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RECUPERACIÓN PARA ENTREGAR Y SUSTENTAR EL LUNES 5 DE AGOSTO

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RECUPERACIÓN PARA ENTREGAR Y SUSTENTAR EL LUNES 5 DE AGOSTO

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INDICACIONES PARA LA RECUPERACION DE MATEMATICAS 900

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La proporcionalidad de segmentos y el teorema de Thales. Ejercicios

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Revisen esta página. Está más amplio lo que les explicaron sus compañeras.

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En esta clase vamos a ver la proporcionalidad de segmentos y el teorema de Thales.

La razón de dos segmentos es igual al cociente de sus medidas.

Fíjate en los segmentos a, b, c y d:

La razón de los segmentos a y b es \(\LARGE \frac{a}{b} = \frac{5}{4}=1,25\)

La razón de los segmentos c y d es \(\LARGE \frac{c}{d} = \frac{2,5}{2}=1,25\)

Como las razones y son iguales, se dice que los segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y d y se escribe \(\LARGE \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)

Esta proporción entre segmentos tiene las mismas propiedades que las proporciones numéricas.

Si varias rectas paralelas determinan en una secante segmentos iguales, entonces estas paralelas también determinan segmentos iguales sobre cualquier otra secante.

Fíjate en las rectas paralelas a, b, c y la recta secante a ellas r:

Si las rectas paralelas cortan a otra secante t, los segmentos A'B' y B'C' que las paralelas determinan en la secante también son iguales.

Los triángulos A'MB' y B'NC' son iguales porque:

A'N = AB

B'N = BC

Como AB = BC entonces A'M = B'N

Como \(\hat{C'}=\hat{B'}\) por correspondientes y \(\hat{M}=\hat{N}\)por ser ángulos de lados paralelos, resulta que los dos triángulos A'MB' y B'NC' tienen los tres ángulos iguales y un lado igual, y por lo tanto son iguales: A'B' = B'C'

Si varias paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante.

Fíjate en que las rectas paralelas a, b, c y d cortan a las dos rectas secantes r y t y forman varios segmentos. Observa:

CD = 2 · AB

C'D = 2 · A'B'

Con estos segmentos podemos escribir esta proporción:

\(\LARGE \frac{CD}{C'D'}=\frac{2\cdot AB}{2\cdot A'B'}=\frac{AB}{A'B'}\)

Esta proporcionalidad existe entre todos los segmentos de la recta r y sus correspondientes de la recta t:

\(\LARGE \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=k\)

En estas proporciones k es la constante de proporcionalidad.

El Teorema de Thales se utiliza para:

1. Dividir un segmento en partes iguales

2. Calcular el segmento cuarto proporcional

3. Calcular el segmento tercero proporcional

4. Dividir un segmento en partes proporcionales a otros dados

Vamos a dividir el segmento AB en tres segmentos iguales.

1. Primero trazamos una semirrecta cualquiera con origen en A que forme con el segmento AB un ángulo menor de 180º.

2. Luego elegimos un segmento u arbitrario y lo llevamos sobre la semirrecta tres veces. Llamamos P al punto que corresponde a la última división. Luego unimos el punto P con el punto B.

3. Por último trazamos paralelas a PB por los puntos de división M y N, obteniéndose así los puntos M' y N', que dividen el segmento AB en tres partes iguales.

Como los segmentos AM, MN y NP son iguales, también lo serán los segmentos AM', M'N' y N'B

Dados tres segmentos a, b y c, se llama segmento cuarto proporcional de a, b y c a otro segmento x que cumple la siguiente proporción: \(\LARGE \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Observa los segmentos a, b y c:

Matemáticamente sabemos calcular el cuarto proporcional:

\(\LARGE \frac{a}{b}=\frac{c}{x}\)

\(\LARGE \frac{5}{4}=\frac{2,5}{x}\)

\(5\cdot x= 4\cdot 2,5\)

\(5x=10\)

\(\LARGE x=\frac{10}{5}\)

\(x=2\)

El cuarto proporcional es 2.

Gráficamente el cuarto proporcional se determina así:

1. Se trazan dos semirrectas de origen O y sobre ellas se llevan los segmentos a, b y c como en la figura.

2. Se unen los extremos no comunes P y Q de a y b y por el extremo M de c se traza una paralela a PQ; el segmento QN = x es el segmento cuarto proporcional.

Dados los segmentos a y b, se llama tercer proporcional de a y b a otro segmento x que cumple la siguiente proporción: \(\LARGE \frac{a}{b}=\frac{b}{x}\)

Observa los segmentos a y b:

Matemáticamente sabemos calcular el tercero proporcional:

\(\LARGE \frac{a}{b}= \frac{b}{x}\)

\(\LARGE \frac{1}{2}= \frac{2}{x}\)

\(x =4\)

El tercero proporcional es 4 cm.

La construcción gráfica del tercero proporcional se hace como en el caso del cuarto proporcional.

Vamos a dividir el segmento AB en partes proporcionales a los segmentos a y b.

Si a mide 1 cm, b mide 2 cm y AB mide 6 cm, el reparto directamente proporcional, numéricamente, es el siguiente:

\(\LARGE \frac{6}{1+2}\cdot 1= \frac{6}{3}\cdot 1=2\cdot 1=2\)

\(\LARGE \frac{6}{1+2}\cdot 2= \frac{6}{3}\cdot 2=2\cdot 2=4\)

El segmento de 6 cm queda dividido en dos segmentos: uno de 2 cm y otro de 4 cm.

Para dividir el segmento AB gráficamente, trazamos una semirrecta con origen en el punto A (semirrecta roja) y sobre ella llevamos los segmentos a y b, uno a continuación del otro. El extremo M del segmento b se une con B y por N se traza una paralela a MB, y así el segmento AB queda dividido en los segmentos AP y PB.

Si dos triángulos están en posición de Thales, entonces sus ángulos son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Fíjate en el triángulo ABC:

Trazamos una paralela A'B' al lado AB. Así formamos un nuevo triángulo CA'B'.

Los triángulos CAB y CA'B' se dice que están en posición de Thales o que son triángulos de Thales.

Vamos a ver cómo dos triángulos que están en posición de Thales tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales:

Fíjate que el ángulo C es el mismo para los dos triángulos, y que A = A' y B = B' por correspondientes

Los lados de dos triángulos de Thales son proporcionales.

Para ver la proporcionalidad de los lados trazamos por el punto B' una paralela B'D al lado CA. Entonces A'B' = AD por ser lados opuestos de un paralelogramo.

Aplicando el teorema de Thales a las paralelas AB A'B', cortadas por AC y CB, resulta la proporción a):

\(\LARGE \frac{CA}{CA'}= \frac{CB}{CB'}\)

Aplicando el teorema de Thales a las paralelas AC B'D, cortadas por CB y AB, resulta:

\(\LARGE \frac{AB}{AD}= \frac{CB}{CB'}\)

Como AD = A'B' resulta la proporción b):

\(\LARGE \frac{AB}{A'B'}= \frac{CB}{CB'}\)

De las proporciones a) y b) resulta:

\(\LARGE \frac{CA}{CA'}=\frac{CB}{CB'}=\frac{AB}{A'B'}\)

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compuébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!
CUESTIONARIO
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EJERCICIOS

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El teorema de Thales. Proporcionalidad de segmentos. Teoría y ejercicios.

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En esta clase vamos a ver la proporcionalidad de segmentos y el teorema de Thales. La razón de dos segmentos es igual al cociente de sus medidas.

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Son seis videos (y el primero ya lo vimos más arriba). Para quienes quieran aclarar más las cosas.

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Números imaginarios | Introducción y potencias de "i"

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6.  Conjugado, Opuesto e Inverso de un número complejo (Explicación)

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6.  Conjugado, Opuesto e Inverso de un número complejo (Explicación)

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Opuesto, conjugado e inverso de un número complejo

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Applet que muestra la representación gráfica de un número complejo, su opuesto, conjugado e inverso.

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Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar como puntos de una recta, (la recta de los números reales).Podemos destacar que esta interpretación de los números complejos (considerarlos puntos en un plano) se debe a Gauss y a Hamilton.

Y es precisamente en ese plano que podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos, donde al eje X, lo llamaremos eje real, y al eje Y, eje imaginario.
Pero, a los Números Complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los números complejos). Esto se debe a que un número complejo en forma binómica queda determinado por un par de números reales: su parte real, y su parte imaginaria, . De esta manera, el par representa las coordenadas de un punto del plano.

Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (x,y). Cuando representamos un número complejo de esta forma decimos que está en forma cartesiana.

También se suele representar al número complejo mediante un vector de origen y extremo .
Veamos algunos ejemplos concretos:

Dados los siguientes números complejos:

Represéntalos en el plano complejo.

Para redondear un poco la idea dejo a continuación tres ejemplos de como representar un numero complejo en el eje cartesiano.
Simplemente recuerden que en el par ordenado el primer valor se representa en el eje x, mientras que el segundo en el y. En conclusión sería (x ; y)

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Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar como puntos de una recta, (la recta de los números reales).Podemos destacar que esta interpretación de los números complejos (considerarlos puntos en un plano) se debe a Gauss y a Hamilton.

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7.  Conjugado, Opuesto e Inverso de un # Complejo

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7.  Conjugado, Opuesto e Inverso de un # Complejo

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Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.

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Exploremos. Espero que no requiera explicación....

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Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.

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Como ya sabemos, en matemáticas se denomina raíz cuadrada de un número a otro número que siendo mayor o igual que cero, elevado al cuadrado, es idéntico al primero. Se puede decir entonces que el cálculo de una raíz cuadrada corresponde a la operación opuesta de lo que se llama cuadrar un número. Se nota la raíz cuadrada de un número x de esta forma:
√x.

En este artículo veremos entonces que sucede con la raíz cuadrada de un número negativo.

Si se eleva un número negativo a segunda potencia, el resultado será positivo:

(-5) × (-5) = 25.

Pero también tenemos conocimiento que √25 puede ser -5

Esto es así ya que cada raíz tiene dos soluciones. Una de estas soluciones es positiva mientras que la otra es negativa. Hbitualmente nos interesamos tan sólo en la solución positiva.
¿es posible realizar el calculo de la raíz de un número negativo?
Este caso es tiene gran diferencia con el que explicamos al principio. Puesto que la situación es la siguiente:

√-25.

Entonces,

¿Existe entonces la posibilidad hallar un número cuya potencia secundaria sea correspondiente -25?

Sabemos que 5 no es una opción puesto que 5 × 5 = 25. Y -5 tampoco sirve ya que,
(-5) × (-5) = 25.

Por lo cual concluimos en que no hay solución en el conjunto de los reales ( o sea aquellos números que poseen una expresión decimal y abarcan tanto a los números racionales, como 38, 37/22, 29,4, como a los números irracionales, que no pueden representarse en forma fracción y que poseen también infinitas cifras decimales sin periodicidad).Pero esto no se cumple si nos referimos a los números imaginarios.
Los números imaginarios son aquellos que tienen como cuadrado a un número negativo. En el año 1777 el matemático y físico suizo Leonhard Euler denotó a la raíz de -1 con la letra i. Si recordamos siempre que debemos multiplicar por √-1 cuando tenemos "i" nos será fácil resolver problemas donde hacen falta las raíces cuadradas de los números negativos. Cualquier número imaginario puede ser expresado como ib. b corresponde a un real y como ya hemos dicho, la letra i hace referencia a la unidad imaginaria, con la siguiente propiedad:
Si nos referimos a los números imaginarios podemos encontrar la solución para √-25 = 5i,o para cualquier otro número negativo, donde i es la unidad imaginaria. Dicha unidad puede ser utilizada para el desarrollo de la raíz cuadrada de los números con signo negativos. De igual modo la raíz de un número imaginario es a la vez un complejo. También es importante saber que la raíz de un número complejo será habitualmente otro número complejo.

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Como ya sabemos, en matemáticas se denomina raíz cuadrada de un número a otro número que siendo mayor o igual que cero, elevado al cuadrado, es idéntico al primero. Se puede decir entonces que el cálculo de una raíz cuadrada corresponde a la operación opuesta de lo que se llama cuadrar un número.