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Qu'est ce que l'algorithme 3n+1 ? (Principe de Calcul)

Prendre un nombre $ n $ (entier positif non nul), si $ n $ est pair, le diviser par $ 2 $, sinon multiplier par $ 3 $ et ajouter $ 1 $. Recommencer avec le résultat jusqu'à obtenir le nombre $ 1 $.

Mathématiquement l'algorithme est défini par la fonction $ f $ : $$ f_{3n+1}(n) = \begin{cases}{ \frac{n}{2}} & {\text{si }}n \equiv 0 \mod{2} \\ 3n+1 & {\text{si }} n \equiv 1 \mod{2} \end{cases} $$

Exemple : $ n=10 $, $ 10 $ est pair, le diviser par $ 2 $ et obtenir $ 5 $,
$ 5 $ est impair le multiplier par $ 3 $ et ajouter $ 1 $ pour obtenir $ 16 $,
Continuer ainsi de suite pour obtenir $ 8 $, $ 4 $, $ 2 $ et enfin $ 1 $.

La suite est généralement considérée comme terminée à 1, car sinon, les nombre suivants sont 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1 qui se répètent à l'infini.

Qu'est ce que la conjecture de Syracuse ? (Définition)

La conjecture de Syracuse (ou Collatz) stipule que l'algorithme 3n+1 finira toujours par atteindre le chiffre 1.

Certains nombres ont des trajectoires surprenantes comme 27, 255, 447, 639 ou 703.

Existe-t-il un nombre qui n'obéit pas à la conjecture de Syracuse ?

Non, personne n'a trouvé de nombre pour lequel ça ne fonctionne pas mais personne n'a trouvé de preuve mathématique que la conjecture fonctionne toujours.

C'est pourquoi la conjecture s'appelle aussi problème de Syracuse ou problème de Collatz et qu'il ne s'agit pas d'un théorème.

Toute personne trouvant un nombre qui ne termine pas à 1 aura alors résolu la conjecture en prouvant qu'elle est fausse.

La conjecture de Syracuse a-t-elle été résolue?

Non, il y a eu récemment quelques avancées réelles mais la conjecture de Syracuse demeure non résolue malgré des dizaines des pseudo-scientifiques qui ont prétendu avoir une preuve.

Quelles sont les propriétés remarquables de la conjecture ?

Un nombre n'apparait jamais 2 fois dans la suite.

Toute suite se termine par une série de puissance de 2.

Un nombre impair est toujours suivi d'un nombre pair.

Les nombres 5 et 32 donnent la même suite.

Comment coder la conjecture de Syracuse ?

Quels sont les autres noms de la conjecture de Syracuse ?

D'autres noms de la conjecture/problème de Syracuse sont utilisés dans la littérature :

- conjecture de Collatz

- conjecture d'Ulam

- conjecture de Hailstone

- conjecture tchèque

- problème 3x+1 (ou 3n+1)

- algorithme de Hasse

- problème de Kakutani

- conjecture de Thwaite

Quels sont les nombres qui ont un temps de vol donné ?

Ce tableau regroupe tous les nombres jusqu'à 1000 sous la forme (temps de vol/iterations => nombres ayant ce temps de vol)

Quelles sont les nombres qui ont une altitude maxi donnée ?

Ce tableau regroupe tous les nombres jusqu'à 1000 sous la forme (altitude maxi de vol => nombres ayant cette altitude maxi)

Quel nombre va au delà de N ?

Le tableau ci-dessus montre des altitudes jusque 250504 pour les nombres jusque 1000. Mais il existe une infinité de nombre qui vont plus haut.

Pour tout nombre N donné (N très grand), alors le nombre impair le plus proche de N aura une altitude encore plus grande.

Quand la conjecture a-t-elle été énoncée ?

Formulée en 1937 par Lothar Collatz (mathématicien allemand), elle reste à ce jour irrésolue : personne n'a encore pu prouver que cette conjecture se termine toujours par 1.

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syracuse,collatz,hailstone,conjecture,ulam,tcheque,probleme,suite,vol,altitude

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Conjecture de Syracuse 3n+1 - Collatz/Ulam - Calcul en Ligne

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