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활동1. 독서에 앞서 배경지식 탐구 활동 및 발표 활동(모둠별 과제)

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활동1. 독서에 앞서 배경지식 탐구 활동 및 발표 활동(모둠별 과제)

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방법

1) 모둠 별로 다음 세 가지 중 한 가지 주제 선택

질문① 차원이란 무엇일까? 우리가 사는 세상은 몇 차원일까? 0차원, 1차원, 2차원, 3차원이 각각 무엇을 의미하는지 탐색해보고 만약 4차원이 존재한다면 그것은 어떤 모습일지 상상해 보자.

질문② 빅토리아 시대 영국 사회는 어떤 구조였을까?

『이상한 나라의 사각형』이 발표된 19세기 영국 사회는 어떤 계층 구조로 이루어져 있었을까? 당시 사람들은 남녀의 역할을 어떻게 생각했을까? 이러한 구조가 작품 속 도형들의 계급으로 어떻게 표현되었을지 추측해 보자.

질문③ 산업혁명 이후 과학이 빠르게 발전하던 시대의 과학은 어떤 분위기였을까? 새롭게 등장한 이론이 무엇이고 사람들은 그러한 과학에 어떤 태도를 보였을까? 과학의 발전이 기존 사회나 종교와 충돌하진 않았을까? 특히 4차원 개념은 어떻게 생겨났으며 당대 사람들은 어떻게 이를 받아들였을까?

2) 자료 조사 및 탐구 활동

(위에 질문들은 예시임 스스로 질문 만들어 탐구 가능)

3) ppt제작( 그림 키워드 그래프만 사용 10장이상)-조장이 패들렛에 올리기

4) 발표대본 제작-5분~7분 분량-조장이 패들렛에 올리기

5) 발표하기

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활동2. 독서에 앞서 책을 바탕으로 만든 35분 애니메이션 영상 시청 , 시청 후 활동지 작성

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활동2. 독서에 앞서 책을 바탕으로 만든 35분 애니메이션 영상 시청 , 시청 후 활동지 작성

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활동3 -책읽기 및 독후활동

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활동3 -책읽기 및 독후활동

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 활동4. 4차원 도형 만들어보고 특징 파악하기

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 활동4. 4차원 도형 만들어보고 특징 파악하기

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해가 지지 않는 나라로 불리던 영국 빅토리아 시대의 사회 구조가 어떤 구조를 가지고 있었을지 발표하게 된 1조 이소연, 조민주, 원준석, 배연우 입니다. 들어가기에 앞서 빅토리아 시대를 먼저 설명해 보고자 한다면, 빅토리아 시대는 1837년에서 1901년 동안 빅토리아 여왕이 영국을 통치하던 시대를 말합니다. 빅토리아 시대는 산업 혁명의 경제 발전이 성숙기, 즉 극에 달하는 시기에 도달한 시대로 흔히 대영 제국의 절정기로 간주하는 시대 입니다. 이 시기에 영국은 발전한 경제를 기반으로 많은 식민지를 거느리게 되어 해가 지지 않는 나라라고도 불리기도 했습니다. 그러면 이러한 빅토리아 시대의 사회 구조에 대하여 간략하게 설명해보도록 하겠습니다.

빅토리아 시대 영국 사회의 구조는 한마디로 누가 돈이 많은 가를 넘어 모든 요소가 계층을 재생성하는 거대한 시스템이라 말 할 수 있습니다. 다시 말해  빅토리아 시대 이전에는 그냥 돈이 많은 사람이 제일이고 그 계급을 개인이 지키는 사회였다면 빅토리아 시대는 돈이 많은 사람이 계층을 한번 얻게 되었다면 사회가 그 계급을 유지되게 하는 느낌입니다. 그렇다면 더욱 자세히 알아보도록 합시다.

자, 첫번째로 정치와 법적 구조는 입헌 군주제로 국왕이 존재는 하지만 실질적인 권력은 의회에 있는 구조이며 유권자가 선거법 개정으로 점차 확대되었지만 여성과 빈곤층은 제외한 시대 였습니다.

경제 및 노동으로는 산업 자본주의의 발전이 광산과 공장, 철도 중심으로 이루어 지며 노동이 숙련공과 비숙련공, 남자 노동과 여자 노동과 같은 위계를 만들어 경제 활동을 하였으며 노동 조합 및 개혁 운동이 시작하는 시대였습니다.

그리고 가족 구조는 가부장제로 아버지가 가족의 절대 군력자이며 성역할을 분리하였습니다. 그리고 계급을 유지하기 위해 귀족은 귀족끼리 결혼하는 사회구조를 가지고 있었습니다. 네번째로 종교 구조로는 국교회 중심의 종교 사회로 종교는 도덕성과 질서 유지의 핵심 역할을 하였습니다.

19세기 영국의 계급구조는 상류층, 중산층, 노동계급, 빈민층으로 나뉩니다. 상류층은 왕족, 귀족, 성공회 고위 성직자, 젠트리로 나뉩니다. 왕족은 말 그대로 왕을 중심으로 한 국왕의 일족을 말합니다. 귀족은 귀족원을 통해 정계에 진출하며 귀족 안에 일대귀족이라는 특수 귀족 작위가 있었습니다. 일대 귀족은 대부호, 고위공무원, 맏이가 아닌 귀족의 자식들이 해당합니다. 성공회 고위 성직자는 귀족이나 젠트리에서 충원했습니다. 젠트리는 귀족가문의 혈통적 후손이지만 귀족은 아닌 지방의 대지주나 도시의 엘리트계급을 말합니다.

중산층은 근세부터 지속적으로 성장해 자유방임주의와 대량생산시대로 자리매김한 계급이고, 부르주아와 숙련공으로 나뉩니다. 귀족의 전유물이던 전문직에 진출하는 신흥 자본가들을 부르주아로 분류했고 노동환경이 개선되어 노동자의 권리를 주장하고 비교적 나은 삶을 살게 된 이들을 숙련공으로 분류했습니다. 숙련공들은 경력과 숙련도로 초급기술자보다 나은 대우를 받았습니다.

노동계급은 서민 내지 하류층으로, 19세기 영국의 대부분이 이 계급에 속했습니다. 노동자와 집사/메이드로 분류되며 노동자는 초급기술직, 선원, 마부 등의 직업으로 저임금에 시달렸습니다. 집사의 경우 중산층 출신도 있었고 하류층 출신이지만 상류층의 눈에 들어 젠트리에 편입되는 신분상승도 노릴 수 있었습니다. 앞서 말한 막노동자보다 나은 대우를 받았습니다.

빈민층은 노숙자, 실업자, 고아 등을 말하며 자유방임주의 아래에서 힘들게 연명했습니다. 빈민층에 속하는 집시들은 평범하게 노동자로 생활하는 경우도 있었지만 유랑 생활이 대다수였으며 사회의 최하위층에서 표류했습니다.

각 도형들의 형태에 따라 계급이 나뉘었을 것 같습니다. 단순한 모양의 도형은 낮은 계급, 복잡한 도형은 높은 계급을 표현 할 수 있을 것 같습니다. 여성을 표현한 도형은 이상적 여성상을 따르며 많은 범위를 움직이지 않을 것 같고 남성을 표현한 도형은 많은 곳을 돌아다니며 바깥에서 일하는 모습을 표현했을 것 같습니다.

이소연

상류층은 화려한 삶을 살았지만, 노동자 계층은 열악한 환경에서 살아가는 등 계층 간의 삶의 차이가 매우 컸다는 것이 인상 깊었어요.

원준석

여성들이 교육이나 정치에 참여하는 것이 제한되고, 오로지 가정 내 역할에만 머무는 현실이 지금과 비교해 너무 답답하게 느껴졌어요.

조민주

기술의 발전으로 생활이 편리해졌지만, 아동 노동과 같은 인권 문제가 심각하게 발생한 것을 보며 발전 뒤에 숨은 문제를 생각하게 되었어요.

배연우

문학, 패션, 건축 등에서 독특하고 섬세한 스타일이 나타났다는 점이 흥미로웠고, 지금도 영향을 주는 것을 보며 문화의 힘을 느꼈어요.

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0차원이란 위치만 존재하는 점으로 이루어딘 기하학적 성질을 의미한다. 내부가 없는 구조이고 부피,길이,공간축,넓이가 없다.

4차원이란 4개의 독립적인 축(방향이 존재하는 공간)이 있는 공간으로 수학에서는 4개의 숫자로 표현되는 좌표공간이다. 예) 점a=(x,y,z,w)로 표현

물리학에서는 주로 3차원+시간축으로 설명한다.

아인슈타인의 상대성이론에서의 4차원 공간을 (x,y,z,t)로 표현한다. (시간(t)이 공간과 동등하게 취급됨.) 우리의 눈으로는 상상할수 없지만 수식으로는 표현이 가능하다.

주요 용도:고차원 물리학,이론물리,선영대수,미분기하학,위상수학등에서 사용됨 후

1차원 존재가 2차원을 경험한다면?

1.일상적인 인식

-1차원 생명체는 자기 앞뒤에만 다른 점이나 물체가 있는지 알 수 있다.

-옆에서 오는 2차원 존재는 절대 인식이 불가능함.
예: 정사각형이 옆에서 다가오면 1차원 존재는 갑자기 점이 생겼다고 느낌.

2.2차원 존재가 1차원을 내려본다면?

2차원 존재는 1차원 세계 전체를 한눈에 볼 수 있다.

마치 우리가 책 위의 선을 한 번에 다 보는 것처럼 느낌.

하지만 1차원 존재는 자기 앞뒤 외엔 절대 인식 불가이기 때문에,
누가 자길 보고 있는지도 모른다.

3.2차원 존재가 1차원 세계를 관통한다면?

2차원 물체가 1차원 공간을 지나가면,
1차원 존재 입장에서는 갑자기 점이 생겼다가 점점 커졌다가 줄어드는 현상을 목격한다.

예:정사각형이 1차원 세계를 수직으로 지나간다면:

점이 갑자기 생김 → 선분이 길어짐 → 다시 짧아짐 → 사라짐
(하지만 실제로는 정사각형이 그냥 지나간 것뿐이다.)

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1차원이란 위치가 있는 양방향으로 움직일수 있는 축으로만 이루어진 상태를 말한다. 그렇기 때문에 공간 구조는 길이만 있고, 너비나 높이는 없다.

예를 들어보자면, 일직선으로 늘어서 있는 경우의 철도 노선이 있다. '산본->금정->범계->평촌' 이런식으로 한방향으로 흘러가는 과정도 1차원성이 있다라고 판단할수 있다.

또한 시간을 단순하게 생각해보면 과거에서 현재, 현재에서 미래 방향으로 직선처럼 흐르기 때문에 시간도에서도 1차원성이 존재한다고 할수 있다.

<2차원이 3차원을 볼때는 어떻게 느낄까>

-2차원: 평면 공간

-3차원: 입체 공간

=> 예를 들어 공(3차원 물체)이 평면을 통과할때 평면(2차원 존재)이 보면 단면만 볼수 있어 점이 갑자기 나타나고, 점점 커졌다 작아지며 사라지는 모습으로 느낀다.

따라서 요약해보면 2차원 존재는 3차원 존재를 직접 이해할수 없고, 단면이나 그림자로만 인식할수 있기 때문에 제대로 인식하지 못한다는 한계가 존재한다.

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9p

4차원에 대한 개념은 1754년 달랑베르가 저술한 "Dimensions"에서 가장 처음 등장했습니다. 달랑베르는 물리학적 의도에서 4차원을 생각했는데, 달랑베르는 여기서 공간의 세 축 외에 4번째 차원의 축을 추가하여 시간을 표현하는 아이디어를 제시하였습니다. 이러한 아이디어는 달랑베르의 때 쯤부터 시작되어, 점점 물리학에서 생각되기 시작했고, 라그랑주가 1755년에 저술한 해석역학에서 역학을 시간적으로 볼 수 있다는 내용과 함께 다뤄졌습니다.

따라서, 4차원에 대한 인식이 가장 처음 나온 것은 물리학에서 시간을 표현하기 위해서였습니다. 이때는 4차원은 물리학적으로 시간축을 의미할 뿐, 공간적, 수학적 의미의 4차원에 대한 생각은 이후에 나왔습니다.

그때는 대략 1827년에 출판된 뫼비우스의 "이 책"에서 4차원 공간에서의 3차원 도형의 회전에 다루었을 때 쯤입니다. 즉, 19세기 초 쯤에는 수학적 4차원에 대한 인식이 생기기 시작하였습니다.

여기서 뫼비우스는, 3차원 도형을 거울에 비춰서 대칭시킨 형태를 4차원 공간에서의 단순한 회전을 통해 만들 수 있다는 아이디어에 대해 다뤘습니다. <다음 페이지로 넘김>

<다음 페이지로 넘겼다가 다시 돌아왔을 때>

뫼비우스의 이 4차원에 대한 생각을 시작으로, 많은 4차원에 대한 책과 논문들이 올라웠습니다. 그중 중요한 것은 해밀턴이 발명한 사원수입니다. 사원수는 해밀턴이 복소수를 확장한 것으로, 1, i, j, k의 네 개의 기준 단위가 있어, i^(2)=j^(2)=k^(2)=ijk=-1을 만족하고, 그 네 개의 기준 단위에 의해 임의의 사원수는 실수 a,b,c,d에 대해 a+bi+cj+dk의 형태로 표현되는 수 체계입니다. 이 수 체계에서는 결합법칙이 성립하고, 역원과 항등원 모두 존재하지만, 교환법칙은 성립하지 않습니다. 이러한 사원수는 각 기준 단위를 축으로 할 때 4차원 공간을 표현할 수 있고, i,j,k의 기준 단위만으로 표현한다면 3차원 공간과 그 3차원 공간에서의 회전변환을 표현할 수 있습니다.

10p

뫼비우스가 생각한 개념은 대략 이런 느낌입니다.

먼저 2차원 공간에 이와 같은 도형이 있을 때, 그 도형을 거울에 대해 대칭시킨 도형을 원래 도형을 2차원 공간에서 이리저리 회전시키기만 해서 만들 수 있는 방법은, 잘 생각해 보면, 없다는 걸 알 수 있습니다. 그런데, 3차원 공간에서 회전시킨다면, 쉽게 회전만을 통해서 만등 수 있습니다.

11p

이러한 생각을 3차원 도형에 대해 생각해 보면, 이렇게 어떤 삼차원 도형이 있을 때, 3차원 공간에서 이 도형을 회전만 시켜서 그 도형을 거울에 대해 대칭시킨 도형을 만들 수 있는 방법은, 잘 생각해 보면, 없습니다. 여기서 뫼비우스가 생각한 아이디어는, 4차원 공간에서는 이 도형을 회전만 시켜서 그 도형을 거울에 대해 대칭시킨 도형을 만들어 낼 수 있다는 것입니다.

더 일반적으로, 임의의 3차원 도형은 4차원 공간에서 단지 회전만 시켜서 그 도형을 거울에 대해 대칭시킨 도형을 만들 수 있다는 것이 뫼비우스가 생각한 내용입니다.

<다시 9p로 돌아감. >

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3차원이란 길이 너비 높이를 세 축으로 구성된 공간으로 물리적 세계에서 위치와 운동을 표현합니다. 17세기의 데카르트가 좌표기하학을 통해 확장했으며 공간상의 점을 세 축으로 표현했습니다. 실생활에서는 공학/건축/의료등에서 3d 모델을 표현하는데 사용하고 우리가 살고있는 세계도 3차원의 예시입니다. 또한 2학기에 배우는 공간벡터에서 3차원의 거리공식을 사용하며 3차원의 물체간 거리를 구할수있다. 3차원은 실존하는 차원중 가장 고차원이며 모든 공간을 정의할수있다. 수학의경우 선형대수학과 공간기하학을 이용하며, 컴퓨터공학의 경우 3d모델링을 통해 사용한다. 이학문들 이외에도 건축학과 생명과학 로봇공학 등에서도 이용된다. 또한 메타버스, 디지털트윈, VR과 AR, 뇌과학 3차원구조등이 현대적 발전의 선두주자가 되고있다. 또한 이러한 기술들도 미래에 더 발전하여 인류의 발전에 기여할수 있다고 생각한다.

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배경지식 조사 발표 ppt

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배경지식 조사 발표 ppt

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https://www.canva.com/design/DAGtGb57IQI/dFxIxlO2AtiwryTVYzGQcQ/edit?utm_content=DAGtGb57IQI&utm_campaign=designshare&utm_medium=link2&utm_source=sharebutton

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블랙 화이트 심플한 비지니스 프로젝트 프레젠테이션

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차원은 공간의 성질을 나타내는 수로 보통의 경우에 공간에서 독립적으로 움직일 수 있는 방향의 개수를 의미합니다. 또한 n차원에서 n은 어떤 점의 좌표를 움직이는데 필요한 변수의 개수를 말합니다.
n차원에서 좌표를 움직이는 변수의 개수는 n개이며 n차원에서 모양을 표현하는데 사용되는 점의 수를 a개라고하면 n+1차원에서는 점의 수가 n차원의 2배인 2a개가 됩니다.

2차원 상에서 d를 회전시켜도 b를 만들 수 없지만 3차원 상에서 d를 회전시키면 b를 만들 수 있다. 그리고 n차원 도형의 길이를 x배만큼 증가시킬 때 그 양이 x^n배 만큼 증가한다. 또한 서로 다른 차원 도형은 합할 수 없다. 예를 들어 1차원 도형은 길이를 가지고 2차원 도형은 넓이를 가져 합을 구할 수 없다.

0차원에선 점의 좌표를 움직이는 변수의 개수가 0개이므로 움직일 수 있는 방향이 없고 고정되어있어 단순히 점으로만 표현될 수 있습니다. 따라서 0차원에서 모양을 표현할 때 사용되는 점의 수도 1개입니다.

1차원에선 점의 좌표를 움직일 수 있는 변수의 개수가 1개이므로 점을 하나의 축에 올려 그 점이 그 축 위를 움직이는 모습으로, 즉 하나의 선분으로 나타낼 수 있습니다. 따라서 1차원에서 모양을 표현할 때 사용되는 점의 수는 0차원의 두배인 2개입니다.

2차원에선 점의 좌표를 움직일 수 있는 변수의 개수가 2개이므로 1차원에서 그려진 선분을 다른 축 위에 하나 올려 움직이는 평면 도형의 모습으로 나타낼 수 있습니다. 따라서 2차원에서 모양을 표현하기위해 사용되는 점의 수는 1차원의 두배인 4개입니다.

3차원에선 점의 좌표를 움직일 수 있는 변수의 개수가 3개이므로 2차원에서 그려진  평면도형에 높이라는 개념이 생기며 입체도형의 모습으로 그려질 수 있고 따라서 3차원에서 모양을 표현할 때 사용되는 점의 수는 2차원의 두배인 8개입니다.

4차원에선 점의 좌표를 움직일 수 있는 변수의  개수가 4개입니다.
보통 4차원은 시공간의 개념으로 표현되는데 3가지의 변수로 공간을 표현하며 남은 하나의  변수로 시각(시간)을 표현합니다.
4차원은 우리의 뇌로 상상할 수 없는 차원으로 정확하게 어떻게 생겼는지는 알아낼 수 없으나 이전 차원의 규칙에 따르면 4차원의 공간에서 사용되는 점의 개수는 16개일 것으로 예상할 수 있으며 이때 3차원 도형은 4차원의 공간의 하나의  평면으로써 역할을 할것으로 예상할 수 있습니다.

끈이론
고차원의 존재가 우리를 괴롭힐수 있을ㄲ? 만약 우리가 사는 세상을 2차원이라고 가정하고 고차원 존재를 3차원이라고 가정한다면 고차원 존재가 우리 차원을 통과할때 잠깐 나타났다가 사라지는것처럼 보일 것이다. 즉 고차원 존재는 공간을 휘게하여 중력에 영향을 줄 수는 있지만 다른 차원의 존재와 상호작용할수 없다.

우리가 사는 세상은 몇차원의 공간일까요?
우리의 뇌는 3차원으로 세상을 보지 않습니다. 하지만 이렇게 가정하면 모순이 발생합니다. 어떠한 물체에 무엇이 통과했을때 2차원이라면 두개의 도형으로 나눠져야하지만 우리가 사는 세상은 그렇지 않습니다. 그러므로 우리는 가로 세로 높이로 구성되는 삼차원의 공간에서 살아가고 있습니다.

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안녕하세요. 저희는 질문 3번에 대해 발표하게 된 박서연 손정아 장진우입니다.

(박서연)

18세기에서 19세기, 산업혁명이 한창이던 시기 유럽을 중심으로 과학이 빠르게 발전했습니다. 이처럼 과학이 눈부신 속도로 진보하던 시대에는 과학에 대한 분위기는 어땠을까요?

과학의 발전에 발맞추어 교육 시스템도 점차 정비되었습니다. 공교육 제도의 도입으로 인해, 그동안 소수의 엘리트만이 누릴 수 있었던 과학 교육이 점차 일반 대중에게까지 확산되기 시작한 것이죠. 프랑스에서는 나폴레옹 시대에 대학과 전문 교육기관들이 설립되었고, 독일에서는 1810년 훔볼트 대학이 설립되며 연구 중심의 현대적 대학 시스템이 자리 잡았습니다.

이 시기에 과학은 단지 학문적 호기심을 충족시키는 차원을 넘어, 국가적으로도 매우 중요한 분야로 인식되었습니다. 특히 19세기 유럽에서는 과학 연구에 대한 국가의 지원이 눈에 띄게 증가했는데, 이는 과학이 국가의 경제적 성장과 군사력 강화에 필수적인 요소로 여겨졌기 때문입니다. 과학기술은 곧 국가 경쟁력을 결정짓는 핵심 자산으로 부상한 것입니다.

그럼 이 시기에 새롭게 등장한 이론은 어떤 것이 있을까요? 여러가지가 있지만 여기서는 패러다임을 뒤바꾼 이론을 위주로 이야기하겠습니다.

첫번째로 상대성 이론이 있습니다. 상대성 이론은 아인슈타인이 제안한 물리학 이론으로, 시간과 공간의 절대성을 부정하고 상대적 관계를 설명합니다. 물리학의 새로운 표준을 제시했다고 평가받으며 뉴턴의 고전역학이 설명하지 못하는 부분을 설명합니다. 즉, 현대 과학 발전의 토대가 된 것이죠.

두번째로 비유클리드 기하학이 있습니다. 비유클리드 기하학은 기존의 유클리드 기하학의 평행선 공리를 따르지 않는 체계로, 수천년 동안 절대적 진리로 여겨지던 유클리드 기하학을 뒤흔들었습니다. 그렇기에 초기에는 큰 반발이 있었지만, 점차 수용되기 시작하며 후대의 수학자들이 세운 수학기초론에 영향을 주었습니다.

(손정아)

이 책이 발표되기 전과 직후에는 종교인들이 과학에 대해 크게 반발했을 것임을 쉽게 짐작할수있습니다. 과학과 종교는 오랫동안 인간 사회에서 중요한 역할을 해왔고지만 실제로 일부 공동체에서는 과학을 신의 영역을 침범하는 신성모독으로 여겼습니다.1880년대는 과학기술이 눈에 띄게 발전하던 시기였고 예를 들어 찰스 다윈의 진화론은 1859년에 발표되었지만, 그 여파는 1880년대에도 여전히 강하게 남아 있었습니다. 사람들은 오랫동안 ‘신이 인간을 창조했다’는 성경의 이야기를 믿어왔는데, 다윈의 이론은 그런 종교적 믿음과 정면으로 충돌했습니다.당시 많은 종교계 인사들은 진화론을 받아들이지 않았고, 학교 교육에서도 진화론을 가르칠 수 없도록 법으로 금지한 지역도 있었습니다. 이런 갈등은 과학이 단순한 지식의 발전이 아니라 기존의 믿음과 세계관을 흔들 수 있다는 걸 보여줍니다.이 예시는 결론적으로 과학 발전은 분명 기존 사회와 종교와의 충돌을 불러왔다는 것을 명확하게 알수있습니다.

(장진우)

대본공유

9p

4차원에 대한 개념은 1754년 달랑베르가 저술한 "Dimensions"에서 가장 처음 등장했습니다. 달랑베르는 물리학적 의도에서 4차원을 생각했는데, 달랑베르는 여기서 공간의 세 축 외에 4번째 차원의 축을 추가하여 시간을 표현하는 아이디어를 제시하였습니다. 이러한 아이디어는 달랑베르의 때 쯤부터 시작되어, 점점 물리학에서 생각되기 시작했고, 라그랑주가 1755년에 저술한 해석역학에서 역학을 시간적으로 볼 수 있다는 내용과 함께 다뤄졌습니다.

따라서, 4차원에 대한 인식이 가장 처음 나온 것은 물리학에서 시간을 표현하기 위해서였습니다. 이때는 4차원은 물리학적으로 시간축을 의미할 뿐, 공간적, 수학적 의미의 4차원에 대한 생각은 이후에 나왔습니다.

그때는 대략 1827년에 출판된 뫼비우스의 "이 책"에서 4차원 공간에서의 3차원 도형의 회전에 다루었을 때 쯤입니다. 즉, 19세기 초 쯤에는 수학적 4차원에 대한 인식이 생기기 시작하였습니다.

여기서 뫼비우스는, 3차원 도형을 거울에 비춰서 대칭시킨 형태를 4차원 공간에서의 단순한 회전을 통해 만들 수 있다는 아이디어에 대해 다뤘습니다. <다음 페이지로 넘김>

<다음 페이지로 넘겼다가 다시 돌아왔을 때>

뫼비우스의 이 4차원에 대한 생각을 시작으로, 많은 4차원에 대한 책과 논문들이 올라웠습니다. 그중 중요한 것은 해밀턴이 발명한 사원수입니다. 사원수는 해밀턴이 복소수를 확장한 것으로, 1, i, j, k의 네 개의 기준 단위가 있어, i^(2)=j^(2)=k^(2)=ijk=-1을 만족하고, 그 네 개의 기준 단위에 의해 임의의 사원수는 실수 a,b,c,d에 대해 a+bi+cj+dk의 형태로 표현되는 수 체계입니다. 이 수 체계에서는 결합법칙이 성립하고, 역원과 항등원 모두 존재하지만, 교환법칙은 성립하지 않습니다. 이러한 사원수는 각 기준 단위를 축으로 할 때 4차원 공간을 표현할 수 있고, i,j,k의 기준 단위만으로 표현한다면 3차원 공간과 그 3차원 공간에서의 회전변환을 표현할 수 있습니다.

10p

뫼비우스가 생각한 개념은 대략 이런 느낌입니다.

먼저 2차원 공간에 이와 같은 도형이 있을 때, 그 도형을 거울에 대해 대칭시킨 도형을 원래 도형을 2차원 공간에서 이리저리 회전시키기만 해서 만들 수 있는 방법은, 잘 생각해 보면, 없다는 걸 알 수 있습니다. 그런데, 3차원 공간에서 회전시킨다면, 쉽게 회전만을 통해서 만등 수 있습니다.

11p

이러한 생각을 3차원 도형에 대해 생각해 보면, 이렇게 어떤 삼차원 도형이 있을 때, 3차원 공간에서 이 도형을 회전만 시켜서 그 도형을 거울에 대해 대칭시킨 도형을 만들 수 있는 방법은, 잘 생각해 보면, 없습니다. 여기서 뫼비우스가 생각한 아이디어는, 4차원 공간에서는 이 도형을 회전만 시켜서 그 도형을 거울에 대해 대칭시킨 도형을 만들어 낼 수 있다는 것입니다.

더 일반적으로, 임의의 3차원 도형은 4차원 공간에서 단지 회전만 시켜서 그 도형을 거울에 대해 대칭시킨 도형을 만들 수 있다는 것이 뫼비우스가 생각한 내용입니다.

<다시 9p로 돌아감. >

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4차원에 대한 기하학적 접근

1. 4차원 도형의 개념

3차원 공간에서 우리가 아는 정육면체(큐브)가 있습니다.

4차원에서는 이 큐브를 한 차원 더 확장한 도형인 테서랙트(4차원 정육면체)가 등장합니다.

테서랙트는 3차원 큐브 8개가 모여 만들어진 4차원 입체 도형으로, 4차원 공간의 구조를 이해하는 핵심 도형입니다.

2. 4차원 도형이 어떻게 4차원을 설명하는가?

4차원 도형은 우리가 사는 3차원 공간을 넘어서 새로운 차원 방향이 있다는 것을 보여줍니다.

예를 들어, 정육면체가 평면에서 사각형을 확장한 것처럼, 테서랙트는 큐브를 4차원 방향으로 확장한 형태입니다.

이렇게 4차원 도형을 통해 4차원 공간은 단순히 ‘추가된 좌표’가 아니라, 공간이 완전히 새로운 방식으로 확장된 것임을 기하학적으로 이해할 수 있습니다.

3. 4차원 도형의 특징

테서랙트는 16개의 꼭짓점, 32개의 모서리, 24개의 정사각형 면, 그리고 8개의 입체 큐브로 구성됩니다.

각 입체 큐브는 3차원에서의 ‘면’ 역할을 하며, 이처럼 4차원 도형은 3차원 도형들의 집합으로 설명됩니다.

이러한 구성은 4차원이 3차원보다 한 단계 더 높은 차원임을 구체적으로 보여줍니다.

4. 시각화의 어려움과 투영

4차원 도형은 직접 눈으로 볼 수 없기 때문에, 3차원 공간에 투영하여 그림이나 영상으로 표현합니다.

2차원 평면에 그림자를 드리우듯, 4차원 도형도 3차원에 ‘투영’되어 이해를 돕습니다.

이를 통해 4차원 공간의 구조와 성질을 간접적으로 느낄 수 있습니다.

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박서호산업혁명 이후의 과학<

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박서호

산업혁명 이후의 과학

산업혁명 이후 19세기 영국, 특히 빅토리아 시대에서는 뉴턴의 물리학과 유클리드 기하학은 자연의 정확한 언어로 여겨졌다.

이 시기에는 찰스 다윈의 종의 기원으로 생명이 신이 아닌 자연선택에 의해 선택된다는 충격이 있었고, 수학자들은 유클리드 기하학의 평행선 공리에 의문을 제기하며 증명을 시도했지만 실패했고

그 결과 비유클리드 기하학이 등장하게 된다.

비유클리드 기하학은 유클리드 기하학이 전제했던 절대적인 공리란 믿음을 깨는 데에 큰 역할을 했다. 이러한 사고 방식은 이후 수학기초론에 큰 영향을 주었다

결국, 19세기 후반의 영국은 강한 과학적 확신 속에서도,

점점 커지는 회의와 불안이 서서히 드러나는 시기였고,

이러한 분위기는 이후 상대주의 철학, 현대 과학 이론, 예술과 문학의 변화로도 이어졌다

이산

새롭게 등장한 이론과 사람들의 태도

다윈의 진화론

다윈은 종의 기원이라는 책을 출판해서 진화론을 발표했다. 다윈의 진화론은 자연 선택을 통해 생물이 점진적으로 변화하고 적응해 나간다. 대표적인 특징으로는 자연선택과 유전이 있다. 자연선택은 생물은 적합한 형질을 가진 개체가 살아남아 번식하는 자연선택 과정을 거쳐 진화한다는 것이고 유전은 자연선택된 형질은 유전을 통해 다음 세대로 전달된다는 것을 의미한다.

열역학 법칙

열역학 법칙은 1법칙과 2법칙이 있다. 열역학 제 1법칙은 에너지 보존 법칙이고 2법칙은 엔트로피 증가 법칙을 말한다. 1법칙은 에너지는 다른 형태로 전환될 수 있지만, 생성되거나 소멸될 수 있다. 2법칙은 자연 현상은 무질서도가 증가하는 방향으로 일어난다. 대표적인 예시는 물에다 잉크를 떨어뜨렸을 대 나타나는데 잉크는 무질서도가 증가하는 방향으로 일어나고 잉크가 다시 한곳으로 모이는 현상은 일어나지 않는다.

통계학

통계학이 산업혁명 시기에 나타나게 된 이유는 대표적으로 2가지가 있다. 첫 번째로 데이터 수집 및 정리의 필요성이 증가했다. 1차 산업혁명은 도시화, 인구 증가, 노동 문제 등 다양한 사회 변화가 나타났기 때문에 이러한 변화를 이해하기 위해서 인구, 생산량 등에 대한 데이터를 수집 및 정리할 필요가 있다는 인식이 나타났다. 두 번째로 사회 조사 및 정책 수립에 통계 활용된다는 것이다. 과학자들은 인구, 질병 발생률, 범죄율 등의 조사를 통해서 사회 문제를 파악하고 해결책을 모색하기 위해서 통계학이 나타났다.

다윈의 진화론에 대해서 사람들이 처음에는 회이적인 입장이었지만, 점차 그의 이론을 수용하기 시작했다. 특히 토머스 헉슬리와 같은 과학자들이 다윈의 이론을 지지했다. 그러나 일부 과학자들은 자연선택과 유전 방식에 대한 명확한 설명이 부족하다는 점을 지적하면서 비판적인 태도를 보였다. 열역학 법칙은 라부아지에와 같은 과학자들이 기존에 존재했던 열소설 이론을 지지했고, 사람들도 열소설 이론에 익숙해 있었기 때문에 열이 에너지의 한 형태라는 새로운 개념을 즉각적으로 수용하지 못했다. 여기서 열 소설은 과거에 열을 물질의 한 형태로 이해하던 이론을 말한다. 통계학은 초기에 과학자들이 회의적인 태도를 보였다. 특히 19세기 초반까지는 통계학이 단순한 자료 수집과 정리의 도구로만 인식되었다. 그러나 산업화가 진행되면서 대량의 데이터를 체계적으로 분석할 필요성이 증가하면서 통계학을 점차 수용하기 시작했다.

이유진

4차원 개념의 탄생과 반응

4차원 개념의 탄생

18세기 후반

뤼미에르와 라그랑주-시간도 축처럼, 공간처럼 볼 수 있다고 생각함

19세기 초중반

뫼비우스-4차원 공간이 있어야 거울상을 제대로 맞출 수 있다

해밀턴-사원수를 고안하고 수학적으로 4차원이 가능하다고 주장함

슐레플리와 리만-N차원 공간 개념의 기초 다짐

19세기 말

힌튼-tesseract(4차원 정육면체) 용어 탄생, ana,kata 방향 개념 도입, 인간도 4차원적 존재여야 4차원을 직관할 수 있다는 철학적 주장

20세기 초

민코프스키-공간 3차원과 시간 1차원의 4차원 시공간 개념 주장

이를 바탕으로 아인슈타인의 특수 및 일반 상대성 이론이 탄생, 시공간 개념이 현대 물리학의 핵심이 됨

당대 사람들의 반응

과학자, 수학자들의 비판적 반응

아인슈타인도 처음에는 민코프스키의 4차원 시공간 해석을 두고 "수학자들이 상대성 이론에 침입했다. 나는 더 이상 이해할 수 없어졌다."라며 "과도한 학구파"라고 평가

민코프스키의 첫 발표 당시 수학적으로 매우 '추상적이고 난해하다'는 평을 받음

하지만 곧 긍정적 반응

포인카레, 로렌츠 등은 특수상대성 이론을 완전하고 일관되게 다지는데 민코프스키의 시공간 해석이 매우 유용한 수학적 틀을 제공했다고 평가

철학자들 중 일부는 시공간 개념을 바꾸는 것이 현실 인식의 기반 자체를 뒤흔드는 것으로 보고 비판

사회주의권에서는 물리학의 보편성과 계급적 유산에 반한다는 이유로 거부

한편 대중문화에서는 타임머신, 시공간 연속체 같은 개념이 SF 및 예술 장르에 널리 퍼지면서 시공간이 익숙한 개념이 됨

구범준

찰스 라이얼의 지질학

라이얼은 1830~1833년 발표한《Principles of Geology》에서 “현재 진행 중인 자연 작용이 오랜 시간 동안 누적되어 지구를 형성했다”고 주장했다. 지구의 나이는 성경에 나오는 6000년 보다 더 오래 된 수백만 년 이라고 발표하였다.

그는 특히 과학이 종교로부터 자유로워야 한다고 말했다.

그러나 주요 대학 신학자(신을 연구하는 사람)들은 라이얼 이론에 크게 반발했고, 일부 교수는 그의 학위를 거부하거나 채용을 막기도 하였다.

라이얼 자신은 이를 완화하기 위해 “종교와 과학은 반대되지 않는다”고 주장했지만, 과학계에서는 더 이상 창세기의 전통적 해석을 고수하지 않는 분위기가 확산되었다.

성경의 지구·홍수 연대 해석이 완전히 흔들렸으며, 나아가 진화론 수용의 토대가 마련되었다. 이후 다윈 등도 오래된 지구 개념 위에서 “자연선택” 이론을 발전시켰다.

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클라인 병은 겉과 속의 구분이 없는 매우 독특한 도형이다. 일반적인 병은 안쪽과 바깥쪽이 명확하게 나뉘어 있지만, 클라인 병은 한 면만으로 이루어져 있어서 그런 구분이 없다.

이 도형은 1882년, 독일의 수학자 펠릭스 클라인에 의해 처음 제안되었다. 모양은 병처럼 생겼지만, 병의 목이 구부러져 자기 자신을 뚫고 들어가 바닥과 연결된다. 이 구조 때문에 클라인 병의 표면을 따라 계속 이동하면 어느 순간 안쪽에서 바깥쪽으로, 또는 바깥쪽에서 안쪽으로 자연스럽게 이동하게 된다.

이처럼 안과 밖의 경계가 사라지는 구조는 우리가 살고 있는 3차원 공간에서는 완전히 구현할 수 없다. 클라인 병을 제대로 만들려면 4차원 공간이 필요하기 때문이다. 3차원에서 클라인 병을 만들려면 도형이 자기 자신을 관통해야 하므로, 실제로는 완벽한 형태를 만들 수 없고 모형으로만 흉내 낼 수 있다.

클라인 병을 이해하려면 먼저 뫼비우스 띠를 떠올릴 수 있다. 뫼비우스 띠는 종이 띠 한쪽 끝을 180도 비틀어 붙이면 만들 수 있는 도형으로, 겉면과 안쪽이 연결되어 있다. 클라인 병은 뫼비우스 띠의 개념을 한 차원 더 확장한 형태라고 할 수 있다.

클라인 병은 단순히 특이한 모양의 도형이 아니라 차원과 공간, 경계에 대해 새롭게 생각하게 해 주는 수학적 개념이다. 위상수학이라는 분야에서 중요한 역할을 하며, 철학이나 예술, 과학 분야에서도 상징적으로 자주 활용된다.

정리하자면, 클라인 병은 안과 밖이 연결된 한 면만 있는 도형이며, 고차원의 세계를 상상하고 이해하는 데 도움을 주는 중요한 수학적 도구라고 할 수 있다.

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사차원 정육면체는 정팔포체라고 부른다.

3차원의 정육면체를 4차원으로 확장시킨 것이다.

현실에서는 완벽하게 구현할 수 없고 컴퓨터 그래픽으로 구현할 수 있다.

정육면체가 6개의 정사각형 면을 가지고 있듯이, 정팔포체는 8개의 큐브(정육면체)를 면으로 한다. 따라서 3D큐브 안에 또 다른 정육면체가 들어있는 것 처럼 보이기도 한다.

모두 8개의 정육면체, 24개의 사각형, 32개의 모서리, 16개의 꼭짓점으로 구성된다.

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(사진은 클라인 병)

4차원 정육면체는 익숙한 3차원 정육면체가 4차원으로 확장된 형태다.

3차원 정육면체는 6개의 정사각형 면으로 이루어져 있는데, 4차원 정육면체는 이보다 한 차원 높은 공간에서 8개의 3차원 큐브가 모여 만들어진다.

4차원 정육면체는 16개의 꼭짓점과 32개의 모서리, 24개의 면을 가지고, 3차원 큐브보다 훨씬 더 복잡한 구조를 가지고 있다.

우리가 4차원을 직접 시각화할 수 없어서, 주로 3차원으로 투영하거나 그림자로 표현하여 이해한다.

4차원 정육면체는 컴퓨터 그래픽, 고차원 데이터 분석, 물리학의 시공간 연구 등 다양한 분야에서 중요한 개념으로 활용된다.

간단히 말해, 4차원 정육면체는 4차원 공간에서의 ‘정육면체’로, 차원이 하나 늘어나면서 기존 큐브의 구조가 한층 확장된 형태라고 할 수 있다고 한다.

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클라인 병은 마치 병처럼 생겼지만 입구를 따라 병 안으로 들어가다 보면 어느 순간 다시 바깥으로 이어지는 즉 안과 밖의 경계가 없는 매우 특별한 도형이다. 이 형태는 일반적인 3차원 공간에서는 완벽하게 만들 수 없고, 오직 4차원 공간에서만 자기 자신과 교차하지 않고 완전히 구현할 수 있다. 클라인 병은 입구를 따라 안으로 들어가도 결국 다시 바깥과 연결되어 나올 수 있게 되는 한 개의 연속된 면으로 이루어져 있어 안과 밖의 구분이 사라진 구조이다. 겉면이라고 생각하고 따라가다 보면 자연스럽게 안쪽으로 이어지고, 다시 겉면으로 돌아오는 방식이다. 이러한 도형은 뫼비우스 띠와 비슷한 성질을 가진다. 뫼비우스 띠는 한쪽 면만 있는 비틀린 띠인데, 클라인 병은 그보다 한 단계 확장된 형태로서, 뫼비우스 띠의 가장자리를 연결하여 경계마저 없앤 입체적인 도형이라 할 수 있다. 결과적으로 클라인 병은 눈으로 볼 수는 있지만, 우리의 3차원 공간 안에서는 물리적으로 완벽히 만들 수 없는, 추상적인 위상의 기하학 도형이다.

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클라인 병은 1882년 독일 수학자 펠릭스 클라인이 고안한 위상수학적 도형으로,안과 밖의 구분이 없는 비자기지향적 곡면이다.

일반적인 병과 달리, 클라인 병은 입구가 병의 내부를 통과해 다시 바닥과 연결되며,이로 인해 겉면을 따라가다 보면 자연스럽게 안쪽으로 들어가고,다시 바깥으로 이어지는 하나의 연속된 면으로 구성되어 있다.

즉, 경계가 없고 안과 밖이 연결된 구조다.

하지만 3차원 공간에서 완전히 구현할 수 없으며,진정한 클라인 병은 4차원 공간에서만 가능하다.이유는 3차원에서는 입구가 병의 몸체를 뚫고 지나가야 하기 때문이다.

클라인 병은 위상수학에서 중요한 예시로,도형의 모양보다는 연결성과 면의 성질을 이해하는 데 도움을 준다.

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우리가 흔히 보는 병은 입구가 있고 안과 밖이 명확히 나뉘지만 클라인병은 병 안으로 들어가도 계속 이동하면 자연스럽게 바깥으로 나오게 되는 구조를 가진다. 즉 표면이 하나로 이어져 있고 경계가 없는 특이한 형태이다. 3차원 공간에서 클라인병을 구성할 경우에 병의 목 부분이 병의 옆면을 관통하는 형태로 구현되는데 이는 위상수학적으로 허용되지 않는 자가 교차현상이다. 클라인병은 원래 겹침이나 자가 교차 없이 매끄럽게 이어져야 하므로 이러한 방식은 진정한 클라인병을 나타내지 못한다. 수학적으로 클라인병은 4차원 유클리드 공간 내에서만 자가 교차 없이 정확하게 정의되고 표현될 수 있기 때문에 클라인병은 4차원 도형으로 여겨진다.

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방향과 안팎의 구분이 없는 도형이다. 3차원 상에서는 표현할 수 없지만 4차원 상에서는 표현 가능하다.

몸체를 뚫고 지나는 것 같지만 실제로는 그렇지 않다. 클라인병은 현실로 구현할 수 없고 초입체로 분류된다.

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4차원 정육면체는 4차원 공간엣의 정육면체라는 의미로 4차원에서의 정다각형 개념으로 4차원 공간에서 모든 면이 정육면체인 도형입니다.

테서렉트의 구성으로는 꼭짓점은 16개, 변은 32개, 면은 24개, 세포, 즉 정육면체는 8개로 구성되어 있습니다.

테서렉트의 좌표를 표현해 보자면 테서렉트는 4차원이기에 점은 X,Y,Z,W와 같이 4개로 표현됩니다.

테서렉트의 투영원리로는 두가지 방법이 있는데 한가지 방법은 직교투영으로써 크기를 유지하는 투영방법이고, 다른 한가지 방법은 원근 투영으로 멀어질수록 작게보이는 투영방법이다.

그렇다면 위와같은 4차원 정육면체인 테서렉트가 중요한 이유는 고차원 공간을 이해할수 있게ㅐ주는 기반이 되는 구조이며, 선형대수와 기하학, 위상수학 등에서 핵심적인 예시가 되기 때문이다. 또한 물리학에서도 초공간이론, 끈이론, 특수상대성이론에도 응용된다.

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4차원 정육면체(테서랙트)

구조-정육면체를 복사해 4번째 방향으로 이동시킨 다음 각대응하는 꼭짓점을 연결하면 테서랙트가 된다.

테서랙트는 꼭짓점 16개,모서리32개,면24개,정육면체 8개로 이루어진다.

우리의 눈은4차원을 인식하지 못하여서 직접적으로 테서랙트를 인지하지는 못하지만 투영기법을 통해 3차원그림으로 표현 가능하다.

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클라인 병은 자기 자신과 맞닿는 경계를 가지면서도, 안과 밖의 구분이 없는 표면이다. 즉, 1면 이면서도 1개의 모서리도 없는 매우 독특한 도형이다. 실제로는 4차원 공간에서만 교차 없이 만들 수 있다.

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클라인병은 4차원 공간에서 존재하는 위상수학적 도형으로 내부와 외부구분이 없고 뫼뷔우스 띠를 닫아만든 형태이다.

클라인병은 위상수학적으로 2차원 표면이지만 경계가 없고 한면만 있는 비정향 표면이다.

클라인병은 경계가 없고, 한면만 존재해야하며, 표면이 자기자신을 교차하지 않아야 하지만 2차원 종이에서 구상할때 종이가 자기자신을 통과하는 구조가 되며 3차원에서는 표면이 자기자신과 교차하게 된다.

2차원 생명체가 뫼비우스띠에서 이동하고 있을때 3차원에서 봐야 2차원 물체가 한곳을 돌고있다는 것을 알수있듯 내부 외부경계가 없는 클라인병을 자연스럽게 표현하기 위해서는 4차원이 필요하며 3차원에서는 불완전하게 표현된다.

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클라인 병(Klein bottle)은 수학적으로 매우 독특한 성질을 가진 곡면으로, 일반적인 병과는 전혀 다른 구조를 가지고 있다. 우리가 흔히 알고 있는 병은 안쪽과 바깥쪽이 뚜렷하게 구분되지만, 클라인 병은 안과 밖의 경계가 존재하지 않고 모두 하나의 면으로 연결되어 있는 것이 특징이다. 다시 말해, 클라인 병은 겉면을 따라가다 보면 어느 순간 안쪽으로 들어가 있고, 또다시 겉면으로 이어지는 식으로 면이 끊기지 않고 계속 이어진다.

이런 독특한 구조는 모비우스의 띠(Möbius strip)를 떠올리게 한다. 모비우스의 띠는 종이 한쪽 끝을 반 바퀴 비틀어 붙이면 생기는데, 이 띠 역시 한 면만 가진다는 점에서 매우 신기한 도형이다. 클라인 병은 이 개념을 더 발전시킨 것으로, 모비우스 띠처럼 면이 하나일 뿐만 아니라, 끝이 없는 닫힌 구조를 하고 있다.

클라인 병의 진정한 특이점은 차원에서 드러난다. 클라인 병은 3차원 공간에서는 완벽하게 만들 수 없다. 왜냐하면 병의 목이 병의 몸통을 통과해야 완성되는데, 3차원에서는 이 과정에서 면이 서로 겹치게 되어버린다. 하지만 4차원 공간에서는 병의 목이 몸체를 겹치지 않고 자연스럽게 통과할 수 있기 때문에, 클라인 병이 수학적으로 완벽한 형태로 존재할 수 있다. 따라서 클라인 병은 4차원에서만 완전하게 정의되는 도형이다.

현실에서는 유리나 플라스틱으로 클라인 병처럼 생긴 물건을 만들 수는 있지만, 그것은 수학적으로 완전한 클라인 병은 아니다. 그런 모형에서는 병의 일부가 강제로 뚫리거나 겹쳐 있기 때문이다. 이런 이유로 클라인 병은 현실보다는 수학, 특히 위상수학(Topology)에서 중요한 연구 대상이 되며, 공간과 차원의 개념을 이해하는 데 도움을 준다.

클라인 병은 단순히 특이한 곡면에 그치지 않고, 우리가 살고 있는 세계의 차원 개념에 대해 다시 한 번 생각하게 만드는 철학적이고도 수학적인 존재라고 할 수 있다.

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클라인 병은 독특한 수학적 구조를 가진 도형으로, 안과 밖의 구분이 없는 단일 면을 가진 비가향(非可向) 폐곡면이다. 이는 위상수학에서 중요한 개념 중 하나로, 모비우스의 띠를 한 차원 확장한 형태라고 볼 수 있다.

클라인 병은 3차원 공간에서 완벽하게 구현될 수 없고, 4차원 이상의 공간에서만 자가 교차 없이 자연스럽게 존재할 수 있다. 우리가 3D 프린팅으로 만든 클라인 병 모형은 진짜 클라인 병이 아니라, 현실에서 표현 가능한 구조일 뿐이다.

클라인 병의 오일러 지표는 0이다. 오일러 지표는 도형의 꼭짓점, 변, 면의 개수를 이용해 계산하는 숫자인데, 이 숫자를 통해 도형이 얼마나 복잡한지 알 수 있다.

클라인 병은 1882년 독일의 수학자 펠릭스 클라인(Felix Klein)이 처음 제안했다. 그는 모비우스의 띠에서 착안해 한 면만을 가지면서도 경계가 없는 구조체를 상상했다. 원래는 독일어로 ‘클라인의 면’을 뜻하는 “Klein’s Fläche”라고 부를 계획이었지만, 출판 과정에서 ‘면(Fläche)’이 실수로 ‘병(Flasche)’으로 잘못 인쇄되면서 “클라인 병(Klein bottle)”이라는 이름이 굳어지게 되었다.

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정팔포체 또는 테서렉트는 8개의 정육면체로 이루어진 4차원의 정다포체이다.

포 8개, 면 24개, 모서리 32개,꼭짓점 16개로 이루어져있다.

테서랙트는 영국 출생의 찰스 하워드 힌턴(Charles Howard Hinton, 1853 ~ 1907)이 4차원을 설명하기 위해 고안했다.

a가 한변의 길이라고 치면

총 길이는 36a, 총 면적은 24^2,겉부피는 8a^3,초부피는 a^4,이포각 90도다

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4차원 정육면체는 3차원 정육면체를 4차

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4차원 정육면체는 3차원 정육면체를 4차원으로 확장한 도형이다. 꼭짓점은 16개, 모서리는 32개, 면은 24개가 있다. 2차원 정사각형을 한 방향으로 이동시키면 3차원 정육면체가 되듯이 3차원 정육면체를 새로운 4번째 방향으로 이동시키면 4차원 정육면체가 만들어진다. 3차원 세계의 생명체가 2차원 평면의 도형을 완전히 볼 수 있는 것처럼 4차원 존재는 3차원 물체의 내부와 외부를 동시에 볼 수 있다.

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클라인병은 모비우스 띠처럼 표면을 따라 한 바퀴 돌아오면 뒤집힌 상태로 되돌아온다. 그래서 왼쪽과 오른쪽의 구분도 없고, 명확한 안과 밖도 없다. 3차원 공간에서 실제로 만들려 하면 자기 몸을 통과하면서 자가 교차가 발생하고 이 교차를 피하려면 4차원의 공간이 필요하다. 위상수학에서 공간의 구조를 이해할 때 매우 중요한 예시이다. 생명공학 분야에서는 클라인 병을 정보 코드 체계의 구성틀로 활용해 유전체의 구조, 복잡성, 진화 메커니즘을 해석하려는 이론 생물정보학 연구에 활용하려는 시도가 있었다.

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클라인 병은 곡면으로, 안과 밖이 구분되지 않는 곡면이다. 여기서의 안과 밖은 3차원에서의 안과 밖이다. 즉, 그 곡면의 어느 방향으로 들어가면, 반대 방향으로 나오게 된다. 사실 들어가고 나오는 것을 생각하는 것이 불가능하다.

이는 뫼비우스의 띠와 관련지어 생각할 수 있다. 뫼비우스의 띠도 안과 밖의 구분이 없는 도형이다. 여기서 안과 밖은 2차원에서의 안과 밖이다. 즉, 그 곡면의 어느 방향으로 들어가면

4차원 정육면체는 정팔포체로, 정육면체 8개로 구성된 4차원 도형이다.

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<황성하>

-진화론

신이 세상을 창조했다는 창조론과의 대립

19세기 중반 찰스 다윈의 종의 기원 출판.

생물은 자연선택을 통해 점진적으로 진화하며, 모든 생명체는 공통 조상으로부터 유래함.

종교적 창세론, 특히 성경의 창세기와 같이 모든 생명을 신이 창조했다는 종교론적 관점과 정면으로 대치.

-빅뱅 이론

창조론과의 대립

20세기 초반 등장.

우주가 138억년 전 대폭발을 통해 현재의 모습이 되었다는 이론.

진화론과 마찬가지로 신의 존재를 부정하고 창세의 개념과 대척함.

<김희주>

-신경과학 및 인지과학

영혼이 존재한다는 종교론적 관점과의 충돌

인간의 의식과 사고, 감정 등 정신 활동이 뇌의 물리적, 화학적 작용에 의해 발생.

영혼의 존재, 자유 의지 등 종교에서 중요하게 생각하는 개념들이 뇌 활동의 결과로 설명되며 종교적 관념과 충돌.

-무한의 개념

신의 영역인 무한을 수학적으로 해석

19세기 후반 게오르크 칸토어의 집합론을 통해 무한의 개념이 수학적으로 정의될 수 있고, 다른 크기의 무한이 존재한다는 것이 밝혀짐.

전통적으로 무한은 신의 속성 중 하나로 여겨졌으나, 무하닝 수학적으로는 다르게 해석될 수 있음을 시사하며 신의 무한함을 이해하는 방식에 대한 논의를 촉발시킴.

-비유클리드 기하학

신의 존재를 뒷받침하는 완전한 공간에 대한 의심

19세기에 유클리드 기하학의 다섯번째 공준이 참이 아니라고 가정해도 일관된 기하학이 성립할 수 있음이 밝혀짐.

유클리드 기하학은 오랫동안 절대적 진리이자 신이 창조한 우주의 완벽한 질서를 반영한다고 여겨졌으나 비유클리드 기하학의 등장으로 절대적인 공간이라는 개념에 의문을 제기함.

비유클리드 기하학은 두가지 직선이 한 점에서 만나지 않더라도 평행선을 이룰 수 있다는 것과 표면의 곡률에 따라 평행선의 개수가 달라진다는 등의 내용을 포함함.

<이채희>

긍정

종교계 내 진보적 성직자, 유신진화론 지지자, 계몽주의자, 과학자

-> 과학 수용과 종교의 조화: "진화론이나 생물학적 설명은 신의 창조 방법일 수도 있다"라 해석

-> 과학 중심 이성 신뢰: 과학은 자연 법칙에 기반하고, 실험과 관찰로 증명 가능하므로 더 믿을 수 있다 판단

-> 사회개혁의 기대: 산업 혁명과 과학기술이 인간 삶의 질을 높일 것으로 기대

대표 인물

토마스 헉슬리: 다윈의 진화론을 강하게 옹호하며, 과학은 종교와 독립적으로 진리를 추구해야 한다고 주장함

부정

창조론자, 종교 근본주의자, 반계몽주의자, 전통종교계

-> 과학은 신을 부정한다: 진화론이 인간을 신의 형상으로 본 종교적 관점과 충돌한다고 비판

-> 전통 신앙 붕괴 우려: 과학이 모든 것을 설명하려 들면서, 인간의 도덕성과 종교적 가치가 약화된다 주장

-> 과학이 인간의 한계를 넘는 것을 우려: 신의 영역에 인간이 함부로 손대는것은 오만하다고 비판

대표 인물

윌리엄 제닝스: 성경의 권위를 지키기 위해 진화론을 공격함

<김민나>

1. 고대- 공간은 3차원까지만 존재한다는 사고

아리스토텔레스는 자연학에서 "존재하는 물체는 세 방향으로만 확장될 수 있다"고 설명함.

이 세 방향은 길이, 너비, 높이이며, 이것이 곧 3차원의 공간이라고 주장함.

그에 따르면 3차원 이상의 세계는 철학적, 물리적으로 존재할 수 없다고 여겨졌음.

유클리드는 기하학 원론에서 점(0차원), 선(1차원), 면(2차원), 입체(3차원)을 정의함.

그는 각각의 차원이 앞선 차원의 연속적인 이동으로 생긴다는 방식으로 설명했음.

이 시기에는 차원이란 단어 자체 보다는 "공간의 성질"이나 "형태의 구조"로 다뤄졌고, 3차원이 공간의 한계라는 인식이 철학과 과학의 기초로 자리 잡음.

2. 근대- 차원 개념이 수학적으로 표현되기 시작

르네 데카르트는 17세기에 좌표계를 도입해 기하학을 대수학과 결합시킴.

그는 평면 위의 한 점을 (x,y,z)로 표현함.

이로써 차원은 수학적으로 정의 가능한 수의 배열로 이해되기 시작함.

18세기 수학자들, 예를 들면 달랑베르나 라그랑주는 시간도 변수로 다룰 수 있으며, 수학적으로는 공간 좌표와 같이 '하나의 차원'으로 표현 가능하다고 주장했음.

이 시점에서 시간을 네 번째 차원으로 다루려는 시도가 처음 등장하게 됨.

이 시기의 가장 중요한 변화는 차원을 단지 공간적 감각이 아닌, 수학적 객체로 다룬다는 점이었음.

3. 19세기- 수학에서 4차원 공간이 정의됨

윌리엄 로완 해밀턴은 1843년, 사원수라는 새로운 수 체계를 발명함.

사원수는 실수 4개를 한 묶음으로 다루는 연산체이며, 4차원적인 수학 구조를 가지고 있음.

이 개념은 특히 회전과 방향을 수학적으로 표현할 수 있게 해주며, 물리학과 컴퓨터 그래픽에서도 널리 쓰이게 됨.

루드비히 슐레플리는 4차원 정다면체를 분류함.

3차원 정다면체가 플라톤의 다섯 정다면체라면, 4차원에는 슐레플리가 증명한 6개의 정다면체가 존재함.

이는 고차원 공간에서도 기하학적 대칭성이 존재한다는 중요한 증거가 됨.

베른하르트 리만은 1845년 강연에서 n차원 공간에 대한 개념을 제안함.

그는 곡률이 있는 공간, 즉 비유클리드 공간까지 포함한 다차원 기하학의 가능성을 열었으며, 훗날 일반 상대성 이론의 중요한 기초가 됨.

찰스 하워드 힌튼은 1880년대부터 4차원을 시각적으로 설명하고 대중에게 알리는 작업을 함.

그는 테서랙트라는 개념을 그림으로 그려 설명하고, 'ana'와 'kata'라는 4차원 방향 용어를 제시했으며, 이를 통해 사람들이 고차원 세계를 직관적으로 상상할 수 있도록 도왔음.

19세기는 수학적으로 4차원 공간이 이론속에서 실체를 갖기 시작한 시기이며, 4차원은 수학자들에게 더이상 가상의 개념이 아니라 탐구 가능한 구조로 다뤄졌음.

4. 20세기- 4차원이 실제 물리학 이론의 핵심이 됨

헤르만 민코프스키는 1908년, 아인슈타인의 특수 상대성 이론을 해석하면서 공간 (x,y,z) 과 시간 (t) 를 합쳐 '4차원 시공간'으로 설명함.

그는 강연에서 이렇게 말함.

"공간과 시간은 더이상 따로 존재하지 않는다. 오직 시공간만이 현실이다."

알베르트 아인슈타인은 민코프스키의 시공간 개념을 바탕으로 특수 상대성 이론(1905)과 일반 상대성 이론(1915)을 완성함.

이 이론에 따르면, 시공간은 질량에 의해 휘어지며, 이 곡률이 중력처럼 작용함.

상대성 이론은 단순한 이론에 그치지 않고, GPS 위성의 시간 오차 보정, 중력 렌즈 현상, 중력파 검출 등을 통해 실험적으로 입증되고 있음.

이로써 4차원은 수학적 상상이 아닌, 실제 물리 세계의 구조로 받아들여졌고, 과학자들은 시공간의 구조를 이해하기 위해 4차원을 전제로 한 계산과 모델링을 하게 되었음.

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클라인의 병은 뫼비우스의 띠를 1차원 확장한 4차원 위상학적 도형으로, 한 면과 한 경계만 가진다.
3차원 공간에서는 자가충돌 없이 만들 수 없으며, 4차원 공간에서만 완전한 형태로 존재할 수 있다.

그렇기에 내가 아래 만든 모형은 사실 같은 클라인병은 아니다. 3차원에서는 뚫고 들어가는것으로 표현되는데 사실 꼬인 위치에 의한것으로 3차원의 한계때문이라고 볼 수 있다

자기 자신과 뒤집힌 채 연결되는 특성 때문에 비직관적인 면 구조를 가지고 있다.

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4차원 정육면체는 정육면체를 한 차원 더 확장한 도형으로, 수학적으로는 4차원 초입방체라 불린다. 정사각형이 선분을 확장해 만들어지고, 정육면체가 정사각형을 공간으로 확장해 만들어지듯, 4차원 정육면체는 정육면체를 또 다른 공간 축으로 확장해 구성된다. 이 도형은 16개의 꼭짓점, 32개의 변, 24개의 면, 8개의 정육면체로 이루어져 있으며, 우리가 사는 3차원 세계에서는 직접 볼 수 없기 때문에 3차원으로 투영하여 그 구조를 상상하거나 시각화한다. 고차원 기하학뿐만 아니라 물리학, 특히 시공간 이론에서도 활용되며, 시간과 공간을 넘는 이동이나 구조를 설명할 때 이 개념이 자주 등장한다. 4차원 정육면체는 인간 인식의 한계를 넘는 고차원 세계를 탐구하는 데 중요한 이론적 도구로 사용된다.

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쿠퍼 & 머피 메시지 전달 장면 | 인터스텔라 (Interstellar, 2014) [4K]

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큐브2:하이퍼큐브 (영화)

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큐브2:하이퍼큐브 (영화)

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Marvel Studios’ Doctor Strange in the Multiverse of Madness | Final Trailer

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뇌의 압력에 따른 꿈속에서의 시간 지연이나

루시드 드리밍같은 부분에서 과학적 요소가 드러남.

단 영화적 장치로 보이는 죽음으로 꿈에서 깨어나기는 비과학적으로 보임.

보다 효율적이며 꿈을 구분할 방법이 존재할 것

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https://www.youtube.com/watch?v=awyG1-xvqFY&pp=0gcJCf0Ao7VqN5tD

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[닥터 스트레인지] 티저 예고편│마블 공식 예고편

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https://youtu.be/A15gW-nUAJw?si=iISzFaz8AzXkXibh

큐브 2:하이퍼큐브(영화)

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위의 그림은 칼라비 야우 공간이다. 도라에몽의 주머니를 보고 어떻게 도라에몽의 주머니가 작동하고 가능한지가 궁금하여 찾아 보니 그와 비슷하게 눈에 보이지 않는 여분의 6차원이 복잡하게 말려들어가 있어 실질적으로 매우 큰 공간을 이루고 있다는 칼라비 야우 공간이라는 이론을 찾기 되었다. 칼라비 야우 공간 이론은 작게 보이면서 큰공간을 담는데 이러려면 공간 자체를 휘게하거나 접어야하는 에너지가 필요하다.그렇기에 물리법칙을 위반한다고 생각할 수 있는데 나는 타 작품에서 사용되는 이론인 하이퍼 포켓이나 웜홀 저장공간이 실질적으로 매우먼 미래에 과학기술이 매우 발달한다면 될지도 모른 다는 기사를 보고 도라에몽 주머니만큼은 아니지만 그래도 크기가 실재보다는 작은 고차원을 접어서 만든 주머니를 만들 스 있지 않을까 생각이 들었다

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4차원을 소재로 한 작품

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4차원을 소재로 한 작품

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비선형적 시간 인식, 시간의 4차원적 존재론, 사피어-워프 가설 사용

과거, 현재, 미래가 공존할 때 인간은 자유의지를 가질 수 있을까?

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영화 '컨택트' 메인 예고편

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https://youtu.be/d2VN6NNa9BE?si=0BIiXC7IosK9QfMo

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주제: 4차원의 과학적 원리

1. 4차원 시공간 개념

아인슈타인의 특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론에서 처음으로 시간을 네 번째 차원으로 포함한 개념이 등장했다.

아인슈타인은 공간(x, y, z)과 시간을 통합해 시공간이라는 4차원 연속체로 설명했다.

이 개념에 따르면, 모든 물체는 4차원 시공간 속에서 운동하고 있으며, 이는 중력, 빛의 속도, 질량의 개념과 관련된다.

2. 중력과 시공간 왜곡

일반 상대성 이론에서는 질량이 큰 물체일수록 시공간을 더 많이 휘게 만든다.

우리가 중력으로 느끼는 힘은 시공간의 휘어진 곡면을 따라 움직이는 자연스러운 경로일 뿐이다.

예시: 태양 주변의 시공간이 휘어져 있어서, 빛도 그 곡선을 따라 이동함 → 중력렌즈 현상

3. 블랙홀과 4차원

블랙홀은 극도로 강한 중력장으로 인해 시공간이 극단적으로 휘어진 4차원 구조를 가지고 있다.

중심에는 특이점 존재: 무한히 작은 부피에 무한한 밀도가 존재하는 지점이 있어 시간과 공간의 개념이 무너지게 된다.

4. 과학적 시사점

4차원 개념은 그냥 이론적인 것이 아니라 GPS 오차 수정, 블랙홀 관측, 우주 팽창 이론 등 실질적인 과학 기술에 적용된다.

시공간의 4차원 구조 없이는 현대 물리학의 여러 현상을 설명할수 없다.

느낀점: 우리가 살고 있는 3차원 세계는 전체 현실의 일부일수 있고 4차원 개념을 통해 우주에 대한 시야가 확장된것 같다.

과학적 사고력이 넓어지고, 보이지 않는 세계도 과학적으로 접근할 수 있다는점에서 흥미로웠다.

과학은 단순한 현실 설명이 아니라 상상을 바탕으로 한 깊은 논리적 추론임을 이번을 계기로 느꼈다.

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닥터스트레인지 (19초~)

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닥터스트레인지 (19초~)

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https://youtu.be/Fr7A3geXXWs?si=jYBB07DnbP4EcNEK

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고차원 유클리드 공간

고차원 유클리드 공간은 n차원의 실수 좌표로 구성된 공간으로, 우리가 익숙한 1차원, 2차원, 3차원을 넘어서 4차원 이상의 공간까지 확장한 개념이다. 이 공간에서는 두 점 사이의 거리와 벡터 내적을 통해 길이와 각도 등을 정의할 수 있으며, 고차원에서도 다양한 기하학적 성질이 유지된다. 하지만 차원이 높아질수록 단위구의 부피 변화, 데이터 분포의 희소성 등 직관과는 다른 독특한 현상들이 나타나며, 이를 ‘차원의 저주’라고 부른다. 이러한 고차원 공간은 순수 수학뿐만 아니라 현대 물리학과 컴퓨터 과학에서도 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 끈 이론에서는 10차원 이상의 시공간을 가정하여 우주의 근본 구조를 설명하고, 빅데이터 분석과 기계 학습에서는 데이터를 고차원 벡터로 표현하여 패턴을 찾는 데 활용된다.

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천문학에서 시간은 왜 공간과 함께 4차원으로 취급되는가?

아인슈타인의 일반상대성이론에서 시간은 공간과 결합된 4차원 시공간을 이룸.

중력이 '힘'이 아니라 시공간의 '곡률'로 설명됨.

블랙홀, 중력렌즈, 중력파 등도 이 개념 위에서 설명 가능.

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끈이론

끈이론은 우주의 모든 입자가 사실은 아주 작고 진동하는 끈으로 이루어져 있다고 설명하는 이론이다. 기존 물리학에서는 전자나 쿼크 같은 입자들을 0차원의 점으로 여겼지만, 끈이론은 이들을 1차원적인 실처럼 생긴 끈으로 본다. 그리고 이 끈이 어떻게 진동하느냐에 따라 서로 다른 입자가 만들어진다고 본다.

끈이론이 성립하려면 한 가지 큰 전제가 필요하다. 바로 우리가 살고 있는 시공간이 4차원이 아니라 10차원이어야 한다는 것이다. 우리가 인식하는 3차원의 공간과 1차원의 시간 외에, 숨어 있는 6차원이 더 있어야 이론이 수학적으로 일관되게 성립된다. 이 추가 차원들은 너무 작게 말려 있어 현재의 기술로는 관측할 수 없다고 여겨진다.끈이론이 10차원이어야 하는 이유는 이론 내에서 끈의 진동 모드들이 수학적으로 모순 없이 안정적으로 존재하기 위해서이다.4차원(3차원 공간 + 1차원 시간)에서는 끈의 진동을 기술하는 수학적 방정식들이 불완전하거나 불안정해지며, 물리적으로 허용되지 않는 이상한 결과들이 나타난다.예를 들어, 음수 확률이나 무한대가 나오는 등, 물리학적으로 말이 안 되는 현상이 발생한다.

끈이론에서는 진동하는 끈이 다양한 입자들로 나타나는데, 이들 입자의 성질을 완전히 설명하려면 끈의 진동 패턴이 충분히 다양해야 한다.이를 가능하게 하는 차원의 개수가 최소 10차원이어야 하며, 그래야만 모든 기본 입자들과 힘, 특히 중력을 포함한 통일적인 이론을 만들 수 있다.

추가된 6차원은 우리가 일상에서 인지하지 못하는 매우 작은 크기로 말려있어서 직접 관찰할 수 없지만, 끈이 그 안에서 진동하며 입자의 성질을 결정하는 데 중요한 역할을 한다. 이런 숨겨진 차원 구조를 ‘칼라비-야우 다양체’라고 부르며, 이 모양에 따라 물리 상수가 달라지고 입자의 특성이 결정된다.

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이 소설을 읽으며, 나는 단순히 도형들 사이의 위계가 아니라 그 속에 담긴 사회적 의미에 주목하게 되었다. 등장하는 도형들의 신분은 오직 태어날 때의 모양에 따라 결정되며, 계급 이동은 극도로 제한되어 있다. 이처럼 타고난 조건에 따라 인간의 가치가 정해진다는 사고는 과거 신분제 사회와 닮아 있어, 나는 자연스럽게 이 구조가 어떤 사상적 배경을 반영하고 있는지 탐구하고 싶어졌다.

작품 속 세계관은 '인간은 태어날 때부터 귀하거나 천하다'는 운명론적이고 고정적인 관점을 상징한다. 이는 과거의 봉건 사회나 신분제 사회에서 실제로 존재했던 생각이며, 사회적 불평등을 정당화하는 도구로 작용해 왔다. 이러한 구조는 개인의 노력이나 능력과 무관하게 삶의 방향이 제한되는 사회의 모습을 극단적으로 보여주고 있다.

이와는 반대로, 인간은 누구나 평등하게 태어났으며 각자 고유한 존엄성과 권리를 지닌다는 천부주의 사상은 이 소설의 배경과 정면으로 충돌한다. 천부주의는 민주주의와 인권의 핵심 가치로, 인간을 어떤 기준으로 나누기보다 그 존재 자체를 존중해야 한다는 관점을 지닌다. 이 사상을 떠올리며 나는, 작품 속 세계가 단순한 허구가 아니라 오늘날 현실 사회에서도 여전히 존재하는 차별과 고정관념을 비판하기 위한 장치라는 것을 다시금 깨달았다.

탐구를 마친 지금, 나는 사회의 구조나 제도뿐만 아니라 내가 가진 인식과 태도 속에도 무의식적인 고정관념이 있을 수 있다는 점을 돌아보게 되었다. 중요한 것은 다름을 차별의 근거로 보지 않고, 다양성을 있는 그대로 받아들이며 공존할 수 있는 태도를 갖는 것이다. 그러한 자세야말로 우리가 고차원적인 사회로 나아가기 위해 필요한 것이라 생각한다.

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STARGATE (1994) | Official Trailer | MGM

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주제 : 4차원 세상을 어떤 세상일까?

주제 선정 이유 : 우리가 현재 살고 있는 지구는 3차원이고, 4차원의 세상을 아직 경험해보지 못했기 때문에 4차원 세상이 존재한다면 어떤 세상일지 궁금증이 생겨서 이 주제를 선정하게 되었다.

내용 한 줄 요약 : 4차원 세상은 3차원 공간에서 '시간'이라는 차원이 추가된 개념이다. 그래서 물체가 시간의 흐름에 따라 어떻게 변화하는지를 포함하는 개념이다. 우리가 4차원의 세상에서 살게 된다면, 3차원에서 불가능한 일이 4차원 세상에서는 가능해지게 된다. 3차원에서는 물체의 겉모습만 볼 수 있지만, 4차원에서는 물체의 모든 내부를 볼 수 있다. 예를 들어, 닫힌 상자 안에 무엇이 들어있는지를 상자를 열지 않고도 볼 수 있고, 인간의 뼈와 심장과 같은 인간의 내부 모습들을 겉에서 볼 수 있게 된다. 또한, 4차원 공간에서는 3차원의 벽이나 장애물을 통과할 수 있다. 이는 4차원 세상에서는 문을 열거나 부수지 않고도 방을 들어가거나 나올 수 있다는 것을 의미한다.

느낀 점 : 4차원 세상을 탐구해보니 우리가 원래 살던 차원과는 다른 차원을 생각해야 하기 때문에 4차원 세상이 새롭게 느껴지고 정말 이런 세상이 있을까하는 의문점이 들었다.

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책이 발간된 당시, 이후 등장한 수학/과학 이론:

비유클리드 기하학, 상대성 이론

그 당시 과학에 대한 인식:

국가의 경쟁력을 좌우하는 중요한 요소

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Interstellar – Trailer 4 – Official Warner Bros.

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생명공학에서의 차원의 활용

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생명공학에서의 차원의 활용

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4D 바이오프린팅은 3D 바이오프린팅 기술에 시간에 따른 변화를 추가한 기술이다. 즉 프린팅 후 외부 자극에 따라 스스로 형태를 바꾸거나 기능을 수행하도록 설계된 구조물을 만드는 것이다. 조직 공학과 줄기세포 치료(ex. 자가접힘 셀-레이디드 스캐폴드), 스마트 임플란트과 조직 재생(ex. 뼈, 연골, 심장, 손상된 조직에 맞춰 형태가 변화하는 스캐폴드 제작), 약물 전달 시스템(ex. 온도·pH·빛·자기장 등 자극으로 약물을 방출하는 Trigger-based release) 등에 응용될 수 있다. 이 기술은 생체 적합성이 높고 정밀 이식이 가능하며 물리·화학 자극으로 시점 제어가 가능하여 맞춤형 치료가 가능하다는 점에서 중요하다.

PCA(주성분 분석)는 고차원 데이터를 더 작은 수의 주성분으로 요약하는 차원 축소 기법이다. 고차원 데이터 해석, 노이즈 제거, 계산 효율 측면에서 효과적이다. PCA는 생명공학과 결합할 때 유전자 발현 분석, 대사체 분석, 생체 신호 처리 부분에서 유용하다.

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주제: 점근 기하학 (asymptotic geometry)

볼록체 같은 유한 차원 객체의 차원이 무한대로 향할 때의 기하학적 특성을 연구하는 수학 분야 (볼록체: 비어있지 않은 내부를 가진 콤팩트 블록 집합)

주요 결과: 드보레츠키의 정리 (Dvoretzky’s Theorem)

1. 고차원 노름화된 벡터 공간에서는 충분히 작은 차원의 부분공간이 존재하며, 이 부분공간은 유클리드 공간과 거의 동일한 성질을 지닌다.

2. 차원이 매우큰 볼록체(K)가 있으면, 그 안에서 적절하게 잘라낸 (k차원) 단면은 거의 둥근 구(또는 타원체)가 된다.

측도 집중 (Concentration of Measure)

대부분의 부피가 공간(고차원 공간에서 정의되고 너무 빠르게 변하지 않는 함수)의 좁은 부분(평균값이나 중앙값 주변)에 쏠리는 현상

=> 고차원에서 의외로 단순한 성질이 나타난다.