# data[].attributes.body
A pesar de que en muchas ocasiones me llegué a estresar en sus clases gracias a que no entendía o algo por el estilo, me divertí mucho y la verdad agradezco que usted haya sido mi profesor. Gracias por el esfuerzo y por aguantarme.
Se le aprecia.

# data[].attributes.body
EJEMPLO

*Verifica si los siguientes triángulos son semejantes:

# data[].attributes.body
ღSemejanza de figuras

†Dos figuras geométricas son semejantes si tienen los mismos ángulos internos (uno a uno) y sus lados correspondientes tienen la misma proporción.

†Cuando decimos que dos figuras son semejantes queremos decir que ambas tienen la misma forma, pero tal vez una es escala de la otra.

†Los siguientes dos triángulos son semejantes:

# data[].attributes.body
ღPostulados de Congruencia

# data[].attributes.body
Para denotar matemáticamente que los triángulos △ABC y △A'B'C' son congruentes, vamos a usar la notación:
△ABC ≅ △A'B'C'

Y ésto se leerá como: <<El triángulo ABC es congruente con el triángulo A'B'C'.>>

# data[].attributes.body
PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS ISÓCELES.
1. Los ángulos de la base son iguales
∡D = ∡C

2.Sus diagonales son iguales
DB = AC

# data[].attributes.body
ღPropiedades de los trapecios
1. En un trapecio la longitud de la línea media (paralela media) es igual a la semisuma de las bases del trapecio.
UR= PQ+TS/2

2. Las bisectrices de los ángulos adyacentes al lado lateral del trapecio son perpendiculares y el punto de intersección se encuentra en su línea media.
PV ┴  TV

# data[].attributes.body
4. Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y se bisecan mutuamente, ésto es, una diagonal es mediatriz de la otra.
AC┴ BD,AE=EC,BE=ED

5. Las diagonales de un nombre son bisectrices de los ángulos formados por los vértices que unen.
∡1=∡2,∡3=∡4,∡5=∡6 y ∡7=∡8

6. Los diagonales de un rombo forman 4 triángulos congruentes.
△AED=△BEC=△AEB=△CED

# data[].attributes.body
PROPIEDADES
1. Los rectángulos tienen sus ángulos rectos
∡A=∡B=∡C=∡D=90°

2. Los diagonales de un rectángulo son iguales
AC=BD

3. Los diagonales de un rectángulo forman 2 pares de triángulos congruentes.
△AED=△BEC ; △DEC=△AEB

# data[].attributes.body
ღParalelogramos especiales.
Se denomina así al rectángulo, al rombo y al cuadrado, los cuales pertenecen al conjunto de los paralelogramos y se definen de la manera siguiente:

Rectángulo: Es el paralelogramo que tiene sus ángulos iguales, también se le conoce como paralelogramo equivalente.

Rombo: Paralelogramo que tiene sus lados iguales, también el nombre de paralelogramo equilátero.
MN = NO = OP = PM

Cuadrado: Se define como el paralelogramo equiángulo y equilátero, ésto es, un cuadrado,es un rectángulo y a la vez un rombo.
∡R=∡S=∡T=∡U=90°; RS=ST=TU=UR

# data[].attributes.body
ღPropiedades de los paralelogramos

1. Los lados opuestos son iguales
AB=CD  y AC=BD

2. Los ángulos opuestos son iguales
∡A=∡D  y  ∡B=∡C

3. Los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios
∡A+∡B=180°, ∡C+∡D=180°
∡A+∡C=180°, ∡B+∡D=180°

4. Las diagonales se bisecan mutuamente.

5. La diagonal divide en 2 triángulos congruentes.
△ABD   ≅   △CDA

# data[].attributes.body
Se observa que se forman 2 triángulos △ABC y △ACD

La suma de los angulos interiores de los triángulos es igual a 180°:
∡BAC+∡ABC+∡ACB=180°
∡CAD+∡ADC+∡ADC=180°

Al sumar ambas expresiones se obtiene:
∡BAC+∡DAC+∡ABC+∡ADC+∡ACB+∡ACD=360°
pero ∡BAC+∡DAC=∡BAD y ∡ACB+∡ADC=∡BDC

Al sustituir estas igualdades en la expresión anterior:
(∡BAC+∡DAC)+∡ABC+∡ADC+(∡ACB+∡ACD)=360°
∡BAD+∡ABC+∡ADC+∡BCD=360°

Por consiguiente queda demostrado el teorema.

# data[].attributes.body
ღTeorema
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°

Demostración: Dado el cuadrilátero ABCD, se traza una de sus diagonales.

# data[].attributes.body
*Diagonal*
Es el segmento de recta que une 2 vértices de un cuadrilátero no adyacentes.

AC y BD son diagonales

# data[].attributes.body
El cuadrilátero es todo polígono de cuatro lados.

Clasificación:

Paralelogramo: Es el cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.
Cuadrado: Es el paralelogramo que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos son rectos.
Rectángulo: Es el paralelogramo que tiene sus lados contiguos desiguales y los 4 ángulos rectos.
Rombo: Es el paralelogramo que tiene todos los lados iguales y ángulos contiguos desiguales.
Romboide: Es el paralelogramo que tiene los lados contiguos desiguales y ángulos oblicuos.
Trapecio: Es el cuadrilátero que tiene 2 de sus lados paralelos.
Trapecio rectángulo: Es el que tiene 2 de sus ángulos rectos.
Trapecio isóceles: Es el que tiene 2 lados no paralelos iguales.
Trapecio escaleno: Es aquel que tiene sus lados no paralelos diferentes.
Trapezoide: Es el cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo a su opuesto.

# data[].attributes.body
A continuación se mencionan  y demuestran algunos teoremas importantes sobre los triángulos.

# data[].attributes.body
Mediatriz: Recta perpendicular al lado de un triángulo y que pasa por el punto medio de éste mismo lado.

Circuncentro: Es el punto donde se intersecan las mediatrices.

# data[].attributes.body
Bicectriz: Recta quedivide en 2 angulos iguales a un angulo interior de un trángulo.

Incentro: Es el punto donde se intersecan las bicectrices.

# data[].attributes.body
Mediana: Así se determina al segmento que una al vértice con el punto medio del lado opuesto.

Baricentro: Es el punto donde se intersecan las medianas.

# data[].attributes.body
ღRectas y puntos notables.
Son rectas y puntos con características especiales dentro de un triángulo y son:

# data[].attributes.body
Altura: Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto.

Ortocentro: Se define así al punto donde se intersecan las alturas.

# data[].attributes.body
ღClasificación de triángulos
Por sus ángulos:

Tiene un ángulo recto                                                 Sus 3 ángulos son agudos                                             El que tiene un ángulo obtuso

# data[].attributes.body
Triángulo escaleno.
Sus lados son diferentes.
___      ___    ___
AB  =  BC = AC

# data[].attributes.body
Triángulo isóceles.
Tiene 2 lados iguales.
___      ___     ___
AB  =  BC  = AC

# data[].attributes.body
Triángulo equilátero.
Sus lados son iguales.
___      ___      ___
AB  =  AC  =  BC

# data[].attributes.body
ღClasificación de los triángulos
Por sus lados:

# data[].attributes.body
Porción del plano limitada por 3 rectas que se intersecan una a una en puntos llamados vértices

# data[].attributes.body
Regulares: Tienen todos sus lados iguales.                              I rregulares: Tienen las medidas de sus lados diferente.

# data[].attributes.body
ღClasificación de polígonos según su número de lados.

# data[].attributes.body
ღ Clasificación de polígonos según sus ángulos.

# data[].attributes.body
ღElementos de un polígono:

# data[].attributes.body
Un polígono es una figura plana delimetada por tres o más lados rectos. Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales, es decir, es equilátero y equiángulo.

# data[].attributes.headline
❤Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas.

# data[].attributes.subject
❤Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas.

# data[].attributes.body
Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.

Así las ecuaciones "x+y =5" y "x-y=1" son simultáneas porque
x=3
y=2  satisfacen ambas ecuaciones. (O sea que el mismo valor funciona para ambas ecuaciones.)

# data[].attributes.body
ღCriterios de semejanza de

# data[].attributes.body
Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra.

Sus signos son > que se lee como "mayor que", y < que se lee "menor que".
Así: 5>3   (Cinco, mayor que tres)

Propiedades de las desigualdades
1.- Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad varía.

ღ Así, dada la desigualdad a>b podemos escribir:

a+c > b+c                       a-c  > b-c

2.- Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía.

ღ Así, la desigualdad a>b  y siendo "c" una cantidad positiva, podemos escribir:

ac > bc                          a/c  >  b/c

3.- Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía.

ღ Así, si en la desigualdad a>b multiplicamos ambos miembros por     -c,tendremos:

            -ac < -bc

4.- Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo.

ღ Así, si a>b es evidente que b<a

5.- Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo.

ღAsí, siendo a>b se tiene que 1/a < 1/b

6.- Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

ღ Así 5>3. Elevado al cuadrado:

5²>3²           o sea       25>9

7.-Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

ღ Así, -3 > -5. Elevado al cubo:

(-3)³ > (-5)³      o sea       -27 > -125

8.-Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia.

ღ Así, -3 > -4. Elevado al cuadrado:

(-3)² = 9               y            (-5)² = 25             y queda      9<25

9.- Si un miembro es positivo y el otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar.

ღ Así, 3>-5. Elevado al cuadrado:

3²=9               y                  (-5)²=25          y queda       9<25

10.- Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

ღ Así, si a>b y n es positivo tendremos:

         ⁿ√a   >    ⁿ√b

11.-Si dos o más igualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro, resulta una igualdad del mismo signo.

ღ Así, si a>b y c>d, tendremos:

        a+c>b+d       y    ac>bd

12.-Si dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad.

ღ Así, 10>8 y 5>2. Restando miembro a miembro:

10-5= 5    y   8-2=6 ; luego queda 5<6; cambia el signo

# data[].attributes.body
ღ La "x" queda del lado izquierdo del "=".
ღ Al pasar al otro del "=" se cambia el signo.

1.  Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2.  Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

3.  Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4.  Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

EJEMPLOS

*  2x = 8                               * 3x - 15 = 0                      *3x +12 = 0
x = 8/2                             3x = 15                                3x = -12
x = 4                                 x = 15/3                              x= 12/3
x = 5                                    x= -4

# data[].attributes.body
ღCongruencia
*Dos objetos geométricos son congruentes si tienen las mismas medidas y los mismos ángulos.

Por ejemplo, los siguientes ejemplos son congruentes.
A'   •-----------------------------•    B'
A   •-----------------------------•   B

Igualmente los siguientes dos ángulos son congruentes, pues tienen la misma medida.

# data[].attributes.body
ALGUNOS EJEMPLOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS SON:

† Suma de dos números cualesquiera:     a +b
† Resta de dos números cualesquiera:    a -b
† Suma de dos números cualesquiera, menos otro número cualesquiera:    a- b + c

† El cuadrado de la suma de dos números:     (x+4)²
† El triple del cuadrado de la suma de dos números:    3(x+4)2
† La suma de 3 números:   a + b + c
† La semi-suma de dos números:  (a + b) /2
† La suma de un número, su doble y su triple es 42:    x + 2x +3x = 42
† La suma de 3 números consecutivos es 61:  x + x + 1 +x + 2 = 61
† El recíproco de un número:    1/x
† El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:     c2 = a2 + b2
† El cociente de la suma entre la diferencia de dos cantidades: (a+b) / (a-b)
† La suma de dos y un número:    2 + x
† Tres más que un número:   x+3
† Diferencia entre un número y 5:  x - 5
† Cuatro menos que "n":   4-n
† Un número aumentado en 1:  x + 1
† Un número disminuido en 10:   x - 10

# data[].attributes.body
a =
b = Un numero cualquiera.
c =

# data[].attributes.body
*En el orden que aparecen: La mitad, la tercera parte, la cuarta parte y la quinta parte.*

# data[].attributes.body
Fracción

*Cociente indicado, comparación entre dos cosas o cantidades.*

# data[].attributes.body
Llave

*Producto, numero de veces, multiplicación.*

# data[].attributes.body
Corchetes

*Producto, numero de veces, multiplicación, agrupar, separar.*

# data[].attributes.body
Paréntesis

*Producto, numero de veces, compartir,etc.*

# data[].attributes.body
División

*Cociente, entre, repartir, fraccionar*

# data[].attributes.body
Multiplicación

*Producto, numero de veces, multiplicar por uno.

# data[].attributes.body
Menos
Tiene dos significados:
1.- Indica si un numero es negativo.
2.- Entre dos cantidades indica resta o sustracción.

*Quitar, disminuir, reducir, desagregar, etc.*

# data[].attributes.body
Mas
Tiene dos significados:
1.- Indica si un numero es positivo.
2.- Cuando estpa entre cantidades indica suma o adición.

*Agregar, aumentar, añadir, incrementar, etc.*

# data[].attributes.body
Consta principalmente de las letras del alfabeto y algunos vocablos griegos.
Surgió en arabia.

Su principal función es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética.
EJEMPLO:

a + b

Nos ayudan a simplificar el problema escrito con texto. Es la forma que se representa situaciones utilizando números y símbolos, que describimos con palabras del lenguaje natural. Así podemos manipular cantidades desconocidas y las relaciones entre ellas.

➤Se usan todas las letras del alfabeto.

➤Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo Pi.

➤Por lo regular las letras x, y, z; se utilizan como incógnitas.

# data[].attributes.body
→ 216y³-343m⁶= (6y-7m²) (36y²+42ym²+49m⁴)

³√216      ³√343

# data[].attributes.body
→64x³+125y³= (4x+5y) (16x²-20xy+25y²)

³√64      ³√125

→m³+y¹⁵ (m+y⁵) (m²-my⁵+y²⁵)

³√1          ³√1

# data[].attributes.body
→ x²-64m³= (x-8m²)(x+8m²)

√1    √64

→ 4x⁶-8ly⁸= (2x³-9y⁴) (2x³-9y⁴)

√4    √81

# data[].attributes.headline
❤Ecuaciones de primer grado y resolución de problemas

# data[].attributes.subject
❤Ecuaciones de primer grado y resolución de problemas

# data[].attributes.body
Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y letras ligados mediante operaciones algebraicas.

Se llama ecuación de primer grado con una incógnita a una expresión de la forma:
ax + b = 0

MIEMBROS
Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del sino o identidad y segundo miembro a la expresión de la derecha.

# data[].attributes.body
Polinomio es una expresión que consta de un término como:

*   a+b                                                  *x³ + 2x² + x + 7

*   a + x - y

Un polinomio tiene la forma:

anxⁿ + an-1xⁿ⁻¹ +  ..... +a1x + a0
a= Coeficientes
n= Es un entero NO negativo

EJEMPLO

y=8x⁵ - 1/2x⁴ - 10x³ +7x² + 6x + 4

Los polinomios se clasifican por su grado. Osease la mayor potencia de "x"en un polinomio.
↓                                               *NOTA* EL GRADO DEL POLINOMIO

f(x) = 3x⁵ - 4x³ - 3x + 8                           ES EL EXPONENTE MAYOR.

SUMA

*  (a-b)   +   (2a+3b-c)   +    (-4a+5b)=            |         *      (5x²+6x-9)   +    (-7x+15-8x²)=
|
a  -   b                                                  |                    5x²  +  6x  - 9
2a  + 3b - c                                            |                  -8x²   -  7x  +15
-4a  + 5b                                                 |           ━━━━━━━━━━

━━━━━━━━━                                       |                  -3x²  -   x  + 6
-4a  + 7b  -c                                            |

RESTA
↓*Se cambian los signos de adentro por el " - "   *
*  (4a - 2b - 5c)   -  (3a - 5b - 7c)

QUEDA ASÍ

➥ (4a - 2b - 5c)   -  (-3a +5b +7c)

4a - 2b - 5c
-3a +5b +7c
━━━━━━━
a  + 3b +2c

MULTIPLICACIÓN
*Se suman los exponentes*
*    (3x² + 6x - 2) (7x + 8)=           *Se acomodan debajo los números con la misma literal*
*Se realiza como una multiplicación común*
3x² + 6x - 2
7x + 8
━━━━━━
+ 24x² +48x-16
21x³ + 42x² -14x
━━━━━━━━━
21x³ + 66x² +34x - 16

DIVISIÓN

-División sintética

*    (3x² + 5x - 7)  ➗  (x + 3)  ←----------------Se cambia el signo
_________________________________________________|
↓

-3|          3       5      -7      ← Se acomoda de mayor a menor.

-9     +12
_________________
Baja igual➥ 3     -4     | +5 |  ←RESIDUO                    *Se aplica ley de signos*
↓      ↓

1      o     ← Se acomodan los grados de derecha a izquierda

RESULTADO:     |3x - 4|

# data[].attributes.body
MULTIPLICACIÓN
Se le llama multiplicación de monomios a la multiplicación de un solo término por otro término.

ღSe suman los exponentes de las literales iguales.
ღSe escriben las literales diferentes en un solo término resultado.

*  (2a²) (3a²) = 6a⁵

*  (5y) (6x) = 30xy

*  (3a²b) (-4b²x) = -12a²b³x

DIVISIÓN
Solo se pueden dividir monomios cuando el grado del numerador es mayor al denominador.
Para dividir monomios se restan los exponentes de cada variable.

*  4a³b²  ➗  2ab    =     4̲a̲³̲b̲²̲       =  +2a²b
2a²̲b

# data[].attributes.body
Solo podemos sumar monomios
semejantes.

La suma y resta de los monomios es
con otro monomio que tiene la misma
parte literal y cuyos coeficientes es la  suma o resta de los coeficientes.

SUMA
*   5x + 11x +8x +3x = 27x

*   2x²y³z + 3x²y³z = 5 x²y³z

*  3a²b + 4ab² + a²b + 7ab² +6b³  = 4a²b+11ab²+6b³

RESTA
*   11x² - 4x² - 2x² - x²  = 4x²

*   9a²b-4a²b =  5a²b

# data[].attributes.body
Un monomio es una expresión algebraica que consta de un solo elemento.
/            /
3a /   -5b   /   x^2y
━━━
5n^3

Un monomio es de la forma:      ax ^k

donde
a= Constante o coeficiente
x= Una variable o incógnita
k= Exponente o grado (no negativo)

ღEl exponente es el 0 si no hay una variable ღLos exponentes son números enteros Ejemplos de expresiones que NO son monomios: 3x^ 1/ 2 4x^-3

# data[].attributes.body
➤Potencia implícita

a¹ = a                                                          x¹ = x
8¹ = 8

➤Potencia cero
a⁰ = 1                                                          x⁰ = 1
8⁰ = 1
5⁰ = 1

➤Del exponente negativo
a ⁻ⁿ  = 1/a ⁿ                                             x⁻¹ = 1/x

➤De la multiplicación
(a^m) (aⁿ) = a + n                                   a x b =ab

se suman
→    →
a ³ x a ²  = a⁵
→       →
se multiplican

➤De la división
a^m / a^n = a m-n                                  a ⁴ / a ³  = a

se dividen → 10a⁻⁴ / 2a³ = 5a^⁻⁷ ← Se aplica ley de signos ➤De la potencia se multiplican ↓ los exponentes
(a^m) = a^mn                                  (x^⁴)⁵  = x²⁰
(x⁶)²  = x¹²

➤Potencia de una expresión en forma de fracción
(a / b)ⁿ  = aⁿ / bⁿ                             (a/b)⁵ = a⁵/b⁵

➤Potencia en forma de fracción
a m/n = ^m√aⁿ                                a 5/6 = ⁵√a⁶

# data[].attributes.body
SUMA Y RESTA

ღLa ley de los signos en sumas y restas solamente aplica para saber que operación se hará. Ya sea suma o resta.

ღAl final, en el resultado se coloca el signo del número mayor.

ღCuando tenga signo negativo antes del paréntesis, todos los signos de adentro, cambian.

EJEMPLOS:
* (3) + (12) = 15                           *  (9+5) - (8-11)                                  * (-6) + (-2) = -8                                (14)  - (-8+11)
* (15) + (-8) = 7                                  (14) - (2) =   12

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

ღAquí si aplica totalmente la ley de los signos.

(+)(+) = (+)
(-)(-) = (+)         ♛ SIGNOS IGUALES SE SUMAN
(+)(-) = (-)         SIGNOS DISTINTOS SE RESTAN ♛
(-)(+) = (-)

EJEMPLOS:
* (8) X (5) = 40                   *  (12) X (-6) = -72
* (-3) X (-7) = 21                 *  (-5) X (-4) = 20
* (-6) X (4) = -24                 * (32) X (-5) = -160

# data[].attributes.headline
Modulo II: Geometría, forma, espacio y medida.

# data[].attributes.subject
Modulo II: Geometría, forma, espacio y medida.

# data[].attributes.body
✞Polígonos

✞Clasificación y propiedades

✞Congruencia y semejanza

✞Teorema de Pitagoras y aplicaciones

✞Áreas y perímetros

✞Volúmenes

✞Imaginación espacial

# data[].attributes.body
✞Lenguaje algebraico
✞Monomios y Polinomios
✞Ecuaciones lineales
✞Desigualdades lineales
✞Sistema de ecuaciones lineales