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“El interés compuesto es la fuerza más poderosa de la galaxia” -Albert Einstein

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La incomprensión de la función exponencial

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La incomprensión de la función exponencial

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La comprensión de la función exponencial, especialmente cuando rige el patrón de crecimiento de variables en el ámbito de la economía, la política y el medio ambiente, suele ser bastante esquiva al pensamiento intuitivo del ser humano, hasta el punto de ignorarse los serios problemas de inviabilidad que puede plantear en un sistema dado, debido a su carácter sorpresivo y no gradual, que se contrapone con nuestra visión lineal y continua del mundo.

Matemáticamente es una función del tipo f(x) = a x, en donde la base a es una constante y el exponente una variable independiente. Representada en forma de gráfica esta función nos da curvas que crecen al principio muy lentamente durante un período de tiempo más o menos largo y de forma súbita y explosiva después, como vemos en la siguiente gráfica.

Lo destacable de esta clase de función es que refleja muchos comportamientos de variables en sistemas de campos muy diversos como la biología, la economía, la física, la sociología, etc.

En este artículo me interesa su empleo para describir la evolución del tamaño de algo que está en crecimiento continuo. Para explicar esto me he basado en parte en una interesante y recomendable presentación sobre este asunto que podéis ver haciendo click aquí.

Comencemos con un sencillo ejemplo. Supongamos que algo, no importa el qué, crece a un ritmo del 5% al año. El crecimiento es una fracción fija, 5%, y el tiempo de crecimiento es una constante, 1 año. Al tiempo necesario para que ese algo crezca un 100%, es decir, para que se duplique, le vamos a llamar "tiempo necesario para doblarse (T2)", y se puede calcular con la fórmula:

T2 = 70 / % crecimiento. El 70 se obtiene de multiplicar 100 por el logaritmo natural de 2 (redondeando), cifra muy práctica que debemos recordar. En el ejemplo, T2 sería 14 años: 70/5.

Como veremos, es mas fácil hacerse una idea de la magnitud del crecimiento de algo, si hablamos del tiempo que ese algo tarda en duplicarse, que si hablamos del porcentaje o la tasa de su crecimiento anual. Por ejemplo, es mas fácil hacerse una idea del volumen de crecimiento del paro si decimos que el numero de parados se ha duplicado en 10 años, que si decimos que el numero de parados crece un 7% anual (lo que en realidad es lo mismo, ya que 70/7=10). Por ello, en aras de una mejor comprensión del asunto, nos interesa convertir tasas anuales de crecimiento en "tiempo necesario para doblarse".

Otro ejemplo, esta vez con el interés compuesto. Tenemos un capital inicial de 1 euro a una tasa de interés anual del 7%. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 300 años? Pues si el tiempo necesario para doblar el capital es de 10 años (70/7=10), sabemos que en 300 años el capital se habrá doblado 30 veces (300/10=30). Así que al cabo de 300 años tendremos ni más ni menos que 1.073.741.823 euros, una buena herencia para nuestros tataranietos... obtenida prácticamente de la nada. Si pensamos como se va doblando una cantidad a lo largo del tiempo, esta cifra no es tan sorprendente. De 1 pasamos a 2 en los primeros 10 años, de 2 a 4 a los 20 años, en la tercera década de 4 a 8, cuarta de 8 a 16, de 16 a 32, de 32 a 64, de 64 a 128 y así 30 veces, que es el número de veces que se duplica el capital en 300 años a un 7% de interés anual. La fórmula matemática para hacer el cálculo total sería 2³º-1, es decir, la de un típico crecimiento exponencial.

Ejemplos de lo sorprendentemente explosivo del crecimiento exponencial y de lo que nos cuesta asimilarlo hay muchos. Quizás el mejor sea el de la archiconocida leyenda del inventor del ajedrez, un bramán indio que le pidió a su rey, en recompensa por haber inventado el juego, que le dieran la cantidad de granos de trigo que obtuvieran de la siguiente forma: en la primera casilla del tablero (que tiene 64 en total) pondrían 1 grano, en la segunda 2, en la tercera 4, en la cuarta 16 y así sucesivamente. Es decir, que en cada casilla se doblara la cantidad de trigo de la casilla precedente. Al rey le pareció una petición bastante tonta en comparación al genial juego que el bramán había inventado, y ordenó cumplir su deseo de inmediato. No tardaron en darse cuenta que ni con toda la cosecha de trigo del mundo podrían llegar a la casilla 64. Si cogéis una calculadora podéis comprobar que la cantidad total de granos es de 18.446.744.073.709.551.616 (dieciocho trillones).

Otro aspecto sorprendente y crucial del crecimiento exponencial es que el crecimiento en un "tiempo necesario para doblarse" es siempre mayor que todos los crecimientos anteriores juntos. Por ejemplo, en el caso del ajedrez, en la 6ª casilla tendremos que poner 32 granos de trigo, mientras que en todas las casillas anteriores sumadas tendríamos 31 granos. Cada vez que doblamos, la cantidad obtenida es igual a todas las "dobleces" anteriores juntas más uno.

Esta comprensión del crecimiento exponencial nos permite una visión mucho más realista (crudamente realista) de ciertas afirmaciones hechas en el mundo de la economía y de la política. Por ejemplo, si leemos que "la demanda eléctrica en España crece al 7% anual" puede que no nos parezca demasiado. Sin embargo, esto quiere decir que la demanda se dobla cada 10 años (70/7=10). Por lo tanto, en 10 años consumiremos más electricidad de la que habríamos consumido en toda la historia del país desde que se empezó a consumir electricidad. Pura función exponencial: la cantidad que se obtiene al duplicar lo que tenemos es superior a la suma de todas las dobleces anteriores juntas.

Ahora ya podemos empezar a comprender lo desmesurado de un crecimiento de este tipo. Si lo aplicamos a cosas como la población humana (puro maltusionismo) podemos sacar cifras disparatadas. Ejemplo: la población mundial crece a un ritmo del 1,3% al año... parece muy poco ¿no? Pues bien, esto significa que el tiempo necesario para que la población se duplique es de 54 años (70/1,3=54). Por lo tanto, en tan sólo 54 años pasaríamos de ser 7.000 millones a ser 14.000 millones en el planeta. Y en otros 54 años seríamos... ¡28.000 millones, cuatro veces más que al principio!

Cierto es que esta es una aplicación estrictamente maltusiana de la función exponencial. En realidad, la tasa de crecimiento de la población mundial viene decayendo desde finales de los sesenta. Sin embargo, el aumento de población desde la aparición del hombre hasta finales de esa década ha seguido una curva de crecimiento exponencial, tal y como vemos en la siguiente gráfica.

Por fortuna, a partir de los setenta la tendencia es hacia una desaceleración del crecimiento (lo que sería una tendencia hacia una curva de tipo logarítmico). Pero ojo, seguimos creciendo.

Todo este rollo lo he contado para tener una perspectiva que nos permita apreciar realmente la importancia que la mala comprensión de la función exponencial tiene en la economía y la política actual. Ahora ya tenemos un conocimiento de lo que significa hablar de tasas anuales de crecimiento continuo en sectores tales como consumo energético o de materias primas, producción industrial o agroalimentaria, PIB, volumen de residuos o de contaminación, población etc., y podemos fácilmente hacernos a la idea de la inviabilidad de un sistema económico que promueve este crecimiento indefinidamente en un mundo de recursos finitos. En efecto, alimentar tasas de crecimiento exponencial con recursos finitos a medio plazo es sencillamente una imposibilidad matemática. Y hablar de crecimientos aparentemente pequeños del 7, 8 o 9% anual significa hablar de crecimientos enormes, pues son exponenciales, ya que la producción o el crecimiento de algo en un determinado período de tiempo se suma a la cantidad inicial de ese algo, y es sobre esta nueva cantidad sobre la que se vuelve a aplicar la tasa de crecimiento para el siguiente período. Así que, por muy bajas que nos parezcan las tasas de crecimiento, en una lógica de tipo exponencial, tendremos un crecimiento inviable incluso a corto plazo (entendiendo por corto plazo una o dos generaciones). Pero claro, los economistas ortodoxos prefieren hablar de porcentajes de crecimiento en vez de cantidades absolutas en períodos de tiempo determinados, especialmente cuando se trata de defender un modelo de crecimiento continuo. Se trata simplemente de incrementar x% aquí y z% allá en una lógica de consumo sin límites, de simple oferta y demanda, sin querer analizar la dimensión real del problema: los límites de los recursos naturales frente al crecimiento exponencial del consumo. Especialmente cuando muchos de estos recursos no son renovables o tienen tasas de renovación reducidísimas a escala humana. Y en lo que respecta a muchos políticos, probablemente ni comprendan qué es la función exponencial, y, los que son conscientes de su importancia, no creo que se atrevan a meter la calculadora.

Para terminar, me gustaría contar un acertijo que ilustra perfectamente la ceguera del hombre frente a este modelo de crecimiento. En el estanque de un parque crece una flor de loto, cuyo tamaño se duplica cada día. Dado el tamaño de la flor y del estanque, que poco importan para la solución, podemos calcular que la flor lo cubrirá en 30 días. Sin embargo, el jardinero del parque piensa (ingenua e intuitivamente) que no hay problema, que ya podará la flor cuando cubra la mitad del estanque. La pregunta es: ¿Qué día tiene que podar la flor?... pues sí, si habéis tenido la paciencia de leer hasta aquí ya sabéis la respuesta: ¡el día 29! Ese día la flor cubrirá la mitad del estanque. Al día siguiente, al doblarse, lo cubrirá por completo... así que nuestro jardinero tiene que espabilar bastante para podar la flor en un sólo día. Por cierto: el día 27 la flor tan sólo cubriría una octava parte. Ese día, el jardinero estará probablemente feliz ante tal visión, pensando que todavía le quedará mucho tiempo antes de ponerse a trabajar, puesto que el loto ha tardado 27 días en cubrir esa pequeña superficie. Pero así de traicionera es la función exponencial, se pasa bastante tiempo agazapada, luego se asoma poco a poco y de repente se desboca para mostrar su verdadera naturaleza explosiva. Y para terminar con esta historia, la del problema de la dificultad humana para comprender la función exponencial y las trágicas consecuencias que se derivan de este hecho en el actual modelo de crecimiento continuo, planteo la siguiente pregunta: ¿Quién es el jardinero de este estanque llamado planeta Tierra? Personalmente mucho me temo que ni el economista, mero gestor del desastre, ni el político, con frecuencia el tonto útil (aunque quizás el más responsable), sino simplemente todos y cada uno de nosotros.
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