# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1,2 str. 137
zad. 3,4,5 str. 138
zeszyt ćwiczeń str. 39-40

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Animacja

shuffle Odtwarzanie losowe skip_previous Poprzedni skip_next Następny repeat Powtórz

Rysunek przedstawia cztery figury.
Porównaj kształty i wielkości tych figur. Co zauważyłeś?

Animacja pokazuje w ośmiu krokach kolejne przekształcenia czterech figur. Zmieniając położenia tych figur zauważmy, że dwie figury są przystające, jeśli jedną z nich można przekształcić na drugą w wyniku przesunięcia, obrotu lub symetrii osiowej.

Figurę czerwoną i figurę niebieską można nałożyć na figurę czarną tak, aby figury te pokrywały się.
Takie figury nazywamy przystającymi.

Definicja: Figury przystające

Figury, które mają ten sam kształt i tę samą wielkość nazywamy przystającymi.

Własność: Obraz figury w symetrii środkowej i w symetrii osiowej

Obrazem figury w symetrii środkowej jest figura do niej przystająca.
Obrazem figury w symetrii osiowej jest figura do niej przystająca.

Animacja

shuffle Odtwarzanie losowe skip_previous Poprzedni skip_next Następny repeat Powtórz

# data[].attributes.attachment_link.description
Rysunek przedstawia cztery figury.Porównaj kształty i wielkości tych figur. Co zauważyłeś? Figurę czerwoną i figurę niebieską można nałożyć na figurę czarną tak, aby figury te pokrywały się.Takie figury nazywamy przystającymi. Definicja: Figury przystające Figury, które mają ten sam kształt i tę samą wielkość nazywamy przystającymi.

# data[].attributes.headline
Jakie figury nazywamy figurami przystającymi?

# data[].attributes.subject
Jakie figury nazywamy figurami przystającymi?

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1 str. 135
zad. 3,4,5 sr. 136
zeszyt ćwiczeń str. 37-38

# data[].attributes.attachment_link.description
Test jest materiałem pomocniczym do scenariusza dotyczącego zebrania i usystematyzowania wiadomości o czworokątach.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1 str. 133
zad. 2,3,5 str., 134
zeszyt ćwiczeń str. 36

# data[].attributes.attachment_link.title
Kąty w trapezach i równoległobokach #4 [ Kąty w trójkątach i czworokątach ]

# data[].attributes.attachment_link.title
Trapez i jego rodzaje - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał zawiera:
- animację wprowadzającą pojęcie trapezu,
- 2 ćwiczenia interaktywne na rozpoznawanie trapezów i określanie ich własności

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1 str. 131
zad. 2,3,5 str. 132
zeszyt ćwiczeń str. 33-35

# data[].attributes.attachment_link.title
Trapez i jego rodzaje - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał zawiera:
- animację wprowadzającą pojęcie trapezu,
- 2 ćwiczenia interaktywne na rozpoznawanie trapezów i określanie ich własności

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1,2 str. 130
zeszyt ćwiczeń str. 32

# data[].attributes.attachment_link.title
Kąty w trapezach i równoległobokach #4 [ Kąty w trójkątach i czworokątach ]

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Animacja przedstawia prostokąt A B C D. Należy tak przemieszczać wierzchołki C i D, aby otrzymany czworokąt miał nadal równoległe boki a nie był prostokątem. Jest to równoległobok.

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Dokończ rysunek równoległoboku.

Animacja ilustruje powstawanie równoległoboków, gdy dane są trzy wierzchołki P, Q, R tworzące boki TP i PQ oraz dowolnie położony punkt R. Należy umieścić punkt R tak, aby powstał równoległobok P Q R T. Kolejno dane są wierzchołki N, K, L i punkt M. Należy utworzyć równoległobok K LM N. Następnie podane są wierzchołki A, B, C i punkt D. Należy utworzyć równoległobok A B C D.

Na rysunku są już dwa sąsiednie boki równoległoboku. Dokończ rysunek tego równoległoboku.

Pokaż rozwiązanie

Narysuj równoległobok , w którym sąsiednie boki i mają odpowiednio długości i . Zmierz pozostałe boki równoległoboku.
Uzupełnij zdania.

Zmieniaj położenie wierzchołków i . Obserwuj, jak zmieniają się długości przekątnych i pod jakim kątem przecinają się przekątne.

Animacja przedstawia równoległobok F U K S z poprowadzonymi przekątnymi. Przekątne przecinają się w punkcie O. Poruszając wierzchołkiem S (zawsze jest równoległobok) należy obserwować długości boków równoległoboku oraz długości jego przekątnych. Zauważamy, że gdy równoległobok jest prostokątem, to jego przekątne są tej samej długości a boki różnej. Dla kwadratu kąt między przekątnymi jest prosty i są one równej długości. Punkt O przecięcia przekątnych jest dla każdej przekątnej równoległoboku jej środkiem.

Przekątne w równoległoboku, który nie jest prostokątem, są ... długości.

Jeżeli równoległobok stanie się prostokątem, to jego przekątne będą miały ... długości.

W równoległoboku o sąsiednich bokach różnej długości przekątne ... prostopadłe.

Pokaż rozwiązanie
W równoległoboku przekątne przecinają się w punkcie . Punkt dzieli obie przekątne na dwie części, których długości zmierzono.

Uzupełnij zdania.

Narysuj dowolny równoległobok o przekątnych długości

Wykorzystaj kratki w zeszycie i narysuj trzykrotnie taki sam rysunek: kąt o mierze , a na ramionach kąta odcinki o długościach i . Na każdym rysunku wprowadź oznaczenia, jak poniżej. Dokończ rysunek tak, by otrzymać równoległobok , w którym punkt jest punktem przecięcia przekątnych.

Pokaż rozwiązanie

W równoległoboku kąt rozwarty ma miarę razy większą niż kąt ostry. Oblicz miary obu kątów.

Animacja prezentuje równoległobok A B C D o bokach a, b. Należy poruszać wierzchołkami A lub B równoległoboku i obserwować jak zmieniają się względem siebie jego przeciwległe boki. Następnie pokazuje się odpowiedź: AB równoległe do DC i AD równoległe do BC.

Pokaż rozwiązanie

Animacja prezentuje równoległobok A B C D, w którym zaznaczone są kąty alfa i beta leżące przy sąsiednim boku. Poruszając wierzchołkami A lub B równoległoboku należy obserwować miary kątów przeciwległych i kątów sąsiednich. Kąty przeciwległe równoległoboku mają te same miary. Suma kątów sąsiednich wynosi 180 stopni, czyli alfa + beta = 180 stopni.

Własności równoległoboku
1. Równoległobok ma dwie pary boków: równoległych i równej długości.

Animacja prezentuje równoległobok A B C D, którego przekątne przecinają się w punkcie Q. Poruszając punktami A i B równoległoboku należy sprawdzić, czym jest punkt Q przecięcia przekątnych. Punkt przecięcia przekątnych Q jest środkiem każdej z przekątnych.

2. Przeciwległe kąty mają równe miary. Suma miar sąsiednich kątów wynosi .

3. Przekątne dzielą się na połowy.

# data[].attributes.attachment_link.description
Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Dokończ rysunek równoległoboku. Na rysunku są już dwa sąsiednie boki równoległoboku. Dokończ rysunek tego równoległoboku. Pokaż rozwiązanie Narysuj równoległobok , w którym sąsiednie boki i mają odpowiednio długości i . Zmierz pozostałe boki równoległoboku.Uzupełnij zdania. Zmieniaj położenie wierzchołków i .

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,5 str. 129
zeszyt ćwiczeń str. 28-31

# data[].attributes.attachment_link.title
Równoległobok - wprowadzenie #1 [ Wielokąty ]

# data[].attributes.attachment_link.title
Rysowanie rombów i równoległoboków #5 [ Wielokąty ]

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Romb to równoległobok o bokach równej długości.

Własności rombu

Animacja prezentuje wielokąt, w którym zmieniając położenie jego odcinków, kreślimy czworokąt A B C D. Otrzymany czworokąt ma wszystkie boki tej samej długości. Prowadzimy w nim przekątne, które przecinają się w punkcie O i mierzymy kąt między nimi. Przekątne tego czworokąta przecinają się pod kątem prostym, czyli są prostopadłe. Punkt O przecięcia przekątnych, jest dla każdej z nich środkiem. Ten czworokąt jest równoległobokiem A B C D, gdzie AB równoległe do DC i AD równoległe do BC. Wszystkie czworokąty, których: boki są równej długości, przekątne przecinają się pod kątem prostym, przekątne przecinają się w swoich środkach i boki przeciwległe są równoległe nazywamy rombami.

Wszystkie boki są równej długości.

Przeciwległe kąty mają równe miary. Suma miar sąsiednich kątów wynosi 180°.

Przekątne dzielą się na połowy i przecinają pod kątem prostym.

Animacja pokazuje siedem różnych czworokątów , z których należy wybrać romby.

Które z poniższych czworokątów są rombami.

Które z poniższych czworokątów są rombami.

Pokaż rozwiązanie

Animacja pokazuje trzy różne czworokąty. Należy poruszać jednym z wierzchołków czworokątów tak, aby otrzymać romby.

Przeciągnij jeden wierzchołek czworokąta tak, aby powstał romb.

Narysuj romb, którego bok ma długość . Oblicz obwód tego rombu.

Pokaż rozwiązanie

Narysuj romb o przekątnych długości i . Zmierz długość jego boku i oblicz obwód rombu.

Pokaż rozwiązanie

Oblicz obwód rombu o boku długości
Pokaż rozwiązanie Pokaż wyjaśnienie
Przekątne dzielą romb na cztery jednakowe trójkąty prostokątne.
Jeden z tych trójkątów ma boki długości: . Oblicz obwód rombu.

Figury na poniższych rysunkach zbudowano z trójkątów równobocznych. Ile różnych rombów można wyróżnić na każdym rysunku?

Pokaż rozwiązanie

# data[].attributes.attachment_link.description
Romb to równoległobok o bokach równej długości. Własności rombu Wszystkie boki są równej długości. Przeciwległe kąty mają równe miary. Suma miar sąsiednich kątów wynosi 180 ° . Przekątne dzielą się na połowy i przecinają pod kątem prostym. Które z poniższych czworokątów są rombami. Które z poniższych czworokątów są rombami.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Animacja przedstawia prostokąt A B C D. Należy tak przemieszczać wierzchołki C i D, aby otrzymany czworokąt miał nadal równoległe boki a nie był prostokątem. Jest to równoległobok.

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Dokończ rysunek równoległoboku.

Animacja ilustruje powstawanie równoległoboków, gdy dane są trzy wierzchołki P, Q, R tworzące boki TP i PQ oraz dowolnie położony punkt R. Należy umieścić punkt R tak, aby powstał równoległobok P Q R T. Kolejno dane są wierzchołki N, K, L i punkt M. Należy utworzyć równoległobok K LM N. Następnie podane są wierzchołki A, B, C i punkt D. Należy utworzyć równoległobok A B C D.

Na rysunku są już dwa sąsiednie boki równoległoboku. Dokończ rysunek tego równoległoboku.

Pokaż rozwiązanie

Narysuj równoległobok , w którym sąsiednie boki i mają odpowiednio długości i . Zmierz pozostałe boki równoległoboku.
Uzupełnij zdania.

Zmieniaj położenie wierzchołków i . Obserwuj, jak zmieniają się długości przekątnych i pod jakim kątem przecinają się przekątne.

Animacja przedstawia równoległobok F U K S z poprowadzonymi przekątnymi. Przekątne przecinają się w punkcie O. Poruszając wierzchołkiem S (zawsze jest równoległobok) należy obserwować długości boków równoległoboku oraz długości jego przekątnych. Zauważamy, że gdy równoległobok jest prostokątem, to jego przekątne są tej samej długości a boki różnej. Dla kwadratu kąt między przekątnymi jest prosty i są one równej długości. Punkt O przecięcia przekątnych jest dla każdej przekątnej równoległoboku jej środkiem.

Przekątne w równoległoboku, który nie jest prostokątem, są ... długości.

Jeżeli równoległobok stanie się prostokątem, to jego przekątne będą miały ... długości.

W równoległoboku o sąsiednich bokach różnej długości przekątne ... prostopadłe.

Pokaż rozwiązanie
W równoległoboku przekątne przecinają się w punkcie . Punkt dzieli obie przekątne na dwie części, których długości zmierzono.

Uzupełnij zdania.

Narysuj dowolny równoległobok o przekątnych długości

Wykorzystaj kratki w zeszycie i narysuj trzykrotnie taki sam rysunek: kąt o mierze , a na ramionach kąta odcinki o długościach i . Na każdym rysunku wprowadź oznaczenia, jak poniżej. Dokończ rysunek tak, by otrzymać równoległobok , w którym punkt jest punktem przecięcia przekątnych.

Pokaż rozwiązanie

W równoległoboku kąt rozwarty ma miarę razy większą niż kąt ostry. Oblicz miary obu kątów.

Animacja prezentuje równoległobok A B C D o bokach a, b. Należy poruszać wierzchołkami A lub B równoległoboku i obserwować jak zmieniają się względem siebie jego przeciwległe boki. Następnie pokazuje się odpowiedź: AB równoległe do DC i AD równoległe do BC.

Pokaż rozwiązanie

Animacja prezentuje równoległobok A B C D, w którym zaznaczone są kąty alfa i beta leżące przy sąsiednim boku. Poruszając wierzchołkami A lub B równoległoboku należy obserwować miary kątów przeciwległych i kątów sąsiednich. Kąty przeciwległe równoległoboku mają te same miary. Suma kątów sąsiednich wynosi 180 stopni, czyli alfa + beta = 180 stopni.

Własności równoległoboku
1. Równoległobok ma dwie pary boków: równoległych i równej długości.

Animacja prezentuje równoległobok A B C D, którego przekątne przecinają się w punkcie Q. Poruszając punktami A i B równoległoboku należy sprawdzić, czym jest punkt Q przecięcia przekątnych. Punkt przecięcia przekątnych Q jest środkiem każdej z przekątnych.

2. Przeciwległe kąty mają równe miary. Suma miar sąsiednich kątów wynosi .

3. Przekątne dzielą się na połowy.

# data[].attributes.attachment_link.description
Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Dokończ rysunek równoległoboku. Na rysunku są już dwa sąsiednie boki równoległoboku. Dokończ rysunek tego równoległoboku. Pokaż rozwiązanie Narysuj równoległobok , w którym sąsiednie boki i mają odpowiednio długości i . Zmierz pozostałe boki równoległoboku.Uzupełnij zdania. Zmieniaj położenie wierzchołków i .

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3 str. 126
zeszyt ćwiczeń str. 24-27

# data[].attributes.attachment_link.title
Prostokąt i kwadrat - wprowadzenie #1 [ Wielokąty / Prostokąty i kwadraty ]

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
O prostokątach i kwadratach mówiliśmy już w klasie czwartej. Teraz przypomnimy definicje i własności tych figur.

Własności prostokąta

Własności kwadratu

Animacja prezentuje kwadrat, w którym poprowadzone są przekątne. Należy zmierzyć linijką jego przekątne, a następnie sprawdzić kątomierzem pod jakim kątem się one przecinają. Po dokonaniu pomiarów zauważamy, że w kwadracie przekątne są równe i przecinają się pod kątem prostym.

Animacja prezentuje prostokąt A B C D z poprowadzonymi przekątnymi. Należy poruszać wierzchołkiem C prostokąta i obserwować kąt przecięcia się przekątnych prostokąta oraz długości jego boków. Zauważamy, że wszystkie boki prostokąta są tej samej długości, gdy kąt między jego przekątnymi jest kątem prostym. Prostokąt jest kwadratem, gdy ma boki tej samej długości.

Animacja prezentuje romb A B C D z poprowadzonymi przekątnymi. Należy poruszać wierzchołkiem A i obserwować miary kątów tego rombu i długości jego przekątnych. Zauważamy, że gdy miary kątów tego rombu są równe, to jego przekątne są tej samej długości. Romb jest kwadratem, gdy jego kąty są kątami prostymi. Po zaobserwowaniu zmian, można zrobić to samo z wierzchołkiem D i zaobserwować, czy własności się zmieniają.

classicmobile

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1B6Ib7LpjCZV

Każdy prostokąt jest kwadratem.

Każdy kwadrat jest prostokątem.

W każdym prostokącie kąt między przekątnymi jest prosty.

static

# data[].attributes.attachment_link.description
O prostokątach i kwadratach mówiliśmy już w klasie czwartej. Teraz przypomnimy definicje i własności tych figur. Własności prostokąta Własności kwadratu classicmobile Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. R1B6Ib7LpjCZV static

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1 str. 123
zad. 2,3,5 str. 124
zeszyt ćwiczeń str. 22-23

# data[].attributes.attachment_link.description
Schemat ilustrujący sumę kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta

# data[].attributes.headline
WAŻNE - W każdym trójkącie suma miar kątów wynosi 180 stopni.

# data[].attributes.subject
WAŻNE - W każdym trójkącie suma miar kątów wynosi 180 stopni.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1,2 str. 122
zeszyt ćwiczeń str. 20-21

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Licencja:

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

# data[].attributes.attachment_link.description
Z tego filmu dowiesz się: jak wykonać prostą konstrukcję geometryczną, jak za pomocą cyrkla narysować trójkąt równoboczny, równoramienny i różnoboczny, jak sprytnie narysować trójkąt prostokątny.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Olaf postanowił narysować w programie GeoGebra trójkąt o bokach długości: , i .
Zaczął rysunek od najdłuższego boku. Potem, z końców tego boku narysował odcinki o długościach i i próbował znaleźć punkt, który będzie trzecim wierzchołkiem trójkąta.

38677851871345B00B15068551835785A00A

Poprzednie zadanie pokazuje, że boki trójkąta nie mogą mieć całkiem dowolnych długości. Jeżeli dana jest długość jednego z boków, to suma długości dwóch pozostałych musi być od niej większa.

Konstrukcje geometryczne różnią się od zwykłego rysowania. Do ich wykonania możemy wykorzystywać tylko cyrkiel i linijkę, przy czym linijka nie służy do mierzenia, a tylko do rysowania odcinków, prostych lub półprostych. Natomiast za pomocą cyrkla możemy odmierzać odcinki, rysować okręgi i łuki okręgów. Oczywiście używamy też ołówka.
Konstrukcje wykonywano już w starożytności, rozwiązując w ten sposób wiele problemów geometrycznych.

# data[].attributes.attachment_link.description
Olaf postanowił narysować w programie GeoGebra trójkąt o bokach długości: , i .Zaczął rysunek od najdłuższego boku. Potem, z końców tego boku narysował odcinki o długościach i i próbował znaleźć punkt, który będzie trzecim wierzchołkiem trójkąta. 38677851871345B00B15068551835785A00A Poprzednie zadanie pokazuje, że boki trójkąta nie mogą mieć całkiem dowolnych długości.

# data[].attributes.headline
Czy z każdych trzech odcinków można zbudować trójkąt?

# data[].attributes.subject
Czy z każdych trzech odcinków można zbudować trójkąt?

# data[].attributes.body
Skonstruuj trójkąt o bokach 7cm, 6cm,5cm

# data[].attributes.attachment_link.title
Konstruowanie trójkąta o danych bokach krok po kroku #jakpoliczyć

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1,2 str. 119
zad. 4, 5, 6, 7, 8 str. 120
zeszyt ćwiczeń str. 17-19

# data[].attributes.attachment_link.title
Podział trójkątów ze względu na kąty i boki #2 [ Trójkąty - wprowadzenie ]

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał zawiera: - określenie rodzajów trójkątów, - 2 ćwiczenia interaktywne na otrzymywanie trójkątów o danych własnościach, - ćwiczenie interaktywne - rozpoznawanie i nazywanie elementów trójkąta prostokątnego, - 2 ćwiczenia interaktywne - rozpoznawanie rodzajów trójkątów

# data[].attributes.headline
Podział trójkątów ze względu na długości boków:

# data[].attributes.subject
Podział trójkątów ze względu na długości boków:

# data[].attributes.headline
Podział trójkątów ze względu na miary kątów:

# data[].attributes.subject
Podział trójkątów ze względu na miary kątów:

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1 str. 116
zad  3,4,5,6 str. 117
zeszyt ćwiczeń str. 13-15

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Definicja: Obwód wielokąta

Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków.

Stosunek długości dwóch boków prostokąta jest równy . Obwód tego prostokąta jest równy . Obliczymy pole prostokąta.
Oznaczmy

Obliczamy pole prostokąta.

Odpowiedź. Pole prostokąta jest równe .

Greckie okręty wojenne wyposażone były w żagle prostokątne. Pełniły one rolę pomocniczą, gdyż główny napęd okrętów stanowiły wiosła.

Egipcjanie, żeglując po Nilu, posługiwali się żaglami trójkątnym, wykorzystującymi wiatr wiejący z pustyni w poprzek rzeki.

Łodzie w północnej Europie korzystały z pojedynczego żagla w kształcie trapezu lub prostokąta.

Definicja: Przekątna wielokąta

Przekątna wielokąta to odcinek łączący dwa wierzchołki tego wielokąta, nieleżące przy tym samym boku.

Narysuj przekątne wielokąta.

Pokaż rozwiązanie

Rysunek przedstawia wielokąty z zaznaczonymi przekątnymi.

Uzupełnij tabelę.

Pokaż rozwiązanie

Twierdzenie: Przekątne wielokąta

Obliczymy, ile przekątnych ma stukąt.
Korzystamy ze wzoru na liczbę przekątnych - kąta.

Odpowiedź: Stukąt ma przekątnych.

Wielokąt wypukły - dowolne dwa jego punkty można połączyć odcinkiem zawartym w wielokącie.

Wielokąt wklęsły - wielokąt, który nie jest wypukły.

Suma miar kątów w trójkącie wynosi .

Animacja prezentuje trójkąt A B C, którego kąty A =80 stopni i B =51 stopni.. Kąty A, B, C tworzą kąt półpełny, więc kąt C ma miarę 49 stopni.

Każdy wielokąt wypukły można podzielić na trójkąty o wspólnym wierzchołku, który jest zarazem wierzchołkiem wielokąta.

Na ile takich trójkątów można podzielić czworokąt? A pięciokąt? A sześciokąt?

A siedmiokąt? Określ, na ile takich trójkątów można podzielić ośmiokąt i sprawdź swoje przypuszczenia, wykonując odpowiedni rysunek.

Czy zauważasz jakąś zależność między liczbą kątów wielokąta a liczbą utworzonych trójkątów?

Czy już wiesz, na ile trójkątów można podzielić w ten sposób 1024 - kąt?
Animacja pokazuje różne wielokąty, które są podzielone na trójkąty o wspólnym wierzchołku. Suma miar kątów każdego trójkąta wynosi 180 stopni, zatem suma miar kątów wewnętrznych wielokąta jest równa k razy 180 stopni (gdzie k to ilość trójkątów, na które można podzielić dany wielokąt). Wielokąt o n wierzchołkach można podzielić na k = n -2 trójkąty, stąd suma miar kątów wielokąta o n wierzchołkach jest zawsze równa: (n -2) razy 180 stopni.

Pokaż rozwiązanie
Podział wielokątów na trójkąty jest przydatny przy określeniu sumy miar kątów dowolnego wielokąta.

Twierdzenie: Suma miar kątów

Wyznacz sumę miar kątów

Pokaż rozwiązanie

Wyznaczymy miarę kąta sześciokąta foremnego.

Suma miar wszystkich kątów sześciokąta wynosi

W sześciokącie foremnym kąty są równe. Jest ich sześć, zatem miara jednego z nich jest równa

Odpowiedź. Miara kąta sześciokąta foremnego jest równa

W pewnym wielokącie suma miar kątów jest równa Ile boków ma ten wielokąt?
Oznaczmy: - liczba boków wielokąta ( - liczba naturalna dodatnia).
Otrzymujemy równanie

Równanie rozwiązujemy metodą działań odwrotnych.

Odpowiedź: Wielokąt, którego suma miar kątów jest równa to dziesięciokąt.

Animacja przedstawia trapez. Zmieniając położenie wierzchołków, można otrzymać trapez równoramienny, trapez nierównoramienny, trapez prostokątny nierównoramienny i trapez prostokątny równoramienny.

Czworokąty, podobnie jak trójkąty można klasyfikować ze względu na miary ich kątów oraz długości ich boków.

Jeśli czworokąt ma co najmniej jedną parę boków równoległych, to nazywamy go trapezem.

Boki równoległe trapezu nazywamy jego podstawami, zaś dwa pozostałe boki to ramiona trapezu.

Definicja: Trapez równoramienny

Trapez, którego ramiona są równe i niebędący równoległobokiem nazywamy trapezem równoramiennym.

W trapezie równoramiennym

Definicja: Trapez prostokątny

Trapez, w którym przynajmniej jeden kąt ma miarę nazywamy trapezem prostokątnym.

W trapezie prostokątnym ramię prostopadłe do podstawy jest zarazem wysokością.

Twierdzenie: Suma kątów leżących przy ramieniu trapezu

Suma miar kątów leżących przy jednym z ramion trapezu jest równa .

Uzasadnij, że suma miar kątów przy jednym z ramion trapezu jest równa .

Pokaż rozwiązanie

Oblicz pole każdego z trapezów. Przyjmij jako jednostkę pola pole jednej kratki.
Czy pamiętasz, jakim wzorem wyraża się pole trapezu?

Pokaż rozwiązanie

Obwód trapezu równoramiennego jest równy . Jedna podstawa ma długość , a druga jest trzykrotnie dłuższa. Wysokość jest o krótsza od długości ramienia. Oblicz pole trapezu.
Zaznaczamy na rysunku sytuację przedstawioną w zadaniu, oznaczając - długość ramienia trapezu. Dłuższa podstawa jest równa

Znajdziemy najpierw długość ramienia trapezu. Obwód trapezu jest równy , zatem

Ramię trapezu ma długość .
Wysokość jest o krótsza niż ramię, więc ma długość

Obliczamy pole trapezu, korzystając z odpowiedniego wzoru.

Odpowiedź: Pole trapezu jest równe .

Pole trapezu równoramiennego jest równe . Wysokość trapezu jest dwa razy dłuższa od krótszej podstawy i wynosi . Oblicz długości odcinków, na jakie wysokość poprowadzona z wierzchołka dzieli podstawę .

Obliczamy długość krótszej podstawy

Obliczamy długość drugiej podstawy, korzystając ze wzoru na pole trapezu.

Druga podstawa ma długość .
Zauważmy, że gdy poprowadzimy wysokości z wierzchołków i to podzielą one dłuższą podstawę na trzy części. Środkowa z nich jest równa krótszej podstawie, dwie pozostałe mają równe długości.
Oznaczmy: - długość jednej z tych części.

Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych, nazywamy równoległobokiem.

Jeśli w równoległoboku wszystkie boki są równe, to równoległobok nazywamy rombem.

Jeśli kąty w równoległoboku są równe, to taki równoległobok jest prostokątem.

Aby równoległobok był prostokątem, wystarczy, aby jeden jego kąt był prosty.

Przypomnijmy kilka ważnych własności równoległoboku.

Równoległobok ma dwie wysokości. W prostokącie wysokości są zarazem długościami boków.

Twierdzenie: Pole równoległoboku

Pole równoległoboku jest równe iloczynowi wysokości równoległoboku i długości podstawy, do której ta wysokość została poprowadzona.

Pole kwadratu oraz pole rombu można obliczyć inaczej.

Rozwiązanie.

Animacja pokazuje czworokąty osiowosymetryczne. Osią symetrii czworokąta jest albo jego przekątna albo prosta przechodząca przez środki jego przeciwległych boków. Zmieniając położenie wierzchołków deltoidu A B C D możemy otrzymać kwadrat lub romb. Zmieniając położenie wierzchołków prostokąta E F G H możemy otrzymać kwadrat lub trapez.

Zastanów się, które czworokąty mają oś symetrii. Sprawdź swoje przypuszczenia, zmieniając położenie wierzchołków czworokątów.
Zmieniaj położenie punktów . Punkty są obrazami tych punktów w symetrii osiowej.
Jakie czworokąty możemy uzyskać?

Deltoidem nazywamy czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii.

Oś symetrii deltoidu jest symetralną drugiej przekątnej.

Przekątne deltoidu są prostopadłe.

Dwa sąsiednie boki deltoidu są tej samej długości.

Kąty między różnymi bokami są równe.

Własności deltoidu:

Latawce prawdopodobnie wynaleziono w Chinach ok. p.n.e. Początkowo były budowane w kształcie ptaków lub bajkowych zwierząt, np. smoków. Często używano ich w czasie działań wojennych, aby przestraszyć wroga. W Polsce w tym celu wykorzystywano latawce w bitwie pod Legnicą w . Przez wieki latawce były pomocne w badaniach meteorologicznych, ratownictwie morskim, wykonywaniu zdjęć z powietrza.
Latawce mogą się wznieść na wysokość .
Obecnie latawce mają najczęściej kształt deltoidów.

Podłoga ma kształt kwadratu o boku długości . Drzwi mają szerokość . Ile sztuk listew przypodłogowych o długości każda należy kupić, aby umocować je wzdłuż ścian?

Pokaż rozwiązanie

Latawiec ma kształt deltoidu. Długości jego przekątnych wynoszą oraz . Ile tubek farby należy kupić, aby pomalować go z obu stron, jeśli wiadomo, że jedna tubka farby wystarczy na pomalowanie powierzchni?

Pokaż rozwiązanie

Prostokątna patchworkowa serwetka o wymiarach i zszyta jest z jednakowych kolorowych kwadratów o boku długości . Oblicz, ile takich kwadratów użyto na wykonanie serwetki.

Pokaż rozwiązanie

Jakie najmniejsze pole powierzchni musi mieć prostokątna korkowa tablica, na której chcemy przypiąć zdjęć o wymiarach i ?

Pokaż rozwiązanie

Jeden bok równoległoboku, którego obwód wynosi , jest dwa razy krótszy od drugiego boku. Oblicz długości boków tego równoległoboku.

Pokaż rozwiązanie

Oblicz obwód czworokąta, w którym

Obwód rombu jest równy . Przekątna podzieliła romb na dwa trójkąty równoboczne. Oblicz obwód jednego z tych trójkątów.

Pokaż rozwiązanie

Czy wielokąt może mieć przekątnych? Odpowiedź uzasadnij.

Pokaż rozwiązanie

wielokąta, w którym przekątne są równe.

wielokąta foremnego, w którym przynajmniej dwie przekątne mają różne długości.

Pokaż rozwiązanie
Podaj przykład

Obwód sześciokąta foremnego jest równy . Jaką długość ma najdłuższa przekątna w tym sześciokącie?

Pokaż rozwiązanie

Pole rombu jest równe . Jedna z jego przekątnych ma długość . Oblicz długość drugiej przekątnej.

Pokaż rozwiązanie

Przekątne rombu pozostają w stosunku . Ich suma jest równa . Oblicz pole tego rombu .

Pokaż rozwiązanie

Zapisz, ile wynosi suma miar kątów wewnętrznych wielokąta, który ma
Pokaż rozwiązanie Pokaż rozwiązanie
Wyznacz miary kątów

Ile boków ma wielokąt o danej sumie miar kątów?

Pole trapezu wynosi

Oblicz pole każdego z wielokątów. Przyjmij za jednostkę pole jednej kratki.

Pokaż rozwiązanie

Pole wielokąta jest równe . Oblicz długość odcinka .

Pokaż rozwiązanie

Pole trapezu równoramiennego wynosi . Oblicz długość krótszej podstawy trapezu.

Pokaż rozwiązanie

Przekątne równoległoboku przecinają się w odległości od dłuższego boku. Oblicz długość tego boku, jeśli pole równoległoboku wynosi .

Pokaż rozwiązanie

Dokończ poniżesz zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Pole pewnego czworokąta to iloczyn długości sąsiednich boków. Czworokątem tym może być ...

Spośród równoległoboków oś symetrii mają tylko te, które są ...

Osiami symetrii rombu są jego ...

Osiami symetrii prostokąta są ...

Kwadrat ma ... osie symetrii, są nimi ...

Pokaż rozwiązanie
Pokaż rozwiązanie

Narysuj czworokąt, który ma

Uzupełnij zdania.

Narysuj deltoid, który nie jest rombem i którego pole jest równe

Pokaż rozwiązanie

Jedna z przekątnych rombu ma taką samą długość jak jego bok. Wyznacz miary kątów w tym rombie.

Pokaż rozwiązanie

Czy istnieje trapez, który ma dokładnie jeden kąt prosty?

Pokaż rozwiązanie

Przekątna kwadratu ma długość . Oblicz pole kwadratu.

Pokaż rozwiązanie

Jaką figurę otrzymasz, jeśli połączysz środki sąsiednich boków prostokąta? Odpowiedź uzasadnij.

Pokaż rozwiązanie

Pole prostokąta jest równe . Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołki są środkami boków tego prostokąta.

Pokaż rozwiązanie

Uzasadnij, że czworokąt, którego przekątne przecinają się w połowie długości, jest równoległobokiem.

Pokaż wyjaśnienie

# data[].attributes.attachment_link.description
Definicja: Obwód wielokąta Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków. Stosunek długości dwóch boków prostokąta jest równy . Obwód tego prostokąta jest równy . Obliczymy pole prostokąta.Oznaczmy Obliczamy pole prostokąta. Odpowiedź. Pole prostokąta jest równe . Greckie okręty wojenne wyposażone były w żagle prostokątne. Pełniły one rolę pomocniczą, gdyż główny napęd okrętów stanowiły wiosła.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1 str. 114
zad. 3,4,5 str. 115
zeszyt ćwiczeń str. 11-12

# data[].attributes.attachment_link.title
Kąty wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające #4 [ Wstęp do geometrii ]

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
W tej części podręcznika usystematyzujemy zdobyte wcześniej wiadomości na temat własności figur płaskich i rozszerzymy je w oparciu o nowe narzędzia algebraiczne.

Definicja: Kąty przyległe i wierzchołkowe

Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.

Kąty wierzchołkowe to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i przedłużeniem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.

Wprost z twierdzenia o sumie miar kątów przyległych wynika, że

oraz

Stąd . Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie.

Twierdzenie: o kątach wierzchołkowych

Kąty wierzchołkowe są równe.

Obliczmy miary kątów α, β i γ zaznaczonych na rysunku.

Kąty 47° i β są wierzchołkowe, więc β=47°. Każdy z kątów α i γjest przyległy do kąta 47°. Zatem

Definicja: Kąty naprzemianległe i odpowiadające

Kąty: α i , β i , γ i oraz δ i nazywamy kątami odpowiadającymi.

Kąty i δ oraz i γ nazywamy kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.

Kąty β i oraz α i nazywamy kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.

W przypadku, gdy proste k i l są równoległe

Kąty: α i , β i , γ i oraz δ i są kątami odpowiadającymi.

Kąty i δ oraz i γ są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.

Kąty β i oraz α i są kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.

Twierdzenie: Proste równoległe

Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kąty naprzemianległe są równe i kąty odpowiadające są równe.

Twierdzenie: Kąty naprzemianległe

Jeżeli proste k i l przetniemy trzecią prostą i tak utworzone kąty naprzemianległe są równe, to proste k i l są równoległe.

Animacja pokazuje w trzech krokach powyższe twierdzenie . Dana są proste k i l oraz prosta przecinająca je. Na prostej l leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się miary kątów naprzemianległych, tak aby ich miary były równe. Jeśli kąty naprzemianległe są równe to proste k i l są równoległe.

Twierdzenie: Kąty odpowiadające

Jeżeli proste k i l przetniemy trzecią prostą i tak utworzone kąty odpowiadające są równe, to proste k i l są równoległe.

Animacja pokazuje w trzech krokach ilustrację powyższego twierdzenia. Dana są proste k i l oraz prosta przecinająca je. Na prostej l leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się miary kątów odpowiadających, tak aby ich miary były równe. Jeśli kąty odpowiadające są równe to proste k i l są równoległe.

Proste k i l zostały przecięte trzecią prostą. Miary kątów zaznaczono na rysunku. Uzasadnimy, że proste k i l są równoległe.

Zaznaczmy kąt przyległy do kąta 128°. Jego miara jest równa

Dwa kąty odpowiadające mają taką samą miarę 52°, skąd wynika, że proste k i l są równoległe.

Konstrukcja kątów naprzemianległych.

Konstrukcja kątów odpowiadających.

Podaj miary kątów przy prostych równoległych.

Dwie proste przecięte trzecią prostą - zmienia się położenie trzeciej prostej. Dany jest jeden kąt - należy podać miary pozostałych kątów

# data[].attributes.attachment_link.description
W tej części podręcznika usystematyzujemy zdobyte wcześniej wiadomości na temat własności figur płaskich i rozszerzymy je w oparciu o nowe narzędzia algebraiczne. Definicja: Kąty przyległe i wierzchołkowe Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,5 str. 112
zeszyt ćwiczeń str. 9-10

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Znasz już większość podstawowych przyborów geometrycznych. Linijka służy do rysowania odcinków, prostych, półprostych oraz do mierzenia długości odcinków. Podobne funkcje ma ekierka, ale dodatkowo można ją wykorzystać na przykład do sprawdzania prostopadłości prostych.
Jest również przyrząd do mierzenia kątów i rysowania kątów o danej mierze. Jest to kątomierz.

# data[].attributes.attachment_link.description
Znasz już większość podstawowych przyborów geometrycznych. Linijka służy do rysowania odcinków, prostych, półprostych oraz do mierzenia długości odcinków. Podobne funkcje ma ekierka, ale dodatkowo można ją wykorzystać na przykład do sprawdzania prostopadłości prostych.Jest również przyrząd do mierzenia kątów i rysowania kątów o danej mierze. Jest to kątomierz.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4 str. 109
zeszyt ćwiczeń str. 7-8

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał składa się z sekcji: "Rodzaje kątów", "Kąty wierzchołkowe i przyległe". Materiał zawiera 11 ilustracji (fotografii, obrazów, rysunków), 3 filmy, 15 ćwiczeń, w tym 6 interaktywnych. Film - określenie kąta, rodzaje kątów. Przykłady - rodzaje kątów, kąty wierzchołkowe i przyległe, wyznaczanie miar kątów. Ćwiczenia - wyznaczanie miar kątów, rozpoznawanie rodzajów kątów.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania z całego tematu:

# data[].attributes.body
zad. 1 str. 105
zad. 2,3,4,6 str. 106
zeszyt ćwiczeń str. 3-6

# data[].attributes.headline
Filmik: rysowanie prostych prostopadłych i prostych równoległych

# data[].attributes.subject
Filmik: rysowanie prostych prostopadłych i prostych równoległych

# data[].attributes.attachment_link.title
Rysowanie prostych prostopadłych za pomocą linijki i ekierki #3 [ Proste i odcinki ]

# data[].attributes.attachment_link.title
Proste równoległe i prostopadłe #2 [ Proste i odcinki ]

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
RfjH1pYmSyzFv 1

Animacja

shuffle Odtwarzanie losowe skip_previous Poprzedni skip_next Następny repeat Powtórz

Co nazywamy odległością punktu od prostej?

Jak konstrukcyjnie wyznaczyć tę odległość?

Jak sprawdzić, czy narysowany odcinek określa odległość danego punktu od danej prostej?
R6NZ4rjtmSnjz 1

Animacja pokazuje punkt B leżący na prostej i punkt A, który nie leży na prostej. Zaznaczony jest kąt między prostą i utworzonym odcinkiem BA. Zmieniając położenie punktu B, zmieniamy długość odcinka BA. Należy odpowiedzieć na pytania: w jakim przypadku ta długość jest najmniejsza, jaka jest odległość punktu od prostej, jaki jest kąt pomiędzy odcinkiem AB a prostą, gdy odległość BA jest najmniejsza? Zauważamy, że najmniejsza odległość punktu A od prostej jest wtedy, gdy utworzony kąt ma miarę 90 stopni.

Definicja: Odległość punktu od prostej

Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z prostą.

Odległość punktu P od prostej k to długość odcinka PR, prostopadłego do prostej k.

Definicja: Odległość dwóch prostych równoległych

Odległość dwóch prostych równoległych to długość najkrótszego odcinka łączącego te proste. Odcinek ten jest prostopadły do obu tych prostych.

Odległość prostych k i l to długość odcinka TZ.

R72cYY4YKThaI 1

Animacja

shuffle Odtwarzanie losowe skip_previous Poprzedni skip_next Następny repeat Powtórz

RaGj5SJPUaz17 1

Animacja

shuffle Odtwarzanie losowe skip_previous Poprzedni skip_next Następny repeat Powtórz

Animacja pokazuje różnej długości i różnie położone odcinki AB oraz odcinek CD. Wykorzystując ekierkę należy tak zmienić położenie punktów C i D, aby odcinek CD był prostopadły do odcinka AB.

Animacja pokazuje odcinek AB i punkt C, leżący poza odcinkiem, położone na kratownicy. Punkty A, B, C są zawsze punktami kratowymi. Należy znaleźć takie położenie punktu D, aby odcinek CD był prostopadły do odcinka AB. Poruszamy się po liniach pionowych i poziomych kratownicy, aby dojść od punktu A do punktu B. Odcinek AB jest przekątną pewnego prostokąta. Jeżeli chcemy, aby poszukiwany odcinek CD był prostopadły do odcinka AB, to przesuwamy prostokąt tak, aby jednym z wierzchołków był punkt C. Następnie obracamy go o 90 stopni. Wówczas odcinek CD, w obróconym prostokącie, będzie przekątną prostopadłą do przekątnej AB pierwszego prostokąta. Używając ekierki sprawdzamy czy odcinki AB i CD są prostopadłe.

Animacja pokazuje różnej długości i różnie położone odcinki AB oraz odcinek CD, położone na kratownicy tak, że końce obu odcinków są zawsze punktami kratowymi. Należy bez użycia kątomierza znaleźć położenie punktów C i D tak, aby odcinek CD był prostopadły do odcinka AB.

# data[].attributes.attachment_link.title
Proste i odcinki prostopadłe i równoległe

# data[].attributes.attachment_link.description
RfjH1pYmSyzFv 1 Co nazywamy odległością punktu od prostej? Jak konstrukcyjnie wyznaczyć tę odległość? Jak sprawdzić, czy narysowany odcinek określa odległość danego punktu od danej prostej? R6NZ4rjtmSnjz 1 Definicja: Odległość punktu od prostej Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z prostą.