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Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles

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Mostramos como calcular la distancia entres dos puntos a los cuales no tenemos acceso. En este proceso utilizamos las leyes de seno y coseno.

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La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'. Deriva de los términos griegos τριγωνοϛ trigōnos 'triángulo' y μετρον metron 'medida'.​

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Imagen explicación teorema del seno

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3. Demostraciones de identidades trigonométricas

Las identidades trigonómetricas son igualdades entre funciones trigonométricas que se utilizan con frecuencia. Un ejemplo de estas identidades es la identidad fundamental de la trigonometría:

$$ cos^2(\alpha ) + sin^2(\alpha ) = 1$$

En este apartado demostramos las identidades trigonométricas más importantes.

Ángulos opuestos

$$ sin (-\alpha ) = - sin(\alpha ) $$

$$ cos (- \alpha ) = cos (\alpha ) $$

Ángulos más/menos π

$$ sin ( \pi \pm \alpha ) = \mp sin(\alpha ) $$

$$ cos ( \pi \pm \alpha ) = - cos(\alpha ) $$

Ángulo Doble

$$ sin(2a) = 2sin(a)cos(a) $$

$$ cos(2a) = cos^2(a) - sin^2 (a) $$

$$ tg(2a) = \frac{2tg(a)}{1- tg^2(a)} $$

Veamos ahora el coseno, seno y tangente del ángulo mitad:

Veamos ahora sumas y restas de funciones trigonométricas:

Suma de Cosenos

Resta de Cosenos

No demostramos esta identidad puesto que es similar a la resta de senos (demostrada más adelante).

Suma de Senos

No demostramos esta identidad puesto que es similar a la suma de cosenos (demostrada anteriormente).

Resta de Senos

Veamos ahora productos de funciones trigonométricas escritos como sumas y restas:

Producto de seno y coseno

Producto de cosenos

Producto de senos

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3. Demostraciones de identidades trigonométricas Las identidades trigonómetricas son igualdades entre funciones trigonométricas que se utilizan con frecuencia. Un ejemplo de estas identidades es la identidad fundamental de la trigonometría: $$ cos^2(\alpha ) + sin^2(\alpha ) = 1$$ En este apartado demostramos las identidades trigonométricas más importantes.

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Teorema del seno, coseno y tangente

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El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo. Éste enuncia que:

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2 R) de la circunferencia ( L) en la que se circunscribe el triángulo.

El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:

El cuadrado de un lado ( a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo ( A, B o C) que forman.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.

De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a ² = b ²+ c ². Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

La razón entre la suma de dos lados ( a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.

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El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo . Éste enuncia que: La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2 R) de la circunferencia ( L) en la que se circunscribe el triángulo.

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TRANSFORMACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 

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TRANSFORMACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 

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Transformación suma en producto y viceversa

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Existen las siguientes transformaciones de razones trigonométricas:

Transformación de razones trigonométricas de suma en producto

Las sumas (o restas) de razones trigonométricas pueden transformarse en el producto de éstas.

Ejemplo

Sea α=90º y β=30º. Veamos que se verifican las igualdades de las transformaciones de suma a producto.

¿Cómo se obtienen?

Demostraremos como se obtiene la fórmula:

Sumando las igualdades obtenemos:

Si transformamos:

Entonces, sumando y restando ambas igualdades:

Y sustituyendo obtenemos la fórmula:

Las otras tres fórmulas se obtienen de manera análoga.

Transformación de razones trigonométricas de producto en suma

Ejemplo

Sea α=90º y β=45º. Veamos que se verifican las igualdades de las transformaciones de suma a producto.

¿Cómo se obtienen?

Veamos como se obtiene la fórmula:

Restando las igualdades obtenemos:

Y pasando el -2 dividiendo obtenemos la fórmula:

Las otras tres fórmulas se obtienen de manera análoga.

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Existen las siguientes transformaciones de razones trigonométricas: Las sumas (o restas) de razones trigonométricas pueden transformarse en el producto de éstas. Sea α=90º y β=30º. Veamos que se verifican las igualdades de las transformaciones de suma a producto.

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Web con contenidos relacionados con las distintas identidades o razones trigonométricas.

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Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas de ángulos característicos

Relación entre razones trigonométricas

Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

A partir de las razones del seno, coseno y tangente se pueden definir las razones inversas.

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas se definen como las inversas de las razones trigonométricas.

Son funciones trigonométricas inversas: arcoseno, arcocoseno y arcotangente.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas se llaman también funciones circulares. El motivo es que el punto B del triángulo que se ha dibujado sobre el eje de coordenadas, con el vértice del ángulo α en el centro de una circunferencia ( O), puede recorrer todos los puntos de esta última.

Se pueden representar gráficamente las razones y las razones inversas en el triángulo sobre una circunferencia de radio r=1.

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Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c. Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo. Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra.

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Cálculo de algunas ecuaciones trigonometricas pera comprobar la estrategia

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Relaciones básicas para buscar conexión con razones diferentes de un mismo ángulo.

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En esta sección, vamos a dar algunas de las relaciones trigonométricas más elementales. $$\sin^2(x) +\cos^2(x)=1$$ $$\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$$ $$1+...

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Demostraciones de igualdades entre funciones trigonométricas: bachiller

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Demostraciones de igualdades entre funciones trigonométricas para bachiller.