# data[].attributes.body
Matematikk og undring - høytlesing i klassen?

# data[].attributes.body
er borte

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Roger Antonsen er førstelektor ved Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo, hvor han underviser kurset INF1080 - Logiskemetoder for informatikk. Han er forsker og leder studentlaboratoriet Åpen sone for eksperimentell informatikk.

Han fullførte sin PhD i logikk i 2008 innenfor bevisteori og automatisk resonnering, og har siden da arbeidet aktivt med formidling av realfag.

Han er prosjektleder for Maker Faire Oslo, oppfinner av smarte sjongleringsballer og fikk Universitetsforlagets lærebokpris i 2013 for bokprosjektet "Introduksjon til vitenskapelig matematisk tankegang".

Det er for tiden mye snakk om matematikk, standardiserte tester og norske elevers "mattekunnskaper". Det er likevel nesten ingen som snakker om hva vi faktisk mener når vi sier "matematikk", eller hvilken matematisk forståelse og erfaring vi ønsker at elevene skal oppnå i løpet av skolen.

Ønsker vi at elevene virkelig skal forstå hva de holder på med, eller er det tilstrekkelig at de blir gode til å regne?

Musikkundervisning uten musikk

Den amerikanske matematikklæreren Paul Lockhart skrev i 2002 en pamflett med tittelen "A Mathematician's Lament", hvor han sammenligner matematikkundervisningen i skolen med en musikkundervisning uten musikk, hvor man kun fokuserer på notelære og musikknotasjon og hvor man hverken spiller instrumenter eller hører på musikk.

Mange tror at matematikk hovedsakelig handler om tall, formler og det å regne. Men, det er feil. Han beskriver den amerikanske skolen som en skole hvor matematikken er blitt borte, hvor det eneste som gjenstår er et tomt skall og hvor den matematiske forståelsen og erfaringen ikke lenger har noen plass. Det er en hard kritikk, men jeg er enig og mener det samme kan sies om mye av matematikken i dagens norske skole.

Kunsten

For hva er egentlig essensen i matematikk? Tenk over det før du leser videre. Tenk deg at du selv måtte forklare og definere hva matematikk er. Hva ville du ha sagt, hva ville du ha fokusert på? Ville du ha begynt med å forklare de fire regneartene (pluss, minus, gange og dele) og hva tall, algebra, brøkregning og funksjoner er?

Nei. Matematikk er noe dypere, mer fundamentalt, fargerikt og vakkert enn det. Mange tror at matematikk hovedsakelig handler om tall, formler og det å regne. Men, det er feil. Matematikk er kunsten å tenke.

Matematikk handler om å gjøre antagelser og resonnere seg frem til konsekvensene av disse antagelsene. Tenk på det som å lage spillereglene til et spill, som sjakk eller fire-på-rad.

Når du har definert reglene, så er spillet gitt. Lager du gode regler, så får du gode spill. Slik er det i matematikk også. Alle spillereglene er mer eller mindre vilkårlige, men de er definert slik de er for å få gode spill.

Jeg sier ofte til mine studenter at de kan anta hva som helst, men da må de også ta konsekvensene av det. Hvis de vil anta at 2+2=5 så er det helt ok. Matematikk er kunsten å tenke fra antagelser.

Matematikk handler om å finne mønstre og abstrahere. Se omkring deg og se etter mønstre og symmetrier. Det er omtrent umulig å ikke finne dem. Når du gjenkjenner former eller ser at to mennesker er i slekt, så er du en mønstergjenkjenner. Matematikk er kunsten å finne mønstre.

Vi har tatt bort oppdagelsene, kreativiteten, skjønnheten, opplevelsen, fargene og essensen. Matematikk handler om å finne gode representasjoner, og klare å veksle mellom disse. Hvis du klarer å representere ett og samme fenomen på to forskjellige måter, så gjør det deg i stand til å se nye sammenhenger. Hvorfor er det så stort fokus på å løse ligninger i skolen? Det er jo ikke for å gjøre barn flinke til å anvende regneregler uten å tenke: det er fordi ligningene representerer noe annet. Matematikk er kunsten å finne gode representasjoner.

Fremfor alt handler matematikk om å bruke forestillingsevnen og å være kreativ. Hvis du forestiller deg en sirkel, så er dette noe som kun eksisterer som en idé i din bevissthet. Og denne sirkelen er helt perfekt, i motsetning til sirkellignende objekter i naturen. Matematikk er kunsten å bruke forestillingsevnen til å resonnere om slike abstrakte ideer.

Oppdagelsesreisende

Det å gjøre matematikk på denne måten er å være en oppdagelsesreisende, og det å oppdage og bevise matematiske sannheter blir en form for kunst. Man stiller spørsmål som "Hva er egentlig pi? Hvor lang er diagonalen i et kvadrat? Er uendeligheten et tall? Finnes det uendelige mengder?" og bruker tid til å forsøke å forstå, i stedet for å bruke regneregler og sette tall inn i formler.

Vi har klart å gjøre det mest kreative og fargerike av alle fag om til noe som det er ok å mislike. En fin måte å utforske og oppdage matematikk på er ved hjelp av programmering. Hvorfor er ikke programmering og informatikk en integrert del av skolen? Jeg mener ikke tekstbehandling, regneark, nettsider og grafikk, men ordentlig programmering, hvor man lager sine egne programmer og forteller en datamaskinen nøyaktig hva den skal gjøre.

På mange måter er informatikk og matematikk to sider av samme sak: Det handler om å lage regler, finne mønstre og representasjoner, utforske konsekvenser, abstrahere og løse problemer. Og det på en måte som er dynamisk og trygg: Når man gjør en feil, så kaster man ikke hele programmet og begynner på nytt; man leter etter feilen og endrer programmet slik at det blir riktig.

Denne feilsøkingsprosessen er ekstremt konstruktiv og nyttig og har stor overføringsverdi til andre deler av livet. Ved å lære barn grunnleggende programmering, får de et verktøy som gjør dem i stand til å utforske matematikk selv, eksperimentere med modeller, definere sine egne regler og simulere prosesser i naturen. En datamaskin kan på denne måten bli et ekstremt nyttig verktøy for å oppnå større innsikt og forståelse.

Essensen

Mange smykker seg med at de aldri forsto matematikk. Og når jeg spør barn om hva matematikk er, så svarer mange bare "kjedelig". Det overrasker meg ikke. Vi har klart å gjøre det mest kreative og fargerike av alle fag om til noe som det er ok å mislike.

Hvis man tenker over det, så er det ikke så rart. Vi lærer bort en masse regler, fakta og formler og forventer at forståelsen på magisk vis dukker opp med mye trening og gjentatt anvendelse av formler.

Det er en ekstrem optimisme i det å tro at enda mer regnetrening og oppgaveløsning er det som skal til for å øke matematikkforståelsen. Optimismen ligger i det å tro at forståelsen kommer automatisk. Det gjør den ikke. Det å være god til å anvende regler, på en presis og nøyaktig måte, er ikke det samme som forstå hva man gjør.

Vi har tatt bort oppdagelsene, kreativiteten, skjønnheten, opplevelsen, fargene og essensen. Dette er blitt et kulturelt problem som det ikke er noen enkel løsning på. Men, vi må gi barn og voksne muligheten til å forelske seg i matematikk, til å se på det som noe som er vakkert og harmonisk, akkurat som et fint stykke musikk.

Vi må få dem til se kunsten og opplevelsen i matematikken. Det gjør vi ikke ved å pøse på med mer regning, mer tankeløs anvendelse av formler og mer repetisjon. Det gjør vi med å skape undring, glede, fascinasjon og nysgjerrighet, ved å åpne opp for utforskning og ved å fortelle gode historier.

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Roger Antonsen Matematiker, informatiker og spaltist i Aftenposten

# data[].attributes.attachment_link.description
Roger Antonsen er førstelektor ved Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo, hvor han underviser kurset INF1080 - Logiskemetoder for informatikk. Han er forsker og leder studentlaboratoriet Åpen sone for eksperimentell informatikk. Han fullførte sin PhD i logikk i 2008 innenfor bevisteori og automatisk resonnering, og har siden da arbeidet aktivt med formidling av realfag.

# data[].attributes.headline
Forskjellen mellom barn som mestrer matte godt

# data[].attributes.subject
Forskjellen mellom barn som mestrer matte godt

# data[].attributes.body
og barn som mestrer matte dårlig

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
"I'm just not a math person."

We hear it all the time. And we've had enough. Because we believe that the idea of "math people" is the most self-destructive idea in America today. The truth is, you probably are a math person, and by thinking otherwise, you are possibly hamstringing your own career. Worse, you may be helping to perpetuate a pernicious myth that is harming underprivileged children-the myth of inborn genetic math ability.

Is math ability genetic? Sure, to some degree. Terence Tao, UCLA's famous virtuoso mathematician, publishes dozens of papers in top journals every year, and is sought out by researchers around the world to help with the hardest parts of their theories. Essentially none of us could ever be as good at math as Terence Tao, no matter how hard we tried or how well we were taught. But here's the thing: We don't have to! For high school math, inborn talent is just much less important than hard work, preparation, and self-confidence.

How do we know this? First of all, both of us have taught math for many years-as professors, teaching assistants, and private tutors. Again and again, we have seen the following pattern repeat itself:

1. Different kids with different levels of preparation come into a math class. Some of these kids have parents who have drilled them on math from a young age, while others never had that kind of parental input.

2. On the first few tests, the well-prepared kids get perfect scores, while the unprepared kids get only what they could figure out by winging it-maybe 80 or 85%, a solid B.

3. The unprepared kids, not realizing that the top scorers were well-prepared, assume that genetic ability was what determined the performance differences. Deciding that they "just aren't math people," they don't try hard in future classes, and fall further behind.

4. The well-prepared kids, not realizing that the B students were simply unprepared, assume that they are "math people," and work hard in the future, cementing their advantage.

Thus, people's belief that math ability can't change becomes a self-fulfilling prophecy.

The idea that math ability is mostly genetic is one dark facet of a larger fallacy that intelligence is mostly genetic. Academic psychology journals are well stocked with papers studying the world view that lies behind the kind of self-fulfilling prophecy we just described. For example, Purdue University psychologist Patricia Linehan writes:

A body of research on conceptions of ability has shown two orientations toward ability. Students with an Incremental orientation believe ability (intelligence) to be malleable, a quality that increases with effort. Students with an Entity orientation believe ability to be nonmalleable, a fixed quality of self that does not increase with effort.

The "entity orientation" that says "You are smart or not, end of story," leads to bad outcomes-a result that has been confirmed by many other studies. (The relevance for math is shown by researchers at Oklahoma City who recently found that belief in inborn math ability may be responsible for much of the gender gap in mathematics.)

Psychologists Lisa Blackwell, Kali Trzesniewski, and Carol Dweck presented these alternatives to determine people's beliefs about intelligence:

1. You have a certain amount of intelligence, and you really can't do much to change it.

2. You can always greatly change how intelligent you are.

They found that students who agreed that "You can always greatly change how intelligent you are" got higher grades. But as Richard Nisbett recounts in his book Intelligence and How to Get It,they did something even more remarkable:

Dweck and her colleagues then tried to convince a group of poor minority junior high school students that intelligence is highly malleable and can be developed by hard work...that learning changes the brain by forming new...connections and that students are in charge of this change process.

The results? Convincing students that they could make themselves smarter by hard work led them to work harder and get higher grades. The intervention had the biggest effect for students who started out believing intelligence was genetic. (A control group, who were taught how memory works, showed no such gains.)

But improving grades was not the most dramatic effect, "Dweck reported that some of her tough junior high school boys were reduced to tears by the news that their intelligence was substantially under their control." It is no picnic going through life believing you were born dumb-and are doomed to stay that way.

For almost everyone, believing that you were born dumb-and are doomed to stay that way-is believing a lie. IQ itself can improve with hard work. Because the truth may be hard to believe, here is a set of links about some excellent books to convince you that most people can become smart in many ways, if they work hard enough:

So why do we focus on math? For one thing, math skills are increasingly important for getting good jobs these days-so believing you can't learn math is especially self-destructive. But we also believe that math is the area where America's "fallacy of inborn ability" is the most entrenched. Math is the great mental bogeyman of an unconfident America. If we can convince you that anyone can learn math, it should be a short step to convincing you that you can learn just about anything, if you work hard enough.

Is America more susceptible than other nations to the dangerous idea of genetic math ability? Here our evidence is only anecdotal, but we suspect that this is the case. While American fourth and eighth graders score quite well in international math comparisons-beating countries like Germany, the UK and Sweden-our high-schoolers underperform those countries by a wide margin. This suggests that Americans' native ability is just as good as anyone's, but that we fail to capitalize on that ability through hard work. In response to the lackluster high school math performance, some influential voices in American education policy have suggested simply teaching less math-for example, Andrew Hacker has called for algebra to no longer be a requirement. The subtext, of course, is that large numbers of American kids are simply not born with the ability to solve for x.

We believe that this approach is disastrous and wrong. First of all, it leaves many Americans ill-prepared to compete in a global marketplace with hard-working foreigners. But even more importantly, it may contribute to inequality. A great deal of research has shown that technical skills in areas like software are increasingly making the difference between America's upper middle class and its working class. While we don't think education is a cure-all for inequality, we definitely believe that in an increasingly automated workplace, Americans who give up on math are selling themselves short.

Too many Americans go through life terrified of equations and mathematical symbols. We think what many of them are afraid of is "proving" themselves to be genetically inferior by failing to instantly comprehend the equations (when, of course, in reality, even a math professor would have to read closely). So they recoil from anything that looks like math, protesting: "I'm not a math person." And so they exclude themselves from quite a few lucrative career opportunities. We believe that this has to stop. Our view is shared by economist and writer Allison Schrager, who has written two wonderful columns in Quartz ( here and here), that echo many of our views.

One way to help Americans excel at math is to copy the approach of the Japanese, Chinese, and Koreans. In Intelligence and How to Get It, Nisbett describes how the educational systems of East Asian countries focus more on hard work than on inborn talent:

1. "Children in Japan go to school about 240 days a year, whereas children in the United States go to school about 180 days a year."
2. "Japanese high school students of the 1980s studied 3 ½ hours a day, and that number is likely to be, if anything, higher today."
3. "[The inhabitants of Japan and Korea] do not need to read this book to find out that intelligence and intellectual accomplishment are highly malleable. Confucius set that matter straight twenty-five hundred years ago."
4. "When they do badly at something, [Japanese, Koreans, etc.] respond by working harder at it."
5. "Persistence in the face of failure is very much part of the Asian tradition of self-improvement. And [people in those countries] are accustomed to criticism in the service of self-improvement in situations where Westerners avoid it or resent it."

We certainly don't want America's education system to copy everything Japan does (and we remain agnostic regarding the wisdom of Confucius). But it seems to us that an emphasis on hard work is a hallmark not just of modern East Asia, but of America's past as well. In returning to an emphasis on effort, America would be returning to its roots, not just copying from successful foreigners.

Besides cribbing a few tricks from the Japanese, we also have at least one American-style idea for making kids smarter: treat people who work hard at learning as heroes and role models. We already venerate sports heroes who make up for lack of talent through persistence and grit; why should our educational culture be any different?

Math education, we believe, is just the most glaring area of a slow and worrying shift. We see our country moving away from a culture of hard work toward a culture of belief in genetic determinism. In the debate between "nature vs. nurture," a critical third element-personal perseverance and effort-seems to have been sidelined. We want to bring it back, and we think that math is the best place to start.
Follow Miles on Twitter at @mileskimball. Follow Noah at @noahpinion. We welcome your comments at ideas@qz.com.

Most Popular

Read full story

# data[].attributes.attachment_link.title
There's one key difference between kids who excel at math and those who don't

# data[].attributes.attachment_link.description
"I'm just not a math person." We hear it all the time. And we've had enough. Because we believe that the idea of "math people" is the most self-destructive idea in America today. The truth is, you probably are a math person, and by thinking otherwise, you are possibly hamstringing your own career.

# data[].attributes.body
noen tips fra

# data[].attributes.attachment_link.description
På sikkerhverdag.no får du konkrete råd og tips til hvordan du kan forebygge brann, håndtere strøm, gass, fyrverkeri og farlige stoffer på en sikker måte, til informasjon om trygge produkter og tjenester - og gode råd om egen beredskap. Sikkerhverdag.no er Direktoratet for samfunnssikkerhets og beredskap (DSB) sin nettside for privatpersoner.

# data[].attributes.headline
Kodetimen organisert via Notebook i Smartboard

# data[].attributes.subject
Kodetimen organisert via Notebook i Smartboard

# data[].attributes.body
Noe for 5.-7.trinn når de skal prøve koding?

# data[].attributes.body
Hva gjør du med gamle bilder? Hva skal du ta vare på?

# data[].attributes.attachment_link.title
Bilder av elevene - noen ting å tenke på

# data[].attributes.attachment_link.description
De aller fleste vet at skolene må ha skriftlig samtykke fra foresatte for å publisere bilder av elevene, og noen har mer eller mindre skrevne regler for type bilder - f.eks. at de ikke skal vise elevene i uheldige positurer/situasjoner og at de ikke skal navngis. Så langt pleier alt å være "på stell".

# data[].attributes.body
Her er noen lekser som jeg hadde ønsket at datteren min hadde fått da hun gikk på småskolen

# data[].attributes.attachment_link.title
Vikarforelderen: Her er noen lekser som jeg hadde ønsket at datteren min hadde fått da hun gikk på småskolen

# data[].attributes.attachment_link.description
av Lærerråd Denne vikarposten kommer fra Toove, som er en utenom det vanlige engasjert forelder, og som har gjort seg noen tanker om hvilke lekser hun skulle ønske at skolen ga. Toove blogger til vanlig på Ta ansvar for deg selv. - Finn et flatt sted ute i bakgården eller i en hage, kanskje oppå et bord.