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Der Satz des Pythagoras - Einführung

Der Satz des Pythagoras ist sicher einer der bekanntesten Sätze der Mathematik. Dieser Satz gilt ausschließlich in rechtwinkligen Dreiecken.

Bezeichnungen in rechtwinkligen Dreiecken

Die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck wird Hypotenuse genannt. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Die beiden anderen Seiten sind die Katheten. Sie liegen an dem rechten Winkel an.

Es gibt in rechtwinkligen Dreiecken also eine Hypotenuse und zwei Katheten.

Der Satz des Pythagoras formuliert einen Zusammenhang zwischen den Flächeninhalten der Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und somit auch einen Zusammenhang über die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks.

Der Satz des Pythagoras - Definition

In dem abgebildeten Dreieck sind die Seiten $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse.

Die Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten sind $a^2$ sowie $b^2$. Der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist $c^2$. Werden die Kathetenquadrate addiert zu $a^2+b^2$, kommt der gleiche Flächeninhalt heraus wie der des Hypotenusenquadrates $c^2$.

Als Formel ausgedrückt: $a^2+b^2=c^2$.

In Worten: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt, dass die beiden Kathetenquadrate gemeinsam den gleichen Flächeninhalt haben wie das Hypotenusenquadrat.

Anwendungen

Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seitenlängen gegeben sind, kann die fehlende dritte Seitenlänge mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.
Beispiel - Beide Kathetenlängen sind gegeben
Die beiden Katheten haben die Längen $a=20~\text{cm}$ und $b=21~\text{cm}$. Gesucht ist die Länge der Hypotenuse $c$.

1. Die gegebenen Größen werden in den Satz des Pythagoras eingesetzt: $\left(20~\text{cm}\right)^2+\left(21~\text{cm}\right)^2=c^2$

2. Berechnung der Quadrate: $400~\text{cm}^2+441~\text{cm}^2=c^2$

3. Berechnung der Summe: $841~\text{cm}^2=c^2$

4. Um die Länge der Hypotenuse zu berechnen, muss die Wurzel von $841~\text{cm}^2$ gezogen werden: $\sqrt{841~\text{cm}^2}=29\text{cm}$

Die Länge der Hypotenuse ist $c=29~\text{cm}$. Beim Ziehen der Quadratwurzel muss auch die Gegenzahl $-29$ betrachtet werden. Diese Lösung kann allerdings vernachlässigt werden, da es sich hier um Längen handelt.
Beispiel - Eine Kathetenlänge sowie die Hypotenusenlänge sind gegeben
Die eine Kathete sei $a=35~\text{cm}$ und die Hypotenuse $c=37~\text{cm}$. Gesucht ist die Länge der anderen Kathete $b$.

1. Die gegebenen Größen werden in den Satz des Pythagoras eingesetzt: $\left(35~\text{cm}\right)^2+b^2=\left(37~\text{cm}\right)^2$.

2. Berechnung der Quadrate: $1225~\text{cm}^2+b^2=1369~\text{cm}^2$

3. Subtraktion von $1225~\text{cm}^2$ und Berechnung der Differenz: $b^2=1369~\text{cm}^2-1225~\text{cm}^2=144~\text{cm}^2$

4. Zuletzt muss wieder die Wurzel gezogen werden: $b=\sqrt{144~\text{cm}^2}=12~\text{cm}$

Ausblick
Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras besagt auch: Wenn die Summe der Quadrate zweier Seitenlängen in einem Dreieck gleich dem Quadrat der dritten Seitenlänge ist, liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor.

Wenn ein Seil der Länge $120~\text{cm}$ durch Markierungen in Teilstücke der Längen $30~\text{cm}$, $40~\text{cm}$ und $70~\text{cm}$ unterteilt wird, können diese Teilstücke zu einem rechtwinkligen Dreieck zusammengelegt werden.
Pythagoreische Tripel
In den beiden obigen Beispielen bilden die Seiten der Längen $20~\text{cm}$, $21~\text{cm}$ und $29~\text{cm}$ sowie $12~\text{cm}$, $35~\text{cm}$ und $37~\text{cm}$ die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Natürlich müssen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks nicht immer natürliche Zahlen sein.

Eine Anordnung von drei natürlichen Zahlen, die den Satz des Pythagoras erfüllen, wird als pythagoreisches Tripel bezeichnet:

Es gibt unendlich viele solcher pythagoreischer Tripel.

Dieses Video

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks auszurechnen.

Zunächst lernst du, wie die Seiten im rechtwinkligen Dreieck bezeichnet werden. Anschließend wird der Satz des Pythagoras aufgestellt. Abschließend wird ein Beispiel durchgerechnet.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, welche Eigenschaften rechtwinklige Dreiecke haben, wie man die Fläche von Quadraten ausrechnet und wie man quadriert und Wurzeln zieht.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Berechnungen in geometrischen Figuren kennenzulernen.

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Der Satz des Pythagoras ist sicher einer der bekanntesten Sätze der Mathematik. Dieser Satz gilt ausschließlich in rechtwinkligen Dreiecken. Die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck wird Hypotenuse genannt. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten. Sie liegen an dem rechten Winkel an.

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Video: Schrägbilder von Quadern zeichnen

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Video: Schrägbilder von Quadern zeichnen

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Cooles Video zur Konstruktion von Schrägbildern

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Beachte, dass nach hinten laufende Kanten in Schrägbildern verkürzt dargestellt werden.

Bei einem Würfel müssen alle Seiten gleich lang sein. Beachte, dass nach hinten laufende Kanten in Schrägbildern verkürzt dargestellt werden. Zum Zeichnen wird normalerweise Folgendes angenommen:

$1\text{ cm}$ in Länge oder Höhe entspricht $2$ Kästchenlängen. $1\text{ cm}$ in der Breite (also nach hinten) entspricht $1$ Kästchendiagonale.

Damit sind folgende Würfel richtig:
1. Bild
Länge: $2$ Kästchen $\Rightarrow 1\text{ cm}$

Höhe: $2$ Kästchen $\Rightarrow 1\text{ cm}$

Breite: $1$ Kästchendiagonale $\Rightarrow 1\text{ cm}$
2. Bild
Länge: $4$ Kästchen $\Rightarrow 2\text{ cm}$

Höhe: $4$ Kästchen $\Rightarrow 2\text{ cm}$

Breite: $2$ Kästchendiagonale $\Rightarrow 2\text{ cm}$

Die folgenden Schrägbilder sind nur Quader und keine Würfel:
3. Bild
Länge: $2$ Kästchen $\Rightarrow 1\text{ cm}$

Höhe: $2$ Kästchen $\Rightarrow 1\text{ cm}$

Breite: $2$ Kästchendiagonale $\Rightarrow 2\text{ cm}$

Die nach hinten laufenden Kanten müssen verkürzt dargestellt werden.
4. Bild
Länge: $3$ Kästchen $\Rightarrow 1,5\text{ cm}$

Höhe: $3$ Kästchen $\Rightarrow 1,5\text{ cm}$

Breite: $2$ Kästchendiagonale $\Rightarrow 2\text{ cm}$

Die Breite ist größer als die Länge und Höhe.
5. Bild
Länge: $3$ Kästchen $\Rightarrow 1,5\text{ cm}$

Höhe: $2$ Kästchen $\Rightarrow 1\text{ cm}$

Breite: $1$ Kästchendiagonale $\Rightarrow 1\text{ cm}$

Die Länge ist größer als die Breite und Höhe.

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Beachte, dass nach hinten laufende Kanten in Schrägbildern verkürzt dargestellt werden. Bei einem Würfel müssen alle Seiten gleich lang sein. Beachte, dass nach hinten laufende Kanten in Schrägbildern verkürzt dargestellt werden. Zum Zeichnen wird normalerweise Folgendes angenommen: $1\text{ cm}$ in Länge oder Höhe entspricht $2$ Kästchenlängen.