# data[].attributes.body
домашнє завдання 07.09
Виконати № 1, 3, 5

# data[].attributes.headline
Самостійна на повторення №1

# data[].attributes.subject
Самостійна на повторення №1

# data[].attributes.body
04.09

# data[].attributes.attachment_link.title
Приєднатися для виконання тесту на сайті "На Урок" (join.naurok.ua)

# data[].attributes.attachment_link.description
✅ Виконання тесту join.naurok.ua. Приєднатися за кодом наданим вчителем для виконання домашнього завдання або тесту у реальному часі. Тести "На Урок".

# data[].attributes.headline
Самостійна на повторення №2

# data[].attributes.subject
Самостійна на повторення №2

# data[].attributes.body
04.09

# data[].attributes.attachment_link.title
Приєднатися для виконання тесту на сайті "На Урок" (join.naurok.ua)

# data[].attributes.attachment_link.description
✅ Виконання тесту join.naurok.ua. Приєднатися за кодом наданим вчителем для виконання домашнього завдання або тесту у реальному часі. Тести "На Урок".

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання Гру

# data[].attributes.body
Домашнє завдання Група А і Б 08.09

# data[].attributes.headline
домашнє завдання 09.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
домашнє завдання 09.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) Прочитати параграф 1
2) Вивчити табличку множення!!! (буду опитувати кожного)
3) номери: 46, 48, 55, 66
4) принести контрольні зошити хто забув

# data[].attributes.headline
Домашня робота 08.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашня робота 08.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) Прочитати параграф 1
2) Переглянути цікаві відео за посиланням та на наступному уроці розказати про що вони були.

https://youtu.be/XIkDZjGRQ-4
https://youtu.be/YYFKJAbS-wM
https://youtu.be/jcASp97a-Ps

3) принести зошити для контрольних і лабораторних робіт з фізики

# data[].attributes.headline
07.09. домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
07.09. домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
1) Прочитати параграф 1
2) Переглянути цікаві відео за посиланням та на наступному уроці розказати про що вони були.

https://youtu.be/XIkDZjGRQ-4
https://youtu.be/YYFKJAbS-wM
https://youtu.be/jcASp97a-Ps

3) принести зошити для контрольних і лабораторних робіт з фізики

# data[].attributes.headline
08.09 Домашня робота Група А

# data[].attributes.subject
08.09 Домашня робота Група А

# data[].attributes.body
1) прочитати параграф 2
2) переглянути відео за посиланням
https://youtu.be/cg4fip8a67Q

https://www.youtube.com/watch?v=YoFBK9krWlE&feature=youtu.be

https://www.youtube.com/watch?v=5V2klkAHCF4&feature=youtu.be

https://youtu.be/EcBGTmv1rEk

3) питатиму по параграфі і по відео.

# data[].attributes.body
Вчити усе зі зошита!!!

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання Групи А і Б виконати на 14.09

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання Групи А і Б виконати на 14.09

# data[].attributes.body
Виконати з фото № 1-5

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання Група А і Б 15.09

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання Група А і Б 15.09

# data[].attributes.body
Номери з книжки: 1.8; 1.10; 1.14;1.18.
і додаю формули які вам будуть необхідні

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання. 11

# data[].attributes.body
Домашнє завдання. 11.09 Група А і Б

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 11.

# data[].attributes.body
Домашнє завдання 11.09 група А і Б
1) параграф 2
2) номери: 76; 80; 86; 92
3) нагадую за табличку множення!

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 14.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 14.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1)  параграф 3 (вивчити властивості)
2) № 111, 116, 118, 121
3) нагадую за табличку множення!!!! вивчили лише 5 учнів з Групи А

# data[].attributes.headline
Домашня робота 14.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашня робота 14.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) прочитати параграф 2
2) переглянути відео за посиланням
https://youtu.be/cg4fip8a67Q

https://www.youtube.com/watch?v=YoFBK9krWlE&feature=youtu.be

https://www.youtube.com/watch?v=5V2klkAHCF4&feature=youtu.be

https://youtu.be/EcBGTmv1rEk

3) питатиму по параграфі і по відео.

# data[].attributes.headline
Домашня робота 14.09 

# data[].attributes.subject
Домашня робота 14.09 

# data[].attributes.body
для групи Б переписати конспект з групи А
1) номери для групи А і Б
2.2; 2.4; 2.6; 2.8; 2.10; 2.12; 2.14;2.18.
2) виконуєте усе, якщо будуть питання то у особисті повідомлення або краще на уроці.

# data[].attributes.headline
Домашнє завданя 11.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завданя 11.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 3
2) переглянути відео за посиланням
https://youtu.be/wJ7arNP2nzs

https://youtu.be/NkNwzWXhD84

3) питатиму по відео і параграфу

# data[].attributes.headline
ДОмашнє завдання 15.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
ДОмашнє завдання 15.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 3, 4
2) 127, 138, 152, 154
3) нагадую за табличку моження!!!! Сьогодні одна дитина    спрпавилася.

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 16.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 16.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 4
2)вивчити властивості віднімання
3) номери: 158,159, 161

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 16.09 Алгебра

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 16.09 Алгебра

# data[].attributes.body
Група Б перепише конспект зошита у групи А (Яна Сахно сфоткає і скине у viber)
Завдання для групи А і Б
1) параграф 1 , буду питати усі означення, та як розв'язується рівняння!
2) № 5,7, 9

# data[].attributes.headline
Домашня робота 16.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашня робота 16.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 3
2) переглянути відео за посиланням
https://youtu.be/wJ7arNP2nzs

https://youtu.be/NkNwzWXhD84

3) питатиму по відео і параграфу

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 16.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 16.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
№  2.20; 2.22; 2.24;2.26;

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 18.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 18.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) вивчити властивості віднімання з параграфа 4
2) номери: 164, 167, 169, 171

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 18.09 Алгебра Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 18.09 Алгебра Група А і Б

# data[].attributes.body
1) вивчити як розв'язуються рівняння!!!
2) Вивчити усі означення!
3) № 22,27, 29,31, 33

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 18.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 18.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 4
2) вивчити таблицю на сторінці 27
3)вивчити як визначати ціну поділки вимірювального приладу
4) принести один чистий зошит у клітинку на 24 аркуші
5) Виконати експерементальне завдання №1 на сторінці 30
6) переглянути відео за посиланням
https://youtu.be/xeY8WKYlzSI
https://youtu.be/syMu4Mfxur0

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 18.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 18.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
№ 2.28, 2.30, 2.34, 2.36, 2.38
Готовтеся до самостійної по показниковій функції та показникових рівняннях!

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 21.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 21.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) Розказувати як роз'язувати рівняня!
2) №22,37
3) додаю посилання на книжку з алгебри

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Published on

1. 1. ВАСИЛЬ КРАВЧУК, ГАЛИНА ЯНЧЕНКО АЛГЕБРА Підручник для 7 класу Тернопіль Видавництво "Підручники і посібники" 2007

2. 2. УДК 51 ББК 22.1я721 К 77 Редактори Ярослав Гап'юк, Ярослав Гринчишин, Сергій Мартинюк Літературне редагування Людмили Олійник Художнє оформлення Олени Соколюк, Світлани Демчак Макет Андрія Кравчука Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (лист №1/11-2153 від 28.04.2007 року) УДК 51 ББК 22.1я721 ISBN 978-966-07-0846-4 © Кравчук В., Янченко Г., 2007 Кравчук Василь, Янченко Галина К 77 Алгебра: Підручник для 7 класу. - Тернопіль: Підручники і посібни- ки, 2007. - 224 с. ISBN 978-966-07-0846-4

3. 3. ЮНІ ДРУЗІ! Ви розпочинаєте вивчення однієї з основних математичних дис- циплін - алгебри. Сподіваємося, що підручник, який ви тримаєте в руках, допоможе вам не загубитися в лабіринтах цієї поки що непізна- ної науки. Щодо особливостей підручника, то матеріал, який ви вивча- тимете, поділено на чотири розділи, сім параграфів, а параграфи - на пункти. Кожний пункт розпочинається викладом теоретичного матеріалу. Деякі пункти містять додатковий матеріал під рубрикою "Для тих, хто хоче знати більше". Далі - рубрика "Приклади розв'язання вправ". Це підказка. Вона допоможе вам ознайомитися з основними видами вправ, спо- собами їх розв'язування та навчить правильно записувати розв'я- зання. Прочитавши теоретичний матеріал та поміркувавши над зразками розв'язаних задач, варто спочатку розв'язувати усні вправи і простіші задачі (рівень А), а відтак переходити до складніших (рівень Б). Задачі рівня В - для найкмітливіших - тих, хто хоче вміти та знати більше й отримувати найвищі оцінки. Для деяких задач цього рівня наведено розв'язання. Для самостійної роботи вдома рекомендовано задачі, номери яких виділено (наприклад, 343).

4. 4. Рубрика "Вправи для повторення" допоможе періодично повто- рювати основні види вправ. Після вивчення параграфа ви зможете повторити й систематизу- вати матеріал, відповівши на запитання та розв'язавши задачі, вміщені наприкінці параграфа. Свої знання можна перевірити, розв'язавши завдання для самопе- ревірки. Щиро бажаємо успіху!

5. 5. 6 §1. Лінійні рівняння з однією змінною § 1. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ 1. ПОНЯТТЯ РІВНЯННЯ 1. Що таке рівняння. Розглянемо задачу. Маса 4 великих і 15 малих деталей дорівнює 270 г. Маса великої деталі втричі більша від маси малої. Яка маса малої деталі? Нехай маса малої деталі дорівнює х г, тоді маса великої - 3х г. Маса 15 малих деталей дорівнює 15х г, а 4 великих - 4 · 3х = 12х (г). За умовою задачі сума цих мас дорівнює 270 г: 15х + 12х = 270. Ми дійшли до рівності, що містить невідоме чис- ло, позначене буквою х (ще кажуть: рівність містить змінну х). Щоб розв'язати задачу, потрібно знайти зна- чення х, для якого рівність 15х + 12х = 270 є правильною числовою рівністю. Рівність з невідомим значенням змінної називають рівнянням з однією змінною (або рівнянням з одним невідомим). 2. Корінь рівняння. Розглянемо рівняння 3х = х + 6. Підставляючи за- мість змінної х деякі числа, одержуватимемо числові рівності, які можуть бути правильними або неправильними. Наприклад: якщо х = 3, то матимемо рівність 3 · 3 = 3 + 6, яка є правильною; якщо х = 4, то матимемо рівність 3 · 4 = 4 + 6, яка є неправильною. Значення змінної, для якого рівняння перетворюється у правильну чис- лову рівність, називають коренем, або розв'язком рівняння. Отже, число 3 є коренем рівняння 3х = х + 6, а число 4 - ні. 3. Кількість коренів рівняння. Рівняння можуть мати різну кількість коренів. Наприклад: рівняння 3х = 9 має лише один корінь - число 3; рівняння (х - 2)(х - 6) = 0 має два корені - числа 2 i 6; рівнянню х + 0 = х задовольняє будь-яке число х; кажуть, що це рівнян- ня має безліч коренів. Рівняння може й не мати коренів. Розглянемо, наприклад, рівняння х + 1 = х. Для будь-якого числа х значення лівої частини рівняння на 1 більше від значення правої частини. Отже, яке число х ми не взяли б, рівність х + 1 = х буде неправильною. Тому це рівняння не має коренів. Розв'язати рівняння означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає. Розв'яжемо рівняння, складене вище за умовою задачі про великі та малі деталі: 15х + 12х = 270; 27х = 270; х = 270 : 27; х = 10. Отже, маса малої деталі дорівнює 10 г.

6. 6. 1. Поняття рівняння 7 Приклад 1. Чи є число 2,5 коренем рівняння 3х - 0,5 = 2(х + 1)? ● Якщо х = 2,5, то: значення лівої частини рівняння дорівнює: 3 · 2,5 - 0,5 = 7,5 - 0,5 = 7; значення правої частини дорівнює: 2(2,5 + 1) = 2 · 3,5 = 7. Значення обох частин рівняння рівні, тому х = 2,5 - корінь даного рів- няння. ● Приклад 2. Розв'язати рівняння: а) 3(х - 7) = 12; б) (2х + 1)(2х - 4) = 0; в) х2 + 7 = 3. ● а) 3(х - 7) = 12; х - 7 = 12 : 3; х - 7 = 4; х = 4 + 7; х = 11. Відповідь. 11. б) Добуток дорівнює нулю лише тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, 2х + 1 = 0 або 2х - 4 = 0, звідки х = -0,5 або х = 2. Відповідь. -0,5; 2. в) х2 + 7 = 3; х2 = 3 - 7; х2 = -4. Квадрат числа не може дорівнювати від'ємному числу. Тому дане рівняння коренів не має. Відповідь. Рівняння коренів не має. ● 1. Які із записів є рівняннями: а) 4х + 7; б) 4х - х = 15; в) 14 - 2,5 = 11,5; г) 8(х - 3) = 34; д) 5х - 2х + 5; е) х > 2? 2. Чи є число 2 коренем рівняння: а) 5х = 3х + 4; б) 2х + 8 = 7х; в) 10 - y = y(y + 2)? 3. Скільки коренів має рівняння: а) 2х = 1; б) 2х = 0; в) х = х + 3; г) 2 + х = х + 2; д) х(х - 5) = 0; е) ? 4. Доведіть, що число 1,5 є коренем рівняння: а) 4х - 3 = х + 1,5; б) 2(1 - 2х) + х = -5х + 5. 5. Доведіть, що число 8 є коренем рівняння: а) 0,5х + 6 = 2х - 6; б) 4(х + 3) = 49 - (х - 3). 6. Вкажіть рівняння, для якого число 3 є коренем: а) 7х - 12 = 3х; б) 2х - 4х + 8 = 1; в) 3(8 - y) = 5y.

7. 7. 8 §1. Лінійні рівняння з однією змінною 7. Вкажіть рівняння, для якого число 2 є коренем: а) 6х = -2 + 7х; б) 2(y - 5) + 7 = 1; в) 5 - (6 - x) = x. Розв'яжіть рівняння: 8. а) 5х + 3 = 18; б) 1,7х - 2 = 3,1; в) 4 - 4y = 6; г) -1,2y = 0,03; д) -4(х + 8) = -108; е) 5(2y + 1) = -1; є) 12,6 = 6(х + 2,5); ж) z : 1,5 = -7; з) (0,7х + 1) : 0,5 = 4. 9. а) 6 + 3z = 15; б) 2х - 11 = -3; в) 7 - 6x = 10; г) 4(2х + 3) = -4; д) -2(3 + y) = 10,06; е) (5z + 4) : 3 = -17. 10. Запишіть рівняння, яке має: а) єдиний корінь - число 4; б) два корені - числа -4 і 4. 11. Чи є число 1,5 коренем рівняння: а) х - 1 = |1 - x|; б) х + |-x| = 0? 12. Доведіть, що число 2 є коренем рівняння 4 - х = |-x|. Розв'яжіть рівняння: 13. а) (3х + 7)(3х - 2) = 0; б) х2 + 8 = 4. 14. а) (4х - 6)(2х + 6) = 0; б) 2x2 + 7 = 1. 15. Знайдіть таке число а, щоб коренем рівняння 2х + а = -1 було число 1. 16. Рівняння 5х = а - 3 має той же корінь, що й рівняння 2х - 7 = 1. Знайдіть а. 17. Не виконуючи обчислень, доведіть, що число 2 не є коренем рівняння 135х(1297х - 468) - 114(273х + 575) - 2125 = 0. 18. Розв'яжіть рівняння: а) (х - 1)(2х - 1)(3х - 1) = 0; б) х2 (х - 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) = 0. 19. Знайдіть: а) від 2,1; б) 0,4 від 4; в) 28% від 2,5. 20. Магазин закупив товар на 50 000 грн., продав його й отримав 7,5% при- бутку. Скільки прибутку (у гривнях) отримав магазин? 21. Заготовлені в кар'єрі 400 т руди вивезли 3 самоскиди. Перший самоскид вивіз 30% усієї руди, другий - на 12 т більше, ніж перший. Скільки тонн руди вивіз третій самоскид?

8. 8. 2. Розв'язування рівнянь. Властивості рівнянь 9 22. Спростіть вираз: а) 4x - 7x + 8 + 11x - 3; б) 8a + 5b - 2 - 9a - 4b; в) 7(3с + 1) - 5с + 2; г) 2b - 4(1 - 2b); д) x - (4 + x) - (х - 3); е) 2a - 2b - 4(3b + 1) + a. Розв'язування будь-якого рівняння зводиться до виконання певних пе- ретворень, у результаті яких дане рівняння замінюють більш простим. Розв'яжемо, наприклад, рівняння: 5(x - 2) + 11 = 3x + 9. (1) 1. Розкриємо дужки: 5х - 10 + 11 = 3х + 9. (2) 2. Зведемо подібні доданки в лівій частині рівняння: 5х + 1 = 3х + 9. (3) 3. Перенесемо доданки зі змінною х у ліву частину рівняння, а без змін- ної - у праву, змінивши їх знаки на протилежні: 5х - 3х = 9 - 1. (4) 4. Зведемо подібні доданки у кожній частині рівняння: 2х = 8. (5) 5. Поділимо обидві частини рівняння на 2: х = 4. Отже, рівняння (1) має єдиний корінь - число 4. Розв'язуючи рівняння (1), ми виконували певні перетворення: розкрива- ли дужки, зводили подібні доданки, переносили доданки з однієї частини рівняння в іншу, ділили обидві частини рівняння на число. Із цими перетво- реннями пов'язані такі основні властивості рівнянь: Властивість 1. У будь-якій частині рівняння можна розкрити дужки або звести подібні доданки. Властивість 2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний. Властивість 3. Обидві частини рівняння можна помножити або поді- лити на одне і те ж, відмінне від нуля, число. Якщо в деякому рівнянні виконати одне з перетворень, вказаних у влас- тивостях 1, 2 або 3, то одержимо рівняння, яке має ті ж корені, що й початко- ве рівняння. Розв'язуючи рівняння (1), ми послідовно одержували рівняння (2), (3), (4), (5). Усі вони разом з рівнянням (1) мають один і той же корінь - число 4.

9. 9. 10 §1. Лінійні рівняння з однією змінною Властивості рівнянь можна обґрунтувати, використовуючи такі властивості числових рівностей: Якщо a = b - правильна числова рівність і с - деяке число, то: З першої властивості числових рівностей можна одержати такий наслідок: якщо з однієї частини правильної числової рівності перенести в іншу частину доданок, змінивши його знак на протилежний, то одержимо правильну числову рівність. Використовуючи властивості числових рівностей, доведемо, наприклад, що рівняння 3х = х + 2 (6) має ті ж корені, що й рівняння 3х - х = 2. (7) (Це властивість 2 для рівняння 3х = х + 2.) ● Нехай х = a - довільний корінь рівняння (6). Тоді 3а = а + 2 - правильна числова рівність. Перенесемо доданок a в ліву частину рівності, змінивши його знак на протилеж- ний. Одержимо правильну числову рівність 3а - а = 2, з якої випливає, що х = a є коренем рівняння (7). Ми довели, що довільний корінь рівняння (6) є коренем рівняння (7). Навпаки, нехай х = b - довільний корінь рівняння (7). Тоді числова рівність 3b - b = 2 є правильною. Перенесемо доданок -b у праву частину рівності, змінивши його знак на протилежний. Одержимо правильну числову рівність 3b = b + 2, з якої випливає, що х = b є коренем рівняння (6). Ми довели, що довільний корінь рівняння (7) є коренем рівняння (6). Отже, рівняння (6) і (7) мають одні й ті ж корені. ● Рівняння, які мають одні й ті ж корені, називають рівносильними. Отже, рівнян- ня (6) і (7) є рівносильними. Приклад 1. Розв'язати рівняння ● Помноживши обидві частини рівняння на 14, матимемо: 2(х - 8) = 3х - 31; 2х - 16 = 3х - 31; 2х - 3х = -31 + 16; -х = -15; х = 15. Відповідь. 15. ● a + с = b + с Якщо до обох частин правильної числової рівності додати одне й те ж число, то одержимо правильну числову рівність. aс = bс Якщо обидві частини правильної числової рівності помножити на одне й те ж число, то одержимо правильну числову рівність. a : с = b : с, де с ≠ 0 Якщо обидві частини правильної числової рівності поділити на одне й те ж, відмінне від нуля, число, то одержимо правильну числову рів- ність.

10. 10. 2. Розв'язування рівнянь. Властивості рівнянь 11 Приклад 2. Розв'язати рівняння 25(z - 3) + 100z = 125. ● Поділивши обидві частини рівняння на 25, матимемо: z - 3 + 4z = 5; 5z = 5 + 3; 5z = 8; z = 1,6. Відповідь. 1,6. ● 23. Назвіть властивість рівнянь, на основі якої здійснено перехід від першо- го рівняння до другого: а) 2х - 5 = 1; 2х = 1 + 5; б) 3х + 2 = 5х + 4; 3х - 5х = 4 - 2; в) 2(х - 2) = х; 2х - 4 = х; г) = х; 1 - 4х = 3х. 24. Обидві частини рівняння х(х - 1) = 2х поділили на х й одержали рівнян- ня х - 1 = 2. Чи мають ці рівняння одні й ті ж корені? Чи можна, розв'я- зуючи рівняння х(х - 1) = 2х, ділити обидві його частини на х? 25. Поясніть кожний крок розв'язання рівняння: Розв'яжіть рівняння: 26. а) 7х - 4 = 3х - 9; б) 2х + 3(х + 1) = 8. 27. а) 8х + 4 = 3х + 4; б) 4(х - 3) = х. 28. а) 30(х + 2) = 15(х - 2); б) 200(х - 1) = 300. 29. а) 161(2х + 2) = 161х; б) 50(х + 3) = 250(х + 1). 30. а) б) ; в) 31. а) б) (х - 5) = 1; в) а) 3(х - 2) = 5х + 4 3х - 6 = 5х + 4 3х - 5х = 4 + 6 -2х = 10 х = 10 : (-2) х = -5; б) 1 + 2х = 12 + 3х 2х - 3х = 12 - 1 -х = 11 х = -11.

11. 11. 12 §1. Лінійні рівняння з однією змінною Розв'яжіть рівняння: 32. а) 200(х - 5) = 100(х + 1) + 500; б) 350х + 250(5х - 4) - 800 = 0; в) ; г) 33. а) 210(х - 12) + 140(х + 18) = 70; б) 34. а) б) 35. а) б) 36. Розв'яжіть рівняння: а) (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 5); б) 37. Знайдіть значення виразу: а) 2(а + 1) - 4(а - 2), якщо а = -0,1; б) 1,4x - (1 + 0,7x) - (3,3х - 2), якщо х = 2,25; в) -2(а + b - 2) - a + 2b - 4, якщо а = 3; b = -1. 38. У сьомих класах навчається 84 учні, що становить усіх учнів школи. Скільки всього учнів у школі? 39. У місті зараз проживає 52 000 жителів. Відомо, що населення цього міста щороку збільшується на 4%. а) Скільки жителів буде в місті через рік? б) Скільки жителів було в місті рік тому?

12. 12. 3. Лінійні рівняння з однією змінною 13 Розглянемо рівняння: 2х = -4; -1,7х = 5,1; 0х = 2,4. Ліва частина кожного із цих рівнянь є добутком деякого числа й змін- ної, а права частина - деяким числом. Такі рівняння називають лінійними рівняннями з однією змінною. Числа a і b називають коефіцієнтами лінійного рівняння. Коли, розв'язуючи рівняння, виконують певні перетворення, зводячи дане рівняння до більш простого, то в багатьох випадках отим "простим" рівнянням є саме лінійне рівняння. З'ясуємо, скільки коренів може мати лінійне рівняння. Для цього розг- лянемо спочатку такі три рівняння: 1) 3х = 2; 2) 0х = 2; 3) 0х = 0. 1) Щоб розв'язати рівняння 3х = 2, досить обидві його частини поділити на 3. Одержимо один корінь: 2) У рівнянні 0х = 2 значення лівої частини дорівнює 0 для будь-якого числа х. Права ж частина рівняння відмінна від нуля. Отже, дане рівняння коренів не має. 3) Рівність 0х = 0 є правильною для будь-якого числа х. Тому коренем рівняння 0х = 0 є будь-яке число (рівняння має безліч коренів). У загальному випадку для лінійного рівняння aх = b матимемо: якщо а ≠ 0, то рівняння має єдиний корінь якщо а = 0, а b ≠ 0, то рівняння коренів не має; якщо а = 0 і b = 0, то коренем рівняння є будь-яке число (рівняння має безліч коренів). Підсумок: кількість коренів лінійного рівняння Означення Рівняння виду aх = b, у якому a і b - деякі відомі числа, а х - змінна, називають лінійним рівнянням з однією змінною. aх = b - лінійне рівняння Коефіцієнти Корені а ≠ 0 - єдиний корінь а = 0 і b ≠ 0 коренів немає а = 0 і b = 0 коренем є будь-яке число (рівняння має безліч коренів)

13. 13. 14 §1. Лінійні рівняння з однією змінною Рівняння з модулями Нагадаємо, що модулем додатного числа й числа 0 є це саме число, модулем від'ємного числа є протилежне йому число: |а| = а, якщо а ≥ 0; |а| = -а, якщо а < 0. Так, |1,4| = 1,4; |0| = 0; |-2| = 2. Модуль будь-якого числа x є невід'ємним числом, тобто |x| ≥ 0. Рівняння |x| = 3, |x - 5| = 1, |2x - 3| = 0, |x| + 3x = 1 містять змінну під знаком моду- ля. Такі рівняння називають рівняннями з модулем. Рівняння виду |x| = a. Розв'язуючи рівняння виду |x| = a, де a - деяке відоме число, можна використовувати геометричний зміст модуля числа: модуль числа x - це відстань від початку відліку до точки, що зображує число x на координатній прямій. Розглянемо рівняння |x| = 2. На координатній прямій існують дві точки, розмі- щені на відстані 2 одиниці від початку відліку. Це точки, що відповідають числам 2 і -2 (рис. 1). Тому рівняння |x| = 2 має два корені: 2 і -2. Рис. 1 Рівняння |x| = 0 має один корінь - число 0, а рівняння |x| = -2 не має коренів (модуль будь-якого числа x є невід'ємним числом і не може дорівнювати -2). У загальному випадку рівняння |x| = a: має два корені a і -a, якщо a > 0; має один корінь 0, якщо a = 0; не має коренів, якщо a < 0. Розв'язування рівнянь з модулями, виходячи з означення модуля числа. Розв'яжемо рівняння |x| + 3x = 4. (1) Це рівняння не можна звести до вигляду |x| = a, де a - деяке число. Для його розв'язання розглянемо два випадки. 1. Якщо x - невід'ємне число (x ≥ 0), то |x| = x і рівняння (1) набуває вигляду x + 3x = 4, звідки x = 1. Число 1 - невід'ємне (задовольняє нерівність x ≥ 0), тому воно є коренем рівняння (1). 2. Якщо x - від'ємне число (x < 0), то |x| = -x і рівняння (1) набуває вигляду -x + 3x = 4, звідки x = 2. Число 2 не є від'ємним (не задовольняє нерівність x < 0), тому воно не є коренем рівняння (1). Отже, рівняння |x| + 3x = 4 має один корінь x = 1. Приклад 1. Розв'язати рівняння 5(2х - 1) = 4х - 23. ● 10х - 5 = 4х - 23; 10х - 4х = -23 + 5; 6х = -18; х = -3. Відповідь. -3. ●

14. 14. 3. Лінійні рівняння з однією змінною 15 Приклад 2. Розв'язати рівняння 3х - 4 = 3(х - 2). ● 3х - 4 = 3х - 6; 3х - 3х = -6 + 4; 0х = -2 (або 0 = -2). Відповідь. Рівняння коренів не має. ● Приклад 3. Розв'язати рівняння 3х - 2(х - 1) = х + 2. ● 3х - 2х + 2 = х + 2; 3х - 2х - х = 2 - 2; 0х = 0 (або 0 = 0). Відповідь. Коренем рівняння є будь-яке число. ● Приклад 4. Розв'язати рівняння ● Помноживши обидві частини рівняння на 36 (36 - найменше спільне кратне знаменників дробів), матимемо: 2(2х - 1) = 3х + 4; 4х - 2 = 3х + 4; 4х - 3х = 4 + 2; х = 6. Відповідь. 6. ● Приклад 5. Розв'язати рівняння |5x - 3(x + 2) + 3| = 3. ● |5x - 3x - 6 + 3| = 3; |2x - 3| = 3. Якщо модуль числа дорівнює 3, то цим числом є 3 або -3. Тому можливі два випадки: 1) 2x - 3 = 3; 2x = 6; x = 3; 2) 2x - 3 = -3; 2x = 0; x = 0. Відповідь. 3; 0. ● Приклад 6. Розв'язати рівняння 2|z| - 3 = 5. ● 2|z| - 3 = 5; 2|z| = 8; |z| = 4; z = 4 або z = -4. Відповідь. -4; 4. ● 40. Які з даних рівнянь є лінійними рівняннями? а) б) 4: х = 2; в) -2,7y = 0; г) Підсумок. Розв'язуючи рівняння, варто дотримувати таких кроків: 1. Якщо у рівнянні є вирази з дробовими коефіцієнтами, то помножити обидві його частини на найменший спільний знаменник дробів. 2. Розкрити дужки. 3. Перенести всі доданки, які містять змінну, в одну частину рівняння (як правило, в ліву), а доданки, які не містять змінної, - в іншу частину (в праву). 4. Звести подібні доданки. 5. Поділити обидві частини рівняння на коефіцієнт біля змінної, якщо він відмінний від нуля. Якщо ж він дорівнює 0, то рівняння або не має коре- нів, або його коренем є будь-яке число.

15. 15. 16 §1. Лінійні рівняння з однією змінною 41. Скільки коренів має рівняння: а) 56х = 64; б) 0х = -2; в) 8х = 0; г) 0y = 0? 42. Розв'яжіть лінійне рівняння: а) 6х = 42; б) 4х = -12; в) -3y = 6; г) -5z = -45; д) 3х = -2; е) 0y = -4; є) 0х = 0; ж) -2х = 0. Розв'яжіть рівняння: 43. а) 36х = -54; б) 0,04z = 1,4; в) г) -1,2х = -0,09; д) -3,86t = 7,913; е) є) ж) з) 44. а) 5х - 3 = 17; б) 7х + 32 = 12х + 25; в) 4 - 3y = 6y + 22; г) 4,5z + 1 = 7z + 2,5; д) -1,2m - 2 = m - 0,9; е) -1,74х + 7,92 = -1,08х; є) 4y + 1 = -1 + 4y; ж) 0,77х = 1,65 + 1,1х; з) -16,8х - 3 = 6х + 2,7. 45. а) 56х = -196; б) 8х = -8 + 12х; в) 1,15 - 3z = 2,5; г) 2y - 18 = -3y + 67; д) 6х + 2 = 20х - 5; е) 4,5х + 1 = 2 + 4,5х; є) 8 - 1,2z = -6z + 152; ж) 4,02t - 1 = 1,52t; з) 1,7х + 2,04 = -6,8х. 46. а) 6(х - 2) = 2х; б) 3(2х + 1) = 7х; в) 1 - (3х + 1) = 2х; г) -2(2х - 4) = -3; д) 2(х + 5) = 2(х - 4); е) -3(10 - 2х) = 6х - 30. 47. а) 8х - 7 = 3(х - 4); б) -(3х + 1) = 3(3 - х); в) 6х - 2 = -2(1 - 3х). Розв'яжіть рівняння: 48. а) 2(х - 11) - 5(5 - 2х) = -23; б) 8(-3х + 4) + 14(3 + 2х) = 4 + 2х; в) -5(4х + 3) + 3х = -12(х - 3); г) 0,5х = 0,1(2х - 5) + 1,7. 49. а) 3,5(х - 3) - 0,7(7 - х) = -7; б) 0,4(2х - 7) + 1,2(3х + 0,7) = 1,6х; в) 5(4(х + 1) - 9х) = 25(х + 1); г) 0,8(2,2(х - 1) - 1) - 1,4х = -0,4. 50. а) 5(3х - 6) + 4(3 - 2х) = 5х - 8; б) 9(х - 3) - 4(7 - 3х) - 5 = -3х; в) -0,3(8 - 4х) = 0,6(х - 3) + 0,9; г) 2(-0,9х + 1,4) + 1,4(1,5 + х) = х; д) 40(5х - 8(х - 1)) = 160(х + 9); е) 12 + 3(2(х - 1) - 4) = 6(х + 1). 51. Знайдіть значення x, для яких значення виразів 2х - 3 і -3 + 7х дорівню- ють одне одному.

16. 16. 3. Лінійні рівняння з однією змінною 17 52. Знайдіть значення x, для яких значення виразу 25х - 30 на 5 менше від значення виразу 15х + 15. 53. Знайдіть значення x, для яких значення виразу 4х + 6 у 6 разів більше від значення виразу 6х - 15. Розв'яжіть рівняння: 54. а) б) в) г) 55. а) б) в) г) 56. а) б) в) г) 57. а) |x| = 5; б) |x| = -6; в) |x| = 0; г) |2x - 7| = 11; д) |15 - 4x| = 5; е) |7x - 2| = 0. 58. а) |x| + 3 = 7; б) 3|x| = 6; в) |x| + 8 = 3. 59. а) |3x| = 12; б) |x - 3| = 8; в) |x + 2| = -2; г) |x - 7| = 0; д) 2|x| - 1 = 5; е) 5 - |x| = -11. Розв'яжіть рівняння: 60. а) 200(2(2(х - 1) - 1) -1) = -600; б) 61. а) |2(х - 3) - (x + 4)| = 2; б) |5х - 4(2x + 3)| = 6; в) 2(|х| - 3) - 4(2|х| + 9) = -48; г) |2х - 1| - 4(1 - |2х - 1|) = 6. 62. а) 3x + |x| = 20; б) 5|x| + x = 12; в) |x| + x = 8; г) x - |x| = 12; д) x + |x| = 0; е) x - |x| = 0. 63. а) |x| + x2 = 0; б) x2 + |x| = -7; в) |x| + |2x| + 4 = 0. 64. У рівнянні аx = 4389 коефіцієнт а є трицифровим числом виду **1. Розв'яжіть це рівняння, якщо відомо, що його коренем є натуральне число.

17. 17. 18 §1. Лінійні рівняння з однією змінною 65. Обчисліть: а) б) 66. З міст А і В одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі й зустрілися через 1,5 год. Швидкість одного автомобіля дорівнює а км/год, а іншого - b км/год. Запишіть у вигляді виразу відстань між містами. 67. Легковий автомобіль наздоганяє вантажний. Швидкість легкового авто- мобіля дорівнює а км/год, а вантажного - b км/год. Запишіть у вигляді виразу відстань між автомобілями за 0,2 год до зустрічі. 68. Швидкість катера у стоячій воді (ще кажуть: власна швидкість катера) дорівнює а км/год, а швидкість течії річки - b км/год. Запишіть у ви- гляді виразу відстань, яку пропливе катер, рухаючись 2 год за течією річки і 3 год проти течії. 69. З кошика взяли 3 яблука, потім - третину решти яблук і ще 3 яблука. Після цього в кошику залишилася половина початкової кількості яблук. Скільки яблук було в кошику спочатку? Розглянемо приклади. Задача 1. У двох цистернах зберігається 66 т бензину, до того ж, у першій бензи- ну в 1,2 разу більше, ніж у другій. Скільки бензину в кожній цистерні? 1,2х + х = 66. Розв'яжемо це рівняння: 2,2х = 66; х = 66 : 2,2; х = 30. Отже, у другій цистерні є 30 т бензину, а в першій - 1,2 · 30 = 36 (т). Відповідь. 36 т, 30 т. ● Розв'язуючи задачі за допомогою рівнянь, здебільшого дотримуються такої схеми: 1) вибирають невідоме й позначають його буквою x (або якою-небудь іншою буквою); 2) використовуючи умову задачі, складають рівняння; 3) розв'язують рівняння і відповідають на поставлені в задачі запитання. ● Нехай у другій цистерні є х т бензину, тоді в першій - 1,2х т. У двох цистернах разом є (1,2х + х) т бензину, що за умовою дорівнює 66 т. Маємо рів- няння:

18. 18. 4. Розв'язування задач за допомогою рівнянь 19 Зауваження. Щоб розв'язати задачу 1, можна міркувати й так. Нехай у другій цистерні є х т бензину, тоді в першій - (66 - х) т. У першій цистерні бензину в 1,2 разу більше, ніж у другій, тому 66 - х = 1,2х. Далі залишається розв'язати це рів- няння і записати відповідь до задачі. Задача 2. З міста А до міста В виїхав вантажний автомобіль. Через 30 хв назу- стріч йому з міста В виїхав легковий автомобіль, швидкість якого на 25 км/год більша, ніж швидкість вантажного. Автомобілі зустрілися через 1,3 год після виїзду вантажного автомобіля з міста А. Знайти відс- тань між містами, якщо за весь час руху вантажний автомобіль проїхав на 10 км більше, ніж легковий. ● Нехай швидкість вантажного автомобіля дорівнює х км/год, тоді шви- дкість легкового - (х + 25) км/год. До моменту зустрічі вантажний автомобіль був у дорозі 1,3 год, а легко- вий на 30 хв = 0,5 год менше: 1,3 год - 0,5 год = 0,8 год. За 1,3 год вантажний автомобіль проїхав 1,3х км, а легковий за 0,8 год - 0,8(х + 25) км. Оскільки вантажний автомобіль проїхав на 10 км більше, ніж легковий, то різниця шляхів 1,3х км і 0,8(х + 25) км дорівнює 10 км. Маємо рівняння: 1,3х - 0,8(х + 25) = 10. Розв'яжемо це рівняння: 1,3х - 0,8х - 20 = 10; 0,5х = 30; х = 60. Отже, швидкість вантажного автомобіля дорівнює 60 км/год. Відстань між містами дорівнює сумі відстаней, які проїхали обидва ав- томобілі, тобто (1,3х + 0,8(х + 25)) км. Оскільки х = 60, то матимемо: 1,3х + 0,8(х + 25) = 1,3 · 60 + 0,8 · (60 + 25) = 78 + 68 = 146 (км). Відповідь. 146 км. ● Примітка. Спираючись на розв'язання задач 1 і 2, проаналізуємо перші два кроки наведеної вище схеми розв'язування задач за допомогою рівнянь. 1) Вибір невідомого, яке ми позначали буквою, у розв'язаннях цих за- дач був різний. У задачі 1 ми позначили через х т одну з шуканих величин (масу бензину в другій цистерні). У задачі 2 шуканою величиною є відстань між містами. Якщо цю величину позначити через х км, то при складанні рів- няння доведеться провести доволі складні міркування. Ми ж через х км/год позначили невідому швидкість вантажного автомобіля, виразили через х шля- хи, які проїхали автомобілі, й склали рівняння, знаючи, що різниця шляхів дорівнює 10 км. Швидкість, км/год Час, год Шлях, км Вантажний автомобіль х 1,3 1,3х Легковий автомобіль х + 25 0,8 0,8(х + 25)

19. 19. 20 §1. Лінійні рівняння з однією змінною Отже, позначати через х (або якою-небудь іншою буквою) бажано ту невідому величину, через яку легше виражаються величини, значення яких можна прирівняти. 2) Щоб скласти рівняння, спочатку виражаємо через х ті величини, зна- чення яких прирівнюватимемо. Після цього записуємо рівняння. Математична модель. Вам, мабуть, уже доводилося бачити моделі чов- на, літака, автомобіля, виготовляти моделі куба, прямокутного паралелепіпе- да. Кожна модель, залежно від її призначення, відображає певні властивості оригіналу. Математична модель - це опис якогось реального об'єкта чи процесу мовою математики. Опишемо мовою математики задачу 2. Шукаючи швидкість вантажно- го автомобіля у цій задачі, ми позначили її через х км/год. Швидкість легко- вого автомобіля на 25 км/год більша, ніж швидкість вантажного, що мовою математики записується так: швидкість легкового автомобіля дорівнює (х + 25) км/год. Мовою математики шлях, який проїхав вантажний автомобіль, запису- ється: 1,3х км, а шлях, який проїхав легковий автомобіль, - 0,8(х + 25) км. За умовою задачі вантажний автомобіль проїхав на 10 км більше, ніж легковий, що мовою математики можна висловити так: різниця шляхів, які проїхали вантажний і легковий автомобілі, дорівнює 10 км і записати: 1,3х - 0,8(х + 25) = 10. Одержане рівняння і є математичною моделлю задачі на рух автомобі- лів. Побудувавши математичну модель, ми звели задачу на рух до математич- ної задачі - розв'язати рівняння. Крім рівнянь, є й інші види математичних моделей, з якими ми ознайо- мимося при подальшому вивченні алгебри. Цікаво знати. Історія науки знає чимало прикладів, коли в межах вдало побудо- ваної математичної моделі за допомогою обчислень, як кажуть, "на кінчику пера", вдавалося передбачити існування нових фізичних об'єктів та явищ. Так, спираючись на математичні моделі, астрономи Дж. Адамс (Англія) у 1845 році й У. Левер'є (Франція) у 1846 році незалежно один від одного дійшли висновку про існування не- відомої тоді ще планети і вказали її розміщення на небі. За розрахунками Левер'є астроном Г. Галле (Німеччина) знайшов цю планету. Її назвали Нептуном. 70. У двох мішках є 68 кг картоплі, до того ж, у першому мішку на 12 кг картоплі більше, ніж у другому. Скільки картоплі в кожному мішку?

20. 20. 4. Розв'язування задач за допомогою рівнянь 21 71. У двох комп'ютерних класах є разом 33 комп'ютери, до того ж, в одно- му класі їх у 1,2 разу більше, ніж в іншому. Скільки комп'ютерів у кож- ному класі? 72. У лісі ділянка листяних дерев відфільтровує за літо на 35 т пилу більше, або удвічі більше, ніж така ж ділянка хвойних дерев. Скільки пилу від- фільтровують обидві ділянки? 73. Батько утричі старший від сина. Відомо також, що він на 24 роки стар- ший від сина. Скільки років батькові та скільки синові? 74. Два робітники виготовили 36 деталей, до того ж, кількість деталей, які виготовив перший робітник, становить 0,8 кількості деталей, які вигото- вив другий. Скільки деталей виготовив кожен робітник? 75. Оператор набрав на комп'ютері половину рукопису за 15 год. Другу половину рукопису він набрав на 2,5 год швидше, бо набирав за годину на 2 сторінки більше. Скільки сторінок має рукопис? 76. Перший автомобіль долає шлях між двома містами за 1,5 год, а дру- гий - за 1,2 год. Швидкість другого автомобіля більша від швидкості першого на 15 км/год. Знайдіть відстань між містами. 77. Периметр трикутника дорівнює 25 см. Знайдіть довжину кожної сторо- ни трикутника, якщо: а) перша сторона в 1,5 разу довша від другої, а друга - на 4 см коротша від третьої; б) довжина першої сторони на 5 см більша від довжини другої, а довжи- на третьої - на 7 см менша від суми довжин перших двох. 78. Олег, Сергій та Віталій купили м'яч, ціна якого дорівнює 12 грн., до того ж, Олег витратив грошей на 2 грн. менше, а Сергій - в 1,5 разу більше, ніж Віталій. Скільки грошей витратив на купівлю м'яча кожен хлопець? 79. Магазин продав за 3 дні 460 кг овочів. За другий день було продано ово- чів на 20 кг більше, ніж за перший, а за третій - в 1,2 разу більше, ніж за другий. Скільки овочів продав магазин за кожний день окремо? 80. У трьох мішках є 135 кг цукру, до того ж, у першому на 15 кг більше, ніж у третьому, а в третьому в 1,2 разу менше, ніж у другому. Скільки цукру в кожному мішку? 81. У першому кошику було на 12 яблук більше, ніж у другому. Після того як мама взяла з першого кошика 18 яблук, а з другого - 14, у першому кошику яблук стало в 1,2 разу більше, ніж у другому. Скільки яблук було в кожному кошику спочатку?

21. 21. 22 §1. Лінійні рівняння з однією змінною 82. Перший велосипедист долає шлях між двома селами за 36хв, а другий - за 45хв. Швидкість першого велосипедиста більша від швидкості другого на 4км/год. Знайдіть швидкість кожного велосипедиста і відстань між селами. 83. З Чернівців одночасно виїхали два автомобілі й одночасно приїхали до Житомира. Перший автомобіль їхав зі сталою швидкістю. Другий же автомобіль перші 2 год їхав зі швидкістю на 12 км/год меншою, а решту 3 год - зі швидкістю, в 1,1 разу більшою від швидкості першого авто- мобіля. Знайдіть відстань між містами. 84. З міста А до міста В одночасно виїхали автомобіль і мотоцикліст. Коли через 2,5 год автомобіль прибув до міста В, мотоциклісту до цього міста залишалося проїхати ще 75 км. Знайдіть відстань між містами, якщо швидкість автомобіля в 1,6 разу більша від швидкості мотоцикліста. 85. Човен проплив шлях між двома пристанями за течією річки за 1,2 год, а на зворотний шлях затратив 1,5 год. Знайдіть відстань між пристанями, якщо швидкість човна у стоячій воді дорівнює 22,5 км/год. 87. Автомобіль мав подолати шлях завдовжки 140 км за 2 год. Деяку части- ну шляху він проїхав зі швидкістю 60 км/год, а решту шляху - зі швид- кістю 75 км/год. Скільки кілометрів проїхав автомобіль зі швидкістю 60 км/год, якщо відомо, що до місця призначення він прибув вчасно? 88. Зі Львова до Києва, відстань між якими дорівнює 520 км, вийшов поїзд, а через годину назустріч йому з Києва вийшов другий поїзд, який про- ходить за годину на 4 км більше, ніж перший. Поїзди зустрілися через 4 год після відходу другого поїзда з Києва. Знайдіть швидкість кожного поїзда. Вказівка. Розв'язуючи задачу, використайте схему: 86. Від пристані А до пристані В за течією річки катер плив 3 год, а від В до А - 4 год. Знай- діть швидкість катера у стоячій воді, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год.

22. 22. 4. Розв'язування задач за допомогою рівнянь 23 89. Дідусь старший від свого внука в 4 рази. Якби дідусь був на рік молод- ший, то був би старшим від своєї внучки у 5 разів. Скільки років дідусе- ві, внукові й онучці, якщо внучка на 3 роки молодша від онука? 90. На двох полицях стояло 95 книжок. Коли четверту частину книжок, що були на першій полиці, переставили на другу, то на другій полиці кни- жок стало на 5 більше, ніж на першій. Скільки книжок стояло на кожній полиці спочатку? 91. У школі є три сьомих класи. Кількість учнів 7-А класу становить 35% від кількості всіх семикласників, а у 7-Б класі на 2 учні менше, ніж у 7-А. Скільки семикласників є у школі, якщо у 7-В класі навчається 26 учнів? 92. За зміну 3 робітники виготовили партію деталей. Перший робітник вигото- вив 30% усіх деталей, другий - на 5 деталей менше, ніж третій, і на 2 дета- лі більше, ніж перший. Скільки всього деталей виготовили робітники? 93. Вранці вкладник зняв з рахунку в банку усіх грошей, а після обіду - 30% залишку. Після цього на його рахунку залишилося 175 грн. Який був початковий вклад? 94. Біля будинку стоять дві бочки, місткість кожної з яких дорівнює 100 л. У першій бочці є 20 л дощової води, а в другій - 15 л. Пішов дощ, і щохви- лини в першу бочку вливається 2 л води, а в другу - 2,5 л. Через скільки хвилин води в бочках буде порівну? Знайдіть два варіанти відповіді. 95. За легендою, Піфагор на запитання про число учнів, що відвідують його школу, відповів так: "Половина учнів вивчає математику, чверть - му- зику, сьома частина перебуває в мовчанні і, крім того, є ще три жінки". Скільки учнів було в Піфагора? 96. Зелена маса для силосу повинна мати певну вологість. Щоб вийшла така маса, змішують у певному співвідношенні рослини з різним вмістом води. Скільки потрібно взяти зеленої маси з вологістю 85% і маси з во- логістю 35%, щоб одержати 1 т маси з вологістю 75%?

23. 23. 24 §1. Лінійні рівняння з однією змінною 97. У двох бідонах є 70 л молока. Коли 12,5% молока, що було в першому бідоні, перелили у другий, то в обох бідонах молока стало порівну. Скі- льки літрів молока було в кожному бідоні спочатку? 98. Сплав міді, цинку й олова містить 32% олова, а міді - на 40 г менше, ніж олова. Відомо також, що цинку в сплаві на 100 г більше, ніж міді. Знайдіть масу сплаву. 99. У процесі очищення руди кількість домішок у ній зменшується від 20% у добутій руді до 5% в очищеній. Скільки потрібно взяти добутої руди, щоб одержати 32 т очищеної? 100. Запишіть: а) суму числа m і числа, протилежного числу n; б) різницю числа s і числа, протилежного числу -t; в) добуток найбільшого від'ємного цілого числа і суми чисел а та b. 101. До частки чисел -1,8 і -1,3 додайте добуток чисел 4,8 і -1,05. 102. Знайдіть значення виразу 2x2 - 4y2 , якщо х дорівнює найменшому ціло- му числу, яке задовольняє нерівність -5,4 < x < -2,7, а y - найбільшому цілому числу, яке задовольняє нерівність -15,4 ≤ у ≤ -2. 103. Поставте замість зірочок такі цифри, щоб число: а) 1*48 ділилося на 9; б) 3*4* ділилося на 3 і на 5. 104. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки: а) х - (х - 1) + (х + 1); б) 2(1,5а - 2(а - 1,5)); в) 2(a + 2b + 3c) - (a + 3b + 5c) - (a + b + c). 105. Оленка має фломастери шести кольорів. Скількома способами вона мо- же написати число 2002 так, щоб різні цифри мали різний колір, а одна- кові цифри - однаковий колір? Протягом багатьох століть алгебра була наукою про рівняння та спосо- би їх розв'язування. Лінійні рівняння вміли розв'язувати ще давні єгиптяни й вавилоняни (І тис. до н.е.). Про стан математики в Давньому Єгипті можна дізнатися з математич- них текстів, написаних на особливому папері - папірусі, виготовленому зі стебел рослини, яка має таку ж назву. Написання деяких папірусів відносять

24. 24. Цікаво знати 25 до XVIII ст. до н. е., хоча описані в них математичні факти були відомі дав- нім єгиптянам задовго до їх написання. Один з таких папірусів був знайдений у 1872 році в одній з єгипетських пірамід. Його придбав англійський колекціонер предметів старовини Райнд і зараз цей папірус - папірус Райнда - зберігається в Лондоні. У папірусі Райнда особливе місце посідають задачі на "аха" ("хау"). Це задачі, які розв'язуються за допомогою лінійних рівнянь з одним невідо- мим. "Аха" ("хау") означає "сукупність", "купу" (невідому величину). Приклад такої задачі: "Купа. Її , її , її і її ціле. Це 33". Якщо позначити "купу" - невідому величину - через x, то за цією задачею одержимо рів- няння: . Починаючи із VII ст. до н. е., давні греки, ознайомившись з досягнення- ми єгиптян і вавилонян в галузі математики, продовжили їх науку. Проте до- волі мало грецьких вчених для розв'язання задач використовували рівняння. Одним із тих, хто використовував рівняння, був давньогрецький математик Діофант. Про Діофанта відомо небагато, навіть точно не встановлено роки його життя. Дещо про життя Діофанта та про те, скільки він прожив років, можна судити з напису на його могильній плиті. Більш помітні успіхи у створенні почат- ків алгебри були досягнуті в Давньому Вави- лоні. До нашого часу збереглися вавилонські глиняні плитки з комбінаціями клиновидних рисочок - клинописи. Ці плитки відігравали у Вавилоні таку ж роль, як папіруси в Єгипті. На плитках трапляються і клинописні матема- тичні тексти, які свідчать, що уже близько 4000 років тому у Вавилоні могли розв'язувати рівняння, що містять квадрат невідомого. Діофант (ІІІ ст.), давньогрецький математик з Александрії

25. 25. 26 §1. Лінійні рівняння з однією змінною Грецьку науку в середні віки перейняли вчені Сходу - індійці та араби. Саме на Сході в IX ст. алгебра стає самостійною математичною наукою. Походження слова "алгебра" також пов'язане зі Сходом. Місто Багдад у VII-IX ст. було столицею могутнього Арабського халі- фату. Багдадські халіфи сприяли розвитку природничих і математичних наук. За панування халіфа Гаруна ал-Рашида в Багдаді була заснована велика бібліо- тека, а халіф ал-Мамун організував своєрідну академію - "Будинок мудрос- ті" й побудував добре обладнану обсерваторію. Напис на плиті Мовою алгебри Подорожній! Поховано тут Діофанта. І числа розкажуть тобі, Який довгий шлях він життєвий пройшов. x Шосту частину його життя становило веселе дитинство. Минула частина дванадцята - Й пухом покрилося його підборіддя. Сьому - в бездітному шлюбі прожив Діофант. Минуло п'ять літ. 5 Ощасливлений він був народженням первістка-сина, Якому судилася лише половина життя його батька. І в глибокій журбі Старець закінчив свій шлях на Землі, Де прожив років чотири з часу, Коли сина не стало. 4 Скажи: віку якого досягши, Славетний помер Діофант?

26. 26. Запитання і вправи для повторення § 1 27 Поступово сформувалася сучасна алгебра, яка охоплює не тільки теорію розв'язування рівнянь, а й способи проведення операцій (дій) з різноманітни- ми об'єктами (зокрема, із числами). Запитання і вправи для повторення § 1 106. Доведіть, що число 2,5 є коренем рівняння: а) 3x - 5 = x; б) х(х - 0,5) = 4х - 5. 107. Яке з чисел -2; -1,2; 1,8 є коренем рівняння 5x - 3 = 10x + 3? При дворі ал-Мамуна жив і працював учений Мухаммед бен Муса ал-Хорезмі (близько 780 - близько 850). Він зібрав та систематизував способи розв'язування рівнянь й описав їх у роботі "Кітаб ал-джебр ал- мукабала", що дослівно означає "Книга про відновлення і протиставлення". У той час від'єм- ні числа вважались "несправжніми", і коли в процесі розв'язування рівняння в якійсь його частині з'являлось від'ємне число, його потрі- бно було перенести в іншу частину. Цю опера- цію називали відновленням (ал-джебр), тобто переведенням "несправжніх" (від'ємних) чи- сел у "справжні" (додатні). За допомогою про- тиставлення (ал-мукабала) відкидали однакові доданки в обох частинах рівняння. У XII ст. твір ал-Хорезмі переклали ла- тинською мовою, зберігши в його назві лише слово "ал-джебр", яке згодом стали вимовляти як алгебра. Мухаммед бен Муса ал-Хорезмі (IX ст.), арабський математик, астроном і географ. Уперше розглядає алгебру як самостійний розділ математики 1. Наведіть приклади рівнянь. 2. Що називають коренем рівняння? Чи є число 4 коренем рівняння 3х - 2 = х + 6? 3. Що означає розв'язати рівняння? 4. Сформулюйте властивості рівнянь. 5. Дайте означення лінійного рівняння. Наведіть приклад лінійного рівняння. 6. Скільки коренів може мати лінійне рівняння?

27. 27. 28 §1. Лінійні рівняння з однією змінною 108. Скільки коренів має рівняння: а) x = 12; б) = 1; в) 0(x + 3) = 0? Розв'яжіть рівняння: 109. а) 2х - 3 = 5(x - 3); б) 12(х - 1) = 24(x + 1); в) 0,6(2х - 3) - 1,5(х + 4) = -4,2x; г) 2(3 - 2(x + 1)) = 6(2 - х); д) -6(2х + 5) + 2(х + 3) = 2; е) 24(х - 3) + 18(x - 2) = 30(3х - 10). 110. а) б) 111*. а) 2|х| + 0,2 = б) 3 - 2(1- 2|х|) = 11 - |х|. 112*. а) |х - 2| = 2; б) 3|2х + 1| - 7 = 2. 113*. а) 5x - 2|х| = 21; б) 2(|х| - 5) = 3x - 7. 114*. Знайдіть таке число а, щоб коренем рівняння 2х + 3(а - 1) = 5 було число 4. 115*. Чи існує число k, для якого рівняння (k - 2)x + 2 = k не має коренів? 116. Периметр прямокутника дорівнює 48 см, його довжина втричі більша від ширини. Знайдіть площу прямокутника. 117. Периметр трикутника дорівнює 30 см. Знайдіть довжину кожної сторо- ни трикутника, якщо перша його сторона на 4 см коротша від другої, а друга - в 1,2 разу довша від третьої. 118. Трактор зорав поле за 3 дні. За перший день було зорано 35% площі поля, за другий - на 4 га менше, ніж за перший, а за третій день - 25 га. Знайдіть площу поля. 119. Теплохід пройшов шлях завдовжки 90 км. Деяку частину цього шляху теплохід йшов зі швидкістю 30 км/год, а решту - зі швидкістю 25 км/год. Який шлях пройшов теплохід зі швидкістю 30 км/год, якщо на весь шлях він затратив 3,5 год? 120*. Туристу треба пройти шлях від села до станції завдовжки 10 км. Коли він вийшов із села, до відходу поїзда, на який він поспішав, залишалося 3 год. Долаючи 3 км за годину, турист зрозумів, що запізнюється на поїзд, і пішов зі швидкістю 4 км/год. На станцію він прийшов за 12 хв до відходу поїзда. Скільки часу рухався турист зі швидкістю 3 км/год?

28. 28. Запитання і вправи для повторення § 1 29 121*. Є два сплави міді й олова; перший містить 40% міді, а другий - 60%. Скільки потрібно взяти кожного сплаву, щоб одержати 10 кг нового сплаву, який містив би 54% міді? 122*. За першу поїздку автомобіль витратив 25% бензину, що був у баку, за другу - на 40% менше, ніж за першу. Після цього в баку залишилося бензину на 8 л більше, ніж було витрачено за обидві поїздки. Скільки літрів бензину було в баку спочатку? Завдання для самоперевірки № 1 Рівень 1 1. Яке з чисел є коренем рівняння 4x + 2 = 10? а) 1; б) -2; в) 2; г) 3. 2. Скільки коренів має рівняння (x - 2)(x + 2) = 0? а) Один; б) два; в) безліч; г) коренів немає. 3. Які з даних рівнянь є лінійними рівняннями? а) б) y2 = 4; в) 2 : х = 3; г) -2y = 0. 4. Розв'яжіть рівняння 7y - 3 = 3y + 5 та вкажіть правильну відповідь: а) -2; б) 2; в) 0,8; г) 0,5. 5. Книжка й альбом коштують 6 грн., до того ж, книжка в 4 рази дорожча від альбому. Яке з рівнянь треба скласти, щоб знайти ціну альбому (х - ціна альбо- му в гривнях)? а) x + 6х = 4; б) 6x - х = 4; в) x + 4х = 6; г) 4x - х = 6. Рівень 2 6. Складіть лінійне рівняння, коренем якого є число 3. 7. Встановіть відповідність між рівнянням і кількістю коренів рівняння: а) 7x = 1; 1) один корінь; б) 0 · x = -2; 2) безліч коренів; в) 2x = 0; 3) коренів немає. г) 0 · x = 0;

29. 29. 30 §1. Лінійні рівняння з однією змінною 8. Розв'яжіть рівняння: а) 2(x - 3) = 5x - 9; б) 4 - 5(1 - 2х) = 1 - 6х. 9. Швидкість велосипедиста на 10 км/год більша від швидкості пішохода. Відомо, що за 2 год велосипедист долає таку ж відстань, яку пішохід проходить за 6 год. Знайдіть швидкість пішохода. Рівень 3 10. Чи мають рівняння (x - 1)(x + 2) = 0 і x + 2 = 0 одні й ті ж корені? 11. Розв'яжіть рівняння: а) 160х + 560 = -160(3x - 1); б) 12. У двох сувоях є 81 м тканини, до того ж, у першому - на 70% більше, ніж у другому. Скільки метрів тканини у кожному сувої? 13. У першому резервуарі є 420 м3 води, а у другому - 750 м3 . З обох резе- рвуарів почали одночасно випускати воду. З першого резервуара щого- дини витікає 28 м3 води, а з другого - 38 м3 . Через скільки годин у пер- шому резервуарі стане вдвічі менше води, ніж у другому? Рівень 4 14. Доведіть, що рівняння (х - 4)(х + 2) = 0 і |x - 1| = 3 мають одні й ті ж корені. 15. Розв'яжіть рівняння: а) б) 2(|х| - 3) = 4|х| - 10. 16. Екскаватор мав вирити траншею певної довжини. За перший день він вирив 30% довжини всієї траншеї, за другий - на 10% більше, ніж за перший, а за третій - решту 111 м. Знайдіть довжину траншеї. 17. Сплав міді й олова має масу 12 кг і містить 45% міді. Скільки кілограмів олова потрібно додати до цього сплаву, щоб одержати новий сплав, який містив би 40% міді?

30. 30. 32 §2. Цілі вирази § 2. ЦІЛІ ВИРАЗИ 1. Вирази зі змінними. Розглянемо кілька задач. Задача 1. Довжина прямокутної ділянки дорівнює 42 м, а ширина - на b м менша від довжини. Записати у вигляді виразу площу ділянки. ● Ширина ділянки дорівнює (42 - b) м, а площа - 42(42 - b) м2 . Відповідь. 42(42 - b) м2 . ● Вираз 42(42 - b) містить букву b і такий вираз ми називали буквеним виразом. Букві b можна надавати різні значення, b може дорівнювати 0,8; 5; 7,2; 10 тощо, тобто значення b можна змінювати. Тому b називають змінною, а вираз 42(42 - b) - виразом зі змінною. Задача 2. Довжина прямокутної ділянки дорівнює а м, а ширина - на b м менша від довжини. Записати у вигляді виразу площу ділянки. ● Ширина ділянки дорівнює (а - b) м, а площа - а(а - b) м2 . Відповідь. а(а - b) м2 . ● Букви a і b також можуть набувати різних значень, тому a і b - змінні, а вираз a(a - b) - вираз із двома змінними. Вираз зі змінними утворюють зі змінних, чисел, знаків дій і дужок. Ви- разом зі змінною вважають й окремо взяту змінну. Якщо у вираз 42(42 - b) замість змінної підставити певне число, напри- клад, число 12, то одержимо числовий вираз 42 · (42 - 12), значення якого дорівнює: 42 · (42 - 12) = 42 · 30 = 1260. Одержане число 1260 називають зна- ченням виразу 42(42 - b) для значення змінної b = 12. Значення виразу а(а - b) для а = 30, b = 7 дорівнює: 30 · (30 - 7) = 30 · 23 = 690. Розглянемо вираз зі змінною: Значення цього виразу можна знай- ти для будь-якого значення а, крім а = -4. Якщо а = -4, то дільник (знаменник) а + 4 дорівнює нулю, а на нуль ділити не можна. Кажуть, що для а ≠ -4 вираз має зміст, а для а = -4 він не має змісту. 2. Цілі вирази. Порівняємо вирази а + b, 7а, b, з виразами а : b, .

31. 31. 5. Вирази зі змінними. Цілі вирази 33 Вирази першої групи не містять дії ділення на вираз зі змінними. Такі вирази називають цілими. Вирази другої групи містять дію ділення на вираз зі змінними. Такі ви- рази називають дробовими. Ми вивчатимемо їх у 8 класі. У 7 класі розгляда- тимемо тільки цілі вирази. 3. Формули. Вирази зі змінними використовують для запису формул. Наприклад: S = ab - формула для обчислення площі прямокутника; V = abc - формула для обчислення об'єму прямокутного паралелепіпеда. Формулою n = 2k (де k - ціле число) задаються парні числа, а форму- лою n = 2k + 1 - непарні числа. Формулами можна задати всі цілі числа, які при діленні на задане натуральне число дають одну й ту ж остачу. Розглянемо спочатку приклад ділення двох натуральних чисел. Поділимо 48 на 5 з остачею: Одержали: 9 - неповна частка, 3 - остача. Натуральні числа, не кратні числу 5, при діленні на 5 можуть дати в остачі 1, 2, 3 або 4. Числа, кратні числу 5, діляться (націло) на 5. Ще кажуть, що такі числа при діленні на 5 дають в остачі 0. Поділивши 48 на 5, ми знайшли два числа 9 та 3 (неповну частку та остачу), використовуючи які число 48 можна записати у вигляді 48 = 5 · 9 + 3. Ділення будь-якого цілого числа на натуральне з остачею зводиться до знахо- дження подібної рівності. Поділити ціле число m на натуральне число n з остачею означає знайти такі цілі числа k і r, щоб виконувалась рівність m = nk + r, де 0 ≤ r ≤ n - 1. За цих умов число k називають неповною часткою, а r - остачею від ділення m на n. Остач від ділення цілих чисел на натуральне число п може бути п: 0, 1, 2, ..., п - 2, п - 1. Знайдемо для прикладу остачу від ділення числа -17 на число 3. Для цього запи- шемо число -17 у вигляді -17 = 3k + r, де k і r - цілі числа, до того ж, 0 ≤ r ≤ 2. Щоб число r лежало в межах від 0 до 2, потрібно узяти k = -6. Тоді легко знайти, що r = 1. Маємо правильну рівність -17 = 3 · (-6) + 1. Отже, число -17 при діленні на 3 дає в остачі 1. Цілі числа при діленні на 3 можуть давати в остачі 0, 1 або 2. Відповідно до цього їх можна поділити на 3 групи.

32. 32. 34 §2. Цілі вирази Отже, формулами m = 3k, m = 3k + 1 і m = 3k + 2, де k - довільне ціле число, задаються усі цілі числа, які при діленні на 3 дають в остачі відповідно 0, 1, 2. Про числа m = 3k ще кажуть, що вони діляться (націло) на 3. Так, -9 ділиться на 3. Приклад 1. Записати у вигляді виразу: а) добуток числа а і суми чисел b та с; б) частку різниці чисел m та n і числа 7; в) різницю числа а і добутку чисел m та n. ● а) а(b + с); б) (m - n) : 7; в) а - mn. ● Зауваження. Читаючи словами числові вирази чи вирази зі змінними, пер- шою називають останню по порядку виконання дію, далі передостанню і т. д. Приклад 2. Знайти значення виразу а2 (b + c), якщо а = 4, b = -7, с = 2. ● Якщо а = 4, b = -7, с = 2, то а2 (b + c) = 42 · (-7 + 2) = 16 · (-5) = -80. Відповідь. -80. ● Приклад 3. Знайти значення виразу (m + n)2 - 3n, якщо m = n = ● Якщо m = n = то (m + n)2 - 3n = Відповідь. ● Приклад 4. Записати у вигляді виразу число, яке має 9 сотень, c десятків, d одиниць. ● 9 · 100 + с · 10 + d = 900 + 10с + d. ● 123. Серед записів вкажіть числові вирази, вирази зі змінними та записи, що не є виразами: а) 7,2 : 3; б) 5; в) 2х = 3; г) (18 - 3) : 5 = 3; Цілі числа Остача при діленні на 3 Вид чисел ... -9; -6; -3; 0; 3; 6; 9; ... 0 3k ... -8; -5; -2; 1; 4; 7; 10; ... 1 3k + 1 ... -7; -4; -1; 2; 5; 8; 11; ... 2 3k + 2

33. 33. 5. Вирази зі змінними. Цілі вирази 35 д) a - c; е) 15 - 8а; є) ж) abx2 . 124. Прочитайте словами вирази зі змінними: а) 5 + х; б) y : 7; в) 2ab; г) (abc - 2) : 4; д) (a - 3) : а; е) є) ж) Які з даних виразів є цілими виразами? 125. Складіть три вирази із числа 7 та змінних a і b. 126. Складіть два вирази із чисел 5 і 11 та змінної х. Запишіть у вигляді виразу: 127. а) Суму чисел 12 і а; б) частку чисел -с і 7; в) куб числа а; г) піврізницю чисел а і b. 128. а) Добуток числа 3 і суми чисел а та с; б) потроєний добуток чисел b і с; в) різницю числа а і квадрата числа с. 129. а) Різницю чисел b і 9; б) добуток чисел 3 і -а; в) квадрат числа х; г) півсуму чисел m і n; д) добуток різниці чисел 3 та с і числа 5; е) подвоєну частку чисел а і с. Знайдіть значення виразу: 130. а) 7b - 3, якщо b = -9; б) 0,11 - 4c2 , якщо c = 0,2; в) 3а + b, якщо а = -3; b = 8; г) аb - 4c, якщо а = -0,4; b = 7; c = 0,12. 131. а) , якщо а = 4; б) , якщо х = -3. 132. а) -2а + 5,2, якщо а = -3; б) (1 - 4s)2 , якщо s = 2; в) 12(3у - 5), якщо y = 1,5; г) x - 2y, якщо х = 11; y = -5,5; д) 3(а + b) - 2c, якщо а = 3,2; b = -7,7; c = 2,5. Заповніть таблицю: 133. 134. а -4 -1 0 0,5 2 3 4 - 3а х -5 -3 0 1 1,5 2,5 2х - 3

34. 34. 36 §2. Цілі вирази 135. 136. 137. Швидкість автомобіля дорівнює 75 км/год. Запишіть у вигляді виразу шлях, який автомобіль проїде за t год. 138. На склад завезли n мішків борошна по 50 кг у кожному. Запишіть у ви- гляді виразу масу всього завезеного борошна. Знайдіть значення цього виразу, якщо n = 48. 139. Робітник за день виготовляє 32 деталі. Запишіть у вигляді виразу кіль- кість деталей, які робітник виготовить за k днів. Знайдіть значення цьо- го виразу, якщо k = 5. 140. З ділянки, площа якої дорівнює а га, господарство зібрало по 38 ц пшениці з гектара, а з ділянки, площа якої дорівнює b га, - по 42 ц. Запишіть у вигляді виразу масу пшениці, зібраної господарством з обох ділянок. 141. Майстерня закупила 50 м тканини по а грн. за метр і 30 м тканини по b грн. за метр. Запишіть у вигляді виразу вартість усієї тканини. Знайдіть значення виразу: 142. а) якщо a = 16,17; b = б) якщо m = n = 143. а) якщо х = у = б) якщо а = b = 2. 144. За формулою S = vt знайдіть шлях (у кілометрах), якщо: а) v = 75 км/год; t = 0,6 год; б) v = 75 км/год; t = 20 хв; в) v = 20 м/с; t = 2 год; г) v = 900 м/хв; t = 25 с. х 5 7 1 -2 -4 10 у 2 -1 0 3 -0,5 -1 х - 2y b -2 0 0,5 1 3 3,5

35. 35. 5. Вирази зі змінними. Цілі вирази 37 145. За формулою S = vt знайдіть шлях (у метрах), якщо: а) v = 8 м/с; t = 5 хв; б) v = 15 км/год; t = 6 хв. 146. Для яких значень х значення виразу 2х + 5 дорівнює 10? 147. Для яких значень х значення виразу 4 - 2х дорівнює 18? 148. Для яких значень х значення виразів 3х - 12 і -4 - х дорівнюють одне одному? 149. Відомо, що для деяких значень х та y значення виразу хy дорівнює 0,4. Якого значення для тих самих значень х та y набуває вираз: а) 10хy; б) 0,1хy; в) г) ? 150. Запишіть формулу цілих чисел, які при діленні на 4 дають в остачі 1. 151. Запишіть формулу цілих чисел, які при діленні на 5 дають в остачі 2. Запишіть у вигляді виразу число, яке має: 152. а) а десятків і b одиниць; б) а сотень і с одиниць; в) а сотень, 7 десятків і b одиниць; г) а тисяч, b сотень і а одиниць. 153. а) а сотень і b десятків; б) 5 сотень, а десятків і b одиниць. 154. Запишіть у вигляді виразу площу поверхні прямокутного паралелепіпе- да з вимірами а см, b см, c см. 155. Запишіть у вигляді виразу площу поверхні куба з ребром а см. Рис. 2 Рис. 3 156. Запишіть у вигляді виразу площу фігури, зображеної на рисунку 2. 157. Запишіть у вигляді виразу площу фігури, зображеної на рисунку 3. 158. На ділянці росло n кущів смородини. З цієї ділянки k кущів пересадили на іншу ділянку, а на ній посадили 30 нових кущів. Скільки кущів смо- родини стало на ділянці? Запишіть результат у вигляді виразу і знайдіть його значення, якщо n = 83, k = 45. 159. Оксана купила n олівців по 25 к. і 4 зошити по а к., заплативши за зоши- ти більше, ніж за олівці. На скільки більше заплатила Оксана за зошити, ніж за олівці? Запишіть результат у вигляді виразу і знайдіть його зна- чення, якщо n = 3, а = 65.

36. 36. 38 §2. Цілі вирази 160. Із двох міст одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі й зустрілися через 2 год. Один рухався зі швидкістю 80 км/год, а інший - зі швидкістю v км/год. Запишіть у вигляді виразу відстань між містами. 161. Число d є добутком перших n натуральних чисел: d = 1 · 2 · 3 · ... · n. Знайдіть d, якщо n = 5; n = 7. Скількома нулями закінчується запис чис- ла d, якщо n = 10; n = 100? 162. Знайдіть найменше значення виразу: х2 + 5; |х| - 3. 163. Знайдіть найбільше значення виразу: 1 - х2 ; 3 - |х|. 164. Запишіть формулу цілих чисел, які при діленні на 9 дають в остачі 2. Знайдіть кількість таких чисел у межах від 100 до 300. 165. Запишіть формулу цілих чисел, які при діленні на 2 дають в остачі 1, а при діленні на 3 дають в остачі 2. 166. Кавові зерна при смаженні втрачають 12% своєї маси. а) Скільки кілограмів смажених зерен вийде із 20 кг свіжих? б) Скільки кілограмів свіжих зерен слід узяти, щоб отримати 22 кг сма- жених? Обчисліть раціональним способом: 167. а) 0,25 · (-11) · 4; б) 9 · 1,25 · (-8); в) -12,5 · 2,5 · (-8) · 4; г) д) 24 · 8 - 28 · 24; е) 7 · 35 - 26 · 7 + 11 · 7; є) ж) з) 168. а) 34 · 23 + 3 · 23 - 37 · 33; б) 5,4 · 16 - 22 · 5,4 + 6 · 6,4. 169. Зведіть подібні доданки: а) 2х + 6х - 4х + х; б) 4a + 9b + 2b - 5a; в) 3a - 7 + 5a - 10a. 170. Розкрийте дужки: а) 4(a + 2b); б) (a + b - c) · 3; в) 5(a - 1) - (b - c). 171. Візьміть у дужки два останніх доданки, поставивши перед дужками знак "+"; знак "-": a) 2х + у - 3 ; б) а - 3b + 4; в) m + n - 7 - mn.

37. 37. 6. Тотожно рівні вирази. Тотожності 39 1. Тотожно рівні вирази. Знайдемо значення виразів 5a - 5b і 5(a - b), якщо a = 4, b = 2: 5a - 5b = 5 · 4 - 5 · 2 = 20 - 10 = 10; 5(a - b) = 5 · (4 - 2) = 5 · 2 = 10. Значення цих виразів для даних значень змінних дорівнюють одне одному (кажуть: якщо a = 4, b = 2, то відповідні значення виразів дорівнюють одне одному). З розподільної властивості множення щодо віднімання випли- ває, що й для будь-яких інших значень змінних відповідні значення виразів 5a - 5b і 5(a - b) теж дорівнюють одне одному. Такі вирази називають то- тожно рівними. Розглянемо тепер вирази 5a + b і a + 5b. Якщо a = 1 і b = 1, то відповідні значення цих виразів дорівнюють одне одному: 5a + b = 5 · 1 + 1 = 6; a + 5b = 1 + 5 · 1 = 6. Якщо ж a = 2, b = 1, то відповідні значення цих виразів різні: 5a + b = 5 · 2 + 1 = 11; a + 5b = 2 + 5 · 1 = 7. Отже, значення виразів 5a + b і a + 5b для одних значень змінних дорів- нюють одне одному, а для інших - ні. Такі вирази не є тотожно рівними. 2. Тотожності. Якщо два тотожно рівні вирази 5a - 5b і 5(a - b) сполу- чити знаком "=", то одержимо рівність 5a - 5b = 5(a - b), яка є правильною для будь-яких значень змінних. Таку рівність називають тотожністю. Прикладами тотожностей є рівності, які виражають основні властивості додавання і множення чисел: Тотожностями є також рівності, які виражають правила розкриття дужок: Тотожностями є й такі рівності: Означення Два вирази називають тотожно рівними, якщо для будь- яких значень змінних відповідні значення цих виразів до- рівнюють одне одному. Означення Рівність, яка є правильною для всіх значень змінних, на- зивають тотожністю. переставна властивість: a + b = b + a; ab = ba; сполучна властивість: (a + b) + с = a + (b + c); (ab)с = a(bc); розподільна властивість: a(b + с) = ab + ac. a + (b + с) = a + b + c, a - (b + с) = a - b - c, a - (b - с) = a - b + c. a - b = a + (- b), a · (- b) = -ab, (-a) · (- b) = ab; a + 0 = a, a + (-a) = 0, a · 0 = 0, a · 1 = a.

38. 38. 40 §2. Цілі вирази 3. Тотожні перетворення виразів. У виразі 4a + 3а - 1 зведемо подібні доданки 4a і 3а: 4a + 3а - 1 = (4 + 3)а - 1 = 7a - 1. Вираз 4a + 3а - 1 замінили тотожно рівним йому виразом 7a - 1. Заміну одного виразу тотожно рівним йому виразом називають то- тожним перетворенням виразу. У математиці часто доводиться спрощувати вираз, тобто замінювати його тотожно рівним виразом, який має коротший запис або, як кажуть, є "більш компактним". Розглянемо приклади. Приклад 1. Спростити вираз 7a + 23 + 2(-4a + 1). ● 7a + 23 + 2(-4a + 1) = 7a + 23 - 8a + 2 = -a + 25. ● Приклад 2. Спростити вираз а + (2а - 3b) - (2 - 4b). ● а + (2а - 3b) - (2 - 4b) = а + 2а - - 2 + = 3a + b - 2. ● Тотожні перетворення використовують і для доведення тотожностей. Розглянемо приклади. Приклад 3. Довести тотожність а - 3 - (4а + 7) = -3а - 10. ● Перетворюватимемо ліву частину рівності: а - 3 - (4а + 7) = а - 3 - 4а - 7 = -3а - 10. Шляхом тотожних перетворень ліву частину рівності звели до правої частини. Тому ця рівність є тотожністю. ● Приклад 4. Довести тотожність 15 = (27 - 5а) - (12 - 3а - 2а). ● Перетворюватимемо праву частину рівності: (27 - 5а) - (12 - 3а - 2а) = 27 - 5а - 12 + 3а + 2а = 15. Шляхом тотожних перетворень праву частину рівності звели до лівої частини. Тому ця рівність є тотожністю. ● Приклад 5. Довести тотожність 2с + 3 - 2(3 - 2с) = 3(2с - 3) + 6. ● Перетворюватимемо ліву і праву частини рівності: 2с + 3 - 2(3 - 2с) = 2с + 3 - 6 + 4с = 6с - 3; 3(2с - 3) + 6 = 6с - 9 + 6 = 6с - 3. Шляхом тотожних перетворень ліву і праву частини рівності звели до одного й того ж виразу 6с - 3. Тому ця рівність є тотожністю. ● Щоб довести тотожність, можна використати один з таких способів: 1) ліву частину тотожності шляхом тотожних перетворень звести до правої частини; 2) праву частину звести до лівої частини; 3) обидві частини звести до одного й того ж виразу; 4) утворити різницю лівої та правої частин і довести, що вона дорівнює нулю.

39. 39. 6. Тотожно рівні вирази. Тотожності 41 Приклад 6. Довести тотожність 3х - 2(2х - 3у) = 2х + 3(2у - х). ● Утворимо різницю лівої та правої частин і спростимо її: 3х - 2(2х - 3у) - (2х + 3(2у - х)) = 3х - 2(2х - 3у) - 2х - 3(2у - х) = = = 0. Різниця лівої і правої частин рівності дорівнює нулю, тому дана рівність є тотожністю. ● 172. Чи є тотожно рівними вирази: а) 5 + 6х і 6х + 5; б) а · 5b і 5ab; в) а - b і b - a? Відповіді обґрунтуйте. 173. Чи є тотожністю рівність: а) аb + 2 = 2 + ab; б) а - 1 = -1 + а; в) 2(а - 3) = 2а - 3? Відповіді обґрунтуйте. 174. Назвіть кілька виразів, які тотожно рівні виразу х + 4х. 175. Поясніть, на основі яких правил та яких властивостей дій здійснено такі тотожні перетворення: -2b - (а - 3b) + 5a = -2b - а + 3b + 5a = -2b + 3b - а + 5a = = (-2 + 3) · b + (-1 + 5) · a = b + 4а. 176. Спростіть вираз: а) -7 + 4а - 3а; б) 4а · 5b; в) 5х + (2 - х). Зведіть подібні доданки: 177. а) 7а - 3а + 6; б) -4 + 3z - 8z; в) 4b - 7 + 9; г) 6,5b - 7a + 5a; д) -7,2x + 8y - 5x - 5y; е) m - 3n + 1,6n + 2n. 178. а) 5а - 6 + 3a; б) -3b + 4b - 2b; в) 2c - 1 + 6c - 6; г) 1,5a - 2,5b + 3,5a; д) -2x + 3y - 6x - 5y; е) 3b - a + 0,6a + 1,2a. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки: 179. а) 5(8a + 9) + (4a - 5); б) 2(5b - 3a) - (1,5b - 2a); в) -4(1,2x + 1,5y) + 4(1,2х + 1); г) 2(2х - 4y) -3(2х + 5y + 2). 180. а) 3(4х - 2z) - (5z + 10x); б) -3(3a + 1) - 5(a - 3b). Спростіть вираз і знайдіть його значення: 181. а) 0,7(a - 10) + a - 5, якщо а = 3; б) -2,5b - (11 - 1,5b) + b, якщо b = 0,2; в) 2x - 3(1 - y) + 4y, якщо x = -2; y = 5.

# data[].attributes.attachment_link.description
Published on 1. ВАСИЛЬ КРАВЧУК, ГАЛИНА ЯНЧЕНКО АЛГЕБРА Підручник для 7 класу Тернопіль Видавництво "Підручники і посібники" 2007 2. УДК 51 ББК 22.1я721 К 77 Редактори Ярослав Гап'юк, Ярослав Гринчишин, Сергій Мартинюк Літературне редагування Людмили Олійник Художнє оформлення Олени Соколюк, Світлани Демчак Макет Андрія Кравчука Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (лист №1/11-2153 від 28.04.2007 року) УДК 51 ББК 22.1я721 ISBN 978-966-07-0846-4 © Кравчук В., Янченко Г., 2007 Кравчук Василь, Янченко Галина К 77 Алгебра: Підручник для 7 класу.

# data[].attributes.headline
книжка з геометрії

# data[].attributes.subject
книжка з геометрії

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Published on

1. 1. О.С. Істер О.С.ІстерГЕОМЕТРІЯ2007 Цей підручник є основною складовою навчального комплекту з геометрії для 7 класу Автор О.С. Істер До комплекту входять: підручник посібник "Тематичне оцінювання знань з геометрії". Підручник відзначається високим науково-методичним і дидактичним рівнем викладу навчального матеріалу. Завдяки оригінальній структурі підручника, вправам, які подано "із запасом", можна розподіляти навчальні години та добирати завдання залежно від поставленої мети навчан- ня та рівня підготовленості учнів. Завдання посібника сприяють кращому засвоєнню знань та їх перевірці. Авторська методика проведення тематичного оцінювання передбачає тематичні контрольні роботи та дає змогу швидко й ефективно здійснювати корекцію знань. 7

2. 2. О. С. ІстерО. С. Істер 1 ПІДРУЧНИК ДЛЯ 7 КЛАСУ ЗАГАЛЬНООСВІТНІХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДІВ Рекомендовано Міністерством освіти і науки України КИЇВ "ОСВІТА" 2007

3. 3. ББК 22.151я721 І 89 Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (Рішення колегії Міністерства освіти і науки України, Протокол № 5/1-19 від 12.04.07, Лист № 1/11-2183 від 28.04.07) Права авторів та видавничі права ДСВ "Освіта" захищені Законом України "Про авторське право і суміжні права" від 23.12.1993 р. (зі змінами від 11.07.2001 р.). Друковане копіювання книги або її частини, будь які інші контрафактні ви дання тягнуть за собою відповідальність згідно зі ст. 52 цього Закону. Істер О. С. Геометрія: Підруч. для 7 кл. загальноосвіт. навч. закл.- К.: Освіта, 2007.- 159 с. ISBN 978 966 04 0678 0. ББК 22.151я721 ISBN 978 966 04 0678 0 2 © О. С. Істер, 2007 © Художнє оформлення. Видавництво "Освіта", 2007 І 89

4. 4. Юнi друзi! Ви починаєте вивчати одну з найдавніших і найцікавіших наук - геометрію. У перекладі з грецької слово геометрія означає землемірство (гео - земля, метрео - міряти). Ще давні єгиптяни та греки близько 3000 років тому вміли ви конувати різні вимірювальні роботи, необхідні для розмітки ділянок, спорудження будівель, прокладання доріг тощо. У процесі практичної діяльності землемірів, будівельників, астрономів, мореплавців, художників поступово складалися правила геометричних вимірювань, побудов та обчислень. Отже, геометрія виникла на основі практичної діяльності людей. Спочатку вона використовувалася суто практично, але в подальшому сформувалася як самостійна математична наука. Оволодіти матеріалом курсу вам допоможе цей підручник. Він складається з чотирьох розділів, що містять 27 параграфів. Під час вивчення теоретичного матеріалу зверніть увагу на текст, надрукований жирним шрифтом. Його треба запам'ятати. У підручнику ви побачите умовні позначення. Ось що вони означають: - важливі геометричні твердження (означення, аксіоми, властивості); - запитання до теоретичного матеріалу, на які необхідно дати відповідь після його вивчення; - вправи для повторення; - "ключова" задача, висновки якої використовуються під час розв'язування інших задач; 2 - задача для розв'язування у класі; 3 - задача для розв'язування вдома. Усі вправи мають позначення залежно від рівня навчаль них досягнень, якому вони відповідають: - вправа початкового рівня; - вправа середнього рівня; - вправа достатнього рівня; - вправа високого рівня; * - вправа підвищеної складності. Перевірити свої знання та підготуватися до тематичного оцінювання ви зможете, якщо виконаєте "Завдання для перевір ки знань". Після кожного розділу наведено вправи для його пов торення, а в кінці підручника - "Завдання для перевірки знань за курс геометрії 7 класу" та "Задачі підвищеної складності". 3

5. 5. Шановні вчителі! Матеріал підручника розбито на уроки, що, на думку автора, полегшує роботу з ним. Водночас ав тор не виключає можливості, що ви дещо інакше розподілите навчальні години. Кількість вправ у більшості уроків подано "із запасом", тож обирайте їх для виконання на уроках та як домашні завдання залежно від поставленої мети, рівня підготовле ності учнів, ступеня індивідуалізації навчання тощо. Більшість параграфів складається з кількох уроків. Отже, темою кожного уроку, що входить до параграфа, є назва (або частина назви) параграфа. Шановні батьки! Якщо ваша дитина пропустить один чи кілька уроків у школі, підручник чітко вас зорієнтує - матеріал якого уроку (чи уроків) треба опрацювати вдома, які вправи розв'язати. Крім того, ви можете запропонувати дитині до датково розв'язати вдома вправи, які не були розв'язані на уроці. Це сприятиме кращому за своєнню навчального матеріалу. Кожна тема закінчується тематичним оціню ванням. Перед його проведенням запропонуйте ди тині розв'язати "Завдання для перевірки знань", подані в підручнику. Це допоможе їй пригадати ос новні типи вправ та підготуватися до тематичного оцінювання. Автор 4

6. 6. § 1. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ. ТОЧКА, ПРЯМА, ПРОМІНЬ З уроків математики вам уже відомі деякі геометричні фігури: точка, пряма, відрізок, промінь, кут (мал. 1), трикут ник, прямокутник, коло (мал. 2). На уроках геометрії ви розширите й поглибите знання про ці фігури, ознайомитеся з новими важливими фігурами та їх властивостями. Геометрія - це наука про властивості геометричних фігур. Найпростішою геометричною фігурою є точка. З точок складаються всі інші геометричні фігури. Отже, будь яка множина точок є геометричною фігурою. Частина геометричної фігури теж є геометричною фігурою. Геометричною фігурою є й об'єднання кількох геометричних фігур. На малюнку 3 фігура складається з прямокутника та двох трикутників. Однією з основних геометричних фігур є площина. Уявлен ня про частину площини дає поверхня стола, шибки, стелі 5 Урок 1 Мал. 1 Мал. 2

7. 7. тощо. Площину в геометрії вважають рівною та необмеженою; вона не має краю та не має товщини. У 7-9 класах ви вивча тимете частину шкільного курсу геометрії, яка називається планіметрією. Планіметрія вивчає властивості фігур на площині. Основними геометричними фігурами на площині є точка і пряма. Прямі можна проводити за допомогою лінійки (мал. 4). При цьому зображуємо частину прямої, а всю пряму уявляємо нескінченною в обидва боки. Прямі найчастіше позначають малими латинськими буквами a, b, c, d, ..., а точки - великими латинськими буквами A, B, C, D... На малюнку 5 зображено пряму a і точки A, B, C. Точ ки A і B лежать на прямій a; говорять також, що точки A і B належать прямій a, або, що пряма a проходить через точки A і B. Точка С не лежить на прямій a; інакше кажучи, точка C не належить прямій a, або пряма a не проходить через точку C. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй. Для зручності замість слів "точка A належить прямій a" ко ристуються записом A ∈ a, а замість слів "точка C не належить прямій a" - записом C ∉ a. Зауважимо, що через точки A і B не можна провести іншу пряму, яка не збігається з прямою a. Через будь які дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну. Тут і далі, говорячи про "дві точки", "дві прямі" вважати мемо, що ці точки, прямі - різні. Пряму, на якій позначено дві точки, наприклад A і B, мож на записати двома буквами: AB або BA. На малюнку 5 точка C не належить прямій AB (це записують так C ∉ AB), говорять та кож, що точки A, B і C не лежать на одній прямій. Точки M, K і P лежать на одній прямій (мал. 6), причому точка K лежить між точками M і P. 6 Мал. 3 Мал. 4 Мал. 5

8. 8. З трьох точок на прямій одна, і тільки одна, лежить між двома іншими. Якщо дві прямі мають спільну точку, то кажуть, що вони перетинаються в цій точці. На малюнку 7 прямі a і b перети наються в точці T, а прямі m і n не перетинаються. Проведемо пряму та позначимо на ній точку A (мал. 8). Ця точка ділить пряму на дві частини, кожну з яких разом з точ кою A називають променем, що виходить з точки A. Точка A називається початком кожного з променів. Промені познача ють двома великими латинськими буквами, перша з яких оз начає початок променя, а друга - деяку точку на промені (на приклад, промінь OK на малюнку 9). Два промені, що мають спільний початок та доповнюють один одного до прямої, називають доповняльними. На малюн ку 10 промінь BC є доповняльним для променя BD, і навпаки, промінь BD є доповняльним для променя BC. Історичні відомості Перші відомості про властивості геомет ричних фігур люди діставали з практичної діяльності та спостережень за навколишнім світом. Перший твір, що містить найпростіші геометричні відомості про знаходження площ деяких фігур та об'ємів тіл, дійшов до нас із Стародавнього Єгипту. Він датується XVII ст. до н. д. Описані у цьому творі правила обчис лення площ та об'ємів були отримані з практи ки. Ніяких логічних доведень їх справедливості не наводилося. Самі ж значення площ та об'ємів, обчислені за такими правилами, були приблизними. 7 Мал. 6 Мал. 7 Мал. 8 Мал. 9 Мал. 10 Фалес (бл. 625-548 до н. д.)

9. 9. Становлення геометрії як математичної науки відбулося пізніше у Стародавній Греції. Грецькі геометри Фалес, Піфагор, Демо кріт (бл. 460-370 до н. д.) та інші збагатили науку численними теоремами. Також ці вчені зробили кроки до строгого обґрунтування геометричних фактів та теорем. Що вивчає геометрія? * Наведіть приклади геометричних фігур. * Назвіть основні геометричні фігури на площині. * Як позначають прямі та очки? * Скільки прямих можна про вести через дві точки? * Що таке промінь? * Як позначають промені? * Які промені називають доповняльними? 1 . Назвіть на малюнку 11: 1) точки, що належать прямій a; 2) точки, що належать прямій b; 3) точку, що належить і прямій a, і прямій b; 4) точки, що належать прямій a і не належать прямій b; 5) точки, що не належать ні прямій a, ні прямій b. 2 . Позначте в зошиті точки M і N і проведіть через них пря му. Назвіть цю пряму. Позначте точку K, що належить по будованій прямій, та точку L, яка їй не належить. Зробіть відповідні записи. 3 . Проведіть пряму a. Позначте дві точки, що належать цій прямій, і дві точки, які їй не належать. Назвіть точки та запишіть взаємне розміщення прямої і точок, використо вуючи символи ∈ і ∉. 4 . На малюнку 12 прямі MN та KL перетинає пряма AB в точ ках C і D. Запишіть: 1) усі промені з початком у точці C; 2) пари доповняльних променів, початок яких - точ ка D. 5 . 1) Запишіть усі промені, зобра жені на малюнку 13. 2) Чи є серед записаних променів пари доповняльних променів? 6 . Позначте в зошиті точки M, N, F так, щоб через них можна було провести пряму. Запишіть усі мож ливі назви цієї прямої. 8 Мал. 11 Піфагор (бл. 580-500 до н. д.)

10. 10. 7 . Позначте в зошиті точки B, C і D так, щоб записи CD і CB позначали одну й ту саму пряму. Як ще можна назвати цю пряму? 8 . Використовуючи малюнок 14: 1) визначте, чи перетинаються прямі m і CB; 2) запишіть усі точки, які належать прямій m; 3) запишіть усі точки, які належать прямій BC; 4) запишіть точки, які не належать ні прямій m, ні пря мій BC. 9 . Позначте в зошиті чотири точки D, E, F, P (мал. 15). 1) Через кожні дві точки проведіть пряму. Запишіть усі ут ворені прямі. 2) Скільки всього прямих утворилося? 3) На скільки частин розбивають ці прямі площину? 10 . Точка A ділить пряму m на два промені. За якої умови точ ки B і C цієї прямої належать одному променю; різним променям? 9 Мал. 12 Мал. 13 Мал. 14 Мал. 15

11. 11. § 2. ВІДРІЗОК. ВИМІРЮВАННЯ ВІДРІЗКІВ. ВІДСТАНЬ МІЖ ДВОМА ТОЧКАМИ Відрізком називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома її точками, ра зом з цими точками. Ці точки називають кінцями відрізка. На малюнку 16 зображено відрізок AB; точки A і B - його кінці. На малюнку 17 точка M належить відрізку CD, а точка P йому не належить. На малюнку 18 відрізки KL і FN мають єдину спільну точ ку O. Кажуть, що відрізки KL і FN перетинаються в точці O. На практиці часто доводиться вимірювати відрізки, тобто знаходити їх довжини. Для цього необхідно мати одиничний відрізок (одиницю вимірювання). Одиницями вимірювання довжини є 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км. Для вимірювання відрізків використовують різні вимі рювальні інструменти. Одним з таких інструментів є лінійка з поділками. На малюнку 19 довжина відрізка AB дорівнює 3 см, а на малюнку 20 довжина відрізка CD - 1 см 5 мм, або 1,5 см, або 15 мм. Записують це так: AB = 3 см, CD = = 1,5 см = 15 мм. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Іншими інструментами, якими можна вимірювати довжи ни відрізків, є складаний метр (мал. 21), рулетка (мал. 22), клейончастий сантиметр (мал. 23). 10 Урок 2 Мал. 16 Мал. 17 Мал. 18 Мал. 19 Мал. 20

12. 12. На малюнку 24 зображено відрізок AB. Точка C ділить його на два відрізки: AC і CB. Бачимо, що AC = 4 см, CB = 1 см, AB = 5 см. Таким чином, AC + CB = AB. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь якою його точкою. Довжину відрізка називають також відстанню між його кінцями. На малюнку 24 відстань між точками A і C дорівнює 4 см. Два відрізки називають рівними, якщо рівні їх довжини. З двох відрізків більшим вважають той, довжина якого більша. На малюнку 25 довжина відрізка MN дорівнює дов жині відрізка AB, тому ці відрізки рівні. Можна записати: MN = AB. На цьому ж малюнку довжина відрізка MN більша за довжину відрізка PL. Кажуть, що відрізок MN більший за відрізок PL, записують так: MN > PL. На малюнках рівні відрізки прийнято позначати однаковою кількістю рисочок, а нерівні - різною кількістю рисочок. Точку відрізка, яка ділить його навпіл, тобто на два рівні відрізки, називають серединою відрізка. 11 Мал. 23 Мал. 21 Мал. 24 Мал. 25 Мал. 22

13. 13. На малюнку 26 AC = 2 см, CB = 2 см, тому С - середина відрізка AB. Що називають відрізком? * Що таке кінці відрізка? * Які вам відомі одиниці вимірювання довжини? * Яки ми інструментами вимірюють відрізки? * Що називають відстанню між двома точками? * Які відрізки називають рівними? * Яку точку називають серединою відрізка? 11 . Назвіть усі відрізки, зображені на малюнку 27. Виміряй те довжини деяких двох із них. 12 . Запишіть всі відрізки, зображені на малюнку 28, та виміряйте довжини двох із них. 13 . Позначте у зошиті точки C і D та знайдіть відстань між ними. 14 . Накресліть відрізки AB та MN так, щоб AB = 7 см 2 мм, MN = 6 см 3 мм. Порівняйте відрізки AB і MN. 15 . Накресліть відрізки KL та FP так, щоб KL = 5 см 9 мм, FP = 6 см 8 мм. Порівняйте відрізки KL і FP. 16 . Точка C лежить між точками A і B (мал. 29). Знайдіть: 1) AB, якщо AC = 5 см, CB = 2 см; 2) BC, якщо AB = 12 дм, AC = 9 дм. 17 . Точка K лежить між точками P і Q (мал. 30). Знайдіть: 1) PQ, якщо PK = 3 дм, KQ = 7 дм; 2) PK, якщо PQ = 8 cм, KQ = 6 cм. 18 . Які з точок, позначених на малюнку 31, лежать між дво ма іншими? Запишіть відповідні рівності. 12 Мал. 26 Мал. 27 Мал. 28 Мал. 29 Мал. 30 Мал. 31

14. 14. 19 . На прямій позначено точки P, L і M, причому PL = 42 мм, PM = 3 см 2 мм, LM = 74 мм. Яка з точок лежить між дво ма іншими? Відповідь обґрунтуйте. 20 . Чи можуть точки A, B і C лежати на одній прямій, якщо AB = 5 см, BC = 6 см, AC = 9 см? 21 . Точка C належить відрізку AB, довжина якого 7,6 дм. Визначте довжини відрізків AC і BC, якщо AC менший за BC у 3 рази. 22 . Точка M належить відрізку CD, довжина якого 8,4 см. Визначте довжини відрізків CM і DM, якщо CM більший за DM на 0,6 см. 23 . Точки C, D і M лежать на одній прямій. Знайдіть відстань між точками C і D, якщо відстань між точками C і M дорівнює 5,2 см, а відстань між точками D і M - 4,9 см. Скільки розв'язків має задача? § 3. КУТ. ВИМІРЮВАННЯ КУТІВ. БІСЕКТРИСА КУТА Кут - це геометрична фігура, яка складається з точки і двох променів, що виходять з цієї точки. Промені називаються сторонами кута, а їх спільний по чаток - вершиною кута. На малюнку 32 зображено кут з вершиною O і сторонами OA і OB. Такий кут можна назвати по різному: кутом O, або ку том AOB, або кутом BOA. У другому та третьому варіанті назви кута буква О, що позначає його вершину, ставиться посередині. Слово "кут" можна замінити знаком ∠, записавши кут так: ∠O, або ∠AOB, або ∠BOA. Розгорнутий кут - це кут, сторони якого є доповняльни ми променями (мал. 33). Будь який кут розділяє площину на дві частини. Якщо кут не є розгорнутим, то одну з частин називають внутрішньою, а 13 Урок 3 Мал. 32 Мал. 33

15. 15. другу - зовнішньою областю цього кута (мал. 34). На малюн ку 35 точки A, B і C належать внутрішній області кута (лежать всередині кута), точки M і N належать сторонам кута, а точки P і Q належать зовнішній області кута (лежать поза кутом). Якщо кут є розгорнутим (дорівнює 180°), то будь яку з двох частин, на які він розділяє площину, можна вважати внутрішньою областю кута. За одиницю вимірювання кутів приймають градус - кут, який становить розгорнутого кута. Позначають градус знаком °. Для вимірювання кутів ви користовують транспортир (мал. 36). На малюнку 37 градусна міра кута AOB дорівнює 50°, а кута COD - 110°. Коротко кажуть: "кут AOB дорівнює 50°, кут COD дорівнює 110°"; записують так: ∠ AOB = 50°, ∠COD = 110°. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Дуже малі кути вимірюють у мінутах і секундах. Мінута - це частина градуса, секунда - частина мінути. Мінути позначають знаком +, секунди - знаком ++. Отже, 1°= 60+, 1+ = 60++. На місцевості кути вимірюють астролябією (мал. 38). 1 60 1 60 1 180 14 Мал. 34 Мал. 35 Мал. 36 Мал. 37

16. 16. На малюнку 39 промінь OK ви ходить з вершини кута AOB і ле жить у його внутрішній області, тобто промінь OK проходить між сторонами кута AOB. Намалюнку40проміньOMділить кут AOB на два кути: BOM і MOA. Бачимо, що ∠BOM = 40°, ∠MOA = = 80°, ∠AOB = 120°. Таким чином, ∠AOB = ∠BOM + ∠MOA. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь яким променем, що проходить між його сторонами. Два кути називаються рівними, якщо їх градусні міри рівні. З двох кутів більшим вважають той, градусна міра якого більша. На малюнку 41 градусна міра кута M дорівнює 50°, градусна міра кута K також дорівнює 50°. Тому ці кути рівні. Можна записати: ∠M = ∠K. На цьому самому малюнку градус на міра кута P дорівнює 70°, тому кут P більший за кут M. 15 Мал. 38 Мал. 39 Мал. 40 Мал. 41

17. 17. Записують це так: ∠P > ∠M. На малюнках рівні кути прийнято позначати однаковою кількістю дужок, нерівні - різною кіль кістю дужок. Кут називається прямим, якщо його градусна міра дорівнює 90°, гострим - якщо він менший від прямого, тупим - якщо він більший від прямого, але менший від розгорнутого (мал. 42). Прямий кут на малюнках позначають значком q. Бісектрисою кута називають промінь, який виходить з вершини кута, проходить між його сторонами і ділить йо го на два рівних кути. На малюнку 43 промінь OP - бісектриса кута AOB. Яку фігуру називають кутом? * Як позначають кут? * Що таке вершина кута; сторона кута? * Який кут нази вають розгорнутим? * Якими інструментами вимірюють кути? * В яких одиницях вимірюють кути? * Що означає вираз: "Промінь проходить між сторонами кута"? * Які кути назива ють рівними? * Який кут називають прямим; гострим; тупим? * Який промінь називають бісектрисою кута? 24 . Назвітьвершиниістороникутів,зображенихнамалюнку44. 25 . Запишіть вершини і сторони кутів: 1) ∠MOP; 2) ∠BLK. 16 Мал. 42 Мал. 43 Мал. 44

18. 18. 26 . Який з даних кутів гострий, тупий, прямий, розгорнутий: 1) ∠A = 39°; 2) ∠B = 90°; 3) ∠C = 91°; 4) ∠D = 170°; 5) ∠M = 180°; 6) ∠Q = 79°; 7) ∠P = 1°3+; 8) ∠F = 173°12+? 27 . 1) Запишіть всі кути, зображені на малюнку 45. 2) Користуючись транспортиром, знайдіть градусні міри деяких двох кутів (мал. 45) та градусну міру третього ку та за допомогою обчислень. 28 . Користуючись транспортиром, знайдіть градусні міри кутів, зображених на малюнку 44. Визначте вид кожного кута. 29 . Накресліть кут, градусна міра якого дорівнює: 1) 30°; 2) 90°; 3) 115°. 30 . Накресліть кут, градусна міра якого дорівнює: 1) 65°; 2) 110°. 31 . Виконайте дії: 1) 7°13+ + 12°49+; 2) 52°17+ - 45°27+. 32 . 1) Виразіть у мінутах: 4°; 2°15+; 2) Виразіть у секундах: 5+; 2°; 1°3+. 33 . (Усно.) Чи є промінь OK бісектрисою кута AOB (мал. 46-48)? 34 . Накресліть кут, градусна міра якого дорівнює 140°, та проведіть його бісектрису. 35 . Накресліть кут, градусна міра якого дорівнює 50°, та про ведіть його бісектрису. 36 . Промінь OK проходить між сторонами кута BOC. Знай діть градусну міру кута BOC, якщо ∠BOK = 38°, ∠KOC = 42°. Виконайте малюнок. 17 Мал. 45 Урок 4 Мал. 46 Мал. 47 Мал. 48

19. 19. 37 . Промінь PC проходить між сторонами кута APB. Знайдіть градусну міру кута CPB, якщо ∠APB = 108°, ∠APC = 68°. Виконайте малюнок. 38 . Чи проходить промінь BK між сторонами кута ABC, якщо ∠ABC = 52°, ∠ABK = 57°? Відповідь обґрунтуйте. 39 . Знайдіть градусні міри кутів, утворених стрілками годин ника: 1) о 18 год; 2) о 3 год; 3) о 1 год; 4) о 20 год. 40 . Знайдіть градусні міри кутів, утворених стрілками годин ника: 1) о 21 год; 2) о 6 год; 3) о 19 год; 4) о 2 год. 41 . Промінь OC ділить кут AOB на два кути. Знайдіть градус ну міру кута COB, якщо ∠AOB = 60°, а кут AOC становить кута AOB. 42 . Промінь AB ділить кут MAK на два кути. Знайдіть градус ну міру кута MAK, якщо ∠MAB = 70°, а кут BAK стано вить 60% кута MAB. 43 . Кут MQB дорівнює 120°. Між сторонами кута проходить промінь QP, такий, що кут PQB у 4 рази менший за кут MQP. Знайдіть кути PQB і MQP. 44 . Промінь AC проходить між сторонами кута MAN, який дорівнює 86°. Знайдіть кути MAC і CAN, якщо кут MAC більший за кут CAN на 14°. 45 . Розгорнутий кут AOB поділено променями OK і OL на три частини. ∠AOK = 140°; ∠BOL = 100°. Знайдіть градусну міру кута LOK. Вправи для повторення розділу І 46 . (Мал. 49.) 1) Яка точка є точкою перетину прямих a і b? 2) Які точки належать прямій c? 3) Чи належить точка M прямій PL? 47 . Побудуйте промені OK, OM і ON так, щоб промінь OM був допо вняльним для променя ON. 48 . Побудуйте точки A, B і C так, щоб записи AB і AC позначали дві різні прямі. 2 3 18 До § 1 Мал. 49

20. 20. 49 . Одна з двох прямих, що перетинаються, проходить через точку M, що належить другій прямій. Що можна сказати про точку M і про точку перетину даних прямих? 50 . Точки A і B належать прямій l. Пряма m відмінна від пря мої l і проходить через точку A. Чи може точка B належа ти прямій l? Відповідь обґрунтуйте. 51 . Позначте у зошиті точки A, B і C та знайдіть відстані між кожною парою точок. 52 . Накресліть відрізок KL, довжина якого 6 см 8 мм. По значте на ньому точку P так, що KP = 43 мм. Знайдіть довжину відрізка LP за допомогою обчислень. 53 . Сумою яких двох відрізків є відрізок MN (мал. 50)? За пишіть усі можливі варіанти. 54 . Відрізок AB перетинають три прямі. На скільки частин вони можуть поділити відрізок? 55 . Точка C - середина відрізка AB, точка D - середина відрізка AC. Знайдіть: 1) AC, CB, AD і DB, якщо AB = 20 см; 2) AB, AC, AD і DB, якщо BC = 12 дм. 56 . Точки M і N належать відрізку CD. CD = 15 см, CM = 12 см, DN = 11 см. Знайдіть довжину відріз ка NM. 57 . Точка P належить відрізку AB. На прямій AB позначте та ку точку C, що . Скільки розв'язків має задача? 58*. Точка K належить відрізку CD, довжина якого a см. Знайдіть відстань між серединами відрізків CK і KD. 59 . Знайдіть градусні міри кутів, зображених на малюнку 51. 60 . Два учні накреслили кути по 70°. Один з учнів сказав, що у нього кут більший, бо сторони кута довші. Чи правий цей учень? 2 AP BC = 19 До § 2 Мал. 50 До § 3

21. 21. 61 . Випишіть всі можливі назви кута з вершиною A (мал. 52): KAC, BAM, CAM, KMA, BAC, AKM, ABC, MAK, KAM, CAK. 62 . Накресліть один гострий і один тупий кути. Побудуйте бісектриси цих кутів за допомогою транспортира. 63 . 1) На який кут повертається хвилинна стрілка годинника протягом 15 хв; 7 хв; 23 хв? 2) На який кут повертається годинна стрілка годинника протягом 1 хв; 5 хв; 45 хв? 64 . OK - бісектриса кута AOB; OL - бісектриса кута KOB. Знайдіть: 1) ∠KOL, якщо ∠AOB = 120°; 2) ∠AOB, якщо ∠LOB = 37°. 65 . Відомо, що ∠ AOB = ∠ BOC, ∠ COD = ∠ DOE (мал. 53). Знайдіть: 1) ∠BOD, якщо ∠AOE = 140°; 2) ∠AOE, якщо ∠BOD = 73°. 66 . Промінь OM проходить між сторонами кута AOB, який дорівнює 168°. Відомо, що ∠AOM : ∠MOB = 3 : 4. Знай діть кути AOM і MOB. 20 Мал. 51 Мал. 52 Мал. 53

22. 22. § 4. АКСІОМИ, ОЗНАЧЕННЯ, ТЕОРЕМИ Аксіоми геометрії - це твердження про основні властивості найпростіших геометричних фігур, прийняті як вихідні по ложення. У перекладі з грецької слово "аксіома" означає "прийняте положення". Нагадаємо деякі вже відомі вам аксіоми. І. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй. ІІ. Через будь які дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну. ІІІ. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими. IV. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. V. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь якою його точкою. VI. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°. VII. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь яким променем, що проходить між його сторонами. Твердження, в якому пояснюється зміст того чи іншого по няття (назва), називають означенням. Вам уже відомі деякі означення, наприклад означення відрізка, кута, бісектриси кута. Математичне твердження, справедливість якого встанов люється за допомогою міркувань, називають теоремою, саме міркування називають доведенням теореми. Кожна теорема містить умову (те, що дано) і висновок (те, що необхідно довести). Умову теореми прийнято записувати після слова "дано", а висновок - після слова "довести". Дово 21 Урок 5

23. 23. дячи теорему, можна користуватися аксіомами, а також раніше доведеними теоремами. Ніякі інші властивості геометричних фігур (навіть якщо вони здаються нам очевидними) використо вувати не можна. Історичні відомості Давньогрецький учений Евклід у своїй видатній праці "Начала" зібрав і узагальнив багаторічний досвід грецьких учених. Голов ним здобутком Евкліда було те, що він запро понував і розвинув аксіоматичний підхід до побудови курсу геометрії. Цей підхід полягає в тому, що спочатку формулюються основні положення (аксіоми), а потім на основі цих аксіом за допомогою логічних міркувань до водять інші твердження (теореми). Такий підхід до побудови курсу геометрії викорис товують і тепер, формулюючи деякі з аксіом Евкліда у більш сучасному вигляді. Саму геометрію, викладену у "Началах", називають евклідовою геометрією. Значний внесок у подальший розвиток геометрії зробили інші давньогрецькі вчені, зокрема Архімед (бл. 287-212 до н. д.) та Апол лоній (ІІІ ст. до н. д.). Які твердження називають аксіомами? * Наведіть при клади аксіом. * Що таке означення? * Що таке теорема; доведення теореми? § 5. СУМІЖНІ КУТИ Два кути називаються суміжними, якщо одна сторона у них спільна, а дві інші сторони цих кутів є доповняльни ми променями. На малюнку 54 кути AOK і KOB - суміжні, сторона OK у них - спільна, а OA і OB є доповняльними променями. Т е о р е м а (властивість суміжних кутів). Сума суміжних кутів дорівнює 180°. Д о в е д е н н я. Нехай ∠ AOK і ∠ KOB - суміжні кути (мал. 54). Оскільки промені OA і OB утворюють розгорнутий кут, то ∠AOK + ∠KOB = = ∠AOB = 180°. Отже, сума суміжних кутів дорівнює 180°. Теорему дове дено. 22 Мал. 54 Евклід (ІІІ ст. до н. д.)

24. 24. Твердження, які випливають безпосередньо з аксіом чи тео рем, називають наслідками. Н а с л і д о к 1. Кут, суміжний з прямим кутом,- прямий. Н а с л і д о к 2. Кут, суміжний з гострим кутом,- тупий, а суміжний з тупим кутом,- гострий. Задача. Знайти міри суміжних кутів, якщо один з них на 56° більший за другий. Р о з в' я з а н н я. Позначимо градусну міру меншого кута через x, тоді градусна міра більшого кута буде x + 56°. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, то можна склас ти рівняння x + x + 56° = 180°. Розв'язавши його, отримаємо x = 62°. Отже, один із шуканих кутів дорівнює 62°, а другий 62° + 56° = 118°. В і д п о в і д ь. 62° і 118°. Які кути називаються суміжними? * Чому дорівнює сума суміжних кутів? 67 . (Усно.) На яких з малюнків 55-58 кути 1 і 2 є суміжними? 68 . Чи можуть два суміжних кути дорівнювати: 1) 42° і 148°; 2) 90° і 90°; 3) 166° і 14°; 4) 23° і 156°? 69 . Чи можуть два суміжних кути дорівнювати: 1) 13° і 167°; 2) 5° і 165°; 3) 11° і 179°; 4) 91° і 89°? 70 . Знайдіть кут, суміжний з кутом: 1) 15°; 2) 113°. 71 . Знайдіть кут, суміжний з кутом: 1) 127°; 2) 39°. 72 . Накресліть два нерівних суміжних кути так, щоб їх спільна сторона була вертикальною. 73 . Накресліть два нерівних суміжних кути так, щоб їх спільна сторона була горизонтальною. 74 . Якщо суміжні кути рівні, то вони прямі. Доведіть. 75 . Якщо кути рівні, то й суміжні з ними кути рівні. Доведіть. 23 Мал. 55 Мал. 56 Мал. 57 Мал. 58

25. 25. 76 . Накресліть за допомогою транспортира ∠MON = 50°. Побудуйте кут, суміжний з кутом MON зі спільною стороною ON. Обчисліть його градусну міру. 77 . Накресліть за допомогою транспортира ∠APB = 115°. По будуйте кут, суміжний з кутом APB зі спільною стороною AP. Обчисліть його градусну міру. 78 . Промінь, що проходить між сторонами кута, ділить його на кути, що дорівнюють 15° і 72°. Знайдіть градусну міру кута, суміжного з даним. 79 . Бісектриса кута M утворює з його стороною кут, що дорівнює 36°. Знайдіть градусну міру кута, суміжного з кутом M. 80 . Знайдіть суміжні кути, якщо один з них на 18° менший за другий. 81 . Знайдіть суміжні кути, якщо один з них у 3 рази більший за другий. 82 . Знайдіть суміжні кути, якщо один з них становить дру гого. 83 . Дано тупий кут A і гострий кут B, градусні міри яких відносяться, як 4 : 3. Знайдіть градусні міри цих кутів, якщо кут, суміжний з одним із них, дорівнює 80°. 84 . Знайдіть кут між бісектрисами суміжних кутів. 85 . Два кути відносяться, як 1 : 2, а суміжні з ними,- як 7 : 5. Знайдіть ці кути. 86*. Один із суміжних кутів удвічі більший за різницю цих кутів. Знайдіть ці кути. § 6. ВЕРТИКАЛЬНІ КУТИ. КУТ МІЖ ДВОМА ПРЯМИМИ, ЩО ПЕРЕТИНАЮТЬСЯ Два кути називаються вертикальними, якщо сторо ни одного кута є доповняльними променями сторін другого. На малюнку 59 прямі AB і CD перетинаються у точці K. Кути AKC і DKB - вертикальні, кути AKD і CKB теж вер тикальні. Т е о р е м а (властивість вертикальних кутів). Вертикальні кути рівні. 3 7 24 Урок 6 Урок 7

26. 26. Д о в е д е н н я. Нехай AKC і DKB вертикальні кути (мал. 59). Оскільки кути AKC і AKD суміжні, то ∠AKC + ∠AKD = 180°. Також суміжні кути AKD і DKB, тому ∠AKD + ∠DKB = 180°. Маємо: ∠AKC = 180° - ∠AKD і ∠DKB = 180° - ∠AKD. Праві частини цих рівностей рівні, тому рівними є й ліві ча стини. Отже, ∠AKC = ∠DKB. Теорему доведено. Задача. Два з чотирьох кутів, що утворилися при перетині двох прямих, відносяться, як 4 : 5. Знайти градусну міру кож ного з кутів, що утворилися. Р о з в' я з а н н я. Два кути, які утворилися в результаті пе ретину двох прямих, або суміжні, або вертикальні (мал. 60). Оскільки вертикальні кути рівні: ∠ AKD = ∠ CKB, ∠ AKC = ∠ BKD, то кути, про які йде мова у задачі,- це суміжні кути. Наприклад, ∠ AKD і ∠ AKC. Оскільки ∠ AKD : ∠ AKC = 4 : 5, то можемо позначити ∠ AKD = 4x, ∠ AKC = 5x. За властивістю суміжних кутів: 4x + 5x = 180°. Звідси x = 20°. Тоді ∠AKD = 4*20° = 80°, ∠AKC = 5*20° = 100°. Далі: ∠CKB = ∠AKD = 80°, ∠BKD = ∠AKC = 100°. В і д п о в і д ь. 80°; 100°; 80°; 100°. Кутом між прямими, що перетинаються, називають менший з кутів, що утворилися при перетині цих прямих. Наприклад, кут між прямими AB і DC з попередньої задачі дорівнює 80°. Кут між прямими не може перевищувати 90°. Які кути називають вертикальними? * Яку властивість мають вертикальнікути? * Щоназиваютькутомміждвомапрямими? 87 . (Усно.) Назвіть пари вертикальних кутів на малюнку 61. 88 . (Усно.) Чи є вертикальні кути на малюнку 62? 89 . Один з вертикальних кутів дорівнює: 1) 15°; 2) 129°. Знай діть другий кут. 25 Мал. 59 Мал. 60

27. 27. 90 . Один з вертикальних кутів дорівнює: 1) 42°; 2) 139°. Знайдіть другий кут. 91 . Знайдіть усі пари вертикальних кутів на малюнку 63. 92 . Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 40°. Знайдіть інші кути. 93 . На малюнку 64 кут AML дорівнює 120°. Знайдіть кути AMP, PMB і BML. 94 . Прямі AB і PL перетинаються в точці O (мал. 65). ∠POB = 118°. Чому дорівнює кут між прямими AB і PL? 95 . Накресліть дві прямі, які перетинаються, та знайдіть за допомогою транспортира кут між ними. 96 . (Усно.) Учень накреслив дві прямі, які пе ретинаються, та виміряв транспортиром один з утворених кутів. Виявилося, що кут дорівнює 130°. Чи можна стверджувати, що кут між прямими дорівнює 130°? Чому дорівнює кут між прямими? 97 . Накресліть кут MON, що дорівнює 110°. Побудуйте допо вняльні промені OL і OK відповідно до його сторін OM і ON. Знайдіть за допомогою обчислень градусні міри трьох утворених нерозгорнутих кутів. Перевірте обчислення за допомогою вимірювань. 98 . НакреслітькутAOB,щодорівнює30°.Побудуйтедоповняльні промені OP і OD відповідно до його сторін OA і OB. Знайдіть за допомогою обчислень градусні міри трьох утворених нерозгор нутих кутів. Перевірте обчислення за допомогою вимірювань. 26 Мал. 61 Мал. 62 Мал. 63 Урок 8 Мал. 64 Мал. 65

28. 28. 99 . Знайдіть міру кожного з кутів, які утворилися при пере тині двох прямих, якщо: 1) всі кути рівні між собою; 2) сума двох із них дорівнює 178°. 100 . Знайдіть міру кожного з кутів, які утворилися при пере тині двох прямих, якщо: 1) сума двох із них дорівнює 16°; 2) три з чотирьох кутів рівні між собою. 101 . Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо: 1) різниця двох з утворених кутів дорівнює 18°; 2) сума трьох з утворених кутів дорівнює 293°. 102 . Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо один з утворених кутів удвічі менший за другий. 103 . Намалюнку66∠BMC=20°,∠LMP=60°.Знайдітькут AMK. 104 . На малюнку 67 зображено три прямі, які перетинаються в одній точці. Знайдіть суму кутів 1, 2 і 3. 105*. Доведіть, що бісектриси вертикальних кутів є допо вняльними променями одна до одної. § 7. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ПРЯМІ. ПЕРПЕНДИКУЛЯР. ВІДСТАНЬ ВІД ТОЧКИ ДО ПРЯМОЇ Нехай при перетині двох прямих a і b один з утворених кутів дорівнює 90° (кут 1 на мал. 68). Тоді ∠3 = 90° (як вертикальний з кутом 1). Кут 2 є суміжним з кутом 1, тоді ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 90° = 90°. Кут 4 вер тикальний з кутом 2, тому ∠4 = ∠2 = 90°. Отже, якщо один з чотирьох кутів, що утворилися при перетині двох пря мих, дорівнює 90°, то решта цих кутів 27 Мал. 66 Мал. 67 Урок 9 Мал. 68

29. 29. також прямі. В цьому випадку говорять, що прямі пере тинаються під прямим кутом, або що вони перпендику лярні. Дві прямі називають перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом. На малюнку 68 прямі a і b перпендикулярні. Перпенди кулярність прямих можна записати за допомогою знака ⊥. Запис a ⊥ b читаємо так: "пряма a перпендикулярна до пря мої b". Для побудови перпендикулярних прямих використовують креслярський кутник (косинець). На малюнку 69 через точку B, яка не належить прямій a, проведено пряму b, перпен дикулярну до прямої a. На малюнку 70 проведено пряму c, перпендикулярну до прямої a, через точку C, яка нале жить прямій a. В обох випадках побудовано єдину пряму, яка проходить через задану точку і є перпендикулярною до прямої a. Відрізки або промені називають перпендикулярними, як що вони лежать на перпендикулярних прямих. На малюнку 71 відрізок AB перпендикулярний до відрізка CD, на малюнку 72 промінь KL перпендикулярний до відрізка MN, а на малюн ку 73 промінь PQ перпендикулярний до променя OS. Для запису перпендикулярності відрізків променів також використову ють знак ⊥. Перпендикуляром до прямої, проведеним із даної точки, називають відрізок прямої, перпендикулярної до даної, один з кінців якого - дана точка, а другий - точка пе ретину прямих. Довжину цього відрізка називають відстанню від точки до прямої. 28 Мал. 69 Мал. 70

30. 30. На малюнку 74 з точки A прове дено перпендикуляр AB до прямої m. Точку B називають основою перпен дикуляра. Довжина відрізка AB - відстань від точки A до прямої m. Які прямі називають перпен дикулярними? * Як побудувати пряму, перпендикулярну до даної прямої? * Що називають перпендику ляром до прямої, проведеним із даної точки? * Що називають відстанню від точки до прямої? 106 . На яких з малюнків 75-78 зображено перпендикулярні прямі? В разі необхідності використайте косинець. Вико найте відповідні записи. 107 . Накресліть пряму с та позначте точку A, що належить прямій с, та точку B, що цій прямій не належить. Проведіть за допомогою косинця прямі через точки A і B так, щоб кожна з них була перпендикулярна до пря мої c. 108 . Перемалюйте малюнки 79 і 80 у зошит та проведіть для кожного випадку за допомогою косинця пряму b, що проходить через точку B перпендикулярно до пря мої a. 29 Мал. 71 Мал. 72 Мал. 73 Мал. 74 Мал. 75 Мал. 76 Мал. 77 Мал. 78

31. 31. 109 . Накресліть пряму a, позначте точку A, що знаходиться на відстані 2,5 см від прямої a, та точку B, що знаходиться на відстані 4 см від прямої a. 110 . Проведіть пряму m, позначте точку P, що знаходиться на відстані 3 см від прямої m, та точку K, що знаходиться на відстані 1,5 см від прямої m. 111 . Накресліть відрізки AB і CD так, щоб вони були перпен дикулярні і не перетиналися. 112 . Накресліть промені MN і KL так, щоб вони були перпен дикулярні і перетиналися. 113 . (Усно.) Чи правильне означення: "Перпендикуляр до прямої - це будь який відрізок, перпендикулярний до да ної прямої"? Чому? 114 . Прямі AB, CD і MN перетинаються в точці O, причому AB ⊥ CD (мал. 81). Знайдіть: 1) ∠MOD, якщо ∠NOB = 25°; 2) ∠CON, якщо ∠MOB = 150°. 115 . Прямі KL, MN і PF перетинаються в точці O, причому KL ⊥ MN (мал. 82). Знайдіть: 1) ∠KOP, якщо ∠NOF = 140°; 2) ∠KOF, якщо ∠PON = 37°. 116 . Кути ABC і CBM прямі. Доведіть, що точки A, B і M ле жать на одній прямій. 30 Мал. 79 Мал. 80 Мал. 81 Мал. 82

32. 32. 117 . Два суміжних кути, що утво рилися в результаті перетину двох прямих, рівні. Доведіть, що прямі перпендикулярні. 118 . На малюнку 83 ∠ AOB = ∠ COD, ∠BOC = ∠DOE. Доведіть, що OC ⊥ AE і BO ⊥ OD. 119 . Доведіть, що промінь, проведений через вершину кута перпендикулярно до його бісектриси, є бісектрисою кута, суміжного з даним. § 8. ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ Дві прямі на площині називають паралельними, якщо вони не перетинаються. На малюнку 84 прямі a і b паралельні. Паралельність пря мих записують за допомогою знака ||. Запис a || b читають так: "пряма a паралельна прямій b". Для побудови паралельних прямих використовують крес лярський кутник та лінійку. На малюнку 85 через точку B, яка не належить прямій a, проведено пряму b, паралельну прямій a. Здавна істинною вважають таку аксіому, що виражає ос новну властивість паралельних прямих. VIII. Через точку, що не лежить на даній прямій, мож на провести тільки одну пряму, паралельну даній. Цю аксіому називають аксіомою паралельності прямих або аксіомою Евкліда. Саме цей учений перший запропонував її як п'ятий постулат. (Постулат - припущення, вихідне положен ня, яке приймають без доведення; аксіома.) 31 Мал. 83 Урок 10 Мал. 84 Мал. 85

33. 33. Відрізки або промені називаються паралельними, якщо вони лежать на паралельних прямих. На малюнку 86 відрізок AB паралельний відрізку MN, на малюнку 87 відрізок CD па ралельний променю PK, а на малюнку 88 промінь GN пара лельний променю FL. Для запису паралельності відрізків і променів також використовують знак ||. Задача. Довести, що коли пряма перетинає одну з двох па ралельних прямих, то вона перетинає і другу пряму. Д о в е д е н н я. Нехай a і b - пара лельні прямі і пряма c перетинає пря му b у точці K (мал. 89). Припустимо, що пряма c не пере тинає пряму a, тобто є паралельною a. Тоді виходить, що через точку K проходять дві прямі c і b, паралельні a. Це суперечить аксіомі паралельності прямих. Наше припущення неправильне (хибне), тому пряма c перетинає пря му a. Твердження доведено. Зауважимо, що спосіб міркувань, яким ми довели тверд ження попередньої задачі, називається доведенням від супро тивного. Щоб довести, що прямі a і c перетинаються, ми припустили протилежне тому, що треба довести, тобто припус тили, що a і c не перетинаються. Виходячи з цього припущення, у процесі міркувань ми прийшли до суперечності з аксіомою паралельності прямих. Це означає, що наше припущення неправильне і тому с перетинає a. Які прямі називають паралельними? * Якими інструмен тами користуються для побудови паралельних прямих? * Сформулюйте аксіому паралельності прямих. * Поясніть, у чому полягає спосіб доведення від супротивного. 120 . Запишіть з використанням символів: 1) пряма a паралельна прямій m; 2) пряма CD паралельна прямій PK. 32 Мал. 86 Мал. 87 Мал. 88 Мал. 89

34. 34. 121 . На яких з малюнків 90-93 зображено паралельні прямі? 122 . Назвіть пари паралельних прямих на малюнку 94. 123 . 1) Дано пряму b і точку K, що не лежить на ній (мал. 95). Скільки можна провести прямих, паралельних прямій b, через точку K? 2) Скільки взагалі можна провести прямих, паралельних прямій b? 124 . Проведіть пряму l і позначте точку A, що не належить їй. За допомогою косинця і лінійки через точку A проведіть пряму, паралельну прямій l. 125 . Позначте точку P і проведіть пряму a, що не проходить через цю точку. За допомогою косинця і лінійки через точ ку P проведіть пряму, паралельну прямій a. 126 . Накресліть відрізки AB і CD та промінь KL так, щоб відрізок AB був паралельний променю KL і перпендику лярний до відрізка CD. 127 . Накресліть промені MN і KL та відрізок AB так, щоб промінь MN був паралельний променю KL і перпендику лярний до відрізка AB. 128 . Прямі a і b перетинаються. Пряма m паралельна прямій a. Доведіть, що прямі m і b перетинаються. 33 Мал. 90 Мал. 91 Мал. 92 Мал. 93 Мал. 94 Мал. 95

35. 35. 129 . Прямі a і b паралельні. Пряма l не перетинає пряму a. Доведіть, що пряма l не перетинає пряму b. 130 . Прямі KM і KN (мал. 96) перети наються. Через точку M проведено пряму m, паралельну прямій KN, а через точку N проведено пряму n, паралельну прямій KM. Доведіть, що прямі m і n перетинаються. 131 . Прямі a і b - паралельні, прямі b і c також паралельні. Пряма l перетинає пряму a. Доведіть, що пряма l перети нає прямі b і c. § 9. КУТИ, УТВОРЕНІ ПРИ ПЕРЕТИНІ ДВОХ ПРЯМИХ СІЧНОЮ. ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ Пряма c називається січною відносно прямих a і b, якщо во на перетинає їх у двох точках (мал. 97). При перетині прямих a і b січною c утворилося вісім кутів, позначених на малюнку 97. Деякі пари цих кутів мають спеціальні назви: внутрішні односторонні кути: 4 і 5; 3 і 6; внутрішні різносторонні кути: 4 і 6; 3 і 5; відповідні кути: 1 і 5; 2 і 6; 3 і 7; 4 і 8. Розглянемо ознаки паралельності прямих. Ознака (у геометрії) - це теорема, яка стверджує, що при виконанні певних умов можна встановити паралельність пря мих, рівність фігур, належність фігур до певного класу тощо. 34 Мал. 96 Урок 11 Мал. 97 Мал. 98

36. 36. Т е о р е м а (ознака паралельності прямих). Якщо при пе ретині двох прямих січною відповідні кути рівні, то прямі паралельні. Д о в е д е н н я. Нехай при перетині прямих AB і CD січною KL утворилися рівні відповідні кути ∠ KMB = ∠ MND = α (мал. 98). Припустимо, що дані прямі AB і CD не паралельні, а пере тинаються в деякій точці F (мал. 99). Не змінюючи міри кута KMB, перенесемо його так, щоб вершина кута - точка M - збіглася з точкою N, промінь MK збігся з променем NM, а промінь MB зайняв положення променя NF1 (мал. 100). Тоді ∠ MNF1 = ∠ KMF = α. Оскільки промінь NF1 не збігається з променем NF, бо F ∉ NF1, то ∠ MNF1 ≠ ∠ MNF. Але ж ми встановили, що ∠MNF = α і ∠MNF1 = α. Прийшли до суперечності. Тому наше припущення про те, що прямі AB і CD не паралельні,- неправильне. Отже, прямі AB і CD паралельні, що й треба було довести. Далі розглянемо наслідки з доведеної теореми. Наслідок - це твердження, яке випливає безпосередньо з теореми. Н а с л і д о к 1. Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні. Д о в е д е н н я. Нехай при перетині прямих a і b січною c внут рішні різносторонні кути рівні, наприклад ∠1 = ∠2 (мал. 101). Оскільки кути 1 і 3 - вертикальні, то вони рівні: ∠1 = ∠3. Отже, ∠2 = ∠3. Ці кути - відповідні, тому за ознакою пара лельності прямих маємо: a || b. Н а с л і д о к 2. Якщо при перетині двох прямих січною сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні. Д о в е д е н н я. Нехай при перетині прямих a і b січною c су ма внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, наприклад ∠ 1 + ∠ 2 = 180° (мал. 102). Кути 2 і 3 - суміжні, тому ∠3 + ∠2 = 180°. 35 Мал. 99 Мал. 100

37. 37. З цих двох рівностей випливає, що ∠ 1 = ∠ 3. Ці кути є відповідними, а тому прямі a і b - паралельні за ознакою па ралельності прямих. Н а с л і д о к 3. Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні. На малюнку 103: a ⊥ c і b ⊥ с. Враховуючи наслідок 2, маємо: a || b. Зауважимо, що наслідки 1-3 можна також розглядати як ознаки паралельності прямих. Задача. Чи є паралельними прямі AB і MN на малюнку 104? Р о з в' я з а н н я. ∠BCD = ∠ACK (як вертикальні). ∠BCD = = 27°. Оскільки 27° + 153° = 180°, то сума внутрішніх односторон ніх кутів BCD і CDN дорівнює 180°. Тому, за наслідком 2, AB || MN. В і д п о в і д ь. Так. Що таке січна? * За малюнком 97 назвіть пари внутрішніх односторонніх кутів, внутрішніх різносторонніх кутів, відповідних кутів. * Сформулюйте і доведіть ознаку паралель ності прямих та наслідки з неї. 132 . (Усно.) Як називаються кути 1 і 2 на малюнках 105-107? 133 . Як називаються кути 1 і 2 на малюнках 108-110? 134 . Запишіть всі пари внутрішніх односторонніх кутів, внут рішніх різносторонніх кутів, відповідних кутів (мал. 111). 36 Мал. 101 Мал. 102 Мал. 103 Мал. 104

38. 38. 135 . Запишіть усі пари внутрішніх односторонніх кутів, внутрішніх різносторонніх кутів, відповідних кутів (мал. 112). 136 . Якими є прямі a і b (паралельними чи прямими, що пе ретинаються) на малюнках 113-118? 37 Мал. 105 Мал. 106 Мал. 107 Мал. 108 Мал. 109 Мал. 110 Мал. 113 Мал. 114 Мал. 115 Мал. 111 Мал. 112

39. 39. 137 . На малюнку 119 визначено міри двох кутів, що утво рилися при перетині прямих m і n січною p. Обчисліть міри всіх інших кутів, що утворилися. Чи паралельні прямі m і n? 138 . На малюнку 120 визначено міри двох кутів, що утвори лися при перетині прямих a і b січною d. Обчисліть міри всіх інших кутів, що утворилися. Чи паралельні прямі a і b? 139 . Через точку A за допомогою двох креслярських кутників провели пряму a (мал. 121). Чи паралельні прямі a і b? Відповідь обґрунтуйте. 140 . (Усно.) Чи паралельні прямі AB і CD на малюнку 122? Чому? 141 . Доповніть малюнок 123: про ведіть пряму CM так, щоб кути ABC і BCM були внутрішніми різ носторонніми кутами для прямих AB і CM та січної BC. Як розміс тяться точки A і M відносно прямої BC? 142 . Доповніть малюнок 124: про ведіть пряму KA так, щоб кути AKN і KNP були внутрішніми од 38 Мал. 116 Мал. 117 Мал. 118 Мал. 119 Мал. 120 Мал. 121 Урок 12 Мал. 122

40. 40. носторонніми кутами для прямих AK і PN та січної KN. Як розмістяться точки A і P відносно прямої KN? 143 . 1) Виміряйте кут ABC (мал. 125). 2) Побудуйте кут PCK, що дорівнює куту ABC і є відповідним з ним. 3) Назвіть паралельні прямі, які утворилися. Обґрунтуйте їх паралельність. 144 . 1) Виміряйте кут MNP (мал. 126). 2) Побудуйте кут APB, що дорівнює куту MNP і є відповідним з ним. 3) Назвіть паралельні прямі, які утворилися. Обґрунтуйте їх паралельність. 145 . Пряма AB перетинає пряму CD у точці A, а пряму MN у точ ці B. ∠CAB = 90°, ∠ABN = 90°. Чи паралельні прямі CD і MN? 146 . На малюнку 127 ∠1 + ∠2 = 180°. Доведіть, що прямі a і b паралельні. 147 . Намалюнку128∠1=∠2.Доведіть,щопряміmіnпаралельні. 39 Мал. 127 Мал. 128 Мал. 129 Мал. 123 Мал. 124 Мал. 125 Мал. 126

41. 41. 148 . На малюнку 129 ∠4 + ∠5 = 190°. Знайдіть: 1) ∠2 + ∠7; 2) ∠1 + ∠8; 3) ∠3 + ∠6. 149 . Кут ABC дорівнює 70°, а кут BCD - 100°. Чи можуть прямі AB і CD бути паралельними? Відпо відь обґрунтуйте. 150 . Кут MNP дорівнює 60°, а кут NPK - 120°. Чи можуть прямі MN і KP бути паралельними? Відповідь обґрунтуйте. 151 . На малюнку 130: MF - бісектриса кута KMN, KF - бісектриса кута MKP. ∠MKF + ∠FMK = 90°. Доведіть, що MN || KP. 152 . Прямі a і b перпендикулярні до прямої m. Пряма c пере тинає пряму a. Чи перетинаються прямі b і c? Відповідь обґрунтуйте. § 10. ВЛАСТИВІСТЬ ПАРАЛЕЛЬНИХ ПРЯМИХ. ВЛАСТИВОСТІ КУТІВ, УТВОРЕНИХ ПРИ ПЕРЕТИНІ ПАРАЛЕЛЬНИХ ПРЯМИХ СІЧНОЮ Розглянемо властивість паралельних прямих. Т е о р е м а 1 (властивість паралельних прямих). Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні одна одній. Д о в е д е н н я. Нехай прямі a і b паралельні прямій с. До ведемо, що a || b. Застосуємо доведення від супротивного. Припустимо, що прямі a і b не паралельні, а перетинаються у деякій точці N (мал. 131). Отже, через точку N проходять дві прямі a і b, па ралельні c. Це суперечить аксіомі паралельності прямих. Отже, наше припущення неправильне. Тому a | | b. Теорему доведено. Далі розглянемо властивості кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною. Т е о р е м а 2 (властивість відповідних кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною). Відповідні кути, утворені при перетині паралельних прямих січною, рівні. Д о в е д е н н я. Нехай паралельні прямі AB і CD перетнуті січною NK (мал. 132). Доведемо, що ∠NAB = ∠ACD. Припусти мо, що ∠NAB ≠ ∠ACD. Проведемо пряму AB1 так, щоб викону 40 Мал. 130 Урок 13

42. 42. валася рівність ∠ NAB1 = ∠ ACD. За ознакою паралельності прямих прямі AB1 і CD паралельні. Але ж за умовою AB || CD. Прийшли до того, що через точку A проходять дві прямі AB і AB1, паралельні CD, що суперечить аксіомі паралельності пря мих. Наше припущення неправильне. Тому відповідні кути, утворені при перетині паралельних прямих січною, рівні: ∠NAB = ∠ACD. Теорема про властивість відповідних кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною, є оберненою до ознаки паралельності прямих. Пояснимо, як це слід розуміти. Кожна теорема містить умову і висновок. Якщо поміняти місцями умову і висновок теореми, то дістанемо нове твердження (правильне чи не правильне), умовою якого буде висновок даної теореми, а вис новком - умова даної теореми. Якщо одержане при цьому твердження є істинним, його називають теоремою, оберненою до даної. У теоремі, яка виражає ознаку паралельності прямих, умо вою є перша частина твердження: "при перетині двох прямих січною відповідні кути рівні" (це дано), а висновком - друга частина: "прямі паралельні" (це треба довести). Легко побачити, що остання розглянута нами теорема і є оберненою до ознаки паралельності прямих. Умова цієї теореми: "прямі пара лельні" (це дано), а висновок - "відповідні кути, утворені при перетині прямих січною, рівні" (це треба довести). Не кожна теорема має обернену. Наприклад, теорема про вертикальні кути: "вертикальні кути рівні" не має оберненої теореми. Твердження: "якщо два кути рівні, то вони верти кальні" - неправильне. Розглянемо далі наслідки з теореми 2. Н а с л і д о к 1 (властивість внутрішніх різносторонніх кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною). Внутрішні різносторонні кути, утворені при перетині па ралельних прямих січною, рівні. 41 Мал. 131 Мал. 132

43. 43. Д о в е д е н н я. Нехай паралельні прямі a і b перетнуті січною c (мал. 133). Доведемо, що внутрішні різносторонні ку ти, наприклад 1 і 2, рівні. Оскільки a || b, то відповідні кути 1 і 3 рівні. Кути 2 і 3 рівні, як вертикальні. З рівностей ∠1 = ∠3 і ∠2 = ∠3 випливає, що ∠1 = ∠2. Н а с л і д о к 2 (властивість внутрішніх односторонніх кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною). Сума внутрішніх односторонніх кутів, утворених при пе ретині паралельних прямих січною, дорівнює 180°. Д о в е д е н н я. Нехай паралельні прямі a і b перетнуті січною c (мал. 134). Доведемо, що сума внутрішніх односто ронніх кутів, наприклад 1 і 2, дорівнює 180°. Оскільки a || b, то відповідні кути 1 і 3 рівні. Кути 2 і 3 - суміжні, тому ∠3 + ∠2 = 180°, але ж ∠1 = ∠3. Тому ∠1 + ∠2 = 180°. Теорему 2 та її наслідки 1 та 2 можна також розглядати, як властивості паралельних прямих. Задача. Знайти невідомий кут x за малюнком 135. Р о з в' я з а н н я. Оскільки внутрішні різносторонні кути, утворені при перетині січною c прямих a і b, рівні (обидва по 80°), то a || b. Відповідні кути, утворені при перетині січною d паралельних прямих a і b, рівні. Тому x = 70°. Сформулюйте та доведіть властивість паралельних прямих. * Сформулюйте та доведіть теорему про властивість відповід них кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною, та наслідки з неї. * Поясніть, що таке теорема, обернена до даної. 153 . (Усно.) На малюнку 136 прямі a і b паралельні, c - січна. 1) Чи рівні кути 5 і 4; 2 і 7? 2) Чи рівні кути 1 і 3? 3) Чому дорівнює сума кутів 1 і 4? 154 . На малюнку 136 прямі a і b пара лельні, c - січна. 1) Чи рівні кути 1 і 8; 6 і 3? 42 Мал. 133 Мал. 134 Мал. 135 Мал. 136

44. 44. 2) Чи рівні кути 2 і 4? 3) Чому дорівнює сума кутів 2 і 3? 155 . На малюнку 137 прямі m і n - паралельні, d - січна. Чому дорівнюють кути 1, 2, 3? 156 . На малюнку 138 прямі m і n - паралельні, d - січна. Чому дорівнюють кути 1, 2, 3? 157 . Градусна міра одного з кутів, утворених при перетині січною двох паралельних прямих, дорівнює 140°. Знайдіть градусні міри решти семи кутів. 158 . Один з кутів, які утворилися при перетині двох пара лельних прямих січною, дорівнює 50°. Знайдіть інші сім кутів. 159 . Один з кутів, які утворилися при перетині двох пара лельних прямих січною, дорівнює 37°. Чи може один з ре шти семи кутів дорівнювати: 1) 133°; 2) 143°; 3) 153°? 160 . Дано паралельні прямі a і b та точку M, що не належить жодній з прямих. Через точку M проведено пряму m, пара лельну a. Чи паралельні прямі b і m? 161 . Знайдіть градусну міру кожного з двох внутрішніх різносторонніх кутів, утворених при перетині двох пара лельних прямих січною, якщо їх сума дорівнює 240°. 162 . Сума відповідних кутів, які утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 108°. Знайдіть ці кути. 163 . На малюнку 139 ∠1 = ∠2. Доведіть, що ∠3 + ∠4 = 180°. 164 . На малюнку 140 ∠ 1 + ∠ 2 = 180°. Доведіть, що ∠ 3 = = ∠4. 165 . На малюнку 141 ∠1 = ∠2, c ⊥ a. Доведіть, що c ⊥ b. 166 . На малюнку 142 a ⊥ d, b ⊥ d. Доведіть, що ∠1 = ∠2. 43 Мал. 137 Мал. 138 Урок 14

45. 45. 167 . Знайдіть градусну міру кожного з двох внутрішніх одно сторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, якщо: 1) один з них на 16° більший від другого; 2) один з них у 3 рази менший від другого; 3) їх градусні міри відносяться, як 5 : 7. 168 . Знайдіть градусну міру кожного з двох внутрішніх односторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, якщо: 1) один з них на 8°менший від другого; 2) один з них у 4 рази більший від другого; 3)їхградусніміривідносяться,як5:4. 44 Мал. 139 Мал. 140 Мал. 141 Мал. 142 Мал. 143 Мал. 144 Мал. 145

46. 46. 169 . Знайдіть градусні міри кутів x, зображених на малюн ках 143-145. 170 . Знайдіть градусні міри кутів x, зображених на малюн ках 146, 147. 171 . Прямі a і b не паралельні прямій m. Чи можна зробити висновок, що прямі a і b не паралельні між собою? 172 . Сума градусних мір трьох з восьми кутів, що утворилися при перетині паралельних прямих a і b січною c, дорівнює 120°. Знайдіть градусні міри кожного з восьми кутів. 173 . Сума градусних мір чотирьох з восьми кутів, що утвори лися при перетині паралельних прямих a і b січною c, дорівнює 128°. Знайдіть градусні міри кожного з восьми кутів. 174 . На малюнку 148 AB | | CD. Знайдіть градусну міру ку та CMA. 175 . На малюнку 149 MN || PK. Знайдіть градусну міру ку та MKP. 176 . Доведіть, що бісектриса внутрішніх різносторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, паралельні. 177 . Доведіть, що бісектриси відповідних кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, пара лельні. 45 Мал. 146 Мал. 147 Мал. 148 Мал. 149

47. 47. ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ З ТЕМИ "НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ. ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ" 1 . Назвіть точки, що належать прямій a, та точки, що їй не належать (мал. 150). Зробіть відповідні записи. 2 . Назвіть пари вертикальних кутів на малюнку 151. 3 . На якому з малюнків 152-154 зображено паралельні прямі, а на якому - перпендикулярні? Зробіть відповідні записи. 4 . Точка C належить відрізку MN. Знайдіть довжину відрізка CM, якщо MN = 7,2 см, CN = 3,4 см. 5 . За допомогою транспортира накресліть кут, градусна міра якого дорівнює 70°, та проведіть його бісектрису. 6 . Один з кутів, що утворилися при перетині двох па ралельних прямих січною, дорівнює 78°. Знайдіть інші сім кутів. 7 . Знайдіть суміжні кути, якщо один з них на 12° менший за другий. 8 . Прямі AB, CD і KL перетинаються в точці O, причому AB ⊥ CD (мал. 155). Знайдіть градусну міру кута AOK, як що ∠DOL = 38°. 46 Урок 15 Мал. 150 Мал. 151 Мал. 152 Мал. 153 Мал. 154

48. 48. 9 . Точки A, B і K лежать на одній прямій. Знайдіть довжину відрізка AB, якщо AK = 9,3 см, KB = 3,7 см. Скільки розв'язків має задача? Додаткові завдання 10 . Два кути відносяться, як 1 : 3, а суміжні з ними - як 7 : 3. Знайдіть ці кути. 11 . На малюнку 156 AB || CD. Знайдіть градусну міру кута BKD. Резервний час. Вправи для повторення розділу ІІ 178 . Серед кутів, зображених на малюнках 157-159, назвіть суміжні. 179 . 1) Чи можна лише за допомогою лінійки побудувати кут, суміжний із даним? 2) Скільки таких кутів можна побудувати? 180 . Кут ABC менший за кут MNP. Якому з кутів відповідає більший суміжний кут? Відповідь обґрунтуйте. 181 . Знайдіть суміжні кути, якщо їх градусні міри відносять ся, як 3 : 7. 47 Урок 16 Мал. 155 Мал. 156 До § 5 Мал. 157 Мал. 158 Мал. 159

49. 49. 182 . Один із суміжних кутів становить 20% другого. Знайдіть ці кути. 183 . Один із суміжних кутів на 20% менший за другий. Знайдіть ці кути. 184 . Бісектриса кута ABC утворює зі стороною кут, удвічі більший від кута, суміжного з кутом ABC. Знайдіть градус ну міру кута ABC. 185 . Який предмет домашнього побуту дає уявлення про вер тикальні кути? 186 . Чи є кути 1 і 2 вертикальними (мал. 160-164)? 187 . Чи правильні твердження: 1) якщо два кути рівні, то вони вертикальні; 2) якщо два кути зі спільною вершиною рівні, то вони вер тикальні; 3) для кожного кута, меншого від розгорнутого, можна по будувати тільки один вертикальний кут; 4) для кожного кута, меншого від розгорнутого, можна по будувати тільки один суміжний кут? 188 . При перетині двох прямих утворилося чотири кути. Чи можуть деякі два з них дорівнювати: 1) 5° і 175; 2) 15° і 19°; 3) 27° і 154°; 4) 3° і 3°? 48 До § 6 Мал. 160 Мал. 161 Мал. 162 Мал. 163 Мал. 164

50. 50. 189 . Один з кутів, які утворилися при перетині двох прямих, на 48° більший за другий. Знайдіть кут між пря мими. 190 . Один з кутів, утворених при перетині двох прямих, дорівнює сумі двох суміжних з ним. Знайдіть цей кут. 191 . Знайдіть градусну міру кожного з чотирьох кутів, утво рених при перетині двох прямих, якщо сума двох із цих кутів: 1) менша від суми двох інших у 4 рази; 2) більша від суми двох інших на 160°. 192*. Знайдіть кут між прямими, які перетинаються, якщо один з утворених кутів у 8 раз менший від суми трьох інших кутів. 193 . Накресліть пряму a та позначте точку M, що не нале жить цій прямій. Накресліть за допомогою лінійки та ко синця перпендикуляр з точки M до прямої a. Виміряйте відстань від точки M до прямої a. 194 . Накресліть гострий кут KAM, позначте на стороні AK точку B. Побудуйте за допомогою косинця і лінійки пряму, що проходить через точку B перпендикулярно до AK. 195 . Накресліть промінь AB і відрізок KP так, щоб вони були перпендикулярні і не перетиналися. 196 . Назвіть всі пари перпендикулярних відрізків на малюн ку 165. 197 . На малюнку 166 AB ⊥ СD, ∠KOC = ∠COL. 1) Чи правильно, що ∠AOK = ∠LOB, ∠AOL = ∠KOB? 2) Порівняйте кути KOB і AOK. 49 До § 7 Мал. 165 Мал. 166

# data[].attributes.attachment_link.description
Published on 1. О.С. Істер О.С.ІстерГЕОМЕТРІЯ2007 Цей підручник є основною складовою навчального комплекту з геометрії для 7 класу Автор О.С. Істер До комплекту входять: підручник посібник "Тематичне оцінювання знань з геометрії". Підручник відзначається високим науково-методичним і дидактичним рівнем викладу навчального матеріалу.

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 21.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 21.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
№ 173, 175

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 21.09

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 21.09

# data[].attributes.body
1) взяти зі собою чисті зошити!
2) наступного разу буде лабораторна робота
3)навчитися визначати ціну поділки шкали!
4) буду питати по 4 параграфу
5) вивчити табличку!

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 21.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 21.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 4
2) вивчити таблицю на сторінці 27
3)вивчити як визначати ціну поділки вимірювального приладу
4) принести один чистий зошит у клітинку на 24 аркуші
5) Виконати експерементальне завдання №1 на сторінці 30
6) переглянути відео за посиланням
https://youtu.be/xeY8WKYlzSI
https://youtu.be/syMu4Mfxur0

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 22.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 22.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
№ 94, 123,184

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 22.09

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 22.09

# data[].attributes.body
Група А і Б
1) Салабай має скинути конспект сьогоднішнього уроку з геометрії і його переписати!
2) параграф 1 , вивчити усе що записано у зошиті
3) № 3,8

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 23.09 

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 23.09 

# data[].attributes.body
Для Групи А і Б
підготовка до контрольної роботи. Виконати усі завдання Варіант 1

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 23.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 23.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) вивчити усі означення та аксіоми!
2) Група А переписати конспект за сьогодні
3)параграф 1, 2
4) № 5, 12,15,17

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 23.09

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 23.09

# data[].attributes.body
Для групи Б:
1)дописати лабораторну роботу
скидаю посилання  за яким можете переглянути як виконують роботу
https://youtu.be/v_9c49ylxlc
2)після таблиці записати усі розрахунки які ви робили до кожної мензурки!!!
3) записати висновок (дати відповіді на запитання АНАЛІЗ ЕКСПЕРИМЕНТУ ТА ЙОГО РЕЗУЛЬТАТИ сторінка 32)
4) виконати творче завдання сторінка 32
Фото ваших мензурок нижче.

# data[].attributes.headline
ДОмашнє завдання 25.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
ДОмашнє завдання 25.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) вивчити як розв'язувати рівняння!!!

2) № 45,47,48

# data[].attributes.headline
Домашня робота 25.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашня робота 25.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) Група Б виконати до кінця лабораторну роботу!
2) Група А взяти чисті зошити будемо писати лабораторну роботу!

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 25.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 25.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) вивчити параграф 3
2) переписати конспект у іншої групи
3) №3.2; 3.4;3.6;3.8

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 28.09

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 28.09

# data[].attributes.body
Група А і Б повинна закінчити лабораторну роботу!
У попередньому домашньому все написано!

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 28.09

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 28.09

# data[].attributes.body
Група А і Б повинна закінчити лабораторну роботу!
У попередньому домашньому все написано!

# data[].attributes.headline
Група А і Б повинна закін

# data[].attributes.body
Група А і Б повинна закінчити лабораторну роботу!
У попередньому домашньому все написано!

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 28.09 Для Групи А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 28.09 Для Групи А і Б

# data[].attributes.body
1) вивчити як розв"язуються нерівності та рівняння
2) № 3.16;3.18;3.20; 3.22

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 28.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 28.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) переписати конпект у іншої групи про паралелепіпед
2)№2.9; 2.11;2.2.13

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 28.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 28.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) Нагадую за те що потрібно вивчити як розв'язувати рівняння, як відкривати дужки!!!
2)переписати конспект!
3) №35;56;50

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 29.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 29.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) Група Б переписати конспект, який має скинути Валя!
2) Вивчити усе і носити транспортир!
3) параграф 3
№22,25,26,2734

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 29.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 29.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 5
2) табличка множення!!
3) № 200, 205,208, 213

# data[].attributes.headline
Домашнє завдання 29.09 Група А і Б

# data[].attributes.subject
Домашнє завдання 29.09 Група А і Б

# data[].attributes.body
1) готуйтеся до самостійної роботи по нерівностях
2)№3.14;3.24

# data[].attributes.headline
02.10 Домашнє завдання група Аі Б

# data[].attributes.subject
02.10 Домашнє завдання група Аі Б

# data[].attributes.body
1) вивчити властивості множення параграф 6
2) №233,235,237

# data[].attributes.headline
02.10 домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.subject
02.10 домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.body
1) №59,65
2) сторінка 30 № 11

# data[].attributes.headline
05.10 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
05.10 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
1) вивчити властивості множення!
2) № 241, 249,252

# data[].attributes.headline
05.10 Домашня робота група А і Б

# data[].attributes.subject
05.10 Домашня робота група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф  5 сторінка 32
2) № 129, 132,145, 143

# data[].attributes.headline
30.09 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
30.09 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
1) повторити усе з параграфа 1 до 3
2) №37, 44, 40, 45

# data[].attributes.headline
06.10 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.subject
06.10 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 7
2) №263,265,269, 277

# data[].attributes.headline
06.10 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.subject
06.10 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.body
1) №64,63(2), 55

# data[].attributes.headline
07.10 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.subject
07.10 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.body
1) готуємося до контрольної роботи
2) №187, 191, 192,203 з фото

# data[].attributes.headline
07.10 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
07.10 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
1)параграф 6
2) №178,180,182,184

# data[].attributes.headline
07.10 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
07.10 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
1) підготовка до контрольної роботи
2) переписати конспект скинутий у viber

# data[].attributes.headline
07.10 Домашнє завдання

# data[].attributes.subject
07.10 Домашнє завдання

# data[].attributes.body
1) усі доносимо зошити із лабораторних робіт
2) готуємося до контрольної роботи сторінка 42-45
3) кожен оберіть тему для реферату на сторінці 48, у всіх тема має бути інша  (реферат захищаємо на наступний урок після контрольної роботи)
3) за посиланням пройдіть тест

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Тренувальні тестові завдання до розділу 1 "Фізика як природнича наука. Методи наукового пізнання"

Натисніть на кнопку ліворуч, щоб перейти до матеріалів за темою.
Здійснюючи завантаження, Ви приймаєте умови ліцензійного договору

# data[].attributes.attachment_link.title
Iнтерактивне навчання

# data[].attributes.attachment_link.description
Натисніть на кнопку ліворуч, щоб перейти до матеріалів за темою. Здійснюючи завантаження, Ви приймаєте умови ліцензійного договору

# data[].attributes.body
1) параграф 4 вивчити властивості логарифма
2) №4.3; 4.5; 4.7; 4.9

# data[].attributes.headline
05.10 Домашнє завдання

# data[].attributes.subject
05.10 Домашнє завдання

# data[].attributes.body
1) параграф2
2) №2.21; 2.25; 2.27; 2.31

# data[].attributes.headline
19.10 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.subject
19.10 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 8
2)номери: 295, 297, 304,309

# data[].attributes.headline
09.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
09.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
1) вивчити конспект
2) параграф 6, 7
3) Виконати завдання для перевірки

# data[].attributes.headline
20.10 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.subject
20.10 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 9
2) номери: 321, 323, 326, 330

# data[].attributes.headline
21.10 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
21.10 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 10, вивчити усі формули з параграфа
2)338, 342,345

# data[].attributes.headline
23.10 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.subject
23.10 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.body
1) Вивчити учі формули!
2) №347, 351,359, 360
3) Для того щоб ви покращили знання усного рахунку пропоную зіграти у гру miksike за посиланням:
https://miksike.net.ua/#pranglimine/training
Ви виконуєте завдання тільки у колонці Тренування з натуральними числами !!!
Усюди вибираючи Стандарт навпроти дії додавання , віднімання, множення та ділення.
Тоді відкриється нове віконечко з цифрами. У куті зліва зверху , де написано Незмінний рівень поміняти нажати на Рівень 1.
А коли уже рівень 1 для вас легким то переходьте на Рівень 2 і Рівень 3 і т.д.

# data[].attributes.headline
02.11 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.subject
02.11 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.body
1) вивчити усі правила на сторінці 61

"2)№376, 378,380, 382

# data[].attributes.headline
02.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
02.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
1) Конспект вивчити
2) параграф 5
3) №5.4 ; 5.8; 5.12; 5.16; 5.20; 5.28; 5.32

# data[].attributes.headline
02.11 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.subject
02.11 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 3
2) конспект вивчити
3) №3.6; 3.8; 3.10; 3.14; 3.16; 3.18;

# data[].attributes.headline
03.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
03.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
1) Вивчити усі означення і теореми з доведенням параграф 5 та 6
2) № 69, 71, 77, 79

# data[].attributes.headline
03.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
03.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
1) питаю завтра ст.61 усі правила
2) № 385, 391, 393

# data[].attributes.headline
Яке домашнє на п'ятницю?

# data[].attributes.subject
Яке домашнє на п'ятницю?

# data[].attributes.headline
06.11 Домашня робота

# data[].attributes.subject
06.11 Домашня робота

# data[].attributes.body
Група А
1) у вівторок самостійна  по рівняннях та правилах сторінка 61
2) вивчити компоненти кожної дії!!!
3) № 397,396,399, 401
Група Б
1) у понеділок самостійна по рівняннях та правила сторінка 61
2) вивчит компоненти кожної дії!!!
3)№ 397,396,399, 401

# data[].attributes.headline
06.11 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.subject
06.11 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.body
1) вивчити властивості степеня!
2) №265, 267, 271, 273, 275
3) Група А у вівторок самостійна робота по степенях і по прикладах!
4) Група Б у понеділок самостійна по степенях і по прикладах!

# data[].attributes.headline
04.11 Домашня роота Група А і Б

# data[].attributes.subject
04.11 Домашня роота Група А і Б

# data[].attributes.body
1) вивчити означення та теореми про суміжні кути та вертикальні кути.
2) № 90, 93, 100, 102

# data[].attributes.headline
04.11 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.subject
04.11 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.body
1) Група А сфотографувати  і скинути конспект за середу для групи Б і скинути у вайбер!
2) параграф 6, 7
3) Вправа 6 (2,3); Вправа 7 (3, 7)

# data[].attributes.headline
09.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
09.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
1) вивчити конспект
2) параграф 6, 7
3) Виконати завдання для перевірки

# data[].attributes.headline
11.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
11.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
1) вивчити  з зошита як розв'язувати усіх типів
2) параграф 12
3) №419(1), 423, 425

# data[].attributes.headline
11.11 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.subject
11.11 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 9
2)

# data[].attributes.headline
13.11 Домашня робота Група  А і Б

# data[].attributes.subject
13.11 Домашня робота Група  А і Б

# data[].attributes.body
1) вивчити зі зошита типи задач
2) № 447, 449, 455, 464
3) для групи А фото з формулами

# data[].attributes.headline
13.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
13.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
1)вивчити конспект!!!
2) № 306, 314, 327

# data[].attributes.headline
11.11 Домашня робота група А і Б

# data[].attributes.subject
11.11 Домашня робота група А і Б

# data[].attributes.body
1) повторити параграф 4-8
2) підготовка до контрольної роботи
3) № 178,181, 186, 188, 189,193, 196,201
4) усі номери які будуть незрозумілі учням у вівторок розберемо!

# data[].attributes.headline
13.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
13.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
Усе на фото!

# data[].attributes.headline
11.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.subject
11.11 Домашня робота Група А і Б

# data[].attributes.body
усе на фото!

# data[].attributes.headline
20.11 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.subject
20.11 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 10
2) Вправа 10(1-5,7)

# data[].attributes.headline
18.11 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.subject
18.11 Домашнє завдання Група А і Б

# data[].attributes.body
1) параграф 10
2) Вправа 10(1-5,7)

# data[].attributes.headline
17.12 Контрольна робота!

# data[].attributes.subject
17.12 Контрольна робота!

# data[].attributes.body
join.naurok.ua
Код  6314679

# data[].attributes.headline
17.12 Контрольна робота 

# data[].attributes.subject
17.12 Контрольна робота 

# data[].attributes.body
join.naurok.ua
Код  6520919