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Hoy nos adentramos en el legado matemático de dos de las civilizaciones más influyentes de la historia: China e India. Más allá de sus avances en cultura, filosofía y ciencia, ambas sociedades desempeñaron un papel crucial en la evolución de las matemáticas, sentando bases que continúan moldeando el pensamiento matemático moderno.

La civilización China, con su enfoque práctico y aplicado, desarrolló métodos innovadores en el cálculo, la geometría y la resolución de ecuaciones. Su conocimiento en el teorema de Pitágoras, el uso de matrices y la precisión en la determinación del número π fueron contribuciones que trascendieron su época. Esta tradición remonta al tercer milenio a.C con el establecimiento de los primeros emperadores de China, entre ellos el primer emperador, Fuxi que vivió entre los años 2852 y 2738 y que bajó su reinado se efectuaron numerosos observaciones astronómicas.

La civilización India tuvo sus primeros asentamientos en el valle del Indo, donde ciudades como Mohenjo-Daro y Harappa florecieron alrededor del tercer milenio a.C. Contemporáneas a las civilizaciones egipcia y mesopotámica, estas sociedades demostraron un alto grado de organización, arquitectura avanzada y desarrollo intelectual. Sin embargo, la escasez de documentos ha dificultado una reconstrucción detallada de sus contribuciones iniciales a las matemáticas.

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Posteriormente, la llegada de los arios al subcontinente marcó un punto de inflexión en la historia india. Se introdujo el sistema de castas y los Vedas, textos fundamentales que guiaron la estructura social y el pensamiento filosófico de la región. Con el paso de los siglos, la combinación de tradiciones indígenas y arias dio origen a un vasto legado intelectual que influiría en diversas áreas del conocimiento.

El intercambio de conocimientos entre estas civilizaciones y el resto del mundo permitió que sus descubrimientos se integraran en el cuerpo matemático global, influyendo en disciplinas como la astronomía, la ingeniería y la computación.

En esta presentación exploraremos cómo estos avances han trascendido fronteras y continúan impactando nuestra comprensión del universo. ¡Bienvenidos a un viaje por la historia de las matemáticas!

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Es una obra atribuida a Confucio, traducido generalmente como libro de las permutaciones.

La estructura original del documento chino mas antiguo en el que aparecen huellas de elementos matemáticos está constituida por el famoso 《Pa Kua》, formado por combinaciones variadas de lineas rectas y dispuestas en un circulo.

Estas lineas estan construidas a partir de dos formas primarias: una linea continua llamada 《Yang-xio》que simboliza el principio masculino, y otra linea dividida en dos partes llamada 《ying-xio》que simboliza a la mujer o principio negativo. La combinación de todos los pares de trigramas engendra 64 hexagramas conocidos por el nombre de 《Kua》

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Los Pa Kua poseían diversas propiedades y se utilizan con fines adivinatorios. En efecto la palabra 《I》(cambio) significa que todo el libro se basa en el Pa Kua, que simboliza los ochos elementos fundamentales del universo y cada uno de los 64 hexagramas simboliza uno o varios fenómenos dek universo natural o humano.

Además de demostrar un cierto interés por las permutaciones, el I Qing contiene tambien cuadros mágicos, de los cuales el 《lo shu》, reconocido como el ejemplo más antiguo, presenta una confguración cuadrada de 9 casillas de números indicados por nudos en cuerdas

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Sistema multiplicativo (base 10):
Utilizaban símbolos diferentes para representar las potencias de diez (10, 100, 1000, etc.). En la escritura, los símbolos en posiciones impares se multiplicaban por el símbolo siguiente, lo cual es una regla de su notación.

El símbolo para el cero apareció tarde, como también ocurrió con los babilonios.

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Si queremos representar en horizontal el número 5 625, tendremos la configuración numérica siguiente:

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En la antigua China, se utilizaban barras de cálculo hechas de bambú, marfil o hierro como una forma temprana del ábaco, permitiendo realizar operaciones matemáticas de manera rápida. Estas barras se diferenciaban por colores: las rojas representaban números positivos y las negras, negativos. Aunque en la práctica se manejaban números negativos, conceptualmente no se aceptaban como soluciones válidas para ecuaciones.

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Se tiene las ecuaciones:

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Zhou bei Suan Qing, o también conocido como Zhou bi Suan Jing, es el texto más antiguo de la matemática china cuya fecha de creación es debatida, aunque algunos afirman que fue alrededor del siglo XII a.C. “Zhou Bei” se refiere al gnomon, un palo o vara cuya sombra se utilizaba en cálculos astronómicos, y “Suang Qing” significa aritmética clásica. El texto está escrito en forma de diálogos entre el duque Zhou y su astrónomo Shan Gao, el cual trata de cálculos astronómicos, como el uso del gnomon y proporciones para medir el Sol, la altura del cielo y presenta propiedades del triángulo rectángulo, así como aplicaciones de las fracciones.

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El Zhou Bei contiene una formulación del teorema de Pitágoras llamado el teorema de Gou Gu Xian, ilustrado por un diagrama que, aunque se represente con el triplete pitagórico (3, 4, 5), también puede aplicarse en tripletes que cumplan la relación c^2=a^2+b^2. Además, en el texto se enuncia que el cuadrado se relaciona con la tierra y el círculo pertenece al cielo.

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clásico chino “Las Nueve Secciones Matemáticas” contiene más de 250 problemas que abordan temas como la agrimensura, la administración de bienes y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Se destaca el uso de un método semejante al de matrices para resolver ecuaciones lineales simultáneas, mucho antes de que estas técnicas se formalizaran en Occidente. La regla de los chinos para operar con matrices, así como su uso del método de la falsa posición, evidencia un desarrollo temprano de métodos algebraicos sistemáticos. Este enfoque permitía resolver problemas complejos de forma organizada, anticipando técnicas modernas de álgebra lineal.

EJEMPLO

El sistema de ecuaciones:

x + y + z = 39
2x + 3y + z = 54
x + 2y + 3z = 59

es resuelto utilizando una matriz de coeficientes, un procedimiento similar al de eliminación de Gauss, aunque desarrollado de forma independiente en China.

Este tipo de resolución era útil, por ejemplo, para repartir recursos (como arroz o ganado) de forma equitativa entre varias regiones, asegurando que cada una recibiera una cantidad justa según criterios establecidos.

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Matemáticos chinos principales de la dinastía song

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Durante los primeros siglos de la era cristiana, tras la destrucción de textos antiguos en China por la gran quema, se observa cierta actividad matemática reflejada en comentarios sobre obras clásicas:

Liu Hui (siglo III):

Realiza aportes importante sobre las Nueve Secciones y propuso una aproximación a π (pi) ≈ 3.14159, utilizando un polígono de 172 lados.

Zu Chongzhi y su hijo (siglo V):

Mejoraron la aproximación a Pi proponiendo un intervalo entre 3.1415926 y 3.1415927, valor que no fue superado hasta el siglo XV.

Matemático más importante y relevante del periodo song.

Zhou Jijie

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El «triángulo de Pascal» en una obra china de Zhou Jijie (1303)

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Obra: Espejos preciosos

¿Quién fue Zhou Jijie?

Zhou Jijie fue un matemático chino que vivió entre aproximadamente 1280 y 1303, durante la dinastía Song. Es considerado uno de los matemáticos más importantes de su tiempo.

¿Qué son los "Espejos preciosos"?

La obra se titula traducida "Espejos preciosos de los cuatro elementos". Esta obra es un tratado de álgebra muy avanzado para su época.

¿Qué contiene la obra?

1. Ecuaciones simultáneas: Trata métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

2. Ecuaciones polinómicas de alto grado: Incluye técnicas para resolver ecuaciones de grado elevado, incluso usando lo que más tarde se conocería como el método de Horner.

3. Serie de potencias: Muestra sumas de series cuadráticas y cúbicas, por ejemplo:

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Las excavaciones en Mohenjo-Daro mostraron una civilización contemporánea a las del valle del Nilo y Mesopotamia, aunque con pocos registros matemáticos. Hacia el tercer milenio a.C., los arios invadieron India, estableciendo el sistema de castas y desarrollando la literatura sánscrita. En el siglo V a.C., Buda difundió su religión, que fue luego suprimida por desafiar ese sistema.

Entre los siglos IV a.C. y V d.C., India estuvo bajo varias dominaciones hasta la dinastía Gupta, durante la cual Aryabhata escribió obras matemáticas importantes. Ya antes de Cristo, se conocían matemáticas aplicadas en la construcción de templos y altares.

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Los Śulvasūtras son antiguos textos en verso con reglas geométricas para construir altares y templos en la India védica. “Śulva” significa cuerda de medición y “Sūtra”, conjunto de reglas. Destacan las versiones de Apastamba, Baudhayana y Kātyāyana.

Incluyen conocimientos prácticos de geometría, como el uso de tripletes pitagóricos, una formulación temprana del teorema de Pitágoras y métodos para igualar áreas entre figuras. Estas técnicas permitían diseñar altares con proporciones sagradas.

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Aunque los conocimientos geométricos eran útiles, la comprensión de los números irracionales seguía siendo muy limitada. Además, los matemáticos indios posteriores no retomaron las ideas de los Śulvasūtras, lo que indica una ruptura en la continuidad matemática.

Con la dinastía Gupta, la India vivió un renacimiento cultural que impulsó el arte, la ciencia y la astronomía. Mientras los Śulvasūtras trataban matemáticas aplicadas a lo religioso, los Siddhāntas desarrollaron una matemática más avanzada enfocada en el estudio del cielo.

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Los Siddhántas son tratados astronómicos y matemáticos clásicos de la India, escritos entre los siglos IV y XIII d.C. Constituyen la base del conocimiento astronómico hindú antiguo y presentan modelos detallados del movimiento de los cuerpos celestes, cálculos calendáricos, eclipses, y otras observaciones astronómicas.

Los Siddhántas combinan observación empírica con métodos matemáticos avanzados y también reflejan influencias griegas y babilónicas en la astronomía india. Fueron fundamentales en el desarrollo del conocimiento científico en el mundo antiguo.

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Aryabhata, matemático y astrónomo indio del año 499, escribió el Aryabhatiya en sánscrito, dividido en cuatro partes: armonías celestes, cálculo, medición del tiempo y esferas. Vivió en Kusumaputra (actual Patna) junto al río Ganges. Su obra incluye reglas para raíces cuadradas y cúbicas, geometría, progresiones y álgebra. Algunas fórmulas geométricas son correctas (área de triángulo y círculo) y otras incorrectas (volumen de pirámide y esfera). También presenta una regla para calcular términos en una progresión aritmética.

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Aryabhata introduce el valor posicional en numeración decimal, aunque sin símbolo para el cero. La notación brahmi es precursora del sistema actual, pero el origen del cero y la reducción a nueve símbolos aún se debaten. Para memorizar, usaban palabras con significado en versos, como "luna" para 1 y "ojos" para 2. Su obra incluye tablas de senos y fórmulas trigonométricas precisas para la astronomía. Aryabhatiya es clave en la historia matemática y astronómica india.

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Se multiplica las ecuaciones por 1, -4, y 5 respectivamente:

Se suman las tres ecuaciones:

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Se multiplica las ecuaciones (1) y (2) por -2 y 3 respectivamente:

Se suman las dos ecuaciones:

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Con (4), (5), y (1) se tiene las ecuaciones simplificadas.

La respuesta final siendo:

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El resolver los sistemas utilizando el método chino, el cual en este contexto se refiere a un método similar al que aparece en el texto Espejos preciosos de los cuatro elementos, donde se resolvían sistemas lineales mediante eliminación de variables, parecido al método de eliminación de Gauss o al método "fan fa".

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Sistema a)

(1) 4x+y+z = 40

(2) x+ y+2z= 20

(3) 2x+3y + z = 30

Paso 1: Eliminar la variable x tomaremos la ecuación (2).

x= 20-x-2y

Paso 2: sustituiremos en la ecuación (1) y (3) del sistema.

Obtenemos lo siguiente:

Sustituimos (1)

4(20-x-2y)+y+z=40 entonces

-3y-7z=-40

Sustituimos en (3):

2(20 - y - 2z) +3y + z = 30 entonces

y-3z=-10

Paso 3: Sistema reducido (en Y y Z).

(1a) -3y-7z=-40

(3a) y-3z=-10

Multiplicamos (3a) por 3:

3y - 9z = -30

Sumamos con (1a):

-3y-7z+3y-9z=-40-30

Entonces

-16z=-70

z=-70/-16

Z=35/8

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- El I Quing:

La estructura original del documento chino más antiguo en el que aparecen huellas de elementos matemáticos está constituida por el famoso Pa Kua (8 trigamas) formado por combinaciones variadas ( permutaciones) de líneas rectas y dispuestas en un círculo

- El Zhou Bei:

Es el documento clásico de contenido matemático es el Zhou Bei Suang Quing de origen y autor prácticamente desconocido. Su contenido matemático es netamente superior al I Qing, trata de cálculos astronómicos y contiene propiedades del triángulo rectángulo así como aplicaciones de fracciones, cuenta que el arte de las números proviene del círculo y el cuadrado, el cuál se relaciona con la Tierra mientras que el círculo pertenece al cielo

- Matemática en nueve secciones:

El Zhui Zhang Suan Ahí o El Arte Matemático en Nueve Secciones el más importante clásico chino sin duda. Este libro contiene aproximadamente 250 problemas sobre agrimensura, agricultura, pertenencia de bienes, contribución, cálculo de longitudes y superficies. Solución de ecuaciones y propiedades de los triángulos rectángulos.

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Las matemáticas chinas encierran resultados interesantes e innovadores como por ejemplo: la aproximación de pi, la utilización de los números negativos, el estudio de los cuadrados mágicos. El desarrollo de un método matricial eficaz para resolver sistema de ecuaciones, la primera aproximación al método de Horner, el desarrollo del binomio, ilustrado por el triángulo de Pascal y la utilización de ciertas series.

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Los clásicos matemáticos de la India antigua representan una de las contribuciones más importantes al desarrollo de las matemáticas en la historia universal.

Sulvasutras (alrededor del 800-200 a.C.)

Desarrollan textos para guiar los rituales religiosos.

Contenido:

• Principios geométricos para construir altares rituales.

Uso de lo que hoy conocemos como el teorema de Pitágoras (antes que Pitágoras).

Construcción de figuras geométricas equivalentes en área.

Cálculo de raíces cuadradas.

Importancia: Primeros textos indios con contenido matemático estructurado.

2. Aryabhata (499 d.C.)

Autor: Uno de los matemáticos y astrónomos más influyentes de India.

Contenido:

• Aritmética: operaciones, raíces cuadradas y cúbicas.

• Álgebra: ecuaciones indeterminadas de primer grado.

• Geometría: fórmulas para áreas y volúmenes.

• Trigonometría: primeras tablas de senos.

Astronomía matemática: rotación de la Tierra, eclipses, movimientos planetarios.

3. Brahmagupta (628 d.C.)

Autor: Brahmagupta (598-668 d.C.), matemático y astrónomo.

Contenido:

Realizó reglas para el uso de números negativos y el cero como número (uno de los primeros en tratarlo formalmente).

• Soluciones a ecuaciones cuadráticas.

Métodos para resolver ecuaciones indeterminadas (como las de segundo grado).

Reglas para operaciones con fracciones y números negativos.

Conclusión :

La india antigua fue pionera en:

El uso del cero como número.

El desarrollo de métodos para resolver ecuaciones (algebraicas e indeterminadas).

El manejo de números negativos.

Aportaciones en geometría, aritmética y astronomía matemática.

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Enfoque geométrico:

Tolomeo usaba la cuerda del círculo y el ángulo central, mientras que la trigonometría india (Siddhantas) utilizaba la semicuerda y el semiángulo, concepto similar al seno moderno.

Aporte clave:

La India anticipó la función seno, lo que permitió una mayor abstracción matemática y tablas trigonométricas más precisas.

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Origen e influencias:

Aunque los Siddhantas tienen contenido astronómico griego, su trigonometría presenta un origen debatido, con posibles influencias griegas, babilónicas, chinas o autóctonas.

Usos astronómicos:

Ambas culturas aplicaron la trigonometría a la astronomía, pero los Siddhantas integraron elementos culturales hindúes, dándoles un carácter más sincrético.

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Los matemáticos indios, especialmente Brahmagupta en el siglo VII, fueron los primeros en tratar el cero como un número dentro de las operaciones aritméticas. Lo usaban correctamente en la suma, la resta y la multiplicación. Por ejemplo, sabían que cualquier número más o menos cero seguía siendo el mismo, y que multiplicar por cero daba cero.

Sin embargo, tenían dificultades con la división por cero. Brahmagupta escribió que cero dividido por cero “no es nada” y que un número dividido por cero era una “fracción con denominador cero”, lo cual no es correcto según las matemáticas modernas. A pesar de esas imprecisiones, su trabajo fue fundamental para el desarrollo del concepto de cero como número y su uso en el sistema decimal.

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Sí, se puede afirmar con fundamento histórico que el sistema de numeración que usamos hoy tiene sus raíces en la India. Los matemáticos indios desarrollaron un sistema decimal posicional con los dígitos del 0 al 9, incorporando el concepto revolucionario del cero (śūnya), lo que permitió avances en cálculos y álgebra.

Este sistema fue adoptado por los árabes, quienes lo difundieron a través del mundo islámico y luego hacia Europa. Al-Juarismi y otros matemáticos jugaron un papel clave en su transmisión, y con el tiempo, el sistema reemplazó numeraciones menos eficientes, como la romana. Hoy, es el estándar mundial en ciencias, tecnología y comercio, demostrando su importancia y adaptabilidad.

Si bien su origen es indio, su difusión y perfeccionamiento involucró diversas civilizaciones. Por eso, más que un legado exclusivo de la India, es una contribución global que evolucionó con el tiempo.

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La importante modificación aportada por los indios a la geometría algebraica fue convertir las reglas geométricas de los griegos, las cuales expresaban el equivalente de ciertas relaciones numéricas que incluían números negativos, como (a + b) x (a - b), (- b) x (+ b), en reglas numéricas en las que las cantidades negativas y el cero son considerados números.

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Los trabajos de Diofanto sobre el análisis indeterminado (también conocido como ecuaciones diofánticas, que buscan soluciones enteras o racionales para ecuaciones con varias incógnitas) fueron continuados y desarrollados por matemáticos indios.

Los ejemplos que lo justifican son los siguientes:

Aryabhata (siglo V): Introdujo métodos para resolver ecuaciones diofánticas lineales del tipo ax+by=cax + by = cax+by=c. Utilizó un algoritmo conocido como el kuttaka (que significa "pulverizador"), que es similar al algoritmo de Euclides extendido.

Brahmagupta (siglo VII): Dio una solución general a la ecuación diofántica cuadrática x2−Ny2=1x^2 - Ny^2 = 1x2−Ny2=1, conocida hoy como la ecuación de Pell (aunque fue estudiada mucho antes por los indios). Su método de solución, llamado bhāvanā, permitió generar infinitas soluciones a partir de una solución inicial.

Bhaskara II (siglo XII): Refinó los métodos de Brahmagupta y resolvió casos complejos de ecuaciones diofánticas. Su obra Bijaganita incluye un tratamiento avanzado del análisis indeterminado.

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Los principales inconvenientes en la presentación de los enunciados matemáticos de los indios antiguos son los siguientes:

1. Falta de simbolismo algebraico

Los matemáticos indios no usaban símbolos algebraicos como los conocemos hoy (por ejemplo, xxx, +++, ===). En lugar de eso, expresaban los problemas y soluciones en forma verbal o versificada, lo que dificulta su interpretación moderna.

2. Uso del verso y lenguaje poético

Muchos textos estaban escritos en verso (slokas) para facilitar su memorización, lo que a menudo sacrificaba precisión en favor de la métrica y la estética. Esto puede generar ambigüedad y dificultar la comprensión exacta del procedimiento matemático.

3. Ausencia de demostraciones formales

Aunque los indios resolvían problemas complejos con métodos eficaces, sus escritos no incluían demostraciones formales al estilo griego (como en Euclides), lo que puede dar la impresión de que el razonamiento no estaba completamente justificado.

4. Poca separación entre enunciado y solución

En muchos textos, el enunciado del problema y su solución aparecían juntos o sin una clara distinción. Esto complica el análisis pedagógico moderno y la identificación del problema original.

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1. El sistema de numeración decimal y el cero

Cifra cero: Los matemáticos indios fueron los primeros en tratar al cero como un número con valor y reglas de operación propias. El uso del símbolo "0" como marcador de posición y como número fue una innovación revolucionaria, atribuida a Brahmagupta (siglo VII).

Sistema decimal posicional: Este sistema, con base 10 y posición de las cifras, también se desarrolló en la India y fue transmitido a través del mundo islámico a Europa, dando origen a los "números arábigos".

2. Álgebra

Brahmagupta escribió el Brahmasphutasiddhanta, donde:

Introdujo reglas para operar con números positivos y negativos.

Dio soluciones a ecuaciones cuadráticas completas.

Bhaskara II (siglo XII) en su obra Bijaganita resolvió ecuaciones indeterminadas y cuadráticas, y desarrolló técnicas de factorización.

3. Trigonometría

Los matemáticos indios usaron funciones trigonométricas como el seno (jya) y el coseno (kojya) mucho antes que en Europa.

Tablas de senos muy precisas fueron calculadas por Aryabhata (siglo V), utilizando métodos ingeniosos.

Desarrollaron la fórmula del seno del ángulo doble y otras identidades trigonométricas.

4. Geometría

Aunque influenciados por Euclides y los griegos, los indios desarrollaron resultados originales, especialmente en el contexto de la arquitectura y la astronomía.

Algunos textos, como el Sulbasutras, presentan reglas prácticas para construir altares, incluyendo una forma primitiva del teorema de Pitágoras.

5. Cálculo proto-integral y diferencial

Bhaskara II anticipó ideas del cálculo más de 500 años antes de Newton y Leibniz:

Usó conceptos similares a la derivada al analizar tasas de cambio.

Calculó áreas bajo curvas y máximos/mínimos de funciones en contextos astronómicos.

6. Combinatoria y teoría de números

Técnicas de conteo, permutaciones y combinaciones fueron desarrolladas en el contexto de la poesía y la prosodia sánscrita.

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¿Quién fue Brahmagupta?

Fue uno de los más grandes matemáticos hindúes del siglo VII.

Vivió en Ujjain, un importante centro de astronomía en la India central.

En el año 628 escribió una obra llamada Brahmasphutasiddhanta (Sistema revisado de Brahma), con 21 capítulos, varios dedicados a las matemáticas.

Diferencias con Aryabhata

No menciona el valor de π propuesto por Aryabhata.

Usa dos valores de π: uno práctico (π ≈ 3) y uno más preciso (π ≈ √10).

Emplea un radio de 3270 en trigonometría, diferente al de 3438 de Aryabhata.

Mezcla resultados correctos con algunos errores en geometría.

Aportes matemáticos más destacados

Generalización de la fórmula de Herón para cuadriláteros (válida solo para cuadriláteros cíclicos).

Soluciones generales de ecuaciones cuadráticas, incluyendo raíces negativas y positivas.

Desarrollo de la aritmética de números negativos y del cero.

Resolución general de la ecuación diofántica lineal:
ax + by = c con soluciones enteras.

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Bhaskara es también conocido como Bhaskara II o como Bhaskaracharya, que significa "Bhaskara el maestro". Bhaskaracharya es probablemente el matemático indú de la antiguedad mejor conocido. Nació en 1114 en Bijjada Bida cerca de las montañas de Sahyadri, Bijjada Bida es hoy conocido como Bijapur en el estado de Mysore, India. Bhaskaracharya murió en el año 1185, en Ujjain, India.

Seis trabajos de Bhaskara son conocidos, pero se cree que un séptimo se perdió. Los primeros tres trabajos son los más interesantes desde el punto de vistas matemático. Bhaskara escribe su famoso Siddhanta Siroman en el año 1150. Este libro se divide en 4 partes, Lilavati (aritmética), Vijaganita (álgebra), Goladhyaya (globo celestial), y Grahaganita (matemáticas de los planetas). La mayor parte del trabajo de Bhaskara en el Lilavati y Bijaganita procede de matemáticos anteriores, pero los sobrepasa sobre todo en la resolución de ecuaciones.

Su trabajo matemático parte del de Brahmagupta que ya manejaba el cero y los números negativos. Pero va más allá en su uso, por ejemplo Bhaskara afirma que x^2 = 9 tiene dos soluciones.

En el Lilavati, estudia algunas ecuaciones diofánticas, interés, progresiones artiméticas y geométricas, geometría plana y sólida, combinaciones, etc. También da dos algoritmos famosos de multiplicación de números en base diez

Bhaskaracharya, como muchos matemáticos indues, considera el cuadrado como un caso especial de la multiplicación que merece un algoritmo especial. En el Lilavati da 4 métodos para hallar el cuadrado de dos números en base diez.

En relación con la ecuación de Pell, x^2=1+61y^2, casi resuelta por Brahmagupta, Bhaskara dió un método, llamado proceso Chakravala, para resolverla. Estudia la ecuación de Pell: x^2=1+py^2 para p=8, 11, 32, 61 y 67. Cuando p=61 encuentra la solución x=226153980, y=1776319049. Cuando p=67 encuentra la solución x=5967, y=48842.

Bhaskaracharya estudia la ecuación diofántica 195x = 221y + 65, obteniendo las soluciones (x,y) = (6,5),(23,20),(40, 35),...

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Entre los problemas geométricos da una resolución del teorema de Pitágoras: teniendo en cuenta el cuadrado de una suma, (b+c)^2=b^2+c^2+2bc y observado la figura (b+c)^2=2bc+a^2 y por tanto se obtiene a^2=b^2+c^2. También da algunos valores aproximados de π como 22/7 y 3927/1250.

En el capítulo final sobre combinatoria Bhaskaracharya considera el siguiente problema. Dado un número de n-digitos, en base diez. ¿Cuantos existen que satisfacen que la suma de sus dígitos es constante?

Bijaganita tiene doce capítulos. Los números negativos se denotan colocando un punto encima. Después de explicar como hacer artimética con ellos Bhaskara propone ejercicios donde hay que obtener soluciones tanto positivas como negativas o donde hay que manejar números negativos para hallar la solución.

Quizás la más famosa de sus fórmulas sea la solución de la ecuación de segundo grado, de la que obtiene siempre dos soluciones, aunque sólo sean de interés las enteras positivas. Un ejemplo de problema: Dentro de un bosque, un número de monos es igual al cuadrado de un octavo del total de un conjunto de ellos que están jugando ruidosamente. Hay doce monos mas, que están en una colina cercana y no juegan. ¿Cuántos monos están jugando?.

Este problema conduce a una ecuación de segundo grado, x^2/8^2 = x - 12, o bien x^2 - 64x + 768 = 0, que tiene dos soluciones, 16 y 48 y ambas son igualmente admisibles como calcula y afirma Bhaskara.

También resuelve sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Por ejemplo: los caballos que pertenecen a 4 hombres son respectivamente 5, 3, 6 y 8. Los camellos que pertenecen a los mismos son 2, 7, 4 y 1. Las mulas son 8, 2, 1 y 3. Los bueyes son 7, 1, 2 y 1. Los 4 hombres tienen igual fortuna. ¿Cuál es el precio de cada uno de los animales?

Naturalmente estos problemas no tiene solución única. Bhaskara lo sabe y obtiene la mínima, en el ejemplo anterior 85 para caballos, 76 para camellos, 31 para mulos y 4 para bueyes.

Bhaskaracharya se interesa también por la trigonometría, obteniendo las sorprendentes fórmulas para el seno de la suma y diferencia de dos ángulos: sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b, sin(a - b) = sen a cos b - cos a sen b.

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Aportes de matemáticos chinos individuales y el triángulo aritmético

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Aportes de matemáticos chinos individuales y el triángulo aritmético

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Matemáticos chinos como Liu Hui y Zu Chongzhi realizaron aportes notables en áreas como la geometría, la estimación del valor de π y las series matemáticas. Liu Hui, por ejemplo, propuso un método para calcular áreas y volúmenes con precisión, mientras que Zu Chongzhi logró una de las aproximaciones más precisas de π de su época. Además, los textos chinos como “Espejos preciosos” incluyen sumas de series y diagramas como el triángulo aritmético de Pascal (aunque fue descubierto siglos antes en China), mostrando que conceptos fundamentales del cálculo y la combinatoria ya eran conocidos en el mundo oriental mucho antes que en Europa.

Si necesitas que estos puntos se conviertan en un ensayo redactado completo, también puedo ayudarte con eso.

EJEMPLO

calculó que π era aproximadamente 3.1415926, una precisión notable para su época. Además, el triángulo aritmético que aparece en los textos chinos es igual al triángulo de Pascal, y se usaba para calcular coeficientes binomiales.
Con el triángulo aritmético, podían calcular combinaciones como:
¿Cuántas formas hay de elegir 3 personas de un grupo de 7?
Respuesta: el número en la fila 7, posición 3 del triángulo es 35.
Esto era útil para problemas de organización, distribución o incluso en juegos estratégicos