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El límite de una función en un punto es obtener el valor al que se va aproximando esa función cuando x tiende a un determinado punto, pero sin llegar a ese punto.
Se representa de la siguiente manera:
limf(x)=L

Noción intuitiva de límite
Se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende al número real "a" es igual al número real L si al aproximarse x a "a" por la izquierda y por la derecha, siendo x ¹ a, resulta que f(x) se aproxima o incluso es igual a L.

Fórmulas de cálculo de límites

Límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

lim=f(a)

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

Límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe

Límite cuando x tiende a infinito

Para calcular el límite de una función cuando x  ∞ se sustituyen las x por ∞.

Funciones polinómicas en el infinito

El límite cuando x  ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.

Inversa de un polinomio en el infinito

lim 1/p(x)= 0

Límite cuando x tiende a menos infinito

limf(x)=limf(-x)

Límite de la función exponencial

Si a > 0

lim a=oo

lim a=0

Si 0 < a < 1

lim a=0

lim a=oo

Límite de la función logarítmica

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Conjunto de partículas conformado por una serie de elementos. Una función se caracteriza porque todos los elementos del conjunto de partida “A” tienen una imagen en el conjunto de llegada “B”.

Dominio de una funcion (Df(x))
Conjunto de todos los elementos de “A” que poseen imagen en “B”.
Df(x): R

Rango de una función (Rf(x))
Es el conjunto de todos los elementos de “B” que son imagen de algún elemento de “A”.
Rf(x): (- oo, 4]

Respecto del eje de ordenadas

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si es una función par, es decir:

f(−x) = f(x)

Simetría respecto al origen

Una función f es simétrica respecto al origen si es una función impar, es decir:

f(−x) = −f(x)

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Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ..., 60} es una sucesión finita

Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

Término enésimo

Si conocemos el 1er término.

an = a1 + (n - 1) · d

8, 3, -2, -7, -12, ..

an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13

Suma de n términos de una progresión aritmética

Sn= n/2 • [2a + (n-1)d]

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Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos), es el procedimiento que permite escribir como multiplicación dicha expresión.

Los factores o divisores de una expresión algebraica, son los términos, ya sean  números y/o letras, que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Así, por ejemplo, si multiplicamos a por a + b podemos ver qué;

Dan como producto a ² + ab, entonces, los factores o divisores de esta expresión algebraica son a y a + b.

Métodos utilizados para factorizar un polinomio.

Primero debes saber que, no todos los polinomios se pueden factorizar, ya que, al igual que en los números primos que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que también solo son divisibles por ellas mismas y por 1.

Por ejemplo, el polinomio ax + by + cz, no se puede factorizar ya que, solo es divisible por ax + by + cz y por 1. Es decir, este polinomio no tiene un factor en común.

Para poder factorizar una expresión algebraica es necesario que siempreexista  al menos un factor en común dentro de sus términos, ya sean números y/o letras.

Factor común de una expresión algebraica es el  máximo común divisor(m.c.d.) de los términos que la componen.

Caso I - Factor común

a2+ab=a(a+b)

9a2−12ab+15a3b2−24ab3=3a(3a−4b+5a2b2−8b3)

a · b + a · c = a · (b + c)

ab+ac+ad=a(b+c+d)

ax+bx+ay+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)si y solo si el polinomio es 0 y el cuatrinomio nos da x.

Factor común por polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con varios.

Por ejemplo:

5x2(x−y)+3x(x−y)+7(x−y)

Se aprecia que se repite el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

(5x2+3x+7)

La respuesta es:

(5x2+3x+7)(x−y)

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

5a2(3a+b)+3a+b

Se puede utilizar como:

5a2(3a+b)+1(3a+b)

Entonces la respuesta es:

(3a+b)(5a2+1)

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta dos características, términos repetidos como variables y números sin factor común, se identifica porque tiene un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

2y+2j+3xy+3xj

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

=(2y+2j)+(3xy+3xj)

Aplicamos el caso I (Factor común):

=2(y+j)+3x(y+j)

=(2+3x)(y+j)

Caso III - Trinomio cuadrado perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un trinomio cuadrado perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, o tambien podemos organizarlos ascendente o descendentemente(tanto el primero como el tercer termino deben ser positivos); luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término; al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a−b)2=a2−2ab+b2

Ejemplo 1:

(5x−3y)2=25x2−30xy+9y2

Ejemplo 2:

(3x+2y)2=9x2+12xy+4y2

Ejemplo 3:

(x+y)2=x2+2xy+y2

Ejemplo 4:

4x2+25y2−20xy

Organizando los términos tenemos:

4x2−20xy+25y2

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

(2x−5y)2

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

Caso IV - Diferencia de cuadrados perfectos

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo).

(ay−bx)(ay+bx)=(ay)2−(bx)2

O en una forma más general para exponentes pares:

(ay)2n−(bx)2m=((ay)n−(bx)m)((ay)n+(bx)m)

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

Ejemplo 1:

9y2−4x2=(3y)2−(2x)2=(3y+2x)(3y−2x)

Ejemplo 2:

Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.

(2y)6−(3x)1224567((2y)6/22−(3x)12/22)⋅∏i=12((2y)6/2i+(3x)12/2i)=

((2y)6/22−(3x)12/22)⋅((2y)6/22+(3x)12/22)⋅((2y)6/2+(3x)12/2)=

((2y)3/2−(3x)3)⋅((2y)3/2+(3x)3)⋅((2y)3+(3x)6)

La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustraccion

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante una suma para que sea el doble producto de las dos raíces (es decir, para completar el Trinomio Cuadrado Perfecto T.C.P.), el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

=x2+xy+y2

=x2+xy+y2+(xy−xy)

=x2+2xy+y2−xy

=(x+y)2−xy

Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.

Caso VI - Trinomio de la forma x² + bx + c o trinomio simple

Se identifica por tener tres términos, hay un literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

a2+2a−15=(a+5)(a−3)

Ejemplo:

x2+5x+6=(x+3)(x+2)

Caso VII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c o trinomio compuesto

En este caso se tienen 3 términos: el primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea, sin una parte literal, así:

4x2+12x+9

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término (4x²) :

4x2(4)+12x(4)+(9⋅4)

42x2+12x(4)+36

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :

6⋅6=36

6+6=12

Después procedemos a colocar de forma completa el término x² sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

(4x+6)(4x+6)

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x² :

(4x+6)(4x+6)4 :=(4x+6)2⋅(4x+6)2

Queda así terminada la factorización :

(2x+3)(2x+3) =(2x+3)2

Caso VIII - Suma o diferencia de potencias impares iguales

La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

xn+yn=(x+y)(xn−1−xn−2y+xn−3y2−...−xyn−2+yn−1)

Ejemplo:

x3+1=(x+1)(x2−x+1)

x4+y4=(x+y)(x3−x2y+xy2−y3)

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera: Ejemplo:

x3−1=(x−1)(x2+x+1)

a2−b2=(a−b)(a+b)

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

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Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.

Componentes
Signo
Los términos que están precedidos del signo (+) son conocidos con el nombre de términos positivos, mientras que los términos que se encuentran precedidos por el signo (-) reciben el nombre de términos negativos. Es importante resaltar que el signo positivo suele omitirse casi siempre delante de los términos positivos, por lo tanto, se sobreentiende que se trata de un signo positivo cuando no aparece ninguno frente a algún término. Los signos son una forma de indicar el proceso por el cual debe pasar la expresión algebraica para llegar a un resultado final. En el caso de que haya un error en esta expresión matemática, se deberán revisar cada uno de los puntos dados, en especial el procedimiento de los signos. Si no existen los signos no se puede decir que hay una expresión algebraica o fórmulas matemáticas, pues estos son los que determinan la expresión.
Grado
El grado en una expresión algebraica se identifica relacionando el término con una letra, este es el exponente de la mencionada letra. Esta parte determinará el tipo de expresión algebraica al que pertenece, en el que se tomarán en cuenta las combinaciones y largo de la fórmula.
Coeficiente
Se identifica como coeficiente a la letra o al número que es colocado delante de una cantidad con la finalidad de ser multiplicado. El coeficiente es el indicador del número de veces que la cantidad expresada debe tomarse como un sumando. En el caso particular de que una cantidad no tenga un coeficiente numérico que la preceda, entonces se da por sentado que el coeficiente es al mismo tiempo la unidad.
Parte literal
La parte literal de una expresión algebraica está conformada por las letras que se encuentran en el término. Estás pueden ser a, b, c, d, e, x, y, z. Estas letras tendrán un valor que se descubrirá cuando se realice la expresión algebraica, en otros casos, algunos valores son dados.

Producto notable
Los productos notables son operaciones algebraicas, donde se expresan multiplicaciones de polinomios, que no necesitan ser resueltas tradicionalmente, sino que con la ayuda de ciertas reglas se pueden encontrar los resultados de las mismas.
Los polinomios son multiplicados entres si, por lo tanto es posible que tengan una gran cantidad de términos y variables. Para hacer más corto el proceso, se usan las reglas de los productos notables, que permiten hacer las multiplicaciones sin tener que ir término por término.

Cada producto notable es una fórmula que resulta de una factorización, compuesta por polinomios de varios términos como por ejemplo binomios o trinomios, llamados factores.

Los factores son la base de una potencia y tienen un exponente. Cuando se multiplican los factores, los exponentes deben ser sumados.

Existen varias fórmulas de producto notable, unas son más usadas que otras, dependiendo de los polinomios, y son las siguientes:

Binomio al cuadrado

Es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresada en forma de potencia, donde los términos son sumados o restados:

a. Binomio de suma al cuadrado: es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Se expresa de la siguiente manera:

(a + b)² = (a + b) * (a + b).

En la figura siguiente se puede observar cómo se desarrolla el producto según la regla mencionada. El resultado es llamado de trinomio de un cuadrado perfecto.

Ejemplo 1

(x + 5)² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5)² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5)² = x² + 10x+ 25.

Ejemplo 2

(4a + 2b) = (4a)² + 2 (4a * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a² + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b².

b. Binomio de una resta al cuadrado:se aplica la misma regla del binomio de una suma, solo que en este caso el segundo término es negativo. Su fórmula es la siguiente:

(a – b)² = [(a) + (- b)]2

(a – b)² = a² +2a * (-b) + (-b)2

(a – b)2  = a² – 2ab + b².

Ejemplo 1

(2x – 6)² = (2x)² – 2 (2x * 6) + 62

(2x – 6)2  = 4x² – 2 (12x) + 36

(2x – 6)² = 4x² – 24x + 36.

Producto de binomios conjugados

Dos binomios son conjugados cuando los segundos términos de cada uno son de signos diferentes, es decir, el del primero es positivo y el del segundo negativo o viceversa. Se resuelve elevando cada monomio al cuadrado y se restan. Su fórmula es la siguiente:

(a + b) * (a – b)

En la siguiente figura se desarrolla el producto de dos binomios conjugados, donde se observa que el resultado es una diferencia de cuadrados.

Ejemplo 1

(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b²)

(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 – 9b².

Producto de dos binomios con un término común

Es uno de los productos notables más complejos y poco utilizados porque se trata de una multiplicación de dos binomios que tienen un término en común. La regla indica lo siguiente:

El cuadrado del término común.

Más la suma los términos que no son comunes y luego multiplicarlos por el término común.

Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.

Se representa en la fórmula: (x + a) * (x + b) y es desarrollada como se muestra en la imagen. El resultado es un trinomio cuadrado no perfecto.

Ejemplo 1

(x + 6) * (x + 9) = x² + (6 + 9) * x + (6 * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.

Existe la posibilidad de que el segundo término (el término diferente) sea negativo y su fórmula es la siguiente: (x + a) * (x – b).

Ejemplo 2

(7x + 4) * (7x – 2) = (7x * 7x) + (4 – 2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2 + (2)* 7x – 8

(7x + 4) * (7x – 2) = 49x² + 14x – 8.

También puede ser el caso de que ambos términos diferentes sean negativos. Su fórmula será: (x – a) * (x – b).

Ejemplo 3

(3b – 6) * (3b – 5) = (3b * 3b) + (-6 – 5)*(3b) + (-6 * -5)

(3b – 6) * (3b – 5) = 9b² + (-11) * (3b) + (30)

(3b – 6) * (3b – 5) = 9b2 – 33b + 30.

Polinomio al cuadrado

En este caso existen más de dos términos y para desarrollarlo, cada uno se eleva al cuadrado y se suman junto con el doble de la multiplicación de un término con otro; su fórmula es: (a + b + c)² y el resultado de la operación es un trinomio al cuadrado.

Ejemplo 1

(3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2y)² + (4z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)² = 9x² + 4y2 + 16z² + 12xy +24xz + 16yz.

Binomio al cubo

Es un producto notable complejo. Para desarrollarlo se multiplica el binomio por su cuadrado, de la siguiente manera:

a. Para el binomio al cubo de una suma:

El cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término por el segundo.

Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.

Más el cubo del segundo término.

(a + b)³ = (a + b) * (a + b)2

(a + b)³ = (a + b) * (a² + 2ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b3

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Ejemplo 1

(a + 3)³ = a³ + 3(a)²*(3) + 3(a)*(3)² + (3)3

(a + 3)³ = a3 + 3 (a)²*(3) + 3(a)*(9) + 27

(a + 3)³ = a3 + 9 a² + 27a + 27.

b. Para el binomio al cubo de una resta:

El cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo.

Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.

Menos el cubo del segundo término.

(a – b)³ = (a – b) * (a – b)2

(a – b)³ = (a – b) * (a² – 2ab + b²)

(a – b)³ = a³ – 2a²b + ab² – ba² + 2ab² – b3

(a – b)³ = a ³ – 3a ² b + 3ab ² – b ³.

Ejemplo 2

(b – 5)³ = b³ + 3(b)²*(-5) + 3(b)*(-5)² + (-5)3

(b – 5)³ = b³ + 3(b)²*(-5) + 3(b)*(25) -125

(b – 5)³ = b3 – 15b² +75b – 125.

Cubo de un trinomio

Se desarrolla multiplicándolo por su cuadrado. Es un producto notable muy extenso porque se tienen 3 términos elevados al cubo, más el triple de cada término elevado al cuadrado, multiplicado por cada uno de los términos, más seis veces el producto de los tres términos. Visto de una mejor forma:

(a + b + c)³ = (a + b + c) * (a + b + c)2

(a + b + c)³ = (a + b + c) * (a² + b2 + c² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)³ =  a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab²+ 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc.

Ejemplo 1

Ejercicios resueltos de productos notables

Ejercicio 1

Desarrollar el siguiente binomio al cubo: (4x – 6)³.

Solución

Recordando que un binomio al cubo es igual al primer término elevado al cubo, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo; más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado, menos el cubo del segundo término.

(4x – 6)3 = (4x)3 – 3(4x)²(6) + 3 (4x) * (6)²– (6)2

(4x – 6)3 = 64x³ – 3(16x²) (6) + 3 (4x)*(36) – 36

(4x – 6)3 = 64x³ – 288x² + 432x – 36.

Ejercicio 2

Desarrollar el siguiente binomio: (x + 3)(x+8).

Solución

Se tiene un binomio donde existe un término común, que es x y el segundo término es positivo. Para desarrollarlo solo se tiene que elevar al cuadrado el término común, más la suma de los términos que no son comunes (3 y 8) y luego multiplicarlos por el término común, más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.

(x + 3)(x + 8) = x² + (3 + 8)x + (3*8)

(x + 3)(x + 8) = x² + 11x + 24.