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Relações Métricas no Triângulo Retângulo

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As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º). Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo: Sendo: a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º) b: cateto c: cateto h: altura relativa à…

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RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO | RÁPIDO E FÁCIL

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Triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que: hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos,hip² = c² + c² .

Relações métricas no triângulo retângulo

Observe os triângulos:

Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:

h² = mn b² = ma c² = an bc = ah

Aplicações do Teorema de Pitágoras

Diagonal do quadrado

Dado o quadrado de lado l, a diagonal D do quadrado será a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos l, com base nessa definição usaremos o teorema de Pitágoras para uma expressão que calcula a diagonal do quadrado em função da medida do lado.

Altura de um triângulo equilátero

O triângulo PQR é equilátero, vamos calcular sua altura com base na medida l dos lados. Ao determinarmos a altura (h) do triângulo PQR, podemos observar um triângulo retângulo PHQ catetos: h e l/2 e hipotenusa h. Aplicando o teorema de Pitágoras temos:

Diagonal do bloco retangular (paralelepípedo)

Observe o bloco de arestas a, b e c, iremos calcular a diagonal (d), mas usaremos a diagonal x da base em nossos cálculos. Veja:

x² = a² + b²
d² = x² + c²

substituindo, temos:

Diagonal do cubo (caso particular do paralelepípedo)

Consideremos o cubo um caso particular de um bloco retangular, então:
a = b = c = l

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Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

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Teorema de Pitágoras
Triângulo Retângulo e suas propriedades.

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Triângulo retângulo Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que: hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos,hip² = c² + c² .

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RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO \Prof. Gis/

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Relacionam medidas de um triângulo retângulo

As relações métricas no triângulo retângulo são parte da geometria plana e se relacionam às medidas correspondentes em triângulos retângulos. Desta forma, a expressão encontra medidas não conhecidas de um triângulo. Assim, conseguimos encontrar catetos, a hipotenusa a partir das semelhanças entre as figuras.

Elementos do triângulo retângulo

O triângulo retângulo é um tema muito importante para a geometria plana. É formado por um ângulo interno de 90° e os outros dois menores que somados formam 90°. Os dois ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares e formam juntos também 90°.

Os elementos de um triângulo retângulo são:

* m: projeção do cateto b sobre a hipotenusa;

* n: projeção do cateto c sobre a hipotenusa;

* h: altura relativa à hipotenusa.
Altura do triângulo permite obter as relações métricas no triangulo retângulo. (Foto: Wikipédia)

Semelhança entre os triângulos

Ao analisar a imagem anterior, percebe-se ainda que dois triângulos retângulos são formados depois de a altura ser marcada a partir do ângulo de 9º até o lado da hipotenusa. Os triângulos apresentados são semelhantes entre si, ou seja, seus ângulos são congruentes e os seus lados são proporcionais.

Na imagem apresentada acima, os triângulos semelhantes. São eles:

Relações métricas no triângulo retângulo

Com essas informações iniciais é possível entender e encontrar quatro das relações métricas no triângulo retângulo.

A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Conhecendo os calores dos catetos 10 e 24, encontre a hipotenusa.

Então, o valor da hipotenusa é igual a 29.

Pode-se conferir a veracidade do Teorema a partir das relações métricas:

Ao somar (b²= m . a) e (c²= n . a), tem-se:

Ao colocar o a em evidência, encontra-se:

Como a soma entre as duas projeções (m + n) é igual a hipotenusa (a), então:

Com essas relações métricas e o Teorema de Pitágoras é possível resolver a maioria das questões sobre o assunto.

Quando a hipotenusa de um triângulo retângulo for 64 centímetros e uma de suas projeções medir 16 centímetros, qual será a medida do cateto adjacente da projeção?

Resposta: O valor do cateto adjacente será 32 centímetros.

Se a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa igual a 12 e a projeção do cateto CA sobre a hipotenusa igual a 36. Calcule o valor da hipotenusa e do cateto adjacente.

1º Ao somar os valores das projeções dos catetos:

Resposta 01: o valor da hipotenusa é 48.

2º Como já se conhece o valor da hipotenusa, é possível ode calcular o cateto adjacente usando a fórmula b² = a . n. Desta forma:

Resposta 02: o valor do cateto adjacente é igual a 24.

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Relações métricas no triângulo retângulo | Educa Mais Brasil

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As relações métricas no triângulo retângulo relacionam os lados dos triângulos retângulos e são usadas para encontrar catetos e hipotenusa.

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RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO!!