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Il Piano Cartesiano: Definizioni e concetti base

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A colpo d'occhio

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Descrizione generale di un piano cartesiano

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cartesiano carteṡiano agg. [dal fr. cartésien]. - 1. a. Relativo alle dottrine, ai principî, agli indirizzi del filosofo e matematico francese (1596-1650) René Descartes (latinizz. Cartesius, ital. Cartèsio): il pensiero, il metodo, il dualismo, il razionalismo cartesiano. b. Che presenta caratteri simili a quelli tradizionalmente riconosciuti al discorso di Cartesio, cioè chiarezza ed evidenza: un ragionamento c., un metodo di esposizione cartesiano.

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Un pò di storia

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L’intuizione per fare ordine nella realtà: il diagramma cartesiano

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L’intuizione di Cartesio è nella nostra quotidianità, ma troppo spesso non ce ne accorgiamo

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PIANO CARTESIANO 1 introduzione                         _ PC05

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Il piano cartesiano è un sistema di riferimento Oxy basato sulle coordinate cartesiane in cui ogni punto viene individuato mediante una coppia ordinata di numeri reali (x,y). Nel piano cartesiano tali valori vengono detti ascissa e ordinata e permettono di rappresentare qualsiasi figura geometrica piana.

In Geometria Analitica, e in particolare nella Geometria del piano, la rappresentazione di punti, rette e più in generale di un qualsiasi luogo geometrico passa dalla rappresentazione del piano cartesiano.

In questa lezione spieghiamo cos'è il piano cartesiano (o riferimento cartesiano Oxy) e come permette di disegnare e descrivere mediante un sistema di coordinate (x,y) qualsiasi figura o ente geometrico piano.

Il sistema di coordinate che definiremo tra poco ci darà una relazione diretta tra la rappresentazione grafica - cioè il disegno della figura o del luogo geometrico - e la rappresentazione analitica, vale a dire la definizione del luogo mediante numeri, variabili, equazioni ed eventualmente disequazioni.

Cos'è il piano cartesiano, e come si rappresenta

Per disegnare il piano cartesiano è sufficiente tracciare due rette orientate e perpendicolari tra loro.

Solitamente si disegnano le due rette, dette assi cartesiani, in modo che una di esse sia orizzontale e l'altra verticale. Il punto di incontro degli assi cartesiani è detto origine degli assi o più brevemente origine; la retta orizzontale è detta asse delle ascisse o asse delle x, mentre quella verticale si chiama asse delle ordinate o asse delle y.

Le quattro parti in cui viene diviso il piano dagli assi prendono il nome di quadranti e, partendo da quello in alto a destra e procedendo in senso antiorario, vengono chiamate rispettivamente primo quadrante, secondo quadrante, terzo quadrante e quarto quadrante.

Fin qui tutto facile, no? :)

Piano cartesiano e sistema di coordinate

Come abbiamo accennato inizialmente il piano cartesiano ci permette di costruire un sistema di coordinate, in cui poi sarà molto comodo rappresentare luoghi ed enti geometrici, e allo stesso modo ricavare una rappresentazione analitica delle figure piane.

Abbiamo due assi orientati, cioè con un verso individuato da una freccia: l'asse delle x e l'asse delle y. Essi sono orientati da sinistra a destra (ascisse) e dal basso verso l'alto (ordinate). L'idea consiste nell'usare ciascuno dei due assi per rappresentare l'insieme dei numeri reali , vale a dire in parole povere l'insieme di tutti i numeri decimali, razionali e irrazionali.

Scegliamo un'unità di misura di riferimento |-| che corrisponde ad un' unità intera, cioè ad 1. Se usiamo i fogli a quadretti, ad esempio, ci basterà prendere come unità di riferimento un quadretto.

Decidiamo a questo punto di assegnare all'origine degli assi il valore sull'asse delle ascisse e sull'asse delle ordinate. Nel caso dell'asse delle x a sinistra dello zero avremo i numeri negativi e a destra i numeri positivi. Andando da sinistra verso destra i numeri aumentano di valore. Per l'asse delle y avremo i numeri negativi al di sotto dell'origine e al di sopra dell'origine quelli positivi, e muovendoci dal basso verso l'alto i numeri aumentano di valore.

Con queste premesse possiamo finalmente introdurre un sistema di coordinate nel piano, e possiamo rappresentare un qualsiasi punto del piano cartesiano mediante una coppia ordinata di numeri reali.

La coppia ordinata di numeri reali prende il nome di coordinate cartesiane del punto ed in particolare si riferisce all'asse delle ascisse (orizzontale), mentre si riferisce all'asse delle ordinate (verticale).

Chiamiamo il primo dei due numeri l' ascissa del punto , cioè il valore da prendere sull'asse delle x, mentre il secondo è l' ordinata del punto , cioè il valore da prendere sull'asse delle ordinate.

Per individuare l' ascissa del punto si considera la proiezione ortogonale del punto sull'asse delle x

e per trovare l' ordinata del punto si proietta il punto stesso perpendicolarmente sull'asse delle y.

In questo modo abbiamo un vero e proprio sistema di coordinate che da una parte associa ad ogni punto del piano cartesiano una e una sola coppia di numeri

e dall'altra sappiamo che ad una qualsiasi coppia di numeri reali corrisponderà uno ed un solo punto del piano

Abbiamo realizzato così un tipo di corrispondenza 1 a 1 tra coppie di valori e punti che in Matematica viene chiamata corrispondenza biunivoca.

I numeri della coppia che individua il corrispondente punto nel piano cartesiano prendono il nome di coordinate cartesiane del punto, o più brevemente coordinate del punto.

Esempio di rappresentazione nel piano cartesiano

Vediamo come rappresentare in un riferimento cartesiano il triangolo di vertici

Svolgimento: ci basta disegnare gli assi del piano cartesiano come abbiamo fatto in precedenza, fissando un'unità di misura e graduando gli assi. Fatto ciò dobbiamo solo segnare i punti .

Ci fermiamo qui. Nei prossimi formulari entriamo nel vivo della Geometria Analitica... Nel frattempo non perdetevi il tool per disegnare nel piano cartesiano online e la scheda correlata di problemi ed esercizi svolti, adatti anche agli studenti di terza media oltre che per gli studenti delle scuole superiori! ;)

In caso di dubbi o difficoltà non esitate: abbiamo risolto migliaia di esercizi, spiegandoli fino all'ultima virgola, e potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna.

Búcsú, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Tags: come disegnare il piano cartesiano - come risolvere gli esercizi sul piano cartesiano - sistema di coordinate nel piano - asse delle ascisse - asse delle ordinate - asse delle x - asse delle y.

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Il piano cartesiano è un sistema di riferimento Oxy basato sulle coordinate cartesiane in cui ogni punto viene individuato mediante una coppia ordinata di numeri reali (x,y). Nel piano cartesiano tali valori vengono detti ascissa e ordinata e permettono di rappresentare qualsiasi figura geometrica piana.