# data[].attributes.body
A esfera = 4πr 2

Donde π (pi) = 3,141592654…

Ejemplo resuelto: calcula el área de una esfera de 15 cm de diámetro.

A esfera = 4πr 2

Radio = diámetro/2 = 15/2 = 7,5 cm

A esfera = 4πr ² = 4π · 7,5² = 706,86 cm2

Respuesta: el área de la esfera es 706,86 cm².

# data[].attributes.body
Un elipsoide es el cuerpo de revolución generado por una semielipse; el eje de revolución coincide con uno de los dos ejes de dicha elipse.

Dependiendo de si la semielipse gira desde su eje mayor o menor, se puede generar un cuerpo de revolución alargado, como un balón de rugby, o un cuerpo aplastado, como una hogaza redonda de pan.

# data[].attributes.body
Los elementos que conforman la esfera son los siguientes:

La generatriz: es la línea exterior, en este caso, una semicircunferencia.

El eje: es el lado sobre el que gira la semicircunferencia; contiene un diámetro de la esfera.

El radio: es la distancia entre el centro y el perímetro de la esfera, e igual al radio del semicírculo.

Los polos: son los dos puntos de corte de la semicircunferencia generatriz y el eje.

# data[].attributes.body
La esfera es un cuerpo geométrico que se obtiene al girar un semicírculo en torno a un eje que está unido a su diámetro.

# data[].attributes.body
El desarrollo de un sólido es la figura que se obtiene al extenderlo sobre un plano. A partir de esta figura, podemos reconstruirlo.

El área del cono

Al desarrollar el cono, se obtienen las siguientes figuras planas:

Un círculo, que corresponde a la base.

Un sector circular:

Que tiene un arco con longitud 2πr (en que r es el radio de la base).

Cuyo radio es la generatriz del cono.

Esta es la secuencia que hay que seguir para calcular el área del cono:

A lateral = πr · g

A cono = A lateral + A base

A = πr · g + πr ² = πr · (g + r )

Donde π (pi) = 3,141592654…

El área del tronco de cono

Al desarrollar el cono truncado, se obtienen las siguientes figuras planas:

Dos círculos de distinto radio, que corresponden a las bases.

Un sector de corona circular igual a la diferencia entre el sector circular correspondiente al cono de base mayor, menos el sector circular correspondiente al cono de base menor (el trozo de cono que falta).

Esta es la secuencia que hay que seguir para calcular el área del tronco de cono:

A lateral = π(R + r ) · g

A cono truncado = A base mayor + A base menor + A lateral

A cono truncado = πR 2 + πr ² + π (R + r ) · g = π [R 2 + r ² + (R + r ) · g ]

Donde π (pi) = 3,141592654…

# data[].attributes.body
El cono truncado, o tronco de cono, se obtiene mediante el giro de un trapecio con dos ángulos rectángulos alrededor de un eje, que está unido al lado que tienen estos dos ángulos rectángulos. El nombre que recibe es debido a que es un cono sin el trozo de la punta (donde está el vértice).

# data[].attributes.body
La generatriz: es la línea exterior del triángulo rectángulo, o sea, la hipotenusa del triángulo, que tiene la altura y el radio como catetos.

El eje: es el cateto sobre el que gira el triángulo rectángulo para generar el cono.

La base: es el círculo que se forma al girar el cateto perpendicular al eje, o radio.

El radio de la base circular: es el radio del círculo de la base, igual al cateto perpendicular al eje.

La altura del cono: es la distancia entre las dos bases o la base y el vértice.

El vértice: es el punto situado en el eje de rotación, que coincide con el vértice no recto del triángulo.

# data[].attributes.body
El cono se obtiene mediante el giro de un triángulo rectángulo alrededor de un eje, que está unido a uno de los catetos.

Los elementos que conforman el cilindro son los siguientes:

# data[].attributes.body
Para calcular el área del cilindro, hay que tener en cuenta que el desarrollo de un sólido es la figura que se obtiene al extenderlo sobre un plano. A partir de él podemos reconstruirlo

El desarrollo plano del cilindro

Al desarrollar el cilindro, se obtienen las siguientes figuras planas:

Dos círculos, que corresponden a las bases.

Un rectángulo:

Cuya base es la longitud de la circunferencia de los círculos de las bases.

Su altura es la generatriz del cilindro.

Esta es la secuencia que hay que seguir para calcular el área del cilindro:

A lateral = 2πr ·h

A cilindro = A lateral + 2 ·A círculo

A cilindro = 2πr ·h + 2πr ² = 2πr · (h + r )

Donde π (pi) = 3,141592654…

# data[].attributes.body
Los elementos que conforman el cilindro son los siguientes:

La generatriz: es la línea exterior del rectángulo, cuyo giro origina la superficie del cilindro. Su valor coincide con el de la altura.

El eje: es el lado sobre el que gira el rectángulo para originar el cilindro.

Las bases: son los dos círculos iguales y paralelos que se crean al girar los lados perpendiculares.

El radio de las bases circulares: radio del círculo de la base, igual al lado del rectángulo perpendicular al eje.

La altura del cilindro: distancia entre las dos bases o la base y el vértice.

# data[].attributes.body
Un cilindro se obtiene por el giro de un rectángulo en torno a un eje unido a uno de sus lados

# data[].attributes.body
Hay 3: el cilindro, el cono y la esfera

# data[].attributes.body
El icosaedro:

Sus 20 caras son triángulos equiláteros.

Tiene 12 vértices.

En cada vértice concurren 5 caras.

Tiene 30 aristas.

# data[].attributes.body
El dodecaedro:

Sus 12 caras son pentágonos regulares.

Tiene 20 vértices.

En cada vértice concurren 3 caras.

Tiene 30 aristas.

# data[].attributes.body
El octaedro:

Sus 8 caras son triángulos equiláteros.

Tiene 6 vértices.

En cada vértice concurren 4 caras.

Tiene 12 aristas.

# data[].attributes.body
El hexaedro o cubo:

Sus 6 caras son cuadrados.

Tiene 8 vértices.

En cada vértice concurren 3 caras.

Tiene 12 aristas.

# data[].attributes.body
Los poliedros regulares son aquellos que cumplen las siguientes condiciones:

Todas las caras están formadas por polígonos regulares iguales.

A todos los vértices del poliedro se unen el mismo número de caras.

Solo hay cinco poliedros regulares convexos que son: el tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

El tetraedro:

Sus 4 caras son triángulos equiláteros.

Tiene 4 vértices.

En cada vértice concurren 3 caras.

Tiene 6 aristas.

# data[].attributes.body
Pirámides regulares e irregulares

Una pirámide es regular si se cumple lo siguiente:

Su base es un polígono regular.

Además, todas sus caras laterales son iguales.

Por el contrario, una pirámide es irregular si su base no es un polígono regular.

# data[].attributes.body
Según los polígonos que forman la base:

En función de cómo sea el polígono que forma la base, una pirámide puede ser triangular, cuadrangular, etc.:

Triangular: si su base es un triángulo.

Cuadrangular: si su base es un cuadrado.

Pentagonal: si su base es un pentágono.

Etc.

# data[].attributes.body
Según la forma de sus caras laterales:

En función de cómo son las caras laterales, las pirámides pueden ser rectas u oblicuas.

La pirámide recta: es aquella en la que todas sus caras laterales son triángulos isósceles o equiláteros, y la altura cae en el punto medio de la base.

La pirámide oblicua: es aquella en la que alguna de sus caras laterales es un triángulo escaleno.

# data[].attributes.body
Las pirámides son poliedros con las caras laterales triangulares.

Los elementos de una pirámide son:

La base: que es un polígono.

Las caras laterales: que son tantos triángulos como lados tenga la base.

La cúspide: que es el vértice donde se cortan todas las caras laterales de la pirámide.

Las aristas básicas: que son los lados de la base. Los lados de las caras laterales son las aristas laterales.

La altura: que es la distancia del vértice al plano de la base.

# data[].attributes.body
Los paralelepípedos son prismas cuyas bases son paralelogramos y, por tanto, los paralelepípedos son prismas cuadrangulares.

Los paralelepípedos se caracterizan por estos rasgos:

Tienen 6 caras.

Las caras opuestas son iguales y están en planos paralelos.

Algunos tipos de paralelepípedos reciben nombres especiales:

El ortoedro: paralelepípedo de caras rectangulares. Por ejemplo, una caja de zapatos.

El cubo: paralelepípedo cuyas bases y caras laterales son cuadrados iguales. Por ejemplo, un dado de seis caras.

El romboedro: paralelepípedo cuyas caras son rombos.

El romboidedro: paralelepípedo cuyas caras son romboides.

# data[].attributes.body
Prismas regulares e irregulares

Un prisma es regular si cumple los siguientes requisitos:

Es recto.

Sus bases son polígonos regulares.

Las caras laterales son iguales.

Si las bases no son polígonos regulares, el prisma es irregular.

# data[].attributes.body
Según como sean los polígonos que forman las bases:

En función del tipo de polígonos que forman la base, los prismas pueden ser triangulares, cuadrangulares, etc.:

Triangular: sus bases son triángulos.

Cuadrangular: sus bases son cuadrados.

Pentagonal: sus bases son pentágonos.

Hexagonal: sus bases son hexágonos.

Etc.

# data[].attributes.body
Según la forma de sus caras laterales:

En función de cómo son las caras laterales, los prismas pueden ser rectos u oblicuos:

Los prismas rectos: son aquellos cuyas caras laterales son rectángulos. Sus aristas laterales son perpendiculares a las bases.

Los prismas oblicuos: son aquellos que tienen algunas caras laterales romboides. Sus aristas laterales no son perpendiculares a las bases.

# data[].attributes.body
Los prismas son poliedros irregulares que tienen dos caras que son polígonos iguales y paralelos entre sí, y el resto de caras son paralelogramos.

Los elementos de un prisma son:

Las bases: son las dos caras paralelas e iguales.

Las caras laterales: que son paralelogramos.

La altura: es la distancia entre los planos de las dos bases.

Las aristas básicas: que son los lados de las bases.

Las aristas laterales: que son los lados de las caras laterales (no son los de las bases).

Los vértices: son los puntos donde concurren las aristas.

La altura: es la distancia entre las bases.

# data[].attributes.headline
Los poliedros convexos y los poliedros cóncavos:

# data[].attributes.subject
Los poliedros convexos y los poliedros cóncavos:

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Los poliedros convexos son aquellos que, al prolongar cualquiera de sus caras, estas no cortan al poliedro. Dicho de otra manera, son aquellos que se pueden apoyar en un plano sobre cualquiera de sus caras.
En cambio, los poliedros cóncavosson aquellos que tienen alguna cara que, al prolongarla, corta al poliedro. Dicho de otra manera, tienen dos caras, como mínimo, sobre las cuales el poliedro no se puede apoyar totalmente en un plano.

# data[].attributes.body
Los poliedros pueden ser cóncavos o convexos. Además, algunos pueden estar formados a la vez por poligonos regulares e irregulares, como el prisma y la pirámide; y hay un tipo especial de poliedros llamados regulares, como el tetraedro, el cubo, el hexaedro, el octaedro y el icosaedro.

# data[].attributes.body
Los elementos de un poliedro son:

Las caras: cada uno de los polígonos que limitan el poliedro. Pueden ser triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.

Las aristas: los segmentos rectos que forman dos caras cuando se cortan entre sí.

Los vértices: los puntos donde concurren tres o más aristas.

Las diagonales: los segmentos que unen dos vértices que no están situados en la misma ar ista.

# data[].attributes.body
Qué son los poliedros?

Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales limitados por caras planas de forma poligonal.

El significado de poli- es “mucho” y de -edro es “cara”. Por lo tanto, poliedro significa “muchas caras”.

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El área de un círculo es igual al producto del número π por el cuadrado de su radio

# data[].attributes.body
La longitud de una circunferencia es igual a 2•π•r, donde r es el radio.

A medida que aumentamos el número de los lados de un polígono regular inscrito en un círculo, el perímetro del polígono se acerca bastante sobre este.

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Antes de calcular áreas y perímetros de círculos y circunferencias, recordemos cuáles son sus elementos más característicos

# data[].attributes.body
Para calcular los polígonos irregulares, lo haremos por triangulación y está dependerá de la forma que tenga el polígono

El área de un polígono irregular es la suma de las áreas de los triángulos en que podemos polígono

# data[].attributes.body
Los polígonos regulares pueden dividirse en triángulos iguales con un vértice en el centro del polígono y los otros dos en los extremos de cada lado

El área de un polígono regular es la mitad del producto de su perímetro por la apotema.

# data[].attributes.body
Para calcular el área de los polígonos, sobre todo de los irregulares, existe un proceso muy útil que se llama triangulación, qué consiste en dividir un polígono en triángulos.

# data[].attributes.body
Para hallar el área de un trapecio, se suman las bases, el resultado se divide entre 2 y está cantidad se multiplica por el valor de la altura

# data[].attributes.body
Respecto al trapecio, si éste le añadimos otro trapecio igual, pero girado 180°, queda un romboide cuya base es la suma de la base mayor y la base menor del trapecio

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Del mismo modo que los triángulos se clasifican según sus lados y ángulos, los cuadriláteros también.

# data[].attributes.body
Cualquier triángulo tiene tres alturas
Para calcular el área de un triángulo, hay que multiplicar lanbase por la altura y dividir el resultado entre

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Según el teorema de Pitágoras, en un triángulo rectángulo de hipotenusa a y de catetos b y c, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

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TRIANGULOS      PARALELOGRAMOS    POLIGONOS   CIRCULOS