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Hay que decir que en la época de Euler no existía la noción de rigor actual. No solían establecerse definiciones precisas de los conceptos, lo que hacía que la noción de «demostración» de un teorema tuviera un sentido completamente distinto al que tiene hoy. Más que una verdad matemática, se trataba de exponer una predicción con altas dosis de fiabilidad, corroborada con la comprobación de una serie de casos particulares del enunciado. Por ello no es extraño que se dieran varias demostraciones de un resultado en el mismo artículo. En el caso de Euler, este hecho se repite con frecuencia, combinado con el uso constante de ejemplos numéricos concretos que suministran una mayor evidencia de la certeza de lo afirmado.

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Hay que decir que en la época de Euler no existía la noción de rigor actual. No solían establecerse definiciones precisas de los conceptos, lo que hacía que la noción de «demostración» de un teorema tuviera un sentido completamente distinto al que tiene hoy. Más que una verdad matemática, se trataba de exponer una predicción con altas dosis de fiabilidad, corroborada con la comprobación de una serie de casos particulares del enunciado. Por ello no es extraño que se dieran varias demostraciones de un resultado en el mismo artículo. En el caso de Euler, este hecho se repite con frecuencia, combinado con el uso constante de ejemplos numéricos concretos que suministran una mayor evidencia de la certeza de lo afirmado.

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Descubrimiento: Euler incorpora i para la raíz cuadrada de –1. Había utilizado el símbolo i para denotar lo que podríamos denotar un número infinito, en un manuscrito fechado en 1777, el mismo no se publicó hasta después de su muerte pero la adopción del símbolo i por parte de Gauss en su Disquisitiones Arithmeticae de 1801 terminó por entregarle a esta notación el lugar que ocupa actualmente.

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Aporte: Euler implementa el símbolo Σ para la sumatoria (decimoctava del alfabeto griego). Desde entonces, Sigma representa el sumatorio de una serie finita o infinita de elementos.

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 Fue d'Alembertquien introdujo el término "límite'' para expresar el acercamiento de una cantidad a otra dada y consideraba que diferenciar refería a un límite de la razón de diferencias finitas de 2 variables dentro de una ecuación dada

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 Fue d'Alembertquien introdujo el término "límite'' para expresar el acercamiento de una cantidad a otra dada y consideraba que diferenciar refería a un límite de la razón de diferencias finitas de 2 variables dentro de una ecuación dada

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Extendió el cálculo de las derivadas parciales (trabajando en dinámica). Establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este equilibrio se le denomina equilibrio dinámico.

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En matemáticas, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli​ es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.​

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El concepto de función y las funciones algebraicas y trascendentes elementales ya habían sido introducidas en el siglo XVII. En la consideración de varios problemas clásicos, Leibniz, Jacques(Jakob), Jean (Johann) Bernoulli, L'Hôpital, Huygens y Pierre Varignon usaron funciones conocidas y construyeron muchas otras de mayor complejidad. 

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El concepto de función y las funciones algebraicas y trascendentes elementales ya habían sido introducidas en el siglo XVII. En la consideración de varios problemas clásicos, Leibniz, Jacques(Jakob), Jean (Johann) Bernoulli, L'Hôpital, Huygens y Pierre Varignon usaron funciones conocidas y construyeron muchas otras de mayor complejidad. 

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Uno de los aportes más importantes de Euler en la notación matemática fue la utilización de f (x) como forma para denotar el valor de una función f al aplicarla a un valor x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha.

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Con el fín de resolver problemas de series, definió la función gamma con s>0 y demostró algunas de sus propiedades Γ(s+1) = s·Γ(s); Γ(n+1) = n! ∀n∈N. Es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos, aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.

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Fue el precursor de la utilización de la letra e para denotar la base de los logaritmos neperianos. En un escrito sobre ciertos experimentos relacionados con disparos de cañones, escrito por Euler sobre 1727, ya utilizaba en varias ocasiones la letra e en este sentido. La idea que representa dicho número ya se conocía hacía más o menos un siglo, pero hasta este momento no había sido representada con un símbolo en concreto.

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Leonhard Euler es sin duda el matemático más original de su siglo y el más prolífico de todos los tiempos. Realizó contribuciones fundamentales en muchas áreas delas matemáticas: Geometría, Teoría de Números, Álgebra, Mecánica, Astronomía,etc. Pero probablemente destaquen por encima de todo en su obra matemática sus contribuciones al Análisis

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Leonhard Euler es sin duda el matemático más original de su siglo y el más prolífico de todos los tiempos. Realizó contribuciones fundamentales en muchas áreas delas matemáticas: Geometría, Teoría de Números, Álgebra, Mecánica, Astronomía,etc. Pero probablemente destaquen por encima de todo en su obra matemática sus contribuciones al Análisis

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Leonhard Euler, junto con Cauchy, fue el matemático más prolífico de todos los tiempos. Sus cerca de novecientos trabajos científicos y más de 3 000 cartas profesionales condensan casi todos los asuntos matemáticos del siglo XVIII, en matemáticas aplicadas y puras. Su obra incluye no solo artículos o libros científicos sino también textos y síntesis integradoras de temas, que evidencian una gran disposición a la enseñanza y una vocación social importante. Euler publicaba libros de alta calidad a una velocidad de unas 800 páginas por año. Sin duda, fue el matemático más relevante del siglo XVIII

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Los Bernoulli refieren a una de esas raras situaciones en la historia de las matemáticas: una misma familia a la cual pertenecieron muchas personas que contribuyeron a estas disciplinas con relevancia. Basilea, Suiza, es el lugar. Todo inicia con Nicolaus, padre de Jacob y de Johann. Jacob estudió teología y Johann medicina. Pero rápidamente se convirtieron en discípulos de Leibniz

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Posteriormente, con el surgimiento de nuevos retos, tanto prácticos como  deductivos, se llegó a lo que Larson y Hostetler (1990/1986) denominan “El problema de las áreas”, que consiste en hallar el área contenida en una curva o la longitud de la línea que la define. Otros autores, como Fandiño y D’Amore (2009), aseguran que fue de gran importancia la relación de la longitud de la circunferencia con el área en ella contenida. Este asunto interesó a personalidades como Arquímedes, quien lo abordó usando el método exhaustivo (Parra, 2009); posteriormente, este método se perfeccionó con el pasó al límite y la noción de infinito, lo que llevó a la aparición del cálculo (González, 2014).

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Posteriormente, con el surgimiento de nuevos retos, tanto prácticos como  deductivos, se llegó a lo que Larson y Hostetler (1990/1986) denominan “El problema de las áreas”, que consiste en hallar el área contenida en una curva o la longitud de la línea que la define. Otros autores, como Fandiño y D’Amore (2009), aseguran que fue de gran importancia la relación de la longitud de la circunferencia con el área en ella contenida. Este asunto interesó a personalidades como Arquímedes, quien lo abordó usando el método exhaustivo (Parra, 2009); posteriormente, este método se perfeccionó con el pasó al límite y la noción de infinito, lo que llevó a la aparición del cálculo (González, 2014).

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Desde los tiempos de la Academia de Platón la astronomía había quedado estrechamente ligada a la geometría. En consecuencia, de Eudoxo a Kepler, pasando, desde luego, por Ptolomeo y Copérnico, ésa fue la ciencia matemática utilizada sin excepción para calcular y predecir los movimientos planetarios. En el siglo XVII tuvo lugar la invención del cálculo infinitesimal por Leibniz o el método de fluxiones por Newton; y, sin embargo, en la redacción de los Principia este último no se sirvió del procedimiento matemático por él creado años antes. Muy al contrario, ateniéndose al modo tradicional de hacer astronomía, escribió su obra en forma enteramente geométrica.'' [Rioja, Ana, Ordóñez, Javier: Teorías del Universo, Volumen II de Galileo a Newton,p. 272] 

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Desde los tiempos de la Academia de Platón la astronomía había quedado estrechamente ligada a la geometría. En consecuencia, de Eudoxo a Kepler, pasando, desde luego, por Ptolomeo y Copérnico, ésa fue la ciencia matemática utilizada sin excepción para calcular y predecir los movimientos planetarios. En el siglo XVII tuvo lugar la invención del cálculo infinitesimal por Leibniz o el método de fluxiones por Newton; y, sin embargo, en la redacción de los Principia este último no se sirvió del procedimiento matemático por él creado años antes. Muy al contrario, ateniéndose al modo tradicional de hacer astronomía, escribió su obra en forma enteramente geométrica.'' [Rioja, Ana, Ordóñez, Javier: Teorías del Universo, Volumen II de Galileo a Newton,p. 272] 

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Entre los años 1 600 y 1 900 gran parte de las matemáticas y la física estuvo vinculada de muchas maneras a los métodos del cálculo diferencial e integral. Estos fueron aplicados ampliamente en todos los fenómenos que exigían mediciones tanto en la mecánica, el magnetismo, la electricidad, la gravitación, el calor, la luz, el movimiento ondular. 

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Entre los años 1 600 y 1 900 gran parte de las matemáticas y la física estuvo vinculada de muchas maneras a los métodos del cálculo diferencial e integral. Estos fueron aplicados ampliamente en todos los fenómenos que exigían mediciones tanto en la mecánica, el magnetismo, la electricidad, la gravitación, el calor, la luz, el movimiento ondular. 

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"Principios matemáticos de la filosofía natural''

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"Principios matemáticos de la filosofía natural''

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Los Principios Matemáticos de la Filosofía Natural se presentan como un tratado de mecánica en el que se establecen demostrativamente los movimientos de los cuerpos en sus relaciones generales con las fuerzas que los producen. La obra está dividida en tres partes o libros. El Libro I se ocupa del movimiento de los cuerpos en el vacío, esto es, en un medio carente de toda resistencia. En él jugará un importante papel la noción de fuerza centrípeta, a partir de la cual se fundamentan dinámicamente las tres leyes de Kepler. El Libro II, en cambio, estudia el movimiento de los cuerpos en medios resistentes (fluidos). Constituye de hecho una implacable crítica a la teoría cartesiana de los vórtices. Por último, el Libro III ofrece la constitución del sistema del mundo como consecuencia de la aplicación de la matemática racional (en la que movimientos y fuerzas se analizan matemáticamente y en abstracto) a la mecánica celeste.

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El siglo XVII fue decisivo para las ciencias. Una combinación de resultados ofreció una nueva pintura de la realidad y nuevas perspectivas para el conocimiento. Por ejemplo, se dieron varios desarrollos importantes en la óptica y en el estudio de la naturaleza de la luz con Grimaldi (1618 -1663) y el mismo Newton. Huygens hizo una descripción matemática del funcionamiento ondulatorio de la luz. Torricelli (1608 - 1647), discípulo de Galileo, inventó el barómetro descubriendo la presión atmosférica y también el "vacío''. Gassendi (1592 - 1655) introdujo de nuevo una forma de la teoría atomista de Leucipo y Demócrito. Es la época de Boyle, con sus resultados sobre el vacío y la teoría de gases, y también de Hooke, a quien se le atribuye haber sido el principal físico experimental antes de Faraday

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El siglo XVII fue decisivo para las ciencias. Una combinación de resultados ofreció una nueva pintura de la realidad y nuevas perspectivas para el conocimiento. Por ejemplo, se dieron varios desarrollos importantes en la óptica y en el estudio de la naturaleza de la luz con Grimaldi (1618 -1663) y el mismo Newton. Huygens hizo una descripción matemática del funcionamiento ondulatorio de la luz. Torricelli (1608 - 1647), discípulo de Galileo, inventó el barómetro descubriendo la presión atmosférica y también el "vacío''. Gassendi (1592 - 1655) introdujo de nuevo una forma de la teoría atomista de Leucipo y Demócrito. Es la época de Boyle, con sus resultados sobre el vacío y la teoría de gases, y también de Hooke, a quien se le atribuye haber sido el principal físico experimental antes de Faraday

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Entre sus logros más notables, figuran aportaciones al cálculo integral y a los desarrollos en serie en el campo de las matemáticas, y al descubrimiento de las redes de difracción en óptica.
Expresó con claridad en el año 1667 que el área del sector circular no podía ser una función algebraica del radio y de la cuerda

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Incluyó el estudio de curvas en el plano. Huygens trabajó con la catenaria, la tractriz, y la logarítmica.

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Se asocia con los infinitesimales, el principio de inducción completa, con las probabilidades, y a un famoso teorema de un hexágono inscrito en un círculo, así como al triángulo aritmético formado por coeficientes binomiales.

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Matemático y sacerdote jesuita, originario de la región de Brabante.​ Tacquet era seguidor de los métodos de la geometría de Euclides y de la filosofía de Aristóteles, y se opuso al método de los indivisibles. Presentó cómo un punto en movimiento podría generar una curva, así como las teorías del área y del volumen.

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Es recordado principalmente gracias a los números que llevan su nombre: los números primos de Mersenne. Mersenne los introdujo en su Cogitata physico-mathematica en 1641 donde conjeturó algunas propiedades sobre ellos, algunas de las cuales solo pudieron ser comprobadas o refutadas ya en el siglo XX, tambien La cicloide fue definida por Mersenne

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Formuló las tres leyes del movimiento planetario que llevan su nombre, y que permiten la exacta especificación matemática de las trayectorias descritas por los planetas que giran alrededor del sol. También formuló algunas leyes ópticas y en 1611 construyó un telescopio.

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Jesuita matemático y geómetra de la escuela belga, principalmente conocido por sus trabajos en el cálculo de áreas. Se le considera como un precursor del cálculo infinitesimal. Escribió Teoremas matemáticos sobre la ciencia estática.

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Matemático suizo. Enunció múltiples teoremas sobre el baricentro de los cuerpos de revolución. Destacan sus proyectos Paralipomena, Dissertatio de motu Terrae y Centrobaryca.

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Para algunos historiadores de las matemáticas, había sido precisamente Barrow quien más cerca estuvo del cálculo diferencial e integral antes de Newton. Es decir, a mediados de el siglo XVII, los matemáticos habían logrado calcular rectas tangentes, calcular volúmenes y centroides, aunque todavía la relación inversa entre la derivada y la integral no se había explicado; y esto último fue más bien un resultado del trabajo de Isaac Barrow, por lo menos desde 1670.

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Para algunos historiadores de las matemáticas, había sido precisamente Barrow quien más cerca estuvo del cálculo diferencial e integral antes de Newton. Es decir, a mediados de el siglo XVII, los matemáticos habían logrado calcular rectas tangentes, calcular volúmenes y centroides, aunque todavía la relación inversa entre la derivada y la integral no se había explicado; y esto último fue más bien un resultado del trabajo de Isaac Barrow, por lo menos desde 1670.

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Fermat y la tangente Fue en el curso de sus trabajos en la geometría de coordenadas que Fermat descubrió un método que le permitía calcular la pendiente de una recta tangente a una curva algebraica.

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Fermat y la tangente Fue en el curso de sus trabajos en la geometría de coordenadas que Fermat descubrió un método que le permitía calcular la pendiente de una recta tangente a una curva algebraica.

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En los orígenes del cálculo es posible determinar dos tendencias definidas, una algebraica y otra geométrica. Mientras que Fermat, Descartes o John Wallis se inclinaban por una aproximaciónalgebraica, Torricelli, Isaac Cavalieri y Barrow lo hacían por una geométrica. Esto último tambiénsucedía con Huygens.

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En los orígenes del cálculo es posible determinar dos tendencias definidas, una algebraica y otra geométrica. Mientras que Fermat, Descartes o John Wallis se inclinaban por una aproximaciónalgebraica, Torricelli, Isaac Cavalieri y Barrow lo hacían por una geométrica. Esto último tambiénsucedía con Huygens.

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En general, cuatro fueron los problemas que se buscó resolver: determinar la velocidad y la aceleración instantáneas de un cuerpo, dada la distancia en función del tiempo, y viceversa (si se tenía la velocidad o la aceleración, se trataba de encontrar la distancia o la velocidad respectivamente en un momento determinado); determinar la tangente a una curva en un punto (por ejemplo para dar una dirección de un cuerpo en movimiento o el cálculo de rectas tangentes y normales a curvas para la descripción del comportamiento de la luz, el diseño de lentes); encontrar el máximo o el mínimo de una función (por ejemplo, para calcular las distancias máxima y mínima de un planeta en su movimiento traslacional, o la inclinación de un cañón para que una bala golpee a la máxima distancia posible); encontrar las longitudes de curvas, áreas y volúmenes determinadas por curvas o superficies, y centros de gravedad de cuerpos (utilidad en el cálculo de la distancia recorrida o el área "barrida'' por el planeta en un tiempo)

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El cálculo infinitesimal es una rama de la matemática que se dedica al estudio y comprensión de las razones de cambio. Antes de que fuera inventado en forma independiente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz a finales del siglo XVII, la matemática era considerada “estática”.

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Newton comparte con Gottfried Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física y astronomía.

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Fue el responsable del descubrimiento del cálculo diferencial e integral, la dinámica, el lenguaje binario, el Ars Inveniendi y la máquina de calcular

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Críticas a Newton:                                                                            Es interesante traer a colación aquí, que, precisamente, por la falta de precisión y rigor lógicos en el trabajo de Newton en relación con el cálculo, se desató una serie de críticas por parte de filósofos. Uno de los más conocidos fue el obispo George Berkeley (1685 - 1753). Berkeley reconocía la utilidad de los nuevos métodos y la validez de los resultados, pero criticaba que no se apegaban a la deducción lógica y más bien eran procedimientos inductivos. Newton afirmaba que la derivada era una razón final y consideraba los infinitesimales como "cantidades evanecentes''.Para Berkeley la noción de velocidad instantánea no podía existir puesto que el concepto de velocidad depende del espacio y el tiempo 

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Críticas a Newton:                                                                            Es interesante traer a colación aquí, que, precisamente, por la falta de precisión y rigor lógicos en el trabajo de Newton en relación con el cálculo, se desató una serie de críticas por parte de filósofos. Uno de los más conocidos fue el obispo George Berkeley (1685 - 1753). Berkeley reconocía la utilidad de los nuevos métodos y la validez de los resultados, pero criticaba que no se apegaban a la deducción lógica y más bien eran procedimientos inductivos. Newton afirmaba que la derivada era una razón final y consideraba los infinitesimales como "cantidades evanecentes''.Para Berkeley la noción de velocidad instantánea no podía existir puesto que el concepto de velocidad depende del espacio y el tiempo 

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Estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su obra Opticks), y en matemáticas, el desarrollo del cálculo infinitesimal.

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Las matemáticas eran esencialmente geométricas y el álgebra y la aritmética no eran más que una formalización de la lógica.
El primero en calcular las tangentes de la curva kappa y cuya aportación más importante a las Matemáticas fue la unión del cálculo diferencial e integral

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Dio varios pasos en la "algebrización de la geometría''. Por ejemplo, en su libro Algebra (1 685) dedujo en forma algebraica todo el Libro V de los Elementos de Euclides. Esta dirección tendría influencia, por ejemplo, en los trabajos de Leibniz.
En 1655, Wallis publicó un tratado sobre secciones cónicas en el que las define analíticamente. Este fue el primer libro en el que estas curvas se consideraron y se definieron como curvas de segundo grado
Fue pionero del cálculo moderno, precursor del cálculo infinitesimal e incluso se le atribuyo la introducción del símbolo de infinito

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Se desarrolló una disputa por la paternidad de la geometría de coordenadas porque el trabajo de Fermat se publicó hasta 1679, aunque su trabajo había sido realizado en 1629, años antes de que Descartes publicara su Géométrie en 1637. Si bien en ese último año Descartes conocía resultados de Fermat, se suele considerar que desde por lo menos 1619 ya los había concebido. A pesar de que las controversias sobre la paternidad de la geometría analítica suelen ocupar más atención de la debida, es conveniente subrayar que sí existían diferencias entre los dos enfoques de estos matemáticos. Por ejemplo, Fermat exponía su método de una manera más didáctica y sistemática que como lo hacía Descartes. Fermat, debe decirse, sí usó generalmente coordenadas rectangulares. Ahora bien, ni Descartes ni Fermat usaron coordenadas negativas.
Fermat ponía las cosas así: "Siempre que en una ecuación final aparezcan dos cantidades incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de una de ellas una línea, recta o curva". Se afirma que aunque conocía los métodos de Vieta para resolver problemas geométricos, se basó directamente en los trabajos de Diofanto y los de Apolonio, los cuales expresó directamente de manera algebraica.

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Se afirma que aunque conocía los métodos de Vieta para resolver problemas geométricos, se basó directamente en los trabajos de Diofanto y los de Apolonio, los cuales expresó directamente de manera algebraica
IDEO UN MÉTODO ALGEBRAICO PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

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Hizo una de las más significativas contribuciones griegas, utilizó el método de exhaución para encontrar el valor aproximado del área de un círculo. en su Geometria indivisibilibus continuorum del año 1 635. Usando el concepto de "indivisible' , el cual llegó a ser un factor en el desarrollo del Cálculo Integral.

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RESOLVIÓ PROBLEMAS DE GEOMETRÍA, UTILIZANDO COORDENADAS CARTESIANAS.

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Entre Vieta y Descartes: para Vieta la común expresión X^2 significaba un área (es decir: un elemento geométrico), mientras que para Descartes se trataba de un número

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Estableció una diferencia clara entre aritmética (logística numerosa) y álgebra (logística speciosa). También fue el primero en la utilización sistemática de letras para representar las incógnitas y potencias y, lo que es muy relevante, coeficientes. Si bien interpretaba el álgebra como instrumento para hacer geometría, le daba a ésta un valor autónomo, propio

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Permitió el uso de conceptos de movimiento para obtener el área bajo una curva

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En su obra Dialogo sobre los Sistemas del Mundo (1633), Galileo Galilei expone que el movimiento de un proyectil puede considerarse el resultado de componer dos movimientos simultáneos e independientes entre sí: uno, horizontal y uniforme; otro, vertical y uniformemente acelerado.

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Sus aportaciones  principales son la teoría de las configuraciones, la inconmensurabilidad de las proporciones, la utilización de series convergentes, y el desarrollo de razonamientos hipotéticos contra muchas de las conclusiones de la física y la cosmología. Representaba la velocidad variable con el tiempo, representaba el tiempo sobre una línea horizontal (le dio el nombre de longitud), y las velocidades en varios momentos con líneas verticales (latitudes).

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En 1346 aproximadamente, escribió un tratado sobre la velocidad del movimiento de alteración

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Contribuyó también a la geometría proyectiva en esta época. Se asoció a las probabilidades, a un famoso teorema de un hexágono inscrito en un círculo, al triángulo aritmético formado por coeficientes binomiales

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Abordó diferentes estudios de las secciones cónicas de una manera general. Será en 1639 que ofrecerá los conceptos fundamentales de la geometría proyectiva

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Polaco-prusiano, ​​​ del Renacimiento que formuló la teoría heliocéntrica del sistema solar, concebida en primera instancia por Aristarco de Samos

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Se llama geometría proyectiva a la rama de la matemática que estudia las propiedades de incidencia de las figuras geométricas, pero abstrayéndose totalmente del concepto de medida. A menudo se usa esta palabra también para hablar de la teoría de la proyección llamada geometría descriptiva

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Apolonio de Perge o Perga   262 a, C, - 190 a. C.

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Apolonio de Perge o Perga   262 a, C, - 190 a. C.

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En Las Cónicas quien no sólo demostró que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones, variando la inclinación del plano que corta al cono, lo cual era un paso importante en el proceso de unificar el estudio de los tres tipos de curvas, sino que demostró que el cono no necesita ser recto

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Antecedentes de Las Cónicas de Apolonio.

Las cónicas de Menecmo y el problema de la Duplicación del Cubo.

Se atribuye a Menecmo (hacia 350 a.C.) de la Academia platónica -el más famoso de los discípulos de Eudoxo y maestro de Aristóteles y Alejandro Magno-, la introducción de las secciones cónicas, es decir, el descubrimiento de las curvas que después recibieron el nombre de elipse, parábola e hipérbola, la llamada " Triada de Menecmo". Veremos que el descubrimiento fue un feliz hallazgo en relación con el problema délico de la " duplicación del cubo ". Menecmo detectó que para la resolución del problema había una familia de curvas adecuadas, los tres tipos de cónicas obtenidos por el mismo método, a partir de la sección por un plano perpendicular a la generatriz de conos rectos de tres tipos, según que el ángulo en el vértice fuera agudo, recto u obtuso.

Partiendo de un cono circular recto de una sola hoja con ángulo recto en el vértice, Menecmo descubrió que al cortar el cono por un plano perpendicular a una de sus generatrices, la curva intersección es tal que su ecuación (utilizando de nuevo un anacronismo en términos de Geometría Analítica moderna) puede escribirse en la forma y ²=lx, donde l es una constante, que depende exclusivamente de la distancia del vértice del cono al plano de la sección. Ignoramos como obtuvo exactamente Menecmo esta propiedad, pero como quiera que depende nada más de algunos teoremas de Geometría elemental, se supone que Menecmo utilizaría los conocimientos geométricos familiares a los matemáticos de la Academia platónica.

Sea, pues, ABC el cono y sea EDG la curva obtenida al cortarlo por un plano perpendicular en el punto D a la generatriz ADC del cono. Sea P un punto cualquiera de la curva sección y un plano horizontal que corta al cono en la circunferencia PVQR, siendo Q el otro punto de intersección de la curva sección con esta circunferencia.

Por razones de simetría resulta que los segmentos PQ y RV son perpendiculares en el punto O, de modo que OP es la media proporcional entre RO y OV. Por tanto OP ²=RO·OV.

Ahora de la semejanza de los triángulos DOVD y DBCA se tiene: OV/DO = BC/AB, y de la semejanza de los triángulos DSDA y DABC se tiene: SD/AS = BC/AB.

Tomando OP=y, OD=x, como " coordenadas" del punto P, se tiene y ² = RO·OV, de modo que sustituyendo: y ² = OP ² = RO·OV = SD·OV = AS·(BC/AB)· DO·( BC/AB) = ([AS·BC ²]/AB ²)·x .

Ya que los segmentos AS, BC y AB son los mismos para todos los puntos de la curva EQDPG, podemos escribir la ecuación de la curva o " sección del cono rectángulo" en la forma: y ²=lx, donde l es una constante que más tarde se llamaría el " latus rectum "

De una forma totalmente análoga para conos con ángulo agudo y obtuso en el vértice Menecmo obtendría expresiones de la forma:

y ²= lx - (b ²/a ²) · x ², sección de cono acutángulo,

y ²= lx + (b ²/a ²) · x ², sección de cono obtusángulo.

donde a y b son constantes y el plano de corte es perpendicular a una generatriz.

Se observa una gran similitud entre los desarrollos de Menecmo en relación a expresiones equivalentes a ecuaciones y el uso de coordenadas, lo que induce a los historiadores a afirmar que este geómetra ya conocía ciertos aspectos de la Geometría Analítica. De hecho ignorando el lenguaje de ésta se hace difícil explicar el hallazgo de Menecmo.

Las cónicas de Menecmo tienen su origen en los intentos de Hipócrates de Quíos (hacia 400 a.C.) de resolución del problema clásico de la Duplicación del Cubo mediante la interpolación de dos medias proporcionales.

Sea un cubo de arista a. A partir de la proporción continua: , resultado de interpolar dos medias proporcionales entre a y su doble 2a, se obtienen las parábolas x ²=ay, y ²=2ax, y la hipérbola equilátera xy=2a ².Tanto la intersección de las dos parábolas como la intersección de una de las parábolas y la hipérbola proporciona x ³=2a ³, es decir, la arista del cubo de volumen doble.

Lo que en nuestro lenguaje geométrico analítico realizamos utilizando las ecuaciones de las cónicas, Menecmo lo hallaría mediante la construcción de puntos de intersección de las cónicas obtenidas, desplazando convenientemente el plano de corte con el cono a fin de hallar cónicas con latus rectum conveniente al objetivo propuesto.

Aunque según el testimonio de Proclo y Eutociusfue Menecmo el primero que descubrió las secciones cónicas, tal vez no fue así, ya que antes Arquitas de Tarento (hacia 400 a.C.), gran político reformador y maestro de Platón, había estudiado el problema de la Duplicación del Cubo, obteniendo las dos medias proporcionales mediante una compleja intersección de un cono de revolución, un cilindro de revolución y una superficie tórica. Así pues, Arquitas pudo haber estudiado la elipse como sección oblicua del cilindro. Por otra parte, después de la línea recta, es la elipse la curva más habitual en la experiencia, ya que los objetos circulares mirados de forma oblicua, así como la sombra que arrojan, son elípticos.

Se ha especulado a veces incluso con un origen de las cónicas por generación cinemática como la Cuadratriz de Hipias o la Espiral de Arquímedes, pero parece desmentirlo la persistencia hasta el siglo XVII del nombre que los griegos dieron de Problemas sólidos a los que dependían de las cónicas para su resolución, como si se quisiera insistir en su origen estereométrico.

Las cónicas se definen ahora como lugares de puntos en el plano para los que las distancias a una recta -directriz- y a un punto -foco- están en una determinada razón -excentricidad-. Esta definición se traslada de forma muy simple al lenguaje algebraico de ecuaciones de nuestra Geometría Analítica y además, la trigonometría permite mediante la rotación de ejes pasar fácilmente de la ecuación de la hipérbola referida a sus ejes a la referida a sus asíntotas. De modo que realmente impresiona la extraordinaria habilidad de Menecmo descubriendo la más útil familia de curvas de toda la Matemática y de toda la Ciencia y en ausencia del instrumento y el simbolismo algebraicos. Pero no sólo esto, sino que, independiente de su origen plano o estereométrico, Menecmo fue capaz de vincular ambos aspectos de las cónicas, mostrando que las secciones de los conos tenían importantes propiedades como lugares planos, traducibles en básicas expresiones geométricas (equivalentes a nuestras ecuaciones), que permitían deducir, a su vez, otras innumerables propiedades de las cónicas, que serían plasmadas por Apolonio en los primeros libros de Las Cónicas. Es bajo esta visión sobre el trabajo de Menecmo que algunos historiadores modernos (Zeuthen, Coolidge, Loria y Heath) reclaman para los griegos, y empezando por Menecmo, la paternidad de la Geometría Analítica, al establecer como la esencia de esta rama de la Matemática el estudio de los lugares por medio de ecuaciones.

Euclides escribió, además de Los Elementos, otras muchas obras de las que tenemos constancia e incluso fragmentos a través de El Tesoro del Análisis de Pappus. Una de ellas fue un trabajo sobre secciones cónicas, incorporado más tarde a Las Cónicas de Apolonio.

Asimismo, los importantes resultados de Arquímedes acerca del área del segmento parabólico, aplicando el método de exhaución en la obra Sobre la Cuadratura de la Parábola y el método mecánico en la obra Sobre el Método relativo a los teoremas mecánicos dedicado a Eratóstenes pone de relieve el avanzado desarrollo de la teoría de las secciones cónicas en la época de Arquímedes, ya muy próxima a los tiempos en que Apolonio concibió Las Cónicas.
Las Cónicas de Apolonio.
Durante más de ciento cincuenta años, las curvas introducidas por Menecmo se llamarían a partir de la descripción trivial de la forma cómo habían sido descubiertas, es decir, mediante las perífrasis: sección (perpendicular a una generatriz) de cono acutángulo, rectángulo y obtusángulo para la elipse, parábola e hipérbola, respectivamente.

Fue Apolonio en Las Cónicas quien no sólo demostró que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones, variando la inclinación del plano que corta al cono, lo cual era un paso importante en el proceso de unificar el estudio de los tres tipos de curvas, sino que demostró que el cono no necesita ser recto y consideró, asimismo, el cono con dos hojas, con lo que identifica las dos ramas de la hipérbola.

LA GENERACIÓN DE LAS CÓNICAS DE APOLONIO

Parábola: el plano de corte es paralelo a una sola generatriz.

Elipse: el plano de corte no es paralelo a ninguna generatriz.

Hipérbola: el plano de corte es paralelo a dos de sus generatrices.

Además, siguiendo probablemente una sugerencia de Arquímedes, Apolonio acuñó para la posteridad los nombres de elipse, parábola e hipérbola para las secciones cónicas. A lo largo de la Historia de la Matemática, los conceptos han sido siempre más importantes que la terminología utilizada, pero en este caso el cambio de nombre de las secciones cónicas debido a Apolonio, tiene una importancia más allá de lo meramente nominalista. Los términos adoptados en realidad no eran nuevos, sino que procedían, como sabemos, del lenguaje pitagórico de la solución de ecuaciones cuadráticas del método de Aplicación de las Areas. Elipse significa deficiencia; Hipérbola significa exceso (en el lenguaje ordinario una hipérbole es una exageración); y por ultimo Parábola significa equiparación. El cambio de nomenclatura envolvía un cambio conceptual, toda vez que las cónicas ya no serían descritas constructivamente, sino a través de relaciones de áreas y longitudes, que daban en cada caso la propiedad característica de definición de la curva y expresaban sus propiedades intrínsecas. Por ejemplo, la conocida ecuación de la parábola con vértice en el origen es y ²=lx, donde l es el latus rectum o parámetro doble que se representa por 2p. Esta expresión de la parábola en forma de ecuación sintetiza precisamente el farragoso y larguísimo enunciado de la Proposición I.11 de Las Cónicas en forma de propiedad que cumple la sección cónica considerada, bautizada por Apolonio justamente aquí con el nombre de Parábola. Este enunciado muy resumido viene a decir:

" La Parábola tiene la propiedad característica de que para todo punto tomado sobre la curva, el cuadrado construido sobre su ordenada y es exactamente igual al rectángulo construido sobre la abcisa x y el latus rectum l ".

Análogamente, Apolonio hará lo propio para la hipérbola y la elipse en las dos proposiciones siguientes que redactadas en un retórico lenguaje abstruso y prolijo, se puede simplificar en la forma siguiente Proposición I.12 (resp. I.13):

" En la sección cónica considerada [llamada hipérbola (resp. llamada elipse)], el cuadrado de la ordenada equivale a un área rectangular aplicada siguiendo el latus rectum, es decir, teniendo el latus rectum como altura, y teniendo la abscisa como base, aumentada (resp. disminuida) de otra área semejante a la que tenga el eje transverso o diámetro como base, y la mitad del latus rectum como altura ".

Simplificando todavía más, mediante ecuaciones, como en el caso de la parábola, el complejo lenguaje de Apolonio, designando: para la hipérbola a el eje transverso o diámetro y b el eje no transverso, para la elipse a y b los ejes, y para ambas cónicas y la ordenada, x la abscisa, y l el latus rectum, podemos traducir los enunciados de las proposiciones I.12 y I.13 en las relaciones:

Hipérbola: y ²= lx + (b ²/a ²) · x ²o bien[(x+a) ²/a ²] - [y ²/b ²] = 1

Elipse: y ²= lx - (b ²/a ²) · x ²o bien [(x-a) ²/a ²] + [y ²/b ²] = 1

ecuaciones de la hipérbola y de la elipse, respectivamente, referidas a uno de sus vértices como origen de coordenadas donde concurren como ejes de coordenadas un diámetro y la tangente a la cónica en su extremo, y donde el latus rectumo parámetro l es: l=2b ²/a.

Veamos, en efecto, como se llega a estas ecuaciones en el caso de la elipse:

Lo que demuestra Apolonio en la Proposición I.13, con un lenguaje retórico, es que hay una relación constante entre ciertas áreas, el cuadrado de lado la cuerda PQ y el rectángulo determinado por los segmentos OQ, QR del diámetro.

En particular se verificará:

.

Tomando coordenadas con origen en el vértice O, y llamando x, y, a, b y l, como antes, se tiene: ,de donde resulta: ,es decir: , donde l=2b ²/a es el latus rectum, como se quería probar.

Vemos que las relaciones de áreas de Apolonio, que expresan propiedades intrínsecas de la curva, se prestan, con suma facilidad, a ser traducidas en el ulterior lenguaje del Álgebra simbólica de ecuaciones, lo cual permitirá la asociación de curvas y ecuaciones, que es la principal finalidad programática de la Geometría Analítica.

A la vista de las expresiones obtenidas para las cónicas, trasunto de la propiedad fundamental que satisfacen como lugares planos, se aprecia que, en el caso de la elipse y ²<lx, mientras que para la hipérbola y ²>lx. Estas propiedades de las curvas expresadas por estas desigualdades son las que sugirieron, con base en el lenguaje griego ordinario, los nombres de las cónicas: parábola, elipse e hipérbola, bautizadas por Apolonio hace más de dos mil años. Así los nombres no sólo no son arbitrarios sino que responden a la semántica de los términos y han sido tan afortunados que han quedado firme y unánimemente asociados al diccionario geométrico de las cónicas para siempre.

Las Cónicas de Apolonio fueron escritas en ocho libros de los que conservamos siete gracias a los trabajos de Thabit ibn Qurra (hacia 856 d.C.) y de Edmond Halley (1656-1742).

El Libro I de Las Cónicas de Apolonio se inicia con la generación de las cónicas, pero una vez que se obtienen mediante consideraciones estereométricas las relaciones básicas entre lo que llamaríamos las coordenadas de un punto de la curva en el plano, expresadas por las ecuaciones descritas, Apolonio se dedica a estudiar por métodos planimétricos las propiedades fundamentales de las cónicas, incluyendo tangentes y diámetros conjugados, a partir de esas ecuaciones planas, obviando toda referencia explícita al cono generador. Apolonio utiliza de forma sistemática un par de diámetros conjugados o un diámetro y una tangente como equivalente de un sistema de coordenadas oblicuas, habiendo demostrado previamente que si se traza una recta por un extremo de un diámetro de una elipse o de una hipérbola, paralela a su diámetro conjugado, la recta trazada es tangente a la cónica. El sistema de referencia diámetro-tangente se muestra de una significativa utilidad ante la invariancia de la ecuación de la cónica frente a un cambio de referencia diámetro-tangente de un punto a otro punto de la cónica (Proposiciones 41 a 49). En particular, Apolonio conocía las propiedades de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas xy=a ².

El Libro II abunda en nuevas propiedades y hace un estudio exhaustivo de las asíntotas. Al final del Libro estudia el problema de trazar una tangente que forme un ángulo dado con el diámetro que pasa por el punto de contacto.

El Libro III estudia primero propiedades de triángulos y cuadriláteros determinados por tangentes y diámetros conjugados y otras propiedades de las tangentes, entre ellas se establece, en la Proposición 41, cómo tres tangentes a la parábola se cortan en la misma razón de modo que la parábola resulta envolvente de las rectas con esta propiedad. En la proposición 43 aparece la hipérbola como lugar de puntos tales que xy=constante, donde x e y son abscisa y ordenada respecto a los ejes constituidos por las asíntotas. Después Apolonio estudia una serie de hermosas propiedades focales, entre las que destacan las Proposiciones 51 y 52 que permiten el trazado de estas cónicas mediante una composición de movimientos continuos y que sirven para definirlas de forma planimétrica como lugares geométricos:

" En una hipérbola la diferencia de distancias de cada punto a los focos es constante e igual al eje transverso ",

" En una elipse la suma de distancias de cada punto a los focos es constante e igual al eje mayor ".,

En el Libro IV se estudian los puntos de intersección de las cónicas. Destaca la Proposición 9 que exhibe un método de trazar dos tangentes a una cónica desde un punto.

El Libro V es una de las principales obras maestras de la Geometría griega. Está dedicado a los segmentos máximos y mínimos, es decir, a la distancia máxima y mínima de un punto a los de una cónica -las rectas normales-. En este Libro encontramos el germen de la teoría de evolutas y evolventes que figura en la obra de Huygens Horologium Oscilatorium de 1673. Al intuir el concepto de curvatura, Apolonio se sitúa en las raíces de la Geometría Diferencial. En las Proposiciones 51 y 52,mediante métodos puramente sintéticos, Apolonio obtiene la evoluta de las cónicas como lugar de los centros de curvatura, mediante la determinación del número de normales distintas desde cada punto. Por ejemplo, para la elipse y la hipérbola: (x ²/b ²)+ (y ²/b ²)=1,el brillante resultado equivale a describir de forma sintética las curvas que en el lenguaje de la Geometría Analítica tendrían por ecuación:

(ax) 2/3 (by) 2/3 = (a ² b ²) 2/3 , [ signo + para la elipse, signo - para la hipérbola].

En las proposiciones 55-63 Apolonio construye la normal a una cónica desde un punto exterior mediante la intersección de la cónica dada con una hipérbola equilátera, llamada Hipérbola de Apolonio asociada al punto.

El Libro VI está dedicado a la igualdad y semejanza de cónicas. Sobresalen en este Libro las Proposiciones 28, 29 y 30, donde se resuelve el problema de dados una cónica y un cono circular recto hallar una sección del cono que sea igual a la cónica dada.

El Libro VII relaciona numerosas propiedades de los diámetros conjugados entre las que sobresalen las de las Proposiciones 12 y 13 acerca de la constancia de la suma en la elipse y la diferencia en la hipérbola de los cuadrados de los diámetros conjugados.

Las Cónicas de Apolonio en los manuscritos Vaticanos

Frontispicio de la edición príncipe de Edmond Halley de Las Cónicas de Apolonio de 1710. Es una obra monumental basada en la edición de Thabit ibn Qurra (hacia 856 d.C.).

En la base de la ilustración aparece un texto en latín de gran valor emblemático y metafórico sobre el significado de la Geometría como ciencia del espíritu, tomado del epígrafe primero del Prefacio del Libro VI de DeArchitectura de Vitruvio. Se trata de una exclamación promovida por la súbita presencia ante unos náufragos, como evidencia de la presencia de la civilización, de figuras sobre hipérbolas de Apolonio, que reza en estos términos:

" Aristipo, filósofo socrático, habiendo naufragado en el mar de Rodas, y habiendo observado en la playa dibujos con diseños geométricos, se dice que exclamó ante sus compañeros: estamos de buena esperanza ya que veo huellas de hombre."

En la Introducción de la edición de Ver Eecke ( Les Coniques d'Apollonius de Perge. Blanchard, París, 1963, p.XLIX), el editor escribe:

" Esta edición [de Halley], en la que colaboró Gregory hasta su muerte, se compone de dos partes. La primera comprende el texto griego de los cuatro primeros libros, publicada por vez primera, acompañada de la versión latina de Commandino más o menos corregida, así como los textos griegos de los lemas de Pappus y del comentario de Eutocio, acompañadas igualmente de versiones latinas. La segunda parte comprende la traducción latina de los Libros V, VI y VII, hecha sobre la versión árabe de Thabit ibn Qurra; el texto griego, con la traducción latina, de los lemas de Pappus relativos a estos libros, y una reconstitución conjetural del Libro VIII, realizada por Halley".

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Antecedentes de Las Cónicas de Apolonio. Las cónicas de Menecmo y el problema de la Duplicación del Cubo. Se atribuye a Menecmo (hacia 350 a.C.) de la Academia platónica -el más famoso de los discípulos de Eudoxo y maestro de Aristóteles y Alejandro Magno-, la introducción de las secciones cónicas, es decir, el descubrimiento de las curvas que después recibieron el nombre de elipse, parábola e hipérbola, la llamada " Triada de Menecmo".

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Aristarco de Samos   310 a. C.- 230 a. C

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Aristarco de Samos   310 a. C.- 230 a. C

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Fue la primera persona conocida que propuso el modelo heliocéntrico del Sistema Solar, colocando el Sol, y no la Tierra, en el centro del universo conocido.​ Esta propuesta la hizo después de estudiar la distancia y tamaño del Sol.

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Sus escritos contribuyeron de forma notable al perfeccionamiento de la notación algebraica y al desarrollo de los conocimientos del álgebra de su época.

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Por su originalidad y sus aportaciones, Diofanto fue llamado por los historiadores el padre de los algebristas modernos. En una época de decadencia y de pura exégesis, como era el siglo en que vivió, su obra constituye una notabilísima excepción. Generalmente se le atribuye la introducción del cálculo algebraico en las matemáticas.

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Diversas culturas (babilónica, egipcia, sumeria) resolvieron problemas concernientes al área de polígonos, a la superficie contenida en una circunferencia y a las relaciones que pueden establecerse con las áreas contenidas tanto por las curvas como por los polígonos; para ello, utilizaban técnicas de trazo y fórmulas que se encuentran en documentos históricos como papiros y tablas de arcilla (Cortés, 2012).