# data[].attributes.body
La regola generale per sapere se una scommessa a quota fissa è favorevole o meno è data da

p(a)*Q(a)=k(a)

dove p(a) è la probabilità di verificarsi di a, Q(a) è la quota e k(a) è la bontà della scommessa.
Se k(a)>1 la scommessa è favorevole a chi punta. Se k(a)=1 è una fair bet, se k(a)<1 la scommessa è sfavorevole.
Come possiamo formalizzare questo concetto? Immaginiamo che il nostro capitale sia V0, che la nostra quota sia Q(a) e che la probabilità che si verifichi l'evento a sia P(a).
Immaginiamo ora di investire una frazione f del nostro capitale V0 in questa scommessa.
In caso di vittoria avremo

V1=(1+(Q(a)-1)f )V0

ovvero il nostro capitale viene incrementato di una quantità (Q(a)-1)f V_0.
In caso di sconfitta avremo che il nostro capitale sarà

V1=(1-f)V0

Immaginiamo che la nostra scommessa possa essere giocata N volte nelle stesse condizioni. Allora avremo che in generale al passo N il nostro capitale sarà

VN =((1+(Q(a)-1)f )^W(1-f )^L)V0

dove W è il numero di volte che abbiamo vinto e L è il numero di volte che abbiamo perso. Se la probabilità dell'evento è p(a) avremo che in media W=p(a)N

mentre L=(1-p(a))N=q(a)N, allora possiamo scrivere

VN =((1+(Q(a)-1)f )^p(a)N (1-f )^q(a)N)V0

quindi possiamo immaginare che ad ogni scommessa ci sarà una variazione di capitale

VN =((1+(Q(a)-1)f )^p(a)N (1-f )^q(a)N)V0

allora la frazione di capitale da scommettere sarà quella che massimizza il guadagno medio

G(f ) = max{[(1+(Q(a)-1)f )^p(a)](1-f )^q(a)}

Questa si calcola facilmente applicando il logaritmo naturale ad ambo i lati derivando e imponendo che si a uguale a 0. Il risultato è

f = [p(a)(Q(a)-1)-q(a)] / [Q(a)-1]

Questa è la famosa formula di Kelly e la massimizzazione del guadagno sul lungo periodo si chiama criterio di Kelly. Se f>0 allora la scommessa è vantaggiosa e bisogna comprare, se f=0 è una fair bet, se f<0 è svantaggiosa per chi punta, ma è vantaggiosa per chi vende. Quindi quando possibile bisogna vendere a quella quota quella determinata scommessa. E.g. se f=0.2 significa che bisogna investire lo 0.2 ( cioè il 20%) del nostro capitale in quella scommessa. Se fosse stato -0.2 avremmo dovuto vendere il 20% del nostro capitale a quella quota.

# data[].attributes.headline
La
probabilità di vittoria e il possibile guadagno

# data[].attributes.subject
La
probabilità di vittoria e il possibile guadagno

# data[].attributes.body
Prendiamo un caso molto semplice di scommesse a quota fissa. Immaginiamo di avere una moneta non truccata. Le probabilità che esca testa o croce sono esattamente le stesse: 0.5. Una probabilità di 0.5 significa che su 100 lanci vinceremo circa 50 volte e perderemo circa 50 volte. Immaginiamo di puntare a ogni lancio 1 euro. Quindi su cento lanci avremo una vittoria netta di 50 euro. Tuttavia perderemo circa le restanti 50 volte. Quindi al netto avremo 0 euro di guadagno. Questa è una fair bet. Ovvero nessuno vince o perde denaro sul lungo periodo. Ora immaginiamo invece che il bookmaker come abbiamo detto nel post precedente lasci che siano i giocatori a determinare le quote, in base al meccanismo spiegato. Immaginiamo quindi adesso di avere le quote così suddivise: 1.9 testa e 2.1 croce.

Conoscendo esattamente le probabilità dove ci conviene scommettere? Ovviamente il buon senso ci dice su croce e si dimostra abbastanza facilmente perché. Su 100 lanci vinceremo circa 50 volte. Puntando ancora una volta 1 euro avremo un guadagno netto di 55 euro contando tutte le volte che esce croce e 50 euro di perdite sommando tutte le volte che esce testa. Quindi avremo fatto un utile di 5 euro. In caso contrario avremo una perdita di 5 euro.

Consideriamo, adesso, un caso controintuitivo. Immaginiamo di considerare una moneta truccata. Questa moneta ha lo 0.8 di probabilità di mostrarci una testa e 0.2 di probabilità di mostrarci una croce. Se la testa viene pagata a 1.2 e la croce viene pagata a 5.1 su chi conviene scommettere? Facciamo i conti.
Una probabilità di 0.8 significa che su 100 lanci avremo circa 80 teste e 20 croci. Se puntiamo sulla testa avremo una guadagno netto di 96-100=-4 euro, dove 96 è dato 80*1.2 e 100 è il denaro complessivo investito in 100 lanci. Cioè avremo perso 4 euro. Se invece puntiamo su croce avremo un guadagno netto 102-100=2 euro. Cioè sul lungo periodo è più conveniente puntare sulla croce anche se vince molte meno volte.

Estrapolando, si vede immediatamente che giochi come il lotto, sono sfavorevoli allo scommettitore, perché sul lungo periodo pagano meno del denaro complessivo investito.

# data[].attributes.body
Il budget-scommesse è pari a 10.000 euro. Consideriamo l'evento testa-a-testa tra Vettel e Hamilton :
Vettel @ 2.10      Hamilton @ 1.70

Secondo le proprie previsioni, sempre basate su un modello statistico affidabile, Vettel ha il 50% di possibilità di battere Hamilton nel testa a testa. La quota di 2.1 è sopravvalutata : si tratta quindi di una Value Bet.

Con la formula di Kelly si ottiene :

Kelly % = (2.1 x 50%-1) / (2.1-1) = 4.54%

La somma ottimale da puntare su Vettel è, quindi, il 4.54% del tuo budget, cioè 454 euro

# data[].attributes.body
La formula di Kelly consente allo scommettitore di individuare l’importo ottimale da puntare tenendo in considerazione la quota dell'evento e il pronostico formulato. Scommettere una cifra maggiore implicherebbe un rischio inutile, mentre scommettere di meno comporterebbe un rendimento più basso e lo spreco di 'probabilità'.
Per ricavare il massimo profitto è necessario stimare la probabilità reale di riuscita della scommessa. È molto importante che questa stima sia più precisa di quella del bookmaker, perché da ciò dipende il successo dal criterio di Kelly.
La puntata ottimale è espressa da una percentuale del proprio budget ( o bankroll ): per calcolare l’importo della  puntata, è necessario quindi conoscere la quota proposta sull'evento dal bookmaker (Q) e determinare con precisione la probabilità (P) che il tuo pronostico risulti vincente .
La formula di Kelly :

% del bankroll da scommettere sull'evento = (Q x P-1) / (Q-1)

ossia

(((Quota x (Probabilità/100)) - 1) / (Quota - 1)) x 100

Esiste, tuttavia, una ragione molto buona per non puntare mai la quota esatta di kelly. Infatti come detto le probabilità devono essere considerate come vere e proprio quantità fisiche e quindi non sono mai conosciute con esattezza (a parte rari casi) e quindi è sempre preferibile puntare una frazione del valore di Kelly. Il perché è abbastanza intuitivo: puntare troppo forte aumenta enormemente le nostre possibilità di rovina.

# data[].attributes.body
Anno: 2011
Washington: l'uccisione di un senatore degli Stati Uniti d'America richiama alla mente, per le sue modalità, gli omicidi compiuti da una spia sovietica conosciuta con il nome in codice di "Cassio" e di cui si erano perse le tracce, tanto da essere ormai creduto morto. Per indagare, viene eccezionalmente richiamato in servizio l'ex-agente della CIA in pensione Paul Stepherdson, il quale ha impegnato gran parte della propria vita professionale dando la caccia a Cassio. A lui viene affiancato il giovane agente dell'FBI Ben Geary. Si scoprirà, quasi alla fine del film, togliendo quindi l'effetto sorpresa che è proprio Paul Stepherdson ad essere Cassio e il motivo per cui è tornato ad uccidere è per vendicarsi della famiglia che il KGB gli ha ucciso. Si scoprirà anche che il giovane Ben Geary è anche lui una spia russa infiltrata con il compito di trovare ed eliminare Cassio. Tra i due, comunque, nascerà una complicità per cui ucciso un altro agente del KGB (responsabile diretto dello sterminio della famiglia di Stepherdson ) il giovane Geary lo indicherà come Cassio. Stepherdson muore ucciso dal finto Cassio.

# data[].attributes.body
One bag contains 50 balls , 10 white 15 red and 25 green ;
Calculate the probability ' that , pulling out a ball at random it is red or green.

The output of a red or green ball and ' the contrary event the output of a white ball .

Possible cases are 50 as the number of balls . The favorable cases the exit of a small white ball are 10 then :
Probability output of a white ball =

p = 10/50 = 1/5 = 0.20 = 20 %

then the odds ' and contrary '
Probability ' output of a red or green ball =

q = 1 - p = 1-1 / 5 = 4/5 = 0,80 = 80 %

# data[].attributes.body
Introduciamo il concetto di probabilita' contraria q di un evento come la probabilita' che l'evento non accada.

Siccome l'evento accade (con probabilita' p) oppure non accade (con probabilita' q) e non ci sono altre alternative avremo che

p+q=1

Quindi possiamo definire la probabilita' contraria q come:

q = 1 - p

# data[].attributes.body
Si supponga di avere l’occasione di investire nella prospettiva o di raddoppiare a ogni giocata la posta o di perdere la quota scommessa. Si assuma, inoltre, che la probabilità dell’evento favorevole sia p, che il capitale iniziale sia W0 e che si possa ripetere l’investimento più volte.

Quanto si dovrebbe investire ogni volta?

Il criterio matematico, fulcro del metodo, ha l’obiettivo di massimizzare il logaritmo del valore attuale della somma posseduta.

# data[].attributes.body
Fin dagli anni 1950, Thorp si era accorto che nel blackjack (chiamato anche “Ventuno”) il vantaggio del banco cambiava in relazione alle carte già distribuite. L’essere in grado di tenere a mente le carte poteva trasformare il vantaggio del mazziere (il dealer) in un margine modesto ma positivo per il giocatore. Su consiglio di Shannon, Thorp associò la formula, o criterio, di Kelly alla gestione strategica di tale vantaggio.