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DISTINTOS TIPOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

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DISTINTOS TIPOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

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Introducción

¡Hola! Te doy la bienvenida a tu octava clase del curso Álgebra II denominada "Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales con tres variables". En esta clase continuamos con el estudio del sistema de ecuaciones lineales. Primero veremos las técnicas de resolución de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Y posteriormente, las situaciones que se representan con un sistema 3 X 3.

El estudio de la teoría de matrices y determinantes se desarrolló, en su mayoría, en el siglo XIX. Sin embargo, las primeras nociones aparecieron alrededor del año 150 d. de C; los chinos emplearon matrices en la solución de sistemas de ecuaciones.

La teoría de los determinantes fue estudiada realmente al analizar los sistemas de ecuaciones lineales, las matrices y los determinantes permitieron expresar esa teoría de manera más compacta. Gabriel Cramer (1704-1752) estableció el método que lleva su nombre. Sin embargo, el término "determinante" lo introdujo Karl F. Gauss sólo hasta 1801.

Con relación a lo anterior, te invito a empezar la clase.

Desarrollo del tema

En forma general, un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables se representa de la siguiente manera:

donde a ₁₁, a ₁₂, a ₁₃, . . . a ₃₃ son los coeficientes de las variables, mientras que x ₁ x ₂ x ₃ son las variables, y b ₁ b ₂ b ₃ son las constantes del sistema.

La solución de un sistema de ecuaciones de este tipo se puede obtener por algunos de los métodos utilizados en la clase 6, con excepción del método gráfico:

1.1. Método de sustitución

Al igual que en la clase 6, cuando selecciones este método utiliza la propiedad aditiva, multiplicativa y de sustitución, siguiendo el mismo procedimiento: despeja una de las variables de una de las ecuaciones y sustituye dicha variable en las otras ecuaciones.

Ejemplo: Analiza la aplicación del método de sustitución en el sistema de ecuaciones.

Por medio de la propiedad aditiva, despeja la variable "x" de la ecuación x− 2y + z = 1:

x = 1 + 2y -z

Mediante la propiedad de sustitución, sustituye la variable "x" en las otras ecuaciones.

De nuevo, por medio de la propiedad aditiva, despeja la variable "y" de la ecuación y + z =2: y = 2 - z.

Mediante la propiedad de sustitución, sustituye la variable "y" en la ecuación 3y−2z = 1

Desarrolla las operaciones:

Mediante la propiedad aditiva, despeja el número 6:
-3z -2z = 1 -6
-5z = -5
Concluye que la solución para la variable "z" es z =1

Luego, se sustituye el valor de la variable en cualquiera de las dos últimas ecuaciones:
y + 1= 2
y =1
Por último, sustituye el valor de las variables en una de las ecuaciones originales:

1.2. Método de eliminación (suma o resta)

El método utiliza la propiedad multiplicativa y aditiva, consiste en sumar o restar las ecuaciones de modo que se anule una de las variables, para esto, es necesario multiplicar las ecuaciones por números que hagan posible la anulación.

Ejemplo: Resuelve por el método de suma o resta el sistema de ecuaciones.

Mediante la propiedad aditiva, resta la primera y segunda ecuación, así como la segunda y tercera, de manera que elimines la variable "x".

Mediante la propiedad multiplicativa, multiplica por −2 la primera ecuación, y por medio de la propiedad aditiva suma las ecuaciones, de esta manera anulas la variable "y".

Concluye que z =1

Después, sustituye z =1 en la ecuación -y -z = -2:
-y-(1) =-2
Verifica que y =1

Por último, sustituye tanto y =1 como x =2 en la ecuación x−2y + z = 1:

x− 2 (1)+ 1 = 1

x =2

Y verifica que la solución es: {(2, 1, 1)}

1.3 Método de determinantes

En la clase 6, se definió que un determinante es un número real que está asociado con una matriz cuadrada. El símbolo que identifica al determinante es el signo de valor absoluto.
1.3.1 Valor de un determinante de tercer orden
SI quieres determinar el valor de un determinante de tercer orden, al producto de los elementos de las diagonales principales réstale el producto de los elementos de las diagonales secundarias. Para visualizar estas diagonales, repite los primeros dos renglones después del tercer renglón, o bien, las dos primeras columnas después de la tercera columna.

El proceso de repetir los renglones o las columnas se denomina "Regla de Sarrus" y solo funciona en determinantes de tercer orden.
1.3.2. Regla de Cramer
Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse por determinantes mediante la "Regla de Cramer"; la limitante de este método es que el número de ecuaciones debe ser igual al número de variables.

Ejemplo: Resuelve por medio de determinantes el sistema de ecuaciones.

Con los coeficientes de las variables forma el determinante de los coeficientes, este se representa por Δ. De modo que el determinante de los coeficientes Δ es:

Como recordarás, el determinante Δx se genera si suprimes los coeficientes de la variable "x" (3, 4 y 1), y en su lugar anotas las constantes de la ecuación (1, 0 y 2):

Sustituye Δ=20 en Δx y despeja la variable "x":
Δx =−4
20x =−4
Verifica que

De manera similar, forma el determinante Δy y calcula su valor:

Sustituye Δ=20 en Δy y despeja la variable "y":
Δy = 30
20y =30
Concluye que

Sustituye los valores de

en la ecuación 3x −2y + 4z = 1.

Verifica que:

Después concluye que la solución es:

Ahora, te invito a analizar los siguientes videos en donde se explica a detalle cómo resolver sistemas de ecuaciones 3X3 por el método de determinantes. Y su aplicación en la vida cotidiana.

Conclusión

En resumen, la noción de "determinante" es útil como método simplificado para representar información. Por ejemplo, cuando deseamos informar sobre los mismos aspectos de varios entes, podemos hacerlo en forma simplificada a través de un determinante (matriz), es decir que podemos organizar los datos en filas y columnas.

Hemos llegado al final de la octava clase del curso ¿Cómo te sientes ahora? Espero que más preparado en el tema y por ello te felicito. No olvides realizar la tarea asignada y mandarla como corresponde. Te encuentro en tu última clase, hasta luego.

Fuentes de información

Aguilar, A. (2009). Matemáticas Simplificadas. (2a ed.). México: Pearson. Cap. 8, pp. 421-429

Baldor, A. (2017). Álgebra. (3a ed.). México: Grupo Editorial Patria. Cap. XXXV, pp. 340-348

Sánchez, F., Villanueva, R., & Lugo, J. (2012). Álgebra II. México: Ediciones Anglo. Cap. 3, pp. 147-150

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Clase digital 8: Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales con tres variables - Recursos Educativos Abiertos

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Introducción ¡Hola! Te doy la bienvenida a tu octava clase del curso Álgebra II denominada "Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales con tres variables". En esta clase continuamos con el estudio del sistema de ecuaciones lineales. Primero veremos las técnicas de resolución de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

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SCD( SISTEMAS COMPATIBLES DETERMINADOS 3X3) MÉTODO DE GAUSS

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SCD( SISTEMAS COMPATIBLES DETERMINADOS 3X3) MÉTODO DE GAUSS

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SISTEMAS de Ecuaciones 3x3 SCD ✅ Método de GAUSS

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SISTEMAS COMPATIBLES INDETERMINADOS(SCI) METODO DE GAUSS

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SISTEMAS COMPATIBLES INDETERMINADOS(SCI) METODO DE GAUSS

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SISTEMAS de Ecuaciones 3x3 SCI ✅ Método de GAUSS

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SISTEMAS DE ECUACIONES 3X3 INCOMPATIBLE(SCI) MÉTODO DE GAUSS

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SISTEMAS DE ECUACIONES 3X3 INCOMPATIBLE(SCI) MÉTODO DE GAUSS

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SISTEMAS de Ecuaciones 3x3 Sist. INCOMPATIBLE ✅ Método de GAUSS

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SISTEMAS DE ECUACIONES 3X3 ESCALONADO( MÉTODO DE SUSTITUCIÓN)

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SISTEMAS DE ECUACIONES 3X3 ESCALONADO( MÉTODO DE SUSTITUCIÓN)

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SISTEMAS de Ecuaciones 3x3 ESCALONADO ✅ Método de Sustitución

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SISTEMAS EXPLICADOS MEDIANTE EL MÉTODO DE GAUSS

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SISTEMAS EXPLICADOS MEDIANTE EL MÉTODO DE GAUSS

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Sistema de tres ecuaciones con tres incognitas por Gauss

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Aprende cómo se resuelve un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas por el método de Gauss con nuestro ejemplo detallado en cada paso.

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3 ECUACIONES DE 3X3 MEDIANTE MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

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3 ECUACIONES DE 3X3 MEDIANTE MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

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Sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas por sustitución

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Se resuelven varios ejercicios de sistemas 3x3 por el método de sustitución cuando falta en alguna ecuación la incógnita que se ha despejado en otra.

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MÉTODO DE SUMA Y RESTA EN LAS ECUACIONES

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MÉTODO DE SUMA Y RESTA EN LAS ECUACIONES

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Introducción al método de suma y resta en ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales son una herramienta fundamental en el mundo de las matemáticas. Nos permiten resolver problemas y encontrar soluciones numéricas para diferentes situaciones. Uno de los métodos más comunes y efectivos para resolver ecuaciones lineales es el método de suma y resta. Exploraremos en detalle cómo utilizar este método y cómo aplicarlo en ejemplos prácticos. Si quieres aprender a resolver ecuaciones lineales de manera rápida y sencilla, ¡sigue leyendo!

¿Qué son las ecuaciones lineales?

Antes de adentrarnos en el método de suma y resta, es importante comprender qué son las ecuaciones lineales. En pocas palabras, una ecuación lineal es una igualdad matemática que involucra variables y constantes relacionadas mediante operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Estas ecuaciones se representan con una expresión algebraica en la que se busca encontrar el valor de la variable desconocida.

Pasos para resolver ecuaciones lineales utilizando el método de suma y resta

Paso 1: Identificar las variables y los coeficientes de las ecuaciones

El primer paso para resolver una ecuación lineal utilizando el método de suma y resta es identificar las variables y los coeficientes de las ecuaciones. Las variables son las incógnitas que buscamos resolver, mientras que los coeficientes son los números que multiplican a las variables. Por ejemplo, en la ecuación 2x + 3y = 10, "x" y "y" son las variables, y 2 y 3 son los coeficientes.

Paso 2: Determinar el término constante o el lado derecho de las ecuaciones

El siguiente paso es determinar el término constante o el lado derecho de las ecuaciones. Este término representa la suma o resta de los valores constantes en la ecuación. Por ejemplo, en la ecuación 2x + 3y = 10, el término constante es 10.

Paso 3: Igualar los términos similares de las ecuaciones

Una vez que hemos identificado las variables, los coeficientes y el término constante, debemos igualar los términos similares de las ecuaciones. Esto significa que debemos agrupar los términos que contengan la misma variable en un lado de la ecuación y los términos constantes en el otro lado. Por ejemplo, si tenemos las ecuaciones 2x + 3y = 10 y 4x - y = 5, podemos igualar los términos similares de la siguiente manera:

2x + 3y = 10

4x - y = 5

Paso 4: Sumar o restar las ecuaciones para eliminar una variable

Una vez que hemos igualado los términos similares, el siguiente paso es sumar o restar las ecuaciones para eliminar una variable. El objetivo es obtener una ecuación con una sola variable para poder resolverla fácilmente. Para ello, podemos utilizar la propiedad de la igualdad y sumar o restar las ecuaciones de manera que una de las variables se elimine. Por ejemplo, si sumamos las dos ecuaciones anteriores, eliminamos la variable "y":

(2x + 3y) + (4x - y) = 10 + 5

6x + 2y = 15

Paso 5: Resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable

Una vez que hemos eliminado una variable, nos queda una ecuación con una sola variable. Ahora podemos resolver esta ecuación utilizando las propiedades de la igualdad y las operaciones básicas. En nuestro ejemplo, la ecuación resultante es 6x + 2y = 15. Si resolvemos esta ecuación, encontraremos el valor de la variable "x".

Ejemplos prácticos de resolución de ecuaciones lineales utilizando el método de suma y resta

Veamos ahora algunos ejemplos prácticos de cómo resolver ecuaciones lineales utilizando el método de suma y resta:

Ejemplo 1:

Resolver la ecuación 3x + 2y = 12 y 2x - 5y = 3 utilizando el método de suma y resta.

Paso 1: Identificar las variables y los coeficientes de las ecuaciones:

Variables: x, y

Coeficientes: 3, 2, 2, -5

Paso 2: Determinar el término constante o el lado derecho de las ecuaciones:

Términos constantes: 12, 3

¡Haz clic aquí y descubre más!

Paso 3: Igualar los términos similares de las ecuaciones:

3x + 2y = 12

2x - 5y = 3

Paso 4: Sumar o restar las ecuaciones para eliminar una variable:

(3x + 2y) + (2x - 5y) = 12 + 3

5x - 3y = 15

Paso 5: Resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable:

5x - 3y = 15

En este caso, la ecuación resultante no se puede resolver para encontrar el valor de una variable específica. Sin embargo, todavía podemos obtener información valiosa sobre la relación entre x e y.

Ejemplo 2:

Resolver la ecuación 4x + 3y = 9 y 2x + y = 6 utilizando el método de suma y resta.

Paso 1: Identificar las variables y los coeficientes de las ecuaciones:

Variables: x, y

Coeficientes: 4, 3, 2, 1

Paso 2: Determinar el término constante o el lado derecho de las ecuaciones:

Términos constantes: 9, 6

Paso 3: Igualar los términos similares de las ecuaciones:

4x + 3y = 9

2x + y = 6

¡Haz clic aquí y descubre más!

Paso 4: Sumar o restar las ecuaciones para eliminar una variable:

(4x + 3y) - (2x + y) = 9 - 6

2x + 2y = 3

Paso 5: Resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable:

2x + 2y = 3

Si dividimos toda la ecuación por 2, obtenemos x + y = 1. Podemos despejar la variable "y" y obtener y = 1 - x. Ahora podemos sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de "x".

Aplicaciones del método de suma y resta en la vida cotidiana

Aunque pueda parecer que las ecuaciones lineales y el método de suma y resta son conceptos abstractos y alejados de nuestra vida cotidiana, en realidad tienen muchas aplicaciones prácticas. Algunas de las situaciones en las que podemos utilizar este método incluyen:

Resolver problemas de mezclas y combinaciones de ingredientes en recetas de cocina.

Calcular el tiempo y la distancia en problemas de velocidad y movimiento.

Establecer presupuestos y administrar gastos en finanzas personales.

Resolver problemas de proporciones y relaciones en situaciones de compra y venta.

Consejos y recomendaciones para resolver ecuaciones lineales con el método de suma y resta

Para obtener los mejores resultados al resolver ecuaciones lineales utilizando el método de suma y resta, te recomendamos seguir estos consejos:

Lee y comprende detenidamente el enunciado del problema antes de comenzar a resolverlo.

Identifica las variables y los coeficientes de las ecuaciones de manera clara y precisa.

Cuando sumes o restes las ecuaciones, asegúrate de mantener el signo correcto de cada término.

No olvides simplificar las expresiones algebraicas antes de resolverlas.

Verifica tus resultados sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones originales.

Conclusiones

El método de suma y resta es una herramienta útil y eficiente para resolver ecuaciones lineales. Nos permite simplificar y eliminar variables para obtener una ecuación con una sola incógnita. A través de ejemplos prácticos, hemos demostrado cómo utilizar este método paso a paso. Además, hemos destacado algunas aplicaciones del método de suma y resta en la vida cotidiana. Con un poco de práctica y comprensión de los conceptos básicos, podrás resolver ecuaciones lineales de manera rápida y sencilla. ¡No tengas miedo de enfrentarte a las ecuaciones lineales y utiliza el método de suma y resta para encontrar soluciones numéricas!

Preguntas frecuentes
1. ¿Qué es una ecuación lineal?
Una ecuación lineal es una igualdad matemática que involucra variables y constantes relacionadas mediante operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
2. ¿Cuándo se utiliza el método de suma y resta en las ecuaciones lineales?
El método de suma y resta se utiliza para simplificar y eliminar variables en ecuaciones lineales, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3. ¿Cuáles son los pasos para resolver ecuaciones lineales utilizando el método de suma y resta?
Los pasos son: identificar las variables y los coeficientes, determinar el término constante, igualar los términos similares, sumar o restar las ecuaciones y resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable.
4. ¿Cuáles son algunas aplicaciones prácticas del método de suma y resta en la vida cotidiana?
El método de suma y resta se aplica en situaciones de mezclas y combinaciones, cálculo de tiempo y distancia, administración de gastos y resolución de problemas de proporciones y relaciones.
5. ¿Qué consejos puedo seguir para resolver ecuaciones lineales con el método de suma y resta?
¡Haz clic aquí y descubre más!

Algunos consejos útiles son leer y comprender el enunciado del problema, identificar claramente las variables y los coeficientes, mantener el signo correcto al sumar o restar las ecuaciones, simplificar las expresiones y verificar los resultados.

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Método de suma y resta en ecuaciones lineales: soluciones rápidas

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Optimiza tus habilidades matemáticas. Aprende suma y resta en ecuaciones lineales. Resuelve problemas rápidamente. ¡Empieza ahora!

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METODO DE REDUCCIÓN EN ECUACIONES LINEALES DE 3X3

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METODO DE REDUCCIÓN EN ECUACIONES LINEALES DE 3X3

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El Método de Reducción es uno de los métodos mas utilizados para resolver los Sistemas de Ecuaciones Lineales. Su aplicación puede resultar difícil al inicio. Sin embargo en la practica es uno de los métodos mas rápidos de aplicar. A continuación te explicamos paso a paso como aplicar el Método de Reducción para resolver un Sistema Lineal.

¿Que es el Método de Reducción?

El Método de Reducción o también llamado Método de Eliminación consiste en realizar una relación aritmética entre las Ecuaciones Lineales presentes en el Sistema Lineal. En términos simples consiste en sumar y restar las Ecuaciones del Sistema Lineal. El objetivo de este proceso es reducir al máximo las variables. Y obtener el valor de al menos una de las incógnitas.

Dicho proceso siempre se consigue mediante la simplificación o reducción de valore s. Sin embargo en algunos casos es necesario multiplicar las Variables para conseguir una reducción.

Como aplicar el Método de Reducción.

Para resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales mediante el Método de Reducción se deben ubicar el numero de Incógnitas. El Método de Reducción nos permite simplificar cualquiera de las incógnitas del Sistema Lineal. Por lo que lo ideal es iniciar desde la incógnita mas simple de reducir.

Método de Reducción mediante simplificación de variables.

Esta variante del Método de Reducción se puede aplicar a Sistemas Lineales con una incógnita en común con signos opuestos. En el mejor de los escenarios se nos plantearan dos Ecuaciones Lineales con una Incógnita en común positiva y otra negativa. A estas incógnitas se las llama Incógnitas reducibles o simplificables.

Identificar la Variable a reducir.

El primer paso entonces para aplicar el Método de Reducción a un Sistema de Ecuaciones Lineales es seleccionar la Variable a reducir. Ademas también debemos seleccionar la Ecuación Lineal a utilizar para la reducción.

En la Figura 1 se puede observar un Sistema de Ecuaciones Lineales 2×2. En este ejemplo la variable mas fácil de reducir es la Incógnita "X". Si observamos bien, en la primera Ecuación Lineal tenemos una "-X". Mientras que en la segunda Ecuación hay un "+X". Por lo que en este ejemplo ambas "X" se simplifican. Para completar el proceso es necesario sumar ambas "Y" y ambos números al otro lado de la igualdad. (Figura 2)

Encontrar el valor de la Ecuación Lineal resultado.

El Método de Reducción ahora nos ha entregado una Ecuación Lineal con una incógnita. La que se resuelve mediante el método del despeje de variables. En este caso la Ecuación Lineal resultado es 2Y = -2.

Al despejar la Ecuación Lineal resultado del Método de Reducción. Se obtiene el valor de una de las Incógnitas del Sistema Lineal (Figura 3). En este caso el valor la incógnita Y es -1.

Encontrar el valor de la otra Incógnita del Sistema Lineal.

Ahora que ya tenemos el valor de una de las Variables del Sistema Lineal es fácil encontrar las otras incógnitas. Para conseguirlo únicamente se deben sustituir los valores en cualquiera de las Ecuaciones Lineales del Sistema Lineal. En este caso utilizaremos la primera Ecuación Lineal del sistema. (-X+Y = 2).

En la Figura 4 se muestra el Despeje de la variable "X" tras sustituir el valor de la Variable Y en la primera Ecuación Lineal. Es importante tener cuidado con los signos aritméticos.

Recordemos que signos iguales se suman y que signos opuestos se restan. Ejemplo + y + da +, - y - da +. Mientras que + y - dará -

Si observamos bien el resultado obtenido es -X = 3. Las Incógnitas no pueden quedar como negativos. Por lo que para resolver el problema se deben multiplicar ambos extremos de la igualdad por (-1). De esta forma se puede eliminar el negativo de la Incógnita.

De forma que la incognita "X" tiene un valor de -3. Al final podemos afirmar que la respuesta de nuestro Sistema Lineal mediante el Método de Reducción es "X" = -3 y "Y" = -1.

Método de Reducción mediante multiplicación variables.

Esta variante es útil cuando en un Sistema de Ecuaciones Lineales ninguna de las Variables puede reducirse en primera intención. En estos casos es necesario multiplicar una de las Ecuaciones Lineales para conseguir reducir al menos una de las incógnitas.

En la Figura 6 se muestra un Ejemplo de un Sistema Lineal que no puede reducirse en primera intención. En este caso es necesario igualar una de las Variables mediante la multiplicación para poder aplicar el Método de Reducción. El proceso puede aplicarse a cualquiera de las variables "X" o "Y". Lo ideal es aplicarlo con la Variable con la cual nos sintamos mas cómodos.

Igualar las Variables del Sistema Lineal.

Explicado de forma simple lo que se debe hacer es que en ambas Ecuaciones Lineales exista un termino en común que podamos reducir. Para conseguirlo se debe multiplicar ambas o una de las Ecuaciones del Sistema Lineal. Cuando ambas Ecuaciones Lineales no sean múltiplos de sus Variables se deben multiplicar las Ecuaciones por el valor de la incógnita de la otra Ecuación. En este ejemplo reduciremos las Variables "Y".

Como queremos reducir la Variable Y. Pero ambos Incógnitas tienen valores diferentes en nuestro Sistema Lineal. Es necesario igualar sus valores para reducirlas. Para conseguirlo se multiplica la primera Ecuación Lineal por el valor de la Incógnita "Y" de la segunda Ecuación Lineal. Y la segunda Ecuación Lineal la multiplicamos por el valor en negativo de la incógnita "Y" de la primera Ecuación. (Figura 7).

Es importante recordar que cuando se igualan las Ecuaciones por multiplicación se debe colocar uno de los términos en negativo. Esto con el objetivo de poder reducir las Variables en las Ecuaciones resultado.

Simplificar Variables.

Las Ecuaciones Resultado de nuestro Sistema Lineal ahora ya cuentan con una Variable a la que se puede aplicar el Método de Reducción. Por lo que el procedimiento a seguir es el mismo que en el ejemplo anterior. Se simplifican los términos en común con signos opuestos y se suman los otros elementos del Sistema Lineal.

En la Figura 8 se muestra como se simplifican las Variables en común con signos opuestos. Lo que genera una Ecuación Lineal con una incógnita. La cual es el resultado de la suma de los otros elementos de las Ecuaciones del Sistema Lineal.

Encontrar el valor de la Ecuación Lineal resultado.

Ahora al igual que en el primer ejemplo. Solo debemos resolver la Ecuación Resultado mediante el despeje de variables. En este ejemplo la Ecuación Resultado es 11X = 22.

Al despejar la variable "X" de la Ecuación Resultado del Método de Reducción. Se obtiene una de las variables del Sistema Lineal. En este caso el valor de X es 2.

Encontrar el valor de la otra Incógnita del Sistema Lineal.

Encontrar el valor de la otra incógnita del Sistema Lineal resulta sencillo ahora que ya tenemos una de las incógnitas. Para completar el Sistema Lineal mediante el Método de Reducción solo debemos sustituir el valor encontrado en cualquiera de las Ecuaciones Lineales que componen el Sistema Lineal. Lo ideal es hacerlo en la Ecuación que encontremos mas sencilla. En este ejemplo utilizaremos la primera Ecuación del Sistema Lineal.

En la Figura 10 se muestra la solución de la primera Ecuación Lineal del Sistema Lineal al sustituir el valor de la Incógnita encontrada con el Método de Reducción. Al sustituir el valor de "X" en la Ecuación Lineal 4X+3Y = -1 se obtiene como resultado el valor de Y. En este caso la respuesta es -3. Por lo que se afirma que la respuesta del Sistema Lineal mediante el Método de Reducción es "X" = 2 y "Y" = -3.

Como comprobar el resultado del Método de Reducción.

El proceso para comprobar el resultado obtenido por el Método de Reducción es el mismo que el de cualquier Ecuación Lineal. Para comprobar el resultado se deben sustituir los valores obtenidos y verificar que se cumpla la igualdad.

En este ejemplo la respuesta del Sistema Lineal es X" = 2 y "Y" = -3. Para comprobar si las respuestas son correctas se sustituyen sus valores en las Ecuaciones del Sistema Lineal. (Figura 11)

En la Figura 12 se observa la resolución de las Ecuaciones Lineales con los valores obtenidos de las variables. En este ejemplo se cumplen ambas igualdades. Por lo que se puede afirmar que las respuestas obtenidas son correctas.

Método de Reducción en Sistemas Lineales 3×3.

El Método de Reducción funciona tanto para Sistemas Lineales 2×2 como para Sistemas 3X3 o cualquier cantidad de Ecuaciones. El procedimiento a seguir es el mismo. Con la única diferencia, que en Sistemas Lineales 3×3 o mayores se deben obtener Ecuaciones resultantes.

En la Figura 13 se muestra un Sistema Lineal 3×3. Sobre el cual aplicaremos el Método de Reducción. Lo primero que debemos hacer es ordenar las Ecuaciones. En este ejemplo ya se encuentran ordenadas. Posterior debemos nombrar cada Ecuación del Sistema Lineal.

Para resolver un Sistema Lineal 3×3 mediante el Método de Reducción es necesario realizar una suma entre la Ecuación 1 y 2 y posteriormente entre la Ecuación 2 y 3. El objetivo de este proceso es obtener dos Ecuaciones Lineales con solo dos incógnitas.

Método de Reducción entre la Ecuación 1 y Ecuación 2 del Sistema 3×3.

Entonces el primer paso a realizar es aplicar el Método de Reducción entre las Ecuaciones 1 y 2 de nuestro Sistema Lineal 3×3. El proceso a seguir es el mismo ya descrito en el ejemplo anterior.

En la Figura 14 se muestra el Método de Reducción entre la Ecuación 1 y la Ecuación 2 del Sistema Lineal 3×3. En este caso existía una variable en común con signos opuestos. Por lo que fue posible realizar una simplificación en primera intención. La Ecuación resultante (3x+2z=19) pasara a llamarse Ecuación #4.

Método de Reducción entre la Ecuación 2 y Ecuación 3 del Sistema 3×3.

Ahora debemos repetir el proceso pero entre las Ecuaciones 2 y 3 del Sistema Lineal 3×3. El proceso es el mismo. Debemos obtener una variable en común con signos opuestos para reducir. Sin embargo, La variable a reducir en esta ocasión debe ser la misma que se redujo entre la Ecuación 1 y 2.

Dado que entre la Ecuación 1 y 2 se redujo la variable "Y". Entre la Ecuación 2 y 3 también deberemos reducir la variable "Y"

En la Figura 15 se muestra el Método de Reducción aplicado entre las Ecuación 3 y 4 del Sistema Lineal 3×3. En este caso no existe una variable en común con signos opuestos. Por lo que hay que crearla. Para ello basta con multiplicar la Ecuación #2 por 2. De esta forma conseguimos que la variable "Y" sea simplificable.

En la Figura 16 se muestra la reducción de la variable "Y" y suma de los otros elementos de las Ecuaciones 2 y 3 del Sistema Lineal 3×3. La Ecuación resultante pasa a denominarse Ecuación #5.

Método de Reducción entre las Ecuaciones Resultantes.

Ahora que ya tenemos las Ecuaciones #4 y #5 o también llamadas Ecuaciones Resultantes (Figura 17) podemos comenzar a encontrar el valor de nuestras incógnitas. Para ello es necesario aplicar el Método de Reducción entre ambas Ecuaciones resultantes.

En la Figura 18 se muestra el Método de Reducción entre las Ecuaciones resultantes. Como en este caso no existe una variable en común con signos opuestos, es necesario crearla. En este caso elegimos reducir la variable "Z", aunque también podríamos haber elegido la variable "X". Para reducir entonces "Z" basta con multiplicar la Ecuación #5 por (-2). De esta forma conseguimos una variable simplificable.

En la Figura 19 se muestra la reducción de la variable "Z" entre las Ecuaciones 4 y 5 del Sistema Lineal. La Ecuación obtenida (7X-0=21) nos servirá para obtener el valor de la incógnita "X"

Obtener el valor de las Incógnitas.

Ahora que ya tenemos una Ecuación Lineal con una incógnita podemos comenzar a obtener el valor de las Incógnitas. En este caso la primera incógnita que podemos despejar es "X".

En la Figura 20 se muestra el despeje de la Ecuación y de la incógnita "X". En este caso el valor de "X" es 3. Ahora que ya poseemos el valor de "X" podemos encontrar el valor de la segunda incógnita de nuestras Ecuaciones Resultantes. En este caso la segunda incógnita es "Z". Para encontrar entonces su valor solo debemos reemplazar "X" en la Ecuación #4 o en la #5. En este ejemplo usaremos la Ecuación #5.

Ahora que tenemos una Ecuación Lineal con una incógnita podemos encontrar el valor de "Z" mediante el despeje de variables.

Ahora que ya tenemos el valor de las Incógnitas "X" y "Z" podemos encontrar el valor de "Y". Si observamos bien para las primeras dos incógnitas solo utilizamos las Ecuaciones Resultantes. Sin embargo, para encontrar la tercera incógnita es necesario reemplazar los valores de "X" y "Z" en cualquiera de las 3 Ecuaciones originales del Sistema Lineal 3×3. En este ejemplo usaremos la Ecuación #1.

Ahora que hemos obtenido una Ecuación Lineal con una incógnita solo debemos despejar "Y" para encontrar su valor.

Por lo que la respuesta del Sistema Lineal 3×3 mediante el Método de Reducción es: X=3, Y=4 y Z=5.

Ejercicios para aplicar el Método de Reducción.

Ahora que ya hemos dominado el Método de Reducción para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales. Te dejamos algunos ejercicios para aplicar lo aprendido. Tranquilo, en cada ejercicio se encuentra la respuesta y explicación paso a paso del Método de Reducción.

Ejercicio #1 para aplicar el Método de Reducción.

Resuelve el siguiente Sistema de Ecuación Lineal con el Método de Reducción:

Ver respuesta del Ejercicio #1

Ver explicación de como resolver el Ejercicio #1 mediante el Método de Reducción

Este Sistema Lineal es parecido al ejemplo del articulo. A continuación te mostramos paso a paso como aplicar el Metodo de Reducción para resolver el Ejercicio #1

Paso 1: Lo primero es seleccionar la variable a reducir. Dado que en este Sistema Lineal no existe ninguna variable en común con signos opuestos es necesario crearla. Para ello debemos seleccionar una variable y multiplicarla por un numero que nos permita reducirla. En este caso reduciremos la Variable "Y".

En este caso, basta con multiplicar por (-1) la primera Ecuación del Sistema Lineal. Al realizar esta multiplicación conseguimos que exista una variable en común con signos opuestos.

Paso 2: Ahora debemos reducir las variables y sumar los otros elementos de las Ecuaciones del Sistema Lineal.

Paso 3: Usualmente se debe resolver la Ecuación Lineal resultante para obtener el valor de la Variable. Sin embargo en este caso obtuvimos la respuesta de la Variable "X" solo con la reducción de variables.

Paso 4: Ahora debemos encontrar la otra variable del Sistema Lineal. Para ello debemos escoger una de las Ecuaciones del Sistema Lineal y reemplazar el valor de la Variable encontrada. En este caso utilizaremos la segunda Ecuación Lineal del Sistema. (2X+2Y = 6)

Ahora solo debemos resolver la Ecuación Lineal con una incógnita resultante para obtener el valor de "Y".

En este caso el valor de la Incógnita "Y" es igual a 1.

Por lo que se puede afirmar que la respuesta del Sistema Lineal del Ejercicio #1 aplicando el Método de Reducción es:

Ejercicio #2 para aplicar el Método de Reducción.

Resuelve mediante el Método de Reducción el siguiente Sistema de Ecuación Lineal:

Ver respuesta del Ejercicio #2

Ver explicación de como resolver el Ejercicio #2 mediante el Método de Reducción

Este Sistema Lineal puede parecer complicado a simple vista por la presencia de una fracción. Sin embargo el proceso de solución es el mismo. A continuación te mostramos paso a paso como aplicar el Método de Reducción para resolver este Sistema Lineal.

Paso 0: Antes de hacer cualquier movimiento debemos ordenar las Ecuaciones del Sistema Lineal. A primera vista parecen ordenadas. Sin embargo, la fracción presente en la primera Ecuación se puede expresar como:

Paso 1: Ahora que las Ecuaciones del Sistema Lineal están ordenadas debemos seleccionar cual variable deseamos reducir. En este Sistema Lineal no existe ninguna variable en común con signos opuestos. Por lo que es necesario multiplicar una de las Ecuaciones Lineales para conseguir una incógnita o variable simplificable. En este caso reduciremos la variable "X"

En este caso para obtener una variable en común con signos opuestos es necesario multiplicar la primera Ecuación Lineal por (-4). De esta forma ademas de conseguir una variable en común también eliminamos la fracción.

Paso 2: Ahora debemos reducir las variables en común con signos opuestos y sumar los otros elementos de las Ecuaciones del Sistema Lineal.

Paso 3: El resultado tras reducir la variable "X" es una Ecuación Lineal con una incógnita. Para encontrar el valor de la Variable "Y" entonces debemos realizar un despeje de variables.

Paso 4: Ahora que ya tenemos el valor de "Y" podemos encontrar el valor de "X". Para ello debemos elegir una de las Ecuaciones de nuestro Sistema Lineal y reemplazar el valor de "Y". Con esto conseguimos obtener una Ecuación lineal con una incógnita. Y mediante el despeje de variables encortar el valor de "X". En este caso utilizaremos la segunda Ecuación de nuestro Sistema Lineal. (2X+2Y =12)

Ahora solo debemos resolver la Ecuación Lineal resultante (2X+4=12) para encontrar el valor de la segunda incógnita.

Por lo que el valor de la incógnita "X" es de 4.

Entonces podemos afirmar que la respuesta del Sistema Lineal del Ejercicio #2 aplicando el Método de Reducción es:

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Método de Reducción | ▷ Como aplicar el Metodo de Reduccion

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El Método de Reducción es uno de los métodos mas utilizados para resolver los Sistemas de Ecuaciones Lineales. Su aplicación puede resultar difícil al inicio. Sin embargo en la practica es uno de los métodos mas rápidos de aplicar. A continuación te explicamos paso a paso como aplicar el Método de Reducción para resolver un Sistema Lineal.