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Los números naturales son aquellos símbolos que nos permiten representar la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Como los números naturales sirven para contar no toman en consideración al número cero, pero como se trata de un conjunto que no termina nunca, decimos que ℕ es un conjunto infinito

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ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} (en algunas definiciones comienza en 1).

Propiedades:

Clausura: Si a, b ∈ ℕ, entonces a + b ∈ ℕ y a × b ∈ ℕ.

Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c) y (a × b) × c = a × (b × c).

Conmutatividad: a + b = b + a y a × b = b × a.

Elemento neutro:

Para la suma: a + 0 = a.

Para el producto: a × 1 = a.

Distributividad: a × (b + c) = a × b + a × c.

No existe inverso aditivo en ℕ: No siempre existe b ∈ ℕ tal que a + b = 0.

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Es decir, los números enteros son aquellos números positivos y negativos, incluido el cero, que no tienen parte decimal dentro de su estructura. Estos son ejemplos de los números enteros. 5.22, 8.7, 3.14, -7.5: estos no son números enteros. El término entero se deriva del número latino y se representa con la letra Z.1

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Definición:
ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Propiedades:

Incluye a ℕ y sus negativos.

Clausura:

Bajo suma, resta y multiplicación: si a, b ∈ ℤ, entonces a ± b ∈ ℤ y a × b ∈ ℤ.

Asociatividad y Conmutatividad: igual que en ℕ.

Elemento neutro:

a + 0 = a

a × 1 = a

Existencia de inverso aditivo:

Para todo a ∈ ℤ, existe -a ∈ ℤ tal que a + (-a) = 0.

Distributividad: a × (b + c) = a × b + a × c.

No todos tienen inverso multiplicativo en ℤ: Solo 1 y –1 lo tienen.

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ℕ es un subconjunto de ℤ: ℕ ⊂ ℤ.

ℕ no es un grupo bajo la suma (por falta de inversos), pero ℤ sí lo es.

Ambos conjuntos son anillos (ℤ es un anillo conmutativo con unidad, ℕ no).

Ejemplo de Aplicación

En algoritmos de conteo usamos ℕ (por ejemplo, cantidad de iteraciones).

En problemas de saldo o deuda, usamos ℤ (puede haber números negativos).

Propiedades de la Resta y División

No son operaciones internas en N:
5−8=−3∉N

En Z la resta es interna pero la división no:
4÷2=2∈Z
1÷2=0.5∉Z

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Resumen Visual (Numeros Naturales y Enteros)

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Orden y Estructura

N: bien ordenado → existe un mínimo y cada elemento tiene sucesor.

Z: orden total pero no bien ordenado.

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Aplicaciones Universitarias

Lógica Matemática: Principio de inducción matemática (sobre N).

Teoría de Números: Divisibilidad, congruencias, propiedades modulares.

Álgebra Abstracta: (Z,+) es un grupo abeliano,
(Z,+,⋅) es un anillo conmutativo.

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Ejemplo Visual  (Linea Numerica y Diagrama de Venn)

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Propiedades de los números naturales:

Infinitos: La serie de números naturales continúa indefinidamente.

Ordenados: Existe una relación de orden natural entre ellos (1 < 2 < 3, etc.).

Positivos: Todos los números naturales son positivos.

No fraccionarios ni decimales: No están representados por fracciones o decimales.

Un sucesor: Cada número natural tiene un sucesor directo (1→2, 3→4, etc.).

Operaciones internas: La suma y multiplicación de números naturales resultan en otro número natural, pero la resta y división no siempre.

Algoritmo de la división: Se puede dividir cualquier número natural por otro (si el divisor no es cero) y obtener un cociente y un resto.

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Propiedades de los números enteros:

Positivos y negativos: Incluyen números positivos, negativos y el cero.

Infinitos: Como los números naturales, los enteros son infinitos en ambas direcciones.

Ordenados: Existe un orden entre ellos, con los negativos a la izquierda del cero y los positivos a la derecha.

Operaciones internas: La suma, resta, multiplicación y división son operaciones internas en los enteros (el resultado siempre es otro entero).

Elemento neutro para la suma: El cero es el elemento neutro para la suma (a + 0 = a).

Opuesto aditivo: Para cada entero existe un opuesto aditivo (su inverso) que, sumado a él, da como resultado cero (a + (-a) = 0).

Ley de signos: Se aplican reglas de signos para la suma, resta, multiplicación y división de enteros.

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Diferencias clave:

Los números naturales son un subconjunto de los números enteros.

Los números naturales solo incluyen números positivos, mientras que los enteros incluyen positivos, negativos y cero.

La resta y la división no son operaciones internas en los números naturales, pero sí en los enteros.

En resumen: Los números naturales son los positivos usados para contar, mientras que los enteros amplían este concepto incluyendo el cero y los negativos, permitiendo la realización de resta y división como operaciones internas.

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Propiedades de los números y sus ejemplos.

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Propiedades de los números y sus ejemplos.

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Las propiedades de los números son características matemáticas que definen cómo se comportan en operaciones. Las principales son: conmutativa, asociativa, distributiva, identidad y opuesto.

1. Propiedad Conmutativa: Esta propiedad establece que el orden de los elementos en una operación no afecta el resultado. En la suma, 2 + 3 es lo mismo que 3 + 2. En la multiplicación, 2 x 3 es lo mismo que 3 x 2.

2. Propiedad Asociativa: Esta propiedad se aplica a la suma y la multiplicación. Establece que la forma en que se agrupan los elementos en una operación no afecta el resultado. Por ejemplo, (2 + 3) + 4 es lo mismo que 2 + (3 + 4).

3. Propiedad Distributiva: Esta propiedad relaciona la multiplicación con la suma. Se aplica cuando multiplicas una cantidad por la suma de otras dos cantidades. Por ejemplo, 2 x (3 + 4) es lo mismo que (2 x 3) + (2 x 4).

4. Propiedad de la Identidad: Esta propiedad se aplica a la suma y la multiplicación. El elemento neutro de la suma es 0, y el elemento neutro de la multiplicación es 1. Sumar 0 a cualquier número no cambia el número, y multiplicar cualquier número por 1 no cambia el número.

5. Propiedad del Opuesto: Esta propiedad se aplica a la suma y establece que para cualquier número, existe un número opuesto (o simétrico) que, al sumarlo con el número original, el resultado es 0.

Ejemplos:

Conmutativa: 5 + 3 = 3 + 5 (la suma es la misma).

Asociativa: (4 x 2) x 3 = 4 x (2 x 3) (el producto es el mismo).

Distributiva: 2 x (5 + 7) = (2 x 5) + (2 x 7).

Identidad: 8 + 0 = 8 (el número no cambia).

Opuesto: 10 + (-10) = 0.