# data[].attributes.body
Евклид IV века до нашей эры

# data[].attributes.attachment_link.title
Евклид - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Евклид - первый математик Александрийской школы. Его главная работа " Начала" (Στοιχεῖα, в латинизированной форме - "Элементы") содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию древнегреческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики.

# data[].attributes.body
Пингала ок. 200 г. до н. э.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Пингала

Математик, живший в Древней Индии и создавший труд "Чандас-шастра". Это был трактат, созданный на санскрите и посвященный стихосложению.

Произведение имеет восемь глав. Это переходное произведение, в котором осуществился отход от ведического размера к классическому размеру эпических произведений, написанных на санскрите. В Х веке математиком по имени Халаюдха были созданы комментарии к "Чандас-шастре" и расширено её содержание.

Помимо этого Пингала является автором первого научного подхода, описавшего двоичную систему исчисления. Она была создана в процессе перечисления ведических размеров стихосложения, в основе которых находились короткие и длинные слоги. То, как он описывает мену слогов, сильно напоминает знаменитый бином Ньютона. В работе Пингалы содержатся и понятие чисел Фибоначчи.

Несмотря на немалый вклад Пингалы в науку, некоторые достижения ему все же приписали ошибочно. Так, он не использовал число ноль, как полагают некоторые исследователи, и не является ученым, введшим его в научный математический обиход. Он всего лишь пытался описать систему коротких и длинных слогов, которой четыре коротких слога (0000) равнялись единице, а не нолю.

# data[].attributes.attachment_link.title
Биографии великих физиков и математиков - Пингала

# data[].attributes.attachment_link.description
Пингала Математик, живший в Древней Индии и создавший труд "Чандас-шастра". Это был трактат, созданный на санскрите и посвященный стихосложению. Произведение имеет восемь глав. Это переходное произведение, в котором осуществился отход от ведического размера к классическому размеру эпических произведений, написанных на санскрите. В Х веке математиком по имени Халаюдха были созданы комментарии к "Чандас-шастре" и расширено её содержание.

# data[].attributes.location_name
Бухара, Узбекистан

# data[].attributes.headline
Бухара, Узбекистан

# data[].attributes.subject
Бухара, Узбекистан

# data[].attributes.body
Омар Хайям  1123 г

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Гийяс-ад-Ди́н Абу-ль-Фатх Ома́р ибн-Эбрахи́м Хайя́м Нишапури́ ( перс. غیاث الدین ابوالفتح عمر بن ابراهیم خیام نیشابورﻯ‎), Ома́р Хайя́м (عمر خیام); , Нишапур - , там же) - персидский философ, математик, астроном и поэт.

Внёс вклад в алгебру построением классификации кубических уравнений и их решением с помощью конических сечений. Известен во всём мире как философ и выдающийся поэт, автор цикла философских рубаи. Омар Хайям также известен созданием самого точного из ныне используемых календарей. Учениками Хайяма были такие учёные, как Музаффар аль-Асфизари и Абдуррахман аль-Хазини.

Гийяс-ад-Ди́н Абу-ль-Фатх Ома́р ибн-Ибрахим Хайя́м Нишапури́

غیاث ‌الدین Гийяс-ад-Дин - хитаб, "помощь религии".

بن ابراهیم ибн-Эбрахим - насаб, "сын Эбрахима".

خیام Хайям - тахаллус, "палаточный мастер" (предположительно, указание на ремесло отца; от слова "хайма" - палатка, от этого же слова предположительно происходит старорусское "хамовник" - текстильщик).

Родился в городе Нишапур, который находится в Хорасане (ныне иранская провинция Хорасан-Резави). Омар был сыном палаточника, также у него была младшая сестра по имени Аиша. В 8 лет начал глубоко заниматься математикой, астрономией, философией. В 12 лет Омар стал учеником Нишапурского медресе. Позднее обучался в медресе Балха, Самарканда и Бухары. Там он с отличием окончил курс по мусульманскому праву и медицине, получив квалификацию хаки́ма, то есть врача. Но медицинская практика его мало интересовала. Изучал сочинения известного математика и астронома Сабита ибн Курры, труды греческих математиков.

Детство Хайяма пришлось на жестокий период сельджукского завоевания Центральной Азии. Погибло множество людей, в том числе значительная часть учёных. Позже в предисловии к своей "Алгебре" Хайям напишет горькие слова:

Мы были свидетелями гибели учёных, от которых осталась небольшая многострадальная кучка людей. Суровость судьбы в эти времена препятствует им всецело отдаться совершенствованию и углублению своей науки. Большая часть тех, которые в настоящее время имеют вид учёных, одевают истину ложью, не выходя в науке за пределы подделки и лицемерия. И если они встречают человека, отличающегося тем, что он ищет истину и любит правду, старается отвергнуть ложь и лицемерие и отказаться от хвастовства и обмана, они делают его предметом своего презрения и насмешек.

В возрасте шестнадцати лет Хайям пережил первую в своей жизни утрату: во время эпидемии умер его отец, а потом и мать. Омар продал отцовский дом и мастерскую и отправился в Самарканд. В то время это был признанный на Востоке научный и культурный центр. В Самарканде Хайям становится вначале учеником одного из медресе, но после нескольких выступлений на диспутах он настолько поразил всех своей учёностью, что его сразу же сделали наставником.

Как и другие крупные учёные того времени, Омар не задерживался подолгу в каком-то городе. Всего через четыре года он покинул Самарканд и переехал в Бухару, где начал работать в хранилищах книг. За десять лет, что учёный прожил в Бухаре, он написал четыре фундаментальных трактата по математике.

В 1074 году его пригласили в Исфахан, центр государства Санджаров, ко двору сельджукского султана Мелик-шаха I. По инициативе и при покровительстве главного шахского визиря Низам аль-Мулька Омар становится духовным наставником султана. Через два года Мелик-шах назначил его руководителем дворцовой обсерватории, одной из крупнейших в мире. Работая на этой должности, Омар Хайям не только продолжал занятия математикой, но и стал известным астрономом. С группой учёных он разработал солнечный календарь, более точный, чем григорианский. Составил "Маликшахские астрономические таблицы", включавшие небольшой звёздный каталог. Здесь же написал "Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида" (1077 г.) из трёх книг; во второй и третьей книгах исследовал теорию отношений и учение о числе. Однако в 1092 году, со смертью покровительствовавшего ему султана Мелик-шаха и визиря Низам ал-Мулька, исфаханский период его жизни заканчивается. Обвинённый в безбожном вольнодумстве, поэт вынужден покинуть сельджукскую столицу.

О последних часах жизни Хайяма известно со слов его младшего современника - Бейхаки, ссылающегося на слова зятя поэта.

Однажды во время чтения "Книги об исцелении" Абу Али ибн Сины Хайям почувствовал приближение смерти (а было тогда ему уже за восемьдесят). Остановился он в чтении на разделе, посвященном труднейшему метафизическому вопросу и озаглавленному "Единое во множественном", заложил между листов золотую зубочистку, которую держал в руке, и закрыл фолиант. Затем он позвал своих близких и учеников, составил завещание и после этого уже не принимал ни пищи, ни питья. Исполнив молитву на сон грядущий, он положил земной поклон и, стоя на коленях, произнёс: "Боже! По мере своих сил я старался познать Тебя. Прости меня! Поскольку я познал Тебя, постольку я к Тебе приблизился". С этими словами на устах Хайям и умер.

Хайяму принадлежит "Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы", в котором даётся классификация уравнений и излагается решение уравнений 1-й, 2-й и 3-й степени. В первых главах трактата Хайям излагает алгебраический метод решения квадратных уравнений, описанный ещё ал-Хорезми. В следующих главах он развивает геометрический метод решения кубических уравнений, восходящий к Архимеду: корни данных уравнений в этом методе определялись как общие точки пересечения двух подходящих конических сечений. Хайям привёл обоснование этого метода, классификацию типов уравнений, алгоритм выбора типа конического сечения, оценку числа (положительных) корней и их величины. Хайям не заметил, что кубическое уравнение может иметь три положительных действительных корня. До явных алгебраических формул Кардано Хайяму дойти не удалось, но он высказал надежду, что явное решение будет найдено в будущем.

Во введении к данному трактату Омар Хайям даёт первое дошедшее до нас определение алгебры как науки, утверждая: алгебра - это наука об определении неизвестных величин, состоящих в некоторых отношениях с величинами известными, причём такое определение осуществляется с помощью составления и решения уравнений.

В 1077 г. Хайям закончил работу над важным математическим трудом - "Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида". Трактат состоял из трёх книг; первая содержала оригинальную теорию параллельных прямых, вторая и третья посвящены усовершенствованию теории отношений и пропорций. В первой книге Хайям пытается доказать V постулат Евклида и заменяет его более простым и очевидным эквивалентом: Две сходящиеся прямые должны пересечься; по сути, в ходе этих попыток Омар Хайям доказал первые теоремы геометрий Лобачевского и Римана.

Далее Хайям рассматривает в своём трактате иррациональные числа как вполне законные, определяя равенство двух отношений как последовательное равенство всех подходящих частных в алгоритме Евклида. Евклидову теорию пропорций он заменил численной теорией.

При этом в третьей книге "Комментариев", посвящённой составлению (то есть умножению) отношений, Хайям по-новому трактует связь понятий отношения и числа. Рассматривая отношение двух непрерывных геометрических величин A и B, он рассуждает так: "Выберем единицу и сделаем её отношение к величине G равным отношению A к B, и будем смотреть на величину G как на линию, поверхность, тело или время; но будем смотреть на неё как на величину, отвлечённую разумом от всего этого и принадлежащую к числам, но не к числам абсолютным и настоящим, так как отношение A к B часто может не быть числовым... Следует, что бы ты знал, что эта единица является делимой и величина G, являющаяся произвольной величиной, рассматривается как число в указанном выше смысле". Высказавшись за введение в математику делимой единицы и нового рода чисел, Хайям теоретически обосновал расширение понятия числа до положительного действительного числа.

Ещё одна математическая работа Хайяма - "Об искусстве определения количества золота и серебра в состоящем из них теле" - посвящена классической задаче на смешение, впервые решённой ещё Архимедом.

Хайям возглавлял группу астрономов Исфахана, которая в правление сельджукского султана Джалал ад-Дина Малик-шаха разработала принципиально новый солнечный календарь. Он был принят официально в 1079 г. Основным предназначением этого календаря была как можно более строгая привязка Новруза (то есть начала года) к весеннему равноденствию, понимаемому как вхождение солнца в зодиакальное созвездие Овна. Так, 1 фарвардина ( Новруз) 468 солнечного года хиджры, в которое был принят календарь, соответствовало пятнице, 9 рамазана 417 лунного года хиджры, и 19 фарвардина 448 года эры Йездигерда (15 марта 1079 г.). Для отличия от зороастрийского солнечного года, называвшегося "древним" или "персидским" , новый календарь стали называть по имени султана - "Джалали" или "Малеки". Количество дней в месяцах календаря "Джалали" варьировало в зависимости от сроков вступления солнца в тот или иной зодиакальный знак и могло колебаться от 29 до 32 дней. Были предложены и новые названия месяцев, а также дней каждого месяца по образцу зороастрийского календаря. Однако они не прижились, и месяцы стали именоваться в общем случае именем соответствующего знака зодиака.

С чисто астрономической точки зрения календарь "Джалали" был точнее, чем древнеримский юлианский календарь, применявшийся в современной Хайяму Европе, и точнее, чем позднейший европейский григорианский календарь. Вместо цикла "1 високосный на 4 года" (юлианский календарь) или "97 високосных на 400 лет" (григорианский календарь) Хайямом принято было соотношение "8 високосных на 33 года". Другими словами, из каждых 33-х лет 8 были високосными и 25 обычными. Этот календарь точнее всех других известных соответствует году весенних равноденствий. Проект Омара Хайяма был утверждён и лёг в основу иранского календаря, который вплоть до настоящего времени действует в Иране в качестве официального с 1079 года.

Хайям составил "Маликшахов зидж ", включающий звёздный каталог 100 ярких звёзд и посвящённый сельджукскому султану Маликшаху ибн Алп Арслану. Наблюдения зиджа датированы 1079 годом ("на начало [первого] года високоса малики"); рукопись не сохранилась, но существуют списки с неё.

При жизни Хайям был известен исключительно как выдающийся учёный. На протяжении всей жизни он писал стихотворные афоризмы ( рубаи), в которых высказывал свои сокровенные мысли о жизни, о человеке, о его знании в жанрах хамрийят и зухдийят. С годами количество приписываемых Хайяму четверостиший росло и к XX веку превысило 5000. Возможно, свои сочинения приписывали Хайяму все те, кто опасался преследований за вольнодумство и богохульство. Точно установить, какие из них действительно принадлежат Хайяму (если он вообще сочинял стихи), практически невозможно. Некоторые исследователи считают возможным авторство Хайяма в отношении 300-500 рубаи.

Долгое время Омар Хайям был забыт. По счастливой случайности тетрадь с его стихами попала в викторианскую эпоху в руки английского поэта Эдварда Фицджеральда, который перевёл многие рубаи сначала на латынь, а потом на английский. В начале XX века рубаи в весьма вольном и оригинальном переложении Фицджеральда стали едва ли не самым популярным произведением викторианской поэзии. Всемирная известность Омара Хайяма как глашатая гедонизма, отрицающего посмертное воздаяние, пробудила интерес и к его научным достижениям, которые были открыты заново и переосознаны.

Хайям Омар. О доказательстве задач алгебры и алмукабалы. Историко-математические исследования, 6, 1953. - С. 15-66.

Хайям Омар. Комментарии к трудным постулатам книги Евклида. Историко-математические исследования, 6, 1953. - С. 67-107.

Хайям Омар. Об искусстве определения золота и серебра в состоящем из них теле. Историко-математические исследования, 6, 1953. - С. 108-112.

Хайям Омар. / Перевод А. П. Юшкевича. Статья и комментарии Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича. - М.: Изд. вост. лит., 1961.

Хаййам Омар. Трактаты. / Перевод Б. А. Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича. Статья и комментарии Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича. - М., 1962.

Хайям Омар. Первый алгебраический трактат. Историко-математические исследования, 15, 1963. - С. 445-472.

Хайям Омар. О прямом кустасе. Историко-математические исследования, 19, 1974. - С. 274-278.

Хайям Омар. Речь о родах, которые образуются квартой. Историко-математические исследования, 19, 1974. - С. 279-284.

Первым стал переводить Омара Хайяма на русский язык В. Л. Величко (1891). Хрестоматийный перевод рубаи на русский язык (1910) выполнил Константин Бальмонт. Некоторые русскоязычные издания рубаи:

Омар Хайям Рубайят. Подготовка текста, перевод и предисловие Р. М. Алиева и М. Н. О. Османова под редакцией Е. Э. Бертельса. Две части. Издательство восточной литературы. Москва 1959 год.

Омар Хайям Рубайят. Перевёл с таджикского-фарси: Владимир Державин. Издательство "ИРФОН", Душанбе, 1965 г.

Омар Хайям Рубаи. Пер. с фарси // Ирано-Таджикская поэзия. - М.:Художественная литература, 1974. - С. 101-124. / Библиотека всемирной литературы, серия 1, Т. 21.

Омар Хайям Рубаи. - Ташкент, изд. ЦК КП Узбекистана, 1978. - 104 с., 200 000 экз.

Омар Хайям Рубаи: Лучшие переводы / Сост.,вступ.статья, примеч. Ш. М. Шамухамедова. - Ташкент, Издательство ЦК Компартии Узбекистана, 1982. - 128 с., 7 вкл.л., 200 000 экз. (Избранная лирика Востока. Издание второе, дополненное)

Омар Хайям Рубаи. Перевод С. Северцева - в: Великое Древо. Поэты Востока. М., 1984, с. 282-284.

Омар Хайям Рубаи: Пер. с перс.-тадж. / Вступ. ст. З. Н. Ворожейкиной и А. Ш. Шахвердова; Сост. и примеч. А. Ш. Шахвердова. - Л.: Сов. писатель, 1986. - 320 с. Тираж 100 000 экз. (Библиотека поэта. Большая серия. Издание третье).

Омар Хайям: Рубайят. Сопоставление переводов / Малкович Р.Ш.. - СПб.: Издательство РХГА, 2012. - 696 с. - 500 экз. - ISBN 978-5-88812-542-7.

Сказание об Омаре Хайяме. - М.: Художественная литература, 1980. - 432 с.

Симашко Морис, Хадж Хайяма. - "Избранное", Алма-Ата, "Жазушы", 1983. - С. 400-423.

Ильясов Я. Заклинатель змей; Башня молчания: Повести. - Ташкент: Изд-во лит. и искусства, 1986. - 496 с.

"Омар Хайям" / "Omar Khayham" (1924) - США, в роли Фил Данхэм;

"Омар Хайям" / "Omar Khayyam" (1957) - США, в главной роли Корнел Уайлд;

"Омар Хайям" / "Ömer Hayyam" (1973) - Турция, в роли Орчун Сонат / Orçun Sonat.

"Омар Хайям" / "Omar Al-Khayyam" (2002) - США, в роли Джихад Саад / Jihad Saad;

"Хранитель: Легенда об Омаре Хайяме" (2005) - США, в главной роли - Бруно Ластра.

1. Климишин И. А. Календарь и хронология. - Изд. 3. - М.: Наука, 1990. - С. 38-39. - 478 с. - ISBN 5-02-014354-5.

2. Звездный каталог ал-Бируни с приложением каталогов Хайама и ат-Туси. Дата обращения: 2 мая 2010. . // Историко-астрономические исследования. Вып. VIII. 1962. С.83-192.

3. Омар Хайям. Четверостишия. - Русич - 2002.

4. Омар Хайям. Математические трактаты / Пер. Б. А. Розенфельда // Историко-математические исследования. Вып. VI. 1952. - С. 105-106.

5. ↑ Климишин И. А. Календарь и хронология. - М.: Наука, 1981. - 192 с.

6. В фарси имена знаков Зодиака представляют собой заимствования из арабского языка

7. Heydari-Malayeri M. A concise review of the Iranian calendar. Paris Observatory, 2006.

8. Хаййам Омар. Трактаты. Перевод Б. А. Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича. Статья и комментарии Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича. М., 1962.

9. UNIS Monument to Be Inaugurated at the Vienna International Centre, 'Scholars Pavilion' donated to International Organizations in Vienna by Iran. Дата обращения: 3 августа 2017.

Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. - К.: Наукова думка, 1983. - 639 с.

Глезер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. - М.: Просвещение, 1982. - 240 с.

История математики. Дата обращения: 15 марта 2008. с древнейших времён до начала XIX столетия (под ред. А. П. Юшкевича). - Т. I. - М.: Наука, 1972.

Крамар Ф. Д. Об исследованиях Омара Хайяма и Насирэддина Туси по теории параллельных линий. - Алма-Ата, 1964.

Национальная энциклопедия Узбекистана (узб.). - Ташкент, 2000-2005.

Омар Хайям // Литература и язык. Современная иллюстрированная энциклопедия / Под редакцией проф. Горкина А.П.. - М.: Росмэн, 2006.

Омар Хайям // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. - 3-е изд. - М. : Советская энциклопедия, 1969-1978.

М.-Н. Османов. // Краткая литературная энциклопедия: В 9 т / Гл. ред. А. А. Сурков. - М.: Сов. энцикл., 1968. - Т. 5: Мурари - Припев.

Розенфельд Б. А., Юшкевич А. П. Омар Хайям. - М.: Наука, 1965. - 194 с.

Розенфельд Б. А., Юшкевич А. П. Теория параллельных линий на средневековом Востоке. IX-XIV вв. - М.: Наука, 1983. - 128 с.

Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. 4-е изд. - М.: Наука, 1984. - 284 с.

Султанов Ш. З., Султанов К. З. . - М.: Молодая гвардия, 1987. - 320 с. - (Жизнь замечательных людей. - Вып. 679).

Шамсиддинов Д. Проблема общих понятий и научной абстракции в творчестве Омара Хайяма // Философские науки. - 1987. - № 7. - С. 101-105.

В Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона есть две статьи разных авторов об Омаре Хайяме:

# data[].attributes.attachment_link.description
Гийяс-ад-Ди́н Абу-ль-Фатх Ома́р ибн-Эбрахи́м Хайя́м Нишапури́ ( перс. غیاث الدین ابوالفتح عمر بن ابراهیم خیام نیشابورﻯ‎), Ома́р Хайя́м (عمر خیام); , Нишапур - , там же) - персидский философ, математик, астроном и поэт. Внёс вклад в алгебру построением классификации кубических уравнений и их решением с помощью конических сечений.

# data[].attributes.body
XVI века Михаэль Штифел

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Бино́м Нью́то́на - формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

где - биномиальные коэффициенты, - неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени - произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Примеры.

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора:

где r может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

При этом ряд

сходится при .

В частности, при и получается тождество

Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона - возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

где - мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна n (то есть по всем композициям числа n длины m). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения , даже если .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по n, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При , выражая , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть и ,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе "бином Ньютона" часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически). Например, в романе " Мастер и Маргарита" М. А. Булгакова: "подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате".

В повести " Последнее дело Холмса" Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: "...когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность..."

# data[].attributes.attachment_link.title
Бином Ньютона

# data[].attributes.attachment_link.description
Бино́м Нью́то́на - формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид где - биномиальные коэффициенты, - неотрицательное целое число. В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени - произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа).

# data[].attributes.body
Блез Паскаль, в XVII веке.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Бино́м Нью́то́на - формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

где - биномиальные коэффициенты, - неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени - произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Примеры.

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора:

где r может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

При этом ряд

сходится при .

В частности, при и получается тождество

Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона - возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

где - мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна n (то есть по всем композициям числа n длины m). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения , даже если .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по n, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При , выражая , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть и ,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе "бином Ньютона" часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически). Например, в романе " Мастер и Маргарита" М. А. Булгакова: "подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате".

В повести " Последнее дело Холмса" Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: "...когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность..."

# data[].attributes.attachment_link.title
Бином Ньютона

# data[].attributes.attachment_link.description
Бино́м Нью́то́на - формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид где - биномиальные коэффициенты, - неотрицательное целое число. В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени - произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа).

# data[].attributes.location_name
Англия, Великобритания

# data[].attributes.headline
Англия, Великобритания

# data[].attributes.subject
Англия, Великобритания

# data[].attributes.body
Исаак Ньютон около 1665 года

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Бино́м Нью́то́на - формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

где - биномиальные коэффициенты, - неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени - произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Примеры.

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора:

где r может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

При этом ряд

сходится при .

В частности, при и получается тождество

Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона - возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

где - мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна n (то есть по всем композициям числа n длины m). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения , даже если .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по n, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При , выражая , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть и ,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе "бином Ньютона" часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически). Например, в романе " Мастер и Маргарита" М. А. Булгакова: "подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате".

В повести " Последнее дело Холмса" Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: "...когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность..."

# data[].attributes.attachment_link.title
Бином Ньютона

# data[].attributes.attachment_link.description
Бино́м Нью́то́на - формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид где - биномиальные коэффициенты, - неотрицательное целое число. В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени - произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа).

# data[].attributes.location_name
Персия, Уттар Прадеш, Индия

# data[].attributes.headline
Персия, Уттар Прадеш, Индия

# data[].attributes.subject
Персия, Уттар Прадеш, Индия

# data[].attributes.body
ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век).

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Бино́м Нью́то́на - формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

где - биномиальные коэффициенты, - неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени - произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Примеры.

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора:

где r может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

При этом ряд

сходится при .

В частности, при и получается тождество

Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона - возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

где - мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна n (то есть по всем композициям числа n длины m). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения , даже если .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по n, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При , выражая , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть и ,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе "бином Ньютона" часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически). Например, в романе " Мастер и Маргарита" М. А. Булгакова: "подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате".

В повести " Последнее дело Холмса" Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: "...когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность..."

# data[].attributes.attachment_link.title
Бином Ньютона

# data[].attributes.attachment_link.description
Бино́м Нью́то́на - формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид где - биномиальные коэффициенты, - неотрицательное целое число. В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени - произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа).

# data[].attributes.body
Яну Хуэю, живший в XIII веке

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Бино́м Нью́то́на - формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

где - биномиальные коэффициенты, - неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени - произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Примеры.

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора:

где r может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

При этом ряд

сходится при .

В частности, при и получается тождество

Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона - возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

где - мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна n (то есть по всем композициям числа n длины m). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения , даже если .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по n, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При , выражая , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть и ,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе "бином Ньютона" часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически). Например, в романе " Мастер и Маргарита" М. А. Булгакова: "подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате".

В повести " Последнее дело Холмса" Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: "...когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность..."

# data[].attributes.attachment_link.title
Бином Ньютона

# data[].attributes.attachment_link.description
Бино́м Нью́то́на - формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид где - биномиальные коэффициенты, - неотрицательное целое число. В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени - произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа).