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La crescita esponenziale è un numero crescente d’individui che fa aumentare la popolazione a ogni intervallo di tempo successivo, determinando un tasso di aumento progressivamente maggiore.
Questo tipo di crescita si verifica tutte le volte che il numero delle nascite è superiore al numero delle morti, ciò accade quando ogni individuo, in media, genera nel corso della sua vita più di un figlio.
In natura solo condizioni particolari e in un limitato intervallo di tempo una popolazione può crescere secondo una curva esponenziale, ciò si verifica in quelle popolazioni che attraversano cicli regolari, nel corso dei quali a una crescita rapida fa seguito una moria di massa.

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La crescita esponenziale porta in se i germi della sua distruzione: via via che la densità di popolazione aumenta, si intensifica la competizione per le risorse.  La resistenza ambientale si oppone all’incremento demografico aumentando il tasso di mortalità o riducendo quello di natalità. Le dimensioni massime raggiungibili da una popolazione nell’ambito di un ecosistema esprimono la capacità biologica specifica di quell’ecosistema, determinata da risosrse limitate quali lo spazio, le fonti di cibo e la luce. Le popolazioni vengono mantenute al livello o sotto al livello dalla capacità biologica dell’ambiente grazie a forme di resistenza ambientale indipendenti o dipendenti dalla densità.
Il grafico in basso si propone in una tipica curva chiamata curva “S”. Inizialmente una popolazione cresce in modo esponenziale; in un secondo tempo fluttua attorno al livello di capacità biologica.

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La crescita di una popolazione batterica che avviene attraverso il raddoppio regolare nel tempo dei Microrganismi è detta esponenziale. Essa è caratterizzata da valori costanti del tempo di generazione e della velocità di crescita.

La curva di crescita che si ottiene dalla coltivazione di popolazioni batteriche, non esprime un andamento uniforme, bensì evidenzia dei lenti cambiamenti della velocità di crescita. Questa curva, caratterizzata dalle 4 fasi si ottiene adottando il metodo di misurazione della popolazione batterica, basato sulla valutazione del numero di cellule vive.
1. Fase di latenza, in cui il numero di microrganismi rimane costante. 2. Fase Esponenziale, nella quale la popolazione batterica raddoppia costantemente il numero di cellule 3. Fase stazionaria, in corrispondenza della quale la popolazione cellulare rimane stabile. 4. Fase di morte, dove le cellule vanno incontro a lisi cellulare e muoiono.

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Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo: y = ax .
Se a=1, la funzione è la funzione costante y=1, perché 1^x=1 per qualunque valore di x. Il suo grafico è quindi una retta parallela all'asse x e si possono distinguere due casi: se a>1 la funzione è crescente, se 0<a<1 la funzione è decrescente.

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Un'equazione esponenziale contiene almeno una potenza con l'incognita nell'esponente.
Consideriamo l'equazione esponenziale ax =b, con a>0; se b≤0  l'equazione ax=b è impossibile perché ax  non è mai negativo, se b>0, l'equazione ax =b ha sempre una e una sola soluzione.

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Una disequazione esponenziale contiene almeno una potenza con l'incognita nell'esponente.
Per risolvere le disequazioni esponenziali si tiene presente che:

se a>1 e ax >a^y, allora x>y.

se 0<a<1 e ax >a^y, allora x<y.