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En esta introducción, exploraremos los fundamentos de las derivadas, desde su definición matemática hasta su interpretación geométrica y sus diversas aplicaciones en el mundo real. A través de ejemplos y ejercicios, nos sumergiremos en el fascinante mundo del cálculo diferencial y descubriremos cómo las derivadas pueden ayudarnos a comprender mejor el cambio y la variación en diferentes contextos.

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UNIVERSIDAD INTERAMÉRICANA DE PANAMÁ

FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, MARÍTIMA Y PORTUARIA

LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN MARÍTIMA Y PORTUARIA

III CUATRIMESTRE

TEMA:

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

INTEGRANTES:

ENELYS WILLIAMS / 8-962-926

ARLETH QUIEL / 8-1006-2179

ARELIS VÁSQUEZ / 8-1011-2099

RICARDO GARRABRANT / 8-996-452

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN

PROFESOR: YISEL DELA CRUZ C.

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Las derivadas son un cálculo diferencial, que es una rama de la matemática que estudia los cambios de las funciones, y una parte importante de los análisis matemáticos para calcular el valor del límite de la función. Pero ¿a qué corresponde? Se trata de la cercanía entre un punto y otro. Entonces, cuando hablamos de una derivada nos referimos al valor en la que se transforma dicha función con respecto a una variable en la pendiente de la recta.

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Las derivadas, en el contexto de cálculo matemático, no fueron inventadas por una sola persona, sino que se desarrollaron a lo largo de varios siglos con contribuciones de varios matemáticos importantes. Sin embargo, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz son ampliamente reconocidos como los co-inventores del cálculo, que incluye el concepto de derivada.

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La derivada de la función f(x) con respecto a la variable x, en el punto x=a es:

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si este límite existe.

Una definición equivalente de la derivada es también la siguiente:

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Las derivadas, en las matemáticas, se usan para una cantidad de aplicaciones diferenciales. Por ejemplo, para el cálculo de las aceleraciones, que es la variación de la velocidad y el tiempo de un punto a otro. También para el cálculo de las velocidades, que es la cantidad vectorial usada para medir el desplazamiento posicional en función al tiempo. Y, otro uso común de las derivadas es para optimizar las funciones, en específico, para maximizar o minimizar una función.

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Sabemos qué son las derivadas y para qué se usan, pero, ¿cómo se calculan realmente? Existen dos métodos – según su definición y según las funciones–, los cuales explicaremos a continuación.

Según su definición

Es el método de cálculo de las derivadas más complicado por la cantidad de procedimientos a realizar, y en ocasiones suele ser muy complejo de entender. Quienes logran calcular las derivadas con este método demuestran una gran destreza en la rama de las matemáticas y no se recomienda para cálculos rápidos.

Según las funciones

Es el método más usado y recomendado para calcular las derivadas cuando corresponde a análisis matemático. Debido a que según su definición suele cometerse errores y esta es una versión más sencilla de hacerlo. Para ello necesitaremos una tabla de derivadas, de donde sacaremos la información o fórmulas necesarias para conseguir el valor de una derivada en un punto de la tangente. Las tablas de las derivadas suelen ser generales, por lo que es sumamente importante memorizarlas. También vienen acompañadas de unas reglas.

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Existen muchos tipos de derivadas que responden de acuerdo a la naturaleza del instrumento matemático para encontrar el valor del límite de una función en un determinado punto. Aquí mencionaremos los más relevantes y utilizados para simplificar la comprensión.

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Tipos de derivadas según la función de la que provienen

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Tipos de derivadas según la función de la que provienen

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Derivada de una constante

Esta siempre será igual a 0. El resultado es independiente del valor de la variante.

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Derivada de una función lineal

El resultado de la función derivada será el coeficiente del término de primer grado. Así:

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Derivado de una potencia

Para encontrar esta derivada se deberá realizar la multiplicación de la función por el exponente y restarle a este una unidad. De la siguiente forma:

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Derivada de una raíz

Considerada como una función irracional, el producto de esta derivada es igual a uno. Este se parte por el producto del índice de la raíz, multiplicándolo por la misma raíz y restándole uno al exponente del radicando.

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Derivada de una función exponencial

La solución de esta derivada dependerá de si su base es el número e o si es otro número. Partiendo de esto, hay dos formas de resolver estas funciones:

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Para calcular la derivada de una función basta con sustituir y calcular el límite en la expresión para la derivada; sin embargo, en ocasiones esto puede generar confusión al momento de realizar el desarrollo de toda la expresión. Por ello, es recomendable llevarlo a cabo en varios pasos

1 Calcular

2 Hallar la diferencia

3 Calcular el cociente

4 Hallar el límite cuando  tiende a

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4 Hallar el límite cuando h    tiende a 0

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4 Hallar el límite cuando h    tiende a 0

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Ejemplo 1: Determinar la derivada de  f(x)=x^2-x+1   empleando la definición con límites.

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Ejemplo 1: Determinar la derivada de  f(x)=x^2-x+1   empleando la definición con límites.

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Para encontrar la derivada llevamos a cabo los cuatro pasos

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Podemos entender mejor el límite de una función con algunos ejemplos.

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En este caso, no ha sido necesario hallar el límite cuando h se acerca a cero, pues el resultado de dividir f(x+h)-f(x) entre h da como resultado a un número natural, y no a una expresión algebraica donde podamos encontrar a h, como es el siguiente caso:

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Derivadas usando la definición | Introducción

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En conclusión, las derivadas de una función son un concepto fundamental en el campo del cálculo y las matemáticas en general. Nos proporcionan información sobre la tasa de cambio instantánea de una función en un punto dado, lo que es crucial para comprender cómo cambian las cantidades en función de otras en diversos contextos.

A través del cálculo de derivadas, podemos analizar el comportamiento de funciones en diferentes situaciones y resolver una variedad de problemas en áreas tan diversas como la física, la ingeniería, la economía, la biología y más. Desde calcular velocidades y aceleraciones en problemas de movimiento hasta optimizar funciones en problemas de optimización, las derivadas juegan un papel central en la modelización y la comprensión de fenómenos naturales y artificiales.