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Esta web proporciona una colección de acertijos matemáticos que abarcan temas como geometría combinatoria, lógica y estadística, diseñados para desafiar y entretener a los entusiastas de las matemáticas.

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Hay tantas ramas diferentes de la matemática que, si incluimos un problema extraído de cada una de ellas, este libro sería cincuenta veces más extenso de lo que es. Los cinco acertijos siguientes no corresponden muy bien a ninguna de las secciones previas, pero se incluyen aquí porque son especialmente interesantes y porque introducen importantes ideas matemáticas.

El primer acertijo involucra una rama de la geometría llamada geometría combinatoria. Demuestra cómo hacer una suerte de acertijo de encastre que ha despertado el interés de muchos matemáticos de primer nivel. El segundo y el quinto acertijos involucran la lógica. Desde la época de Aristóteles hasta hace un siglo, la lógica era considerada parte de la filosofía; ahora se la considera el estudio de las leyes más fundamentales de la matemática. El tercer acertijo señala una divertida trampa del campo de la matemática llamado estadística

- Ya ve, continuó Eddie; eso me deja tan sólo cuatro días para estar enfermo y en cama, y ni siquiera he tomado en cuenta los siete feriados escolares que tenemos cada año.

El preceptor se rascó la cabeza.

- Algo no anda bien aquí, murmuró.

Pero por más que se esforzó, no pudo encontrar nada equivocado en las cifras de Eddie. ¿Puedes explicar dónde está el error?

Solución

La trampa de las cifras de Eddie es que las categorías de tiempo se superponen de modo que los mismos períodos de tiempo se cuentan más de una vez. Para dar un ejemplo, durante su período de vacaciones de 60 días también comió y durmió. El tiempo de comer y dormir se cuenta en el periodo de vacaciones y también aparte, en el tiempo insumido para comer y dormir durante todo el año.

La falacia de superponer categorías es muy común en las estadísticas, especialmente en el caso de las estadísticas médicas. Podemos leer que en ciertas comunidades, el 30 por ciento de las personas tienen una deficiencia de vitamina A, el 30 por ciento tiene deficiencia de vitamina B, y el 30 por ciento tiene deficiencia de vitamina C. Si a partir de esto sacamos la conclusión de que sólo el 10 por ciento de la población no tiene deficiencia de estas tres vitaminas, habremos realizado el mismo razonamiento defectuoso que Eddie utilizó en su charla con el preceptor: Es posible que el 30 por ciento de la población tenga deficiencias de las tres vitaminas, lo que dejaría al 70 por ciento de la población en la categoría de los que no tienen ninguna deficiencia.

4. Tiempo de tostadas.

Los Smith tienen una anticuada tostadora que sólo admite dos rebanadas de pan por vez y que tuesta sólo un lado de la rebanada por vez. Para tostar el otro lado, hay que sacar las rebanadas, darles vuelta y volverlas a poner en la tostadora. La tostadora demora exactamente un minuto para tostar un lado de cada rebanada de pan que contenga.

Una mañana, la señora Smith deseaba tostar ambas caras de tres rebanadas. El señor Smith la observaba por encima de su periódico y sonrió al ver el procedimiento de su esposa. Demoró cuatro minutos.

- Podrías haber tostado esas tres rebanadas en menos tiempo, querida, dijo, y hubieras gastado menos electricidad.

¿Tenía razón el señor Smith, y si así fuera, cómo podría haber tostado su esposa esas tres rebanadas en menos de cuatro minutos?

Solución

Es simple tostar las tres rebanadas, de ambos lados, en tres minutos. Llamemos A, B y C a las rebanadas. Cada una de ellas tiene la cara 1 y la cara 2. El procedimiento es éste:

Primer minuto: Tostar caras A-1 y B-1. Quitar las rebanadas, dar vuelta a B y volverla a poner en la tostadora. Poner aparte a A y colocar C en la tostadora.

Segundo minuto: Tostar B-2 y C-1. Quitar las rebanadas, dar vuelta a C y volverla a poner en la tostadora. Dejar aparte a B (que ya está tostada por ambas caras) y poner a A otra vez en la tostadora.

Tercer minuto: Tostar las caras A-2 y C-2. Todas las caras de las tres rebanadas están tostadas ahora.

5. Las tres corbatas.

El señor Pardo, el señor Verde y el señor Negro estaban almorzando juntos. Uno de ellos llevaba una corbata parda, otro una corbata verde y otro una corbata negra.

- ¿Se han dado cuenta, dijo el hombre de la corbata verde, de que aunque nuestras corbatas son de colores iguales a nuestros nombres, ninguno de nosotros lleva la corbata que correspondería a su nombre?

- ¡Por Dios que tienes razón!, exclamó el señor Pardo.

¿De qué color era la corbata de cada uno?

Solución

El señor Pardo tenía corbata negra. El señor Negro tenía corbata verde. El señor Verde tenía corbata parda.

Pardo no podía tener una corbata parda, pues entonces correspondería a su nombre. No podía tener corbata verde, pues ése, era el color de la corbata del hombre que le hizo la pregunta. Por lo tanto, la corbata de Pardo debe ser negra. Esto deja las corbatas verde y parda para el señor Negro y el señor Verde.

El cuarto acertijo demuestra de qué modo el razonamiento matemático puede incrementar con frecuencia la eficiencia del trabajo, incluso del trabajo de una persona que está tomando el desayuno. Actualmente, la aplicación de la matemática a la industria y a la estrategia bélica, para lograr que sean más eficientes, es conocida con el nombre de investigación operativa. Es uno de los campos de la matemática que se desarrolla con mayor rapidez.

1. Los cinco tetrominós.

Dibuja las cinco formas que muestra la figura 1 sobre un papel rígido o sobre cartón, y recórtalas. ¿Puedes acomodarlas como para formar el rectángulo de 4 x 5 que aparece en la figura 2? Las piezas pueden rotarse y ponerse con cualquier lado hacia arriba.

Esas cinco formas se llaman tetrominós. Un dominó se forma juntando dos cuadrados pequeños. Los tetrominós se forman con la unión de cuatro cuadrados pequeños. Las formas constituidas por tres cuadrados se llaman triminós , y las que están constituidas por cinco cuadrados se llaman pentominós .

El nombre general de esas formas es poliominós . Hay cientos de acertijos interesantes que se basan en ellas.

Solución

No hay manera de resolver este acertijo. Tal vez te convenciste de ello después de haber intentado mucho tiempo formar el rectángulo, pero sin ningún éxito. Sin embargo, un matemático jamás se contenta con la simple sospecha de que algo es imposible. Quiere probarlo. En este caso, hay un medio sorprendentemente simple de hacerlo.

Primero colorea los pequeños cuadrados del rectángulo de modo que parezca un tablero de ajedrez (figura 3). Si intentas situar los tetrominós A, B, C, y D sobre este tablero, verás que, los sitúes cómo los sitúes, cada uno debe cubrir dos cuadrados negros y dos blancos. Los cuatro en conjunto, entonces, deben cubrir un área total de ocho cuadrados blancos y ocho cuadrados negros.

Esto no ocurre, sin embargo, en el caso del tetrominó E. Siempre cubre tres cuadrados de un color y un cuadrado del otro color.

El rectángulo tiene diez cuadrados blancos y diez cuadrados negros. No importa dónde situemos los tetrominós A, B, C y D, tendremos que cubrir ocho cuadrados de cada color. Esto dejaría sin cubrir dos cuadrados blancos y dos cuadrados negros para el tetrominó E. Pero E no puede cubrir dos cuadrados blancos y dos negros. En consecuencia, el acertijo no tiene solución.

La figura 4 muestra una figura con la forma de un rascacielos, en la que hay dos cuadrados negros más que cuadrados blancos, de modo que nuestra prueba de imposibilidad ya no se aplica en este caso. Intenta formar esta figura con tus cinco piezas. ¡Esto sí es posible!

2. Las dos tribus.

Una isla está habitada por dos tribus. Los miembros de una tribu siempre dicen la verdad, los miembros de la otra tribu mienten siempre.

Un misionero se encontró con dos de estos nativos, uno alto y otro bajo.

- ¿Eres de los que dicen la verdad?, preguntó al más alto.

- Upf, respondió el nativo alto.

El misionero reconoció la palabra como el término nativo que significa sí o no, pero no podía recordar cuál de los dos. El nativo bajo hablaba español, así que el misionero le preguntó qué era lo que había dicho su compañero.

- Dijo sí, replicó el nativo bajo, ¡pero él ser gran mentiroso!

¿A qué tribu pertenecía cada uno de los nativos?

Solución

Cuando el misionero preguntó al nativo alto si era de los que decían la verdad, la respuesta "Upf " debe significar "sí". Si el nativo es de la tribu de los que dicen la verdad, debe decir la verdad y responder que sí; si es uno de los mentirosos, debe mentir, ¡pero la respuesta seguiría siendo sí!

De modo que cuando el nativo más bajo dijo al misionero que su compañero había dicho "sí", estaba diciendo la verdad. En consecuencia, también debe haber dicho la verdad cuando agregó que su amigo era un mentiroso.

Conclusión: el hombre alto es mentiroso, el bajo es de la tribu de los que dicen la verdad.

3. Sin tiempo para la escuela.

- Pero no tengo tiempo para la escuela, explicaba Eddie al preceptor. Duermo ocho horas diarias que, sumadas, dan 122 días por año, suponiendo que cada día es de 24 horas. No hay clases los sábados ni los domingos, que suman 104 días por año. Tenemos 60 días de vacaciones de verano. Necesito tres horas diarias para comer... esto es más de 45 días al año. Y necesito al menos dos horas diarias de recreación... que suman más de 30 días al año."

Eddie escribió estas cifras mientras hablaba, después sumó todos los días. La suma daba 361.

Sueño (8 horas diarias)

122

Sábados y domingos

104

Vacaciones de verano

60

Comidas (3 horas diarias)

45

Recreación (2 horas diarias)

30

Total 361 días

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Los sistemas de numeración puede variar sustancialmente dependiendo del país de matriculación como se muestra en este vídeo

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¿Por qué los autos tienen placas (matrículas)? - Aprende Dinámico con Cooper Tires

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Definiciones, operaciones y ejercicios

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Construcciones básicas

Comenzaremos dando una noción intuitiva de uno de los conceptos matemáticos más utilizados: el de conjunto. Sin embargo no daremos una definición rigurosa. ¿Sabes por qué?

Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser posible discernir si un elemento arbitrario está o no en él.

Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos los elementos de los que consta entre llaves,

$$A = \{ 1,2,3,4,5 \},$$

o implícita, dando una o varias características que determinen si un elemento dado está o no en el conjunto,

$$A = \{ \text{números naturales del }1\text{ al }5\}.$$

Los elementos de un conjunto no están ordenados, aunque vengan especificados como una lista, por tanto $A=\{3,1,2,5,4\}$. En una definición explícita no se pueden repetir elementos, así que $\{1,1,2,3,4,5\}$ sería una manera incorrecta de expresar el conjunto $A$.

$\mathbb{N}$, los números naturales: 1, 2, 3, ...

$\mathbb{N}_0$, los números naturales más el cero: 0, 1, 2, 3, ...

$\mathbb{Z}$, los números enteros: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

$\mathbb{Q}$, los números racionales: $\frac{p}{q}$.

$\mathbb{R}$, los números reales.

$\mathbb{C}$, los números complejos.

Muchos símbolos matemáticos son reversibles, por ejemplo, $A\ni a$ significa lo mismo que $a\in A$. También muchos son negables, así $a\notin A$ significa que $a$ no pertenece a $A$.

Por ejemplo, si $A = \{ 1,2,3,4,5 \}$ entonces $1 \in A$ pero $6\notin A$. Otra manera implícita de expresar este conjunto $A$ es la siguiente:

$$A = \{n|n\in\mathbb{N} \wedge 1\leq n\leq 5\}.$$

Se lee del siguiente modo: "$A$ es el conjunto formado por los elementos $n$ tales que $n$ pertenece al conjunto los números naturales, $n$ es mayor o igual que 1 y $n$ es menor o igual que 5."

Deducimos que dos conjuntos $A$ y $B$ son distintos $A\neq B$ si bien existe $x\in A$ tal que $x\notin B$ o bien existe $x\in B$ tal que $x\notin A$. En notación matemática: $A\neq B\Leftrightarrow(\exists x\in A|x\notin B)\vee(\exists x\in B|x\notin A).$

El conjunto vacío $\varnothing$ es el que carece de elementos, es decir $\varnothing=\{\}$, o bien $\forall x, x\notin \varnothing$.

Un conjunto es unitario si contiene un único elemento, como por ejemplo $\{0\}$, $\{1\}$, $\{a\}$, $\{$cartón de leche$\}$, $\{\mathbb{N}\}$, ...

¡Ojo! $x\in\{x\}$, pero $x\neq\{x\}$, de hecho, como demuestra la paradoja de Russell, es imposible que un conjunto pertenezca a sí mismo.

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, decimos que $A$ está contenido o incluído en $B$ o que $A$ es un subconjunto de $B$, y lo denotamos $A\subset B$, si todo elemento de $A$ pertenece a $B$, es decir $x\in A \Rightarrow x\in B$.

También se puede denotar $A\subset B$ como $A\subseteq B$. Hay que tener cuidado con la negación de estos dos símbolos. Tanto $A\not\subset B$ como $A\not\subseteq B$ significan que $A$ no está contenido en $B$, o no es un subconjunto de $B$. Sin embargo $A\subsetneq B$ solo niega la igualdad, por lo que significa que $A$ es un subconjunto de $B$ pero que $A$ no es igual a $B$, es decir, la contención es estricta. Por ejemplo, $\{2,3,5\}\subsetneq\{1,2,3,4,5\}$.

La contención es transitiva, $A\subset B\subset C\Rightarrow A\subset C$. También es reflexiva, $A\subset A$. Además, el vacío está contenido en cualquier conjunto $\varnothing\subset A$. Los subconjuntos de $A$ distintos de $\varnothing$ y $A$ se denominan subconjuntos propios de $A$.

El siguiente resultado caracteriza la igualdad entre dos conjuntos en términos de contenciones. Es la base de una técnica de prueba conocida como doble inclusión, que aplicaremos con frecuencia.

Cualquier enunciado matemático debe venir seguido de una prueba. Se usan diversos términos para denominar a los enunciados matemáticos, de acuerdo con la percepción que tengamos de su importancia o dificultad. De mayor a menor:

Los lemas suelen tener un carácter técnico y presentarse como pasos intermedios en la demostración de un resultado de mayor envergadura. Los corolarios se enuncian habitualmente después de un resultado más importante y su prueba suele ser obvia y omitirse.

Si $C\subset A$ y $C\subset B$ entonces $C\subset A\cap B$.

La intersección de conjuntos verifica las siguientes propiedades, donde $A$, $B$ y $C$ son conjuntos cualesquiera:

$A \cap B = B \cap A$ (conmutativa).

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ (asociativa).

$A \cap B \subset A$.

$A \cap B \subset B$.

$\varnothing \cap A = \varnothing$.

$A \subset B\Leftrightarrow A \cap B = A.$

Estas propiedades nos permiten definir inductivamente la intersección de una cantidad finita de conjuntos $A_1\cap\cdots\cap A_n$. Consiste en los elementos que están en todos ellos.

Veamos el caso posiblemente infinito.

Dado un conjunto $I$, una familia de conjuntos indexada por $I$ consiste en dar un conjunto $A_i$ para cada $i\in I$. Se denota como $\{ A_i \}_{i\in I}$.

La intersección de una familia de conjuntos se define como $\bigcap_{i\in I}A_i=\{x|\forall i\in I, x\in A_i\}$.

Si $I$ es finito, esta definición coincide con la anterior, basta enumerar los elementos de $I$ para comprobarlo. Esta definición es también válida para $I$ infinito.

Observa que $A\cap B\subset A\cup B$.

Si $A\subset C$ y $B\subset C$ entonces $A\cup B\subset C$.

La unión de conjuntos verifica las siguientes propiedades, donde $A$, $B$ y $C$ son conjuntos cualesquiera:

$A \cup B = B \cup A$ (conmutativa).

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ (asociativa).

$\varnothing \cup A = A$ (elemento neutro).

$A \subset A \cup B$.

$B \subset A \cup B$.

$A \subset B\Leftrightarrow B=A \cup B$.

Estas propiedades nos permiten definir inductivamente la unión de una cantidad finita de conjuntos $A_1\cup\cdots\cup A_n$. Consiste en los elementos que están en alguno de ellos.

Veamos ahora el caso posiblemente infinito.

Igual que antes, si $I$ es finito, esta definición coincide con la anterior, pero es también válida para $I$ infinito.

Observa que $A\setminus B\neq B\setminus A$. De hecho ambos conjuntos son disjuntos.

Teorema (Leyes distributivas)

Dados tres conjuntos $A$, $B$ y $C$:

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$.

Los siguientes diagramas ilustran las leyes distributivas.

Teorema (Leyes de De Morgan)

Dados tres conjuntos $A$, $B$ y $C$:

$C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)$.

$C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)$.

Las leyes de De Morgan quedan mejor explicadas por los siguientes diagramas.

El producto cartesiano de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A\times B$ cuyos elementos son los pares ordenados $(a,b)$ cuya primera coordenada está en $A$, $a\in A$, y la segunda en $B$, $b\in B$, es decir $A \times B = \{ (a,b) | a \in A \wedge b \in B \}$.

El vacío hace el papel de cero con respecto al producto cartesiano $A \times \varnothing = \varnothing = \varnothing \times B$.

En general, el producto cartesiano no es conmutativo $A\times B\neq B\times A$.

Si $A$ y $B$ son finitos, ¿cuántos elementos tiene $A\times B$?

Análogamente, podemos definir el producto cartesiano de una cantidad finita de conjuntos $A_1\times\cdots\times A_n$ como el formado por las $n$-uplas $(a_1,\dots, a_n)$ tales que $a_i\in A_i$. Más generalmente, podemos definir el producto cartesiano de una familia arbitraria de conjuntos $\{A_i\}_{i\in I}$, $\prod_{i\in I}A_i=\{(a_i)_{i\in I}|a_i\in A_i\}$.

$B\subset A\Leftrightarrow B\in\mathcal{P}(A)$.

Si $A$ es un conjunto con $n$ elementos, ¿cuántos elementos tiene $\mathcal{P}(A)$? ¿Qué ocurre si $A$ es infinito? ¿Es posible que $\mathcal{P}(A)$ sea vacío? ¿Y unitario?

Dado un conjunto universal $U$:

Aplicaciones

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, una aplicación $f$ de $A$ en $B$, que se denota $f\colon A\rightarrow B$, es una regla que asocia a cada $a\in A$ un único elemento $f(a)\in B$, denominado imagen de $a$ por $f$. También diremos que $f(a)$ es el valor de $f$ en $a$. Esto se denota también como $a\mapsto f(a)$, especialmente en diagramas como el siguiente,

$$ \begin{array}{rcl} f\colon A & \longrightarrow & B,\cr a & \mapsto & f(a). \end{array} $$

También se puede colocar el nombre de la aplicación encima de la flecha,

$$A\stackrel{f}{\longrightarrow} B.$$

El siguiente diagrama ilustra una aplicación

que se puede definir también del siguiente modo:

$$ \begin{array}{rcl} A&\stackrel{f}\longrightarrow& B,\cr 1&\mapsto&a,\cr 2&\mapsto&b,\cr 3&\mapsto&b,\cr 4&\mapsto&b. \end{array} $$

Sin embargo el diagrama siguiente no es una aplicación ya que la definición no se cumple por varias razones, ¿sabrías decir cuáles?

Para definir una aplicación hay que especificar lo siguiente:

El conjunto de partida, también llamado dominio.

El de llegada, o codominio.

La imagen de cada elemento del conjunto de partida.

Si dos aplicaciones difieren en alguno de estos tres puntos se consideran diferentes.

Algunas aplicaciones importantes

La identidad $1_A\colon A\rightarrow A$ se define como $1_A(a)=a$ para todo $a\in A$. Esta aplicación está definida para cualquier conjunto $A$.

Dado un subconjunto $B\subset A$, la inclusión $i\colon B\rightarrow A$ se definie como $i(b)=b$ para todo $b\in B$.

Dados dos conjuntos $A$ y $B$ y un elemento $b\in B$, la aplicación constante $c_b\colon A\rightarrow B$ se define como $c_b(a)=b$ para todo $a\in A$.

Dado un conjunto $A$, ¿hay algun aplicación $\varnothing\rightarrow A$? ¿Y $A\rightarrow\varnothing$?.

Dadas dos aplicaciones

$$A\stackrel{f}\longrightarrow B\stackrel{g}\longrightarrow C$$

su composición $g\circ f\colon A\rightarrow C$ es la aplicación definida como $(g\circ f)(a)=g(f(a))$.

La composición de aplicaciones satisface las propiedades siguientes:

Dadas tres aplicaciones $$A\stackrel{f}\longrightarrow B\stackrel{g}\longrightarrow C\stackrel{h}\longrightarrow D$$ se verifica que $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ ( asociativa).

Dada una aplicación $f\colon A\rightarrow B$, se tiene que $f\circ 1_A=f=1_B\circ f$ ( elemento neutro).

Una aplicación $f \colon A \rightarrow B$ es invertible si existe $g \colon B \rightarrow A$ tal que $g \circ f = 1_A$ y $f \circ g = 1_B$,

$${}_{1_A}\!\!\circlearrowright A\mathop{\rightleftarrows}\limits^f_g B\circlearrowleft_{1_B}$$

Si $f \colon A \rightarrow B$ es invertible su aplicación inversa $f^{-1} \colon B \rightarrow A$ es la única que satisface $f^{-1} \circ f = 1_A$ y $f \circ f^{-1} = 1_B$,

$${}_{1_A}\!\!\circlearrowright A\mathop{\rightleftarrows}\limits^f_{f^{-1}} B\circlearrowleft_{1_B}$$

La identidad $1_A\colon A\rightarrow A$ es invertible y $1_A^{-1}=1_A$. Si $f\colon A\rightarrow B$ es invertible entonces $f^{-1} \colon B \rightarrow A$ también y $(f^{-1})^{-1}=f$.

Si tenemos dos aplicaciones invertibles

$$A\stackrel{f}\longrightarrow B\stackrel{g}\longrightarrow C$$

entonces $g\circ f$ es invertible y $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.

Nos disponemos a dar una caracterización más asequible de las aplicaciones invertibles.

Sea $f\colon A \rightarrow B$ una aplicación.

$f$ es inyectiva o uno-a-uno si no existen dos elementos diferentes de $A$ con la misma imagen.

$f$ es sobreyectiva si todo elemento de $B$ es la imagen de algún elemento de $A$.

$f$ es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

En una aplicación inyectiva no puede ocurrir los siguiente:

En una sobreyectiva está prohibida la siguiente situación:

En notación matemática, $f\colon A\rightarrow B$ es inyectiva si, dados $a,a'\in A$, $f(a)=f(a')\Rightarrow a=a'$, y $f$ es sobreyectiva si $\forall b\in B\;\exists a\in A|f(a)=b$. Las flechas de las aplicaciones inyectivas se denotan $f\colon A\hookrightarrow B$ y las de las sobreyectivas $f\colon A\twoheadrightarrow B$.

Es un error tristemente común el confundir la caracterización anterior de la inyectividad con la implicación $\Leftarrow$. En realidad esta impliciación es cierta para cualquier aplicación por la propia definición.

Si $f\colon A\rightarrow B$ es biyectiva y $A$ es finito, ¿qué podemos decir de $B$? ¿Y si $f$ es inyectiva? ¿Y si es sobreyectiva?

El siguiente tema versará en buena parte sobre el estudio de las aplicaciones biyectivas de un conjunto finito en sí mismo.

Las aplicaciones invertibles juegan en el ámbito de los conjuntos el mismo papel que las igualdades en el campo de los números, es por eso que se denotan

$$f\colon A\stackrel{\cong}\longrightarrow B$$

o simplemente $f\colon A\cong B$. Por ejemplo, el producto cartesiano $A\times B$ no es conmutativo estrictamente hablando, pero hay una biyección

$$ \begin{array}{rcl} A\times B&\cong &B\times A,\cr (a,b)&\mapsto &(b,a). \end{array} $$

Decimos pues que el producto cartesiano no es conmutativo salvo biyección. Lo mismo ocurre con la asociatividad del producto cartesiano,

$$ \begin{array}{rcl} (A\times B)\times C&\cong &A\times(B\times C),\cr ((a,b),c)&\mapsto &(a,(b,c)). \end{array} $$

Es más, ambos están en biyección con el producto triple, por ejemplo

$$ \begin{array}{rcl} (A\times B)\times C&\cong &A\times B\times C,\cr ((a,b),c)&\mapsto &(a,b,c). \end{array} $$

Sea $f \colon A \rightarrow B$ una aplicación.

La imagen directa de un subconjunto del dominio $U\subset A$ es el subconjunto del codominio $f(U)=\{b\in B\;|\;\exists a\in U|f(a)=b\}\subset B$.

La imagen inversa de un subconjunto del codominio $V\subset B$ es subconjunto del dominio $f^{-1}(V)=\{a\in A| f(a)\in V\}\subset A$.

La imagen de la aplicación $A$ se define como $\operatorname{im}f=f(A)$.

La imagen inversa recible otros nombres como contraimagen, preimagen o anti-imagen. La imagen directa también se denomina simplemente imagen.

Dada una aplicación $f\colon A\rightarrow B$, conviene no confundir la imagen de un elemento de $A$ con la imagen directa de un subconjunto de $A$, aunque obviamente son conceptos relacionados, $f(\{a\})=\{ f(a) \}$.

¿Cuál es la imagen directa del subconjunto vacío? ¿Y su imagen inversa? ¿Dependen las respuestas a estas preguntas de quién sea $f\colon A\rightarrow B$?

La notación $f^{-1}(V)$ para la imagen inversa es confusa porque incorpora la notación usada para la inversa de la aplicación $f$, cuando esta existe. La imagen inversa está siempre definida, aun cuando $f$ no es invertible y por tanto $f^{-1}$ no existe. Si $f$ es invertible, no hay ambigüedad ya que en este caso la imagen inversa $f^{-1}(V)$ de $V$ a través de $f$ coincide con la imagen directa de $V$ a través de $f^{-1}\colon B \rightarrow A$. Para añadir aún más confusión, es habitual abusar de la terminología y denotar al subconjunto $f^{-1}(\{b\})\subset A$ simplemente por $f^{-1}(b)$. El significado de esta expresión en cada caso se deducirá del contexto.

Una aplicación $f\colon A\rightarrow B$ es sobreyectiva si y solo si $\operatorname{im}f=f(A)=B$.

Para toda aplicación $f\colon A\rightarrow B$, $f^{-1}(B)=A$.

A partir de cualquier aplicación $f\colon A\to B$ podemos definir una sobreyectiva $\overline{f}\colon A \to \operatorname{im}(f)$ como $\overline{f}(a)=f(a)$. ¿En qué se diferencia de la anterior?

Las imágenes directa e inversa preservan inclusiones, es decir, dada una aplicación $f\colon A\rightarrow B$:

$U\subset U'\subset A\Rightarrow f(U)\subset f(U')\subset B$

$V \subset V'\subset B\Rightarrow f^{-1}(V)\subset f^{-1}(V')\subset A$.

¿Son ciertos los recíprocos de estas últimas implicaciones?

Dada una aplicación $f\colon A \rightarrow B$ y subconjuntos $U\subset A$ y $V\subset B$, se verifican las siguientes propiedades:

Dada una aplicación $f\colon A \rightarrow B$ y subconjuntos $U_1,U_2 \subset A$ y $V_1,V_2 \subset B$, se verifican las siguientes propiedades:

1. $f(U_1 \cup U_2) = f(U_1) \cup f(U_2)$.

2. $f(U_1 \cap U_2) \subset f(U_1) \cap f(U_2)$.

3. $f^{-1} (V_1 \cup V_2) = f^{-1} (V_1) \cup f^{-1} (V_2)$.

4. $f^{-1} (V_1 \cap V_2) = f^{-1} (V_1) \cap f^{-1} (V_2)$.

¿En qué se diferencian $f$ y su restricción $f|_U$?

Un conjunto exponencial pequeño

El conjunto exponencial $\{a,b\}^{\{1,2\}}=\{f_1,f_2,f_3,f_4\}$ está formado por las cuatro aplicaciones siguientes:

Si $A$ y $B$ son finitos, ¿cuántos elementos tiene $B^A$?

¿Cuántos elementos hay en $A^\varnothing$?

Dado un conjunto cualquiera $A$ y otro unitario $\{e\}$, describe $A^{\{e\}}$ y $\{e\}^A$.

El grafo de una aplicación $f\colon A\rightarrow B$ es el conjunto

$$G_f=\{(a,b)\in A\times B | b=f(a) \} \subset A\times B$$

El grafo de la aplicación

es el conjunto

$$G_f=\{(1,a), (4,b), (2,b), (3, b)\}\subset A\times B.$$

Las aplicaciones $f\colon A\rightarrow B$ se caracterizan porque para cada $a$ está definido un único $f(a)\in B$. Por tanto un subconjunto $S\subset A\times B$ es el grafo de una aplicación $f$ si para cada $a\in A$ existe un único $b\in B$ tal que $(a,b)\in S$. Este $b$ sería $b=f(a)$.

Conjuntos cociente

Una relación $R$ en un conjunto $A$ es un subconjunto $R\subset A\times A$. Si $(x,y)\in R$ diremos que $x$ está relacionado con $y$ y lo denotaremos $xRy$, o simplemente $x\sim y$ cuando la relación $R$ sea obvia por el contexto.

Una relación $R$ es de equivalencia si satisface las siguientes propiedades:

$xRx$ para todo $x \in A$ (reflexiva).

$xRy\Leftrightarrow yRx$ para $x,y\in A$ cualesquiera (simétrica).

$xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz$ para $x,y,z\in A$ (transitiva).

Relaciones de equivalencia

En el conjunto de los seres humanos, poseer el mismo grupo sanguíneo, es decir $x\sim y$ si $x$ tiene el mismo grupo sanguíneo que $y$.

En el conjunto de estudiantes del primer curso del Grado en Matemáticas de la Universidad de Sevilla, estar en el mismo grupo de Álgebra Básica.

En $\mathbb Z$, tener la misma paridad, o equivalentemente $x\sim_2 y$ si $x-y$ es par.

En $\mathbb Z$, dado $n\in \mathbb Z$, podemos definir la relación $\sim_n$ como $x\sim_n y$ si $x-y$ es divisible por $n$. Observa que $\sim_n=\sim_{-n}$.

En un conjunto cualquiera $A$, la relación dada por la igualdad, $x\sim y$ si $x=y$.

En un conjunto cualquiera $A$, la relación definida como $x\sim y$ para todo $x,y\in A$.

Estudia si las siguientes relaciones en el conjunto de los seres humanos son de equivalencia:

Pon más ejemplos, definidos sobre los conjuntos que desees, de relaciones que satisfagan exactamente una o exactamente dos de las propiedades que se le demandan a las relaciones de equivalencia.

Dada una relación de equivalencia $R$ en un conjunto $A$, la clase (de equivalencia) de $x \in A$ es el conjunto de los elementos relacionados con $x$, es decir $R(x)=\{y\in A| xRy\}$. Los elementos de $R(x)$ se denominan representantes de esta clase. El conjunto cociente de $A$ por $R$ es el formado por las clases de equivalencia de los elementos de $A$. La proyección canónica es la aplicación sobreyectiva $\pi\colon A \twoheadrightarrow A/R$ definida como $x\mapsto R(x)$.

Cuando la relación de equivalencia se denota simplemente $\sim$ por ser sobreentendida, la clase de un elemento $x\in A$ se denota simplemente como $[x]$ o $\overline{x}$. Observa que, en virtud de la reflexividad, $x\in R(x)$ en cualquier relación de equivalencia.

En las relaciones de equivalencia, y por tanto en los cocientes, el problema que más confusión genera es que una misma clase de equivalencia puede tener muchos representantes diferentes. Esto dificulta la definición de aplicaciones que parten de cocientes $f\colon A/R\rightarrow B$, ya que si quiero definir $f(R(x))$ basándome en la elección de un representante, por ejemplo $x\in R(x)$, debo comprobar que la definición es independiente de cualquier otra elección posible del representante $y\in R(x)$.

Aquí identificamos los conjuntos cociente del ejemplo de arriba, en algunos casos estableciendo una biyección con otro conjunto más sencillo.

$\{$Seres humanos$\}/$poseer el mismo grupo sanguíneo $\cong \{0, A,B,AB\}\colon [ x ]\mapsto$ grupo sanguíneo de cualquier representante.

$\{$Estudiantes de primero de Matemáticas$\}/$estar en el mismo grupo de Álgebra Básica $\cong \{A,B,C,D,E,F\}\colon [ x ]\mapsto$ grupo al que pertenece un representante cualquiera.

$\mathbb Z/\sim_2\;=\; \{[0],[1]\}$.

$\mathbb Z/\sim_n\;=\;\{[0],\dots,[n-1]\}$ si $n>0$.

En este caso la proyección natural es biyectiva $\pi\colon A\cong A/=$.

$A/\sim$ es unitario.

Demuestra que la relación $\sim$ del ejemplo anterior es de equivalencia. ¿Te atreverías a definir $\mathbb{R}$ como un cociente?

Una partición de $A$ es un subconjunto $P \subset \mathcal{P}(A)$ tal que:

Los elementos de $P$ son subconjuntos no vacíos de $A$.

La unión de todos los elementos de $P$ es $A$.

Dos elementos distintos de $P$ son siempre disjuntos.

La siguiente es una partición de un conjunto $A$ formada por los subconjuntos $\{E_1, E_2, E_3, E_4, E_5\}$.

Factorización canónica de una aplicación

Teorema (Propiedad universal de la proyección canónica)

Si $f\colon A\rightarrow B$ es una aplicación y $R$ es una relación de equivalencia en $A$ tal que $xRy \Rightarrow f(x) =f(y)$, entonces existe una única aplicación $\overline{f}\colon A/R\to B$ tal que $f=\overline{f}\circ\pi$,

$$f\colon A\stackrel{\pi}\longrightarrow A/R\stackrel{\overline{f}}\longrightarrow B.$$

Prueba que $\sim_f$ es en efecto una relación de equivalencia. Describe el conjunto cociente y la partición asociada. Demuestra también que si $R$ es una relación de equivalencia en $A$ y $\pi\colon A\rightarrow A/R$ es la proyección natural entonces $\sim_\pi=R$.

Teorema (Factorización canónica)

Dada una aplicación $f\colon A\to B$, existe una única aplicación $\overline{f}\colon A/\sim_f\;\rightarrow \operatorname{im} f$ tal que el siguiente diagrama es conmutativo

es decir, $f=i\circ\overline{f}\circ\pi$. Aquí $\pi$ es la proyección canónica e $i$ es la inclusión. Además, la aplicación $\overline{f}$ es biyectiva.

Este teorema nos proporciona un método muy eficiente para establecen una biyección de un conjunto cociente en otro.

Vamos a dar una demostración rigurosa de que $\mathbb{Z}/\sim_n$ posee $n$ elementos para $n>0$. Para ello definimos la aplicación $f\colon \mathbb Z\rightarrow \mathbb Z$ tal que $f(m)$ es el resto no negativo de dividir $m$ entre $n$.

La imagen de $f$ es $\operatorname{im} f=\{0,\dots, n-1\}$. En efecto, el resto de la división es $\geq 0$ y $<n$, lo cual demuestra $\subset$. Además, para $0\leq m<n$, el cociente de la división es $0$ y el resto es el propio $m$, por tanto también tenemos $\subset$.

Veamos ahora que $\sim_f=\sim_n$. Sean $m,m'\in\mathbb Z$. Dividimos ambos números entre $n$, $m=c\cdot n+f(m)$ y $m'=c'\cdot n+f(m')$. Tenemos que $m-m'=(c-c')\cdot n+(f(m)-f(m'))$ es también una división, porque $|f(m)-f(m')|<n$. Por tanto $f(m)=f(m')$ si y solo si $m-m'$ es divisible por $n$. Esto demuestra que ambas relaciones coinciden.

Aplicando el teorema de factorización, deducimos que hay una biyección $\overline{f}\colon \mathbb Z/\sim_n\cong \{0,\dots, n-1\}$ definida por $\overline{f}([m])=f(m)$.

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Comenzaremos dando una noción intuitiva de uno de los conceptos matemáticos más utilizados: el de conjunto. Sin embargo no daremos una definición rigurosa. ¿Sabes por qué? Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser posible discernir si un elemento arbitrario está o no en él.

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Problemas resueltos

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☛ Representar adecuadamente los conjuntos empleando el diagrama de Venn.

☛ Reconocer los conjuntos especiales y sus características.

☛ Resolver problemas de operaciones entre conjuntos utilizando el diagrama de Venn-Euler.

Es la unión o agrupación de elementos que pueden ser ideales (números) o concretos.

El conjunto de los cinco primeros números impares

El cardinal indica el número de elementos distintos que tiene un determinado conjunto.

Además, un conjunto se puede representar gráficamente.

Es el conjunto de figuras geométricas cerradas (generalmente círculos o elipses) que representan a los conjuntos, en cuyo interior se ubican cada uno de los elementos

Gráficamente, es usual que al conjunto universal se le represente mediante un rectángulo.

Se menciona o escribe los elementos uno a continuación del otro.

El conjunto de los cuatro primeros números primos.

Se analiza una característica común de los elementos y se usa una variable.

El conjunto de los cuatro primeros números primos.

A={x/x es un número primo}

En una encuesta a 110 alumnos sobre la preferencia por los cursos de Aritmética y Biología, se obtuvieron los siguientes resultados:

☛ 60 prefieren Aritmética

☛ 20 no prefieren ninguno de estos cursos.

¿Cuántos prefieren sólo uno de estos cursos?

A una peña criolla asistieron 150 personas de las cuales:

¿Cuántas personas cantan y bailan?

De un grupo de 80 personas se sabe que: 30 visten de color azul, 42 de verde, 38 de rojo, 10 de azul y verde, 9 de verde y rojo y 12 de azul y rojo. ¿Cuántos visten únicamente de un solo color?

En unas olimpiadas donde participaron 100 atletas para competir en 10 disciplinas se supo que: 7 obtuvieron medallas de oro y plata, 4 de plata y bronce, 5 de oro y bronce y 3 las tres medallas.

¿Cuántos no ganaron medallas?

De los 50 alumnos de un aula:

☛ 30 tienen libro de Razonamiento Matemático

☛ 27 tienen libro de Razonamiento Verbal

☛ 5 no tienen ninguno de estos libros

¿Cuántos alumnos tienen solamente libro de Razonamiento Matemático?

A una reunión asistieron 68 turistas, de los cuales: 20 conocen Tacna y Arequipa; el número de turistas que conocen Arequipa es el doble de los que conocen sólo Tacna; el número de los que conocen Tacna es igual al número de los que no conocen ni Tacna ni Arequipa.

¿Cuántos turistas conocen sólo Arequipa?

A una fiesta ingresaron 512 personas todas están bailando menos 28 caballeros y 10 damas.

¿Cuántas damas hay en la reunión?

De un grupo de personas se sabe que el 71% no leen la revista A, el 67% no leen la revista B, el 24% leen la revista A o la revista B pero no las dos a la vez.

¿Qué porcentaje no leen ninguna de las dos revistas?

En un grupo de 120 personas se sabe que 70 leen el "Comercio"; 60 "Ojo"; 30 "La Republica", si cuatro leen los 3 diarios.

¿Cuántos leen por lo menos 2 de ellos?

En un grupo de 100 personas se sabe que 40 gustan del curso de Aritmética, 30 de Álgebra y 60 de Geometría. Si a 3 personas les gusta los 3 cursos.

¿A cuántas personas les gusta exactamente 2 cursos?

En una reunión de 100 personas, 60 son mujeres; sabiendo que la mitad de los presentes hablan ingles y que 28 mujeres no hablan ingles, ¿cuántos hombres no hablan ingles?

De un total de 120 alumnos se observa lo siguiente: 45 aprobaron física, 46 química; 38 matemáticas, 7 aprobaron física y química; 8 aprobaron química y matemática; 10 aprobaron matemática y física; y 12 no aprobaron ninguno de ellos.

¿Cuántos aprobaron al menos 2 cursos?

En los tres primeros exámenes de una academia de 100 alumnos, 40 de ellos aprobaron el primero; 39 el segundo y 48 el tercero, aprobaron 10 los tres exámenes. 21 no aprobaron examen alguno, 9 aprobaron los 2 primeros exámenes, pero no el tercero; 19 no aprobaron los 2 primeros exámenes, pero si el tercero.

Calcúlese cuantos alumnos aprobaron por lo menos 2 exámenes.

De 5000 personas se observa:

☛ 150 hombres cantantes no son ciegos.

☛ 180 mujeres son cantantes o ciegos pero no mudas.

☛ 240 personas son mudas y ciegas.

☛ 130 personas son mudas, pero no ciegos.

☛ 260 hombres son ciegos, pero no mudos.

¿Cuántas personas hay que: no son cantantes o ciegos, y mudos?

De un cierto grupo de estudiantes 9 conocen bastante bien los cursos de Aritmética y Álgebra pero no de Geometría, 8 saben solo Aritmética y 4 responden solo Álgebra; 31 saben Geometría o Álgebra de los cuales 7 saben Aritmética pero no Álgebra y 2 saben Álgebra y Geometría pero no Aritmética. Si 4 alumnos conocen los 3 cursos bastante bien.

¿A cuántos alumnos se ha hecho referencia?

A es un conjunto que tiene 8n elementos, B es un conjunto de 5n elementos y tienen (2n - 1) elementos comunes.

¿Cuántos subconjuntos tiene A∩Β?

En una reunión de 500 personas las 3/4 partes de las mujeres presentes usan sombreros y también lo hacen la mitad de los hombres presentes. Por otro lado la mitad de las mujeres y la totalidad de los hombres usan pantalones. si 260 personas usan sombrero y 20 mujeres usan pantalones y sombrero.

¿ Cuántas mujeres no usan ni pantalón ni sombrero?

En un salón de 40 alumnos el número de los que estudian Aritmética es el doble del número de los que estudian Aritmética y Algebra y el número de los que estudian Algebra es el quintuple de los que estudian Aritmética y Algebra. Si hay 10 que no estudian estos cursos

En un aula 40 alumnos tiene el libro de Aritmética, 30 el de Física, 30 el de Geometría. además:

☛ A 12 de ellos les falta solo el libro de Física.

☛ 5 alumnos tienen los tres libros y 6 no tiene ninguno.

¿Cuántos alumnos hay en el aula?

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OBJETIVOS DEL APRENDIZAJE ☛ Establecer correctamente la noción y relación de conjunto y su notación. ☛ Representar adecuadamente los conjun...

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Métodos matemáticos que permiten saber cuántas combinaciones u opciones distintas se tienen de los elementos de dentro de un mismo grupo de objetos.

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El mundo de las matemáticas, al igual que fascinante es también complicado, pero quizás gracias a su complejidad podemos hacerle frente al día a día de forma más eficaz y eficiente.

Las técnicas de conteo son unos métodos matemáticos que permiten saber cuántas combinaciones u opciones distintas se tienen de los elementos de dentro de un mismo grupo de objetos.

Estas técnicas permiten agilizar de forma muy significativa el conocer cuántas formas diferentes hay de hacer secuencias o combinaciones de objetos, sin perder la paciencia ni la cordura. Veamos más a fondo qué son y cuáles son las más utilizadas.

Técnicas de conteo: ¿qué son?

Las técnicas de conteo son estrategias matemáticas usadas en probabilidad y estadística que permiten determinar el número total de resultados que pueden haber a partir de hacer combinaciones dentro de un conjunto o conjuntos de objetos. Este tipo de técnicas se utilizan cuando es prácticamente imposible o demasiado pesado hacer de forma manual combinaciones de diferentes elementos y saber cuántas de ellas son posibles.

Este concepto se entenderá de forma más sencilla a través de un ejemplo. Si se tienen cuatro sillas, una amarilla, una roja, una azul y una verde, ¿cuántas combinaciones de tres de ellas se pueden hacer ordenadas una al lado de la otra?

Se podría resolver a este problema haciéndolo manualmente, pensando en combinaciones como azul, rojo y amarillo; azul, amarillo y rojo; rojo, azul y amarillo, rojo, amarillo y azul... Pero esto puede requerir mucha paciencia y tiempo, y para eso haríamos uso de las técnicas de conteo, siendo para este caso necesaria una permutación.

Los cinco tipos de técnicas de conteo

Las principales técnicas de conteo son las siguientes cinco, aunque no las únicas, cada una con unas particularidades propias y utilizadas en función de los requisitos para saber cuántas combinaciones de conjuntos de objetos son posibles.

Realmente, este tipo de técnicas se pueden dividir en dos grupos, en función de su complejidad, siendo uno conformado por el principio multiplicativo y el principio aditivo, y el otro, estando conformado por las combinaciones y las permutaciones.

1. Principio multiplicativo

Este tipo de técnica de conteo, junto con el principio aditivo, permiten comprender fácilmente y de forma práctica cómo funcionan estos métodos matemáticos.

Si un evento, llamemoslo N1, puede ocurrir de varias formas, y otro evento, N2, puede ocurrir de otras tantas, entonces, los eventos conjuntamente pueden ocurrir de N1 x N2 formas.

Este principio se utiliza cuando la acción es secuencial, es decir, está conformada por eventos que ocurren de forma ordenada, como son la construcción de una casa, el elegir los pasos de baile en una discoteca o el orden que se seguirá para preparar un pastel.

Por ejemplo:

En un restaurante, el menú consiste en un plato principal , un segundo y postre. De platos principales tenemos 4, de segundos hay 5 y de postres hay 3.

Entonces, N1 = 4; N2 = 5 y N3 = 3.

Así pues, las combinaciones que ofrece este menú serían 4 x 5 x 3 = 60

2. Principio aditivo

En este caso, en vez de multiplicarse las alternativas para cada evento, lo que sucede es que se suman las varias formas en las que pueden ocurrir.

Esto quiere decir que si la primera actividad puede ocurrir de M formas, la segunda de N y la tercera L, entonces, de acuerdo a este principio, sería M + N + L.

Por ejemplo:

Queremos comprar chocolate, habiendo tres marcas en el supermercado: A, B y C.

El chocolate A se vende de tres sabores: negro, con leche y blanco, además de haber la opción sin o con azúcar para cada uno de ellos.

El chocolate B se vende de tres sabores, negro, con leche o blanco, con la opción de tener o no avellanas y con o sin azúcar.

El chocolate C se vende de tres sabores, negro, con leche y blanco, con opción de tener o no avellanas, cacahuete, caramelo o almendras, pero todos con azúcar.

En base a esto, la pregunta que se pretende responder es: ¿cuantas variedades distintas de chocolate se pueden comprar?

W = número de formas de seleccionar el chocolate A.

Y = número de formas de seleccionar el chocolate B.

Z = número de formas de seleccionar el chocolate C.

El siguiente paso consiste en una simple multiplicación.

W = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 variedades de chocolate diferentes.

Para saber si se debe utilizar el principio multiplicativo o el aditivo, la pista principal es si la actividad en cuestión tiene una serie de pasos a realizarse, como era el caso del menú, o existen varias opciones, como es el caso del chocolate.

3. Permutaciones

Antes de entender cómo hacer las permutaciones, es importante entender la diferencia entre una combinación y una permutación.

Una combinación es un arreglo de elementos cuyo orden no es importante o no cambia el resultado final.

En cambio, en una permutación, habría un arreglo de varios elementos en los que sí es importante tenerse en cuenta su orden o posición.

En las permutaciones, hay n cantidad de elementos distintos y se selecciona una cantidad de ellos, que sería r.

La fórmula que se utilizaría sería la siguiente: nPr = n!/(n-r)!

Por ejemplo:

Hay un grupo de 10 personas y hay un asiento en el que solo pueden caber cinco, ¿de cuántas formas se pueden sentar?

Se haría lo siguiente:

10P5=10!/(10-5)!=10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30.240 formas diferentes de ocupar el banco.

4. Permutaciones con repetición

Cuando se quiere saber el número de permutaciones en un conjunto de objetos, algunos de los cuales son iguales, se procede a realizar lo siguiente:

Teniéndose en cuenta que n son los elementos disponibles, algunos de ellos repetidos.

Se seleccionan todos los elementos n.

Se aplica la siguiente fórmula: = n!/n1!n2!...nk!

Por ejemplo:

En un barco se pueden izar 3 banderas rojas, 2 amarillas y 5 verdes. ¿Cuántas señales diferentes se podrían hacer izando las 10 banderas que se tienen?

10!/3!2!5! = 2.520 combinaciones de banderas diferentes.

5. Combinaciones

En las combinaciones, a diferencia de lo que sucedía con las permutaciones, el orden de los elementos no es importante.

La fórmula a aplicar es la siguiente: nCr=n!/(n-r)!r!

Por ejemplo:

Un grupo de 10 personas quieren hacer limpieza en el barrio y se preparan para formar grupos de 2 miembros cada uno, ¿cuántos grupos son posibles?

En este caso, n = 10 y r = 2, así pues, aplicando la fórmula:

10C2=10!/(10-2)!2!=180 parejas distintas.

Referencias bibliográficas:

Brualdi, R. A. (2010), Introductory Combinatorics (5th ed.), Pearson Prentice Hall.

de Finetti, B. (1970). "Logical foundations and measurement of subjective probability". Acta Psychologica.

Hogg, R. V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduction to Mathematical Statistics (6th ed.). Upper Saddle River: Pearson.

Mazur, D. R. (2010), Combinatorics: A Guided Tour, Mathematical Association of America,

Ryser, H. J. (1963), Combinatorial Mathematics, The Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America.

Graduado en Psicología con mención en Psicología Clínica por la Universidad de Barcelona. Postgrado de Actualización de Psicopatología Clínica en la UB.

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Técnicas de conteo: tipos, cómo utilizarlas y ejemplos

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¿Qué técnicas de conteo existen y cómo utilizarlas? Te explicamos el procedimiento de cada una a través de ejemplos prácticos muy clarificadores.