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Ecuaciones mónicas es una ecuación de variable única es decir, una ecuación  de una sola variable en el que el coeficiente principal, el coeficiente distinto de cero del grado más alto, es igual a 1.
El coeficiente del término de mayor grado en un polinomio, es llamado coeficiente principal, es aquel que acompaña a la variable con mayor potencia.

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Una ecuación algebraica no mónica  ( a n ± 1 ) admite raíces o soluciones no enteras.

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En la matemática, especialmente en el álgebra superior, una ecuación algebraica de grado superior es una ecuación de la forma P(x) = 0 donde P(x) es un polinomio no nulo ni constante, con coeficientes enteros, cuyo grado se supone n ≥ 2. ​ ​. Donde x denota un número real o complejo desconocido que la satisface, esto es que reemplazado en P(x) da cero como resultado. Cualquier número que satisface la ecuación se llama raíz; el problema de resolver una ecuación significa hallar todas sus raíces. Cuando el grado del polinomio es n se dice que la ecuación correspondiente es de grado n. ​

Por ejemplo, el polinomio con coeficientes enteros

determina la ecuación , es decir, . Las resolución de esta ecuación determina las raíces de la ecuación, las cuales se interpretan geométricamente como sigue.

La gráfica de la función polinómica es una curva, donde los ceros del polinomio , si son reales, son las abscisas de los puntos de la curva donde corta al eje O x o es tangente al mismo ​. Una ecuación de grado impar, si tiene por lo menos una raíz real. Luego un punto en Ox, (x,0) para dicha raíz ​

Las ecuaciones algebraicas de orden superior están ya documentadas en Mesopotamia y diversas tablillas cuneiformes tratan con problemas prácticos que ofrecen la resolución de este tipo de ecuación. De hecho la solución general de ecuaciones de segundo grado con coeficientes positivos ya era conocida por los pueblos mesopotámicos. También en la matemática china se conocía desde antiguo la solución de este tipo de ecuaciones.

Tanto los matemáticos árabes como chinos, consideraron problemas particulares en los que intervenían ecuaciones cúbicas y de órdenes superiores. En la obra del matemático chino Li Chih (o Li Yeh, 1192-1279) se consideran incluso algunos problemas que involucran ecuaciones de sexto grado. Sin embargo, parece que la primera solución general y sistemática de las ecuaciones de tercer y cuarto grado fue obtenida por matemáticos italianos del siglo XVI. La solución de estas ecuaciones se podía realizar en términos de radicales. El estudio de soluciones generales llevó a estos matemáticos incluso a considerar por primera vez los números complejos, más frecuentemente en los cálculos intermedios necesarios para encontrar ciertos soluciones reales.

La ecuación quíntica (y las de grado superior a 5) no admitían soluciones generales construibles en términos de radicales por lo que su estudio fue más complicado y no se desarrollaron soluciones en términos de funciones trascendentes hasta el siglo XIX, por parte de matemáticos europeos.

Ecuación cúbica: , con una raíz real y dos complejas conjugadas

[Ecuación de quinto grado]]: tiene cinco raíces, tres reales y dos complejas; ninguna se puede expresar mediante radicales; caso de ecuación "irresoluble por radicales" ​

Ecuación de séptimo grado: tiene tres raíces reales, una de ellas positiva.

Ecuación de sexto grado: tiene una raíz positiva y otra negativa

Ecuaciones que no son algebraicas sobre , por no ser sus algunos de sus coeficientes números racionales:

, los coeficientes no son números enteros; se puede usar la fórmula de la ecuación completa de grado 2.

, los coeficientes no son enteros; sin embargo la teoría considera que tiene tres raíces en ℂ.

Sin embargo estas ultimadas dos ecuaciones si son algebraicas sobre , ya que sus coeficientes sí son números complejos.

Ecuaciones que no son algebraicas por ser trascendentes:

, es una ecuación trascendente, ya que involucra una función no polinómica (en este caso la única solución real de esta ecuación es t = 0).

, conlleva la función , que no es un polinomio.[7] ​

Consideraciones genéricas

Según los valores que asuma surgen las ecuaciones de la forma

de grado 1, 2, 3, 4, etc. o ecuaciones lineal, cuadrática, cúbica, cuártica, etc. Se asume que el coeficiente principal es distinto de cero; aunque ninguna condición se establece para los demás coeficientes. ​

Resolver ecuaciones algebraicas de una sola variable es relativamente sencillo para los grados 1 y 2.

Factorización

Si k es una raíz de la ecuación

se deduce del teorema del resto que P(x)es divisible por (x-k) y se cumple

donde es un polinomio de grado n-1.

Si es otra raíz distinta de k se obtiene

donde es un polinomio de grado n-2. Y así sucesivamente.

Una ecuación de segundo grado

no siempre admite solución sobre , aunque sí la admite sobre su clausura algebraica (si se trata de un cuerpo de característica nula). Existen a lo sumo dos soluciones, dadas por:

Puede ser que alguna de las soluciones anteriores, definibles sobre la clausura algebraica no son números del cuerpo . Por ejemplo la ecuación:

No admite solución sobre pero sí la admite sobre su clausural algebraica y también sobre (ya que contiene a la clausura algebraica de ).

Para ecuaciones de tercer y cuarto grado también pueden construirse las soluciones de la ecuación sobre la clausura algebraica de mediante el método de los radicales. Esto fue anticipado por Gerolamo Cardano, Tartaglia y Lodovico Ferrari, entre otros, en el siglo XVI. Sin embargo, para grado 5 o mayor, no tiene por qué existir una solución construible mediante el método de radicales, hecho probado por Évariste Galois a principios del siglo XIX.​

Una ecuación algebraica en el cuerpo de los racionales siempre puede convertirse en una ecuación con coeficientes enteros. Por ejemplo, tomemos la ecuación de tercer grado:

multiplicando por tres toda la ecuación tenemos:

La forma estándar de este tipo de ecuación, sin embargo, tiene un coeficiente unitario al principio:

Si todos los otros coeficientes son enteros, entonces las raíces de la ecuación son enteros algebraicos.

​

Si todas las soluciones de F=0 son soluciones de la ecuación G=0 se dice que esta es consecuencia de la anterior.

Por ejemplo, la ecuación

es consecuencia de la ecuación

.

En otros términos, si el conjunto solución de la ecuación F = 0 es parte del conjunto solución de la ecuación G = 0, esta es consecuencia de la ecuación F = 0.

Si todas las soluciones de F=0 son soluciones de la ecuación G=0 y recíprocamente se dicen que las dos ecuaciones son equivalentes.

Como ejemplo, la ecuación

y la ecuación

son equivalentes; sus conjuntos solución son iguales.

Se indican ciertas ecuaciones equivalentes y ecuación consecuencia de otra

1. La ecuación F+G=G es equivalente a la ecuación F = 0.

2. F/G = 0 es equivalente a la ecuación F = 0

3. FG = 0 es equivalente a las dos ecuaciones F= 0 y G = 0.

4. La ecuación Fn = 0 es consecuencia de la ecuación F=0, donde n es entero positivo mayor que 2.

5. La ecuación Fn = Gn es equivalente a la ecuación F = G si n es impar; y equivalente a las ecuaciones F=G y F= -G si n es par. ​

De acuerdo al Teorema fundamental del álgebra toda ecuación algebraica definida por un polinomio de grado n, tiene al menos una raíz en el conjunto ℂ de los números complejos.​

Como aplicación del TFA, toda ecuación algebraica de grado n se puede descomponer en n binomios lineales , siendo una raíz, que pudiera ser múltiple en algún caso. ​

como ejemplo, la ecuación de quinto grado

que se factoriza en

que tiene una raíz tripe el 1 y dos raíces conjugadas i y -i.

Si una ecuación de grado n, con coeficientees reales, tiene como raíz el número complejo entonces el conjugado de z* es también raíz de tal ecuación; siendo . ​. Sea la ecuación de cuarto grado

una de cuyas raíes es el número complejo

por lo tanto otra raíz, de hecho, lo es también

Una ecuación algebraica, usando solo el campo de los números reales, se puede factorizar en factores lineales y factores cuadráticos de la forma que resulta del producto de cada par de raíces complejas.​. El siguiente ejemplo

que puede ser factorizado como

Cuando una ecuación algebraica de coeficientes racionales tiene una raíz real irracional de la forma , entonces tiene también el número real . ​. Sea la ecuación de coeficientes racionales de tercer grado

que tiene dos raíces reales irracionales

y

Si una ecuación polinomial de coeficientes reales tiene grado impar no menor de 3, entonces tiene al menos una raíz real, porque las otras que serían complejas, aparecen en parejas de complejos conjugados. ​

Si la ecuación algebraica

tiene como raíz el número racional , entonces p es divisor de a n y que es divisor de a ₀.

Si la ecuación algebraica

(redundando: de coeficientes enteros) tiene una raíz entera k, entonces a n es divisible por k. Por ejemplo la ecuación

con seguridad tiene por lo menos una raíz real entera, la que tiene que ser divisor de 6. Potencialmente serían . Precisamente el número entero 2 es una raíz, las otras dos son complejas conjugadas.

1. Sullivan, J. (2006). "Polinomios y funciones racionales". Álgebra y Trigonometria (7ª edición). Pearson Educación. p. 374. .

2. Gustafson. álgebra intermedia. ISBN 970-686-553-5

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En la matemática, especialmente en el álgebra superior, una ecuación algebraica de grado superior es una ecuación de la forma P(x) = 0 donde P(x) es un polinomio no nulo ni constante, con coeficientes enteros, cuyo grado se supone n ≥ 2. ​ ​.

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¿QUÉ ES UN MONOMIO? Super facil - Para principiantes - PARTES DE UN MONOMIO

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Un Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan incógnitas de variables literales que constan de un solo término (si hubiera una suma o una resta sería un binomio), y un número llamado coeficiente.

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Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan incógnitas de variables literales que constan de un solo término (si hubiera una suma o una resta sería un binomio), y un número llamado coeficiente.​ Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio, que posee un único término.

Ejemplos de monomios:

Pero:

no son monomios, porque los exponentes no son naturales.

Un monomio posee una serie de elementos con denominación específica.

Dado el monomio:

se distinguen los siguientes elementos:​

El signo te indica si es negativo (-). Se omite si es positivo (+), y nunca puede ser cero ya que la expresión completa tendría valor cero.

La parte literal la constituyen las letras de la expresión.

El grado puede ser absoluto (la suma de los exponentes de su parte literal) o con relación a una letra.

Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+).

Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno.

Si algún término carece de exponente, este es igual a uno.

Si alguna parte literal no está presente, pero se requiere, entonces se considera con exponente cero, ya que:

Dada una variable , un número natural y un número real la expresión:

es un monomio.

Si tenemos varias variables: , el número real y los números naturales , el producto correspondiente:

también es un monomio.

El grado absoluto de un monomio es igual a la suma de los exponentes de las variables que lo componen.

Ejemplos

tiene grado 3
pues equivale a la expresión: y la suma de los exponentes es 2 + 1 = 3

tiene grado 1
pues equivale a y respecto de a la expresión:

tiene grado 3
por ser la suma de los grados de los literales:

Se llaman semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal.​

Son semejantes los monomios:

pues la parte literal de todos ellos es:

Monomios homogéneos

Son los monomios que tienen el mismo grado absoluto, se emplean en la solución de un cierto tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias.​

Monomios heterogéneos

Son los monomios que no tienen el mismo grado absoluto. Por ejemplo:

y ,porque el grado absoluto del primero es 2, mientras que el del segundo es 3.

Suma y resta de monomios

Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes.​

El resultado se obtiene sumando o restando sus coeficientes:

Ejemplo

Si los monomios no son semejantes, el resultado de la suma o resta es un polinomio.

Producto de monomios

Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes y de las partes literales, respectivamente.​

Ejemplos

Cociente de dos monomios

El cociente de dos monomios será otro monomio sólo cuando la parte literal del dividendo es múltiplo de la parte literal del divisor.

Ejemplos

sí es un monomio porque: es múltiplo de ;

no es un monomio porque: no es múltiplo de y el exponente del factor (del cociente) no es un número natural.

Véase también

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Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan incógnitas de variables literales que constan de un solo término (si hubiera una suma o una resta sería un binomio), y un número llamado coeficiente.​ Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales.

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Coeficiente: Es el número que multiplica a las letras

Parte literal: Son las letras que aparezcan en el monomio con los exponentes.

Grado: Es la suma de los exponentes que tenga el monomio.

Variable: Son cada una de las letras que aparecen en el monomio.

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Dos monomios son semejantes cuando tienen exactamente la misma parte literal.

Por ejemplo, un monomio semejante al que hemos visto antes, -2ab2, sería cualquiera que tuviese la misma parte literal: ab2

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En este post vamos a ver qué son los monomios, cuáles son los componentes y qué propiedades tienen.

Vamos a empezar viendo qué es un monomio:

Un monomio es una combinación de números y letras relacionados por multiplicaciones (solo multiplicaciones!!) y los exponentes de las letras solo pueden ser números no negativos.

Por ejemplo:

-5ax³

Es un monomio porque son combinaciones de números y letras relacionados solo por multiplicación y el exponente que aparece es un número no negativo.

-2m⁵ + m³

No es un monomio porque aparecen sumas y restas.

Ahora os propongo un ejercicio donde tenéis que decir si las siguientes expresiones algebraicas son monomios o no:

Las partes de un monomio:

Coeficiente: Es el número que multiplica a las letras

Parte literal: Son las letras que aparezcan en el monomio con los exponentes

Grado: Es la suma de los exponentes que tenga el monomio.

Variable: Son cada una de las letras que aparecen en el monomio

Por ejemplo, vamos a ver las partes del siguiente monomio:

-2ab²

Coeficiente: -2, es el número que acompaña a la parte literal

Grado: 1 + 2 = 3. El grado del monomio es 3

Variable: a, b. Son las dos letras que aparecen en el monomio

¿Qué son dos monomios semejantes?

Dos monomios son semejantes cuando tienen exactamente la misma parte literal.

Por ejemplo, un monomio semejante al que hemos visto antes, -2ab ², sería cualquiera que tuviese la misma parte literal: ab ²

Ahora os propongo que relacionéis los monomios de la columna de la izquierda con sus semejantes de la columna de la derecha.

Y con esto ya hemos terminado este post. Si queréis ver un vídeo con la explicación de las propiedades de los monomios, con más ejemplos: Las propiedades de los monomios.

En ese vídeo también encontraréis las soluciones de los ejercicios propuestos.

Espero que os haya gustado. ¡¡Hasta la semana que viene!!

Para seguir aprendiendo:

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Las propiedades de los monomios - Smartick

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En este post vamos a ver qué son los monomios, cuáles son los componentes y qué propiedades tienen. Vamos a empezar viendo qué es un monomio: Un monomio es una combinación de números y letras relacionados por multiplicaciones (solo multiplicaciones!!) y los exponentes de las letras solo pueden ser números no negativos.

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Para poder sumar dos o más monomios estos han de ser monomios semejantes, es decir, monomios que tienen la misma parte literal.

La suma de monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

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El material didáctico de apuntes de Superprof te explica brevemente diferentes operaciones de monomios (Suma, multiplicación, division etc.)

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El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.

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La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.

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Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.

5 · (2x²y³z) = 10x²y³z

Es corriente que para indicar la multiplicación no pongamos el signo por entre el número y el paréntesis

4(2x²y³z) = 8x²y³z

Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.

axn · bxm = (a · b)xn + m

(5x²y³z) · (2y²z²) = (2 · 5) x²y ³⁺²z ¹⁺² = 10x²y ⁵ z³

4x · (3x²y) = 12x³y

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multiplicación de monomios - Diccionario de Matemáticas | Superprof

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Producto de un número por un monomio El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número. 5 · (2x²y³z) = 10x²y³z Es corriente que para indicar la multiplicación no pongamos el signo por entre el...

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Sólo se pueden dividir monomios cuando el grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor

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Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia.

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potencia de un monomio - Diccionario de Matemáticas | Superprof

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Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia. (axn)m = am · xn · m (2x3)3 = 23(x3)3 = 8x9 (-3x2)3 = (-3)3 (x2)3 = −27x6