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Forma riconoscibile in moltissimi elementi naturali e artificiali della realtà che ci circonda, il triangolo è da sempre una delle figure più affascinanti e misteriose della geometria piana. Le sue caratteristiche e le sue proprietà sono state oggetto di studio e indagine fin dall'antichità. E tu quanto conosci i triangoli? Dalla classificazione ai punti notevoli, dai criteri di congruenza ai triangoli particolari: scopri tutto quello che c'è da sapere sui triangoli con questa lezione digitale!

Rifletti e rispondi - In occasione dell’Open Day, gli alunni e le alunne delle classi quinte della scuola primaria verranno a far visita alle classi prime della secondaria. Gli alunni e le alunne della secondaria hanno preparato nell’aula di scienze il materiale necessario per gli esperimenti da mostrare ai futuri alunni. Per impedire alle classi quinte l’accesso a uno dei banchi di lavoro, Karima, Nicolas e Sara devono circondare il banco attorno con del nastro a strisce gialle e nere che collega tre paletti distanziatori. Due di questi sono fissati al pavimento, mentre il terzo si può spostare a piacimento. I compagni di classe dispongono di nastri già tagliati, di lunghezze diverse. Osserva la vignetta: sapresti rispondere alla domanda di Sara?

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Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Redazione: Giulia Baccanelli, Mario Scalvini

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell'Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

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In Geometria, si definisce triangolo un poligono avente tre vertici, tre lati e tre angoli.
Per esistere, un triangolo deve inoltre rispettare una proprietà fondamentale:

la misura di ciascun lato deve essere minore della somma degli altri due e, come conseguenza, maggiore della loro differenza.

Attivati - Verifica la proprietà fondamentale affinché un triangolo esista: per farlo, prova a costruire un triangolo utilizzando GeoGebra, un software liberamente disponibile online che consente di lavorare con gli elementi della Geometria.
Collegati al sito di GeoGebra e dal menu in alto seleziona l'elemento Segmento - lunghezza fissa per disegnare il segmento AB nell'area di lavoro; assegna ad AB una lunghezza di 6 unità. Clicca ora sul punto B e, sempre con lo strumento Segmento - lunghezza fissa disegna il segmento BC lungo 3 unità; ripeti l'operazione posizionandoti su A e tracciando il segmento AD lungo 2 unità. Seleziona quindi dal menu il pulsante Muovi e prova a muovere i punti C e D: noterai che, con le misure date, ti è impossibile congiungerli per formare un triangolo; infatti, la misura di AB (6) è maggiore della somma BC+AD (3+2 = 5), quindi la proprietà fondamentale per la costruzione di un triangolo non è soddisfatta.
Quale misura dovrebbe avere AB affinché sia possibile la costruzione di un triangolo?

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Il pacchetto di app online gratuite di GeoGebra: grafici, geometria, algebra, 3D, statistica e probabilità, tutte in uno strumento!

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L’altezza di un triangolo è il segmento perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto (o sul suo prolungamento). Poiché in ogni triangolo sono presenti tre vertici e tre lati, vi sono tre altezze che si incontrano sempre in un punto chiamato ortocentro.

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L'ortocentro di un triangolo con Geogebra

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L'ortocentro di un triangolo con Geogebra

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Attivati - Prova a determinare l'ortocentro di un triangolo costruito con GeoGebra:

usa lo strumento Poligono per disegnare un triangolo qualsiasi ABC;

per disegnare le altezze seleziona dal menu Retta perpendicolare e traccia, per ciascun lato, la retta perpendicolare passante per il vertice opposto;

determina quindi l'ortocentro D, punto di intersezione delle altezze, con il comando Intersezione.

Utilizza ora il comando Muovi e prova a cambiare posizione ai tre vertici della figura in modo da ottenere un triangolo rettangolo e un triangolo ottusangolo: dove si trova l'ortocentro di questi triangoli?

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La mediana di un triangolo è il segmento che unisce un vertice col punto medio del lato opposto.
In ogni triangolo sono presenti tre mediane, una per ciascun lato; si intersecano sempre in un unico punto che viene detto baricentro che è sempre interno al triangolo.

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Sapevi che anche noi, come i triangoli, abbiamo un nostro baricentro? In ogni corpo materiale, come ad esempio il corpo umano, esiste infatti un baricentro, cioè un punto nel quale si può considerare concentrata la massa del corpo stesso. Questo punto è molto importante dal punto di vista della fisica, poiché è il punto nel quale si applica la forza peso del corpo ed è per questo detto anche centro di gravità.
Il baricentro è anche il responsabile dell'equilibrio di un corpo: quando muoviamo il busto e gli arti per assumere posizioni particolari anche il nostro baricentro si sposta e ciò può determinare una condizione di instabilità. Lo sa bene chi pratica ginnastica artistica o yoga: questi sport richiedono infatti sforzi muscolari intensi per mantenere l'equilibrio anche quando lo spostamento del baricentro indurrebbe il corpo a cadere.

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La bisettrice di un triangolo è il segmento uscente da un vertice, e con il secondo estremo sul lato opposto, che divide l’angolo in due parti congruenti .
In ogni triangolo sono presenti tre bisettrici, una per ciascun vertice; si intersecano sempre in un unico punto che viene detto incentro; tale punto è sempre interno al triangolo.

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L’asse di un triangolo è la retta perpendicolare ad un lato passante per il suo punto medio.
Poiché in ogni triangolo sono presenti tre lati, vi sono tre assi che si incontrano sempre in un punto, che può essere interno o esterno al triangolo, chiamato circocentro.

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Due triangoli sono congruenti fra loro quando sono perfettamente sovrapponibili, ovvero quando tutti e tre i loro lati e tutti e tre i loro angoli coincidono. Non è tuttavia indispensabile verificare la congruenza di tutti i sei elementi: per affermare che due triangoli sono congruenti è infatti sufficiente dimostrare che tre di essi sono congruenti e che almeno uno di questi è un lato.
Per stabilire velocemente la congruenza di due triangoli possiamo far riferimento a tre regole, dette criteri di congruenza dei triangoli.

1. Il primo criterio di congruenza afferma che due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l’angolo compreso rispettivamente congruenti.

2. Il secondo criterio di congruenza afferma che due triangoli sono congruenti se hanno un lato e i due angoli adiacenti  rispettivamente congruenti.

3. Il terzo criterio di congruenza afferma che due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati rispettivamente congruenti.

A colpo d'occhio! - Mettiti alla prova con un veloce memory: individua a colpo d'occhio tutte le coppie di triangoli congruenti.

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Wordwall - Crea lezioni migliori più velocemente

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Memory - Seleziona una coppia di tessere alla volta per scoprire se sono uguali.

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Niccolò Fontana, soprannominato Tartaglia a causa della balbuzie che lo afflisse fin da ragazzo, è stato uno dei più importanti matematici del Cinquecento. Noto per alcuni contributi fondamentali in ambito matematico e fisico, Tartaglia è ricordato anche per la costruzione del triangolo matematico noto appunto come Triangolo di Tartaglia, di cui scoprirai le principali applicazioni nella Scuola Secondaria di Secondo grado.

Il Triangolo di Tartaglia è un triangolo isoscele formato da numeri e per costruirlo si procede così:

il vertice alto e i due lati obliqui del triangolo sono costituiti da una serie di numeri 1;

ogni numero interno di ciascuna riga è dato dalla somma dei due numeri della riga precedente, situati al di sopra di esso. Per esempio l'unico numero interno della terza riga è 2, dato dalla somma di 1 + 1; i numeri della quarta riga sono 3 = 1 + 2 e 3 = 2 + 1; quelli della quinta  riga sono 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3 e 4 = 3 + 1, e così via.

Osserva l'immagine per visualizzare le prime otto righe del triangolo.

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Somma e differenza degli elementi di ogni riga

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Somma e differenza degli elementi di ogni riga

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Per come è costruito, il Triangolo di Tartaglia presenta numerose proprietà, verificabili con dei rapidi calcoli matematici. Scopriamone alcune!

La somma degli elementi di ogni riga è una potenza di 2.

L'unico numero sulla prima riga è 1 = 2⁰

La somma dei numeri della seconda riga è 1 + 1 = 2 = 2¹

La somma dei numeri della terza riga è 1 + 2 + 1 = 4 = 2²

Verifica questa proprietà continuando il calcolo fino alla decima riga.

La differenza della somma dei numeri di posto dispari meno la somma dei numeri di posto pari, ad eccezione della prima riga che è formata dal  numero 1, è sempre uguale a 0.

Seconda riga: 1 - 1 = 0

Terza riga: (1 + 1) - 2 = 0

Quarta riga: (1 + 3) - (3 + 1) = 0

Verifica questa proprietà continuando il calcolo fino alla decima riga.

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Partendo da un qualsiasi numero presente 1 sul perimetro del triangolo e sommando i numeri che si trovano scendendo in diagonale da esso, la somma ottenuta è uguale al numero che sta alla sinistra del primo numero non conteggiato sulla stessa diagonale. Osserva gli esempi evidenziati dalla figura:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 =15

1 + 3 + 6 = 10

Come puoi vedere, la forma di queste linee ricorda la tipica mazza utilizzata nel gioco dell’hockey.
Verifica la proprietà con almeno altri tre esempi.

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Osserva il Triangolo di Tartaglia proposto in figura: riesci a individuare la proprietà evidenziata? Prova a descriverla dandone una breve definizione.

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Attivati - Disegna un triangolo isoscele e, dopo aver tracciato le tre altezze, le tre mediane, le tre bisettrici e i tre assi, individua i punti notevoli. Cosa puoi dire riguardo alla loro posizione nel triangolo?
Per disegnare il triangolo isoscele puoi utilizzare un foglio per il disegno tecnico, oppure lavorare in digitale con GeoGebra.

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Mettiti alla prova - I criteri di congruenza dei triangoli

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Mettiti alla prova - I criteri di congruenza dei triangoli

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Verifica quello che hai imparato sui criteri di congruenza dei triangoli con questo breve test.

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Quando lavori con la geometria, spesso ti viene chiesto di dimostrare un'affermazione, ovvero di provarne l'esattezza attraverso il ragionamento. Il procedimento della dimostrazione è alla base della geometria euclidea, che si fonda infatti su postulati (o assiomi), cioè affermazioni che si assumono come esatte senza bisogno di essere dimostrate; a partire da questi postulati, osservando le figure e collegando tra di loro le loro caratteristiche, si traggono via via conclusioni nuove che non devono cadere in contraddizione con i postulati o con una delle conclusioni precedentemente dimostrate.

Un passo in più - Perché si parla di geometria euclidea? La geometria nella quale operi a scuola è definita "euclidea" dal nome del matematico greco antico Euclide (IV-III sec. a.C.). Nella sua opera più famosa, gli Elementi, Euclide definì gli elementi base della geometria come la conosciamo oggi (retta, piano, lunghezza e area). La geometria euclidea si basa su 5 postulati, dai quali derivano per deduzione altri teoremi, la cui validità viene verificata appunto attraverso la dimostrazione.
Svolgi una breve ricerca e individua i 5 postulati di Euclide; prova quindi a verificarli attraverso dei disegni.

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Un famoso teorema elaborato da Euclide afferma che in ogni triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti tra loro.
Pare che nel Medioevo molti degli studenti alle prese con lo studio degli Elementi di Euclide non riuscissero a dimostrare la validità di questo teorema. Il teorema divenne così noto come “il ponte degli asini”, a indicare appunto che coloro che non studiavano a sufficienza (gli "asini") non riuscivano a oltrepassarlo.

Prova tu - Applica i criteri di congruenza dei triangoli e prova anche tu a dimostrare (con un po' di aiuto!) il teorema del "ponte degli asini": clicca sul link in allegato e completa la dimostrazione!

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Considera il triangolo isoscele ABC in figura: prendiamo sulla retta passante per AB dalla parte di B un punto Z e sulla retta passante per AC dalla parte di C un punto H in modo che BZ sia congruente a CH. Congiungiamo B con H e C con Z.

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Ora che conosci tutti i punti notevoli del triangolo, metti alla prova quello che hai imparato risolvendo questo rebus!

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Tre vertici, tre lati e tre angoli: semplice no? Ma i triangoli non sono tutti uguali! Esistono infatti diversi tipi di triangolo, che possono essere classificati rispetto ai lati oppure rispetto agli angoli.
Guarda il video per scoprire di più sulla classificazione dei triangoli!

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- La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze e competenze fondamentali sui triangoli.
- Il percorso offre la possibilità di approcciare attraverso strumenti multimediali: audio, video, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti online.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale, lo studente impara a misurare e utilizzare le grandezze per operare nella realtà.

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Conoscenze: conoscere gli elementi, la classificazione e i punti notevoli di un triangolo; conoscere i criteri di congruenza dei triangoli
Abilità: operare con gli elementi e costruire i punti notevoli di un triangolo; applicare i criteri di congruenza dei triangoli
Competenze: riconoscere nel mondo quotidiano i triangoli, descriverli con un linguaggio adeguato, classificarli in base alle proprietà e coglierne le relazioni tra gli elementi
Competenze digitali: utilizzare i mezzi informatici per cercare ed elaborare informazioni; lavorare in gruppo, anche a distanza, condividendo materiali ed elaborati; comprendere e produrre elaborati digitali

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Per usare i Moduli Google nelle proprie Google Classroom e, quindi, ricevere in modo automatico i risultati degli studenti, i moduli vanno copiati nel proprio spazio Google Drive e condivisi da lì mediante link. Il modulo nel vostro Drive sarà anche completamente modificabile. Per copiare i moduli vai ai seguenti link:

1. Definizione e classificazione dei triangoli

2. I criteri di congruenza dei triangoli

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Mettiti alla prova - Definizione e classificazione dei triangoli

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Mettiti alla prova - Definizione e classificazione dei triangoli

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Verifica quello che hai imparato sulla definizione e classificazione dei triangoli con questo breve test.

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Svolgendo le attività proposte hai imparato che il triangolo equilatero è un triangolo con tre lati uguali. Ma sapevi che alcuni numeri naturali possono essere rappresentati graficamente proprio con dei triangoli equilateri?
Questi numeri sono detti appunto numeri triangolari perché è possibile disporre le unità che li compongono su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo equilatero.
Nella figura sono rappresentati i primi 5 numeri triangolari; osserva attentamente la disposizione delle unità, quindi rispondi alle seguenti domande.

Riesci a individuare la regola che permette di realizzare i numeri triangolari in successione?

Da quante unità è formato il sesto numero triangolare? Sei in grado di costruirlo?

Sapresti dire, senza costruirlo graficamente, da quante unità è formato l'ottavo numero triangolare della successione?

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Cruciverba: linee e punti notevoli del triangolo

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Cruciverba: linee e punti notevoli del triangolo

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Metti alla prova le tue conoscenze su linee e punti notevoli del triangolo con un altro gioco enigmistico che appassiona milioni di persone: il cruciverba! Sfida i tuoi compagni e le tue compagne: chi riuscirà a risolverlo nel minor tempo possibile?

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Wordwall - Crea lezioni migliori più velocemente

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ortocentro - punto d'incontro delle tre altezze di un triangolo, bisettrice - segmento che in un triangolo divide a meta` l'angolo da cui esce, asse - retta perpendicolare al lato di un triangolo e passante per il suo punto medio, mediana - segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto di un triangolo, incentro - punto d'incontro delle tre bisettrici di un triangolo, baricentro - punto d'incontro delle tre mediane di un triangolo, altezza - segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto di un triangolo, circocentro - punto d'incontro dei tre assi di un triangolo,

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Cruciverba sui punti notevoli di un triangolo

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ortocentro - punto d'incontro delle tre altezze di un triangolo, bisettrice - segmento che in un triangolo divide a meta` l'angolo da cui esce, asse - retta perpendicolare al lato di un triangolo e passante per il suo punto medio, mediana - segmento che unisce un vertice con il punto

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Nella scheda in allegato sono proposti elementi naturali e artificiali che presentano una forma triangolare.
Prova tu - Cerca altre figure analoghe in Internet, oppure fotografale direttamente dalla realtà che ti circonda. Insieme ai tuoi compagni e alle tue compagne crea un campionario di triangoli, raccogliendo tutte le immagini su un cartellone o una bacheca virtuale. Insieme provate quindi a classificare ciascuno dei triangoli individuati sia rispetto ai lati sia rispetto agli angoli.