# data[].attributes.headline
Секој дел од природа

# data[].attributes.body
Секој дел од природата е составен од голем број елементи. Најобичнте нешта што го опкружуваат , човекот ги прибира од природата и ги подредува за да му служат. Затоа најосновната математичка релација е подредувањето на елементите од едно множество во некој потребен, логичен и насочен редослед. Со подредувањето на елементите во низа тие добиваат свое место, своја посебност т.е квалитативно ниво. Притоа важно е да знаеме кој елемент од разгледуваното множество е прв, кој втор, кој е трет итн. На тој начин на секој природен број, по некое правило, му придружуваме единствен елемент од тоа множество и така добиваме низа од предмети, поими или броеви.

# data[].attributes.headline
 Објаснување на поимот аритметичка прогресија и изведување на формула за општ член.

# data[].attributes.subject
 Објаснување на поимот аритметичка прогресија и изведување на формула за општ член.

# data[].attributes.body
Ако ги разгледаме низите на слика 2.1.1  забележуваме дека кај овие низи постои одредена законитост за нивните членови. Имено, разликата меѓу броевите, членови на низата, е еден ист број. Кај првата тоа е бројот 3, а кај втората тоа е бројот (-1). Низата со такво својство ја нарекуваме АРИТМЕТИЧКА НИЗА или АРИТМЕТИЧКА ПРОГРЕСИЈА, според латинскиот збор progression што значи движење во еден правец. За означување на разликата меѓу броевите, членови на низата, вообичаено ја употребуваме првата буква d од латинксиот збор differentia, што значи разлика. Ако како ознака за првиот член воведеме ознака а₁, а за другите а₂, а3 итн., и за разликата ознака d, тогаш врз основа на дефиницијата за аритметичка прогресија следува дека:

# data[].attributes.body
а2 = а1 + d

а3 = а2 + d = а1 + 2d

а4 = а3 + d = а1 + 3d

Забележуваме дека секој член на прогресијата се добива како збир од првиот член и од производот на разликата d со претходните членови. Значи за n-тиот член на низата можеме да претпоставиме дека е од облик:

аn = а1 + (n-1)d

Ова всушност претстваува формула за општ член на аритметичка прогресија.

# data[].attributes.headline
Математиката

# data[].attributes.body
Математиката е наука чија примена во секојдневиот живот е огромна. Кога станува збор за аритметичка низа, зголемувањето е линеарно, па постојат многу ситуации во секојдневието каде нештата линеарно се зголемуваат или намалуваат.

# data[].attributes.body
Интересен пример е и обликот односно формата на стадионите и амфитеатрите кои се правеле, каде што бројот на седиштата сметајќи од долу нагоре, се зголемува. Во случајот на сликата, бројот на столови е за 4 поголем во секој ред, во однос на претходниот.
Ако во првиот ред има 22 седишта. Низата би имала облик 22,26,30,34,38,42,... Односно разликата d = 4, a општиот член е од облик:

аn = 22+ 4(n-1)

# data[].attributes.body
Редењето на столови, или чинии една врз друга, ако се претстави како низа би имало облик 1,2,3,4... итн што може да се види на сликата.

Односно разликата d = 1, а на почетокот имало 1 стол, па општиот член е од облик:

аn = 1 + (n-1)

# data[].attributes.body
Се брзаш на час по математика! Се качуваш по две скали! И изодуваш 2,4,6,8,10,12..скали. Односно d =2 , а општиот член е од облик:

аn = 2 + 2(n-1)

# data[].attributes.body
Потребни ти се доволно витамини. Влегуваш во аптека и фармацевтот ти избројува по случаен зафат прво три, потоа издвојува четири, па уште четири и така до бараното количество од 35 парчиња: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35  витамини.

Разликата d=4 витамини, а најпрво ти дал 3 односно а₁=3, општиот член е преставен со формулата:

аn = 3 + 4(n-1)

# data[].attributes.body
Замисли дека си во ресторант, каде што има квадратни маси за четворица. Кога две квадратни маси ќе се спојат, 6 луѓе ќе можат заедно да седнат. Ако се додаде уште една маса, би можеле група од 8 луѓе да седнат заедно. Па се добива следнава низа 4,6,8,10,12... Односно d =2 , а општиот член е од облик:

аn = 4 + 2(n-1)

# data[].attributes.body
Во националниот парк Yellowstone постојат природни гејзери кој прават долги ерупции, кои можат да се предвидат, но никој не може да ги контролира. Времето меѓу ерупциите се заснова на должината на претходната ерупција. Ако ерупцијата трае една минута, тогаш следната ерупција ќе се случи за приближно 46минути. Ако ерупцијата трае 2 минути, тогаш следната ерупција ќе се случи за 58 минути. Така ерупциите се случуваат во низа од 46,58,70,82,94... со разлика d=12минути. Општиот член на оваа низа би бил:

аn = 46 + 12(n-1)

# data[].attributes.body
Доколку се возиш во такси, цената која ќе ја платиш кога ќе стигнеш на посакуваната дестинација исто претставува аритметичка низа. Најпрво се наплаќа почетната цена од 70денари, а со секој следен километар оваа цена се зголемува за 50. Односно оваа низа покажува дека секој километар се наплаќа со некоја константна величина плус почетната цена. Се добива низата: 70, 120, 170, 220, 270... Каде што, константната величина за секој поминат километар изнесува d=50 денари. А општиот член е:

аn = 70 + 50(n-1)

# data[].attributes.body
Се во животот е во директна зависнот од времето. Ние сме суштества кои не можат да си ја замислат било која ситуација без временската зависнот. Во реалноста, времето напредува во совршена аритметичка прогресија, секунда по секунда,минута по минута,час по час. 1,2,3,4,5,...12.

Слично на ова нашата возраст се зголемува секој ден.

d=1,  аn = 1 + (n-1)

# data[].attributes.body
Кога станува збор за аритметичка прогресија од негативни броеви, потешко е да се најдат примери во секојдневниот живот, но веднаш потсетува на температура или надморска висина. Постојат места кои се под нивото на морето. Па професионалните нуркачи постепено се симнуваат во тие длабочини.

# data[].attributes.headline
Објаснување на поимот геометриска прогресија и изведување на формула за општ член.

# data[].attributes.subject
Објаснување на поимот геометриска прогресија и изведување на формула за општ член.

# data[].attributes.body
Слично како кај аритметичката прогресија на сликата 3.1.1 можеме да видеме дека меѓу соседните членови постои некоја законитост или константна разлика. Имено количникот меѓу кои било два последователни броја, членови, на низата е еден ист број. Кај првата низа тоа е бројот 2, кај втората броjот . Низата со вакво својство се нарекува геометриска прогресија. За означување на количникот меѓу броевите , членови на низата, ја употребуваме првата буква q од латинскиот збор quotiens за количник.

# data[].attributes.headline
Ако како ознака за п

# data[].attributes.body
Ако како ознака за првиот член воведеме ознака b₁, а за другите b₂, b3 итн., и за разликата ознака q, тогаш врз основа на дефиницијата за геометриска прогресија следува дека:

b2 = b1 q

b3 = b2 q= b1

b4 = b3 q= b1

Забележуваме дека секој член на прогресијата се добива како производ од првиот член и од количникот q степенуван со бројот на претходните членови. Значи за n-тиот член на низата можеме да претпоставиме дека е од облик:

bn= b1 q^(n-1)

Ова всушност претстваува формиула за општ член на геометриска прогресија.

# data[].attributes.headline
Kaко и аритметичката

# data[].attributes.body
Kaко и аритметичката, слично и геометриската има многу примени во секојдневието кои може да се видат преку следниве примери.

# data[].attributes.body
Отскокнувањето на топка претставува конечна геометриска низа. Секој пат кога топката ќе отскокне од земјата нејзината висина се намалува за половина. Ако на почетокот нејзината висина била 1м, следниот пат кога ќе отскокне висината ќе се намали на м, па на  м, итн. Се додека не престане со отскокнувањето. Низата би изгледала: 1,1/2 , 1/4 ,...

# data[].attributes.body
Интензитетот на некој радиоактивен метал после неколку години се намалува геометриски.

# data[].attributes.body
Со помош на геометриски прогресии и правило за општ член лесно може да се пресмета зголемувањето или намалувањето на цената на некој производ, ако забележеме дека неговата цена процентуално се намалува/зголемува од година во година.

# data[].attributes.body
Следен пример за примената на геометриска прогресија е репродукцијата на бактериите и вирусите. Знаете ли колку бактерии би се развиле во идеални услови, ако секој час секоја од нив се згоелмува тројно. Да претпоставиме дека на почетокот имало 40 бактерии, низата би изгледала вака: 40, 120, 360, 1080... Во n-тиот час нивниот број би изнесувал:

bn = 40*3‘(n-1)

# data[].attributes.body
Во музиката постојат октави, групации од 8 тонови, ако на пијаното ја слушнеме фреквенцијата на тонот А(ла) ќе забележеме дека фреквенциите на тонот А се зголемува 2 пати во секоја наредна октава. И тоа започнува од: 27.5 ,55, 110, 220, 440, 880 Hz.

# data[].attributes.body
Гладен си!Па можеби добро би ти дошло една пита бурек, но и половина е многу, а четвртина е токму, затоа што осминка е некако малку. Притоа ги имаме следните броеви: 1,1/2 ,1/4  , 1/8, 1/16, ....

# data[].attributes.headline
Како што се гледа од

# data[].attributes.body
Како што се гледа од горенаведените примери, низите и прогресиите играат важна улога во различни аспекти од нашите животи. Тие ни помагаат да го предвидиме, процениме и следиме исходот на ситуацијата или настанот, и особено многу ни помагаат во донесувањето одлуки. Мислам дека постојат и стотици други примери за овие прогресии, а имајќи познавање за практичната примена на овие низи, некако ни дава поинаква перспектива за тоа како работите се случуваат во нашите животи.