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La espiral de Arquímedes es el lugar geométrico de los puntos del plano que describe un punto que se desliza sobre una semirrecta con velocidad uniforme cuando la semirrecta gira alrededor de su origen también con velocidad uniforme.

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El libro "Conoides y Esferoides" demuestra como calcular los volúmenes de los segmentos que se obtienen al cortar un elipsoide, paraboloide o hiperboloide de revolución por un plano perpendicular al eje principal. Demostró previamente que la diferencia entre volúmenes de sólidos inscritos y circunscriptos es igual al volumen de la rodaja inferior de los cilindros circunscritos. Mientras mayor sea el número de divisiones (rodajas), menor será la diferencia entre los sólidos circunscrito e inscrito. La diferencia principal entre los métodos de esta obra y los modernos de cálculo integral radica en la falta del concepto de límite.

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Proposición: "Cualquier segmento esférico es al cono de la misma base y la misma altura en la misma razón que la suma del radio de la esfera y la altura del segmento complementario es a la altura del segmento complementario".

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Obra descubierta en el año 1906 que contiene descripciones detalladas de las investigaciones "mecánicas" que lo condujeron a descubrimientos matemáticos muy importantes. Afirma que es fácil dar una demostración de un teorema si tenemos una idea previa de lo que queremos obtener.
Arquímedes descubre los volúmenes de tres sólidos de revolución (elipsoide, paraboloide e hiperboloide) así como los centros de gravedad del paraboloide, de un hemisferio esférico y de un semicírculo, utilizando el método de equilibrio de secciones circulares co respecto a un vértice como punto de apoyo. Finaliza con la determinación del volumen de dos sólidos.

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Arquímedes llega a una ecuacion cubica a la que da solucion por medio de una intersección de conicas.
El interes por las ecuaciones cubicas desaparece con la muerte de Arquímedes y revive en el S VI con Eutocio.

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Arquímedes en su obra
"Sobre la esfera y el cilindro", demuestra que área de la esfera es igual a 4 veces el área del círculo maximo de dicha esfera. También demuestra que: "la superficie de un segmento esférico cualquiera es igual a un círculo cuyo radio es el segmento trazado desde el vértice del segmento esférico a un punto cualquiera de la circunsferencia base de dicho segmento".
Define el volumen de una esfera como : "una esfera cualquiera es igual a 4 veces el cono que tiene como base un circulo máximo de la esfera y altura igual al radio de la esfera".

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Sólidos semiregulares y la trigonometría

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Sólidos semiregulares y la trigonometría

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Descubrio los trece posibles solidos semi regulares. Un solido regular tiene como caras poligonos regulares, mientras que un semi regular es un poliedro convexo cuyas caras poligonos regulares.

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Arquímedes demuestra que el área de un segmento parabólico es igual a cuatro tercios del área de un triangulo que tenga la misma base y la misma altura.

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Arquímedes a través de la espiral que lleva su nombre pudo realizar la trisección del ángulo. Esta construcción se encuentra en el Libro de Lemas.

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Calcula los perímetros de los polígonos obtenidos duplicando sucesivamente el número de lados hasta llegar al polígono regular de 96 lados.

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Tratado que calcula cuantos granos de arena se necesitan para llenar el universo. Estableció medidas para el diámetro de la tierra, luna y el sol.

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Surge de los problemas técnicos de extraer agua del río Nilo y regar las tierras del valle. El tornillo está compuesto por un tubo de helicoidal cilindrada que se hace girar por medio de una manivela en torno a un eje, manteniéndose inclinado.

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En base a postulados acerca de la naturaleza de los fluídos, obtiene dos proposiciones:

1) "Cualquier sólido más ligero que un fluido y situado en él se sumergirá hasta el punto en que el peso del sólido sea igual al peso del fluido desplazado".

2)"Cualquier sólido más pesado que un fluido y situado en él se sumergirá hasta el fondo del fluido, y si se pesa dicho sólido dentro del fluido resultará más ligero que su verdadero peso ene el peso del fluido desplazado".

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Postulados estáticos:"Cuerpos bilateralmente simétricos están en equilibrio".
Arquímedes afirmaba: "Denme un punto de apoyo y moveré el mundo".