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APPLICAZIONI DEL TEOREMA DELLA MEDIA ALLA FISICA

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APPLICAZIONI DEL TEOREMA DELLA MEDIA ALLA FISICA

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Il teorema della media si rivela molto utile nel campo della fisica in quanto permette di trovare un valore medio (comodo ed utilizzabile per eseguire calcoli) di fenomeni fisici che descrivono andamenti in funzione del tempo di difficile interpretazione come delle sinusoidi o degli andament irregolari.
Ad esempio prendiamo il caso della corrente alternata, che ha un regime sinusoidale. grazie al teorema della media possiamo appunto calcolare il valore della corrente in funzione del tempo:
$$i(t)= \frac{AB}{R}wsn(\omega t)$$

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Osservando il teorema della media possiamo notare una certa somiglianza con quello di Lagrange in quanto se scriviamo l'integrale come una sottrazione di primitive ci accorgiamo che il teorema della media altro non è che quello di Lagrange con le primitive al posto delle funzioni di a e b.
quindi :
teorema di lagrange:
$$f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
teorema della media:
$$f(c)= \frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}$$
teorema della media sostituendo integrale con sottrazione di primitive:
$$f(c)= \frac{F(b)-F(a)}{b-a}$$
NOTA:
Il teorema di Lagrange afferma che la funzione f(x)almeno in un punto f(c) compreso nell'intervallo [a,b] ha una tangente // alla retta che unisce i punti f(a) e f(b) quindi le due rette hanno medesimo coefficiente angolare, e visto che il coefficiente angolare è determinato dalla derivata e visto che la derivata è in rapporto con la funzione come la funzione lo è con la primitiva, possiamo comprendere meglio il perchè di questa così grande somiglianza tra il teorema della media e quello di Lagrange.

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ponendo f(x) > 0 nell'intervallo [a,b]

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Essendo f(x) continua in [a,b] per il teorema di weierstrass essa è dotata di massimo M e di minimo m su [a,b], quindi si ha:
$$m\leq f(x)\leq M$$
Dalla proprietà di monotonia dell'integrale risulta:
$$\int_{a}^{b}mdx\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}Mdx$$
Nei membri a destra e sinistra della disuguaglianza si sta integrando una funzione costante, quindi:
$$\int_{a}^{b}mdx= m\int_{a}^{b}dx= m(b-a)$$
e
$$\int_{a}^{b}Mdx= M\int_{a}^{b}dx= M(b-a)$$
ne deriva:
$$m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(a,b)$$
ovvero se b>a :
$$m\leq \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)dx\leq M$$
Per il teorema dei valori intermedi f deve assumere in [a,b] tutti i valori x compresi tra m e M, quindi :
$$m\leq f(x)\leq M$$
quindi in particolare esiste un punto c appartenente [a,b] tale che:
$$f(c)= \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$$

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La media integrale di una fnzione è il rapporto tra l'integrale definito della funzione sull'intervallo e la lunghezza dell'intervallo

$$f(c)=\frac{\int_{a}^{b}{f(x) dx}}{b-a}$$
ne deriva:$$\left ( f(c) \right )\left ( b-a \right )=\int_{a}^{b}{f(x) dx}$$
il teorema della media dice:
sia f:[a,b]->R una funzione continua sull'intervallo [a,b] allora esiste almeno un punto c appartenente ad [a,b] tale che
$$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x) dx}= {f(c)}$$
ovvero esiste un punto in cui la valutazione della funzione coincide con la media integrale della funzione sull'intervallo

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https://www.youtube.com/watch?v=2t3_uNyYpQo

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(SPIEGAZIONE CON ESEMPI) http://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/integrali/655-media-integrale.html