- Structurer les éléments, les organiser entre eux : proposer des activités de calcul variées et fréquentes qui stimulent l'intérêt des élèves et des situations de résolution fréquentes et progressives

- Accorder une place importante à la construction des automatismes.

- Répéter mécaniquement ne garantit pas la mémorisation.

Progression et stratégies d'apprentissage

On utilisera la commutativité : 2 fois 7, cela fait combien ? Et 7 fois 2 en même temps ; si je connais l'une, je connais l'autre.

Les tables de 2 (en rose) et de 5 (en bleu) sont les plus simples. La table de 2, ce sont les doubles, ils sont mémorisés avant même d'être traduits sous forme multiplicative. La table de 5 donne des nombres finissant par 0 (quand on multiplie par un nombre pair) ou par 5.

Les tables de 4 (en rouge) et 8 (en violet) sont ensuite bien placées, car on peut dire que la table de 4 est le double de la table de 2... On a ainsi un ordre: tables de 2, 4 et 8.

Ensuite, la mémorisation de la table de 9 (jaune clair) peut être facilitée par un certain nombre de remarques mnémotechniques du type : " Le chiffre des dizaines avance toujours de 1, alors que le chiffre des unités recule toujours de 1. Ex : 18, 27, 36... " Autre remarque : " Quand je dis 3 x 9 ? le résultat pour les dizaines c'est 3 moins 1, et pour les unités c'est le complément à 9. 27 deux sept. 6 x 9 : dizaine : 5, unité complément à 9, donc 54″.

Après, apprendre les tables de 3 et 6 qui forment un ensemble car 6 est le double de 3.

Et la table de 7 ? Et bien c'est fini, il n'y a plus rien à apprendre. Il ne reste plus que 7 x 7. C'est un carré qui est assez bien mémorisé.

Précisions didactiques
1 / Reconstruire les résultats
Pour mieux mémoriser, les élèves doivent savoir reconstruire les résultats. Comment reconstruire le résultat de 5 x 7 si je l'ai oublié ?

- soit en faisant référence au sens : en dessinant 5 paquets de 7 objets, en dessinant un rectangle de 5 sur 7 et en m'organisant pour compter les objets.

- soit en comptant 7 fois de 5 en 5, ou en comptant 5 fois de 7 en 7.

- soit je passe par 7 x 4 + 7.

Le lien entre additions répétées et multiplication est très important à installer, à maintenir chez les élèves.

=> Il faut reconstruire de manière calculatoire, en s'appuyant sur des résultats déjà connus. Cela doit être au cœur de l'apprentissage sur la multiplication.

2/ Les tables

Concernant la présentation des tables, il y a deux façons de procéder :

- soit on garde constant le multiplicateur :

C'est celle qu'on trouve sur les " cahiers de brouillon " ou dans les outils commerciaux parascolaires. Ce sens s'appuie essentiellement sur la mémorisation.

- soit on garde constant le multiplicande :

Table de 4 : ... × 4 donc : 1 × 4, 2 × 4, 3 × 4 , 4 × 4...

Ce sens s'appuie davantage sur le sens et permet de reconstruire les résultats. Si je connais 5 × 4 je pourrai trouver 6 × 4 car il " suffit " de rajouter 4 au résultat de 5 × 4.

La question de la formulation orale a aussi son importance. L'expression a × b peut se formuler de différentes façons :

- " a fois b " traduit une multiplication externe. " a " est le multiplicateur (nombre de fois) et " b " le multiplicande (nombre sur lequel on agit).

- " b fois a " traduit l'action de b sur le a : b est alors multiplicateur et a multiplicande.

- " a multiplié par b " traduit la multiplication interne. C'est une expression " neutre " qui n'induit aucun multiplicateur. L'élève doit alors faire la traduction la plus appropriée entre les deux précédentes selon son besoin.

Ainsi, par souci d'économie et de simplification, le choix est fait de traduire a × b par " a fois b " ou par " a multiplié par b ". La formulation " a fois b " peut toutefois être privilégiée car elle se rapproche davantage du sens et aide à la mémorisation. Ce choix n'a de sens qu'à une condition : présenter aux élèves ces différentes formulations et s'appuyer sur la commutativité de la multiplication.

C'est pourquoi dans MHM, les élèves travailleront sur différents outils : tables de multiplication, table de Pythagore, enveloppes cartons, etc.
3/ La table de Pythagore
On peut proposer une autre présentation de la table de Pythagore, qui rappelle le sens de la multiplication et permet d'illustrer la commutativité (en découpant les cases et en les superposant, par égalité de mesures) :

télécharger : TABLES IMAGEES 2
version sans les résultats: TABLES IMAGEES

Un autre élément qui semble important pour la mémorisation, c'est de donner à l'élève la conscience et la lisibilité de ce qu'il connaît par cœur et ce qu'il lui reste à mémoriser. Ce qu'on peut faire c'est par exemple de recommander à un élève de colorier dans sa table tout ce qu'il sait par cœur. Progressivement va s'imager pour l'élève ce qu'il sait et ce qu'il lui reste à apprendre. Cette lisibilité de ce que l'élève sait et de ce qu'il lui reste à apprendre peut être utile pour savoir sur quoi il doit travailler. C'est autre chose pour lui que d'apprendre la table de 2 alors qu'il la connaît aux trois quarts.
4 / L'entraînement et l'interrogation des résultats

La récitation des tables ne doit pas faire l'objet d'un travail trop systématique (nécessaire mais non suffisant) : cela favorise la mémorisation d'un bloc (il faudra alors réciter le tout pour retrouver un résultat). Les interrogations doivent être variées, diverses (formes) et fréquentes (quotidiennes - des temps courts).
? x 7 = 42 et ? x 6 = 42 et aussi ? x ? = 42 En 42 combien de fois 6 (de fois 7) ? Questionnement du type QCM : 6×7 = ....13 ? ....42 ?.....67 ? En CM, on ajoutera: 42 : 6 ? et 42 : 7 ?
Les modes d'interrogation doivent être multiples :

La question de la formulation

C'est une question qui se pose régulièrement aux enseignants. 5 fois 6 est -il égal à 6+6+6+6+6 ou à 5+5+5+5+5+5 ? Est-ce la même chose que 5 multiplié par 6 ou que 6 multiplié par 5 ?

C'est plus complexe que cela en a l'air ! L'APMEP a réalisé un excellent article qui explicite cette question, alors bonne lecture : l' article.

Moyens mnémotechniques

Une petite vidéo qui explique comment retrouver toutes les tables de multiplication à partir de 5×6 sur nos deux mains !

Apprendre les tables en vers:

En 1947, Jean Tardieu publie un recueil de poésies destiné aux enfants : " Il était une fois, deux fois, trois fois ... ou La table de multiplication en vers " (Gallimard.

Gallimard l'a réédité sous le titre "Je m'amuse en rimant ".

Vidéo (Montessori):

Leçons pour apprendre les tables:

Le site " Tablettes et pirouettes " nous propose une présentation des tables intéressante pour l'entrainement individuel des élèves.

Pour en savoir plus: http://www.tablettesetpirouettes.com/lecon-a-manipuler-sur-les-tables-de-multiplications/

Affichages et supports
http://www.antonellaperucca.net/easy-multiplication-tables.html
Antonella Perucca, professeur (Department of Mathematics - University of Luxembourg) propose des affichages à imprimer (pour faire imprimer sur un mug, un poster...) :

Apprendre avec des jeux / logiciels:

Et les jeux/applis numériques :voir ici

mais aussi l' appli " Défi tables " : lien

Il n'existe pas de techniques qui à elles seules, permettraient de mémoriser n'importe quoi, dans n'importe quelle condition. La mémoire, c'est l'aptitude à enregistrer des informations et la possibilité de les exprimer et de s'en servir pour se rappeler (mémoire orientée vers le passé) ou pour construire et faire des projets (mémoire orientée vers l'avenir). La mémoire, c'est une succession de 3 phases distinctes : l'entrée, le stockage et la sortie des informations.

Il existe quelques principes :

- Préciser très clairement aux élèves ce qui est à savoir, à retenir, à lire, à savoir-faire, ... quand on leur donne une leçon à apprendre : projet d'apprendre. (Réseau d'images mentales)

- Mémoriser est plus facile si le contenu est intéressant et si on a compris (sens de l'apprentissage). Comprendre donc le sens de " multiplier " et de " fois ". Avoir une image mentale (quadrillage, rangées de...).

- Structurer les éléments, les organiser entre eux : proposer des activités de calcul variées et fréquentes qui stimulent l'intérêt des élèves et des situations de résolution fréquentes et progressives

- Accorder une place importante à la construction des automatismes.

- Répéter mécaniquement ne garantit pas la mémorisation.

Progression et stratégies d'apprentissage

On utilisera la commutativité : 2 fois 7, cela fait combien ? Et 7 fois 2 en même temps ; si je connais l'une, je connais l'autre.

Les tables de 2 (en rose) et de 5 (en bleu) sont les plus simples. La table de 2, ce sont les doubles, ils sont mémorisés avant même d'être traduits sous forme multiplicative. La table de 5 donne des nombres finissant par 0 (quand on multiplie par un nombre pair) ou par 5.

Les tables de 4 (en rouge) et 8 (en violet) sont ensuite bien placées, car on peut dire que la table de 4 est le double de la table de 2... On a ainsi un ordre: tables de 2, 4 et 8.

Ensuite, la mémorisation de la table de 9 (jaune clair) peut être facilitée par un certain nombre de remarques mnémotechniques du type : " Le chiffre des dizaines avance toujours de 1, alors que le chiffre des unités recule toujours de 1. Ex : 18, 27, 36... " Autre remarque : " Quand je dis 3 x 9 ? le résultat pour les dizaines c'est 3 moins 1, et pour les unités c'est le complément à 9. 27 deux sept. 6 x 9 : dizaine : 5, unité complément à 9, donc 54″.

Après, apprendre les tables de 3 et 6 qui forment un ensemble car 6 est le double de 3.

Et la table de 7 ? Et bien c'est fini, il n'y a plus rien à apprendre. Il ne reste plus que 7 x 7. C'est un carré qui est assez bien mémorisé.
1 / Reconstruire les résultats
Précisions didactiques

Pour mieux mémoriser, les élèves doivent savoir reconstruire les résultats. Comment reconstruire le résultat de 5 x 7 si je l'ai oublié ?

- soit en faisant référence au sens : en dessinant 5 paquets de 7 objets, en dessinant un rectangle de 5 sur 7 et en m'organisant pour compter les objets.

- soit en comptant 7 fois de 5 en 5, ou en comptant 5 fois de 7 en 7.

- soit je passe par 7 x 4 + 7.

Le lien entre additions répétées et multiplication est très important à installer, à maintenir chez les élèves.

=> Il faut reconstruire de manière calculatoire, en s'appuyant sur des résultats déjà connus. Cela doit être au cœur de l'apprentissage sur la multiplication.

2/ Les tables

Concernant la présentation des tables, il y a deux façons de procéder :

- soit on garde constant le multiplicateur :

C'est celle qu'on trouve sur les " cahiers de brouillon " ou dans les outils commerciaux parascolaires. Ce sens s'appuie essentiellement sur la mémorisation.

- soit on garde constant le multiplicande :

Table de 4 : ... × 4 donc : 1 × 4, 2 × 4, 3 × 4 , 4 × 4...

Ce sens s'appuie davantage sur le sens et permet de reconstruire les résultats. Si je connais 5 × 4 je pourrai trouver 6 × 4 car il " suffit " de rajouter 4 au résultat de 5 × 4.

La question de la formulation orale a aussi son importance. L'expression a × b peut se formuler de différentes façons :

- " a fois b " traduit une multiplication externe. " a " est le multiplicateur (nombre de fois) et " b " le multiplicande (nombre sur lequel on agit).

- " b fois a " traduit l'action de b sur le a : b est alors multiplicateur et a multiplicande.

- " a multiplié par b " traduit la multiplication interne. C'est une expression " neutre " qui n'induit aucun multiplicateur. L'élève doit alors faire la traduction la plus appropriée entre les deux précédentes selon son besoin.

Ainsi, par souci d'économie et de simplification, le choix est fait de traduire a × b par " a fois b " ou par " a multiplié par b ". La formulation " a fois b " peut toutefois être privilégiée car elle se rapproche davantage du sens et aide à la mémorisation. Ce choix n'a de sens qu'à une condition : présenter aux élèves ces différentes formulations et s'appuyer sur la commutativité de la multiplication.
3/ La table de Pythagore
C'est pourquoi dans MHM, les élèves travailleront sur différents outils : tables de multiplication, table de Pythagore, enveloppes cartons, etc.

On peut proposer une autre présentation de la table de Pythagore, qui rappelle le sens de la multiplication et permet d'illustrer la commutativité (en découpant les cases et en les superposant, par égalité de mesures) :

télécharger : TABLES IMAGEES 2
version sans les résultats: TABLES IMAGEES

Un autre élément qui semble important pour la mémorisation, c'est de donner à l'élève la conscience et la lisibilité de ce qu'il connaît par cœur et ce qu'il lui reste à mémoriser. Ce qu'on peut faire c'est par exemple de recommander à un élève de colorier dans sa table tout ce qu'il sait par cœur. Progressivement va s'imager pour l'élève ce qu'il sait et ce qu'il lui reste à apprendre. Cette lisibilité de ce que l'élève sait et de ce qu'il lui reste à apprendre peut être utile pour savoir sur quoi il doit travailler. C'est autre chose pour lui que d'apprendre la table de 2 alors qu'il la connaît aux trois quarts.
Table de multiplication animée (classedeflorent.fr) 4 / L'entraînement et l'interrogation des résultats

La classe de Florent propose une application en ligne pour visualiser les résultats appris progressivement :
? x 7 = 42 et ? x 6 = 42 et aussi ? x ? = 42 En 42 combien de fois 6 (de fois 7) ? Questionnement du type QCM : 6×7 = ....13 ? ....42 ?.....67 ? En CM, on ajoutera: 42 : 6 ? et 42 : 7 ?
La récitation des tables ne doit pas faire l'objet d'un travail trop systématique (nécessaire mais non suffisant) : cela favorise la mémorisation d'un bloc (il faudra alors réciter le tout pour retrouver un résultat). Les interrogations doivent être variées, diverses (formes) et fréquentes (quotidiennes - des temps courts).

Les modes d'interrogation doivent être multiples :

OUTILS

Moyens mnémotechniques

Une petite vidéo qui explique comment retrouver toutes les tables de multiplication à partir de 5×6 sur nos deux mains !
Table de multiplication animée (classedeflorent.fr) "Mathemagics Multiplication" est une méthode basée sur la visualisation mentale, elle est adaptée à l'imaginaire des enfants et leur permet de mieux retenir les tables de multiplication.
Visualiser

La classe de Florent propose un outil en ligne pour visualiser et compléter la table au fur et à mesure de l'apprentissage :

Apprendre les tables en vers:

En 1947, Jean Tardieu publie un recueil de poésies destiné aux enfants : " Il était une fois, deux fois, trois fois ... ou La table de multiplication en vers " (Gallimard.

Gallimard l'a réédité sous le titre "Je m'amuse en rimant ".

Vidéo (Montessori):

Leçons pour apprendre les tables:

Le site " Tablettes et pirouettes " nous propose une présentation des tables intéressante pour l'entrainement individuel des élèves.

Pour en savoir plus: http://www.tablettesetpirouettes.com/lecon-a-manipuler-sur-les-tables-de-multiplications/
http://www.antonellaperucca.net/easy-multiplication-tables.html
Affichages et supports

Antonella Perucca, professeur (Department of Mathematics - University of Luxembourg) propose des affichages à imprimer (pour faire imprimer sur un mug, un poster...) :

Apprendre avec des jeux / logiciels:

Et les jeux/applis numériques :voir ici

mais aussi l' appli " Défi tables " : lien

"Mathemagics Multiplication" est une méthode basée sur la visualisation mentale, elle est adaptée à l'imaginaire des enfants et leur permet de mieux retenir les tables de multiplication. En savoir plus ici

Sources
- Roland Charnay, formateur à l'IUFM de Lyon, co-fondateur du groupe Ermel - Jean Luc Brégeon, formateur à l'IUFM d'Auvergne - Dominique Pernoux, formateur à l'IUFM d'Alsace -Jean-Luc Brégeon, formateur ESPE - Rémi Brissiaud, IUFM de Versailles - Catherine Houdement, Maître de conférences en didactique des mathématiques
- " Mémoriser au cycle 3 " Nathan pédagogie - Les pratiques de l'éducation

- Travaux de chercheurs :

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Il n'existe pas de techniques qui à elles seules, permettraient de mémoriser n'importe quoi, dans n'importe quelle condition. La mémoire, c'est l'aptitude à enregistrer des informations et la possibilité de les exprimer et de s'en servir pour se rappeler (mémoire orientée vers le passé) ou pour construire et faire des projets (mémoire orientée vers l'avenir)....

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Table de Pythagore - multiplication, Pythagore, calcul mental, cycle 2

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On oublie parfois de faire les présentations et pourtant, certains élèves se sentent davantage en confiance lorsqu'ils connaissent l'histoire de ce personnage au drôle de nom. Pythagore (en grec Πυθαγόρας / Pythagóras), né vers 569 av. J.-C. et mort vers 494 av. J.-C., était un mathématicien, philosophe et astronome de la Grèce antique.

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Le principe est que chaque nombre entier non nul s'écrit de manière unique comme la somme de puissances de 2, autrement dit qu'il s'écrit d'une manière unique en base deux.

Le principe s'appuie cette fois sur les nombres de Fibonacci. Léonard de Pise, dit Fibonacci, naît en 1170, vraisemblablement à Pise. Son père occupant un poste diplomatique, il le suit très tôt à l'étranger et reçoit son éducation en Afrique du Nord. Durant ces voyages, il s'intéresse et accumule quantité de données sur les systèmes mathématiques de ces pays. De retour en Italie en 1202, il publie ces données dans "Liber Abaci". Cet ouvrage introduit au monde européen l'arithmétique arabe, ainsi que le système de positionnement décimal arabe-hindou.

La suite de Fibonacci est la suite F(n) définie de la manière suivante :

On démontre que tout nombre entier s'écrit de manière unique comme une somme de nombres de la suite de Fibonacci non consécutifs, si on prend les nombres de Fibonacci à partir de F(2).

Le principe s'appuie cette fois sur les nombres de Lucas. Edouard Lucas (1842-1891) est né à Amiens et fit une carrière remarquable d'enseignant et de mathématicien au cours de laquelle il occupa la chaire de Mathématiques Spéciales du lycée de Moulins sur Allier d'avril 1872 à septembre 1876. Il est connu par ses travaux en théorie des nombres et aussi pour l'invention de quelques jeux comme le baguenaudier et les tours de Hanoï, le nom du soi-disant importateur du jeu était N. Claus de Siam (anagramme de Lucas d'Amiens). Il publie plusieurs livres sur les mathématiques et les quatre fameux tomes des récréations mathématiques.

On démontre que tout nombre entier s'écrit de manière unique comme une somme de nombres de la suite de Lucas non consécutifs.

Le principe est que chaque nombre entier non nul s'écrit de manière unique comme la somme ou la différence de puissances de 3. Cela provient du fait que tout nombre entier s'écrit d'une manière unique en base trois.

Les puissances de trois sont :

1, 3, 9, 27, 81, 243, ...

Par exemple :

100 = 81 + 27 - 9 + 1 121 = 81 + 27 + 9 + 3 + 1

Voici les cartes pour les nombres de 1 à 100 :

Comment utiliser ces cartes?

Demander à une personne de choisir un nombre compris entre 1 et 100, sans communiquer son choix. Présenter les cartes et demander de sélectionner toutes les cartes sur lesquelles se trouve le nombre choisi. Avec ces cartes, faire deux paquets: le paquet des cartes où le nombre est écrit en bleu (on l'appellera le paquet bleu) et celui des cartes où le nombre est en rouge (on l'appellera le paquet rouge).

Il est alors facile de retrouver le nombre : pour le paquet bleu, additionner les nombres soulignés et faire de même pour le paquet rouge; puis soustraire les deux nombres obtenus.

Par exemple, le nombre 100 se trouve sur les cartes suivantes:

- Paquet bleu:

- Paquet rouge:

1 + 27 + 81 = 109

109 - 9 = 100

Remarque.

Le problème peut se poser d'une manière différente à propos de la pesée d'objets sur une balance à deux plateaux. Si on dispose de masses marquées de 1g, 3 g, 9g, 27 g et 81 g, chacune en un seul exemplaire, il est toujours possible de peser, au gramme près, un objet d'un poids au plus égal à 121g avec ces masses marquées, étant entendu qu'on peut en placer sur le plateau qui contient l'objet.

Par exemple, la balle ci-dessous pèse 100 grammes:

Ce problème avait déjà été posé par Claude-Gaspard BACHET de MEZIRIAC (1581-1638) auteur en 1612 des " Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres"

"Etant donnée telle quantité que l'on voudra pesant un nombre de livres depuis 1 jusques à 40 inclusivement (sans toutefois admettre les fractions), on demande combien de poids pour le moins il faudrait employer à cet effet. "

Ce qu'on peut reformuler ainsi: Trouver une série de poids avec lesquels on puisse faire toutes les pesées en nombre entier depuis 1 jusqu'à la somme des poids employés, cette somme étant la plus grande possible relativement au nombre de poids.

Solution:

S'il n'y a que deux poids a et b, par exemple a < b, on peut certes peser b + a, mais on doit aussi peser b + 1 qui lui est inférieur ou égal ; donc a = 1 : s'il n'y a que deux poids, l'un d'eux est forcément 1.

Le poids suivant est 3 : car avec 3 l'on pèse aussi 2 (3 d'un côté de la balance, 1 de l'autre coté) et 4. Tandis qu'avec 2 (et 1 qu'on a déjà) on ne peut peser 4, donc 3 est plus avantageux. D'autre part on ne peut sauter à 4 dès le deuxième poids, car avec 1 et 4 on aurait certes 3 (4 d'un côté de la balance, 1 de l'autre coté) mais il serait impossible d'avoir 2. Il en va de même pour tout poids supérieur à 4, qui ne permet pas de peser 2, même par différence. Donc le second poids est 3.

De proche en proche on peut ainsi démontrer que les quatre premiers poids sont 1, 3, 9, 27 : ce sont ces quatre poids qui permettent d'aller jusqu'à 40 (égal à 27 + 9 + 3 + 1) et le problème posé par Bachet est résolu. Sachant qu'on peut peser par différence entre les plateaux, par exemple 19 se pèse avec 27 et 1 d'un côté, 9 de l'autre.

La solution générale est, on l'a compris, les poids de type 3 n ; les n premiers permettent de peser jusqu'à S = 1 +...+ 3 n ; le poids suivant dont on a besoin pour peser est 2S+1, on obtient alors tous les poids entre (S+1) et (2S+1) par différence de pesée sur les plateaux.

Or, S = ½ (3 n+1 - 1) (multipliez par 3 : 3S = S +3 n+1 - 1) : et donc le poids suivant (2S+1) c'est bien 3 n+1; S étant la dernière pesée possible avec les n premiers poids, on a besoin du poids suivant pour continuer ; ainsi la pesée suivant S, soit ½ (3 n+1 +1) s'obtient en mettant 3 n+1 d'un côté, tous les autres poids de l'autre [on pèse 3 n+1 - S = ½ (3 n+1 +1) ]

Le texte original de cette démonstration se trouve à l'adresse: http://www.maths-et-physique.net/article-24670903.html
RETOUR AU SOMMAIRE GENERAL
Par exemple, 100 = 76 + 18 + 4 + 2

Voici les cartes pour les nombres de 1 à 100 :

L'utilisation des cartes se fait selon le même principe que pour le jeu n°1.

La suite de Lucas est la suite L(n) définie de la manière suivante :

L(1) = 2, L(2) = 1, L(3) = 3, ..., L(n+1) = L(n-1) + L(n)

Cela donne les nombres de Lucas :

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, ...

En calculant le quotient de 2 nombres consécutifs dans la suite de Lucas, on obtient une suite convergeant vers le nombre d'or ( 1, 618...):

Par exemple, 100 = 89 + 8 + 3

Voici les cartes pour les nombres de 1 à 100 :

L'utilisation des cartes se fait selon le même principe que pour le jeu n°1.

F(1) = 1, F(2) = 1, ..., F(n+1) = F(n-1) + F(n)

Cela donne les nombres de Fibonacci :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

En calculant le quotient de 2 nombres consécutifs dans la suite de Fibonacci, on obtient une suite convergeant vers le nombre d'or ( 1, 618...):

Les puissances de deux sont :

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...

Par exemple :

100 = 64 + 32 + 4 127 = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

Voici les cartes pour les nombres de 1 à 100 :

Comment utiliser ces cartes?

Demander à une personne de choisir un nombre compris entre 1 et 100, sans communiquer son choix. Présenter les cartes et demander de sélectionner toutes les cartes sur lesquelles se trouve le nombre choisi.

Il est alors facile de retrouver le nombre : il suffit d'additionner les nombres inscrits en rouge sur les cartes sélectionnées.

Par exemple, le nombre 100 se trouve sur les cartes :

Comme nous l'avons vu : 100 = 64 + 32 + 4

Ces jeux de cartes peuvent fournir l'occasion d'activités de calcul mental avec des élèves de cycle 2 et de cycle 3 de l'école primaire. Leur réalisation est très simple et leur utilisation est expliquée ci-dessous, avec les justifications mathématiques.

= 2,

= 1,625,

= 1,61538...

= 3,

= 1,75,

= 1,63636...,

= 1,6206...

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Le principe est que chaque nombre entier non nul s'écrit de manière unique comme la somme de puissances de 2, autrement dit qu'il s'écrit d'une manière unique en base deux. Le principe s'appuie cette fois sur les nombres de Fibonacci. Léonard de Pise, dit Fibonacci, naît en 1170, vraisemblablement à Pise.

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Find high-quality images, photos, and animated GIFS with Bing Images

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Find high-quality images, photos, and animated GIFS with Bing Images

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Table de Pythagore - calcul mental - multiplication

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Pour s'entraîner au calcul mental Le curseur en bas permet de voir le résultat.

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Calcul mental - les tables de multiplciations - tables de Pythagore

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Alexandra Labrousse

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Des applications interactives au service du domaine "Nombres et calculs" au cycle 2.

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Un gros morceau pour moi cette année : le calcul mental ! J'ai attaqué l'année avec les fichiers de calcul mental CM de Cenicienta qui m'ont bien sauvé la mise en début d'année quand on m'a annoncé le remplacement à l'année la veille de la rentrée mais l'absence de distinction CM1 / CM2 m'a rapidement posé problème : mes CM2 finissaient en deux secondes quand il fallait plus de temps à mes CM1. J'ai donc bûché sur un fichier de calcul mental qui aborde les mêmes notions mais sur deux niveaux de difficulté différents.

Dans l'idée, je commence par un petit temps en commun où je présente la notion abordée et la une technique de calcul. J'affiche ensuite sur le TBI un double écran (en fait c'est mon fichier pdf qui est séparé en deux, pas de manip compliquée à faire) avec d'un côté les calculs à faire sur cahier pour les CM1 ou les CM2 (on alterne un jour sur deux) qui seront donc en autonomie et un côté vierge qui me permet de travailler avec l'autre groupe.

Pour le deuxième groupe qui travaille donc sur ardoise, j'utilise le fichier de calcul mental enseignant que vous pouvez-voir sur la photo ci-dessus. Cette partie de tableau vierge me sert à expliciter les procédures, écrire les calculs demandés (même si c'est du calcul mental le fait de visualiser les nombres écrits permet de diminuer la charge cognitive de mémorisation court terme pour favoriser la procédure de calcul), faire passer un élève du groupe avec lequel je suis, etc.

A noter que ce fichier à projeter inclus aussi des compte est bon qui, outre les bénéfices habituels détaillés dans l'article, permettent aussi aux élèves plus rapides de pouvoir enchaîner directement. Quand vient le moment de corriger, et comparer les procédures des élèves, nous pouvons utiliser la partie vierge du tableau.

Pour préciser encore, ici il n'est question que de calcul mental / rapide dans l'idée d'appréhender les différentes techniques de manipulation des nombres pour pouvoir traiter une opération avec la technique qui nous convient le mieux (multiplier par 5 c'est pareil que multiplier par 10 et prendre la moitié ; enlever 9 c'est comme enlever 10 et redonner 1 ; multiplier par 11 c'est multiplier par 10 et ajouter encore une fois le nombre ; etc.). Je n'ai donc pas inclus de dictées de nombres, de décomposition sur les grands nombres ou les nombres décimaux qui seront donc à faire par ailleurs ; avec les collègues (coucou les filles) nous avions fait un rituel à part pour ces problématiques.

Ci-dessous les liens pour télécharger les fichiers (période par période, j'ajouterai un fichier global dans quelques temps). Personnellement j'imprime les fichiers enseignant que je glisse dans le même porte-vues que celui où j'ai mis les compte est bon, avec des post-it en guise de marque-page.
Note : Je vous mets aussi les liens vers les quelques ressources (vidéos et présentations) que j'ai bricolées en plus pour la classe à la maison pour les périodes 4 et 5.
Pour la classe à la maison, vous trouverez presque la totalité des séances de la période 4 sur ma chaîne youtube.

Pour la période 5, pour anticiper le manque de temps (classe en présentiel et classe à la maison), je suis parti sur des diaporamas consultables en ligne que vous pouvez aussi télécharger au format powerpoint. Pour la classe à la maison, j'envoie les liens aux familles chaque semaine. C'est nettement moins fourni au niveau des explications que l'on peut passer (diaporama oblige) mais ça a le mérite d'être plus concis. Autre point, je n'ai pas fait de distinguo CM1/CM2 (ce qui est un comble en regard du début de l'article mais à la maison on n'a pas à gérer le groupe donc chacun peut aller à sa vitesse sans que cela soit un soucis). Un exemple de diaporama de calcul mental ci-dessous.

Vous les trouverez dans mon drive. Je vous invite à utiliser plutôt la version consultable en ligne car en téléchargeant le powerpoint vous pouvez avoir des problèmes d'affichage si il vous manque des polices. Il suffit d'ouvrir le diaporama et de cliquer sur le bouton " Lire " en haut à droite. Pour les partager avec les familles, il vous suffit d'ouvrir le diaporama et de copier-coller l'adresse.

Comme d'habitude, je suis preneur des retours sur d'éventuelles erreurs dans les fichiers et de vos remarques après usage en classe (notamment savoir si la difficulté CM1/CM2 vous paraît bien réglée - j'ai cette année un très bon groupe de CM2 donc je me suis peut être un peu emballé -, et si un fichier élève vous semble utile).
Note du 27.08.2020 : Je viens d'ajouter les fichiers pour les périodes 1 et 2. J'ai fait une légère modification sur les fichiers de la période 3, pensez à utiliser cette dernière version.

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Calcul mental CM1 CM2 - Fichier enseignant, fichier élève projetable et autres ressources

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Un gros morceau pour moi cette année : le calcul mental ! J'ai attaqué l'année avec les fichiers de calcul mental CM de Cenicienta qui m'ont bien sauvé la mise en début d'année quand on m'a annoncé le remplacement à l'année la veille de la rentrée mais l'absence de distinction CM1 / CM2 m'a rapidement...

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Alexandra Labrousse

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des outils numériques pour enseigner les mathématiques au cycle 3

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éduscol | Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse - Direction générale de l'enseignement scolaire

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Évaluations 2023 en CP et CE1 - Premiers résultats

La Direction de l'évaluation de la prospective et de la performance (Depp) publie le document " Évaluations 2023 Repères CP, CE1 - Premiers résultats" qui expose la démarche mise en œuvre lors de l'évaluation qui s'est tenue lors de la rentrée scolaire 2023.

Il décrit la méthodologie retenue pour concevoir les outils d'évaluation et définir les seuils de réussite pour chaque domaine. Il présente les premiers résultats de l'édition 2023 de l'évaluation en les mettant en regard avec ceux observés en 2022. Enfin, il aborde aussi la démarche qualité entreprise par la Depp en présentant les principaux résultats de l'enquête déployée auprès des enseignants et des inspecteurs de circonscription après chaque évaluation Repères.

A consulter sur education.gouv.fr : Évaluations 2023 Repères CP, CE1 - Premiers résultats

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Évaluations des acquis et besoins des élèves au CE1

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Pour permettre aux enseignants d'adapter leurs pratiques pédagogiques à leur classe, les élèves de CE1 sont évalués en français et en mathématiques en début d'année scolaire.

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Socle commun de compétences et de connaissances

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Socle commun de compétences et de connaissances

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Résultats Picasso des évaluations nationales CP CE1 R2021

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Résultats Picasso des évaluations nationales CP CE1 R2021

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Des progressions par niveau (du CP au CM2) sont proposées, pour aider à la mise en place du championnat acdémique de calcul mental dans les classes.

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Les gestes professionnels de Dominique Bucheton

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Livret élève

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deviner le nombre choisi

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Guide professeur

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Résultats Picasso évaluations 6ème R2021

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Résultats Picasso évaluations 6ème R2021

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Calcul C2

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Pontault-Combault-Les différents types de calcul aux cycle 2-document de synthèse-Fabien Brugier-2021-2022

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Calcul C3

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Pontault-Combault-Les différents types de calcul aux cycle 3-document de synthèse-Fabien Brugier-2020-2021

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In this maze, the path from the entrance to the exit is hidden by math problems. Answer all of the problems correctly, and you find the correct path to the finish. Make a mistake, and you will be led in the wrong direction. Worse, taking a wrong turn could reveal a path of correct answers that eventually dead-ends. Choose from the size of the maze, problem difficulty and whether you would like the correct path to sometimes lead to a dead-end.

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teaching materials worksheets printables math fractions handwriting geometry homeschooling classroom teachers parents geography spelling language puzzles

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In this maze, the path from the entrance to the exit is hidden by math problems. Answer all of the problems correctly, and you find the correct path to the finish. Make a mistake, and you will be led in the wrong direction.

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The premier web service for creating professional educational resources. Used by teachers and parents around the world.

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Construire une grille d'observation: quels observables?

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Construire une grille d'observation: quels observables?

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9/3/2022

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Aussi ludique qu'efficace : parfait pour l'école

Avec Mathador, la dimension ludique est aussi importante que l'aspect calcul. Le jeu, par le changement de cadre qu'il implique, valorise et remotive les élèves même les plus en difficulté. La notion de défi ajoute une dimension sociale à la pratique des mathématiques.

A l'inverse du calcul mental classique, direct (une opération donnée, un résultat attendu), le joueur est ici rendu acteur dans son calcul. Le principe du compte-est-bon, c'est du calcul mental à l'envers : le nombre-cible à fabriquer est consciemment ou inconsciemment analysé avant de chercher à l'atteindre. L'occasion de travailler sur la perception des ordres de grandeur, le sens des nombres et le sens des opérations.

Plusieurs enquêtes internationales ( TIMSS 2015 notamment) ont pointé le recul français en matière d'apprentissage des mathématiques. Le rapport Villani-Torossian (" 21 mesures pour l'enseignement des mathématiques ", 2018) recommande entre autres l'utilisation du jeu et le renforcement de la pratique régulière du calcul mental. Les jeux Mathador s'inscrivent pleinement dans cette dynamique d'apprentissage.
Applications et jeux en ligne, offre Classe, boîtes de jeux, escape game... autant de façons de calculer avec vos élèves !

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Mathador : jeu de calcul mental, application, concours, jeu en ligne ou jeux de société

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Avec Mathador, la dimension ludique est aussi importante que l'aspect calcul. Le jeu, par le changement de cadre qu'il implique, valorise et remotive les élèves même les plus en difficulté. La notion de défi ajoute une dimension sociale à la pratique des mathématiques.

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Observations croisées, analyse de pratiques

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Observations croisées, analyse de pratiques

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vendredi 20 mai 2022