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rama....

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http://laescuelaencasa.com/matematicas-2/geometria-basica/clase-5-relaciones-metricas-los-triangulos-rectangulos/
https://www.calcularporcentajeonline.com/problemas/otros/Pitagoras/problemas-resueltos-teorema-Pitagoras-ejemplos-hipotenusa-catetos-calcular-ejemplos.html
https://calculo.cc/temas/temas_trigonometria/trian_semejante/problemas/p_teo_altura.html
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/problemas-de-areas.html
http://chispita.over-blog.com/pages/Geometria_en_nuestra_vida_cotidiana-1374074.html
https://www.youtube.com/watch?v=O-fmdPOmtPQ

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La geometría forma parte de nuestro lenguaje cotidiano:  Nuestro lenguaje verbal diario posee muchos términos geométricos, por ejemplo: punto, recta, plano, curva, ángulo, paralela, círculo, cuadrado, perpendicular, etc. Si nosotros debemos comunicarnos con otros a cerca de la ubicación, el tamaño o la forma de un objeto la terminología geométrica es esencial. En general un vocabulario geométrico básico nos permite comunicarnos y entendernos con mayor precisión acerca de observaciones sobre el mundo en que vivimos.
La geometría tiene importantes aplicaciones en problemas de la vida real: Por ejemplo, está relacionada con problemas de medidas que a diarios nos ocupan, como diseñar un cantero o una pieza de cerámica o un folleto, cubrir una superficie o calcular el volumen de un cuerpo; con leer mapas y planos, o con dibujar o construir un techo con determinada inclinación. O si juegan juntos al fútbol, el niño sólo sabrá decir que el objeto que utilizan es un balón, pero no lo definirá como un cuerpo redondo, una esfera.

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2 ejercicios de las áreas de figuras planas.

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2 ejercicios de teoremas del triángulo

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1. Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de su hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos.
2. Teorema del Cateto: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
3. Teorema de la altura: En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de su altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
4. En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus catetos es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a dicha hipotenusa.
5. En todo triángulo rectángulo la inversa del cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de las longitudes de sus catetos.

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Medida de una superficie que dicha figura ocupa. El cálculo del área se realiza de forma indirecta, es decir, hay que recurrir a diferentes fórmulas matemáticas para conocerla.

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Línea o conjunto de líneas que forman el contorno de una superficie o figura. El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados.

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Relaciones métricas en el triángulo rectángulo 

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Relaciones métricas en el triángulo rectángulo 

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vamos a ver las relaciones métricas en los triángulos rectángulos: Proyecciones y los teoremas de la altura, del cateto y de Pitágoras.

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En esta clase vamos a ver las relaciones métricas en los triángulos rectángulos: Proyecciones y los teoremas de la altura, del cateto y de Pitágoras.

Observa la recta r y el punto P.

Si por el punto P se traza la perpendicular a la recta r, el pie de la perpendicular, el punto P', se llama proyección ortogonal del punto P sobre la recta r.

Dado un segmento AB y una recta r, la proyección del segmento AB sobre la recta r es otro segmento A'B' cuyos extremos son las proyecciones de los extremos A y B.

Podemos observar tres casos:

Si el segmento que se proyecta AB es paralelo a la recta r, entonces su proyección ortogonal sobre r, el segmento A'B' es igual al segmento proyectado por ser el cuadrilátero AA'B'B un rectángulo.

Si el segmento que se proyecta CD es oblicuo a la recta r, su proyección es, en general, menor que el segmento proyectado pues CD es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y C'D' = CM es un cateto de dicho triángulo.

Si el segmento RS que se proyecta es perpendicular a la recta r, entonces la proyección se reduce a un punto. Observa que las proyecciones R' y S' de R y S coinciden.

En el triángulo rectángulo ABC designamos sus elementos con letras:

a= BC, y se llama hipotenusa.

b = AC y c = AB, y se llaman catetos.

h = AD, y es la altura relativa de la hipotenusa.

b', es la proyección del cateto b sobre la hipotenusa.

c', es la proyección del cateto c sobre la hipotenusa.

Los tres triángulos ABC, ADB y ADC son triángulos semejantes.

Como los tres triángulos son rectángulos, tienen un ángulo igual a 90º. Por tanto, para probar que los tres triángulos son semejantes, es suficiente con mostrar que tienen un ángulo agudo igual (primer caso de semejanza)

Los triángulos ADB y ABC tienen el ángulo β , que es común para los dos triángulos.

Los triángulos ADC y ABC tienen el ángulo γ , que es común para los dos triángulos.

Los triángulos ADB y ADC tienen el ángulo β= 1

En un triángulo rectángulo, la altura es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.

Como los dos triángulos ADB y ADC son semejantes, sus lados homólogos son proporcionales:

\(\frac{DC}{DA}=\frac{DA}{DB}=\frac{AC}{AB}\)

La primera proporción se puede escribir así:

\(\frac{b'}{h}=\frac{h}{c'}\)

O también así:

\(h^{2}= b'\cdot c'\)

Estas igualdades indican que la altura es media proporcional entre las proyecciones de los dos catetos.

En un triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

Observa el triángulo ABC. Sabemos que al trazar la altura, se forman dos triángulos semejantes entre sí y que ambos son semejantes al triángulo ABC.

De la semejanza de los triángulos ADC y BAC se tiene la siguiente proporción entre los lados homólogos:

\(\frac{Hipotenusa\, de \, BAC}{Hipotenusa\, de\, ADC}=\frac{Cateto \, mayor\, de\, BAC}{Cateto\, mayor\, de\, ADC}\)

Es decir:

\(\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{DC}\)

Esta proporción se puede escribir así:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{b'}\)

O también así:

\(b^{2}=a\cdot b'\)

Del mismo modo, la semejanza de los triángulos ADB y CAB resulta:

\(\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{DB}\)

La primera proporción se puede escribir así:

\(\frac{a}{c}=\frac{c}{c'}\)

O también así:

Estas igualdades indican que cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras fue un sabio griego que observó que en un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 unidades de longitud, el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, y esto ocurre en todos los triángulos rectángulos.

5² = 25

3² = 9

4² = 16

25 = 9 + 16

5² = 3² + 4²

En el triángulo ABC, por el teorema del cateto tenemos:

c² = a · c'

b² = a · b'

Si sumamos estas igualdades tenemos:

c² + b² = a · c' + a · b' = a (c' + b') = a · a = a²

Es decir: a² = b² + c² y esta igualdad es el teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras también se puede escribir de las siguientes formas:

Cálculo de la altura de un triángulo equilátero

Cálculo de la diagonal de un cuadrado

Cálculo de la longitud de una tangente

Fíjate en este triángulo equilátero de lado L = 6 cm

La altura AD es mediana y también es mediatriz; por lo tanto, el punto D es el punto medio del lado BC y DC = 3 cm

Si aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos que:

\(AD = h = \sqrt{6^{2}-3^{2}}={\sqrt{36-9}}=\sqrt{27}\simeq 5,1\)

La altura del triángulo es h = 5,1 cm.

Para calcular la diagonal de un cuadrado de lado 6 cm, utilizamos el teorema de Pitágoras ya que la diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos.

Por lo tanto tenemos:

\(d= \sqrt{6^{2}+6^{2}}={\sqrt{36+36}}=\sqrt{72}=8,4\)

La diagonal del cuadrado es d = 8,4 cm

Vamos a calcular la longitud del segmento PT de la tangente a una circunferencia de radio 6 cm, sabiendo que la distancia del punto P al centro O es 10 cm.

Para ello vamos a aplicar el teorema de Pitágoras:

\(PT= \sqrt{OP^{2}-OT^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}={\sqrt{100-36}}=\sqrt{64}=8\)

El segmento PT de la tangente a la circunferencia mide 8 cm.

Construcción de un segmento medio proporcional a dos segmentos dados

Construcción de un cuadrado de igual área que un rectángulo dado

Supongamos que tenemos dos segmentos a y b:

Si queremos calcular un segmento (h) que sea medio proporcional a los dos segmentos anteriores, se tiene que cumplir lo siguiente:

\(\frac{a}{h}=\frac{h}{b}\)

Por lo tanto, matemáticamente el cálculo sería:

\(h^{2}=a\cdot b\Rightarrow h=\sqrt{a\cdot b}\)

Para hallar el segmento h gráficamente hacemos lo siguiente:

1- Construimos un segmento MN = a + b

2- Trazamos una semicircunferencia de diámetro MN = a + b y por el punto H, común a los segmentos a y b. Trazamos una perpendicular al segmento MN que corte a la semicircunferencia en el punto A. El segmento AH =h es el medio proporcional.

Vemos que el triángulo MAN es rectángulo (el ángulo en A es recto porque es un ángulo inscrito cuyos lados abarcan 180º), por lo tanto:

\(\hat{A}=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}\)

Si aplicamos el teorema de la altura al triángulo rectángulo MAN obtenemos:

\(h^{2}=a\cdot b\)

Supongamos que queremos construir un cuadrado que tenga la misma área que el rectángulo ABCD

Para construir el cuadrado, haremos lo siguiente:

Trazamos un segmento AB igual al lado mayor del rectángulo y luego trazamos una semicircunferencia de diámetro AB. Después llevamos sobre AB un segmento AD' igual al lado menor del rectángulo (AD' = AD), y trazamos por D' una perpendicular al diámetro AB que corta a la semicircunferencia en el punto P. El lado del cuadrado que estamos buscando es AP.

Como vemos, es triángulo APB es rectángulo, y aplicando el teorema del cateto obtenemos lo siguiente:

\(\frac{AB}{AP}=\frac{AP}{AD'}\rightarrow AP^{2}=AB\cdot AD'\)

Y como AD' = AD resulta:

\(AP^{2}=AB\cdot AD\)

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Relaciones métricas en los triángulos rectángulos. Tutorial. Ejercicios.

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En esta clase vamos a ver las relaciones métricas en los triángulos rectángulos: Proyecciones y los teoremas de la altura, del cateto y de Pitágoras. Observa la recta r y el punto P. Si por el punto P se traza la perpendicular a la recta r, el pie de la perpendicular, el punto P', se llama proyección ortogonal del punto P sobre la recta r.

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Anneth Gómez - María Gómez Lengua y Literatura