# data[].attributes.headline
Материал с сайта Википедия

# data[].attributes.subject
Материал с сайта Википедия

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Интеграл - одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и тому подобных, а также в задаче о восстановлении функции по её производной ( неопределённый интеграл). Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть - двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и так далее; также существуют разные подходы к определению интеграла - различают интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и другие.

Пусть дана - функция действительной переменной.Неопределённым интегралом функции , или её первообразной, называется такая функция , производная которой равна , то есть . Обозначается это так:

В этой записи - знак интеграла, называется подынтегральной функцией, а - элементом интегрирования.

Первообразная существует не для любой функции. Легко показать, что по крайней мере все непрерывные функции имеют первообразную. Поскольку производные двух функций, отличающихся на константу, совпадают, в выражение для неопределённого интеграла включают произвольную постоянную , например

Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу в следующем смысле:

Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т. п.

Рассмотрим фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми и и графиком функции , называемую криволинейной трапецией (см. рисунок). Если по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат - скорость тела, то площадь криволинейной трапеции есть пройденный телом путь.

Для вычисления площади этой фигуры естественно применить следующий приём. Разобьём отрезок на меньшие отрезки точками , такими что , а саму трапецию - на ряд узких полосок, лежащих над отрезками . Возьмём в каждом отрезке по произвольной точке . Ввиду того, что длина -го отрезка мала, будем считать значение функции на нём примерно постоянным и равным . Площадь криволинейной трапеции будет приблизительно равна площади ступенчатой фигуры, изображённой на рисунке:

Если же теперь увеличивать число точек разбиения, так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали ( ), площадь ступенчатой фигуры будет всё ближе к площади криволинейной трапеции.

Поэтому мы приходим к такому определению:

Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек , предел суммы (*) при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел называется определённым интегралом ( в смысле Римана) от функции по отрезку и обозначается

Сама функция при этом называется интегрируемой (в смысле Римана) на отрезке . Суммы вида (*) называются интегральными суммами.

Примеры интегрируемых функций:

Пример неинтегрируемой функции: функция Дирихле (1 при рациональном, 0 при иррациональном). Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно в , выбором точек можно получить любое значение интегральных сумм от 0 до .

Между определённым и неопределённым интегралом имеется простая связь. А именно, если

то

Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Понятие двойного интеграла возникает при вычислении объёма цилиндрического бруса, подобно тому, как определённый интеграл связан с вычислением площади криволинейной трапеции. Рассмотрим некоторую двумерную фигуру на плоскости и заданную на ней функцию двух переменных . Понимая эту функцию как высоту в данной точке, поставим вопрос о нахождении объёма получившегося тела (см. рисунок). По аналогии с одномерным случаем, разобьём фигуру на достаточно малые области , возьмём в каждой по точке и составим интегральную сумму

где - площадь области . Если существует, независимо от выбора разбиения и точек , предел этой суммы при стремлении диаметров областей к нулю, то такой предел называется двойным интегралом (в смысле Римана) от функции по области и обозначается

, , или

Объём цилиндрического бруса равен этому интегралу.

К понятию интеграла естественным образом приводит также задача о массе неоднородного тела. Так, масса тонкого стержня с переменной плотностью даётся интегралом

в аналогичном случае плоской фигуры

и для трёхмерного тела

В основе определения интеграла Лебега лежит понятие -аддитивной меры. Мера является естественным обобщением понятий длины, площади и объёма.

Интеграл Лебега функции определённой на пространстве по мере обозначают

, или

последнее два обозначения употребляют если необходимо подчеркнуть что интегрирование ведётся по переменной . Однако часто пользуются следующим не вполне правильным обозначением

Полагая меру отрезка (прямоугольника, параллелепипеда) равной его длине (площади, объёму), а меру конечного либо счётного объединения непересекающихся отрезков (прямоугольников, параллелепипедов), соответственно, сумме их мер, и продолжая эту меру на более широкий класс измеримых множеств, получим т. наз. Лебегову меру на прямой (в , в .

Естественно, в этих пространствах возможно ввести и другие меры, отличные от Лебеговой. Меру можно ввести также на любом абстрактном множестве. В отличие от интеграла Римана, определение интеграла Лебега остаётся одинаковым для всех случаев. Идея его состоит в том, что при построении интегральной суммы значения аргумента группируются не по близости к друг другу (как в определении по Риману), а по близости соответствующих им значений функции.

Пусть есть некоторое множество , на котором задана -аддитивная мера , и функция . При построении интеграла Лебега рассматриваются толькоизмеримые функции, то есть такие, для которых множества

измеримы для любого (это эквивалентно измеримости прообраза любого борелевского множества).

Сначала интеграл определяется для ступенчатых функций, то есть таких, которые принимают конечное или счётное число значений :

где - полный прообраз точки ; эти множества измеримы в силу измеримости функции. Если этот ряд абсолютно сходится, ступенчатую функцию назовём интегрируемой в смысле Лебега. Далее, назовём произвольную функцию интегрируемой в смысле Лебега, если существует последовательность интегрируемых ступенчатых функций , равномерно сходящаяся к . При этом последовательность их интегралов также сходится; её предел и будем называть интегралом Лебега от функции по мере :

Если рассматривать функции на и интеграл по мере Лебега, то все функции, интегрируемые в смысле Римана, будут интегрируемы и в смысле Лебега. Обратное же неверно (например, функция Дирихле не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу, так как равна нулю почти всюду). Фактически, любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу.

Основные понятия интегрального исчисления введены в работах Ньютона и Лейбница в конце XVII века (первые публикации состоялись в 1675 году). Лейбницу принадлежит обозначение интеграла , напоминающее об интегральной сумме, как и сам символ , от буквы ſ ( "длинная s") - первой буквы в латинском слове summa (тогда ſumma, сумма)[3]. Сам термин "интеграл" предложен Иоганном Бернулли, учеником Лейбница. Обозначение пределов интегрирования в виде введено Фурье в 1820 году.

Строгое определение интеграла для случая непрерывных функций сформулировано Коши в 1823 году, а для произвольных функций - Риманом в 1853 году. Определение интеграла в смысле Лебега впервые дано Лебегом в 1902 году (для случая функции одной переменной и меры Лебега).

Виноградов И. М. (гл. ред.). Интеграл // Математическая энциклопедия. - М., 1977. - Т. 2.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука, 1969.

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976.

# data[].attributes.attachment_link.description
Интеграл - одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и тому подобных, а также в задаче о восстановлении функции по её производной ( неопределённый интеграл). Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых.

# data[].attributes.headline
Несобственный интеграл

# data[].attributes.subject
Несобственный интеграл

# data[].attributes.attachment_link.title
Интегралы №14 Несобственные интегралы

# data[].attributes.headline
Лекция "Неопределенн

# data[].attributes.body
Лекция "Неопределенный интеграл"

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу - нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

Функция называетсяпервообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .

Например, является первообразной для функции , так как .

Следует отметить, что для заданной функции ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что все функции , где - некоторое число, являются первообразными для функции .

Аналогично в общем случае, если - некоторая первообразная для , то, поскольку , функции вида , где - произвольное число, также являются первообразными для .

Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называетсянеопределенным интегралом от функции и обозначается , где - знак интеграла, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение. Таким образом,

где - некоторая первообразная для , - произвольная постоянная.

Например, - первообразная для функции , то .

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е,

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

где - произвольное число.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

где - произвольное число.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Перечислим интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными:

.

Пример . Найти .

Решение.

= .

Интегрирование заменой переменных (подстановкой).

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой:

где - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Пример. Найти .

Решение.

.

Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала). Например,

Тогда

Пример . Найти .

Решение.

.

Интегрирование по частям.

Пусть и - дифференцируемые функции. По свойству дифференциала

или

.

Интегрируя левую и правую части последнего равенства, получаем формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла

.

Пример . Найти .

Решение.

.

Пример . Найти .

Решение.

.

Пример. Найти .

Положим Тогда и Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

Повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному интегралу. Действительно, положим теперь Тогда Следовательно,

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке задан неотрицательная функция . Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми , и осью абсцисс .

Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой на . Фигура под ломаной состоит из трапеций (прямоугольников), и ее площадь (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой , то справедливо приближенное равенство . Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь взять предел площади под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Понятие интегральной суммы. Пусть на задана функция . Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками : .

На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида

будем называть интегральной суммой для функции на .

Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками , так и от выбора точек на каждом из отрезков разбиения , .

Геометрический смысл интегральной суммы состоит в том, что она равна площади под ломаной, образованной на каждом из отрезков прямой , параллельной оси абсцисс.

Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через максимальную из длин отрезков , где .

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек ,... и точек . Тогда этот предел называетсяопределенным интеграломот функции на , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , т.е.

.

При этом число называется нижним пределом, число - его верхним пределом; функция - подынтегральной функцией, выражение - подынтегральным выражением, а задача о нахождении - интегрированием функции на отрезке .

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как представляет семейство функций, есть определенное число.

Во введенном определении определенного интеграла предполагается, что . По определению положим

.

Геометрический смысл определенного интеграла. Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция неотрицательна на отрезке , где , численно равен площади под кривой на .

Теорема. (Достаточное условие существования определенного интеграла)

Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е.

Если на отрезке , то и

,

т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

Основная теорема интегрального исчисления - формула Ньютона-Лейбница.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е.

Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором применяется собственно формула Ньютона-Лейбница - находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим

Вычисление определенного интеграла заменой переменных и по частям.

Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция непрерывна в каждой точке вида , где .

Тогда справедливо следующее равенство

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

где .

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур.

Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь под кривой на численно равна определенному интегралу , т.е. .

Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле

# data[].attributes.attachment_link.title
Лекция (Интегралы)

# data[].attributes.attachment_link.description
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ . НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу - нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу. Функция называетсяпервообразной функцией для функциина промежутке, если в каждой точке этого промежутка.

# data[].attributes.headline
Полезная информация!

# data[].attributes.subject
Полезная информация!