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Probabilidad condicional con diagrama de árbol

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Ecuación de una circunferencia con centro en el origen (Ejemplo 1)

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Cómo hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen

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Demostración de la ecuación ordinaria de la parábola (origen)

Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen
Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano), y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.
Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre) hacia la derecha.
Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto "P" (no confundir con el "parámetro p"), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco "F" será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:

De lo anterior resulta:

(trazo PD igual al trazo PF)

El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (-p, y) y podemos usar la fórmula para calcular distancia entre dos puntos:

El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0), y también podemos usar la fórmula para calcular la distancia entre ellos:

Sustituyendo en la expresión de distancias

resulta:

Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:

Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene:

que es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica.
Esta ecuación tiene leves variaciones según sea la orientación de la parábola (hacia donde se abre).
Veamos ahora las cuatro posibilidades:
Primera posibilidad
La que ya vimos, cuando la parábola se abre hacia la derecha (sentido positivo) en el eje de las abscisas "X"

Segunda posibilidad
Cuando la parábola se abre hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas "X".

Tercera posibilidad
Cuando la parábola se abre hacia arriba (sentido positivo) en el eje de las ordenadas "Y" .

Cuarta posibilidad
Cuando la parábola se abre hacia abajo (sentido negativo) en el eje de las ordenadas "Y".

Elementos de una parábola dada su ecuación ordinaria (origen)

Ecuaciones ordinarias de la parábola
Ejemplo:

Ecuación de la parábola, dado vértice, eje y punto

Ejmplo:
Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el punto (3,2) y foco en (5,2).
Solución:
Analizando las coordenadas de vértice y foco, se observa que su ordenada es común, por lo que se concluye que están alineados horizontalmente y que el foco está a la izquierda del vértice.
Dado lo anterior, es posible afirmar que su ecuación tiene la forma:

Siendo las coordenadas del vértice (h,k), se sustituyen en la ecuación y resulta:

En donde el parámetro p representa la distancia del vértice al foco, y ésta se obtiene por diferencia de las abscisas correspondientes:
p = 5 - 3
p = 2
Sustituyendo:

Resulta:

Ecuación escrita en la forma ordinaria

Obtener la ecuación y foco de una parábola, dada su directriz y vértice

Ejercicio:
Determina la ecuación de la parábola que tiene:

De directriz y = 4, de vértice (0, 0).

Ecuación de la parábola que pasa por un punto

Ejemplo:
Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas y pasa por el punto (3, 4), siendo su eje OX.

Solución:

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Demostración de la ecuación ordinaria de la parábola (origen)

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Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano), y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.Para iniciar nuestra explicación empezaremos

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Conceptos básicos ecuación de la CIRCUNFERENCIA

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La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada. la definición más usual de este concepto es:

A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diametro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del circuloen que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Existen varios puntos, rectasy segmentos, singulares en la circunferencia:

Diámetro , el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);

Recta tangente o simplemente Tangente , la que toca a la circunferencia en un sólo punto;

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y RADIO.

Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".

Sea la circunferencia de ecuación x + y2= 25. Determinar sus características geométricas.

Circunferencia con centro en C(0,0), y radio igual a 5

La ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en C(h, 0), en el eje X, y radio r es:

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA.

También llamada Ecuación de la circunferencia con vértice fuera del origen . Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".

Sabemos que debemos obtener un ecuación de la forma

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

por lo que necesitamos saber cuánto valen D, E y F

Para ello, recordamos que

Sustituyendo en D y E los valores que nos entregan las coordenadas del centro C (1, 3), donde

Como ya tenemos los valores de

Los usamos para sustituir en la ecuación

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

x2 + y2 ─ 2x ─ 6y ─ 6 = 0 como la fórmula general de la circunferencia dibujada arriba.

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4

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LA CIRCUNFERENCIA. - GEOMETRIA ANALITICA

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La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada. la definición más usual de este concepto es: A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diametro.

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SECCIONES CÓNICAS

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Ecuacion de la recta que pasa por un punto y es paralela a otra | Ejemplo 1

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Rectas perpendiculares | Ecuación de la recta

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B2.14 Punto - pendiente. Fórmula, ecuaciones y gráfica.

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ECUACIÓN de la RECTA que pasa por DOS PUNTOS | Forma Ordinaria y General

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Ecuación de la recta, general ,ordinaria y simétrica

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2.4 Formas de obtener la ecuación de la recta

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2.4 Formas de obtener la ecuación de la recta

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2.3 Ángulo de inclinación y pendiente de una recta

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2.3 Ángulo de inclinación y pendiente de una recta

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¿Cómo calcular la pendiente y el ángulo de inclinacion?_1

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Durante nuestro estudio de la Geometría Analítica, nos vamos a encontrar con un método interesante para poder calcular las coordenadas de un punto P (o sea un punto cualquiera que llamamos "P"), que está dividido por un segmento cuyas extremidades son el P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en la razón dada por la siguiente relación:

Hasta este punto puede ser confuso lo explicado, pero no es necesario enredarse con la definición. Mas abajo veremos la definición en una gráfica y nos daremos una mejor idea de lo que intentamos explicar, y ver como llevar a cabo el procedimiento para encontrar la fórmula de la división de un segmento en una razón dada , y poder resolver ejercicios sin dificultad alguna. Es necesario que para estudiar este tema se tenga idea de como despejar variables y conocimiento de álgebra.

Obtención de la Fórmula de la División de un Segmento dada una Razón

Bien, analicemos entonces la siguiente gráfica.

Si sabemos que la razón está dada mediante la relación:

Vamos a proyectar las coordenadas de los puntos en los dos ejes. De la siguiente manera.

Bien, ahora tenemos las proyecciones en el eje de las abscisas "x", con los puntos A, y sobre el eje de las ordenadas "y" para los puntos B. Estos nos servirán de referencia para poder obtener nuestra fórmula, entonces vamos a relacionar lo siguiente:

Ahora veamos las distancias dirigidas, ¿no recuerdas qué son?, puedes regresar al tema de Distancia entre Dos Puntos , si ya recuerdas que son, entonces es momento de aplicar dicho conocimiento, para relacionar lo siguiente:

y hacemos lo mismo con el siguiente segmento de AA2

Perfecto, ahora podemos sustituir estos datos en la fórmula de la razón.

Como "x" es la que estamos buscando, porque forma parte del punto del segmento, entonces procedemos a despejar. Si no recuerdas como despejar, recuerda Aprende a como despejar fórmulas

Procedemos a despejar:

Operamos lo del primer miembro

Acomodamos a las "x" en el primer miembro, quedando así:

Multiplicamos todo por (-1), para que se vuelvan positivos.

Factorizamos a "x" en el primer miembro.

Despejamos el monomio que está multiplicando a "x", quedando así nada más la variable que necesitamos.

Quedando así nuestra "x" despejada totalmente, ¡Solo que aplicaremos una condición!.

nuestra razón no puede ser igual a (-1) porque esto nos haría indeterminado nuestra operación, y no está definida.

Para obtener "y", hacemos exactamente el mismo cálculo y procedimiento.

La misma condición respecto a el valor que no puede obtener "r"

Fórmula de la División de un Segmento en una Razón Dada

Cómo vimos anteriormente, ya hemos encontrado la fórmula que aplicaremos de aquí en adelante para resolver ejercicios de este tema, y con ello podrás resolver hasta más de 10 ejemplos.

Para encontrar las coordenadas de punto P que divide al segmento, es la siguiente:

Con la siguiente condición:

Ahora, también podemos encontrar la fórmula del punto medio de un segmento, suponiendo que la distancia entre el segmento P1P sea igual a la distancia con PP2. Por lo que la razón sería igual a la unidad.

Sustituyendo en la fórmula:

Ahora para "y"

Fórmula del Punto Medio

Ejercicios Resueltos Paso a Paso

Comencemos con los siguientes ejercicios resueltos paso a paso, y verás que no es difícil.

1.- Hallar las coordenadas del punto P que divide al segmento determinado por A (5, 3) y B (-2,8) en la razón r = 3/4
Solución:
Sin tanta complicación, podemos utilizar nuestras fórmulas y sustituir nuestros datos.

Recordar que en el punto A, tenemos lo siguiente:

Y para el punto B

Ahora, sustituyendo tenemos:

Concluimos que x = 2, ahora hagamos lo mismo para "y".

El valor de "y" será un valor aproximadamente de 5.143.

De forma gráfica esto es.

Veamos otro ejemplo 😎

2.-Los extremos del diámetro de una circunferencia son A (3, -2) y B (5,6), encuentra las coordenadas del centro
Solución:
Aunque parezca un problema diferente al anterior, sigue siendo muy similar. La idea de que encontremos las coordenadas del centro de una circunferencia sin antes haber visto el tema de las diversas figuras en el plano cartesiano no debe causar confusión. Si ya tenemos las coordenadas de el diámetro, entonces por intuición debemos saber que la razón será la unidad, puesto que a la mitad del diámetro, lo que realmente tenemos es el punto medio así que tracemos nuestras coordenadas en el plano cartesiano.

Al momento de realizar nuestro cálculo, considerando a r = 1

Ahora sustituimos.

Bien, ahora hagamos lo mismo pero para "y"

Por lo tanto las coordenadas buscadas para el Centro es C (4,2). Quedando así:

Genial! Ahora veamos otro ejemplo.

3.- Hallar las coordenadas del punto P (x,y) que divide al segmento determinado por A (-2, 5) y B (10,-2) en la razón r = 2/3
Solución:
Al igual que en el ejercicio 1, debemos asignar las coordenadas de los dos puntos. De tal forma que:
Punto A Punto B
Ahora sustituimos en la fórmula para encontrar la abscisa del punto P

Ahora pasamos a calcular a la ordenada del punto P

Quedando así finalmente nuestro problema.

Con esto tenemos prácticamente el ejercicio completado. Esperamos haya sido totalmente de tu agrado y comprensión. Si hay dudas, escribirlas abajo en la caja de comentarios 😎

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División de un Segmento En Una Razón Dada - Ejemplos - Fisimat

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Durante nuestro estudio de la Geometría Analítica, nos vamos a encontrar con un método interesante para poder calcular las coordenadas de un punto P (o sea un punto cualquiera que llamamos "P"), que está dividido por un segmento cuyas extremidades son el P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en la razón dada por la siguiente relación: Hasta este punto puede ser confuso lo explicado, pero no es necesario enredarse con la definición.

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2.2 División de un segmento en una razón dada

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2.2 División de un segmento en una razón dada

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División de un segmento en una razón dada

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División de un segmento en una razón dada

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO: DEMOSTRACIÓN Y EJEMPLO

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01. Distancia entre dos puntos (Con gráfica y fórmula)

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La información aquí mostrada es una compilación y su finalidad es de adentrar y orientar  al participante en los temas incluidos en el examen general  del programa de recuperación de trayectoria escolar del nivel medio superior.
Es responsabilidad del participante investigar más sobre los contenidos para lograr un dominio óptimo de los contenidos

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ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA

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Ejercicios de probabilidad condicionada

1 Sean y dos sucesos aleatorios con , , .

Determinar:

a

b

c

d

e

Solución

Sean y dos sucesos aleatorios con , , .

Determinar:

a

Son sucesos dependientes

b

Son sucesos dependientes

c

Son sucesos compatibles

d

Son sucesos dependientes

En el numerador aplicamos las leyes de Morgan

En el denominador aplicamos la probabilidad del suceso contrario

En el numerador aplicamos la probabilidad del suceso contrario

e

Son sucesos dependientes

En el numerador aplicamos las leyes de Morgan

En el denominador aplicamos la probabilidad del suceso contrario

En el numerador aplicamos la probabilidad del suceso contrario

2 Sean y dos sucesos aleatorios con , , .

Determinar:

a

b

c

d

e

f

Solución

Sean y dos sucesos aleatorios con , , .

Determinar:

a

Son sucesos dependientes

b

Son sucesos dependientes

c

Son sucesos compatibles

d

e

f

Problemas de probabilidad condicionada

3 En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el

de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El

de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el

.

Eligiendo un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

Solución

En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el . Eligiendo un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

4 De una baraja de cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

a Las dos sean copas

b Al menos una sea copas

c Una sea copa y la otra espada

Solución

De una baraja de cartas se extrae simultáneamente dos de ellas.

Calcular la probabilidad de que:

a Las dos sean copas

Son sucesos dependientes

b Al menos una sea copas

c Una sea copa y la otra espada

Puede salir primero copa y después espada o primero espada y después copa

5 Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado

de los

temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo.

Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

Solución

Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado de los temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

6 Una clase está formada por chicos y chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

a ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

b ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

Solución

Una clase está formada por chicos y chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

a ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

b ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

7 Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

a Hacer una tabla ordenando los datos anteriores

b Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde

c Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos

d Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana

Solución

Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

a Hacer una tabla ordenando los datos anteriores

b Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

c Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

d Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

8 Una clase consta de

niñas y

niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

a Seleccionar tres niños

b Seleccionar exactamente dos niños y una niña

c Seleccionar por lo menos un niño

d Seleccionar exactamente dos niñas y un niño

Solución

Una clase consta de niñas y niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

a Seleccionar tres niños

b Seleccionar exactamente dos niños y una niña

c Seleccionar por lo menos un niño

d Seleccionar exactamente dos niñas y un niño

9 Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de

. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

Solución

Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de . Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

11 En una clase en la que todos practican algún deporte, el de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el practica ambos deportes. Si además hay un que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

a Juegue sólo al fútbol
b Juegue sólo al baloncesto
c Practique uno solo de los deportes
d No juegue ni al fútbol ni al baloncesto

Solución

En una clase en la que todos practican algún deporte, el de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el practica ambos deportes. Si además hay un que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

a Juegue sólo al fútbol

b Juegue sólo al baloncesto

c Practique uno solo de los deportes

d No juegue ni al fútbol ni al baloncesto

12 En una ciudad, el de la población tiene cabellos castaños, el tiene ojos castaños y el tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

a Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?
b Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
c ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

Solución

En una ciudad, el de la población tiene cabellos castaños, el tiene ojos castaños y el tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

a Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

b Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

c ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

13 En un aula hay

alumnos, de los cuales:

son hombres,

usan gafas, y

son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:

a ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

b Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?

14 Disponemos de dos urnas: la urna

contiene

bolas rojas y

bolas blancas, la urna

contiene

bolas rojas y

bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que

; nos vamos a la urna

; si el resultado es

ó más, nos vamos a la urna

. A continuación extraemos una bola. Se pide:

a Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna

b Probabilidad de que la bola sea blanca

18 En una casa hay tres llaveros y ; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide:

a ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?
b ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?
c Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero ?

Solución

En una casa hay tres llaveros y ; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide:

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Ejercicios y problemas de probabilidad condicionada

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1 Sean y dos sucesos aleatorios con , , . Determinar: a b c d e Solución Sean y dos sucesos aleatorios con , , .

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Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.

Ejemplo 1:

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes.

Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento así que la probabilidad es cambiada. En el ejemplo anterior, si la primera canica no es reemplazada, el espacio muestral para el segundo evento cambia y así los eventos son dependientes. La probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales:

Ejemplo 2:

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.

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Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.

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1.3 Probabilidad de eventos independientes

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1.3 Probabilidad de eventos independientes

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PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES Super fácil - Para principiantes

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La probabilidad clásica es un caso particular del cálculo de la probabilidad de un evento. Se define como el cociente entre los eventos favorables a dicho evento y el total de eventos posibles, con la condición de que cada uno de estos eventos sean todos igualmente probables. A la probabilidad clásica también se la conoce como probabilidad a priori o probabilidad teórica.

El deseo de anticipar las cosas forma parte de la naturaleza humana en todas las épocas: todos nos preguntamos si lloverá al día siguiente o si determinado equipo de fútbol jugará o no en la primera división la próxima temporada. Existe evidencia arqueológica de que las personas jugaban juegos de azar hace unos 40.000 años.

Sin embargo, el primer libro acerca de las probabilidades se debe al astrónomo holandés Christian Huygens quién lo llamó Razonamientos relativos al juego de dados. Como vemos, la probabilidad clásica tiene sus orígenes en los juegos de azar.

El dado tiene una larga historia, se trata de una pieza cúbica cuyas caras están numeradas con puntos del uno al seis. Al lanzar una sola vez un dado honesto: ¿cuál es la probabilidad de que salga, digamos, un cinco?

Es muy sencillo: hay una sola cara entre las 6 marcada con cinco puntos, por lo tanto la probabilidad P es:

Esta forma de calcular la probabilidad de un evento es una aplicación de la regla de Laplace, enunciada inicialmente en 1812 por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827).

Sea A un evento del cual queremos conocer su probabilidad de ocurrencia P(A), entonces:

P(A) = número de casos favorables al evento A / número de casos posibles

El resultado de esta operación es siempre un número positivo entre 0 y 1. Si un evento tiene probabilidad 0 de ocurrir significa que no pasará.

En cambio, si la probabilidad de ocurrencia es igual a 1, quiere decir que sucederá de cualquier forma y en todo caso, la probabilidad de que un suceso ocurra, sumada con la probabilidad de que no ocurra, es igual a 1:

Evidentemente, en un dado legal, cualquiera de las 6 caras tiene la misma probabilidad de salir, por lo tanto la probabilidad de obtener una cara con 5 debe ser 1/6.

Un detalle importante es el siguiente: para aplicar la regla de Laplace el número de casos posibles tiene que ser finito, es decir, debemos poder contarlos y obtener un número natural.

En el ejemplo del dado hay 6 casos posibles y un solo evento favorable. Al conjunto de casos posibles se le denomina espacio muestral.

Al aplicar la regla de Laplace es conveniente analizar cuidadosamente el espacio muestral, incluyendo todos los sucesos posibles, es decir, que debe estar completo y ordenado, para que ningún suceso escape de ser contabilizado.

El espacio muestral suele denotarse mediante la letra S o la letra griega Ω (omega mayúscula) y fue un concepto introducido por Galileo.

Un jugador de dados le preguntó al sabio por qué es más difícil obtener un 9 lanzando tres dados que un 10, entonces Galileo calculó las formas posibles de obtener un 9, y luego hizo lo mismo con el 10. Por último calculó las respectivas probabilidades, encontrando que, en efecto, P (9) < P (10).

Espacio muestral con pocos elementos

Si el espacio muestral consta de pocos elementos, estos se listan como un conjunto. Por ejemplo, supongamos que se quiere encontrar la probabilidad de que en una familia con dos hijos, ambos sean del mismo sexo.

Podemos aplicar la probabilidad clásica determinando correctamente el espacio muestral. Si M = mujer y H = hombre, el espacio muestral de los hijos es:

Cada elemento del espacio muestral es un evento, por ejemplo, el evento (M,M) significa que los dos hijos de esta familia son mujeres.

Teniendo el espacio muestral, calcular la probabilidad pedida es muy sencillo, ya que hay solo 2 casos favorables entre 4, para que ambos hijos sean del mismo sexo: (M,M) y (H,H), por lo tanto:

P (ambos hijos del mismo sexo) = 2/4 = 0.5

Espacio muestral con muchos elementos

Cuando el espacio muestral consta de muchos elementos, es mejor dar una regla general para encontrarlo. Por ejemplo, si t es el tiempo de vida útil de un equipo, el espacio muestral es:

Que se lee así: "todos los valores de t tales que t sea mayor o igual a 0". Un evento de este espacio podría ser que el aparato tenga una vida útil de t = 2 años.

La probabilidad clásica se aplica siempre que se cumplan las dos premisas señaladas anteriormente, es decir:

-Todos los eventos son igualmente probables.

-El espacio muestral es finito.

Por lo tanto, hay situaciones en las cuales la probabilidad clásica no se puede aplicar, como por ejemplo cuando se quiere anticipar si un tratamiento nuevo curará una determinada enfermedad, o la probabilidad de que una máquina produzca artículos defectuosos.

En cambio, sí se puede aplicar con éxito en los siguientes casos:

Como hemos visto, la probabilidad de que salga determinada cara es igual a 1/6.

Tenemos un mazo de 52 cartas de una baraja francesa, que consta de cuatro palos: corazones, tréboles, diamantes y picas. Entonces la probabilidad de extraer un corazón, sabiendo que hay 13 cartas de cada palo es:

P (corazón) = 13/52

Se trata de un ejemplo típico de probabilidad clásica, ya que al lanzar una moneda siempre se tiene una probabilidad igual a ½ de obtener cara o sello.

Dentro de una bolsa puede haber N canicas de colores, por ejemplo hay R canicas rojas, A canicas azules y V canicas verdes. La probabilidad de extraer una roja es:

Se lanza una vez un dado honesto. Calcular las siguientes probabilidades:

a) Sacar un número impar.

b) Que salga un 2 o un 5.

c) Sacar un valor menor que 4.

d) Obtener un valor menor o igual que 4.

e) Sacar un valor diferente de 3

El espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, los valores impares son 1, 3 y 5, por lo tanto de 6 casos posibles, hay tres casos favorables:

P (impar) = 3/6 =1/2 = 0.5

Queremos extraer un 2 o un 5, es decir, cualquiera de estos casos es favorable, por lo tanto:

P (2 o 5) = 2/6 = 1/3 = 0.33

En este caso hay 3 eventos favorables: sacar 1, 2 o 3:

P (menor que 4) = 3/6 = ½ = 0.5

Acá hay un evento favorable adicional, porque nos piden los valores menores o iguales que 4, entonces:

P (valor menor o igual que 4) = 4/6 = 2/3 = 0.67

Un lanzamiento diferente de 3, significa que salió cualquiera de los otros valores:

En una caja hay una pelota azul, una verde, una roja, una amarilla y una negra. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar con los ojos cerrados una pelota de la caja, esta sea amarilla?

El evento "E" es sacar una pelota de la caja con los ojos cerrados (si se hace con los ojos abiertos la probabilidad es 1) y que esta sea amarilla.

Solo hay un caso favorable, dado que solo hay una pelota amarilla. Los casos posibles son 5, puesto que hay 5 pelotas en la caja.

Por lo tanto, la probabilidad del evento "E" es igual a P(E) = 1 / 5.

Como se puede observar, si el evento es sacar una pelota azul, verde, roja o negra, la probabilidad también será igual a 1/5. Por lo tanto, este es un ejemplo de probabilidad clásica.

Si en la caja hubiese habido 2 pelotas amarillas entonces P(E) = 2/6 = 1/3, mientras que la probabilidad de sacar una pelota azul, verde, roja o negra hubiese sido igual a 1/6.

Como no todos los eventos tienen la misma probabilidad, entonces este no es un ejemplo de probabilidad clásica.

¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar un dado, el resultado obtenido sea igual a 5?

Un dado posee 6 caras, cada una con un número diferente (1,2,3,4,5,6). Por lo tanto, hay 6 casos posibles y solo un caso es favorable.

Entonces, la probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga 5 es igual a 1/6.

Nuevamente, la probabilidad de obtener cualquier otro resultado del dado también es igual a 1/6.

En un salón de clases hay 8 niños y 8 niñas. Si la maestra escoge al azar un estudiante de su salón, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante escogido sea una niña?

El evento "E" es escoger un estudiante al azar. En total hay 16 estudiantes, pero como se quiere escoger una niña, entonces hay 8 casos favorables. Por lo tanto P(E) = 8/16 = 1/2.

También en este ejemplo, la probabilidad de escoger un niño es 8/16=1/2.

Es decir, que es tan probable que el estudiante escogido sea una niña como que sea un niño.

1. Agosto, A. Probabilidad. Universidad de Puerto Rico. Recuperado de: docs.uprb.edu.

2. Galindo, E. 2011. Estadística: métodos y aplicaciones. Prociencia Editores.

3. Jiménez, R. 2010. Matemáticas II. 2da. Edición. Prentice Hall.

4. Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11th. Edition. Addison Wesley.

5. Sangaku Maths. Regla de Laplace. Recuperado de: sangakoo.com.

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La probabilidad clásica es un caso particular del cálculo de la probabilidad de un evento. Se define como el cociente entre los eventos favorables a dicho evento y el total de eventos posibles, con la condición de que cada uno de estos eventos sean todos igualmente probables.

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En cualquier experimento aleatorio la primera cosa que nos preguntamos es sobre lo que puede pasar. ¿Qué resultados puede ofrecer y cuáles no?
Sería muy interesante disponer de todo el abanico de posibles resultados. En este sentido, al conjunto formado por todos los posibles resultados elementales de un experimento aleatorio se le denomina espacio muestral de dicho experimento. Dependiendo de como sea este conjunto, los espacios muestrales pueden ser:

Espacio muestral discreto finito. Consta de un número finito de elementos, por ejemplo lanzar un dado.

Espacio muestral discreto infinito. Consta de un número infinito numerable de elementos, por ejemplo lanzar un dado hasta que salga un cinco.

Espacio muestral continuo. Consta de un número infinito no numerable de elementos, por ejemplo todas las medidas posibles de espárragos extraidos aleatoriamente de una población.

Consideremos por ejemplo:

1. El experimento consistente en el lanzamiento de un dado y anotar el resultado de la cara superior. El espacio muestral sería:
E = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

2. El experimento consistente en el lanzamiento de dos monedas al aire. El espacio muestral o conjunto de todos los resultados elementales posibles sería:
E = { CCC , CCF , CFC , FCC , CFF , FCF , FFC , FFF}

3. El experimento consistente en elegir aleatoriamente cualquier número de tres cifras mediante la extracción con reemplazamiento de bolas de una urna en la que aparecen las diez cifras significativas. En este caso el espacio muestral sería:
E = { 000 , 001 ,................... , 999 }

4. El experimento consistente en el lanzamiento de dos dados de los que después se escogera la mejor de las puntuaciones. El espacio muestral sería:
E = [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ]

5. El experimento consistente en abrir aleatoriamente un libro y anotar después la primera letra de la página de la izquierda. El espacio muestral en este caso sería:
E = { A , B , ................. , Z}

Los ejemplos que podrían exponerse son innumerables y seguro que ya estás pensando en diversas situaciones. No obstante, de partida, queremos que te fijes ey pienses en lo que te vamos a exponer. Observa el ejemplo (1) y el (4), el espacio muestral es el mismo, pero ¿puede considerarse el mismo?, esto es, los sucesos que aparecen sí son los mismos pero la ocurrencia de cada suceso en el experimento (1) no tiene el mismo comportamiento que la ocurrencia de cada suceso en el experimento (4) ¿No te parece?
En la siguiente escena puedes observar algunos ejemplos de experimentos aleatorios, sus espacios muestrales y cómo construirlos.

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En cualquier experimento aleatorio la primera cosa que nos preguntamos es sobre lo que puede pasar. ¿Qué resultados puede ofrecer y cuáles no?Sería muy interesante disponer de todo el abanico de posibles resultados. En este sentido, al conjunto formado por todos los posibles resultados elementales de un experimento aleatorio se le denomina espacio muestral de dicho experimento.

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PROBABILIDAD

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Los presentes recursos son solo una introducción y ejemplificación a los contenidos, es recomendable indagues más sobre los temas para lograr una comprensión total del tema.

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Los presentes recursos son solo una introducción y ejemplificación a los contenidos, es recomendable indagues más sobre los temas para lograr una comprensión total del tema.