# data[].attributes.headline
Виконати контрольну роботу за посиланням

# data[].attributes.subject
Виконати контрольну роботу за посиланням

# data[].attributes.body
https://naurok.com.ua/test/join?gamecode=178290

# data[].attributes.headline
Повторити параграфи 1-26

# data[].attributes.subject
Повторити параграфи 1-26

# data[].attributes.body
виконати №1-8 на с. 231

# data[].attributes.headline
Виконати контрольну роботу 

# data[].attributes.subject
Виконати контрольну роботу 

# data[].attributes.body
за посиланням https://naurok.com.ua/test/join?gamecode=393963

# data[].attributes.headline
Виконати завдання:

# data[].attributes.subject
Виконати завдання:

# data[].attributes.body
№ 862, 864,866, 867.

# data[].attributes.headline
Виконати завдання:

# data[].attributes.subject
Виконати завдання:

# data[].attributes.body
№ 835, 837,839,840

# data[].attributes.headline
Виконати завдання: середній рівень -№ 966, 968 достатній рівень- №970, 972,973                          високий рівень- №977,979,982       

# data[].attributes.subject
Виконати завдання: середній рівень -№ 966, 968 достатній рівень- №970, 972,973                          високий рівень- №977,979,982       

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Published on

1. 1. 88 АЛГЕБРААЛГЕБРА Î.Ñ. ²ñòåðÎ.Ñ. ²ñòååð

2. 2. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0699 3ISBN 978-966-11-0699-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Àëãåáðà : ïіäðó÷. äëÿ 8-ãî êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016. - 272 ñ. ISBN 978-966-11-0699-3. Підручник відповідає новій програмі з математики, містить до- статню кількість диференційованих вправ та прикладних задач. Після кожного розділу наведено вправи для його повторення. Для підготовки до контрольної роботи передбачено "Домашню самостійну роботу" та "Завдання для перевірки знань". Наприкінці підручника наведено ма- теріал для повторення курсу математики 5-6 класів та курсу алгебри 7 класу, задачі підвищеної складності, предметний покажчик та відпо- віді до більшості вправ. Для найдопитливіших є низка нестандартних задач у рубриці "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий ма- теріал. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè (Íàêàç Ìіíіñòåðñòâà îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè âіä 10.05.2016 № 491) Åêñïåðòè, ÿêі çäіéñíèëè åêñïåðòèçó ïіäðó÷íèêà ïіä ÷àñ ïðîâå- äåííÿ êîíêóðñíîãî âіäáîðó ïðîåêòіâ ïіäðó÷íèêіâ äëÿ ó÷íіâ 8 êëà- ñó çàãàëüíîîñâіòíіõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäіâ і çðîáèëè âèñíîâîê ïðî äîöіëüíіñòü íàäàííÿ ïіäðó÷íèêó ãðèôà "Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñ- òåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè": Áіäþê Â.Ã., ó÷èòåëü-ìåòîäèñò Íîâîñåëèöüêîãî ðàéîííîãî ìåòî- äè÷íîãî êàáіíåòó ×åðíіâåöüêîї îáëàñòі; Ãðèíüêіâ Î.І., ó÷èòåëü-ìåòîäèñò Äіäèëіâñüêîãî ÍÂÊ Êàì'ÿíêà- Áóçüêîãî ðàéîíó Ëüâіâñüêîї îáëàñòі; Ïàäàëêî Í.É., äîöåíò êàôåäðè äèôåðåíöіàëüíèõ ðіâíÿíü і ìàòå- ìàòè÷íîї ôіçèêè Ñõіäíîєâðîïåéñüêîãî íàöіîíàëüíîãî óíіâåðñèòå- òó іì. Ëåñі Óêðàїíêè, êàíäèäàò ïåäàãîãі÷íèõ íàóê. Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

3. 3. 3 Øàíîâíі ó÷íі!! Öüîãîðі÷ âè ïðîäîâæèòå âèâ÷àòè îäíó ç íàéâàæëèâіøèõ ìàòåìàòè÷íèõ äèñöèïëіí - àëãåáðó. Äîïîìîæå âàì ó öüîìó ïіäðó÷íèê, ÿêèé âè òðèìàєòå â ðóêàõ. Ïіä ÷àñ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çâåðíіòü óâàãó íà òåêñò, íàäðóêîâàíèé æèðíèì øðèôòîì. Éîãî òðåáà çàïàì'ÿòàòè. Çâåðíіòü óâàãó é íà óìîâíі ïîçíà÷åííÿ: - òðåáà çàïàì'ÿòàòè; - âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ; - çàïèòàííÿ і çàâäàííÿ äî âèâ÷åíîãî ìàòåðіàëó; - ðóáðèêà "Ðîçâ'ÿæіòü òà ïіäãîòóéòåñÿ äî âèâ÷åííÿ íîâîãî ìàòåðіàëó"; 1 - çàâäàííÿ äëÿ êëàñíîї ðîáîòè; 2 - äëÿ äîìàøíüîї ðîáîòè; - ðóáðèêà "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ" òà äî- äàòêîâèé ìàòåðіàë. Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü і ïîçíà÷åíî òàê: Ïîçíà÷êîþ âèîêðåìëåíî âïðàâè ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі. Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ ìîæíà, âèêîíóþ÷è çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìî- ñòіéíîї ðîáîòè" òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Ïіñëÿ êîæíîãî ðîçäіëó íàâåäåíî âïðàâè äëÿ éîãî ïîâòîðåííÿ, à â êіíöі ïіäðó÷íèêà - "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü çà êóðñ àëãåáðè 8 êëàñó". "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі" äîïîìî- æóòü ïіäãîòóâàòèñÿ äî ìàòåìàòè÷íîї îëіìïіàäè òà ïîãëèáèòè çíàííÿ ç ìàòåìàòèêè. Ïðèãàäàòè ðàíіøå âèâ÷åíі òåìè äîïî- ìîæóòü "Âіäîìîñòі ç êóðñó ìàòåìàòèêè 5-6 êëàñіâ òà êóð- ñó àëãåáðè 7 êëàñó", à ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ íà ïî÷àòêó íàâ÷àëüíîãî ðîêó - "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó àëãåáðè 7 êëàñó" â êіíöі ïіäðó÷íèêà. Àâòîð íàìàãàâñÿ ïîäàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ïіäðó÷íè- êà ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ, ïðîіëþñòðóâàòè éîãî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó ó øêîëі éîãî îáîâ'ÿçêîâî òðåáà îïðàöþâàòè âäîìà.

4. 4. 4 Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Áіëüøіñòü ç íèõ âè ðîçãëÿíåòå íà óðîêàõ òà ïіä ÷àñ äîìàøíüîї ðîáîòè, іíøі âïðàâè ðåêîìåíäóєòüñÿ ðîçâ'ÿçàòè ñàìîñòіéíî. Öіêàâі ôàêòè ç іñòîðії ðîçâèòêó òà ñòàíîâëåííÿ ìàòåìàòè- êè ÿê íàóêè âè çíàéäåòå ó ðóáðèöі "À ùå ðàíіøå..." Øàíîâíі â÷èòåëі! Ïðîïîíîâàíèé ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ; âïðàâè áіëüøîñòі ïàðàãðàôіâ ïîäàíî "іç çàïàñîì". Òîæ îáè- ðàéòå їõ äëÿ âèêîðèñòàííÿ íà óðîêàõ і ïîçàóðî÷íèõ çàíÿòòÿõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ, ñòóïåíÿ äèôåðåíöіàöії íàâ÷àííÿ òîùî. "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó àëãåáðè 7 êëàñó" äîïîìî- æóòü äіàãíîñòóâàòè âìіííÿ é íàâè÷êè ó÷íіâ ç àëãåáðè çà ïî- ïåðåäíіé ðіê òà ïîâòîðèòè íàâ÷àëüíèé ìàòåðіàë. Äîäàòêîâі âïðàâè ðóáðèêè "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü" ïðèçíà÷å- íî äëÿ ó÷íіâ, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàííÿìè ðàíіøå çà іíøèõ ó÷íіâ. Ïðàâèëüíå їõ ðîçâ'ÿçàííÿ â÷èòåëü ìîæå îöі- íèòè îêðåìî. Âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ ðîçäіëіâ ìîæíà çàïðî- ïîíóâàòè ó÷íÿì ïіä ÷àñ óçàãàëüíþþ÷èõ óðîêіâ àáî ïіä ÷àñ ïîâòîðåííÿ і ñèñòåìàòèçàöії íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó â êіíöі íàâ÷àëüíîãî ðîêó. Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі òà "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ" äîïîìîæóòü çàäîâîëüíèòè ïіäâè- ùåíó öіêàâіñòü ó÷íіâ äî ïðåäìåòà і ñïðèÿòèìóòü їõ ïіäãîòîâöі äî ðіçíîìàíіòíèõ ìàòåìàòè÷íèõ çìàãàíü. Øàíîâíі áàòüêè! ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ ç àë- ãåáðè, íåîáõіäíî çàïðîïîíóâàòè їé çà ïіäðó÷íèêîì óäîìà ñàìîñòіéíî îïðàöþâàòè ìàòåðіàë öèõ óðîêіâ. Ñïî÷àòêó ó÷åíü ìàє ïðî÷èòàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë, ÿêèé âèêëàäåíî ïðî- ñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ òà ìіñòèòü çíà÷íó êіëüêіñòü çðàçêіâ ðîçâ'ÿçóâàííÿ âïðàâ, à ïîòіì іç çàïðîïîíîâàíèõ ó âіäïîâіäíîìó òåìàòè÷íîìó ïàðàãðàôі çàâäàíü ðîçâ'ÿçàòè ïîñèëüíі їé âïðàâè. Óïðîäîâæ îïðàöþâàííÿ äèòèíîþ êóðñó àëãåáðè 8 êëàñó âè ìîæåòå ïðîïîíóâàòè їé äîäàòêîâî ðîçâ'ÿçóâàòè âäîìà âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ ïіä ÷àñ óðîêó. Öå ñïðèÿòèìå ÿêíàéêðà- ùîìó çàñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó. Êîæíà òåìà çàêіí÷óєòüñÿ òåìàòè÷íèì îöіíþâàííÿì. Ïåðåä éîãî ïðîâåäåííÿì çàïðîïîíóéòå äèòèíі ðîçâ'ÿçàòè çàâäàí- íÿ "Äîìàøíüîї ñàìîñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Öå äîïîìîæå ïðè- ãàäàòè îñíîâíі òèïè âïðàâ òà ÿêіñíî ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìà- òè÷íîãî îöіíþâàííÿ.

5. 5. 5 Ðîçäіë 1 Раціональні вирази Ó êóðñі àëãåáðè 7 êëàñó âè âæå çíàéîìèëèñÿ іç öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè, òîáòî ç âèðàçàìè, ùî íå ìіñòÿòü äіëåííÿ íà âèðàç çі çìіííîþ, íàïðèêëàä: 5m2p2 ; 4c3 + t9; (m - n)(m2 + n7); . Áóäü-ÿêèé öіëèé âèðàç ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі ìíîãî÷ëå- íà ñòàíäàðòíîãî âèãëÿäó, íàïðèêëàä: (m - n)(m2 + n7)  m3 + mn7 - nm2 - n8; . Íà âіäìіíó âіä öіëèõ âèðàçіâ, âèðàçè ; ; ; ; ìіñòÿòü äіëåííÿ íà âèðàç çі çìіííîþ. Òàêі âèðàçè íàçèâàþòü äðîáîâèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè. Öіëі ðàöіîíàëüíі і äðîáîâі ðàöіîíàëüíі âèðàçè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè. Раціоналльні виррази У цьому розділі ви: пригадаєте основну властивість звичайного дробу та основні властивості рівнянь; ознайомитеся з поняттями раціонального виразу, раціо- нального дробу, раціонального рівняння; з функцією , степенем із цілим показником, стандартним виглядом числа; навчитеся скорочувати раціональні дроби та зводити їх до нового знаменника; виконувати арифметичні дії з раціо- нальними дробами; розв'язувати раціональні рівняння. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÂÈÐÀÇÈ. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÄÐÎÁÈ1. Ðàöіîíàëüíі âèðàçè - öå ìàòåìàòè÷íі âèðàçè, ÿêі ìіñ- òÿòü äії äîäàâàííÿ, âіäíіìàííÿ, ìíîæåííÿ, äіëåííÿ òà ïіäíåñåííÿ äî ñòåïåíÿ іç öіëèì ïîêàçíèêîì.

6. 6. РОЗДІЛ 1 6 Ðàöіîíàëüíèé âèðàç âèãëÿäó , äå P і Q - âèðàçè, ùî ìіñ- òÿòü ÷èñëà àáî çìіííі, íàçèâàþòü äðîáîì. Âèðàç Ð є éîãî ÷è- ñåëüíèêîì, à Q - çíàìåííèêîì. ßêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó - ìíîãî÷ëåíè, òî äðіá íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèì äðîáîì. Öіëèé ðàöіîíàëüíèé âèðàç ìàє çìіñò ïðè áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åííÿõ çìіííèõ, ùî äî íüîãî âõîäÿòü, îñêіëüêè äëÿ çíàõî- äæåííÿ éîãî çíà÷åííÿ òðåáà âèêîíàòè äії äîäàâàííÿ, âіäíі- ìàííÿ і ìíîæåííÿ òà äіëåííÿ íà ÷èñëî, âіäìіííå âіä íóëÿ, ùî çàâæäè ìîæëèâî. Ðîçãëÿíåìî äðîáîâèé ðàöіîíàëüíèé âèðàç . Éîãî çíà- ÷åííÿ ìîæíà çíàéòè äëÿ áóäü-ÿêîãî çíà÷åííÿ x, êðіì x  3, îñêіëüêè ïðè x  3 çíàìåííèê äðîáó äîðіâíþâàòèìå íóëþ. Ó òàêîìó âèïàäêó êàæóòü, ùî âèðàç ìàє çìіñò ïðè âñіõ çíà÷åííÿõ çìіííîї x, êðіì x  3 (àáî ïðè x  3 íå ìàє çìіñòó). Öі çíà÷åííÿ óòâîðþþòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó, àáî îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííèõ ó âèðàçі. Ïðèêëàä 1. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) Âèðàç ìàє çìіñò ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åí- íÿõ çìіííîї m. 2) Äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї p - óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñëà -2, îñêіëüêè öå çíà÷åííÿ çìіííîї ïåðåòâîðþє çíà- ìåííèê äðîáó íà íóëü. 3) Çíàìåííèê äðîáó ïåðåòâî- ðþєòüñÿ íà íóëü, ÿêùî x  0 àáî x  9. Òîìó äîïóñòèìі çíà- ÷åííÿ çìіííîї x - óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñåë 0 і 9. 4) Äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї y - óñі ÷èñëà, êðіì 3 і -3. Ñêîðî÷åíî âіäïîâіäі ìîæíà çàïèñàòè òàê: 1) m - áóäü-ÿêå ÷èñëî; 2) p  -2; 3) x  0; x  9; 4) y  3; y  -3. Ðîçãëÿíåìî óìîâó ðіâíîñòі äðîáó íóëþ. Îñêіëüêè , ÿêùî Q  0, òî ìîæíà ïðèéòè äî âèñíîâêó, ùî äðіá äî- ðіâíþє íóëþ òîäі і òіëüêè òîäі, êîëè ÷èñåëüíèê P äîðіâíþє Çíà÷åííÿ çìіííèõ, ïðè ÿêèõ âèðàç ìàє çìіñò, íàçèâà- þòü äîïóñòèìèìè çíà÷åííÿìè çìіííèõ ó âèðàçі.

7. 7. Раціональні вирази 7 íóëþ, à çíàìåííèê Q íå äîðіâíþє íóëþ, òîáòî Ïðèêëàä 2. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї äîðіâíþє íóëþ çíà÷åííÿ äðîáó: 1) ; 2) ? Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ×èñåëüíèê äðîáó äîðіâíþє íóëþ, ÿêùî x  3. Öå çíà÷åííÿ çìіííîї íå ïåðåòâîðþє çíàìåííèê íà íóëü, òîìó x  3 є òèì çíà÷åííÿì çìіííîї, ïðè ÿêîìó äàíèé äðіá äîðіâ- íþє íóëþ. 2) ×èñåëüíèê äðîáó äîðіâíþє íóëþ, ÿêùî a  2 àáî a  -1. Ïðè êîæíîìó іç öèõ çíà÷åíü çíàìåííèê äðîáó íóëþ íå äîðіâíþє. Òîìó a  2 і a  -1 є òèìè çíà÷åííÿìè çìіííîї, ïðè ÿêèõ äàíèé äðіá äîðіâíþє íóëþ. 3) ×èñåëüíèê äðîáó äî- ðіâíþє íóëþ, ÿêùî b  0 àáî b  7. ßêùî b  0, çíàìåííèê äðîáó íóëþ íå äîðіâíþє, à ÿêùî b  7, çíàìåííèê äðîáó ïå- ðåòâîðþєòüñÿ íà íóëü, òîáòî äðіá íå іñíóє. Îòæå, äàíèé äðіá äîðіâíþє íóëþ ëèøå ïðè b  0. Â і ä ï î â і ä ü. 1) x  3; 2) a  2, a  -1; 3) b  0. Давньогрецький математик Діофант (бл. ІІІ ст. н. е.) розглянув раціональні дроби та дії з ними у своїй праці "Арифметика". Зо- крема на сторінках цієї книжки можна зустріти доведення тотожностей та , які записано тодішньою символікою. Видатний англійський учений Ісаак Ньютон (1643-1727) у своїй мо- нографії "Універсальна арифметика" (1707 р.) означує дріб наступ- ним чином: "Запис однієї з двох величин під іншою, нижче якої між ними проведено риску, означає частку або ж величину, що виникає при діленні верхньої величини на нижню". У цій роботі Ньютон роз- глядає не тільки звичайні дроби, а й раціональні. 1. ßêі âèðàçè íàçèâàþòü öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðà- çàìè, à ÿêі - äðîáîâèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè? Íà- âåäіòü ïðèêëàäè òàêèõ âèðàçіâ. 2. ßêі âèðàçè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè? 3. ßêі äðîáè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè äðîáàìè? 4. Ùî íàçèâàþòü äîïóñòèìèìè çíà÷åííÿìè çìіííîї? 5. Êîëè äðіá äîðіâíþє íóëþ?

8. 8. РОЗДІЛ 1 8 Початковий рівень 1. (Óñíî.) ßêі ç âèðàçіâ є öіëèìè, à ÿêі - äðîáîâèìè: 1) ; 2) ; 3) m2 + 2m - 8; 4) ; 5) ; 6) ; 7) (p(( - 2)2 + 7p7 ; 8) ? 2. Ç ðàöіîíàëüíèõ âèðàçіâ a3 - ab; ; ; ; ; âèïèøіòü òі, ùî є: 1) öіëèìè; 2) äðîáîâèìè. 3. ßêі ç äðîáіâ є ðàöіîíàëüíèìè äðîáàìè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? Середній рівень 4. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî a  1; -2; -3; 2) , ÿêùî x  4; -1. 5. Äіçíàéòåñÿ ïðіçâèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî àâіàêîíñòðóê- òîðà. Äëÿ öüîãî çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó ç ïåðøîї òàáëèöі òà ïåðåíåñіòü ëіòåðè, ùî âіäïîâіäàþòü öèì çíà÷åííÿì, ó äðóãó òàáëèöþ. Êîðèñòóþ÷èñü áóäü-ÿêèìè іíôîðìàöіéíèìè äæåðå- ëàìè, îçíàéîìòåñÿ ç áіîãðàôієþ öüîãî àâіàêîíñòðóêòîðà. x -3 -1 0 2 3 Ëіòåðè Ò Â À Î Í 1 -2 -0,5 -3 -2 -3 0

9. 9. Раціональні вирази 9 6. Ñêëàäіòü äðіá: 1) ÷èñåëüíèêîì ÿêîãî є ðіçíèöÿ çìіííèõ a і b, à çíàìåííè- êîì - їõ ñóìà; 2) ÷èñåëüíèêîì ÿêîãî є äîáóòîê çìіííèõ x і y, à çíàìåííè- êîì - ñóìà їõ êâàäðàòіâ. 7. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) m2 - 5; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 8. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) p + 9; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 9. Çà t ãîä àâòîìîáіëü ïîäîëàâ 240 êì. Ñêëàäіòü âèðàç äëÿ îá- ÷èñëåííÿ øâèäêîñòі àâòîìîáіëÿ (ó êì/ãîä). Çíàéäіòü çíà÷åííÿ îäåðæàíîãî âèðàçó, ÿêùî t  3; 4. 10. Ó÷åíü âèòðàòèâ 48 ãðí äëÿ ïðèäáàííÿ ï ðó÷îê. Ñêëàäіòü âèðàç äëÿ îá÷èñëåííÿ öіíè ðó÷êè (ó ãðí) òà îá÷èñëіòü éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî ï  8; 10. Достатній рівень 11. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâ- íþє: 1) -2; 2) 9; 3) 0,01; 4) -4,9? 12. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâ- íþє: 1) -8; 2) 0,25? 13. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі x äîðіâíþє íóëþ äðіá: 1) ; 2) ; 3) ?

10. 10. РОЗДІЛ 1 10 14. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі y äîðіâíþє íóëþ äðіá: 1) ; 2) ; 3) ? 15. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 3) ; 4) . 16. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 17. Ñêëàäіòü âèðàç çі çìіííîþ x, ùî ìàâ áè çìіñò ïðè áóäü- ÿêèõ çíà÷åííÿõ x, êðіì: 1) x  2; 2) x  1 і x  -4. Високий рівень 18. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 3) ; 4) . 19. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 3) ; 4) . 20. Âèçíà÷òå çíàê äðîáó: 1) , ÿêùî x > 0, y < 0; 2) , ÿêùî m > 0, n < 0; 3) , ÿêùî p < 0, n > 0; 4) , ÿêùî a < 0, c < 0. 21. Äîâåäіòü, ùî ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó: 1) є äîäàòíèì; 2) є âіä'єìíèì; 3) є íåâіä'єìíèì; 4) є íåäîäàòíèì.

11. 11. Раціональні вирази 11 Вправи для повторення 22. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà ìíîãî÷ëåí: 1) (a2 + 2a - 7) - (a2 - 4a - 9); 2) 3x2y(2x - 3y + 7); 3) (x2 - 2x)(x + 9); 4) (x2 - 5)2 + 10x2. 23. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 4x(2x - 7) + 3x(5 - 2x)  2x2 + 39. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 4. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 25. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 24; 2) äî çíàìåííèêà 28; 3) äî çíàìåííèêà 30; 4) äî çíàìåííèêà 63. 26. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ âèðàç: 1) m3m4; 2) pp7; 3) x9 : x3; 4) (a3)7; 5) b2  (b3)4; 6) (c4)5 : c12. 27. Íà ÿêèé âèðàç òðåáà ïîìíîæèòè îäíî÷ëåí , ùîá îòðè- ìàòè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 28. Ðîçêëàäіòü íà ìíîæíèêè ìíîãî÷ëåí: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) . Цікаві задачі для учнів неледачих 29. (Êèїâñüêà ìіñüêà îëіìïіàäà, 1985 ð.) Çíàéäіòü óñі òàêі òðè- öèôðîâі ÷èñëà, ÿêі ó 12 ðàçіâ áіëüøі çà ñóìó ñâîїõ öèôð.

12. 12. РОЗДІЛ 1 12 Ïðèãàäàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü çâè÷àéíîãî äðîáó: ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäíå é òå ñàìå íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî îäåðæèìî äðіá, ùî äî- ðіâíþє äàíîìó. Іíàêøå êàæó÷è, äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë a, b і c ñïðàâäæóþòüñÿ ðіâíîñòі: і . Äîâåäåìî, ùî öі ðіâíîñòі є ïðàâèëüíèìè íå òіëüêè äëÿ íà- òóðàëüíèõ çíà÷åíü a, b і c, à é äëÿ áóäü-ÿêèõ іíøèõ çíà÷åíü çà óìîâè b  0 і c  0. Äîâåäåìî ñïî÷àòêó, ùî . Íåõàé . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  bp. Ïîìíîæèìî îáèäâі ÷àñòèíè öієї ðіâíîñòі íà c, ìàòèìåìî: ac  (bp)c. Âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâíó і ñïîëó÷íó âëàñòèâîñ- òі ìíîæåííÿ, îäåðæèìî: ac  (bc)p)) . Îñêіëüêè b  0 і c  0, òî і bñ  0. Ç îñòàííüîї ðіâíîñòі (çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè) ìàєìî: . Îñêіëüêè і , òî . Öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ, îòæå, ìîæåìî ïîìіíÿòè â íіé ëіâó і ïðàâó ÷àñòèíè ìіñöÿìè: . Öÿ òîòîæíіñòü äàє çìîãó çàìіíèòè äðіá íà äðіá , òîá- òî ñêîðîòèòè äðіá íà ñïіëüíèé ìíîæíèê c ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà. Âëàñòèâіñòü äðîáó, ùî çàïèñóєòüñÿ ðіâíîñòÿìè і , íàçèâàþòü îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ðàöіîíàëüíîãî äðîáó. Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè çàñòîñóâàííÿ öієї âëàñòèâîñòі äëÿ äðîáіâ íà їõ îáëàñòі äîïóñòèìèõ çíà÷åíü. ÎÑÍÎÂÍÀ ÂËÀÑÒÈÂІÑÒÜ ÐÀÖІÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÄÐÎÁÓ2. ßêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäèí і òîé ñàìèé âіäìіííèé âіä íóëÿ âè- ðàç, òî îäåðæèìî äðіá, ùî äîðіâíþє äàíîìó.

13. 13. Раціональні вирази 13 Ïðèêëàä 1. Ñêîðîòіòü äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïîäàìî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê öüîãî äðîáó ó âèãëÿäі äîáóòêіâ, ùî ìіñòÿòü îäíàêîâèé (ñïіëüíèé) ìíîæíèê 8a, і ñêîðîòèìî äðіá íà öåé âèðàç: . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 2. Ñêîðîòіòü äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ðîçêëàäåìî íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó: . Ñêîðîòèìî äðіá íà x + 3y - ñïіëüíèé ìíîæíèê ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà: . Â і ä ï î â і ä ü. . Îòæå, ùîá ñêîðîòèòè äðіá, òðåáà: Òîòîæíіñòü äàє çìîãó çâîäèòè äðîáè äî çàäàíîãî іíøîãî (íîâîãî) çíàìåííèêà. Ïðèêëàä 3. Çâåäіòü äðіá äî çíàìåííèêà 12p2 4. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè 12p2 4  4p4 ∙ 3p3 3, òî, ïîìíîæèâøè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó íà 3p3 3, îäåðæèìî äðіá çі çíàìåííèêîì 12p2 4: . Ìíîæíèê 3p3 3 íàçèâàþòü äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì ÷èñåëü- íèêà і çíàìåííèêà äðîáó . 1) ðîçêëàñòè íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðî- áó, ÿêùî öå íåîáõіäíî; 2) âèêîíàòè äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà íà їõ ñïіëüíèé ìíîæíèê òà çàïèñàòè â і ä ï î â і ä ü.

14. 14. РОЗДІЛ 1 14 Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 4. Çâåäіòü äðіá äî çíàìåííèêà b - a. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè b - a  -1 ∙ (a - b), òî, ïîìíîæèâ- øè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó íà -1, îäåðæèìî äðіá çі çíàìåííèêîì b - a: . Äðіá ìîæíà çàìіíèòè òîòîæíî ðіâíèì éîìó âèðàçîì , îñêіëüêè çìіíà çíàêà ïåðåä äðîáîì ïðèçâîäèòü äî çìі- íè çíàêà ÷èñåëüíèêà àáî çíàìåííèêà. Òîìó . Â і ä ï î â і ä ü. . Àíàëîãі÷íî, íàïðèêëàä, . Îòæå, Öå ïðàâèëî ìîæíà çàïèñàòè çà äîïîìîãîþ òîòîæíîñòі: . Ïðèêëàä 5. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії і ïîáóäóéòå її ãðàôіê. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíêöії є óñі ÷èñ- ëà, êðіì òèõ, ùî ïåðåòâîðþþòü çíàìåííèê 2x - 4 íà íóëü. Îñêіëüêè 2x - 4  0 ïðè x  2, òî îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíê- öії є óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñëà 2. Ñïðîñòèìî âèðàç , ñêî- ðîòèâøè äàíèé äðіá: . Îòæå, ôóíêöіÿ ìàє âèãëÿä çà óìîâè x  2, à її ãðàôіêîì є ÿêùî çìіíèòè çíàê ó ÷èñåëüíèêó (àáî çíàìåííèêó) äðîáó îäíî÷àñíî іç çíàêîì ïåðåä äðîáîì, òî îäåðæè- ìî äðіá, òîòîæíî ðіâíèé äàíîìó.

15. 15. Раціональні вирази 15 ïðÿìà áåç òî÷êè ç àáñöèñîþ 2, òîáòî áåç òî÷êè (2; 1). Òàêó òî÷êó íàçè- âàþòü "âèêîëîòîþ" і îáîâ'ÿçêîâî âèëó- ÷àþòü її ç ãðàôіêà, çîáðàæóþ÷è "ïî- ðîæíüîþ". Ãðàôіê ôóíêöії ïîäàíî íà ìàëþíêó 1. Початковий рівень 30. (Óñíî.) Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 31. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Середній рівень 32. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 33. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Ìàë. 1 1. ßêèìè ðіâíîñòÿìè çàïèñóþòü îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó? Ñôîðìóëþéòå öþ âëàñòèâіñòü. 2. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 3. Ïîÿñíіòü, ÿê ñêîðîòèòè ðàöіîíàëüíèé äðіá.

16. 16. РОЗДІЛ 1 16 34. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі äðîáó і ñêîðîòіòü öåé äðіá: 1) 12x2y : (4xy3); 2) 3a2bc : (-18ab2c2); 3) -10ap3 : (-15a2); 4) -14x9 : (2x7y). 35. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 20m; 2) äî çíàìåííèêà a5. 36. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 15p5 ; 2) äî çíàìåííèêà y7. 37. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 4) . 38. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 4) . 39. Ðîçêëàäіòü íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó òà ñêîðîòіòü éîãî: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 40. Ñêîðîòіòü äðіá, ïîïåðåäíüî ðîçêëàâøè éîãî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà ìíîæíèêè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 41. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

17. 17. Раціональні вирази 17 42. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) Достатній рівень 43. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) ; 6) . 44. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 45. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà a2 - ab; 2) äî çíàìåííèêà m2 + 2mn + n2; 3) äî çíàìåííèêà x2 - y2; 4) äî çíàìåííèêà k3 - 1; 5) äî çíàìåííèêà b - a; 6) äî çíàìåííèêà 4 - p2. 46. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà m2 + mn; 2) äî çíàìåííèêà x2 - 2xy + y2;

18. 18. РОЗДІЛ 1 18 3) äî çíàìåííèêà a2 - b2; 4) äî çíàìåííèêà 7 - c. 47. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó , ÿêùî c  5, x  2016. 48. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó , . 49. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 50. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Високий рівень 51. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 3) 52. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) 53. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії òà ïîáóäóéòå її ãðà- ôіê: 1) ; 2) . 54. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії òà ïîáóäóéòå її ãðà- ôіê: 1) ; 2) .

19. 19. Раціональні вирази 19 Вправи для повторення 55. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 56. Ðîçâ'ÿæіòü ñèñòåìó ðіâíÿíü: 1) 2) 57. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) (2x + 3y)2 - (x + 7y)(4x - y); 2) (m + 3)(m2 - 5) - m(m - 4)2. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 8. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Цікаві задачі для учнів неледачих 59. (Íàöіîíàëüíà îëіìïіàäà Âåëèêîї Áðèòàíії, 1968 ð.) Íåõàé a1, a2, ..., a7 - öіëі ÷èñëà, à b1, b2, ..., b7 - òі ñàìі ÷èñëà, ÿêі âçÿòî â іíøîìó ïîðÿäêó. Äîâåäіòü, ùî ÷èñëî є ïàðíèì. Ïðèãàäàєìî, ÿê äîäàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêà- ìè. Òðåáà äîäàòè їõ ÷èñåëüíèêè, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé. Íàïðèêëàä: . ÄÎÄÀÂÀÍÍß І ÂІÄÍІÌÀÍÍß ÄÐÎÁІÂ Ç ÎÄÍÀÊÎÂÈÌÈ ÇÍÀÌÅÍÍÈÊÀÌÈ3.

20. 20. РОЗДІЛ 1 20 Çàïèøåìî öå ïðàâèëî ó âèãëÿäі ôîðìóëè: . Öÿ ðіâíіñòü ñïðàâäæóєòüñÿ äëÿ áóäü-ÿêèõ äðîáіâ. Äîâåäåìî її (çà óìîâè c  0). Íåõàé і . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  cp і b  cq. Ìàєìî: a + b  cp + cq  c(p(( + q). Îñêіëüêè c  0, òî çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè , îòæå, . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî äîäàâàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíà- ìåííèêàìè: Ïðèêëàä 1. . Àíàëîãі÷íî ìîæíà äîâåñòè òîòîæíіñòü , ÿêîþ çàïèñóþòü ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè. Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè: Ïðèêëàä 2. . Ðîçãëÿíåìî ùå êіëüêà ïðèêëàäіâ. Ïðèêëàä 3. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ і . ùîá äîäàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè, òðå- áà äîäàòè їõ ÷èñåëüíèêè, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé. ùîá âіäíÿòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè, òðåáà âіä ÷èñåëüíèêà çìåíøóâàíîãî âіäíÿòè ÷èñåëü- íèê âіä'єìíèêà, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé.

21. 21. Раціональні вирази 21 Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. ; Â і ä ï î â і ä ü. ; . Ïðèêëàä 4. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 5. Çíàéäіòü ñóìó Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè 2x - y  -(y - 2x), òî äðóãèé äîäàíîê ìîæíà ïîäàòè ç òèì ñàìèì çíàìåííèêîì, ùî é ó ïåðøîãî äîäàíêà: . Òîäі Â і ä ï î â і ä ü. -5. ßêùî ó òîòîæíîñòÿõ і ïîìі- íÿòè ìіñöÿìè ëіâі і ïðàâі ÷àñòèíè, òî îäåðæèìî òîòîæíîñòі: і . Çà äîïîìîãîþ öèõ òîòîæíîñòåé äðіá, ÷èñåëüíèê ÿêîãî є ñó- ìîþ àáî ðіçíèöåþ êіëüêîõ âèðàçіâ, ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі êіëüêîõ äðîáіâ. Ïðèêëàä 6.

22. 22. РОЗДІЛ 1 22 Ïðèêëàä 7. Çàïèøіòü äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëî- ãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) Â і ä ï î â і ä ü. 1) ; 2) . Початковий рівень 60. (Óñíî.) Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 61. Çíàéäіòü ñóìó àáî ðіçíèöþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 62. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 63. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 1. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî äîäàâàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâè- ìè çíàìåííèêàìè. Äîâåäіòü éîãî. 2. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâè- ìè çíàìåííèêàìè.

23. 23. Раціональні вирази 23 5) 64. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 65. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 66. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 3) ; 4) . 67. Îá÷èñëіòü . 68. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . 69. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 5) ; 6) . 70. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2)

24. 24. РОЗДІЛ 1 24 3) ; 4) . 71. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 72. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) Достатній рівень 73. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 74. Çíàéäіòü ðіçíèöþ: 1) ; 2) . 75. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 76. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî m  25; 2) , ÿêùî x  2016, . 77. Îá÷èñëіòü: 1) , ÿêùî x  -12;

25. 25. Раціональні вирази 25 2) , ÿêùî c  199, k  0,2. 78. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 79. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Високий рівень 80. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) . 81. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) . Вправи для повторення 82. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ìíîãî÷ëåíà: 1) ; 2) . 83. Ñêîðîòіòü äðіá .

26. 26. РОЗДІЛ 1 26 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 84. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) . 85. Ïîäàéòå îäíî÷ëåí ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ îäíî÷ëå- íіâ, îäèí ç ÿêèõ äîðіâíþє: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Цікаві задачі для учнів неледачих 86. Êàòåð çà òå÷ієþ ðі÷êè äîëàє âіäñòàíü âіä ïóíêòó A äî ïóíêòó B çà 2 ãîä, à ïðîòè òå÷ії - çà 3 ãîä. Çà ÿêèé ÷àñ âіä ïóíêòó A äî ïóíêòó B ïðîïëèâå ïëіò? ßêùî äðîáè ìàþòü ðіçíі çíàìåííèêè, òî їõ, ÿê і çâè÷àéíі äðîáè, ñïî÷àòêó çâîäÿòü äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà, à ïîòіì äî- äàþòü àáî âіäíіìàþòü çà ïðàâèëîì äîäàâàííÿ àáî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè. Ðîçãëÿíåìî ÿê äîäàòè äðîáè і . Çâåäåìî öі äðîáè äî їõ ñïіëüíîãî çíàìåííèêà bd. Äëÿ öüîãî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèìî íà d: , à ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèìî íà b: . Äðîáè і çâåëè äî ñïіëü- íîãî çíàìåííèêà bd. Íàãàäàєìî, ùî d íàçèâàþòü äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó , à b - äîäàòêî- âèì ìíîæíèêîì ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó . Çàçíà÷åíó ïîñëіäîâíіñòü äіé äëÿ äîäàâàííÿ äðîáіâ ç ðіçíè- ìè çíàìåííèêàìè ìîæíà çàïèñàòè òàê: , àáî ñêîðî÷åíî: ÄÎÄÀÂÀÍÍß І ÂІÄÍІÌÀÍÍß ÄÐÎÁІÂ Ç ÐІÇÍÈÌÈ ÇÍÀÌÅÍÍÈÊÀÌÈ4.

27. 27. Раціональні вирази 27 . Àíàëîãі÷íî âèêîíóþòü і âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíà- ìåííèêàìè: . Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) . Ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äâîõ àáî áіëüøå äðîáіâ ìîæå áóòè íå ëèøå äîáóòîê їõ çíàìåííèêіâ. Óçàãàëі ó äðîáіâ є áåçëі÷ ñïіëüíèõ çíàìåííèêіâ. ×àñòî ïðè äîäàâàííі é âіäíіìàííі äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè âäàєòüñÿ çíàéòè ïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê, íіæ äîáóòîê çíàìåííèêіâ öèõ äðîáіâ. Ó òàêîìó âèïàäêó êàæóòü ïðî íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíà- ìåííèê (àíàëîãі÷íî äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äëÿ ÷èñëîâèõ äðîáіâ). Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä, äå çíàìåííèêè äðîáіâ - îäíî÷ëåíè. Ïðèêëàä 2. Âèêîíàéòå äîäàâàííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äàíèõ äðîáіâ ìîæíà ââàæàòè îäíî÷ëåí 48x3y2, ùî є äîáóòêîì çíàìåííèêіâ äðîáіâ, àëå â äàíîìó âèïàäêó âіí íå áóäå íàéïðîñòіøèì ñïіëü- íèì çíàìåííèêîì. Ñïðîáóєìî çíàéòè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê. Íèì äëÿ äðîáіâ, çíàìåííèêè ÿêèõ є îäíî÷ëåíà- ìè, áóäå òàêîæ îäíî÷ëåí. Êîåôіöієíò öüîãî îäíî÷ëåíà ïîâè- íåí äіëèòèñÿ і íà 6, і íà 8. Íàéìåíøèì òàêèì ÷èñëîì є 24. Äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà êîæíà çі çìіííèõ ìàє âõîäèòè ç íàéáіëüøèì іç ïîêàçíèêіâ ñòåïåíÿ, ç ÿêèìè âîíà âõîäèòü äî çíàìåííèêіâ äðîáіâ. Òàêèì ÷èíîì, íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì áóäå îäíî÷ëåí 24x2y3. Òîäі äîäàòêîâèì ìíîæíè- êîì äëÿ ïåðøîãî äðîáó ñòàíå âèðàç 4y2, áî 24x2y3  6x2y ∙ 4y2, à äëÿ äðóãîãî - âèðàç 3x, áî 24x2y3  8xy3 ∙ 3x. Îòæå, ìàєìî: . Â і ä ï î â і ä ü.

28. 28. РОЗДІЛ 1 28 Çâåðíіòü óâàãó, ùî ó ïðèêëàäі 2 ïіä ÷àñ çâåäåííÿ äðîáіâ äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äîäàòêîâі ìíîæíèêè 4y2 òà 3x íå ìіñ- òèëè æîäíîãî ñïіëüíîãî ìíîæíèêà, âіäìіííîãî âіä îäèíèöі. Öå îçíà÷àє, ùî ìè çíàéøëè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåí- íèê äðîáіâ. Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä, ó ÿêîìó çíàìåííèêàìè äðîáіâ є ìíî- ãî÷ëåíè. Ïðèêëàä 3. Âèêîíàéòå âіäíіìàííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ùîá çíàéòè ñïіëüíèé çíàìåííèê, ðîçêëà- äåìî çíàìåííèêè íà ìíîæíèêè: xy - x2  x(y - x) і y2 - xy  y(y - x). Íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äðîáіâ áóäå âèðàç xy(y - x). Òîäі äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì äëÿ ïåðøîãî äðîáó áóäå y, à äëÿ äðóãîãî - x. Âèêîíàєìî âіäíіìàííÿ: . Â і ä ï î â і ä ü. . Îòæå, ùîá âèêîíàòè äîäàâàííÿ àáî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè, òðåáà: Àíàëîãі÷íî âèêîíóþòü äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ öіëîãî âè- ðàçó і äðîáó. Ïðèêëàä 4. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çàïèøåìî âèðàç a + 1 ó âèãëÿäі äðîáó іç çíàìåííèêîì 1 òà âèêîíàєìî âіäíіìàííÿ: 1) ðîçêëàñòè íà ìíîæíèêè çíàìåííèêè äðîáіâ, ÿêùî öå íåîáõіäíî; 2) çíàéòè ñïіëüíèé çíàìåííèê, áàæàíî íàéïðîñòіøèé; 3) çàïèñàòè äîäàòêîâі ìíîæíèêè; 4) çíàéòè äðіá, ùî є ñóìîþ àáî ðіçíèöåþ äàíèõ äðîáіâ; 5) ñïðîñòèòè öåé äðіá òà îòðèìàòè â і ä ï î â і ä ü.

29. 29. Раціональні вирази 29 . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 87. (Óñíî.) Çíàéäіòü ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ: 1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і . 88. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 89. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 90. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 91. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 92. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 1. ßêèé çíàìåííèê є ñïіëüíèì äëÿ äðîáіâ і ? 2. ßê âèêîíàòè äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíè- ìè çíàìåííèêàìè?

30. 30. РОЗДІЛ 1 30 93. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 94. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 95. Ñïðîñòіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 96. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 97. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 98. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 99. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 100. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

31. 31. Раціональні вирази 31 101. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 102. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 103. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 104. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ: 1) і ; 2) і . 105. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ: 1) і ; 2) і . 106. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 107. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 108. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 3) ; 4)

32. 32. РОЗДІЛ 1 32 5) ; 6) . 109. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 3) ; 4) 5) ; 6) . 110. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 3) . 111. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ; 3) . Достатній рівень 112. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 113. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 114. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü .

33. 33. Раціональні вирази 33 115. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 116. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) . 117. Äîâåäіòü, ùî äëÿ âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї m çíà- ÷åííÿ âèðàçó m. 118. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 119. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 120. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 121. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 122. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) 2) . 123. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ;

34. 34. РОЗДІЛ 1 34 2) . 124. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі a âèðàç òîòîæíî äîðіâíþє äðîáó ? Високий рівень 125. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї є äîäàòíèì. 126. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 127. Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії . 128. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  -3, b  19. 129. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî x  -10, y  49. 130. ×è іñíóє òàêå çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêîìó çíà÷åííÿ âèðàçó äîðіâíþє íóëþ? Вправи для повторення . Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ñîëі ìіñòèòüñÿ ó 60 êã її 5-âіäñîò- êîâîãî ðîç÷èíó?

35. 35. Раціональні вирази 35 . Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèїõàëè äâà âåëîñèïåäèñòè. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè ñòàíîâèòü s êì, øâèäêîñòі âåëîñèïåäèñòіâ v1 êì/ãîä і v2 êì/ãîä. ×åðåç t ãîä âîíè çóñòðіëèñÿ. Ñêëàäіòü ôîðìóëó äëÿ îá÷èñëåííÿ t. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ t, ÿêùî s  150 êì, v1  12 êì/ãîä, v2  13 êì/ãîä. 133. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 34. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 135. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Цікаві задачі для учнів неледачих 136. Äëÿ øêіëüíîї àêòîâîї çàëè ïðèäáàëè ëþñòðó íà 31 ëàì- ïî÷êó. Äèðåêòîð øêîëè õî÷å ìàòè ìîæëèâіñòü âìèêàòè áóäü- ÿêó їõ êіëüêіñòü, âіä 1 äî 31. ßêà íàéìåíøà êіëüêіñòü çâè÷àé- íèõ âèìèêà÷іâ äëÿ öüîãî çíàäîáèòüñÿ? Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 1 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäі (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âà- ðіàíò âіäïîâіäі. 1. ßêèé ç âèðàçіâ íå є öіëèì ðàöіîíàëüíèì âèðàçîì? À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 2. Ñêîðîòіòü äðіá . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

36. 36. РОЗДІЛ 1 36 3. Âèêîíàéòå äіþ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . . Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі . À. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî; Á. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3; Â. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -2; Ã. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -2 і 3. 5. Ñêîðîòіòü äðіá . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 6. Âèêîíàéòå äіþ . À. ; Á. 4; Â. -4; Ã. . . Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x äðіá äîðіâíþє íóëþ? À. -3 і 1; Á. -3; Â. 1; Ã. òàêèõ çíà÷åíü x íåìàє. 8. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 9. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè öіëîãî âèðàçó і äðîáó. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . . Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x âèðàç ìàє çìіñò? À. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî; Á. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3; Â. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -5; Ã. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3 і -5.

37. 37. Раціональні вирази 37 11. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x äðіá äîðіâíþє íóëþ? À. 3; Á. 3 і -3; Â. -3; Ã. 3; -5. 12. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî , . À. 1300; Á. -1300; Â. 130; Ã. -130. ÇÀÂÄÀÍÍß ÄËß ÏÅÐÅÂІÐÊÈ ÇÍÀÍÜ ÄÎ § 1-4 1. ßêі ç âèðàçіâ є öіëèìè, à ÿêі - äðîáîâèìè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) p2 - p - 19? 2. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) . 3. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 4. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) . 5. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 6. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 7. Ñïðîñòіòü âèðàç . 8. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) . 9. Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії .

38. 38. РОЗДІЛ 1 38 Äîäàòêîâі çàâäàííÿ . Çíàéäіòü: 1) îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó ; 2) çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêèõ äðіá äîðіâíþє íóëþ. 11. Ñïðîñòіòü âèðàç . Íàãàäàєìî, ùî äîáóòêîì äâîõ çâè÷àéíèõ äðîáіâ є äðіá, ÷è- ñåëüíèê ÿêîãî äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñåëüíèêіâ, à çíàìåííèê - äîáóòêó çíàìåííèêіâ äàíèõ äðîáіâ: . Äîâåäåìî, ùî öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ äëÿ áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åíü a, b, c і d çà óìîâè, ùî b  0 і d  0. Íåõàé , . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  bp, c  dq. Òîìó ac  (bp)(dq)  (bd)(pq(( ). Îñêіëüêè bd  0, òî, çíî- âó âðàõóâàâøè îçíà÷åííÿ ÷àñòêè, îäåðæèìî: . Îòæå, ÿêùî b  0 і d  0, òî . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ. Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . ÌÍÎÆÅÍÍß ÄÐÎÁІÂ. ÏІÄÍÅÑÅÍÍß ÄÐÎÁÓ ÄÎ ÑÒÅÏÅÍß5. Ùîá ïîìíîæèòè äðіá íà äðіá, òðåáà ïåðåìíîæèòè îêðåìî ÷èñåëüíèêè і îêðåìî çíàìåííèêè òà çàïèñà- òè ïåðøèé äîáóòîê ÷èñåëüíèêîì, à äðóãèé - çíàìåí- íèêîì äðîáó.

39. 39. Раціональні вирази 39 Ïðèêëàä 2. Çíàéäіòü äîáóòîê . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Âèêîðèñòàєìî ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ òà ðîçêëàäåìî íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê ïåðøîãî äðîáó і çíà- ìåííèê äðóãîãî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Çâåðíіòü óâàãó, ùî ó ïðèêëàäàõ 1 і 2 ïіä ÷àñ ìíîæåííÿ äðîáіâ ìè íå çíàõîäèëè îäðàçó ðåçóëüòàò ìíîæåííÿ ÷èñåëü- íèêіâ і çíàìåííèêіâ. Ñïî÷àòêó ìè çàïèñàëè äîáóòêè â ÷èñåëü- íèêó і çíàìåííèêó çà ïðàâèëîì ìíîæåííÿ äðîáіâ, ïîòіì ñêî- ðîòèëè îòðèìàíèé äðіá, áî âіí âèÿâèâñÿ ñêîðîòíèì, à âæå ïîòіì âèêîíàëè ìíîæåííÿ â ÷èñåëüíèêó і â çíàìåííèêó òà çàïèñàëè âіäïîâіäü. Äîöіëüíî öå âðàõîâóâàòè і íàäàëі. Ïðèêëàä 3. Ïîìíîæèòè äðіá íà ìíîãî÷ëåí x2 + 4x + 4. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Âðàõóâàâøè, ùî x2 + 4x + 4x  , ìàєìî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ ìîæíà ïîøèðèòè íà äîáóòîê òðüîõ і áіëüøå ìíîæíèêіâ. Ïðèêëàä 4. Ðîçãëÿíåìî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ n, äå n - íà- òóðàëüíå ÷èñëî. Çà îçíà÷åííÿì ñòåïåíÿ і ïðàâèëîì ìíîæåííÿ äðîáіâ ìàєìî:

40. 40. РОЗДІЛ 1 40 . Îòæå, Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ. Ïðèêëàä 5. . Ïðèêëàä 6. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 137. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 138. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ùîá ïіäíåñòè äðіá äî ñòåïåíÿ, òðåáà ïіäíåñòè äî öüîãî ñòåïåíÿ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê і ïåðøèé ðå- çóëüòàò çàïèñàòè â ÷èñåëüíèê, à äðóãèé - ó çíàìåí- íèê äðîáó. 1. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ. Äîâåäіòü éîãî. 2. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ. Äîâåäіòü éîãî.

41. 41. Раціональні вирази 41 139. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 140. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 141. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 4) ; 5) ; 6) . 142. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 4) ; 5) . 143. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 144. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 6) 145. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2)

42. 42. РОЗДІЛ 1 42 3) ; 4) . 146. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 147. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 148. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 5) ; 6) . 149. Ïіäíåñіòü äî ñòåïåíÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 150. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

43. 43. Раціональні вирази 43 Достатній рівень 151. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) . 152. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 153. Çíàéäіòü äîáóòîê: 1) ; 2) . 154. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 155. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 156. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá: 1) ; 2) . 157. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 158. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) .

44. 44. РОЗДІЛ 1 44 159. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî a  1,2, b  6; 2) , ÿêùî a  6. Високий рівень 160. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 161. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  100, b  101. Вправи для повторення . Ðîçâ'ÿæіòü ñèñòåìó ðіâíÿíü: 1) 2) . Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 164. Çíàéäіòü ÷èñëî, âçàєìíî îáåðíåíå іç ÷èñëîì: 1) 4; 2) -7; 3) ; 4) ; 5) 0,16; 6) 1,2. 165. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

45. 45. Раціональні вирази 45 Цікаві задачі для учнів неледачих 166. (XV Âñåóêðàїíñüêà îëіìïіàäà, 1975 ð.) Ïðè ÿêèõ íàòó- ðàëüíèõ çíà÷åííÿõ n ÷èñëî є êâàäðàòîì öіëîãî ÷èñëà? Íàãàäàєìî, ùîá çíàéòè ÷àñòêó äâîõ çâè÷àéíèõ äðîáіâ, òðå- áà äіëåíå ïîìíîæèòè íà äðіá, îáåðíåíèé äî äіëüíèêà: . Ôîðìóëîþ öå ìîæíà çàïèñàòè òàê: . Äîâåäåìî, ùî öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ äëÿ áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åíü a, b, c і d çà óìîâè, ùî b  0, c  0 і d  0. Îñêіëüêè , òî çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè ìàєìî: . Îòæå, ÿêùî b  0, c  0 і d  0, òî . Äðіá íàçèâàþòü îáåðíåíèì äî äðîáó . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî äіëåííÿ äðîáіâ. Ïðèêëàä 1. Ïîäіëіòü äðіá íà äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Â і ä ï î â і ä ü. . ÄІËÅÍÍß ÄÐÎÁІÂ6. Ùîá ïîäіëèòè îäèí äðіá íà äðóãèé, òðåáà ïåðøèé äðіá ïîìíîæèòè íà äðіá, îáåðíåíèé äî äðóãîãî.

46. 46. РОЗДІЛ 1 46 Ïðèêëàä 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 3. Ñïðîñòіòü âèðàç : (a2 + 4a + 4). Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè , òî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 167. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 168. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 169. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 3) Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî äіëåííÿ äðîáіâ. Äîâåäіòü éîãî.

47. 47. Раціональні вирази 47 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 170. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 6) . 171. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 172. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) 3) ; 4) . 173. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 3) 5) ; 6) . 174. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) 3) ; 4) .

48. 48. РОЗДІЛ 1 48 175. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 176. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Достатній рівень 177. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 178. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі íåñêîðîòíîãî äðîáó âèðàç: 1) ; 2) . 179. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 180. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî x  -3; 2) , ÿêùî m  10, n  3.

49. 49. Раціональні вирази 49 181. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî , y  0,02; 2) , ÿêùî x  4,2, y  1,6. Високий рівень 182. Ñïðîñòіòü âèðàç . 183. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 184. Ñïðîñòіòü . 185. Âèêîíàéòå äіþ . Вправи для повторення 186. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі äâîõ äðîáіâ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 187. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó: 1) , ÿêùî , ; 2) , ÿêùî x  100, y  20. 188. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü .

50. 50. РОЗДІЛ 1 50 Цікаві задачі для учнів неледачих 189. Óêðàїíñüêèé ãðîñìåéñòåð іç øàõіâ Âàñèëü Іâàí÷óê âçÿâ ó÷àñòü ó ÷åìïіîíàòі ñâіòó ç áëіöó. Ó ïåðøèé äåíü âіí ïåðåìіã ñóïåðíèêіâ ó 70 % ïàðòіé, à íà äðóãèé äåíü âèãðàâ ùå 15 ïàð- òіé ïîñïіëü. Âіäñîòîê âèãðàøíèõ ïàðòіé çà äâà äíі ñÿãíóâ äî 80 %. Ñêіëüêè ïàðòіé çà öі äâà äíі çіãðàâ Âàñèëü Іâàí÷óê? Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè ïåðåòâîðåíü ðàöіîíàëüíèõ âèðàçіâ. Ïðèêëàä 1. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïðîñòèìî ëіâó ÷àñòèíó ðіâíîñòі: . Çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü ìè çâåëè ëіâó ÷àñòè- íó ðіâíîñòі äî ïðàâîї. Îòæå, ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ. Ïðèêëàä 2. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïî÷àòêó âèêîíàєìî äіþ â êîæíіé ç äó- æîê, à ïîòіì - äіþ äіëåííÿ: 1) 2) ; ÒÎÒÎÆÍІ ÏÅÐÅÒÂÎÐÅÍÍß ÐÀÖІÎÍÀËÜÍÈÕ ÂÈÐÀÇІÂ7.

51. 51. Раціональні вирази 51 3) . Â і ä ï î â і ä ü: . Ðîçâ'ÿçàííÿ ìîæíà áóëî çàïèñàòè é "ëàíöþæêîì": Êîæíèé âèðàç, ùî ìіñòèòü ñóìó, ðіçíèöþ, äîáóòîê і ÷àñòêó ðà- öіîíàëüíèõ äðîáіâ, ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó. Ïðèêëàä 3. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííèõ çíà÷åííÿ âèðàçó є íåâіä'єìíèì. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ìîæíà ïîäàòè öåé âèðàç ó âèãëÿäі ÷àñò- êè і äàëі ïåðåòâîðèòè éîãî, ÿê çà- ïðîïîíîâàíî ó ïðèêëàäі 2. À ìîæíà, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó, ïî- ìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äàíîãî äðîáó íà їõ ñïіëüíèé çíàìåííèê, òîáòî íà y: , àëå x2 I 0 ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííі x.

52. 52. РОЗДІЛ 1 52 Середній рівень 190. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 191. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 192. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 193. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 194. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 195. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) .

53. 53. Раціональні вирази 53 Достатній рівень 196. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 197. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 198. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 199. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) . 200. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 201. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 202. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2)

54. 54. РОЗДІЛ 1 54 203. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 204. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 205. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà- ÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííîї íå çàëåæèòü: 1) ; 2) . 206. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà- ÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííîї íå çàëåæèòü. 207. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 208. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ; 2) .

55. 55. Раціональні вирази 55 209. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) ; 6) . 210. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 4) ; 5) ; 6) . Високий рівень 211. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííèõ çíà÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííèõ íå çàëåæèòü: . 212. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  197. 213. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . 214. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó .

56. 56. РОЗДІЛ 1 56 215. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) 2) . 216. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї. 217. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó є äîäàòíèì ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї. 218. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó àáî öіëîãî âèðàçó: 1) ; 2) . 219. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó àáî öіëîãî âèðàçó: 1) ; 2) . Вправи для повторення . Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) x7x3 : x2; 2) (x5:x2) : x; 3) (a2)3 ∙ a; 4) (x3)5 : x4. . Äîâåäіòü, ùî ÷èñëî 89 - 412 äіëèòüñÿ íà 7. . Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії: 1) 2)

57. 57. Раціональні вирази 57 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 223. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї âèðàç ìàє çìіñò: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ? 224. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâíþє íóëþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 225. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) . 226. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) Цікаві задачі для учнів неледачих 227. (Ç êíèãè "Óíіâåðñàëüíà àðèôìåòèêà" Íüþòîíà). Äåõòî çàáàæàâ ðîçäіëèòè ïåâíó ñóìó êîøòіâ ìіæ æåáðàêàìè ïîðіâ- íó. ßêáè â íüîãî áóëî íà 8 äèíàðіâ áіëüøå, òî âіí ìàâ áè äàòè êîæíîìó ïî 3 äèíàðè, àëå âіí ðîçäàâ ëèøå ïî 2 äèíàðè і ùå 3 ó íüîãî çàëèøèëîñÿ. Ñêіëüêè áóëî æåáðàêіâ? Íàãàäàєìî, ùî Òàê, íàïðèêëàä, ðіâíîñèëüíèìè є ðіâíÿííÿ і , îñêіëüêè êîðåíåì êîæíîãî ç íèõ є ÷èñëî 2. Ðіâíÿííÿ і íå є ðіâíîñèëüíèìè, îñêіëü- êè êîðåíåì ïåðøîãî ç íèõ є ÷èñëî 10, à êîðåíåì äðóãîãî - ÷èñëî 9. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÐІÂÍßÍÍß. ÐІÂÍÎÑÈËÜÍІ ÐІÂÍßÍÍß8. äâà ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðіâíîñèëüíèìè, ÿêùî âîíè ìàþòü îäíі é òі ñàìі êîðåíі. Ðіâíîñèëüíèìè ââàæàþòü і òі ðіâíÿííÿ, ÿêі êîðåíіâ íå ìàþòü.

58. 58. РОЗДІЛ 1 58 Ðàíіøå, ó 7 êëàñі, âè îçíàéîìèëèñÿ ç âëàñòèâîñòÿìè, ùî ïåðåòâîðþþòü ðіâíÿííÿ íà ðіâíîñèëüíі їì ðіâíÿííÿ. Ðîçãëÿíåìî ðіâíÿííÿ: Ëіâà і ïðàâà ÷àñòèíè êîæíîãî ç íèõ є ðàöіîíàëüíèìè âè- ðàçàìè. Ó ïåðøèõ äâîõ іç çàïèñàíèõ âèùå ðіâíÿíü ëіâà і ïðàâà ÷àñ- òèíè є öіëèìè âèðàçàìè. Òàêі ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè ðіâíÿííÿìè. ßêùî â ðіâíÿííі õî÷à á îäíà ÷àñòèíà є äðîáîâèì âèðàçîì, òî ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü äðîáî- âèì ðàöіîíàëüíèì ðіâíÿííÿì. Òðåòє іç çàïèñàíèõ âèùå ðіâ- íÿíü є äðîáîâèì ðàöіîíàëüíèì. ßê ðîçâ'ÿçóâàòè öіëі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, ìè ðîçãëÿíó- ëè â ïîïåðåäíіõ êëàñàõ. Ðîçãëÿíåìî òåïåð, ÿê ðîçâ'ÿçóâàòè äðîáîâі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, òîáòî ðіâíÿííÿ çі çìіííîþ â çíàìåííèêó. 1. Âèêîðèñòàííÿ óìîâè ðіâíîñòі äðîáó íóëþ. Íàãàäàєìî, ùî  0, êîëè Ïðèêëàä 1. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü òà âëàñòèâîñòåé ðіâíÿíü çâåäåìî ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó , äå P і Q - öіëі ðàöіîíàëüíі âèðàçè. Ìàєìî: . 1) ßêùî â áóäü-ÿêіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ ðîçêðèòè äóæêè àáî çâåñòè ïîäіáíі äîäàíêè, òî îäåðæèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó; 2) ÿêùî â ðіâíÿííі ïåðåíåñòè äîäàíîê ç îäíієї ÷àñòèíè ó äðóãó, çìіíèâøè éîãî çíàê íà ïðîòèëåæíèé, òî îäåð- æèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó; 3) ÿêùî îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ ïîìíîæèòè àáî ïîäі- ëèòè íà îäíå é òå ñàìå âіäìіííå âіä íóëÿ ÷èñëî, òî îäåðæèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó. Ðіâíÿííÿ, ëіâà і ïðàâà ÷àñòèíè ÿêèõ є ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè, íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè ðіâíÿííÿìè.

59. 59. Раціональні вирази 59 Îñòàòî÷íî ìàєìî ðіâíÿííÿ: Ùîá äðіá äîðіâíþâàâ íóëþ, òðåáà, ùîá ÷èñåëüíèê 6 - 2x äîðіâíþâàâ íóëþ, à çíàìåííèê x - 2 íå äîðіâíþâàâ íóëþ. Òîäі: 6 - 2x  0, çâіäêè x  3. Ïðè x  3 çíàìåííèê x - 2  3 - 2  1  0. Îòæå, x  3 - єäèíèé êîðіíü ðіâíÿííÿ. Ðîçâ'ÿçóâàííÿ îñòàííüîãî ðіâíîñèëüíîãî äàíîìó ðіâíÿííÿ, âðàõîâóþ÷è óìîâó ðіâíîñòі äðîáó íóëþ, çðó÷íî çàïèñóâàòè òàê: Â і ä ï î â і ä ü. 3. Îòæå, ðîçâ'ÿçóþ÷è äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ, ìîæíà: 2. Âèêîðèñòàííÿ îñíîâíîї âëàñòèâîñòі ïðîïîðöії. ßêùî , òî PN  MQ, äå Q  0, N  0. Ïðèêëàä 2. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çíàéäåìî îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü (ÎÄÇ) çìіííîї â ðіâíÿííі. Îñêіëüêè çíàìåííèêè äðîáіâ íå ìî- æóòü äîðіâíþâàòè íóëþ, òî x - 1  0 і x - 2  0. Ìàєìî: x  1 і x  2, òîáòî ÎÄÇ çìіííîї x ìіñòèòü óñі ÷èñëà, êðіì 1 і 2. Çâåäåìî ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó ïðîïîðöії, äîäàâøè âèðà- çè ó ïðàâіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ: . Îäåðæèìî: . Çà îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîïîðöії ìàєìî: (2x + 1)(x - 2)  (2x - 2)(x - 1). Ðîçâ'ÿæåìî öå ðіâíÿííÿ: 2x2 - 4x +x - 2  2x2 - 2x - 2x + 2, çâіäêè x  4. 1) çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü çâåñòè ðіâíÿí- íÿ äî âèãëÿäó ; 2) ïðèðіâíÿòè ÷èñåëüíèê P äî íóëÿ і ðîçâ'ÿçàòè îäåð- æàíå öіëå ðіâíÿííÿ; 3) âèêëþ÷èòè ç éîãî êîðåíіâ òі, ïðè ÿêèõ çíàìåííèê Q äîðіâíþє íóëþ.

60. 60. РОЗДІЛ 1 60 Îñêіëüêè ÷èñëî 4 íàëåæèòü ÎÄÇ çìіííîї ïî÷àòêîâîãî ðіâ- íÿííÿ, òî 4 є éîãî êîðåíåì. Çàïèñ ðîçâ'ÿçóâàííÿ, ùîá íå çàáóòè âðàõóâàòè ÎÄÇ, çðó÷- íî çàêіí÷èòè òàê: Îòæå, äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ äðîáîâîãî ðàöіîíàëüíîãî ðіâíÿí- íÿ ìîæíà: 3. Ìåòîä ìíîæåííÿ îáîõ ÷àñòèí ðіâíÿííÿ íà ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ. Ïðèêëàä 3. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çíàéäåìî ÎÄÇ çìіííîї òà íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê óñіõ äðîáіâ ðіâíÿííÿ, ðîçêëàâøè çíà- ìåííèêè íà ìíîæíèêè: . Îáëàñòþ äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї áóäóòü òі çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêèõ x  0, x - 1  0, x + 1  0. Îòæå, âñі çíà÷åííÿ x, êðіì ÷èñåë 0; 1 і -1. À íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì áóäå âèðàç x(x - 1)(x + 1). Ïîìíîæèìî îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ íà öåé âèðàç: . 1) çíàéòè îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü (ÎÄÇ) çìіííîї â ðіâíÿííі; 2) çâåñòè ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó ; 3) çàïèñàòè öіëå ðіâíÿííÿ P *P N  M *M Q і ðîçâ'ÿçàòè éîãî;Q 4) âèêëþ÷èòè ç îòðèìàíèõ êîðåíіâ òі, ùî íå íàëåæàòü ÎÄÇ і çàïèñàòè âіäïîâіäü.

61. 61. Раціональні вирази 61 Ìàòèìåìî: x(x - 2)  5(x + 1) + 5(x - 1), à ïіñëÿ ñïðîùåí- íÿ: x2 - 12x  0, òîáòî x(x - 12)  0, çâіäêè x  0 àáî x  12. Àëå ÷èñëî 0 íå íàëåæèòü ÎÄÇ çìіííîї ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿí- íÿ, òîìó íå є éîãî êîðåíåì. Îòæå, ÷èñëî 12 - єäèíèé êîðіíü ðіâíÿííÿ. Â і ä ï î â і ä ü. 12. Ðîçâ'ÿçóþ÷è äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ, ìîæíà: Ïðèêëàä 4. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðіâíîñèëü- íèìè, ÿêùî âîíè ìàþòü îäíі é òі ñàìі êîðåíі, àáî íå ìàþòü êîðåíіâ, çíàéäåìî êîðåíі äàíèõ ðіâíÿíü. Ïåðøå ðіâíÿííÿ ìàє єäèíèé êîðіíü x  2, à äðóãå - äâà êîðåíі x  0 і x  2 (ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ ñàìîñòіéíî). Òîìó ðіâíÿííÿ íå є ðіâíîñèëüíèìè. Â і ä ï î â і ä ü. Íі. Початковий рівень 228. (Óñíî.) Íàçâіòü öіëі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, äðîáîâі ðàöіî- íàëüíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 1) çíàéòè îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї â ðіâíÿííі; 2) çíàéòè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ, ùî âõîäÿòü ó ðіâíÿííÿ; 3) ïîìíîæèòè îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ íà öåé ñïіëü- íèé çíàìåííèê; 4) ðîçâ'ÿçàòè îäåðæàíå öіëå ðіâíÿííÿ; 5) âèêëþ÷èòè ç éîãî êîðåíіâ òі, ùî íå íàëåæàòü îáëàñ- òі äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї ðіâíÿííÿ. 1. ßêі ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè? 2. ßêå ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü öіëèì ðàöіîíàëüíèì, à ÿêå - äðîáîâèì ðàöіîíàëüíèì? 3. ßê ìîæíà ðîçâ'ÿçàòè äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ?

62. 62. РОЗДІЛ 1 62 229. ×è є ÷èñëî 1 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 230. ×è є ÷èñëî 2 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 231. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 232. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 233. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 234. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 235. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 236. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

63. 63. Раціональні вирази 63 237. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) і ; 2) 238. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) і ; 2) і ? 239. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 240. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 241. Çíàéäіòü äðіá, ùî äîðіâíþє , ó ÿêîãî çíàìåííèê íà 5 áіëüøèé çà ÷èñåëüíèê. 242. Çíàéäіòü äðіá, ùî äîðіâíþє , ó ÿêîãî ÷èñåëüíèê íà 12 ìåíøèé âіä çíàìåííèêà. 243. ßêå ÷èñëî òðåáà äîäàòè äî ÷èñåëüíèêà äðîáó , ùîá îòðèìàòè äðіá ? 244. ßêå ÷èñëî òðåáà âіäíÿòè âіä çíàìåííèêà äðîáó , ùîá îòðèìàòè äðіá ?

64. 64. РОЗДІЛ 1 64 Достатній рівень 245. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) 246. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 247. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? 248. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? 249. ×èñåëüíèê äðîáó íà 5 ìåíøèé âіä çíàìåííèêà. ßêùî äî ÷èñåëüíèêà äîäàòè 14, à âіä çíàìåííèêà âіäíÿòè 1, òî îäåðæè- ìî äðіá, îáåðíåíèé äàíîìó. Çíàéäіòü ïî÷àòêîâèé äðіá. 250. Çíàìåííèê äðîáó íà 3 áіëüøèé çà ÷èñåëüíèê. ßêùî äî ÷èñåëüíèêà äîäàòè 8, à âіä çíàìåííèêà âіäíÿòè 1, òî îäåðæè- ìî äðіá, îáåðíåíèé äàíîìó. Çíàéäіòü ïî÷àòêîâèé äðіá. 251. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 252. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) .

65. 65. Раціональні вирази 65 Високий рівень 253. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) 254. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) 255. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ a ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ'ÿçêіâ: 1) ; 2) ? 256. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ a ðіâíÿííÿ ìàє ëèøå îäèí êîðіíü? Вправи для повторення 257. Ñïðîñòіòü âèðàç òà çíàéäіòü éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî x  100. 258. Ñêîðîòіòü äðіá . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 259. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ ñòåïåíÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 260. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

66. 66. РОЗДІЛ 1 66 261. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) ç îñíîâîþ 2 ÷èñëà 2, 4, 8, 16, 32, 128, 512; 2) ç îñíîâîþ 3 ÷èñëà 81, 243; 3) ç îñíîâîþ 5 ÷èñëà 5, 25, 625; 4) ç îñíîâîþ 10 ÷èñëà 100, 10 000. Цікаві задачі для учнів неледачих 262. Âèäàòíі óêðàїíöі. Çàïèøіòü ïî ãîðèçîíòàëÿõ ïðіçâèùà âèäàòíèõ óêðàїíöіâ (çà ïîòðåáè âèêîðèñòîâóéòå äîäàòêîâó ëі- òåðàòóðó òà Іíòåðíåò) і îòðèìàєòå ó âèäіëåíîìó ñòîâï÷èêó ïðіçâèùå âèäàòíîãî ôðàíöóçüêîãî ìàòåìàòèêà, ïðî äîñëі- äæåííÿ ÿêîãî ìè ðîçêàæåìî â îäíîìó ç íàñòóïíèõ ðîçäіëіâ. 1 2 3 4 1. Óêðàїíñüêèé øàõіñò, ãðîñìåéñòåð, ÷åìïіîí ñâіòó іç øàõіâ 2002 ðîêó. 2. Іíæåíåð-àâіàêîíñòðóêòîð, ùî íàðîäèâñÿ â Óêðàїíі, êîí- ñòðóêòîð ïåðøîãî ãåëіêîïòåðà. 3. Óêðàїíñüêèé ôóòáîëіñò, âîëîäàð "Çîëîòîãî ì'ÿ÷à" 1986 ðîêó. 4. Óêðàїíñüêèé ïèñüìåííèê, ïîåò, äðàìàòóðã, ãðîìàäñüêèé äіÿ÷, àâòîð ïîåìè "Åíåїäà". Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 2 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäі (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âà- ðіàíò âіäïîâіäі. . Çíàéäіòü äîáóòîê . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

67. 67. Раціональні вирази 67 3. Óêàæіòü ðіâíÿííÿ, êîðåíåì ÿêîãî є ÷èñëî 2. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 4. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 5. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 6. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ . À. -2,5; Á. 2,5; Â. ; Ã. êîðåíіâ íåìàє. 7. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. 2; Á. ; Â. ; Ã. . 8. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî . À. 0; Á. 1; Â. 2,01; Ã. 2. 9. Óêàæіòü ðіâíÿííÿ, ùî є ðіâíîñèëüíèì ðіâíÿííþ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 10. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

68. 68. РОЗДІЛ 1 68 11. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . À. 3; Á. 7; Â. 23; Ã. 27. 12. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . À. ðîçâ'ÿçêіâ íåìàє; Á. 7; Â. 3; Ã. 3; 7. ÇÀÂÄÀÍÍß ÄËß ÏÅÐÅÂІÐÊÈ ÇÍÀÍÜ ÄÎ § 5-8 . Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) . 3. ×è є ÷èñëî 4 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ? . Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 5. Ïіäíåñіòü äðіá äî ñòåïåíÿ: 1) ; 2) . 6. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . . Ñïðîñòіòü âèðàç .

69. 69. Раціональні вирази 69 8. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 9. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . Äîäàòêîâі çàâäàííÿ 10. Ñïðîñòіòü âèðàç 11. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Íàãàäàєìî, ùî â 7 êëàñі ìè âèâ÷àëè ñòåïіíü ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì. Çà îçíà÷åííÿì: , äå n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, n > 1 і a1  a. Ó ìàòåìàòèöі, à òàêîæ ïіä ÷àñ ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷ ïðàê- òè÷íîãî çìіñòó, íàïðèêëàä ç ôіçèêè àáî õіìії, òðàïëÿþòüñÿ ñòåïåíі, ïîêàçíèê ÿêèõ äîðіâíþє íóëþ àáî є öіëèì âіä'єìíèì ÷èñëîì. Ñòåïіíü ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì ìîæíà çíàéòè â íà- óêîâіé òà äîâіäêîâіé ëіòåðàòóðі. Íàïðèêëàä, ìàñó àòîìà ãåëіþ çàïèñóþòü òàê: 6,64 ∙ 10-27 êã. ßê ðîçóìіòè çìіñò çàïèñó 10-27? Ðîçãëÿíåìî ñòåïåíі ÷èñëà 3 ç ïîêàçíèêàìè 1, 2, 3, 4, ...: 31, 32, 33, 34, ... - öå âіäïîâіäíî 3, 9, 27, 81, ... Ó öüîìó ðÿäêó êîæíå íàñòóïíå ÷èñëî âòðè÷і áіëüøå çà ïîïåðåäíє. Ïðîäîâæèìî ðÿäîê ó ïðîòèëåæíîìó íàïðÿìêó, çìåíøóþ÷è êîæíîãî ðàçó ïîêàçíèê ñòåïåíÿ íà 1. Îäåðæèìî: ..., 3-3, 3-2, 3-1, 30, 31, 32, 33, 34, ... ×èñëî 30 ïîâèííî áóòè âòðè÷і ìåíøèì âіä 31, òîáòî - âіä ÷èñëà 3. Àëå âòðè÷і ìåíøèì âіä ÷èñëà 3 є ÷èñëî 1, îòæå, 30  1. Ðіâíіñòü a0  1 ñïðàâäæóєòüñÿ äëÿ áóäü-ÿêîї îñíîâè a, ÿêùî . ÑÒÅÏІÍÜ ІÇ ÖІËÈÌ ÏÎÊÀÇÍÈÊÎÌ9. Íóëüîâèé ñòåïіíü âіäìіííîãî âіä íóëÿ ÷èñëà à äîðіâ- íþє îäèíèöі, òîáòî a0  1 (ÿêùî a  0).

70. 70. РОЗДІЛ 1 70 Ïîâåðíіìîñÿ äî ðÿäêà çі ñòåïåíÿìè ÷èñëà 3, äå ëіâîðó÷ âіä ÷èñëà 30  1 çàïèñàíî ÷èñëî 3-1. Öå ÷èñëî âòðè÷і ìåíøå çà 1, òîáòî äîðіâíþє . Îòæå, . Ìіðêóþ÷è àíàëîãі÷íî, ìàòèìåìî: ; і ò. ä. Ïðèõîäèìî äî íà- ñòóïíîãî îçíà÷åííÿ ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: Ïðèêëàä 1. Çàìіíіòü ñòåïіíü äðîáîì: 1) 5-7; 2) x-1; 3) (a + b)-9. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çà îçíà÷åííÿì: 1) ; 2) ; 3) . Ïðèêëàä 2. Çàìіíіòü äðіá ñòåïåíåì іç öіëèì âіä'єìíèì ïî- êàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) ; 3) . Ïðèêëàä 3. Îá÷èñëіòü: 1) 4-2; 2) (-9)0; 3) (-5)-3. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) ; 3) . Ðîçãëÿíåìî, ÿê ïіäíåñòè äðіá äî öіëîãî âіä'єìíîãî ñòå- ïåíÿ. ßêùî n - íàòóðàëüíå ÷èñëî і a  0, ìàєìî: Îòæå, ÿêùî a  0 і n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî . ÿêùî a  0, b  0, n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî .

71. 71. Раціональні вирази 71 Ïðèêëàä 4. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) . 2) Âðàõîâóþ÷è ïîñëіäîâíіñòü âèêîíàííÿ àðèôìåòè÷èõ äіé, ñïî÷àòêó ïіäíåñåìî äðіá äî ñòåïåíÿ, à ïîòіì âèêîíàєìî ìíî- æåííÿ: Â і ä ï î â і ä ü. 1) ; 2) . Початковий рівень 263. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíà ðіâíіñòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 264. Çàìіíіòü äðîáîì ñòåïіíü іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 4-5; 2) a-1; 3) p-10; 4) c-8; 5) (2a)-3; 6) (a + b)-4. 265. Çàïèøіòü ñòåïіíü іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì ó âè- ãëÿäі äðîáó: 1) b-3; 2) 7-1; 3) 2-7; 4) t-6; 5) (3m)-2; 6) (c - d)-7. 266. Çàïèøіòü äðіá ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïî- êàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 1. ßêîãî çíà÷åííÿ íàáóâàє âèðàç a0, ÿêùî a  0? 2. Ñôîðìóëþéòå îçíà÷åííÿ ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì. 3. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü , äå a  0, b  0.

72. 72. РОЗДІЛ 1 72 267. Çàìіíіòü äðіá ñòåïåíåì іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Середній рівень 268. Îá÷èñëіòü: 1) 7-2; 2) (-2)-2; 3) (-1)-5; 4) 12-1; 5) (-7)-1; 6) 10-3; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) 0,1-1; 14) (-0,2)-2; 15) (1,2)-2; 16) (-0,25)-3. 269. Îá÷èñëіòü: 1) 2-3; 2) (-1)-6; 3) 15-1; 4) (-9)-1; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 0,2-1; 10) (-0,1)-2; 11) (1,5)-2; 12) (-0,5)-4. 270. Ïîäàéòå ÷èñëà 16; 8; 4; 2; 1; ; ; ; ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ 2. 271. Ïîäàéòå ÷èñëà 100; 10; 1; 0,1; 0,01 ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ 10. 272. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) -5-2; 2) (-0,8)-2; 3) ; 4) . 273. Îá÷èñëіòü: 1) -2-3; 2) (-0,4)-2; 3) ; 4) . 274. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó, ùî íå ìіñòèòü ñòåïåíÿ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 2a-3; 2) 3mb-1; 3) a2b-3c; 4) a-3b-7.

73. 73. Раціональні вирази 73 275. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó, ùî íå ìіñòèòü ñòåïåíÿ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 4b-5; 2) 7a-1p1 ; 3) mn-2p2 7; 4) c-2b-5. Достатній рівень 276. Îá÷èñëіòü: 1) 81 ∙ 3-5; 2) -25 ∙ 10-2; 3) 27 ∙ (-18)-1; 4) -4 + 30; 6) 8-2 + 6-1; 7) 2,5-1 + (-13)0; 8) 4-3 - (-4)-2; 9) (-8)-2 + (0,4)-1; 10) ; 12) 1,25-2 + 2,5-3. 277. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) -64 ∙ 4-4; 2) 36 ∙ (-27)-1; 3) 4) -7 ∙ 0,1-2 + 50; 5) 5-2 - 10-1; 6) ; 7) -2 - 1,2-3. 278. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì âèðàç: 1) 8-13; 2) (-3,7)-10; 3) (-2,9)-11; 4) -(-2,1)-7. 279. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì çíà÷åííÿ âèðàçó an, ÿêùî: 1) a > 0 і n - öіëå ÷èñëî; 2) a < 0 і n - ïàðíå âіä'єìíå ÷èñëî; 3) a < 0 і n - íåïàðíå âіä'єìíå ÷èñëî. 280. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì çíà÷åííÿ âèðàçó bm, ÿêùî: 1) b  5, m  -13; 2) b  -1, m  -200; 3) b  -3, m  -41. 281. Ïåðåòâîðіòü âèðàç òàê, ùîá âіí íå ìіñòèâ ñòåïåíіâ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) .

74. 74. РОЗДІЛ 1 74 282. Âèêîðèñòîâóþ÷è âіä'єìíèé ïîêàçíèê ñòåïåíÿ, ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 283. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі äîáóòêó, âèêîðèñòîâóþ÷è ñòåïіíü ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 284. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) m-3 + n-2; 2) ab-1 + ba-1 + c0; 3) (m + n-1)(m-1 + n); 4) (a-1 + b-1) : (a-2 - b-2). 285. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) xy-3 + x-1y2; 2) (x-2 - y-2) : (x-1 - y-1). Високий рівень 286. Îá÷èñëіòü: 1) (1 + (1 - 5-2)-1)-1; 2) (1 - (1 + 3-1)-2)-2. 287. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó (1 + (1 - 3-1)-1)-1 + (1 - (1 + 3-1)-1)-1. 288. Ñïðîñòіòü âèðàç . Вправи для повторення . Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) . . Ñåðãіé ñêàçàâ Îëåêñіþ: "Äàé ìåíі 2 ãðèâíі, і òîäі ãðî- øåé ó íàñ ñòàíå ïîðіâíó". Îëåêñіé âіäïîâіâ Ñåðãіþ: "Êðàùå òè äàé ìåíі 2 ãðèâíі, і òîäі ãðîøåé â ìåíå ñòàíå âäâі÷і áіëüøå, íіæ ó òåáå". Ñêіëüêè ãðîøåé ó êîæíîãî ç õëîïöіâ?

75. 75. Раціональні вирази 75 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 291. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) a5a3; 2) b7 : b3; 3) (c5)4; 4) m7m; 5) t10 : t; 6) (p(( 7)2. 292. Ïіäíåñіòü äî ñòåïåíÿ îäíî÷ëåí: 1) (mn2)7; 2) (-2p2 3)2; 3) (-5cm2)3; 4) (-a2c3)10. 293. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) (5m2n)3 ∙ (0,2m3n)2; 2) (-0,1p7c3)4 ∙ (10pc0 2)3. Цікаві задачі для учнів неледачих 294. (Çàäà÷à Ñòåíôîðäñüêîãî óíіâåðñèòåòó). Ñåðåä äіäóñåâèõ ïàïåðіâ áóëî çíàéäåíî ðàõóíîê іç çàïèñîì: 72 іíäèêè - *67,9* äîëàðіâ. Ïåðøó é îñòàííþ öèôðè âàðòîñòі іíäèêіâ çàìіíèëè çіðî÷- êàìè, îñêіëüêè âîíè ñòåðëèñÿ і ñòàëè íåðîçáіðëèâèìè. Ùî öå çà öèôðè і ñêіëüêè êîøòóâàâ îäèí іíäèê? Âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì ñïðàâäæó- þòüñÿ і äëÿ ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ, âіäìіííîþ âіä íóëÿ, і öіëèì ïîêàçíèêîì. Îòæå, Öі âëàñòèâîñòі ìîæíà äîâåñòè, ñïèðàþ÷èñÿ íà ôîðìóëó òà âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì. Äîâåäåìî, íàïðèêëàä, ôîðìóëó am ∙ an  am+n äëÿ âèïàäêó, êîëè m і n - âіä'єìíі öіëі ÷èñëà. ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒІ ÑÒÅÏÅÍß ІÇ ÖІËÈÌ ÏÎÊÀÇÍÈÊÎÌ10. äëÿ áóäü-ÿêîãî a  0, b  0 і áóäü-ÿêèõ öіëèõ m і n: am ∙ an  am+n; am : an  am-n; (am)n  amn; (ab)n  anbn; .

76. 76. РОЗДІЛ 1 76 Íåõàé m  -p- , n  -q, äå p і q - íàòóðàëüíі ÷èñëà. Ìàєìî: . Îòæå, am ∙ an  am+n, ÿêùî m і n - âіä'єìíі öіëі ÷èñëà. Ó ðàçі ÿêùî îäèí ç ïîêàçíèêіâ m àáî n - âіä'єìíå öіëå ÷èñëî, à äðóãèé - íàòóðàëüíå ÷èñëî àáî íóëü, ôîðìóëà äîâîäèòüñÿ àíàëîãі÷íî. Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå äіþ: 1) a2a-7; 2) b15 : b20; 3) (x-3)2 ∙ x-14. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) a2a-7  a2+(-7)  a-5; 2) b15 : b20  b15-20  b-5; 3) (x-3)2 ∙ x-14  x-3∙2 ∙ x-14  x-6 ∙ x-14  x-6+(-14)  x-20. Ïðèêëàä 2. Ñïðîñòіòü âèðàç (4a5b-6)-2. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïðèêëàä 3. . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïîäàìî 9 òà 27 ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíî- âîþ 3 òà âèêîðèñòàєìî âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ: . Â і ä ï î â і ä ü. 3. Початковий рівень 295. (Óñíî.) ßêі ç ðіâíîñòåé є òîòîæíîñòÿìè: 1) m3 ∙ m-7  m-21; 2) a7 ∙ a-9  a-2; 3) a5 ∙ a-5  a; 4) c8 : c-5  c13; 5) c4 : c5  c; 6) m : m8  m-7; 7) (a7)-1  a-7; 8) (b-2)-3  b-6; 9) (t5)-2  t10? 296. Ïîäàéòå äîáóòîê ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) a5a-2; 2) a-7a6; 3) a9a-9; 4) a-4a-3. 297. Ïîäàéòå äîáóòîê ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) b7b-3; 2) b-6b3; 3) b-5b-7; 4) b-8b8. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ іç öіëèì ïîêàçíèêîì.

77. 77. Раціональні вирази 77 298. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) m3 : m-2; 2) m5 : m6; 3) m-3 : m-3; 4) m-1 : m-8. 299. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) c5 : c-1; 2) c2 : c8; 3) c-2 : c-3; 4) c-4 : c-4. 300. Ïіäíåñіòü ñòåïіíü äî ñòåïåíÿ: 1) (x-4)-2; 2) (x-1)17; 3) (x0)-5; 4) (x7)-4. 301. Ïіäíåñіòü ñòåïіíü äî ñòåïåíÿ: 1) (n-2)-7; 2) (n15)-1; 3) (n-8)0; 4) (n5)-3. Середній рівень 302. Ïîäàéòå a-10 ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ ñòåïåíіâ ç îäíàêîâè- ìè îñíîâàìè, ÿêùî îäèí ç ìíîæíèêіâ äîðіâíþє: 1) a-3; 2) a7; 3) a-1; 4) a12. 303. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ ñòåïåíіâ ç îäíà- êîâèìè îñíîâàìè: 1) m8; 2) m-2; 3) m-17; 4) m0. 304. Îá÷èñëіòü: 1) 27 ∙ 2-6; 2) 5-3 ∙ 5; 3) ; 4) ; 5) 38 : 39; 6) 7-15 : 7-16; 7) 9 : 9-1; 8) ; 9) (2-2)3; 10) ; 11) (0,1-1)4; 12) . 305. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 39 ∙ 3-8; 2) 2-3 ∙ 2; 3) ; 4) ; 5) 104 : 105; 6) 8-12 : 8-13; 7) 7 : 7-1; 8) ; 9) (3-1)4; 10) ; 11) (0,23)-1; 12) .

78. 78. РОЗДІЛ 1 78 306. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ a: 1) a7 : a3 ∙ a-12; 2) (a5)-3 ∙ a12; 3) (a-8)3 : a4; 4) a0 ∙ (a-3)4 ∙ a5; 5) a-3 ∙ a0 : a5 : a; 6) (a3)-2 ∙ (a-1)-6. 307. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ b: 1) b3 : b7 ∙ b2; 2) (b-2)4 ∙ b10; 3) (b3)-2 : b3; 4) b7 ∙ (b-2)3 ∙ b0; 5) b0 ∙ b-4 : b3 : b; 6) (b-4)-1 ∙ (b2)-2. 308. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 3) ; 4) . 309. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 310. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) (xy)-2; 2) (ab-2)-3; 3) (x-4y3)-1; 4) (m0c-3)-2; 5) (0,1a-2)-1; 6) ; 7) (-2c-3p3 )-3; 8) 311. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) (p(( -2n)-5; 2) (a-2b3)-4; 3) (0,2m-4)-1; 4) ; 5) (-4ab-2)-3; 6) Достатній рівень 312. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) 64m-3; 2) 0,01p-8; 3) 0,0025c-8p8 12; 4) .

# data[].attributes.attachment_link.description
Published on 1. 88 АЛГЕБРААЛГЕБРА Î.Ñ. ²ñòåðÎ.Ñ. ²ñòååð 2. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0699 3ISBN 978-966-11-0699-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Àëãåáðà : ïіäðó÷. äëÿ 8-ãî êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Published on

1. 1. 88 АЛГЕБРААЛГЕБРА Î.Ñ. ²ñòåðÎ.Ñ. ²ñòååð

2. 2. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0699 3ISBN 978-966-11-0699-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Àëãåáðà : ïіäðó÷. äëÿ 8-ãî êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016. - 272 ñ. ISBN 978-966-11-0699-3. Підручник відповідає новій програмі з математики, містить до- статню кількість диференційованих вправ та прикладних задач. Після кожного розділу наведено вправи для його повторення. Для підготовки до контрольної роботи передбачено "Домашню самостійну роботу" та "Завдання для перевірки знань". Наприкінці підручника наведено ма- теріал для повторення курсу математики 5-6 класів та курсу алгебри 7 класу, задачі підвищеної складності, предметний покажчик та відпо- віді до більшості вправ. Для найдопитливіших є низка нестандартних задач у рубриці "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий ма- теріал. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè (Íàêàç Ìіíіñòåðñòâà îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè âіä 10.05.2016 № 491) Åêñïåðòè, ÿêі çäіéñíèëè åêñïåðòèçó ïіäðó÷íèêà ïіä ÷àñ ïðîâå- äåííÿ êîíêóðñíîãî âіäáîðó ïðîåêòіâ ïіäðó÷íèêіâ äëÿ ó÷íіâ 8 êëà- ñó çàãàëüíîîñâіòíіõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäіâ і çðîáèëè âèñíîâîê ïðî äîöіëüíіñòü íàäàííÿ ïіäðó÷íèêó ãðèôà "Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñ- òåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè": Áіäþê Â.Ã., ó÷èòåëü-ìåòîäèñò Íîâîñåëèöüêîãî ðàéîííîãî ìåòî- äè÷íîãî êàáіíåòó ×åðíіâåöüêîї îáëàñòі; Ãðèíüêіâ Î.І., ó÷èòåëü-ìåòîäèñò Äіäèëіâñüêîãî ÍÂÊ Êàì'ÿíêà- Áóçüêîãî ðàéîíó Ëüâіâñüêîї îáëàñòі; Ïàäàëêî Í.É., äîöåíò êàôåäðè äèôåðåíöіàëüíèõ ðіâíÿíü і ìàòå- ìàòè÷íîї ôіçèêè Ñõіäíîєâðîïåéñüêîãî íàöіîíàëüíîãî óíіâåðñèòå- òó іì. Ëåñі Óêðàїíêè, êàíäèäàò ïåäàãîãі÷íèõ íàóê. Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

3. 3. 3 Øàíîâíі ó÷íі!! Öüîãîðі÷ âè ïðîäîâæèòå âèâ÷àòè îäíó ç íàéâàæëèâіøèõ ìàòåìàòè÷íèõ äèñöèïëіí - àëãåáðó. Äîïîìîæå âàì ó öüîìó ïіäðó÷íèê, ÿêèé âè òðèìàєòå â ðóêàõ. Ïіä ÷àñ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çâåðíіòü óâàãó íà òåêñò, íàäðóêîâàíèé æèðíèì øðèôòîì. Éîãî òðåáà çàïàì'ÿòàòè. Çâåðíіòü óâàãó é íà óìîâíі ïîçíà÷åííÿ: - òðåáà çàïàì'ÿòàòè; - âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ; - çàïèòàííÿ і çàâäàííÿ äî âèâ÷åíîãî ìàòåðіàëó; - ðóáðèêà "Ðîçâ'ÿæіòü òà ïіäãîòóéòåñÿ äî âèâ÷åííÿ íîâîãî ìàòåðіàëó"; 1 - çàâäàííÿ äëÿ êëàñíîї ðîáîòè; 2 - äëÿ äîìàøíüîї ðîáîòè; - ðóáðèêà "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ" òà äî- äàòêîâèé ìàòåðіàë. Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü і ïîçíà÷åíî òàê: Ïîçíà÷êîþ âèîêðåìëåíî âïðàâè ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі. Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ ìîæíà, âèêîíóþ÷è çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìî- ñòіéíîї ðîáîòè" òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Ïіñëÿ êîæíîãî ðîçäіëó íàâåäåíî âïðàâè äëÿ éîãî ïîâòîðåííÿ, à â êіíöі ïіäðó÷íèêà - "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü çà êóðñ àëãåáðè 8 êëàñó". "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі" äîïîìî- æóòü ïіäãîòóâàòèñÿ äî ìàòåìàòè÷íîї îëіìïіàäè òà ïîãëèáèòè çíàííÿ ç ìàòåìàòèêè. Ïðèãàäàòè ðàíіøå âèâ÷åíі òåìè äîïî- ìîæóòü "Âіäîìîñòі ç êóðñó ìàòåìàòèêè 5-6 êëàñіâ òà êóð- ñó àëãåáðè 7 êëàñó", à ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ íà ïî÷àòêó íàâ÷àëüíîãî ðîêó - "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó àëãåáðè 7 êëàñó" â êіíöі ïіäðó÷íèêà. Àâòîð íàìàãàâñÿ ïîäàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ïіäðó÷íè- êà ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ, ïðîіëþñòðóâàòè éîãî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó ó øêîëі éîãî îáîâ'ÿçêîâî òðåáà îïðàöþâàòè âäîìà.

4. 4. 4 Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Áіëüøіñòü ç íèõ âè ðîçãëÿíåòå íà óðîêàõ òà ïіä ÷àñ äîìàøíüîї ðîáîòè, іíøі âïðàâè ðåêîìåíäóєòüñÿ ðîçâ'ÿçàòè ñàìîñòіéíî. Öіêàâі ôàêòè ç іñòîðії ðîçâèòêó òà ñòàíîâëåííÿ ìàòåìàòè- êè ÿê íàóêè âè çíàéäåòå ó ðóáðèöі "À ùå ðàíіøå..." Øàíîâíі â÷èòåëі! Ïðîïîíîâàíèé ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ; âïðàâè áіëüøîñòі ïàðàãðàôіâ ïîäàíî "іç çàïàñîì". Òîæ îáè- ðàéòå їõ äëÿ âèêîðèñòàííÿ íà óðîêàõ і ïîçàóðî÷íèõ çàíÿòòÿõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ, ñòóïåíÿ äèôåðåíöіàöії íàâ÷àííÿ òîùî. "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó àëãåáðè 7 êëàñó" äîïîìî- æóòü äіàãíîñòóâàòè âìіííÿ é íàâè÷êè ó÷íіâ ç àëãåáðè çà ïî- ïåðåäíіé ðіê òà ïîâòîðèòè íàâ÷àëüíèé ìàòåðіàë. Äîäàòêîâі âïðàâè ðóáðèêè "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü" ïðèçíà÷å- íî äëÿ ó÷íіâ, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàííÿìè ðàíіøå çà іíøèõ ó÷íіâ. Ïðàâèëüíå їõ ðîçâ'ÿçàííÿ â÷èòåëü ìîæå îöі- íèòè îêðåìî. Âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ ðîçäіëіâ ìîæíà çàïðî- ïîíóâàòè ó÷íÿì ïіä ÷àñ óçàãàëüíþþ÷èõ óðîêіâ àáî ïіä ÷àñ ïîâòîðåííÿ і ñèñòåìàòèçàöії íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó â êіíöі íàâ÷àëüíîãî ðîêó. Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі òà "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ" äîïîìîæóòü çàäîâîëüíèòè ïіäâè- ùåíó öіêàâіñòü ó÷íіâ äî ïðåäìåòà і ñïðèÿòèìóòü їõ ïіäãîòîâöі äî ðіçíîìàíіòíèõ ìàòåìàòè÷íèõ çìàãàíü. Øàíîâíі áàòüêè! ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ ç àë- ãåáðè, íåîáõіäíî çàïðîïîíóâàòè їé çà ïіäðó÷íèêîì óäîìà ñàìîñòіéíî îïðàöþâàòè ìàòåðіàë öèõ óðîêіâ. Ñïî÷àòêó ó÷åíü ìàє ïðî÷èòàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë, ÿêèé âèêëàäåíî ïðî- ñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ òà ìіñòèòü çíà÷íó êіëüêіñòü çðàçêіâ ðîçâ'ÿçóâàííÿ âïðàâ, à ïîòіì іç çàïðîïîíîâàíèõ ó âіäïîâіäíîìó òåìàòè÷íîìó ïàðàãðàôі çàâäàíü ðîçâ'ÿçàòè ïîñèëüíі їé âïðàâè. Óïðîäîâæ îïðàöþâàííÿ äèòèíîþ êóðñó àëãåáðè 8 êëàñó âè ìîæåòå ïðîïîíóâàòè їé äîäàòêîâî ðîçâ'ÿçóâàòè âäîìà âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ ïіä ÷àñ óðîêó. Öå ñïðèÿòèìå ÿêíàéêðà- ùîìó çàñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó. Êîæíà òåìà çàêіí÷óєòüñÿ òåìàòè÷íèì îöіíþâàííÿì. Ïåðåä éîãî ïðîâåäåííÿì çàïðîïîíóéòå äèòèíі ðîçâ'ÿçàòè çàâäàí- íÿ "Äîìàøíüîї ñàìîñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Öå äîïîìîæå ïðè- ãàäàòè îñíîâíі òèïè âïðàâ òà ÿêіñíî ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìà- òè÷íîãî îöіíþâàííÿ.

5. 5. 5 Ðîçäіë 1 Раціональні вирази Ó êóðñі àëãåáðè 7 êëàñó âè âæå çíàéîìèëèñÿ іç öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè, òîáòî ç âèðàçàìè, ùî íå ìіñòÿòü äіëåííÿ íà âèðàç çі çìіííîþ, íàïðèêëàä: 5m2p2 ; 4c3 + t9; (m - n)(m2 + n7); . Áóäü-ÿêèé öіëèé âèðàç ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі ìíîãî÷ëå- íà ñòàíäàðòíîãî âèãëÿäó, íàïðèêëàä: (m - n)(m2 + n7)  m3 + mn7 - nm2 - n8; . Íà âіäìіíó âіä öіëèõ âèðàçіâ, âèðàçè ; ; ; ; ìіñòÿòü äіëåííÿ íà âèðàç çі çìіííîþ. Òàêі âèðàçè íàçèâàþòü äðîáîâèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè. Öіëі ðàöіîíàëüíі і äðîáîâі ðàöіîíàëüíі âèðàçè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè. Раціоналльні виррази У цьому розділі ви: пригадаєте основну властивість звичайного дробу та основні властивості рівнянь; ознайомитеся з поняттями раціонального виразу, раціо- нального дробу, раціонального рівняння; з функцією , степенем із цілим показником, стандартним виглядом числа; навчитеся скорочувати раціональні дроби та зводити їх до нового знаменника; виконувати арифметичні дії з раціо- нальними дробами; розв'язувати раціональні рівняння. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÂÈÐÀÇÈ. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÄÐÎÁÈ1. Ðàöіîíàëüíі âèðàçè - öå ìàòåìàòè÷íі âèðàçè, ÿêі ìіñ- òÿòü äії äîäàâàííÿ, âіäíіìàííÿ, ìíîæåííÿ, äіëåííÿ òà ïіäíåñåííÿ äî ñòåïåíÿ іç öіëèì ïîêàçíèêîì.

6. 6. РОЗДІЛ 1 6 Ðàöіîíàëüíèé âèðàç âèãëÿäó , äå P і Q - âèðàçè, ùî ìіñ- òÿòü ÷èñëà àáî çìіííі, íàçèâàþòü äðîáîì. Âèðàç Ð є éîãî ÷è- ñåëüíèêîì, à Q - çíàìåííèêîì. ßêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó - ìíîãî÷ëåíè, òî äðіá íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèì äðîáîì. Öіëèé ðàöіîíàëüíèé âèðàç ìàє çìіñò ïðè áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åííÿõ çìіííèõ, ùî äî íüîãî âõîäÿòü, îñêіëüêè äëÿ çíàõî- äæåííÿ éîãî çíà÷åííÿ òðåáà âèêîíàòè äії äîäàâàííÿ, âіäíі- ìàííÿ і ìíîæåííÿ òà äіëåííÿ íà ÷èñëî, âіäìіííå âіä íóëÿ, ùî çàâæäè ìîæëèâî. Ðîçãëÿíåìî äðîáîâèé ðàöіîíàëüíèé âèðàç . Éîãî çíà- ÷åííÿ ìîæíà çíàéòè äëÿ áóäü-ÿêîãî çíà÷åííÿ x, êðіì x  3, îñêіëüêè ïðè x  3 çíàìåííèê äðîáó äîðіâíþâàòèìå íóëþ. Ó òàêîìó âèïàäêó êàæóòü, ùî âèðàç ìàє çìіñò ïðè âñіõ çíà÷åííÿõ çìіííîї x, êðіì x  3 (àáî ïðè x  3 íå ìàє çìіñòó). Öі çíà÷åííÿ óòâîðþþòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó, àáî îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííèõ ó âèðàçі. Ïðèêëàä 1. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) Âèðàç ìàє çìіñò ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åí- íÿõ çìіííîї m. 2) Äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї p - óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñëà -2, îñêіëüêè öå çíà÷åííÿ çìіííîї ïåðåòâîðþє çíà- ìåííèê äðîáó íà íóëü. 3) Çíàìåííèê äðîáó ïåðåòâî- ðþєòüñÿ íà íóëü, ÿêùî x  0 àáî x  9. Òîìó äîïóñòèìі çíà- ÷åííÿ çìіííîї x - óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñåë 0 і 9. 4) Äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї y - óñі ÷èñëà, êðіì 3 і -3. Ñêîðî÷åíî âіäïîâіäі ìîæíà çàïèñàòè òàê: 1) m - áóäü-ÿêå ÷èñëî; 2) p  -2; 3) x  0; x  9; 4) y  3; y  -3. Ðîçãëÿíåìî óìîâó ðіâíîñòі äðîáó íóëþ. Îñêіëüêè , ÿêùî Q  0, òî ìîæíà ïðèéòè äî âèñíîâêó, ùî äðіá äî- ðіâíþє íóëþ òîäі і òіëüêè òîäі, êîëè ÷èñåëüíèê P äîðіâíþє Çíà÷åííÿ çìіííèõ, ïðè ÿêèõ âèðàç ìàє çìіñò, íàçèâà- þòü äîïóñòèìèìè çíà÷åííÿìè çìіííèõ ó âèðàçі.

7. 7. Раціональні вирази 7 íóëþ, à çíàìåííèê Q íå äîðіâíþє íóëþ, òîáòî Ïðèêëàä 2. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї äîðіâíþє íóëþ çíà÷åííÿ äðîáó: 1) ; 2) ? Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ×èñåëüíèê äðîáó äîðіâíþє íóëþ, ÿêùî x  3. Öå çíà÷åííÿ çìіííîї íå ïåðåòâîðþє çíàìåííèê íà íóëü, òîìó x  3 є òèì çíà÷åííÿì çìіííîї, ïðè ÿêîìó äàíèé äðіá äîðіâ- íþє íóëþ. 2) ×èñåëüíèê äðîáó äîðіâíþє íóëþ, ÿêùî a  2 àáî a  -1. Ïðè êîæíîìó іç öèõ çíà÷åíü çíàìåííèê äðîáó íóëþ íå äîðіâíþє. Òîìó a  2 і a  -1 є òèìè çíà÷åííÿìè çìіííîї, ïðè ÿêèõ äàíèé äðіá äîðіâíþє íóëþ. 3) ×èñåëüíèê äðîáó äî- ðіâíþє íóëþ, ÿêùî b  0 àáî b  7. ßêùî b  0, çíàìåííèê äðîáó íóëþ íå äîðіâíþє, à ÿêùî b  7, çíàìåííèê äðîáó ïå- ðåòâîðþєòüñÿ íà íóëü, òîáòî äðіá íå іñíóє. Îòæå, äàíèé äðіá äîðіâíþє íóëþ ëèøå ïðè b  0. Â і ä ï î â і ä ü. 1) x  3; 2) a  2, a  -1; 3) b  0. Давньогрецький математик Діофант (бл. ІІІ ст. н. е.) розглянув раціональні дроби та дії з ними у своїй праці "Арифметика". Зо- крема на сторінках цієї книжки можна зустріти доведення тотожностей та , які записано тодішньою символікою. Видатний англійський учений Ісаак Ньютон (1643-1727) у своїй мо- нографії "Універсальна арифметика" (1707 р.) означує дріб наступ- ним чином: "Запис однієї з двох величин під іншою, нижче якої між ними проведено риску, означає частку або ж величину, що виникає при діленні верхньої величини на нижню". У цій роботі Ньютон роз- глядає не тільки звичайні дроби, а й раціональні. 1. ßêі âèðàçè íàçèâàþòü öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðà- çàìè, à ÿêі - äðîáîâèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè? Íà- âåäіòü ïðèêëàäè òàêèõ âèðàçіâ. 2. ßêі âèðàçè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè? 3. ßêі äðîáè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè äðîáàìè? 4. Ùî íàçèâàþòü äîïóñòèìèìè çíà÷åííÿìè çìіííîї? 5. Êîëè äðіá äîðіâíþє íóëþ?

8. 8. РОЗДІЛ 1 8 Початковий рівень 1. (Óñíî.) ßêі ç âèðàçіâ є öіëèìè, à ÿêі - äðîáîâèìè: 1) ; 2) ; 3) m2 + 2m - 8; 4) ; 5) ; 6) ; 7) (p(( - 2)2 + 7p7 ; 8) ? 2. Ç ðàöіîíàëüíèõ âèðàçіâ a3 - ab; ; ; ; ; âèïèøіòü òі, ùî є: 1) öіëèìè; 2) äðîáîâèìè. 3. ßêі ç äðîáіâ є ðàöіîíàëüíèìè äðîáàìè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? Середній рівень 4. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî a  1; -2; -3; 2) , ÿêùî x  4; -1. 5. Äіçíàéòåñÿ ïðіçâèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî àâіàêîíñòðóê- òîðà. Äëÿ öüîãî çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó ç ïåðøîї òàáëèöі òà ïåðåíåñіòü ëіòåðè, ùî âіäïîâіäàþòü öèì çíà÷åííÿì, ó äðóãó òàáëèöþ. Êîðèñòóþ÷èñü áóäü-ÿêèìè іíôîðìàöіéíèìè äæåðå- ëàìè, îçíàéîìòåñÿ ç áіîãðàôієþ öüîãî àâіàêîíñòðóêòîðà. x -3 -1 0 2 3 Ëіòåðè Ò Â À Î Í 1 -2 -0,5 -3 -2 -3 0

9. 9. Раціональні вирази 9 6. Ñêëàäіòü äðіá: 1) ÷èñåëüíèêîì ÿêîãî є ðіçíèöÿ çìіííèõ a і b, à çíàìåííè- êîì - їõ ñóìà; 2) ÷èñåëüíèêîì ÿêîãî є äîáóòîê çìіííèõ x і y, à çíàìåííè- êîì - ñóìà їõ êâàäðàòіâ. 7. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) m2 - 5; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 8. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) p + 9; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 9. Çà t ãîä àâòîìîáіëü ïîäîëàâ 240 êì. Ñêëàäіòü âèðàç äëÿ îá- ÷èñëåííÿ øâèäêîñòі àâòîìîáіëÿ (ó êì/ãîä). Çíàéäіòü çíà÷åííÿ îäåðæàíîãî âèðàçó, ÿêùî t  3; 4. 10. Ó÷åíü âèòðàòèâ 48 ãðí äëÿ ïðèäáàííÿ ï ðó÷îê. Ñêëàäіòü âèðàç äëÿ îá÷èñëåííÿ öіíè ðó÷êè (ó ãðí) òà îá÷èñëіòü éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî ï  8; 10. Достатній рівень 11. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâ- íþє: 1) -2; 2) 9; 3) 0,01; 4) -4,9? 12. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâ- íþє: 1) -8; 2) 0,25? 13. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі x äîðіâíþє íóëþ äðіá: 1) ; 2) ; 3) ?

10. 10. РОЗДІЛ 1 10 14. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі y äîðіâíþє íóëþ äðіá: 1) ; 2) ; 3) ? 15. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 3) ; 4) . 16. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 17. Ñêëàäіòü âèðàç çі çìіííîþ x, ùî ìàâ áè çìіñò ïðè áóäü- ÿêèõ çíà÷åííÿõ x, êðіì: 1) x  2; 2) x  1 і x  -4. Високий рівень 18. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 3) ; 4) . 19. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 3) ; 4) . 20. Âèçíà÷òå çíàê äðîáó: 1) , ÿêùî x > 0, y < 0; 2) , ÿêùî m > 0, n < 0; 3) , ÿêùî p < 0, n > 0; 4) , ÿêùî a < 0, c < 0. 21. Äîâåäіòü, ùî ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó: 1) є äîäàòíèì; 2) є âіä'єìíèì; 3) є íåâіä'єìíèì; 4) є íåäîäàòíèì.

11. 11. Раціональні вирази 11 Вправи для повторення 22. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà ìíîãî÷ëåí: 1) (a2 + 2a - 7) - (a2 - 4a - 9); 2) 3x2y(2x - 3y + 7); 3) (x2 - 2x)(x + 9); 4) (x2 - 5)2 + 10x2. 23. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 4x(2x - 7) + 3x(5 - 2x)  2x2 + 39. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 4. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 25. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 24; 2) äî çíàìåííèêà 28; 3) äî çíàìåííèêà 30; 4) äî çíàìåííèêà 63. 26. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ âèðàç: 1) m3m4; 2) pp7; 3) x9 : x3; 4) (a3)7; 5) b2  (b3)4; 6) (c4)5 : c12. 27. Íà ÿêèé âèðàç òðåáà ïîìíîæèòè îäíî÷ëåí , ùîá îòðè- ìàòè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 28. Ðîçêëàäіòü íà ìíîæíèêè ìíîãî÷ëåí: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) . Цікаві задачі для учнів неледачих 29. (Êèїâñüêà ìіñüêà îëіìïіàäà, 1985 ð.) Çíàéäіòü óñі òàêі òðè- öèôðîâі ÷èñëà, ÿêі ó 12 ðàçіâ áіëüøі çà ñóìó ñâîїõ öèôð.

12. 12. РОЗДІЛ 1 12 Ïðèãàäàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü çâè÷àéíîãî äðîáó: ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäíå é òå ñàìå íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî îäåðæèìî äðіá, ùî äî- ðіâíþє äàíîìó. Іíàêøå êàæó÷è, äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë a, b і c ñïðàâäæóþòüñÿ ðіâíîñòі: і . Äîâåäåìî, ùî öі ðіâíîñòі є ïðàâèëüíèìè íå òіëüêè äëÿ íà- òóðàëüíèõ çíà÷åíü a, b і c, à é äëÿ áóäü-ÿêèõ іíøèõ çíà÷åíü çà óìîâè b  0 і c  0. Äîâåäåìî ñïî÷àòêó, ùî . Íåõàé . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  bp. Ïîìíîæèìî îáèäâі ÷àñòèíè öієї ðіâíîñòі íà c, ìàòèìåìî: ac  (bp)c. Âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâíó і ñïîëó÷íó âëàñòèâîñ- òі ìíîæåííÿ, îäåðæèìî: ac  (bc)p)) . Îñêіëüêè b  0 і c  0, òî і bñ  0. Ç îñòàííüîї ðіâíîñòі (çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè) ìàєìî: . Îñêіëüêè і , òî . Öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ, îòæå, ìîæåìî ïîìіíÿòè â íіé ëіâó і ïðàâó ÷àñòèíè ìіñöÿìè: . Öÿ òîòîæíіñòü äàє çìîãó çàìіíèòè äðіá íà äðіá , òîá- òî ñêîðîòèòè äðіá íà ñïіëüíèé ìíîæíèê c ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà. Âëàñòèâіñòü äðîáó, ùî çàïèñóєòüñÿ ðіâíîñòÿìè і , íàçèâàþòü îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ðàöіîíàëüíîãî äðîáó. Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè çàñòîñóâàííÿ öієї âëàñòèâîñòі äëÿ äðîáіâ íà їõ îáëàñòі äîïóñòèìèõ çíà÷åíü. ÎÑÍÎÂÍÀ ÂËÀÑÒÈÂІÑÒÜ ÐÀÖІÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÄÐÎÁÓ2. ßêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäèí і òîé ñàìèé âіäìіííèé âіä íóëÿ âè- ðàç, òî îäåðæèìî äðіá, ùî äîðіâíþє äàíîìó.

13. 13. Раціональні вирази 13 Ïðèêëàä 1. Ñêîðîòіòü äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïîäàìî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê öüîãî äðîáó ó âèãëÿäі äîáóòêіâ, ùî ìіñòÿòü îäíàêîâèé (ñïіëüíèé) ìíîæíèê 8a, і ñêîðîòèìî äðіá íà öåé âèðàç: . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 2. Ñêîðîòіòü äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ðîçêëàäåìî íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó: . Ñêîðîòèìî äðіá íà x + 3y - ñïіëüíèé ìíîæíèê ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà: . Â і ä ï î â і ä ü. . Îòæå, ùîá ñêîðîòèòè äðіá, òðåáà: Òîòîæíіñòü äàє çìîãó çâîäèòè äðîáè äî çàäàíîãî іíøîãî (íîâîãî) çíàìåííèêà. Ïðèêëàä 3. Çâåäіòü äðіá äî çíàìåííèêà 12p2 4. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè 12p2 4  4p4 ∙ 3p3 3, òî, ïîìíîæèâøè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó íà 3p3 3, îäåðæèìî äðіá çі çíàìåííèêîì 12p2 4: . Ìíîæíèê 3p3 3 íàçèâàþòü äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì ÷èñåëü- íèêà і çíàìåííèêà äðîáó . 1) ðîçêëàñòè íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðî- áó, ÿêùî öå íåîáõіäíî; 2) âèêîíàòè äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà íà їõ ñïіëüíèé ìíîæíèê òà çàïèñàòè â і ä ï î â і ä ü.

14. 14. РОЗДІЛ 1 14 Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 4. Çâåäіòü äðіá äî çíàìåííèêà b - a. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè b - a  -1 ∙ (a - b), òî, ïîìíîæèâ- øè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó íà -1, îäåðæèìî äðіá çі çíàìåííèêîì b - a: . Äðіá ìîæíà çàìіíèòè òîòîæíî ðіâíèì éîìó âèðàçîì , îñêіëüêè çìіíà çíàêà ïåðåä äðîáîì ïðèçâîäèòü äî çìі- íè çíàêà ÷èñåëüíèêà àáî çíàìåííèêà. Òîìó . Â і ä ï î â і ä ü. . Àíàëîãі÷íî, íàïðèêëàä, . Îòæå, Öå ïðàâèëî ìîæíà çàïèñàòè çà äîïîìîãîþ òîòîæíîñòі: . Ïðèêëàä 5. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії і ïîáóäóéòå її ãðàôіê. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíêöії є óñі ÷èñ- ëà, êðіì òèõ, ùî ïåðåòâîðþþòü çíàìåííèê 2x - 4 íà íóëü. Îñêіëüêè 2x - 4  0 ïðè x  2, òî îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíê- öії є óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñëà 2. Ñïðîñòèìî âèðàç , ñêî- ðîòèâøè äàíèé äðіá: . Îòæå, ôóíêöіÿ ìàє âèãëÿä çà óìîâè x  2, à її ãðàôіêîì є ÿêùî çìіíèòè çíàê ó ÷èñåëüíèêó (àáî çíàìåííèêó) äðîáó îäíî÷àñíî іç çíàêîì ïåðåä äðîáîì, òî îäåðæè- ìî äðіá, òîòîæíî ðіâíèé äàíîìó.

15. 15. Раціональні вирази 15 ïðÿìà áåç òî÷êè ç àáñöèñîþ 2, òîáòî áåç òî÷êè (2; 1). Òàêó òî÷êó íàçè- âàþòü "âèêîëîòîþ" і îáîâ'ÿçêîâî âèëó- ÷àþòü її ç ãðàôіêà, çîáðàæóþ÷è "ïî- ðîæíüîþ". Ãðàôіê ôóíêöії ïîäàíî íà ìàëþíêó 1. Початковий рівень 30. (Óñíî.) Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 31. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Середній рівень 32. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 33. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Ìàë. 1 1. ßêèìè ðіâíîñòÿìè çàïèñóþòü îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó? Ñôîðìóëþéòå öþ âëàñòèâіñòü. 2. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 3. Ïîÿñíіòü, ÿê ñêîðîòèòè ðàöіîíàëüíèé äðіá.

16. 16. РОЗДІЛ 1 16 34. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі äðîáó і ñêîðîòіòü öåé äðіá: 1) 12x2y : (4xy3); 2) 3a2bc : (-18ab2c2); 3) -10ap3 : (-15a2); 4) -14x9 : (2x7y). 35. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 20m; 2) äî çíàìåííèêà a5. 36. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 15p5 ; 2) äî çíàìåííèêà y7. 37. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 4) . 38. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 4) . 39. Ðîçêëàäіòü íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó òà ñêîðîòіòü éîãî: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 40. Ñêîðîòіòü äðіá, ïîïåðåäíüî ðîçêëàâøè éîãî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà ìíîæíèêè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 41. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

17. 17. Раціональні вирази 17 42. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) Достатній рівень 43. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) ; 6) . 44. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 45. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà a2 - ab; 2) äî çíàìåííèêà m2 + 2mn + n2; 3) äî çíàìåííèêà x2 - y2; 4) äî çíàìåííèêà k3 - 1; 5) äî çíàìåííèêà b - a; 6) äî çíàìåííèêà 4 - p2. 46. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà m2 + mn; 2) äî çíàìåííèêà x2 - 2xy + y2;

18. 18. РОЗДІЛ 1 18 3) äî çíàìåííèêà a2 - b2; 4) äî çíàìåííèêà 7 - c. 47. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó , ÿêùî c  5, x  2016. 48. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó , . 49. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 50. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Високий рівень 51. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 3) 52. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) 53. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії òà ïîáóäóéòå її ãðà- ôіê: 1) ; 2) . 54. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії òà ïîáóäóéòå її ãðà- ôіê: 1) ; 2) .

19. 19. Раціональні вирази 19 Вправи для повторення 55. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 56. Ðîçâ'ÿæіòü ñèñòåìó ðіâíÿíü: 1) 2) 57. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) (2x + 3y)2 - (x + 7y)(4x - y); 2) (m + 3)(m2 - 5) - m(m - 4)2. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 8. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Цікаві задачі для учнів неледачих 59. (Íàöіîíàëüíà îëіìïіàäà Âåëèêîї Áðèòàíії, 1968 ð.) Íåõàé a1, a2, ..., a7 - öіëі ÷èñëà, à b1, b2, ..., b7 - òі ñàìі ÷èñëà, ÿêі âçÿòî â іíøîìó ïîðÿäêó. Äîâåäіòü, ùî ÷èñëî є ïàðíèì. Ïðèãàäàєìî, ÿê äîäàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêà- ìè. Òðåáà äîäàòè їõ ÷èñåëüíèêè, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé. Íàïðèêëàä: . ÄÎÄÀÂÀÍÍß І ÂІÄÍІÌÀÍÍß ÄÐÎÁІÂ Ç ÎÄÍÀÊÎÂÈÌÈ ÇÍÀÌÅÍÍÈÊÀÌÈ3.

20. 20. РОЗДІЛ 1 20 Çàïèøåìî öå ïðàâèëî ó âèãëÿäі ôîðìóëè: . Öÿ ðіâíіñòü ñïðàâäæóєòüñÿ äëÿ áóäü-ÿêèõ äðîáіâ. Äîâåäåìî її (çà óìîâè c  0). Íåõàé і . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  cp і b  cq. Ìàєìî: a + b  cp + cq  c(p(( + q). Îñêіëüêè c  0, òî çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè , îòæå, . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî äîäàâàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíà- ìåííèêàìè: Ïðèêëàä 1. . Àíàëîãі÷íî ìîæíà äîâåñòè òîòîæíіñòü , ÿêîþ çàïèñóþòü ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè. Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè: Ïðèêëàä 2. . Ðîçãëÿíåìî ùå êіëüêà ïðèêëàäіâ. Ïðèêëàä 3. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ і . ùîá äîäàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè, òðå- áà äîäàòè їõ ÷èñåëüíèêè, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé. ùîá âіäíÿòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè, òðåáà âіä ÷èñåëüíèêà çìåíøóâàíîãî âіäíÿòè ÷èñåëü- íèê âіä'єìíèêà, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé.

21. 21. Раціональні вирази 21 Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. ; Â і ä ï î â і ä ü. ; . Ïðèêëàä 4. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 5. Çíàéäіòü ñóìó Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè 2x - y  -(y - 2x), òî äðóãèé äîäàíîê ìîæíà ïîäàòè ç òèì ñàìèì çíàìåííèêîì, ùî é ó ïåðøîãî äîäàíêà: . Òîäі Â і ä ï î â і ä ü. -5. ßêùî ó òîòîæíîñòÿõ і ïîìі- íÿòè ìіñöÿìè ëіâі і ïðàâі ÷àñòèíè, òî îäåðæèìî òîòîæíîñòі: і . Çà äîïîìîãîþ öèõ òîòîæíîñòåé äðіá, ÷èñåëüíèê ÿêîãî є ñó- ìîþ àáî ðіçíèöåþ êіëüêîõ âèðàçіâ, ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі êіëüêîõ äðîáіâ. Ïðèêëàä 6.

22. 22. РОЗДІЛ 1 22 Ïðèêëàä 7. Çàïèøіòü äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëî- ãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) Â і ä ï î â і ä ü. 1) ; 2) . Початковий рівень 60. (Óñíî.) Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 61. Çíàéäіòü ñóìó àáî ðіçíèöþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 62. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 63. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 1. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî äîäàâàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâè- ìè çíàìåííèêàìè. Äîâåäіòü éîãî. 2. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâè- ìè çíàìåííèêàìè.

23. 23. Раціональні вирази 23 5) 64. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 65. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 66. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 3) ; 4) . 67. Îá÷èñëіòü . 68. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . 69. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 5) ; 6) . 70. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2)

24. 24. РОЗДІЛ 1 24 3) ; 4) . 71. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 72. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) Достатній рівень 73. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 74. Çíàéäіòü ðіçíèöþ: 1) ; 2) . 75. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 76. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî m  25; 2) , ÿêùî x  2016, . 77. Îá÷èñëіòü: 1) , ÿêùî x  -12;

25. 25. Раціональні вирази 25 2) , ÿêùî c  199, k  0,2. 78. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 79. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Високий рівень 80. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) . 81. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) . Вправи для повторення 82. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ìíîãî÷ëåíà: 1) ; 2) . 83. Ñêîðîòіòü äðіá .

26. 26. РОЗДІЛ 1 26 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 84. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) . 85. Ïîäàéòå îäíî÷ëåí ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ îäíî÷ëå- íіâ, îäèí ç ÿêèõ äîðіâíþє: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Цікаві задачі для учнів неледачих 86. Êàòåð çà òå÷ієþ ðі÷êè äîëàє âіäñòàíü âіä ïóíêòó A äî ïóíêòó B çà 2 ãîä, à ïðîòè òå÷ії - çà 3 ãîä. Çà ÿêèé ÷àñ âіä ïóíêòó A äî ïóíêòó B ïðîïëèâå ïëіò? ßêùî äðîáè ìàþòü ðіçíі çíàìåííèêè, òî їõ, ÿê і çâè÷àéíі äðîáè, ñïî÷àòêó çâîäÿòü äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà, à ïîòіì äî- äàþòü àáî âіäíіìàþòü çà ïðàâèëîì äîäàâàííÿ àáî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè. Ðîçãëÿíåìî ÿê äîäàòè äðîáè і . Çâåäåìî öі äðîáè äî їõ ñïіëüíîãî çíàìåííèêà bd. Äëÿ öüîãî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèìî íà d: , à ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèìî íà b: . Äðîáè і çâåëè äî ñïіëü- íîãî çíàìåííèêà bd. Íàãàäàєìî, ùî d íàçèâàþòü äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó , à b - äîäàòêî- âèì ìíîæíèêîì ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó . Çàçíà÷åíó ïîñëіäîâíіñòü äіé äëÿ äîäàâàííÿ äðîáіâ ç ðіçíè- ìè çíàìåííèêàìè ìîæíà çàïèñàòè òàê: , àáî ñêîðî÷åíî: ÄÎÄÀÂÀÍÍß І ÂІÄÍІÌÀÍÍß ÄÐÎÁІÂ Ç ÐІÇÍÈÌÈ ÇÍÀÌÅÍÍÈÊÀÌÈ4.

27. 27. Раціональні вирази 27 . Àíàëîãі÷íî âèêîíóþòü і âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíà- ìåííèêàìè: . Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) . Ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äâîõ àáî áіëüøå äðîáіâ ìîæå áóòè íå ëèøå äîáóòîê їõ çíàìåííèêіâ. Óçàãàëі ó äðîáіâ є áåçëі÷ ñïіëüíèõ çíàìåííèêіâ. ×àñòî ïðè äîäàâàííі é âіäíіìàííі äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè âäàєòüñÿ çíàéòè ïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê, íіæ äîáóòîê çíàìåííèêіâ öèõ äðîáіâ. Ó òàêîìó âèïàäêó êàæóòü ïðî íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíà- ìåííèê (àíàëîãі÷íî äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äëÿ ÷èñëîâèõ äðîáіâ). Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä, äå çíàìåííèêè äðîáіâ - îäíî÷ëåíè. Ïðèêëàä 2. Âèêîíàéòå äîäàâàííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äàíèõ äðîáіâ ìîæíà ââàæàòè îäíî÷ëåí 48x3y2, ùî є äîáóòêîì çíàìåííèêіâ äðîáіâ, àëå â äàíîìó âèïàäêó âіí íå áóäå íàéïðîñòіøèì ñïіëü- íèì çíàìåííèêîì. Ñïðîáóєìî çíàéòè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê. Íèì äëÿ äðîáіâ, çíàìåííèêè ÿêèõ є îäíî÷ëåíà- ìè, áóäå òàêîæ îäíî÷ëåí. Êîåôіöієíò öüîãî îäíî÷ëåíà ïîâè- íåí äіëèòèñÿ і íà 6, і íà 8. Íàéìåíøèì òàêèì ÷èñëîì є 24. Äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà êîæíà çі çìіííèõ ìàє âõîäèòè ç íàéáіëüøèì іç ïîêàçíèêіâ ñòåïåíÿ, ç ÿêèìè âîíà âõîäèòü äî çíàìåííèêіâ äðîáіâ. Òàêèì ÷èíîì, íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì áóäå îäíî÷ëåí 24x2y3. Òîäі äîäàòêîâèì ìíîæíè- êîì äëÿ ïåðøîãî äðîáó ñòàíå âèðàç 4y2, áî 24x2y3  6x2y ∙ 4y2, à äëÿ äðóãîãî - âèðàç 3x, áî 24x2y3  8xy3 ∙ 3x. Îòæå, ìàєìî: . Â і ä ï î â і ä ü.

28. 28. РОЗДІЛ 1 28 Çâåðíіòü óâàãó, ùî ó ïðèêëàäі 2 ïіä ÷àñ çâåäåííÿ äðîáіâ äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äîäàòêîâі ìíîæíèêè 4y2 òà 3x íå ìіñ- òèëè æîäíîãî ñïіëüíîãî ìíîæíèêà, âіäìіííîãî âіä îäèíèöі. Öå îçíà÷àє, ùî ìè çíàéøëè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåí- íèê äðîáіâ. Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä, ó ÿêîìó çíàìåííèêàìè äðîáіâ є ìíî- ãî÷ëåíè. Ïðèêëàä 3. Âèêîíàéòå âіäíіìàííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ùîá çíàéòè ñïіëüíèé çíàìåííèê, ðîçêëà- äåìî çíàìåííèêè íà ìíîæíèêè: xy - x2  x(y - x) і y2 - xy  y(y - x). Íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äðîáіâ áóäå âèðàç xy(y - x). Òîäі äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì äëÿ ïåðøîãî äðîáó áóäå y, à äëÿ äðóãîãî - x. Âèêîíàєìî âіäíіìàííÿ: . Â і ä ï î â і ä ü. . Îòæå, ùîá âèêîíàòè äîäàâàííÿ àáî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè, òðåáà: Àíàëîãі÷íî âèêîíóþòü äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ öіëîãî âè- ðàçó і äðîáó. Ïðèêëàä 4. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çàïèøåìî âèðàç a + 1 ó âèãëÿäі äðîáó іç çíàìåííèêîì 1 òà âèêîíàєìî âіäíіìàííÿ: 1) ðîçêëàñòè íà ìíîæíèêè çíàìåííèêè äðîáіâ, ÿêùî öå íåîáõіäíî; 2) çíàéòè ñïіëüíèé çíàìåííèê, áàæàíî íàéïðîñòіøèé; 3) çàïèñàòè äîäàòêîâі ìíîæíèêè; 4) çíàéòè äðіá, ùî є ñóìîþ àáî ðіçíèöåþ äàíèõ äðîáіâ; 5) ñïðîñòèòè öåé äðіá òà îòðèìàòè â і ä ï î â і ä ü.

29. 29. Раціональні вирази 29 . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 87. (Óñíî.) Çíàéäіòü ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ: 1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і . 88. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 89. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 90. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 91. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 92. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 1. ßêèé çíàìåííèê є ñïіëüíèì äëÿ äðîáіâ і ? 2. ßê âèêîíàòè äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíè- ìè çíàìåííèêàìè?

30. 30. РОЗДІЛ 1 30 93. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 94. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 95. Ñïðîñòіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 96. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 97. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 98. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 99. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 100. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

31. 31. Раціональні вирази 31 101. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 102. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 103. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 104. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ: 1) і ; 2) і . 105. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ: 1) і ; 2) і . 106. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 107. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 108. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 3) ; 4)

32. 32. РОЗДІЛ 1 32 5) ; 6) . 109. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 3) ; 4) 5) ; 6) . 110. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 3) . 111. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ; 3) . Достатній рівень 112. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 113. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 114. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü .

33. 33. Раціональні вирази 33 115. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 116. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) . 117. Äîâåäіòü, ùî äëÿ âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї m çíà- ÷åííÿ âèðàçó m. 118. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 119. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 120. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 121. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 122. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) 2) . 123. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ;

34. 34. РОЗДІЛ 1 34 2) . 124. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі a âèðàç òîòîæíî äîðіâíþє äðîáó ? Високий рівень 125. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї є äîäàòíèì. 126. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 127. Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії . 128. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  -3, b  19. 129. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî x  -10, y  49. 130. ×è іñíóє òàêå çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêîìó çíà÷åííÿ âèðàçó äîðіâíþє íóëþ? Вправи для повторення . Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ñîëі ìіñòèòüñÿ ó 60 êã її 5-âіäñîò- êîâîãî ðîç÷èíó?

35. 35. Раціональні вирази 35 . Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèїõàëè äâà âåëîñèïåäèñòè. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè ñòàíîâèòü s êì, øâèäêîñòі âåëîñèïåäèñòіâ v1 êì/ãîä і v2 êì/ãîä. ×åðåç t ãîä âîíè çóñòðіëèñÿ. Ñêëàäіòü ôîðìóëó äëÿ îá÷èñëåííÿ t. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ t, ÿêùî s  150 êì, v1  12 êì/ãîä, v2  13 êì/ãîä. 133. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 34. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 135. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Цікаві задачі для учнів неледачих 136. Äëÿ øêіëüíîї àêòîâîї çàëè ïðèäáàëè ëþñòðó íà 31 ëàì- ïî÷êó. Äèðåêòîð øêîëè õî÷å ìàòè ìîæëèâіñòü âìèêàòè áóäü- ÿêó їõ êіëüêіñòü, âіä 1 äî 31. ßêà íàéìåíøà êіëüêіñòü çâè÷àé- íèõ âèìèêà÷іâ äëÿ öüîãî çíàäîáèòüñÿ? Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 1 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäі (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âà- ðіàíò âіäïîâіäі. 1. ßêèé ç âèðàçіâ íå є öіëèì ðàöіîíàëüíèì âèðàçîì? À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 2. Ñêîðîòіòü äðіá . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

36. 36. РОЗДІЛ 1 36 3. Âèêîíàéòå äіþ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . . Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі . À. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî; Á. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3; Â. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -2; Ã. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -2 і 3. 5. Ñêîðîòіòü äðіá . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 6. Âèêîíàéòå äіþ . À. ; Á. 4; Â. -4; Ã. . . Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x äðіá äîðіâíþє íóëþ? À. -3 і 1; Á. -3; Â. 1; Ã. òàêèõ çíà÷åíü x íåìàє. 8. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 9. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè öіëîãî âèðàçó і äðîáó. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . . Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x âèðàç ìàє çìіñò? À. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî; Á. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3; Â. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -5; Ã. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3 і -5.

37. 37. Раціональні вирази 37 11. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x äðіá äîðіâíþє íóëþ? À. 3; Á. 3 і -3; Â. -3; Ã. 3; -5. 12. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî , . À. 1300; Á. -1300; Â. 130; Ã. -130. ÇÀÂÄÀÍÍß ÄËß ÏÅÐÅÂІÐÊÈ ÇÍÀÍÜ ÄÎ § 1-4 1. ßêі ç âèðàçіâ є öіëèìè, à ÿêі - äðîáîâèìè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) p2 - p - 19? 2. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) . 3. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 4. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) . 5. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 6. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 7. Ñïðîñòіòü âèðàç . 8. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) . 9. Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії .

38. 38. РОЗДІЛ 1 38 Äîäàòêîâі çàâäàííÿ . Çíàéäіòü: 1) îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó ; 2) çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêèõ äðіá äîðіâíþє íóëþ. 11. Ñïðîñòіòü âèðàç . Íàãàäàєìî, ùî äîáóòêîì äâîõ çâè÷àéíèõ äðîáіâ є äðіá, ÷è- ñåëüíèê ÿêîãî äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñåëüíèêіâ, à çíàìåííèê - äîáóòêó çíàìåííèêіâ äàíèõ äðîáіâ: . Äîâåäåìî, ùî öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ äëÿ áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åíü a, b, c і d çà óìîâè, ùî b  0 і d  0. Íåõàé , . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  bp, c  dq. Òîìó ac  (bp)(dq)  (bd)(pq(( ). Îñêіëüêè bd  0, òî, çíî- âó âðàõóâàâøè îçíà÷åííÿ ÷àñòêè, îäåðæèìî: . Îòæå, ÿêùî b  0 і d  0, òî . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ. Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . ÌÍÎÆÅÍÍß ÄÐÎÁІÂ. ÏІÄÍÅÑÅÍÍß ÄÐÎÁÓ ÄÎ ÑÒÅÏÅÍß5. Ùîá ïîìíîæèòè äðіá íà äðіá, òðåáà ïåðåìíîæèòè îêðåìî ÷èñåëüíèêè і îêðåìî çíàìåííèêè òà çàïèñà- òè ïåðøèé äîáóòîê ÷èñåëüíèêîì, à äðóãèé - çíàìåí- íèêîì äðîáó.

39. 39. Раціональні вирази 39 Ïðèêëàä 2. Çíàéäіòü äîáóòîê . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Âèêîðèñòàєìî ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ òà ðîçêëàäåìî íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê ïåðøîãî äðîáó і çíà- ìåííèê äðóãîãî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Çâåðíіòü óâàãó, ùî ó ïðèêëàäàõ 1 і 2 ïіä ÷àñ ìíîæåííÿ äðîáіâ ìè íå çíàõîäèëè îäðàçó ðåçóëüòàò ìíîæåííÿ ÷èñåëü- íèêіâ і çíàìåííèêіâ. Ñïî÷àòêó ìè çàïèñàëè äîáóòêè â ÷èñåëü- íèêó і çíàìåííèêó çà ïðàâèëîì ìíîæåííÿ äðîáіâ, ïîòіì ñêî- ðîòèëè îòðèìàíèé äðіá, áî âіí âèÿâèâñÿ ñêîðîòíèì, à âæå ïîòіì âèêîíàëè ìíîæåííÿ â ÷èñåëüíèêó і â çíàìåííèêó òà çàïèñàëè âіäïîâіäü. Äîöіëüíî öå âðàõîâóâàòè і íàäàëі. Ïðèêëàä 3. Ïîìíîæèòè äðіá íà ìíîãî÷ëåí x2 + 4x + 4. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Âðàõóâàâøè, ùî x2 + 4x + 4x  , ìàєìî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ ìîæíà ïîøèðèòè íà äîáóòîê òðüîõ і áіëüøå ìíîæíèêіâ. Ïðèêëàä 4. Ðîçãëÿíåìî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ n, äå n - íà- òóðàëüíå ÷èñëî. Çà îçíà÷åííÿì ñòåïåíÿ і ïðàâèëîì ìíîæåííÿ äðîáіâ ìàєìî:

40. 40. РОЗДІЛ 1 40 . Îòæå, Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ. Ïðèêëàä 5. . Ïðèêëàä 6. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 137. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 138. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ùîá ïіäíåñòè äðіá äî ñòåïåíÿ, òðåáà ïіäíåñòè äî öüîãî ñòåïåíÿ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê і ïåðøèé ðå- çóëüòàò çàïèñàòè â ÷èñåëüíèê, à äðóãèé - ó çíàìåí- íèê äðîáó. 1. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ. Äîâåäіòü éîãî. 2. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ. Äîâåäіòü éîãî.

41. 41. Раціональні вирази 41 139. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 140. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 141. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 4) ; 5) ; 6) . 142. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 4) ; 5) . 143. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 144. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 6) 145. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2)

42. 42. РОЗДІЛ 1 42 3) ; 4) . 146. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 147. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 148. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 5) ; 6) . 149. Ïіäíåñіòü äî ñòåïåíÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 150. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

43. 43. Раціональні вирази 43 Достатній рівень 151. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) . 152. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 153. Çíàéäіòü äîáóòîê: 1) ; 2) . 154. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 155. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 156. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá: 1) ; 2) . 157. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 158. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) .

44. 44. РОЗДІЛ 1 44 159. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî a  1,2, b  6; 2) , ÿêùî a  6. Високий рівень 160. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 161. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  100, b  101. Вправи для повторення . Ðîçâ'ÿæіòü ñèñòåìó ðіâíÿíü: 1) 2) . Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 164. Çíàéäіòü ÷èñëî, âçàєìíî îáåðíåíå іç ÷èñëîì: 1) 4; 2) -7; 3) ; 4) ; 5) 0,16; 6) 1,2. 165. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

45. 45. Раціональні вирази 45 Цікаві задачі для учнів неледачих 166. (XV Âñåóêðàїíñüêà îëіìïіàäà, 1975 ð.) Ïðè ÿêèõ íàòó- ðàëüíèõ çíà÷åííÿõ n ÷èñëî є êâàäðàòîì öіëîãî ÷èñëà? Íàãàäàєìî, ùîá çíàéòè ÷àñòêó äâîõ çâè÷àéíèõ äðîáіâ, òðå- áà äіëåíå ïîìíîæèòè íà äðіá, îáåðíåíèé äî äіëüíèêà: . Ôîðìóëîþ öå ìîæíà çàïèñàòè òàê: . Äîâåäåìî, ùî öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ äëÿ áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åíü a, b, c і d çà óìîâè, ùî b  0, c  0 і d  0. Îñêіëüêè , òî çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè ìàєìî: . Îòæå, ÿêùî b  0, c  0 і d  0, òî . Äðіá íàçèâàþòü îáåðíåíèì äî äðîáó . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî äіëåííÿ äðîáіâ. Ïðèêëàä 1. Ïîäіëіòü äðіá íà äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Â і ä ï î â і ä ü. . ÄІËÅÍÍß ÄÐÎÁІÂ6. Ùîá ïîäіëèòè îäèí äðіá íà äðóãèé, òðåáà ïåðøèé äðіá ïîìíîæèòè íà äðіá, îáåðíåíèé äî äðóãîãî.

46. 46. РОЗДІЛ 1 46 Ïðèêëàä 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 3. Ñïðîñòіòü âèðàç : (a2 + 4a + 4). Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè , òî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 167. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 168. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 169. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 3) Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî äіëåííÿ äðîáіâ. Äîâåäіòü éîãî.

47. 47. Раціональні вирази 47 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 170. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 6) . 171. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 172. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) 3) ; 4) . 173. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 3) 5) ; 6) . 174. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) 3) ; 4) .

48. 48. РОЗДІЛ 1 48 175. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 176. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Достатній рівень 177. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 178. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі íåñêîðîòíîãî äðîáó âèðàç: 1) ; 2) . 179. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 180. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî x  -3; 2) , ÿêùî m  10, n  3.

49. 49. Раціональні вирази 49 181. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî , y  0,02; 2) , ÿêùî x  4,2, y  1,6. Високий рівень 182. Ñïðîñòіòü âèðàç . 183. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 184. Ñïðîñòіòü . 185. Âèêîíàéòå äіþ . Вправи для повторення 186. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі äâîõ äðîáіâ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 187. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó: 1) , ÿêùî , ; 2) , ÿêùî x  100, y  20. 188. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü .

50. 50. РОЗДІЛ 1 50 Цікаві задачі для учнів неледачих 189. Óêðàїíñüêèé ãðîñìåéñòåð іç øàõіâ Âàñèëü Іâàí÷óê âçÿâ ó÷àñòü ó ÷åìïіîíàòі ñâіòó ç áëіöó. Ó ïåðøèé äåíü âіí ïåðåìіã ñóïåðíèêіâ ó 70 % ïàðòіé, à íà äðóãèé äåíü âèãðàâ ùå 15 ïàð- òіé ïîñïіëü. Âіäñîòîê âèãðàøíèõ ïàðòіé çà äâà äíі ñÿãíóâ äî 80 %. Ñêіëüêè ïàðòіé çà öі äâà äíі çіãðàâ Âàñèëü Іâàí÷óê? Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè ïåðåòâîðåíü ðàöіîíàëüíèõ âèðàçіâ. Ïðèêëàä 1. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïðîñòèìî ëіâó ÷àñòèíó ðіâíîñòі: . Çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü ìè çâåëè ëіâó ÷àñòè- íó ðіâíîñòі äî ïðàâîї. Îòæå, ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ. Ïðèêëàä 2. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïî÷àòêó âèêîíàєìî äіþ â êîæíіé ç äó- æîê, à ïîòіì - äіþ äіëåííÿ: 1) 2) ; ÒÎÒÎÆÍІ ÏÅÐÅÒÂÎÐÅÍÍß ÐÀÖІÎÍÀËÜÍÈÕ ÂÈÐÀÇІÂ7.

51. 51. Раціональні вирази 51 3) . Â і ä ï î â і ä ü: . Ðîçâ'ÿçàííÿ ìîæíà áóëî çàïèñàòè é "ëàíöþæêîì": Êîæíèé âèðàç, ùî ìіñòèòü ñóìó, ðіçíèöþ, äîáóòîê і ÷àñòêó ðà- öіîíàëüíèõ äðîáіâ, ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó. Ïðèêëàä 3. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííèõ çíà÷åííÿ âèðàçó є íåâіä'єìíèì. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ìîæíà ïîäàòè öåé âèðàç ó âèãëÿäі ÷àñò- êè і äàëі ïåðåòâîðèòè éîãî, ÿê çà- ïðîïîíîâàíî ó ïðèêëàäі 2. À ìîæíà, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó, ïî- ìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äàíîãî äðîáó íà їõ ñïіëüíèé çíàìåííèê, òîáòî íà y: , àëå x2 I 0 ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííі x.

52. 52. РОЗДІЛ 1 52 Середній рівень 190. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 191. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 192. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 193. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 194. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 195. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) .

53. 53. Раціональні вирази 53 Достатній рівень 196. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 197. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 198. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 199. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) . 200. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 201. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 202. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2)

54. 54. РОЗДІЛ 1 54 203. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 204. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 205. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà- ÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííîї íå çàëåæèòü: 1) ; 2) . 206. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà- ÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííîї íå çàëåæèòü. 207. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 208. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ; 2) .

55. 55. Раціональні вирази 55 209. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) ; 6) . 210. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 4) ; 5) ; 6) . Високий рівень 211. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííèõ çíà÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííèõ íå çàëåæèòü: . 212. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  197. 213. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . 214. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó .

56. 56. РОЗДІЛ 1 56 215. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) 2) . 216. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї. 217. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó є äîäàòíèì ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї. 218. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó àáî öіëîãî âèðàçó: 1) ; 2) . 219. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó àáî öіëîãî âèðàçó: 1) ; 2) . Вправи для повторення . Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) x7x3 : x2; 2) (x5:x2) : x; 3) (a2)3 ∙ a; 4) (x3)5 : x4. . Äîâåäіòü, ùî ÷èñëî 89 - 412 äіëèòüñÿ íà 7. . Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії: 1) 2)

57. 57. Раціональні вирази 57 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 223. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї âèðàç ìàє çìіñò: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ? 224. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâíþє íóëþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 225. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) . 226. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) Цікаві задачі для учнів неледачих 227. (Ç êíèãè "Óíіâåðñàëüíà àðèôìåòèêà" Íüþòîíà). Äåõòî çàáàæàâ ðîçäіëèòè ïåâíó ñóìó êîøòіâ ìіæ æåáðàêàìè ïîðіâ- íó. ßêáè â íüîãî áóëî íà 8 äèíàðіâ áіëüøå, òî âіí ìàâ áè äàòè êîæíîìó ïî 3 äèíàðè, àëå âіí ðîçäàâ ëèøå ïî 2 äèíàðè і ùå 3 ó íüîãî çàëèøèëîñÿ. Ñêіëüêè áóëî æåáðàêіâ? Íàãàäàєìî, ùî Òàê, íàïðèêëàä, ðіâíîñèëüíèìè є ðіâíÿííÿ і , îñêіëüêè êîðåíåì êîæíîãî ç íèõ є ÷èñëî 2. Ðіâíÿííÿ і íå є ðіâíîñèëüíèìè, îñêіëü- êè êîðåíåì ïåðøîãî ç íèõ є ÷èñëî 10, à êîðåíåì äðóãîãî - ÷èñëî 9. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÐІÂÍßÍÍß. ÐІÂÍÎÑÈËÜÍІ ÐІÂÍßÍÍß8. äâà ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðіâíîñèëüíèìè, ÿêùî âîíè ìàþòü îäíі é òі ñàìі êîðåíі. Ðіâíîñèëüíèìè ââàæàþòü і òі ðіâíÿííÿ, ÿêі êîðåíіâ íå ìàþòü.

58. 58. РОЗДІЛ 1 58 Ðàíіøå, ó 7 êëàñі, âè îçíàéîìèëèñÿ ç âëàñòèâîñòÿìè, ùî ïåðåòâîðþþòü ðіâíÿííÿ íà ðіâíîñèëüíі їì ðіâíÿííÿ. Ðîçãëÿíåìî ðіâíÿííÿ: Ëіâà і ïðàâà ÷àñòèíè êîæíîãî ç íèõ є ðàöіîíàëüíèìè âè- ðàçàìè. Ó ïåðøèõ äâîõ іç çàïèñàíèõ âèùå ðіâíÿíü ëіâà і ïðàâà ÷àñ- òèíè є öіëèìè âèðàçàìè. Òàêі ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè ðіâíÿííÿìè. ßêùî â ðіâíÿííі õî÷à á îäíà ÷àñòèíà є äðîáîâèì âèðàçîì, òî ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü äðîáî- âèì ðàöіîíàëüíèì ðіâíÿííÿì. Òðåòє іç çàïèñàíèõ âèùå ðіâ- íÿíü є äðîáîâèì ðàöіîíàëüíèì. ßê ðîçâ'ÿçóâàòè öіëі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, ìè ðîçãëÿíó- ëè â ïîïåðåäíіõ êëàñàõ. Ðîçãëÿíåìî òåïåð, ÿê ðîçâ'ÿçóâàòè äðîáîâі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, òîáòî ðіâíÿííÿ çі çìіííîþ â çíàìåííèêó. 1. Âèêîðèñòàííÿ óìîâè ðіâíîñòі äðîáó íóëþ. Íàãàäàєìî, ùî  0, êîëè Ïðèêëàä 1. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü òà âëàñòèâîñòåé ðіâíÿíü çâåäåìî ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó , äå P і Q - öіëі ðàöіîíàëüíі âèðàçè. Ìàєìî: . 1) ßêùî â áóäü-ÿêіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ ðîçêðèòè äóæêè àáî çâåñòè ïîäіáíі äîäàíêè, òî îäåðæèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó; 2) ÿêùî â ðіâíÿííі ïåðåíåñòè äîäàíîê ç îäíієї ÷àñòèíè ó äðóãó, çìіíèâøè éîãî çíàê íà ïðîòèëåæíèé, òî îäåð- æèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó; 3) ÿêùî îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ ïîìíîæèòè àáî ïîäі- ëèòè íà îäíå é òå ñàìå âіäìіííå âіä íóëÿ ÷èñëî, òî îäåðæèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó. Ðіâíÿííÿ, ëіâà і ïðàâà ÷àñòèíè ÿêèõ є ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè, íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè ðіâíÿííÿìè.

59. 59. Раціональні вирази 59 Îñòàòî÷íî ìàєìî ðіâíÿííÿ: Ùîá äðіá äîðіâíþâàâ íóëþ, òðåáà, ùîá ÷èñåëüíèê 6 - 2x äîðіâíþâàâ íóëþ, à çíàìåííèê x - 2 íå äîðіâíþâàâ íóëþ. Òîäі: 6 - 2x  0, çâіäêè x  3. Ïðè x  3 çíàìåííèê x - 2  3 - 2  1  0. Îòæå, x  3 - єäèíèé êîðіíü ðіâíÿííÿ. Ðîçâ'ÿçóâàííÿ îñòàííüîãî ðіâíîñèëüíîãî äàíîìó ðіâíÿííÿ, âðàõîâóþ÷è óìîâó ðіâíîñòі äðîáó íóëþ, çðó÷íî çàïèñóâàòè òàê: Â і ä ï î â і ä ü. 3. Îòæå, ðîçâ'ÿçóþ÷è äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ, ìîæíà: 2. Âèêîðèñòàííÿ îñíîâíîї âëàñòèâîñòі ïðîïîðöії. ßêùî , òî PN  MQ, äå Q  0, N  0. Ïðèêëàä 2. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çíàéäåìî îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü (ÎÄÇ) çìіííîї â ðіâíÿííі. Îñêіëüêè çíàìåííèêè äðîáіâ íå ìî- æóòü äîðіâíþâàòè íóëþ, òî x - 1  0 і x - 2  0. Ìàєìî: x  1 і x  2, òîáòî ÎÄÇ çìіííîї x ìіñòèòü óñі ÷èñëà, êðіì 1 і 2. Çâåäåìî ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó ïðîïîðöії, äîäàâøè âèðà- çè ó ïðàâіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ: . Îäåðæèìî: . Çà îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîïîðöії ìàєìî: (2x + 1)(x - 2)  (2x - 2)(x - 1). Ðîçâ'ÿæåìî öå ðіâíÿííÿ: 2x2 - 4x +x - 2  2x2 - 2x - 2x + 2, çâіäêè x  4. 1) çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü çâåñòè ðіâíÿí- íÿ äî âèãëÿäó ; 2) ïðèðіâíÿòè ÷èñåëüíèê P äî íóëÿ і ðîçâ'ÿçàòè îäåð- æàíå öіëå ðіâíÿííÿ; 3) âèêëþ÷èòè ç éîãî êîðåíіâ òі, ïðè ÿêèõ çíàìåííèê Q äîðіâíþє íóëþ.

60. 60. РОЗДІЛ 1 60 Îñêіëüêè ÷èñëî 4 íàëåæèòü ÎÄÇ çìіííîї ïî÷àòêîâîãî ðіâ- íÿííÿ, òî 4 є éîãî êîðåíåì. Çàïèñ ðîçâ'ÿçóâàííÿ, ùîá íå çàáóòè âðàõóâàòè ÎÄÇ, çðó÷- íî çàêіí÷èòè òàê: Îòæå, äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ äðîáîâîãî ðàöіîíàëüíîãî ðіâíÿí- íÿ ìîæíà: 3. Ìåòîä ìíîæåííÿ îáîõ ÷àñòèí ðіâíÿííÿ íà ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ. Ïðèêëàä 3. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çíàéäåìî ÎÄÇ çìіííîї òà íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê óñіõ äðîáіâ ðіâíÿííÿ, ðîçêëàâøè çíà- ìåííèêè íà ìíîæíèêè: . Îáëàñòþ äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї áóäóòü òі çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêèõ x  0, x - 1  0, x + 1  0. Îòæå, âñі çíà÷åííÿ x, êðіì ÷èñåë 0; 1 і -1. À íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì áóäå âèðàç x(x - 1)(x + 1). Ïîìíîæèìî îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ íà öåé âèðàç: . 1) çíàéòè îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü (ÎÄÇ) çìіííîї â ðіâíÿííі; 2) çâåñòè ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó ; 3) çàïèñàòè öіëå ðіâíÿííÿ P *P N  M *M Q і ðîçâ'ÿçàòè éîãî;Q 4) âèêëþ÷èòè ç îòðèìàíèõ êîðåíіâ òі, ùî íå íàëåæàòü ÎÄÇ і çàïèñàòè âіäïîâіäü.

61. 61. Раціональні вирази 61 Ìàòèìåìî: x(x - 2)  5(x + 1) + 5(x - 1), à ïіñëÿ ñïðîùåí- íÿ: x2 - 12x  0, òîáòî x(x - 12)  0, çâіäêè x  0 àáî x  12. Àëå ÷èñëî 0 íå íàëåæèòü ÎÄÇ çìіííîї ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿí- íÿ, òîìó íå є éîãî êîðåíåì. Îòæå, ÷èñëî 12 - єäèíèé êîðіíü ðіâíÿííÿ. Â і ä ï î â і ä ü. 12. Ðîçâ'ÿçóþ÷è äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ, ìîæíà: Ïðèêëàä 4. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðіâíîñèëü- íèìè, ÿêùî âîíè ìàþòü îäíі é òі ñàìі êîðåíі, àáî íå ìàþòü êîðåíіâ, çíàéäåìî êîðåíі äàíèõ ðіâíÿíü. Ïåðøå ðіâíÿííÿ ìàє єäèíèé êîðіíü x  2, à äðóãå - äâà êîðåíі x  0 і x  2 (ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ ñàìîñòіéíî). Òîìó ðіâíÿííÿ íå є ðіâíîñèëüíèìè. Â і ä ï î â і ä ü. Íі. Початковий рівень 228. (Óñíî.) Íàçâіòü öіëі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, äðîáîâі ðàöіî- íàëüíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 1) çíàéòè îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї â ðіâíÿííі; 2) çíàéòè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ, ùî âõîäÿòü ó ðіâíÿííÿ; 3) ïîìíîæèòè îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ íà öåé ñïіëü- íèé çíàìåííèê; 4) ðîçâ'ÿçàòè îäåðæàíå öіëå ðіâíÿííÿ; 5) âèêëþ÷èòè ç éîãî êîðåíіâ òі, ùî íå íàëåæàòü îáëàñ- òі äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї ðіâíÿííÿ. 1. ßêі ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè? 2. ßêå ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü öіëèì ðàöіîíàëüíèì, à ÿêå - äðîáîâèì ðàöіîíàëüíèì? 3. ßê ìîæíà ðîçâ'ÿçàòè äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ?

62. 62. РОЗДІЛ 1 62 229. ×è є ÷èñëî 1 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 230. ×è є ÷èñëî 2 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 231. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 232. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 233. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 234. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 235. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 236. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

63. 63. Раціональні вирази 63 237. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) і ; 2) 238. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) і ; 2) і ? 239. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 240. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 241. Çíàéäіòü äðіá, ùî äîðіâíþє , ó ÿêîãî çíàìåííèê íà 5 áіëüøèé çà ÷èñåëüíèê. 242. Çíàéäіòü äðіá, ùî äîðіâíþє , ó ÿêîãî ÷èñåëüíèê íà 12 ìåíøèé âіä çíàìåííèêà. 243. ßêå ÷èñëî òðåáà äîäàòè äî ÷èñåëüíèêà äðîáó , ùîá îòðèìàòè äðіá ? 244. ßêå ÷èñëî òðåáà âіäíÿòè âіä çíàìåííèêà äðîáó , ùîá îòðèìàòè äðіá ?

64. 64. РОЗДІЛ 1 64 Достатній рівень 245. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) 246. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 247. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? 248. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? 249. ×èñåëüíèê äðîáó íà 5 ìåíøèé âіä çíàìåííèêà. ßêùî äî ÷èñåëüíèêà äîäàòè 14, à âіä çíàìåííèêà âіäíÿòè 1, òî îäåðæè- ìî äðіá, îáåðíåíèé äàíîìó. Çíàéäіòü ïî÷àòêîâèé äðіá. 250. Çíàìåííèê äðîáó íà 3 áіëüøèé çà ÷èñåëüíèê. ßêùî äî ÷èñåëüíèêà äîäàòè 8, à âіä çíàìåííèêà âіäíÿòè 1, òî îäåðæè- ìî äðіá, îáåðíåíèé äàíîìó. Çíàéäіòü ïî÷àòêîâèé äðіá. 251. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 252. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) .

65. 65. Раціональні вирази 65 Високий рівень 253. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) 254. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) 255. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ a ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ'ÿçêіâ: 1) ; 2) ? 256. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ a ðіâíÿííÿ ìàє ëèøå îäèí êîðіíü? Вправи для повторення 257. Ñïðîñòіòü âèðàç òà çíàéäіòü éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî x  100. 258. Ñêîðîòіòü äðіá . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 259. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ ñòåïåíÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 260. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

66. 66. РОЗДІЛ 1 66 261. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) ç îñíîâîþ 2 ÷èñëà 2, 4, 8, 16, 32, 128, 512; 2) ç îñíîâîþ 3 ÷èñëà 81, 243; 3) ç îñíîâîþ 5 ÷èñëà 5, 25, 625; 4) ç îñíîâîþ 10 ÷èñëà 100, 10 000. Цікаві задачі для учнів неледачих 262. Âèäàòíі óêðàїíöі. Çàïèøіòü ïî ãîðèçîíòàëÿõ ïðіçâèùà âèäàòíèõ óêðàїíöіâ (çà ïîòðåáè âèêîðèñòîâóéòå äîäàòêîâó ëі- òåðàòóðó òà Іíòåðíåò) і îòðèìàєòå ó âèäіëåíîìó ñòîâï÷èêó ïðіçâèùå âèäàòíîãî ôðàíöóçüêîãî ìàòåìàòèêà, ïðî äîñëі- äæåííÿ ÿêîãî ìè ðîçêàæåìî â îäíîìó ç íàñòóïíèõ ðîçäіëіâ. 1 2 3 4 1. Óêðàїíñüêèé øàõіñò, ãðîñìåéñòåð, ÷åìïіîí ñâіòó іç øàõіâ 2002 ðîêó. 2. Іíæåíåð-àâіàêîíñòðóêòîð, ùî íàðîäèâñÿ â Óêðàїíі, êîí- ñòðóêòîð ïåðøîãî ãåëіêîïòåðà. 3. Óêðàїíñüêèé ôóòáîëіñò, âîëîäàð "Çîëîòîãî ì'ÿ÷à" 1986 ðîêó. 4. Óêðàїíñüêèé ïèñüìåííèê, ïîåò, äðàìàòóðã, ãðîìàäñüêèé äіÿ÷, àâòîð ïîåìè "Åíåїäà". Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 2 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäі (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âà- ðіàíò âіäïîâіäі. . Çíàéäіòü äîáóòîê . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

67. 67. Раціональні вирази 67 3. Óêàæіòü ðіâíÿííÿ, êîðåíåì ÿêîãî є ÷èñëî 2. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 4. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 5. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 6. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ . À. -2,5; Á. 2,5; Â. ; Ã. êîðåíіâ íåìàє. 7. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. 2; Á. ; Â. ; Ã. . 8. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî . À. 0; Á. 1; Â. 2,01; Ã. 2. 9. Óêàæіòü ðіâíÿííÿ, ùî є ðіâíîñèëüíèì ðіâíÿííþ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 10. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

68. 68. РОЗДІЛ 1 68 11. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . À. 3; Á. 7; Â. 23; Ã. 27. 12. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . À. ðîçâ'ÿçêіâ íåìàє; Á. 7; Â. 3; Ã. 3; 7. ÇÀÂÄÀÍÍß ÄËß ÏÅÐÅÂІÐÊÈ ÇÍÀÍÜ ÄÎ § 5-8 . Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) . 3. ×è є ÷èñëî 4 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ? . Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 5. Ïіäíåñіòü äðіá äî ñòåïåíÿ: 1) ; 2) . 6. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . . Ñïðîñòіòü âèðàç .

69. 69. Раціональні вирази 69 8. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 9. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . Äîäàòêîâі çàâäàííÿ 10. Ñïðîñòіòü âèðàç 11. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Íàãàäàєìî, ùî â 7 êëàñі ìè âèâ÷àëè ñòåïіíü ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì. Çà îçíà÷åííÿì: , äå n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, n > 1 і a1  a. Ó ìàòåìàòèöі, à òàêîæ ïіä ÷àñ ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷ ïðàê- òè÷íîãî çìіñòó, íàïðèêëàä ç ôіçèêè àáî õіìії, òðàïëÿþòüñÿ ñòåïåíі, ïîêàçíèê ÿêèõ äîðіâíþє íóëþ àáî є öіëèì âіä'єìíèì ÷èñëîì. Ñòåïіíü ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì ìîæíà çíàéòè â íà- óêîâіé òà äîâіäêîâіé ëіòåðàòóðі. Íàïðèêëàä, ìàñó àòîìà ãåëіþ çàïèñóþòü òàê: 6,64 ∙ 10-27 êã. ßê ðîçóìіòè çìіñò çàïèñó 10-27? Ðîçãëÿíåìî ñòåïåíі ÷èñëà 3 ç ïîêàçíèêàìè 1, 2, 3, 4, ...: 31, 32, 33, 34, ... - öå âіäïîâіäíî 3, 9, 27, 81, ... Ó öüîìó ðÿäêó êîæíå íàñòóïíå ÷èñëî âòðè÷і áіëüøå çà ïîïåðåäíє. Ïðîäîâæèìî ðÿäîê ó ïðîòèëåæíîìó íàïðÿìêó, çìåíøóþ÷è êîæíîãî ðàçó ïîêàçíèê ñòåïåíÿ íà 1. Îäåðæèìî: ..., 3-3, 3-2, 3-1, 30, 31, 32, 33, 34, ... ×èñëî 30 ïîâèííî áóòè âòðè÷і ìåíøèì âіä 31, òîáòî - âіä ÷èñëà 3. Àëå âòðè÷і ìåíøèì âіä ÷èñëà 3 є ÷èñëî 1, îòæå, 30  1. Ðіâíіñòü a0  1 ñïðàâäæóєòüñÿ äëÿ áóäü-ÿêîї îñíîâè a, ÿêùî . ÑÒÅÏІÍÜ ІÇ ÖІËÈÌ ÏÎÊÀÇÍÈÊÎÌ9. Íóëüîâèé ñòåïіíü âіäìіííîãî âіä íóëÿ ÷èñëà à äîðіâ- íþє îäèíèöі, òîáòî a0  1 (ÿêùî a  0).

70. 70. РОЗДІЛ 1 70 Ïîâåðíіìîñÿ äî ðÿäêà çі ñòåïåíÿìè ÷èñëà 3, äå ëіâîðó÷ âіä ÷èñëà 30  1 çàïèñàíî ÷èñëî 3-1. Öå ÷èñëî âòðè÷і ìåíøå çà 1, òîáòî äîðіâíþє . Îòæå, . Ìіðêóþ÷è àíàëîãі÷íî, ìàòèìåìî: ; і ò. ä. Ïðèõîäèìî äî íà- ñòóïíîãî îçíà÷åííÿ ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: Ïðèêëàä 1. Çàìіíіòü ñòåïіíü äðîáîì: 1) 5-7; 2) x-1; 3) (a + b)-9. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çà îçíà÷åííÿì: 1) ; 2) ; 3) . Ïðèêëàä 2. Çàìіíіòü äðіá ñòåïåíåì іç öіëèì âіä'єìíèì ïî- êàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) ; 3) . Ïðèêëàä 3. Îá÷èñëіòü: 1) 4-2; 2) (-9)0; 3) (-5)-3. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) ; 3) . Ðîçãëÿíåìî, ÿê ïіäíåñòè äðіá äî öіëîãî âіä'єìíîãî ñòå- ïåíÿ. ßêùî n - íàòóðàëüíå ÷èñëî і a  0, ìàєìî: Îòæå, ÿêùî a  0 і n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî . ÿêùî a  0, b  0, n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî .

71. 71. Раціональні вирази 71 Ïðèêëàä 4. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) . 2) Âðàõîâóþ÷è ïîñëіäîâíіñòü âèêîíàííÿ àðèôìåòè÷èõ äіé, ñïî÷àòêó ïіäíåñåìî äðіá äî ñòåïåíÿ, à ïîòіì âèêîíàєìî ìíî- æåííÿ: Â і ä ï î â і ä ü. 1) ; 2) . Початковий рівень 263. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíà ðіâíіñòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 264. Çàìіíіòü äðîáîì ñòåïіíü іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 4-5; 2) a-1; 3) p-10; 4) c-8; 5) (2a)-3; 6) (a + b)-4. 265. Çàïèøіòü ñòåïіíü іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì ó âè- ãëÿäі äðîáó: 1) b-3; 2) 7-1; 3) 2-7; 4) t-6; 5) (3m)-2; 6) (c - d)-7. 266. Çàïèøіòü äðіá ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïî- êàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 1. ßêîãî çíà÷åííÿ íàáóâàє âèðàç a0, ÿêùî a  0? 2. Ñôîðìóëþéòå îçíà÷åííÿ ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì. 3. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü , äå a  0, b  0.

72. 72. РОЗДІЛ 1 72 267. Çàìіíіòü äðіá ñòåïåíåì іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Середній рівень 268. Îá÷èñëіòü: 1) 7-2; 2) (-2)-2; 3) (-1)-5; 4) 12-1; 5) (-7)-1; 6) 10-3; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) 0,1-1; 14) (-0,2)-2; 15) (1,2)-2; 16) (-0,25)-3. 269. Îá÷èñëіòü: 1) 2-3; 2) (-1)-6; 3) 15-1; 4) (-9)-1; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 0,2-1; 10) (-0,1)-2; 11) (1,5)-2; 12) (-0,5)-4. 270. Ïîäàéòå ÷èñëà 16; 8; 4; 2; 1; ; ; ; ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ 2. 271. Ïîäàéòå ÷èñëà 100; 10; 1; 0,1; 0,01 ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ 10. 272. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) -5-2; 2) (-0,8)-2; 3) ; 4) . 273. Îá÷èñëіòü: 1) -2-3; 2) (-0,4)-2; 3) ; 4) . 274. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó, ùî íå ìіñòèòü ñòåïåíÿ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 2a-3; 2) 3mb-1; 3) a2b-3c; 4) a-3b-7.

73. 73. Раціональні вирази 73 275. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó, ùî íå ìіñòèòü ñòåïåíÿ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 4b-5; 2) 7a-1p1 ; 3) mn-2p2 7; 4) c-2b-5. Достатній рівень 276. Îá÷èñëіòü: 1) 81 ∙ 3-5; 2) -25 ∙ 10-2; 3) 27 ∙ (-18)-1; 4) -4 + 30; 6) 8-2 + 6-1; 7) 2,5-1 + (-13)0; 8) 4-3 - (-4)-2; 9) (-8)-2 + (0,4)-1; 10) ; 12) 1,25-2 + 2,5-3. 277. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) -64 ∙ 4-4; 2) 36 ∙ (-27)-1; 3) 4) -7 ∙ 0,1-2 + 50; 5) 5-2 - 10-1; 6) ; 7) -2 - 1,2-3. 278. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì âèðàç: 1) 8-13; 2) (-3,7)-10; 3) (-2,9)-11; 4) -(-2,1)-7. 279. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì çíà÷åííÿ âèðàçó an, ÿêùî: 1) a > 0 і n - öіëå ÷èñëî; 2) a < 0 і n - ïàðíå âіä'єìíå ÷èñëî; 3) a < 0 і n - íåïàðíå âіä'єìíå ÷èñëî. 280. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì çíà÷åííÿ âèðàçó bm, ÿêùî: 1) b  5, m  -13; 2) b  -1, m  -200; 3) b  -3, m  -41. 281. Ïåðåòâîðіòü âèðàç òàê, ùîá âіí íå ìіñòèâ ñòåïåíіâ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) .

74. 74. РОЗДІЛ 1 74 282. Âèêîðèñòîâóþ÷è âіä'єìíèé ïîêàçíèê ñòåïåíÿ, ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 283. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі äîáóòêó, âèêîðèñòîâóþ÷è ñòåïіíü ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 284. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) m-3 + n-2; 2) ab-1 + ba-1 + c0; 3) (m + n-1)(m-1 + n); 4) (a-1 + b-1) : (a-2 - b-2). 285. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) xy-3 + x-1y2; 2) (x-2 - y-2) : (x-1 - y-1). Високий рівень 286. Îá÷èñëіòü: 1) (1 + (1 - 5-2)-1)-1; 2) (1 - (1 + 3-1)-2)-2. 287. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó (1 + (1 - 3-1)-1)-1 + (1 - (1 + 3-1)-1)-1. 288. Ñïðîñòіòü âèðàç . Вправи для повторення . Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) . . Ñåðãіé ñêàçàâ Îëåêñіþ: "Äàé ìåíі 2 ãðèâíі, і òîäі ãðî- øåé ó íàñ ñòàíå ïîðіâíó". Îëåêñіé âіäïîâіâ Ñåðãіþ: "Êðàùå òè äàé ìåíі 2 ãðèâíі, і òîäі ãðîøåé â ìåíå ñòàíå âäâі÷і áіëüøå, íіæ ó òåáå". Ñêіëüêè ãðîøåé ó êîæíîãî ç õëîïöіâ?

75. 75. Раціональні вирази 75 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 291. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) a5a3; 2) b7 : b3; 3) (c5)4; 4) m7m; 5) t10 : t; 6) (p(( 7)2. 292. Ïіäíåñіòü äî ñòåïåíÿ îäíî÷ëåí: 1) (mn2)7; 2) (-2p2 3)2; 3) (-5cm2)3; 4) (-a2c3)10. 293. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) (5m2n)3 ∙ (0,2m3n)2; 2) (-0,1p7c3)4 ∙ (10pc0 2)3. Цікаві задачі для учнів неледачих 294. (Çàäà÷à Ñòåíôîðäñüêîãî óíіâåðñèòåòó). Ñåðåä äіäóñåâèõ ïàïåðіâ áóëî çíàéäåíî ðàõóíîê іç çàïèñîì: 72 іíäèêè - *67,9* äîëàðіâ. Ïåðøó é îñòàííþ öèôðè âàðòîñòі іíäèêіâ çàìіíèëè çіðî÷- êàìè, îñêіëüêè âîíè ñòåðëèñÿ і ñòàëè íåðîçáіðëèâèìè. Ùî öå çà öèôðè і ñêіëüêè êîøòóâàâ îäèí іíäèê? Âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì ñïðàâäæó- þòüñÿ і äëÿ ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ, âіäìіííîþ âіä íóëÿ, і öіëèì ïîêàçíèêîì. Îòæå, Öі âëàñòèâîñòі ìîæíà äîâåñòè, ñïèðàþ÷èñÿ íà ôîðìóëó òà âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì. Äîâåäåìî, íàïðèêëàä, ôîðìóëó am ∙ an  am+n äëÿ âèïàäêó, êîëè m і n - âіä'єìíі öіëі ÷èñëà. ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒІ ÑÒÅÏÅÍß ІÇ ÖІËÈÌ ÏÎÊÀÇÍÈÊÎÌ10. äëÿ áóäü-ÿêîãî a  0, b  0 і áóäü-ÿêèõ öіëèõ m і n: am ∙ an  am+n; am : an  am-n; (am)n  amn; (ab)n  anbn; .

76. 76. РОЗДІЛ 1 76 Íåõàé m  -p- , n  -q, äå p і q - íàòóðàëüíі ÷èñëà. Ìàєìî: . Îòæå, am ∙ an  am+n, ÿêùî m і n - âіä'єìíі öіëі ÷èñëà. Ó ðàçі ÿêùî îäèí ç ïîêàçíèêіâ m àáî n - âіä'єìíå öіëå ÷èñëî, à äðóãèé - íàòóðàëüíå ÷èñëî àáî íóëü, ôîðìóëà äîâîäèòüñÿ àíàëîãі÷íî. Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå äіþ: 1) a2a-7; 2) b15 : b20; 3) (x-3)2 ∙ x-14. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) a2a-7  a2+(-7)  a-5; 2) b15 : b20  b15-20  b-5; 3) (x-3)2 ∙ x-14  x-3∙2 ∙ x-14  x-6 ∙ x-14  x-6+(-14)  x-20. Ïðèêëàä 2. Ñïðîñòіòü âèðàç (4a5b-6)-2. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïðèêëàä 3. . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïîäàìî 9 òà 27 ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíî- âîþ 3 òà âèêîðèñòàєìî âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ: . Â і ä ï î â і ä ü. 3. Початковий рівень 295. (Óñíî.) ßêі ç ðіâíîñòåé є òîòîæíîñòÿìè: 1) m3 ∙ m-7  m-21; 2) a7 ∙ a-9  a-2; 3) a5 ∙ a-5  a; 4) c8 : c-5  c13; 5) c4 : c5  c; 6) m : m8  m-7; 7) (a7)-1  a-7; 8) (b-2)-3  b-6; 9) (t5)-2  t10? 296. Ïîäàéòå äîáóòîê ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) a5a-2; 2) a-7a6; 3) a9a-9; 4) a-4a-3. 297. Ïîäàéòå äîáóòîê ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) b7b-3; 2) b-6b3; 3) b-5b-7; 4) b-8b8. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ іç öіëèì ïîêàçíèêîì.

77. 77. Раціональні вирази 77 298. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) m3 : m-2; 2) m5 : m6; 3) m-3 : m-3; 4) m-1 : m-8. 299. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) c5 : c-1; 2) c2 : c8; 3) c-2 : c-3; 4) c-4 : c-4. 300. Ïіäíåñіòü ñòåïіíü äî ñòåïåíÿ: 1) (x-4)-2; 2) (x-1)17; 3) (x0)-5; 4) (x7)-4. 301. Ïіäíåñіòü ñòåïіíü äî ñòåïåíÿ: 1) (n-2)-7; 2) (n15)-1; 3) (n-8)0; 4) (n5)-3. Середній рівень 302. Ïîäàéòå a-10 ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ ñòåïåíіâ ç îäíàêîâè- ìè îñíîâàìè, ÿêùî îäèí ç ìíîæíèêіâ äîðіâíþє: 1) a-3; 2) a7; 3) a-1; 4) a12. 303. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ ñòåïåíіâ ç îäíà- êîâèìè îñíîâàìè: 1) m8; 2) m-2; 3) m-17; 4) m0. 304. Îá÷èñëіòü: 1) 27 ∙ 2-6; 2) 5-3 ∙ 5; 3) ; 4) ; 5) 38 : 39; 6) 7-15 : 7-16; 7) 9 : 9-1; 8) ; 9) (2-2)3; 10) ; 11) (0,1-1)4; 12) . 305. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 39 ∙ 3-8; 2) 2-3 ∙ 2; 3) ; 4) ; 5) 104 : 105; 6) 8-12 : 8-13; 7) 7 : 7-1; 8) ; 9) (3-1)4; 10) ; 11) (0,23)-1; 12) .

78. 78. РОЗДІЛ 1 78 306. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ a: 1) a7 : a3 ∙ a-12; 2) (a5)-3 ∙ a12; 3) (a-8)3 : a4; 4) a0 ∙ (a-3)4 ∙ a5; 5) a-3 ∙ a0 : a5 : a; 6) (a3)-2 ∙ (a-1)-6. 307. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ b: 1) b3 : b7 ∙ b2; 2) (b-2)4 ∙ b10; 3) (b3)-2 : b3; 4) b7 ∙ (b-2)3 ∙ b0; 5) b0 ∙ b-4 : b3 : b; 6) (b-4)-1 ∙ (b2)-2. 308. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 3) ; 4) . 309. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 310. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) (xy)-2; 2) (ab-2)-3; 3) (x-4y3)-1; 4) (m0c-3)-2; 5) (0,1a-2)-1; 6) ; 7) (-2c-3p3 )-3; 8) 311. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) (p(( -2n)-5; 2) (a-2b3)-4; 3) (0,2m-4)-1; 4) ; 5) (-4ab-2)-3; 6) Достатній рівень 312. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) 64m-3; 2) 0,01p-8; 3) 0,0025c-8p8 12; 4) .

# data[].attributes.attachment_link.description
Published on 1. 88 АЛГЕБРААЛГЕБРА Î.Ñ. ²ñòåðÎ.Ñ. ²ñòååð 2. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0699 3ISBN 978-966-11-0699-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Àëãåáðà : ïіäðó÷. äëÿ 8-ãî êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Published on

1. 1. 88 АЛГЕБРААЛГЕБРА Î.Ñ. ²ñòåðÎ.Ñ. ²ñòååð

2. 2. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0699 3ISBN 978-966-11-0699-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Àëãåáðà : ïіäðó÷. äëÿ 8-ãî êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016. - 272 ñ. ISBN 978-966-11-0699-3. Підручник відповідає новій програмі з математики, містить до- статню кількість диференційованих вправ та прикладних задач. Після кожного розділу наведено вправи для його повторення. Для підготовки до контрольної роботи передбачено "Домашню самостійну роботу" та "Завдання для перевірки знань". Наприкінці підручника наведено ма- теріал для повторення курсу математики 5-6 класів та курсу алгебри 7 класу, задачі підвищеної складності, предметний покажчик та відпо- віді до більшості вправ. Для найдопитливіших є низка нестандартних задач у рубриці "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий ма- теріал. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè (Íàêàç Ìіíіñòåðñòâà îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè âіä 10.05.2016 № 491) Åêñïåðòè, ÿêі çäіéñíèëè åêñïåðòèçó ïіäðó÷íèêà ïіä ÷àñ ïðîâå- äåííÿ êîíêóðñíîãî âіäáîðó ïðîåêòіâ ïіäðó÷íèêіâ äëÿ ó÷íіâ 8 êëà- ñó çàãàëüíîîñâіòíіõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäіâ і çðîáèëè âèñíîâîê ïðî äîöіëüíіñòü íàäàííÿ ïіäðó÷íèêó ãðèôà "Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñ- òåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè": Áіäþê Â.Ã., ó÷èòåëü-ìåòîäèñò Íîâîñåëèöüêîãî ðàéîííîãî ìåòî- äè÷íîãî êàáіíåòó ×åðíіâåöüêîї îáëàñòі; Ãðèíüêіâ Î.І., ó÷èòåëü-ìåòîäèñò Äіäèëіâñüêîãî ÍÂÊ Êàì'ÿíêà- Áóçüêîãî ðàéîíó Ëüâіâñüêîї îáëàñòі; Ïàäàëêî Í.É., äîöåíò êàôåäðè äèôåðåíöіàëüíèõ ðіâíÿíü і ìàòå- ìàòè÷íîї ôіçèêè Ñõіäíîєâðîïåéñüêîãî íàöіîíàëüíîãî óíіâåðñèòå- òó іì. Ëåñі Óêðàїíêè, êàíäèäàò ïåäàãîãі÷íèõ íàóê. Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

3. 3. 3 Øàíîâíі ó÷íі!! Öüîãîðі÷ âè ïðîäîâæèòå âèâ÷àòè îäíó ç íàéâàæëèâіøèõ ìàòåìàòè÷íèõ äèñöèïëіí - àëãåáðó. Äîïîìîæå âàì ó öüîìó ïіäðó÷íèê, ÿêèé âè òðèìàєòå â ðóêàõ. Ïіä ÷àñ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çâåðíіòü óâàãó íà òåêñò, íàäðóêîâàíèé æèðíèì øðèôòîì. Éîãî òðåáà çàïàì'ÿòàòè. Çâåðíіòü óâàãó é íà óìîâíі ïîçíà÷åííÿ: - òðåáà çàïàì'ÿòàòè; - âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ; - çàïèòàííÿ і çàâäàííÿ äî âèâ÷åíîãî ìàòåðіàëó; - ðóáðèêà "Ðîçâ'ÿæіòü òà ïіäãîòóéòåñÿ äî âèâ÷åííÿ íîâîãî ìàòåðіàëó"; 1 - çàâäàííÿ äëÿ êëàñíîї ðîáîòè; 2 - äëÿ äîìàøíüîї ðîáîòè; - ðóáðèêà "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ" òà äî- äàòêîâèé ìàòåðіàë. Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü і ïîçíà÷åíî òàê: Ïîçíà÷êîþ âèîêðåìëåíî âïðàâè ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі. Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ ìîæíà, âèêîíóþ÷è çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìî- ñòіéíîї ðîáîòè" òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Ïіñëÿ êîæíîãî ðîçäіëó íàâåäåíî âïðàâè äëÿ éîãî ïîâòîðåííÿ, à â êіíöі ïіäðó÷íèêà - "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü çà êóðñ àëãåáðè 8 êëàñó". "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі" äîïîìî- æóòü ïіäãîòóâàòèñÿ äî ìàòåìàòè÷íîї îëіìïіàäè òà ïîãëèáèòè çíàííÿ ç ìàòåìàòèêè. Ïðèãàäàòè ðàíіøå âèâ÷åíі òåìè äîïî- ìîæóòü "Âіäîìîñòі ç êóðñó ìàòåìàòèêè 5-6 êëàñіâ òà êóð- ñó àëãåáðè 7 êëàñó", à ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ íà ïî÷àòêó íàâ÷àëüíîãî ðîêó - "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó àëãåáðè 7 êëàñó" â êіíöі ïіäðó÷íèêà. Àâòîð íàìàãàâñÿ ïîäàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ïіäðó÷íè- êà ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ, ïðîіëþñòðóâàòè éîãî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó ó øêîëі éîãî îáîâ'ÿçêîâî òðåáà îïðàöþâàòè âäîìà.

4. 4. 4 Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Áіëüøіñòü ç íèõ âè ðîçãëÿíåòå íà óðîêàõ òà ïіä ÷àñ äîìàøíüîї ðîáîòè, іíøі âïðàâè ðåêîìåíäóєòüñÿ ðîçâ'ÿçàòè ñàìîñòіéíî. Öіêàâі ôàêòè ç іñòîðії ðîçâèòêó òà ñòàíîâëåííÿ ìàòåìàòè- êè ÿê íàóêè âè çíàéäåòå ó ðóáðèöі "À ùå ðàíіøå..." Øàíîâíі â÷èòåëі! Ïðîïîíîâàíèé ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ; âïðàâè áіëüøîñòі ïàðàãðàôіâ ïîäàíî "іç çàïàñîì". Òîæ îáè- ðàéòå їõ äëÿ âèêîðèñòàííÿ íà óðîêàõ і ïîçàóðî÷íèõ çàíÿòòÿõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ, ñòóïåíÿ äèôåðåíöіàöії íàâ÷àííÿ òîùî. "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó àëãåáðè 7 êëàñó" äîïîìî- æóòü äіàãíîñòóâàòè âìіííÿ é íàâè÷êè ó÷íіâ ç àëãåáðè çà ïî- ïåðåäíіé ðіê òà ïîâòîðèòè íàâ÷àëüíèé ìàòåðіàë. Äîäàòêîâі âïðàâè ðóáðèêè "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü" ïðèçíà÷å- íî äëÿ ó÷íіâ, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàííÿìè ðàíіøå çà іíøèõ ó÷íіâ. Ïðàâèëüíå їõ ðîçâ'ÿçàííÿ â÷èòåëü ìîæå îöі- íèòè îêðåìî. Âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ ðîçäіëіâ ìîæíà çàïðî- ïîíóâàòè ó÷íÿì ïіä ÷àñ óçàãàëüíþþ÷èõ óðîêіâ àáî ïіä ÷àñ ïîâòîðåííÿ і ñèñòåìàòèçàöії íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó â êіíöі íàâ÷àëüíîãî ðîêó. Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі òà "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ" äîïîìîæóòü çàäîâîëüíèòè ïіäâè- ùåíó öіêàâіñòü ó÷íіâ äî ïðåäìåòà і ñïðèÿòèìóòü їõ ïіäãîòîâöі äî ðіçíîìàíіòíèõ ìàòåìàòè÷íèõ çìàãàíü. Øàíîâíі áàòüêè! ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ ç àë- ãåáðè, íåîáõіäíî çàïðîïîíóâàòè їé çà ïіäðó÷íèêîì óäîìà ñàìîñòіéíî îïðàöþâàòè ìàòåðіàë öèõ óðîêіâ. Ñïî÷àòêó ó÷åíü ìàє ïðî÷èòàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë, ÿêèé âèêëàäåíî ïðî- ñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ òà ìіñòèòü çíà÷íó êіëüêіñòü çðàçêіâ ðîçâ'ÿçóâàííÿ âïðàâ, à ïîòіì іç çàïðîïîíîâàíèõ ó âіäïîâіäíîìó òåìàòè÷íîìó ïàðàãðàôі çàâäàíü ðîçâ'ÿçàòè ïîñèëüíі їé âïðàâè. Óïðîäîâæ îïðàöþâàííÿ äèòèíîþ êóðñó àëãåáðè 8 êëàñó âè ìîæåòå ïðîïîíóâàòè їé äîäàòêîâî ðîçâ'ÿçóâàòè âäîìà âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ ïіä ÷àñ óðîêó. Öå ñïðèÿòèìå ÿêíàéêðà- ùîìó çàñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó. Êîæíà òåìà çàêіí÷óєòüñÿ òåìàòè÷íèì îöіíþâàííÿì. Ïåðåä éîãî ïðîâåäåííÿì çàïðîïîíóéòå äèòèíі ðîçâ'ÿçàòè çàâäàí- íÿ "Äîìàøíüîї ñàìîñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Öå äîïîìîæå ïðè- ãàäàòè îñíîâíі òèïè âïðàâ òà ÿêіñíî ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìà- òè÷íîãî îöіíþâàííÿ.

5. 5. 5 Ðîçäіë 1 Раціональні вирази Ó êóðñі àëãåáðè 7 êëàñó âè âæå çíàéîìèëèñÿ іç öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè, òîáòî ç âèðàçàìè, ùî íå ìіñòÿòü äіëåííÿ íà âèðàç çі çìіííîþ, íàïðèêëàä: 5m2p2 ; 4c3 + t9; (m - n)(m2 + n7); . Áóäü-ÿêèé öіëèé âèðàç ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі ìíîãî÷ëå- íà ñòàíäàðòíîãî âèãëÿäó, íàïðèêëàä: (m - n)(m2 + n7)  m3 + mn7 - nm2 - n8; . Íà âіäìіíó âіä öіëèõ âèðàçіâ, âèðàçè ; ; ; ; ìіñòÿòü äіëåííÿ íà âèðàç çі çìіííîþ. Òàêі âèðàçè íàçèâàþòü äðîáîâèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè. Öіëі ðàöіîíàëüíі і äðîáîâі ðàöіîíàëüíі âèðàçè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè. Раціоналльні виррази У цьому розділі ви: пригадаєте основну властивість звичайного дробу та основні властивості рівнянь; ознайомитеся з поняттями раціонального виразу, раціо- нального дробу, раціонального рівняння; з функцією , степенем із цілим показником, стандартним виглядом числа; навчитеся скорочувати раціональні дроби та зводити їх до нового знаменника; виконувати арифметичні дії з раціо- нальними дробами; розв'язувати раціональні рівняння. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÂÈÐÀÇÈ. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÄÐÎÁÈ1. Ðàöіîíàëüíі âèðàçè - öå ìàòåìàòè÷íі âèðàçè, ÿêі ìіñ- òÿòü äії äîäàâàííÿ, âіäíіìàííÿ, ìíîæåííÿ, äіëåííÿ òà ïіäíåñåííÿ äî ñòåïåíÿ іç öіëèì ïîêàçíèêîì.

6. 6. РОЗДІЛ 1 6 Ðàöіîíàëüíèé âèðàç âèãëÿäó , äå P і Q - âèðàçè, ùî ìіñ- òÿòü ÷èñëà àáî çìіííі, íàçèâàþòü äðîáîì. Âèðàç Ð є éîãî ÷è- ñåëüíèêîì, à Q - çíàìåííèêîì. ßêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó - ìíîãî÷ëåíè, òî äðіá íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèì äðîáîì. Öіëèé ðàöіîíàëüíèé âèðàç ìàє çìіñò ïðè áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åííÿõ çìіííèõ, ùî äî íüîãî âõîäÿòü, îñêіëüêè äëÿ çíàõî- äæåííÿ éîãî çíà÷åííÿ òðåáà âèêîíàòè äії äîäàâàííÿ, âіäíі- ìàííÿ і ìíîæåííÿ òà äіëåííÿ íà ÷èñëî, âіäìіííå âіä íóëÿ, ùî çàâæäè ìîæëèâî. Ðîçãëÿíåìî äðîáîâèé ðàöіîíàëüíèé âèðàç . Éîãî çíà- ÷åííÿ ìîæíà çíàéòè äëÿ áóäü-ÿêîãî çíà÷åííÿ x, êðіì x  3, îñêіëüêè ïðè x  3 çíàìåííèê äðîáó äîðіâíþâàòèìå íóëþ. Ó òàêîìó âèïàäêó êàæóòü, ùî âèðàç ìàє çìіñò ïðè âñіõ çíà÷åííÿõ çìіííîї x, êðіì x  3 (àáî ïðè x  3 íå ìàє çìіñòó). Öі çíà÷åííÿ óòâîðþþòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó, àáî îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííèõ ó âèðàçі. Ïðèêëàä 1. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) Âèðàç ìàє çìіñò ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åí- íÿõ çìіííîї m. 2) Äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї p - óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñëà -2, îñêіëüêè öå çíà÷åííÿ çìіííîї ïåðåòâîðþє çíà- ìåííèê äðîáó íà íóëü. 3) Çíàìåííèê äðîáó ïåðåòâî- ðþєòüñÿ íà íóëü, ÿêùî x  0 àáî x  9. Òîìó äîïóñòèìі çíà- ÷åííÿ çìіííîї x - óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñåë 0 і 9. 4) Äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї y - óñі ÷èñëà, êðіì 3 і -3. Ñêîðî÷åíî âіäïîâіäі ìîæíà çàïèñàòè òàê: 1) m - áóäü-ÿêå ÷èñëî; 2) p  -2; 3) x  0; x  9; 4) y  3; y  -3. Ðîçãëÿíåìî óìîâó ðіâíîñòі äðîáó íóëþ. Îñêіëüêè , ÿêùî Q  0, òî ìîæíà ïðèéòè äî âèñíîâêó, ùî äðіá äî- ðіâíþє íóëþ òîäі і òіëüêè òîäі, êîëè ÷èñåëüíèê P äîðіâíþє Çíà÷åííÿ çìіííèõ, ïðè ÿêèõ âèðàç ìàє çìіñò, íàçèâà- þòü äîïóñòèìèìè çíà÷åííÿìè çìіííèõ ó âèðàçі.

7. 7. Раціональні вирази 7 íóëþ, à çíàìåííèê Q íå äîðіâíþє íóëþ, òîáòî Ïðèêëàä 2. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї äîðіâíþє íóëþ çíà÷åííÿ äðîáó: 1) ; 2) ? Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ×èñåëüíèê äðîáó äîðіâíþє íóëþ, ÿêùî x  3. Öå çíà÷åííÿ çìіííîї íå ïåðåòâîðþє çíàìåííèê íà íóëü, òîìó x  3 є òèì çíà÷åííÿì çìіííîї, ïðè ÿêîìó äàíèé äðіá äîðіâ- íþє íóëþ. 2) ×èñåëüíèê äðîáó äîðіâíþє íóëþ, ÿêùî a  2 àáî a  -1. Ïðè êîæíîìó іç öèõ çíà÷åíü çíàìåííèê äðîáó íóëþ íå äîðіâíþє. Òîìó a  2 і a  -1 є òèìè çíà÷åííÿìè çìіííîї, ïðè ÿêèõ äàíèé äðіá äîðіâíþє íóëþ. 3) ×èñåëüíèê äðîáó äî- ðіâíþє íóëþ, ÿêùî b  0 àáî b  7. ßêùî b  0, çíàìåííèê äðîáó íóëþ íå äîðіâíþє, à ÿêùî b  7, çíàìåííèê äðîáó ïå- ðåòâîðþєòüñÿ íà íóëü, òîáòî äðіá íå іñíóє. Îòæå, äàíèé äðіá äîðіâíþє íóëþ ëèøå ïðè b  0. Â і ä ï î â і ä ü. 1) x  3; 2) a  2, a  -1; 3) b  0. Давньогрецький математик Діофант (бл. ІІІ ст. н. е.) розглянув раціональні дроби та дії з ними у своїй праці "Арифметика". Зо- крема на сторінках цієї книжки можна зустріти доведення тотожностей та , які записано тодішньою символікою. Видатний англійський учений Ісаак Ньютон (1643-1727) у своїй мо- нографії "Універсальна арифметика" (1707 р.) означує дріб наступ- ним чином: "Запис однієї з двох величин під іншою, нижче якої між ними проведено риску, означає частку або ж величину, що виникає при діленні верхньої величини на нижню". У цій роботі Ньютон роз- глядає не тільки звичайні дроби, а й раціональні. 1. ßêі âèðàçè íàçèâàþòü öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðà- çàìè, à ÿêі - äðîáîâèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè? Íà- âåäіòü ïðèêëàäè òàêèõ âèðàçіâ. 2. ßêі âèðàçè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè? 3. ßêі äðîáè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè äðîáàìè? 4. Ùî íàçèâàþòü äîïóñòèìèìè çíà÷åííÿìè çìіííîї? 5. Êîëè äðіá äîðіâíþє íóëþ?

8. 8. РОЗДІЛ 1 8 Початковий рівень 1. (Óñíî.) ßêі ç âèðàçіâ є öіëèìè, à ÿêі - äðîáîâèìè: 1) ; 2) ; 3) m2 + 2m - 8; 4) ; 5) ; 6) ; 7) (p(( - 2)2 + 7p7 ; 8) ? 2. Ç ðàöіîíàëüíèõ âèðàçіâ a3 - ab; ; ; ; ; âèïèøіòü òі, ùî є: 1) öіëèìè; 2) äðîáîâèìè. 3. ßêі ç äðîáіâ є ðàöіîíàëüíèìè äðîáàìè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? Середній рівень 4. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî a  1; -2; -3; 2) , ÿêùî x  4; -1. 5. Äіçíàéòåñÿ ïðіçâèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî àâіàêîíñòðóê- òîðà. Äëÿ öüîãî çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó ç ïåðøîї òàáëèöі òà ïåðåíåñіòü ëіòåðè, ùî âіäïîâіäàþòü öèì çíà÷åííÿì, ó äðóãó òàáëèöþ. Êîðèñòóþ÷èñü áóäü-ÿêèìè іíôîðìàöіéíèìè äæåðå- ëàìè, îçíàéîìòåñÿ ç áіîãðàôієþ öüîãî àâіàêîíñòðóêòîðà. x -3 -1 0 2 3 Ëіòåðè Ò Â À Î Í 1 -2 -0,5 -3 -2 -3 0

9. 9. Раціональні вирази 9 6. Ñêëàäіòü äðіá: 1) ÷èñåëüíèêîì ÿêîãî є ðіçíèöÿ çìіííèõ a і b, à çíàìåííè- êîì - їõ ñóìà; 2) ÷èñåëüíèêîì ÿêîãî є äîáóòîê çìіííèõ x і y, à çíàìåííè- êîì - ñóìà їõ êâàäðàòіâ. 7. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) m2 - 5; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 8. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) p + 9; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 9. Çà t ãîä àâòîìîáіëü ïîäîëàâ 240 êì. Ñêëàäіòü âèðàç äëÿ îá- ÷èñëåííÿ øâèäêîñòі àâòîìîáіëÿ (ó êì/ãîä). Çíàéäіòü çíà÷åííÿ îäåðæàíîãî âèðàçó, ÿêùî t  3; 4. 10. Ó÷åíü âèòðàòèâ 48 ãðí äëÿ ïðèäáàííÿ ï ðó÷îê. Ñêëàäіòü âèðàç äëÿ îá÷èñëåííÿ öіíè ðó÷êè (ó ãðí) òà îá÷èñëіòü éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî ï  8; 10. Достатній рівень 11. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâ- íþє: 1) -2; 2) 9; 3) 0,01; 4) -4,9? 12. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâ- íþє: 1) -8; 2) 0,25? 13. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі x äîðіâíþє íóëþ äðіá: 1) ; 2) ; 3) ?

10. 10. РОЗДІЛ 1 10 14. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі y äîðіâíþє íóëþ äðіá: 1) ; 2) ; 3) ? 15. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 3) ; 4) . 16. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 17. Ñêëàäіòü âèðàç çі çìіííîþ x, ùî ìàâ áè çìіñò ïðè áóäü- ÿêèõ çíà÷åííÿõ x, êðіì: 1) x  2; 2) x  1 і x  -4. Високий рівень 18. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 3) ; 4) . 19. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 3) ; 4) . 20. Âèçíà÷òå çíàê äðîáó: 1) , ÿêùî x > 0, y < 0; 2) , ÿêùî m > 0, n < 0; 3) , ÿêùî p < 0, n > 0; 4) , ÿêùî a < 0, c < 0. 21. Äîâåäіòü, ùî ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó: 1) є äîäàòíèì; 2) є âіä'єìíèì; 3) є íåâіä'єìíèì; 4) є íåäîäàòíèì.

11. 11. Раціональні вирази 11 Вправи для повторення 22. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà ìíîãî÷ëåí: 1) (a2 + 2a - 7) - (a2 - 4a - 9); 2) 3x2y(2x - 3y + 7); 3) (x2 - 2x)(x + 9); 4) (x2 - 5)2 + 10x2. 23. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 4x(2x - 7) + 3x(5 - 2x)  2x2 + 39. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 4. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 25. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 24; 2) äî çíàìåííèêà 28; 3) äî çíàìåííèêà 30; 4) äî çíàìåííèêà 63. 26. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ âèðàç: 1) m3m4; 2) pp7; 3) x9 : x3; 4) (a3)7; 5) b2  (b3)4; 6) (c4)5 : c12. 27. Íà ÿêèé âèðàç òðåáà ïîìíîæèòè îäíî÷ëåí , ùîá îòðè- ìàòè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 28. Ðîçêëàäіòü íà ìíîæíèêè ìíîãî÷ëåí: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) . Цікаві задачі для учнів неледачих 29. (Êèїâñüêà ìіñüêà îëіìïіàäà, 1985 ð.) Çíàéäіòü óñі òàêі òðè- öèôðîâі ÷èñëà, ÿêі ó 12 ðàçіâ áіëüøі çà ñóìó ñâîїõ öèôð.

12. 12. РОЗДІЛ 1 12 Ïðèãàäàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü çâè÷àéíîãî äðîáó: ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäíå é òå ñàìå íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî îäåðæèìî äðіá, ùî äî- ðіâíþє äàíîìó. Іíàêøå êàæó÷è, äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë a, b і c ñïðàâäæóþòüñÿ ðіâíîñòі: і . Äîâåäåìî, ùî öі ðіâíîñòі є ïðàâèëüíèìè íå òіëüêè äëÿ íà- òóðàëüíèõ çíà÷åíü a, b і c, à é äëÿ áóäü-ÿêèõ іíøèõ çíà÷åíü çà óìîâè b  0 і c  0. Äîâåäåìî ñïî÷àòêó, ùî . Íåõàé . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  bp. Ïîìíîæèìî îáèäâі ÷àñòèíè öієї ðіâíîñòі íà c, ìàòèìåìî: ac  (bp)c. Âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâíó і ñïîëó÷íó âëàñòèâîñ- òі ìíîæåííÿ, îäåðæèìî: ac  (bc)p)) . Îñêіëüêè b  0 і c  0, òî і bñ  0. Ç îñòàííüîї ðіâíîñòі (çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè) ìàєìî: . Îñêіëüêè і , òî . Öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ, îòæå, ìîæåìî ïîìіíÿòè â íіé ëіâó і ïðàâó ÷àñòèíè ìіñöÿìè: . Öÿ òîòîæíіñòü äàє çìîãó çàìіíèòè äðіá íà äðіá , òîá- òî ñêîðîòèòè äðіá íà ñïіëüíèé ìíîæíèê c ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà. Âëàñòèâіñòü äðîáó, ùî çàïèñóєòüñÿ ðіâíîñòÿìè і , íàçèâàþòü îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ðàöіîíàëüíîãî äðîáó. Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè çàñòîñóâàííÿ öієї âëàñòèâîñòі äëÿ äðîáіâ íà їõ îáëàñòі äîïóñòèìèõ çíà÷åíü. ÎÑÍÎÂÍÀ ÂËÀÑÒÈÂІÑÒÜ ÐÀÖІÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÄÐÎÁÓ2. ßêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäèí і òîé ñàìèé âіäìіííèé âіä íóëÿ âè- ðàç, òî îäåðæèìî äðіá, ùî äîðіâíþє äàíîìó.

13. 13. Раціональні вирази 13 Ïðèêëàä 1. Ñêîðîòіòü äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïîäàìî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê öüîãî äðîáó ó âèãëÿäі äîáóòêіâ, ùî ìіñòÿòü îäíàêîâèé (ñïіëüíèé) ìíîæíèê 8a, і ñêîðîòèìî äðіá íà öåé âèðàç: . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 2. Ñêîðîòіòü äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ðîçêëàäåìî íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó: . Ñêîðîòèìî äðіá íà x + 3y - ñïіëüíèé ìíîæíèê ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà: . Â і ä ï î â і ä ü. . Îòæå, ùîá ñêîðîòèòè äðіá, òðåáà: Òîòîæíіñòü äàє çìîãó çâîäèòè äðîáè äî çàäàíîãî іíøîãî (íîâîãî) çíàìåííèêà. Ïðèêëàä 3. Çâåäіòü äðіá äî çíàìåííèêà 12p2 4. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè 12p2 4  4p4 ∙ 3p3 3, òî, ïîìíîæèâøè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó íà 3p3 3, îäåðæèìî äðіá çі çíàìåííèêîì 12p2 4: . Ìíîæíèê 3p3 3 íàçèâàþòü äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì ÷èñåëü- íèêà і çíàìåííèêà äðîáó . 1) ðîçêëàñòè íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðî- áó, ÿêùî öå íåîáõіäíî; 2) âèêîíàòè äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà íà їõ ñïіëüíèé ìíîæíèê òà çàïèñàòè â і ä ï î â і ä ü.

14. 14. РОЗДІЛ 1 14 Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 4. Çâåäіòü äðіá äî çíàìåííèêà b - a. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè b - a  -1 ∙ (a - b), òî, ïîìíîæèâ- øè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó íà -1, îäåðæèìî äðіá çі çíàìåííèêîì b - a: . Äðіá ìîæíà çàìіíèòè òîòîæíî ðіâíèì éîìó âèðàçîì , îñêіëüêè çìіíà çíàêà ïåðåä äðîáîì ïðèçâîäèòü äî çìі- íè çíàêà ÷èñåëüíèêà àáî çíàìåííèêà. Òîìó . Â і ä ï î â і ä ü. . Àíàëîãі÷íî, íàïðèêëàä, . Îòæå, Öå ïðàâèëî ìîæíà çàïèñàòè çà äîïîìîãîþ òîòîæíîñòі: . Ïðèêëàä 5. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії і ïîáóäóéòå її ãðàôіê. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíêöії є óñі ÷èñ- ëà, êðіì òèõ, ùî ïåðåòâîðþþòü çíàìåííèê 2x - 4 íà íóëü. Îñêіëüêè 2x - 4  0 ïðè x  2, òî îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíê- öії є óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñëà 2. Ñïðîñòèìî âèðàç , ñêî- ðîòèâøè äàíèé äðіá: . Îòæå, ôóíêöіÿ ìàє âèãëÿä çà óìîâè x  2, à її ãðàôіêîì є ÿêùî çìіíèòè çíàê ó ÷èñåëüíèêó (àáî çíàìåííèêó) äðîáó îäíî÷àñíî іç çíàêîì ïåðåä äðîáîì, òî îäåðæè- ìî äðіá, òîòîæíî ðіâíèé äàíîìó.

15. 15. Раціональні вирази 15 ïðÿìà áåç òî÷êè ç àáñöèñîþ 2, òîáòî áåç òî÷êè (2; 1). Òàêó òî÷êó íàçè- âàþòü "âèêîëîòîþ" і îáîâ'ÿçêîâî âèëó- ÷àþòü її ç ãðàôіêà, çîáðàæóþ÷è "ïî- ðîæíüîþ". Ãðàôіê ôóíêöії ïîäàíî íà ìàëþíêó 1. Початковий рівень 30. (Óñíî.) Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 31. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Середній рівень 32. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 33. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Ìàë. 1 1. ßêèìè ðіâíîñòÿìè çàïèñóþòü îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó? Ñôîðìóëþéòå öþ âëàñòèâіñòü. 2. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 3. Ïîÿñíіòü, ÿê ñêîðîòèòè ðàöіîíàëüíèé äðіá.

16. 16. РОЗДІЛ 1 16 34. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі äðîáó і ñêîðîòіòü öåé äðіá: 1) 12x2y : (4xy3); 2) 3a2bc : (-18ab2c2); 3) -10ap3 : (-15a2); 4) -14x9 : (2x7y). 35. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 20m; 2) äî çíàìåííèêà a5. 36. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 15p5 ; 2) äî çíàìåííèêà y7. 37. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 4) . 38. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 4) . 39. Ðîçêëàäіòü íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó òà ñêîðîòіòü éîãî: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 40. Ñêîðîòіòü äðіá, ïîïåðåäíüî ðîçêëàâøè éîãî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà ìíîæíèêè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 41. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

17. 17. Раціональні вирази 17 42. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) Достатній рівень 43. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) ; 6) . 44. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 45. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà a2 - ab; 2) äî çíàìåííèêà m2 + 2mn + n2; 3) äî çíàìåííèêà x2 - y2; 4) äî çíàìåííèêà k3 - 1; 5) äî çíàìåííèêà b - a; 6) äî çíàìåííèêà 4 - p2. 46. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà m2 + mn; 2) äî çíàìåííèêà x2 - 2xy + y2;

18. 18. РОЗДІЛ 1 18 3) äî çíàìåííèêà a2 - b2; 4) äî çíàìåííèêà 7 - c. 47. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó , ÿêùî c  5, x  2016. 48. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó , . 49. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 50. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Високий рівень 51. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 3) 52. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) 53. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії òà ïîáóäóéòå її ãðà- ôіê: 1) ; 2) . 54. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії òà ïîáóäóéòå її ãðà- ôіê: 1) ; 2) .

19. 19. Раціональні вирази 19 Вправи для повторення 55. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 56. Ðîçâ'ÿæіòü ñèñòåìó ðіâíÿíü: 1) 2) 57. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) (2x + 3y)2 - (x + 7y)(4x - y); 2) (m + 3)(m2 - 5) - m(m - 4)2. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 8. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Цікаві задачі для учнів неледачих 59. (Íàöіîíàëüíà îëіìïіàäà Âåëèêîї Áðèòàíії, 1968 ð.) Íåõàé a1, a2, ..., a7 - öіëі ÷èñëà, à b1, b2, ..., b7 - òі ñàìі ÷èñëà, ÿêі âçÿòî â іíøîìó ïîðÿäêó. Äîâåäіòü, ùî ÷èñëî є ïàðíèì. Ïðèãàäàєìî, ÿê äîäàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêà- ìè. Òðåáà äîäàòè їõ ÷èñåëüíèêè, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé. Íàïðèêëàä: . ÄÎÄÀÂÀÍÍß І ÂІÄÍІÌÀÍÍß ÄÐÎÁІÂ Ç ÎÄÍÀÊÎÂÈÌÈ ÇÍÀÌÅÍÍÈÊÀÌÈ3.

20. 20. РОЗДІЛ 1 20 Çàïèøåìî öå ïðàâèëî ó âèãëÿäі ôîðìóëè: . Öÿ ðіâíіñòü ñïðàâäæóєòüñÿ äëÿ áóäü-ÿêèõ äðîáіâ. Äîâåäåìî її (çà óìîâè c  0). Íåõàé і . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  cp і b  cq. Ìàєìî: a + b  cp + cq  c(p(( + q). Îñêіëüêè c  0, òî çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè , îòæå, . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî äîäàâàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíà- ìåííèêàìè: Ïðèêëàä 1. . Àíàëîãі÷íî ìîæíà äîâåñòè òîòîæíіñòü , ÿêîþ çàïèñóþòü ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè. Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè: Ïðèêëàä 2. . Ðîçãëÿíåìî ùå êіëüêà ïðèêëàäіâ. Ïðèêëàä 3. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ і . ùîá äîäàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè, òðå- áà äîäàòè їõ ÷èñåëüíèêè, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé. ùîá âіäíÿòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè, òðåáà âіä ÷èñåëüíèêà çìåíøóâàíîãî âіäíÿòè ÷èñåëü- íèê âіä'єìíèêà, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé.

21. 21. Раціональні вирази 21 Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. ; Â і ä ï î â і ä ü. ; . Ïðèêëàä 4. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 5. Çíàéäіòü ñóìó Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè 2x - y  -(y - 2x), òî äðóãèé äîäàíîê ìîæíà ïîäàòè ç òèì ñàìèì çíàìåííèêîì, ùî é ó ïåðøîãî äîäàíêà: . Òîäі Â і ä ï î â і ä ü. -5. ßêùî ó òîòîæíîñòÿõ і ïîìі- íÿòè ìіñöÿìè ëіâі і ïðàâі ÷àñòèíè, òî îäåðæèìî òîòîæíîñòі: і . Çà äîïîìîãîþ öèõ òîòîæíîñòåé äðіá, ÷èñåëüíèê ÿêîãî є ñó- ìîþ àáî ðіçíèöåþ êіëüêîõ âèðàçіâ, ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі êіëüêîõ äðîáіâ. Ïðèêëàä 6.

22. 22. РОЗДІЛ 1 22 Ïðèêëàä 7. Çàïèøіòü äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëî- ãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) Â і ä ï î â і ä ü. 1) ; 2) . Початковий рівень 60. (Óñíî.) Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 61. Çíàéäіòü ñóìó àáî ðіçíèöþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 62. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 63. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 1. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî äîäàâàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâè- ìè çíàìåííèêàìè. Äîâåäіòü éîãî. 2. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâè- ìè çíàìåííèêàìè.

23. 23. Раціональні вирази 23 5) 64. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 65. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 66. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 3) ; 4) . 67. Îá÷èñëіòü . 68. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . 69. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 5) ; 6) . 70. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2)

24. 24. РОЗДІЛ 1 24 3) ; 4) . 71. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 72. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) Достатній рівень 73. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 74. Çíàéäіòü ðіçíèöþ: 1) ; 2) . 75. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 76. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî m  25; 2) , ÿêùî x  2016, . 77. Îá÷èñëіòü: 1) , ÿêùî x  -12;

25. 25. Раціональні вирази 25 2) , ÿêùî c  199, k  0,2. 78. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 79. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Високий рівень 80. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) . 81. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) . Вправи для повторення 82. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ìíîãî÷ëåíà: 1) ; 2) . 83. Ñêîðîòіòü äðіá .

26. 26. РОЗДІЛ 1 26 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 84. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) . 85. Ïîäàéòå îäíî÷ëåí ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ îäíî÷ëå- íіâ, îäèí ç ÿêèõ äîðіâíþє: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Цікаві задачі для учнів неледачих 86. Êàòåð çà òå÷ієþ ðі÷êè äîëàє âіäñòàíü âіä ïóíêòó A äî ïóíêòó B çà 2 ãîä, à ïðîòè òå÷ії - çà 3 ãîä. Çà ÿêèé ÷àñ âіä ïóíêòó A äî ïóíêòó B ïðîïëèâå ïëіò? ßêùî äðîáè ìàþòü ðіçíі çíàìåííèêè, òî їõ, ÿê і çâè÷àéíі äðîáè, ñïî÷àòêó çâîäÿòü äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà, à ïîòіì äî- äàþòü àáî âіäíіìàþòü çà ïðàâèëîì äîäàâàííÿ àáî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè. Ðîçãëÿíåìî ÿê äîäàòè äðîáè і . Çâåäåìî öі äðîáè äî їõ ñïіëüíîãî çíàìåííèêà bd. Äëÿ öüîãî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèìî íà d: , à ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèìî íà b: . Äðîáè і çâåëè äî ñïіëü- íîãî çíàìåííèêà bd. Íàãàäàєìî, ùî d íàçèâàþòü äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó , à b - äîäàòêî- âèì ìíîæíèêîì ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó . Çàçíà÷åíó ïîñëіäîâíіñòü äіé äëÿ äîäàâàííÿ äðîáіâ ç ðіçíè- ìè çíàìåííèêàìè ìîæíà çàïèñàòè òàê: , àáî ñêîðî÷åíî: ÄÎÄÀÂÀÍÍß І ÂІÄÍІÌÀÍÍß ÄÐÎÁІÂ Ç ÐІÇÍÈÌÈ ÇÍÀÌÅÍÍÈÊÀÌÈ4.

27. 27. Раціональні вирази 27 . Àíàëîãі÷íî âèêîíóþòü і âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíà- ìåííèêàìè: . Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) . Ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äâîõ àáî áіëüøå äðîáіâ ìîæå áóòè íå ëèøå äîáóòîê їõ çíàìåííèêіâ. Óçàãàëі ó äðîáіâ є áåçëі÷ ñïіëüíèõ çíàìåííèêіâ. ×àñòî ïðè äîäàâàííі é âіäíіìàííі äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè âäàєòüñÿ çíàéòè ïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê, íіæ äîáóòîê çíàìåííèêіâ öèõ äðîáіâ. Ó òàêîìó âèïàäêó êàæóòü ïðî íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíà- ìåííèê (àíàëîãі÷íî äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äëÿ ÷èñëîâèõ äðîáіâ). Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä, äå çíàìåííèêè äðîáіâ - îäíî÷ëåíè. Ïðèêëàä 2. Âèêîíàéòå äîäàâàííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äàíèõ äðîáіâ ìîæíà ââàæàòè îäíî÷ëåí 48x3y2, ùî є äîáóòêîì çíàìåííèêіâ äðîáіâ, àëå â äàíîìó âèïàäêó âіí íå áóäå íàéïðîñòіøèì ñïіëü- íèì çíàìåííèêîì. Ñïðîáóєìî çíàéòè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê. Íèì äëÿ äðîáіâ, çíàìåííèêè ÿêèõ є îäíî÷ëåíà- ìè, áóäå òàêîæ îäíî÷ëåí. Êîåôіöієíò öüîãî îäíî÷ëåíà ïîâè- íåí äіëèòèñÿ і íà 6, і íà 8. Íàéìåíøèì òàêèì ÷èñëîì є 24. Äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà êîæíà çі çìіííèõ ìàє âõîäèòè ç íàéáіëüøèì іç ïîêàçíèêіâ ñòåïåíÿ, ç ÿêèìè âîíà âõîäèòü äî çíàìåííèêіâ äðîáіâ. Òàêèì ÷èíîì, íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì áóäå îäíî÷ëåí 24x2y3. Òîäі äîäàòêîâèì ìíîæíè- êîì äëÿ ïåðøîãî äðîáó ñòàíå âèðàç 4y2, áî 24x2y3  6x2y ∙ 4y2, à äëÿ äðóãîãî - âèðàç 3x, áî 24x2y3  8xy3 ∙ 3x. Îòæå, ìàєìî: . Â і ä ï î â і ä ü.

28. 28. РОЗДІЛ 1 28 Çâåðíіòü óâàãó, ùî ó ïðèêëàäі 2 ïіä ÷àñ çâåäåííÿ äðîáіâ äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äîäàòêîâі ìíîæíèêè 4y2 òà 3x íå ìіñ- òèëè æîäíîãî ñïіëüíîãî ìíîæíèêà, âіäìіííîãî âіä îäèíèöі. Öå îçíà÷àє, ùî ìè çíàéøëè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåí- íèê äðîáіâ. Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä, ó ÿêîìó çíàìåííèêàìè äðîáіâ є ìíî- ãî÷ëåíè. Ïðèêëàä 3. Âèêîíàéòå âіäíіìàííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ùîá çíàéòè ñïіëüíèé çíàìåííèê, ðîçêëà- äåìî çíàìåííèêè íà ìíîæíèêè: xy - x2  x(y - x) і y2 - xy  y(y - x). Íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äðîáіâ áóäå âèðàç xy(y - x). Òîäі äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì äëÿ ïåðøîãî äðîáó áóäå y, à äëÿ äðóãîãî - x. Âèêîíàєìî âіäíіìàííÿ: . Â і ä ï î â і ä ü. . Îòæå, ùîá âèêîíàòè äîäàâàííÿ àáî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè, òðåáà: Àíàëîãі÷íî âèêîíóþòü äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ öіëîãî âè- ðàçó і äðîáó. Ïðèêëàä 4. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çàïèøåìî âèðàç a + 1 ó âèãëÿäі äðîáó іç çíàìåííèêîì 1 òà âèêîíàєìî âіäíіìàííÿ: 1) ðîçêëàñòè íà ìíîæíèêè çíàìåííèêè äðîáіâ, ÿêùî öå íåîáõіäíî; 2) çíàéòè ñïіëüíèé çíàìåííèê, áàæàíî íàéïðîñòіøèé; 3) çàïèñàòè äîäàòêîâі ìíîæíèêè; 4) çíàéòè äðіá, ùî є ñóìîþ àáî ðіçíèöåþ äàíèõ äðîáіâ; 5) ñïðîñòèòè öåé äðіá òà îòðèìàòè â і ä ï î â і ä ü.

29. 29. Раціональні вирази 29 . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 87. (Óñíî.) Çíàéäіòü ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ: 1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і . 88. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 89. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 90. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 91. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 92. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 1. ßêèé çíàìåííèê є ñïіëüíèì äëÿ äðîáіâ і ? 2. ßê âèêîíàòè äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíè- ìè çíàìåííèêàìè?

30. 30. РОЗДІЛ 1 30 93. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 94. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 95. Ñïðîñòіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 96. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 97. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 98. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 99. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 100. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

31. 31. Раціональні вирази 31 101. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 102. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 103. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 104. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ: 1) і ; 2) і . 105. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ: 1) і ; 2) і . 106. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 107. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 108. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 3) ; 4)

32. 32. РОЗДІЛ 1 32 5) ; 6) . 109. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 3) ; 4) 5) ; 6) . 110. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 3) . 111. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ; 3) . Достатній рівень 112. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 113. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 114. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü .

33. 33. Раціональні вирази 33 115. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 116. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) . 117. Äîâåäіòü, ùî äëÿ âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї m çíà- ÷åííÿ âèðàçó m. 118. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 119. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 120. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 121. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 122. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) 2) . 123. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ;

34. 34. РОЗДІЛ 1 34 2) . 124. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі a âèðàç òîòîæíî äîðіâíþє äðîáó ? Високий рівень 125. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї є äîäàòíèì. 126. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 127. Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії . 128. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  -3, b  19. 129. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî x  -10, y  49. 130. ×è іñíóє òàêå çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêîìó çíà÷åííÿ âèðàçó äîðіâíþє íóëþ? Вправи для повторення . Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ñîëі ìіñòèòüñÿ ó 60 êã її 5-âіäñîò- êîâîãî ðîç÷èíó?

35. 35. Раціональні вирази 35 . Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèїõàëè äâà âåëîñèïåäèñòè. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè ñòàíîâèòü s êì, øâèäêîñòі âåëîñèïåäèñòіâ v1 êì/ãîä і v2 êì/ãîä. ×åðåç t ãîä âîíè çóñòðіëèñÿ. Ñêëàäіòü ôîðìóëó äëÿ îá÷èñëåííÿ t. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ t, ÿêùî s  150 êì, v1  12 êì/ãîä, v2  13 êì/ãîä. 133. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 34. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 135. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Цікаві задачі для учнів неледачих 136. Äëÿ øêіëüíîї àêòîâîї çàëè ïðèäáàëè ëþñòðó íà 31 ëàì- ïî÷êó. Äèðåêòîð øêîëè õî÷å ìàòè ìîæëèâіñòü âìèêàòè áóäü- ÿêó їõ êіëüêіñòü, âіä 1 äî 31. ßêà íàéìåíøà êіëüêіñòü çâè÷àé- íèõ âèìèêà÷іâ äëÿ öüîãî çíàäîáèòüñÿ? Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 1 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäі (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âà- ðіàíò âіäïîâіäі. 1. ßêèé ç âèðàçіâ íå є öіëèì ðàöіîíàëüíèì âèðàçîì? À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 2. Ñêîðîòіòü äðіá . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

36. 36. РОЗДІЛ 1 36 3. Âèêîíàéòå äіþ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . . Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі . À. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî; Á. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3; Â. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -2; Ã. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -2 і 3. 5. Ñêîðîòіòü äðіá . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 6. Âèêîíàéòå äіþ . À. ; Á. 4; Â. -4; Ã. . . Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x äðіá äîðіâíþє íóëþ? À. -3 і 1; Á. -3; Â. 1; Ã. òàêèõ çíà÷åíü x íåìàє. 8. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 9. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè öіëîãî âèðàçó і äðîáó. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . . Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x âèðàç ìàє çìіñò? À. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî; Á. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3; Â. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -5; Ã. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3 і -5.

37. 37. Раціональні вирази 37 11. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x äðіá äîðіâíþє íóëþ? À. 3; Á. 3 і -3; Â. -3; Ã. 3; -5. 12. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî , . À. 1300; Á. -1300; Â. 130; Ã. -130. ÇÀÂÄÀÍÍß ÄËß ÏÅÐÅÂІÐÊÈ ÇÍÀÍÜ ÄÎ § 1-4 1. ßêі ç âèðàçіâ є öіëèìè, à ÿêі - äðîáîâèìè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) p2 - p - 19? 2. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) . 3. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 4. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) . 5. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 6. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 7. Ñïðîñòіòü âèðàç . 8. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) . 9. Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії .

38. 38. РОЗДІЛ 1 38 Äîäàòêîâі çàâäàííÿ . Çíàéäіòü: 1) îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó ; 2) çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêèõ äðіá äîðіâíþє íóëþ. 11. Ñïðîñòіòü âèðàç . Íàãàäàєìî, ùî äîáóòêîì äâîõ çâè÷àéíèõ äðîáіâ є äðіá, ÷è- ñåëüíèê ÿêîãî äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñåëüíèêіâ, à çíàìåííèê - äîáóòêó çíàìåííèêіâ äàíèõ äðîáіâ: . Äîâåäåìî, ùî öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ äëÿ áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åíü a, b, c і d çà óìîâè, ùî b  0 і d  0. Íåõàé , . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  bp, c  dq. Òîìó ac  (bp)(dq)  (bd)(pq(( ). Îñêіëüêè bd  0, òî, çíî- âó âðàõóâàâøè îçíà÷åííÿ ÷àñòêè, îäåðæèìî: . Îòæå, ÿêùî b  0 і d  0, òî . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ. Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . ÌÍÎÆÅÍÍß ÄÐÎÁІÂ. ÏІÄÍÅÑÅÍÍß ÄÐÎÁÓ ÄÎ ÑÒÅÏÅÍß5. Ùîá ïîìíîæèòè äðіá íà äðіá, òðåáà ïåðåìíîæèòè îêðåìî ÷èñåëüíèêè і îêðåìî çíàìåííèêè òà çàïèñà- òè ïåðøèé äîáóòîê ÷èñåëüíèêîì, à äðóãèé - çíàìåí- íèêîì äðîáó.

39. 39. Раціональні вирази 39 Ïðèêëàä 2. Çíàéäіòü äîáóòîê . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Âèêîðèñòàєìî ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ òà ðîçêëàäåìî íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê ïåðøîãî äðîáó і çíà- ìåííèê äðóãîãî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Çâåðíіòü óâàãó, ùî ó ïðèêëàäàõ 1 і 2 ïіä ÷àñ ìíîæåííÿ äðîáіâ ìè íå çíàõîäèëè îäðàçó ðåçóëüòàò ìíîæåííÿ ÷èñåëü- íèêіâ і çíàìåííèêіâ. Ñïî÷àòêó ìè çàïèñàëè äîáóòêè â ÷èñåëü- íèêó і çíàìåííèêó çà ïðàâèëîì ìíîæåííÿ äðîáіâ, ïîòіì ñêî- ðîòèëè îòðèìàíèé äðіá, áî âіí âèÿâèâñÿ ñêîðîòíèì, à âæå ïîòіì âèêîíàëè ìíîæåííÿ â ÷èñåëüíèêó і â çíàìåííèêó òà çàïèñàëè âіäïîâіäü. Äîöіëüíî öå âðàõîâóâàòè і íàäàëі. Ïðèêëàä 3. Ïîìíîæèòè äðіá íà ìíîãî÷ëåí x2 + 4x + 4. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Âðàõóâàâøè, ùî x2 + 4x + 4x  , ìàєìî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ ìîæíà ïîøèðèòè íà äîáóòîê òðüîõ і áіëüøå ìíîæíèêіâ. Ïðèêëàä 4. Ðîçãëÿíåìî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ n, äå n - íà- òóðàëüíå ÷èñëî. Çà îçíà÷åííÿì ñòåïåíÿ і ïðàâèëîì ìíîæåííÿ äðîáіâ ìàєìî:

40. 40. РОЗДІЛ 1 40 . Îòæå, Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ. Ïðèêëàä 5. . Ïðèêëàä 6. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 137. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 138. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ùîá ïіäíåñòè äðіá äî ñòåïåíÿ, òðåáà ïіäíåñòè äî öüîãî ñòåïåíÿ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê і ïåðøèé ðå- çóëüòàò çàïèñàòè â ÷èñåëüíèê, à äðóãèé - ó çíàìåí- íèê äðîáó. 1. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ. Äîâåäіòü éîãî. 2. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ. Äîâåäіòü éîãî.

41. 41. Раціональні вирази 41 139. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 140. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 141. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 4) ; 5) ; 6) . 142. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 4) ; 5) . 143. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 144. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 6) 145. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2)

42. 42. РОЗДІЛ 1 42 3) ; 4) . 146. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 147. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 148. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 5) ; 6) . 149. Ïіäíåñіòü äî ñòåïåíÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 150. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

43. 43. Раціональні вирази 43 Достатній рівень 151. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) . 152. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 153. Çíàéäіòü äîáóòîê: 1) ; 2) . 154. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 155. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 156. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá: 1) ; 2) . 157. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 158. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) .

44. 44. РОЗДІЛ 1 44 159. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî a  1,2, b  6; 2) , ÿêùî a  6. Високий рівень 160. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 161. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  100, b  101. Вправи для повторення . Ðîçâ'ÿæіòü ñèñòåìó ðіâíÿíü: 1) 2) . Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 164. Çíàéäіòü ÷èñëî, âçàєìíî îáåðíåíå іç ÷èñëîì: 1) 4; 2) -7; 3) ; 4) ; 5) 0,16; 6) 1,2. 165. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

45. 45. Раціональні вирази 45 Цікаві задачі для учнів неледачих 166. (XV Âñåóêðàїíñüêà îëіìïіàäà, 1975 ð.) Ïðè ÿêèõ íàòó- ðàëüíèõ çíà÷åííÿõ n ÷èñëî є êâàäðàòîì öіëîãî ÷èñëà? Íàãàäàєìî, ùîá çíàéòè ÷àñòêó äâîõ çâè÷àéíèõ äðîáіâ, òðå- áà äіëåíå ïîìíîæèòè íà äðіá, îáåðíåíèé äî äіëüíèêà: . Ôîðìóëîþ öå ìîæíà çàïèñàòè òàê: . Äîâåäåìî, ùî öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ äëÿ áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åíü a, b, c і d çà óìîâè, ùî b  0, c  0 і d  0. Îñêіëüêè , òî çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè ìàєìî: . Îòæå, ÿêùî b  0, c  0 і d  0, òî . Äðіá íàçèâàþòü îáåðíåíèì äî äðîáó . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî äіëåííÿ äðîáіâ. Ïðèêëàä 1. Ïîäіëіòü äðіá íà äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Â і ä ï î â і ä ü. . ÄІËÅÍÍß ÄÐÎÁІÂ6. Ùîá ïîäіëèòè îäèí äðіá íà äðóãèé, òðåáà ïåðøèé äðіá ïîìíîæèòè íà äðіá, îáåðíåíèé äî äðóãîãî.

46. 46. РОЗДІЛ 1 46 Ïðèêëàä 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 3. Ñïðîñòіòü âèðàç : (a2 + 4a + 4). Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè , òî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 167. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 168. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 169. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 3) Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî äіëåííÿ äðîáіâ. Äîâåäіòü éîãî.

47. 47. Раціональні вирази 47 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 170. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 6) . 171. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 172. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) 3) ; 4) . 173. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 3) 5) ; 6) . 174. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) 3) ; 4) .

48. 48. РОЗДІЛ 1 48 175. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 176. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Достатній рівень 177. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 178. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі íåñêîðîòíîãî äðîáó âèðàç: 1) ; 2) . 179. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 180. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî x  -3; 2) , ÿêùî m  10, n  3.

49. 49. Раціональні вирази 49 181. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî , y  0,02; 2) , ÿêùî x  4,2, y  1,6. Високий рівень 182. Ñïðîñòіòü âèðàç . 183. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 184. Ñïðîñòіòü . 185. Âèêîíàéòå äіþ . Вправи для повторення 186. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі äâîõ äðîáіâ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 187. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó: 1) , ÿêùî , ; 2) , ÿêùî x  100, y  20. 188. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü .

50. 50. РОЗДІЛ 1 50 Цікаві задачі для учнів неледачих 189. Óêðàїíñüêèé ãðîñìåéñòåð іç øàõіâ Âàñèëü Іâàí÷óê âçÿâ ó÷àñòü ó ÷åìïіîíàòі ñâіòó ç áëіöó. Ó ïåðøèé äåíü âіí ïåðåìіã ñóïåðíèêіâ ó 70 % ïàðòіé, à íà äðóãèé äåíü âèãðàâ ùå 15 ïàð- òіé ïîñïіëü. Âіäñîòîê âèãðàøíèõ ïàðòіé çà äâà äíі ñÿãíóâ äî 80 %. Ñêіëüêè ïàðòіé çà öі äâà äíі çіãðàâ Âàñèëü Іâàí÷óê? Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè ïåðåòâîðåíü ðàöіîíàëüíèõ âèðàçіâ. Ïðèêëàä 1. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïðîñòèìî ëіâó ÷àñòèíó ðіâíîñòі: . Çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü ìè çâåëè ëіâó ÷àñòè- íó ðіâíîñòі äî ïðàâîї. Îòæå, ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ. Ïðèêëàä 2. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïî÷àòêó âèêîíàєìî äіþ â êîæíіé ç äó- æîê, à ïîòіì - äіþ äіëåííÿ: 1) 2) ; ÒÎÒÎÆÍІ ÏÅÐÅÒÂÎÐÅÍÍß ÐÀÖІÎÍÀËÜÍÈÕ ÂÈÐÀÇІÂ7.

51. 51. Раціональні вирази 51 3) . Â і ä ï î â і ä ü: . Ðîçâ'ÿçàííÿ ìîæíà áóëî çàïèñàòè é "ëàíöþæêîì": Êîæíèé âèðàç, ùî ìіñòèòü ñóìó, ðіçíèöþ, äîáóòîê і ÷àñòêó ðà- öіîíàëüíèõ äðîáіâ, ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó. Ïðèêëàä 3. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííèõ çíà÷åííÿ âèðàçó є íåâіä'єìíèì. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ìîæíà ïîäàòè öåé âèðàç ó âèãëÿäі ÷àñò- êè і äàëі ïåðåòâîðèòè éîãî, ÿê çà- ïðîïîíîâàíî ó ïðèêëàäі 2. À ìîæíà, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó, ïî- ìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äàíîãî äðîáó íà їõ ñïіëüíèé çíàìåííèê, òîáòî íà y: , àëå x2 I 0 ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííі x.

52. 52. РОЗДІЛ 1 52 Середній рівень 190. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 191. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 192. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 193. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 194. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 195. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) .

53. 53. Раціональні вирази 53 Достатній рівень 196. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 197. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 198. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 199. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) . 200. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 201. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 202. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2)

54. 54. РОЗДІЛ 1 54 203. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 204. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 205. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà- ÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííîї íå çàëåæèòü: 1) ; 2) . 206. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà- ÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííîї íå çàëåæèòü. 207. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 208. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ; 2) .

55. 55. Раціональні вирази 55 209. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) ; 6) . 210. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 4) ; 5) ; 6) . Високий рівень 211. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííèõ çíà÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííèõ íå çàëåæèòü: . 212. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  197. 213. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . 214. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó .

56. 56. РОЗДІЛ 1 56 215. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) 2) . 216. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї. 217. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó є äîäàòíèì ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї. 218. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó àáî öіëîãî âèðàçó: 1) ; 2) . 219. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó àáî öіëîãî âèðàçó: 1) ; 2) . Вправи для повторення . Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) x7x3 : x2; 2) (x5:x2) : x; 3) (a2)3 ∙ a; 4) (x3)5 : x4. . Äîâåäіòü, ùî ÷èñëî 89 - 412 äіëèòüñÿ íà 7. . Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії: 1) 2)

57. 57. Раціональні вирази 57 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 223. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї âèðàç ìàє çìіñò: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ? 224. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâíþє íóëþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 225. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) . 226. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) Цікаві задачі для учнів неледачих 227. (Ç êíèãè "Óíіâåðñàëüíà àðèôìåòèêà" Íüþòîíà). Äåõòî çàáàæàâ ðîçäіëèòè ïåâíó ñóìó êîøòіâ ìіæ æåáðàêàìè ïîðіâ- íó. ßêáè â íüîãî áóëî íà 8 äèíàðіâ áіëüøå, òî âіí ìàâ áè äàòè êîæíîìó ïî 3 äèíàðè, àëå âіí ðîçäàâ ëèøå ïî 2 äèíàðè і ùå 3 ó íüîãî çàëèøèëîñÿ. Ñêіëüêè áóëî æåáðàêіâ? Íàãàäàєìî, ùî Òàê, íàïðèêëàä, ðіâíîñèëüíèìè є ðіâíÿííÿ і , îñêіëüêè êîðåíåì êîæíîãî ç íèõ є ÷èñëî 2. Ðіâíÿííÿ і íå є ðіâíîñèëüíèìè, îñêіëü- êè êîðåíåì ïåðøîãî ç íèõ є ÷èñëî 10, à êîðåíåì äðóãîãî - ÷èñëî 9. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÐІÂÍßÍÍß. ÐІÂÍÎÑÈËÜÍІ ÐІÂÍßÍÍß8. äâà ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðіâíîñèëüíèìè, ÿêùî âîíè ìàþòü îäíі é òі ñàìі êîðåíі. Ðіâíîñèëüíèìè ââàæàþòü і òі ðіâíÿííÿ, ÿêі êîðåíіâ íå ìàþòü.

58. 58. РОЗДІЛ 1 58 Ðàíіøå, ó 7 êëàñі, âè îçíàéîìèëèñÿ ç âëàñòèâîñòÿìè, ùî ïåðåòâîðþþòü ðіâíÿííÿ íà ðіâíîñèëüíі їì ðіâíÿííÿ. Ðîçãëÿíåìî ðіâíÿííÿ: Ëіâà і ïðàâà ÷àñòèíè êîæíîãî ç íèõ є ðàöіîíàëüíèìè âè- ðàçàìè. Ó ïåðøèõ äâîõ іç çàïèñàíèõ âèùå ðіâíÿíü ëіâà і ïðàâà ÷àñ- òèíè є öіëèìè âèðàçàìè. Òàêі ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè ðіâíÿííÿìè. ßêùî â ðіâíÿííі õî÷à á îäíà ÷àñòèíà є äðîáîâèì âèðàçîì, òî ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü äðîáî- âèì ðàöіîíàëüíèì ðіâíÿííÿì. Òðåòє іç çàïèñàíèõ âèùå ðіâ- íÿíü є äðîáîâèì ðàöіîíàëüíèì. ßê ðîçâ'ÿçóâàòè öіëі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, ìè ðîçãëÿíó- ëè â ïîïåðåäíіõ êëàñàõ. Ðîçãëÿíåìî òåïåð, ÿê ðîçâ'ÿçóâàòè äðîáîâі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, òîáòî ðіâíÿííÿ çі çìіííîþ â çíàìåííèêó. 1. Âèêîðèñòàííÿ óìîâè ðіâíîñòі äðîáó íóëþ. Íàãàäàєìî, ùî  0, êîëè Ïðèêëàä 1. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü òà âëàñòèâîñòåé ðіâíÿíü çâåäåìî ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó , äå P і Q - öіëі ðàöіîíàëüíі âèðàçè. Ìàєìî: . 1) ßêùî â áóäü-ÿêіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ ðîçêðèòè äóæêè àáî çâåñòè ïîäіáíі äîäàíêè, òî îäåðæèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó; 2) ÿêùî â ðіâíÿííі ïåðåíåñòè äîäàíîê ç îäíієї ÷àñòèíè ó äðóãó, çìіíèâøè éîãî çíàê íà ïðîòèëåæíèé, òî îäåð- æèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó; 3) ÿêùî îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ ïîìíîæèòè àáî ïîäі- ëèòè íà îäíå é òå ñàìå âіäìіííå âіä íóëÿ ÷èñëî, òî îäåðæèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó. Ðіâíÿííÿ, ëіâà і ïðàâà ÷àñòèíè ÿêèõ є ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè, íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè ðіâíÿííÿìè.

59. 59. Раціональні вирази 59 Îñòàòî÷íî ìàєìî ðіâíÿííÿ: Ùîá äðіá äîðіâíþâàâ íóëþ, òðåáà, ùîá ÷èñåëüíèê 6 - 2x äîðіâíþâàâ íóëþ, à çíàìåííèê x - 2 íå äîðіâíþâàâ íóëþ. Òîäі: 6 - 2x  0, çâіäêè x  3. Ïðè x  3 çíàìåííèê x - 2  3 - 2  1  0. Îòæå, x  3 - єäèíèé êîðіíü ðіâíÿííÿ. Ðîçâ'ÿçóâàííÿ îñòàííüîãî ðіâíîñèëüíîãî äàíîìó ðіâíÿííÿ, âðàõîâóþ÷è óìîâó ðіâíîñòі äðîáó íóëþ, çðó÷íî çàïèñóâàòè òàê: Â і ä ï î â і ä ü. 3. Îòæå, ðîçâ'ÿçóþ÷è äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ, ìîæíà: 2. Âèêîðèñòàííÿ îñíîâíîї âëàñòèâîñòі ïðîïîðöії. ßêùî , òî PN  MQ, äå Q  0, N  0. Ïðèêëàä 2. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çíàéäåìî îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü (ÎÄÇ) çìіííîї â ðіâíÿííі. Îñêіëüêè çíàìåííèêè äðîáіâ íå ìî- æóòü äîðіâíþâàòè íóëþ, òî x - 1  0 і x - 2  0. Ìàєìî: x  1 і x  2, òîáòî ÎÄÇ çìіííîї x ìіñòèòü óñі ÷èñëà, êðіì 1 і 2. Çâåäåìî ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó ïðîïîðöії, äîäàâøè âèðà- çè ó ïðàâіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ: . Îäåðæèìî: . Çà îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîïîðöії ìàєìî: (2x + 1)(x - 2)  (2x - 2)(x - 1). Ðîçâ'ÿæåìî öå ðіâíÿííÿ: 2x2 - 4x +x - 2  2x2 - 2x - 2x + 2, çâіäêè x  4. 1) çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü çâåñòè ðіâíÿí- íÿ äî âèãëÿäó ; 2) ïðèðіâíÿòè ÷èñåëüíèê P äî íóëÿ і ðîçâ'ÿçàòè îäåð- æàíå öіëå ðіâíÿííÿ; 3) âèêëþ÷èòè ç éîãî êîðåíіâ òі, ïðè ÿêèõ çíàìåííèê Q äîðіâíþє íóëþ.

60. 60. РОЗДІЛ 1 60 Îñêіëüêè ÷èñëî 4 íàëåæèòü ÎÄÇ çìіííîї ïî÷àòêîâîãî ðіâ- íÿííÿ, òî 4 є éîãî êîðåíåì. Çàïèñ ðîçâ'ÿçóâàííÿ, ùîá íå çàáóòè âðàõóâàòè ÎÄÇ, çðó÷- íî çàêіí÷èòè òàê: Îòæå, äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ äðîáîâîãî ðàöіîíàëüíîãî ðіâíÿí- íÿ ìîæíà: 3. Ìåòîä ìíîæåííÿ îáîõ ÷àñòèí ðіâíÿííÿ íà ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ. Ïðèêëàä 3. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çíàéäåìî ÎÄÇ çìіííîї òà íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê óñіõ äðîáіâ ðіâíÿííÿ, ðîçêëàâøè çíà- ìåííèêè íà ìíîæíèêè: . Îáëàñòþ äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї áóäóòü òі çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêèõ x  0, x - 1  0, x + 1  0. Îòæå, âñі çíà÷åííÿ x, êðіì ÷èñåë 0; 1 і -1. À íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì áóäå âèðàç x(x - 1)(x + 1). Ïîìíîæèìî îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ íà öåé âèðàç: . 1) çíàéòè îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü (ÎÄÇ) çìіííîї â ðіâíÿííі; 2) çâåñòè ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó ; 3) çàïèñàòè öіëå ðіâíÿííÿ P *P N  M *M Q і ðîçâ'ÿçàòè éîãî;Q 4) âèêëþ÷èòè ç îòðèìàíèõ êîðåíіâ òі, ùî íå íàëåæàòü ÎÄÇ і çàïèñàòè âіäïîâіäü.

61. 61. Раціональні вирази 61 Ìàòèìåìî: x(x - 2)  5(x + 1) + 5(x - 1), à ïіñëÿ ñïðîùåí- íÿ: x2 - 12x  0, òîáòî x(x - 12)  0, çâіäêè x  0 àáî x  12. Àëå ÷èñëî 0 íå íàëåæèòü ÎÄÇ çìіííîї ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿí- íÿ, òîìó íå є éîãî êîðåíåì. Îòæå, ÷èñëî 12 - єäèíèé êîðіíü ðіâíÿííÿ. Â і ä ï î â і ä ü. 12. Ðîçâ'ÿçóþ÷è äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ, ìîæíà: Ïðèêëàä 4. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðіâíîñèëü- íèìè, ÿêùî âîíè ìàþòü îäíі é òі ñàìі êîðåíі, àáî íå ìàþòü êîðåíіâ, çíàéäåìî êîðåíі äàíèõ ðіâíÿíü. Ïåðøå ðіâíÿííÿ ìàє єäèíèé êîðіíü x  2, à äðóãå - äâà êîðåíі x  0 і x  2 (ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ ñàìîñòіéíî). Òîìó ðіâíÿííÿ íå є ðіâíîñèëüíèìè. Â і ä ï î â і ä ü. Íі. Початковий рівень 228. (Óñíî.) Íàçâіòü öіëі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, äðîáîâі ðàöіî- íàëüíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 1) çíàéòè îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї â ðіâíÿííі; 2) çíàéòè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ, ùî âõîäÿòü ó ðіâíÿííÿ; 3) ïîìíîæèòè îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ íà öåé ñïіëü- íèé çíàìåííèê; 4) ðîçâ'ÿçàòè îäåðæàíå öіëå ðіâíÿííÿ; 5) âèêëþ÷èòè ç éîãî êîðåíіâ òі, ùî íå íàëåæàòü îáëàñ- òі äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї ðіâíÿííÿ. 1. ßêі ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè? 2. ßêå ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü öіëèì ðàöіîíàëüíèì, à ÿêå - äðîáîâèì ðàöіîíàëüíèì? 3. ßê ìîæíà ðîçâ'ÿçàòè äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ?

62. 62. РОЗДІЛ 1 62 229. ×è є ÷èñëî 1 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 230. ×è є ÷èñëî 2 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 231. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 232. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 233. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 234. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 235. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 236. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

63. 63. Раціональні вирази 63 237. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) і ; 2) 238. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) і ; 2) і ? 239. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 240. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 241. Çíàéäіòü äðіá, ùî äîðіâíþє , ó ÿêîãî çíàìåííèê íà 5 áіëüøèé çà ÷èñåëüíèê. 242. Çíàéäіòü äðіá, ùî äîðіâíþє , ó ÿêîãî ÷èñåëüíèê íà 12 ìåíøèé âіä çíàìåííèêà. 243. ßêå ÷èñëî òðåáà äîäàòè äî ÷èñåëüíèêà äðîáó , ùîá îòðèìàòè äðіá ? 244. ßêå ÷èñëî òðåáà âіäíÿòè âіä çíàìåííèêà äðîáó , ùîá îòðèìàòè äðіá ?

64. 64. РОЗДІЛ 1 64 Достатній рівень 245. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) 246. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 247. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? 248. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? 249. ×èñåëüíèê äðîáó íà 5 ìåíøèé âіä çíàìåííèêà. ßêùî äî ÷èñåëüíèêà äîäàòè 14, à âіä çíàìåííèêà âіäíÿòè 1, òî îäåðæè- ìî äðіá, îáåðíåíèé äàíîìó. Çíàéäіòü ïî÷àòêîâèé äðіá. 250. Çíàìåííèê äðîáó íà 3 áіëüøèé çà ÷èñåëüíèê. ßêùî äî ÷èñåëüíèêà äîäàòè 8, à âіä çíàìåííèêà âіäíÿòè 1, òî îäåðæè- ìî äðіá, îáåðíåíèé äàíîìó. Çíàéäіòü ïî÷àòêîâèé äðіá. 251. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 252. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) .

65. 65. Раціональні вирази 65 Високий рівень 253. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) 254. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) 255. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ a ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ'ÿçêіâ: 1) ; 2) ? 256. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ a ðіâíÿííÿ ìàє ëèøå îäèí êîðіíü? Вправи для повторення 257. Ñïðîñòіòü âèðàç òà çíàéäіòü éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî x  100. 258. Ñêîðîòіòü äðіá . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 259. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ ñòåïåíÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 260. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

66. 66. РОЗДІЛ 1 66 261. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) ç îñíîâîþ 2 ÷èñëà 2, 4, 8, 16, 32, 128, 512; 2) ç îñíîâîþ 3 ÷èñëà 81, 243; 3) ç îñíîâîþ 5 ÷èñëà 5, 25, 625; 4) ç îñíîâîþ 10 ÷èñëà 100, 10 000. Цікаві задачі для учнів неледачих 262. Âèäàòíі óêðàїíöі. Çàïèøіòü ïî ãîðèçîíòàëÿõ ïðіçâèùà âèäàòíèõ óêðàїíöіâ (çà ïîòðåáè âèêîðèñòîâóéòå äîäàòêîâó ëі- òåðàòóðó òà Іíòåðíåò) і îòðèìàєòå ó âèäіëåíîìó ñòîâï÷èêó ïðіçâèùå âèäàòíîãî ôðàíöóçüêîãî ìàòåìàòèêà, ïðî äîñëі- äæåííÿ ÿêîãî ìè ðîçêàæåìî â îäíîìó ç íàñòóïíèõ ðîçäіëіâ. 1 2 3 4 1. Óêðàїíñüêèé øàõіñò, ãðîñìåéñòåð, ÷åìïіîí ñâіòó іç øàõіâ 2002 ðîêó. 2. Іíæåíåð-àâіàêîíñòðóêòîð, ùî íàðîäèâñÿ â Óêðàїíі, êîí- ñòðóêòîð ïåðøîãî ãåëіêîïòåðà. 3. Óêðàїíñüêèé ôóòáîëіñò, âîëîäàð "Çîëîòîãî ì'ÿ÷à" 1986 ðîêó. 4. Óêðàїíñüêèé ïèñüìåííèê, ïîåò, äðàìàòóðã, ãðîìàäñüêèé äіÿ÷, àâòîð ïîåìè "Åíåїäà". Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 2 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäі (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âà- ðіàíò âіäïîâіäі. . Çíàéäіòü äîáóòîê . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

67. 67. Раціональні вирази 67 3. Óêàæіòü ðіâíÿííÿ, êîðåíåì ÿêîãî є ÷èñëî 2. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 4. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 5. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 6. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ . À. -2,5; Á. 2,5; Â. ; Ã. êîðåíіâ íåìàє. 7. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. 2; Á. ; Â. ; Ã. . 8. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî . À. 0; Á. 1; Â. 2,01; Ã. 2. 9. Óêàæіòü ðіâíÿííÿ, ùî є ðіâíîñèëüíèì ðіâíÿííþ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 10. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

68. 68. РОЗДІЛ 1 68 11. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . À. 3; Á. 7; Â. 23; Ã. 27. 12. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . À. ðîçâ'ÿçêіâ íåìàє; Á. 7; Â. 3; Ã. 3; 7. ÇÀÂÄÀÍÍß ÄËß ÏÅÐÅÂІÐÊÈ ÇÍÀÍÜ ÄÎ § 5-8 . Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) . 3. ×è є ÷èñëî 4 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ? . Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 5. Ïіäíåñіòü äðіá äî ñòåïåíÿ: 1) ; 2) . 6. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . . Ñïðîñòіòü âèðàç .

69. 69. Раціональні вирази 69 8. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 9. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . Äîäàòêîâі çàâäàííÿ 10. Ñïðîñòіòü âèðàç 11. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Íàãàäàєìî, ùî â 7 êëàñі ìè âèâ÷àëè ñòåïіíü ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì. Çà îçíà÷åííÿì: , äå n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, n > 1 і a1  a. Ó ìàòåìàòèöі, à òàêîæ ïіä ÷àñ ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷ ïðàê- òè÷íîãî çìіñòó, íàïðèêëàä ç ôіçèêè àáî õіìії, òðàïëÿþòüñÿ ñòåïåíі, ïîêàçíèê ÿêèõ äîðіâíþє íóëþ àáî є öіëèì âіä'єìíèì ÷èñëîì. Ñòåïіíü ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì ìîæíà çíàéòè â íà- óêîâіé òà äîâіäêîâіé ëіòåðàòóðі. Íàïðèêëàä, ìàñó àòîìà ãåëіþ çàïèñóþòü òàê: 6,64 ∙ 10-27 êã. ßê ðîçóìіòè çìіñò çàïèñó 10-27? Ðîçãëÿíåìî ñòåïåíі ÷èñëà 3 ç ïîêàçíèêàìè 1, 2, 3, 4, ...: 31, 32, 33, 34, ... - öå âіäïîâіäíî 3, 9, 27, 81, ... Ó öüîìó ðÿäêó êîæíå íàñòóïíå ÷èñëî âòðè÷і áіëüøå çà ïîïåðåäíє. Ïðîäîâæèìî ðÿäîê ó ïðîòèëåæíîìó íàïðÿìêó, çìåíøóþ÷è êîæíîãî ðàçó ïîêàçíèê ñòåïåíÿ íà 1. Îäåðæèìî: ..., 3-3, 3-2, 3-1, 30, 31, 32, 33, 34, ... ×èñëî 30 ïîâèííî áóòè âòðè÷і ìåíøèì âіä 31, òîáòî - âіä ÷èñëà 3. Àëå âòðè÷і ìåíøèì âіä ÷èñëà 3 є ÷èñëî 1, îòæå, 30  1. Ðіâíіñòü a0  1 ñïðàâäæóєòüñÿ äëÿ áóäü-ÿêîї îñíîâè a, ÿêùî . ÑÒÅÏІÍÜ ІÇ ÖІËÈÌ ÏÎÊÀÇÍÈÊÎÌ9. Íóëüîâèé ñòåïіíü âіäìіííîãî âіä íóëÿ ÷èñëà à äîðіâ- íþє îäèíèöі, òîáòî a0  1 (ÿêùî a  0).

70. 70. РОЗДІЛ 1 70 Ïîâåðíіìîñÿ äî ðÿäêà çі ñòåïåíÿìè ÷èñëà 3, äå ëіâîðó÷ âіä ÷èñëà 30  1 çàïèñàíî ÷èñëî 3-1. Öå ÷èñëî âòðè÷і ìåíøå çà 1, òîáòî äîðіâíþє . Îòæå, . Ìіðêóþ÷è àíàëîãі÷íî, ìàòèìåìî: ; і ò. ä. Ïðèõîäèìî äî íà- ñòóïíîãî îçíà÷åííÿ ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: Ïðèêëàä 1. Çàìіíіòü ñòåïіíü äðîáîì: 1) 5-7; 2) x-1; 3) (a + b)-9. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çà îçíà÷åííÿì: 1) ; 2) ; 3) . Ïðèêëàä 2. Çàìіíіòü äðіá ñòåïåíåì іç öіëèì âіä'єìíèì ïî- êàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) ; 3) . Ïðèêëàä 3. Îá÷èñëіòü: 1) 4-2; 2) (-9)0; 3) (-5)-3. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) ; 3) . Ðîçãëÿíåìî, ÿê ïіäíåñòè äðіá äî öіëîãî âіä'єìíîãî ñòå- ïåíÿ. ßêùî n - íàòóðàëüíå ÷èñëî і a  0, ìàєìî: Îòæå, ÿêùî a  0 і n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî . ÿêùî a  0, b  0, n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî .

71. 71. Раціональні вирази 71 Ïðèêëàä 4. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) . 2) Âðàõîâóþ÷è ïîñëіäîâíіñòü âèêîíàííÿ àðèôìåòè÷èõ äіé, ñïî÷àòêó ïіäíåñåìî äðіá äî ñòåïåíÿ, à ïîòіì âèêîíàєìî ìíî- æåííÿ: Â і ä ï î â і ä ü. 1) ; 2) . Початковий рівень 263. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíà ðіâíіñòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 264. Çàìіíіòü äðîáîì ñòåïіíü іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 4-5; 2) a-1; 3) p-10; 4) c-8; 5) (2a)-3; 6) (a + b)-4. 265. Çàïèøіòü ñòåïіíü іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì ó âè- ãëÿäі äðîáó: 1) b-3; 2) 7-1; 3) 2-7; 4) t-6; 5) (3m)-2; 6) (c - d)-7. 266. Çàïèøіòü äðіá ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïî- êàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 1. ßêîãî çíà÷åííÿ íàáóâàє âèðàç a0, ÿêùî a  0? 2. Ñôîðìóëþéòå îçíà÷åííÿ ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì. 3. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü , äå a  0, b  0.

72. 72. РОЗДІЛ 1 72 267. Çàìіíіòü äðіá ñòåïåíåì іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Середній рівень 268. Îá÷èñëіòü: 1) 7-2; 2) (-2)-2; 3) (-1)-5; 4) 12-1; 5) (-7)-1; 6) 10-3; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) 0,1-1; 14) (-0,2)-2; 15) (1,2)-2; 16) (-0,25)-3. 269. Îá÷èñëіòü: 1) 2-3; 2) (-1)-6; 3) 15-1; 4) (-9)-1; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 0,2-1; 10) (-0,1)-2; 11) (1,5)-2; 12) (-0,5)-4. 270. Ïîäàéòå ÷èñëà 16; 8; 4; 2; 1; ; ; ; ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ 2. 271. Ïîäàéòå ÷èñëà 100; 10; 1; 0,1; 0,01 ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ 10. 272. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) -5-2; 2) (-0,8)-2; 3) ; 4) . 273. Îá÷èñëіòü: 1) -2-3; 2) (-0,4)-2; 3) ; 4) . 274. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó, ùî íå ìіñòèòü ñòåïåíÿ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 2a-3; 2) 3mb-1; 3) a2b-3c; 4) a-3b-7.

73. 73. Раціональні вирази 73 275. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó, ùî íå ìіñòèòü ñòåïåíÿ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 4b-5; 2) 7a-1p1 ; 3) mn-2p2 7; 4) c-2b-5. Достатній рівень 276. Îá÷èñëіòü: 1) 81 ∙ 3-5; 2) -25 ∙ 10-2; 3) 27 ∙ (-18)-1; 4) -4 + 30; 6) 8-2 + 6-1; 7) 2,5-1 + (-13)0; 8) 4-3 - (-4)-2; 9) (-8)-2 + (0,4)-1; 10) ; 12) 1,25-2 + 2,5-3. 277. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) -64 ∙ 4-4; 2) 36 ∙ (-27)-1; 3) 4) -7 ∙ 0,1-2 + 50; 5) 5-2 - 10-1; 6) ; 7) -2 - 1,2-3. 278. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì âèðàç: 1) 8-13; 2) (-3,7)-10; 3) (-2,9)-11; 4) -(-2,1)-7. 279. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì çíà÷åííÿ âèðàçó an, ÿêùî: 1) a > 0 і n - öіëå ÷èñëî; 2) a < 0 і n - ïàðíå âіä'єìíå ÷èñëî; 3) a < 0 і n - íåïàðíå âіä'єìíå ÷èñëî. 280. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì çíà÷åííÿ âèðàçó bm, ÿêùî: 1) b  5, m  -13; 2) b  -1, m  -200; 3) b  -3, m  -41. 281. Ïåðåòâîðіòü âèðàç òàê, ùîá âіí íå ìіñòèâ ñòåïåíіâ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) .

74. 74. РОЗДІЛ 1 74 282. Âèêîðèñòîâóþ÷è âіä'єìíèé ïîêàçíèê ñòåïåíÿ, ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 283. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі äîáóòêó, âèêîðèñòîâóþ÷è ñòåïіíü ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 284. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) m-3 + n-2; 2) ab-1 + ba-1 + c0; 3) (m + n-1)(m-1 + n); 4) (a-1 + b-1) : (a-2 - b-2). 285. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) xy-3 + x-1y2; 2) (x-2 - y-2) : (x-1 - y-1). Високий рівень 286. Îá÷èñëіòü: 1) (1 + (1 - 5-2)-1)-1; 2) (1 - (1 + 3-1)-2)-2. 287. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó (1 + (1 - 3-1)-1)-1 + (1 - (1 + 3-1)-1)-1. 288. Ñïðîñòіòü âèðàç . Вправи для повторення . Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) . . Ñåðãіé ñêàçàâ Îëåêñіþ: "Äàé ìåíі 2 ãðèâíі, і òîäі ãðî- øåé ó íàñ ñòàíå ïîðіâíó". Îëåêñіé âіäïîâіâ Ñåðãіþ: "Êðàùå òè äàé ìåíі 2 ãðèâíі, і òîäі ãðîøåé â ìåíå ñòàíå âäâі÷і áіëüøå, íіæ ó òåáå". Ñêіëüêè ãðîøåé ó êîæíîãî ç õëîïöіâ?

75. 75. Раціональні вирази 75 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 291. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) a5a3; 2) b7 : b3; 3) (c5)4; 4) m7m; 5) t10 : t; 6) (p(( 7)2. 292. Ïіäíåñіòü äî ñòåïåíÿ îäíî÷ëåí: 1) (mn2)7; 2) (-2p2 3)2; 3) (-5cm2)3; 4) (-a2c3)10. 293. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) (5m2n)3 ∙ (0,2m3n)2; 2) (-0,1p7c3)4 ∙ (10pc0 2)3. Цікаві задачі для учнів неледачих 294. (Çàäà÷à Ñòåíôîðäñüêîãî óíіâåðñèòåòó). Ñåðåä äіäóñåâèõ ïàïåðіâ áóëî çíàéäåíî ðàõóíîê іç çàïèñîì: 72 іíäèêè - *67,9* äîëàðіâ. Ïåðøó é îñòàííþ öèôðè âàðòîñòі іíäèêіâ çàìіíèëè çіðî÷- êàìè, îñêіëüêè âîíè ñòåðëèñÿ і ñòàëè íåðîçáіðëèâèìè. Ùî öå çà öèôðè і ñêіëüêè êîøòóâàâ îäèí іíäèê? Âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì ñïðàâäæó- þòüñÿ і äëÿ ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ, âіäìіííîþ âіä íóëÿ, і öіëèì ïîêàçíèêîì. Îòæå, Öі âëàñòèâîñòі ìîæíà äîâåñòè, ñïèðàþ÷èñÿ íà ôîðìóëó òà âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì. Äîâåäåìî, íàïðèêëàä, ôîðìóëó am ∙ an  am+n äëÿ âèïàäêó, êîëè m і n - âіä'єìíі öіëі ÷èñëà. ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒІ ÑÒÅÏÅÍß ІÇ ÖІËÈÌ ÏÎÊÀÇÍÈÊÎÌ10. äëÿ áóäü-ÿêîãî a  0, b  0 і áóäü-ÿêèõ öіëèõ m і n: am ∙ an  am+n; am : an  am-n; (am)n  amn; (ab)n  anbn; .

76. 76. РОЗДІЛ 1 76 Íåõàé m  -p- , n  -q, äå p і q - íàòóðàëüíі ÷èñëà. Ìàєìî: . Îòæå, am ∙ an  am+n, ÿêùî m і n - âіä'єìíі öіëі ÷èñëà. Ó ðàçі ÿêùî îäèí ç ïîêàçíèêіâ m àáî n - âіä'єìíå öіëå ÷èñëî, à äðóãèé - íàòóðàëüíå ÷èñëî àáî íóëü, ôîðìóëà äîâîäèòüñÿ àíàëîãі÷íî. Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå äіþ: 1) a2a-7; 2) b15 : b20; 3) (x-3)2 ∙ x-14. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) a2a-7  a2+(-7)  a-5; 2) b15 : b20  b15-20  b-5; 3) (x-3)2 ∙ x-14  x-3∙2 ∙ x-14  x-6 ∙ x-14  x-6+(-14)  x-20. Ïðèêëàä 2. Ñïðîñòіòü âèðàç (4a5b-6)-2. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïðèêëàä 3. . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïîäàìî 9 òà 27 ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíî- âîþ 3 òà âèêîðèñòàєìî âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ: . Â і ä ï î â і ä ü. 3. Початковий рівень 295. (Óñíî.) ßêі ç ðіâíîñòåé є òîòîæíîñòÿìè: 1) m3 ∙ m-7  m-21; 2) a7 ∙ a-9  a-2; 3) a5 ∙ a-5  a; 4) c8 : c-5  c13; 5) c4 : c5  c; 6) m : m8  m-7; 7) (a7)-1  a-7; 8) (b-2)-3  b-6; 9) (t5)-2  t10? 296. Ïîäàéòå äîáóòîê ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) a5a-2; 2) a-7a6; 3) a9a-9; 4) a-4a-3. 297. Ïîäàéòå äîáóòîê ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) b7b-3; 2) b-6b3; 3) b-5b-7; 4) b-8b8. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ іç öіëèì ïîêàçíèêîì.

77. 77. Раціональні вирази 77 298. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) m3 : m-2; 2) m5 : m6; 3) m-3 : m-3; 4) m-1 : m-8. 299. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) c5 : c-1; 2) c2 : c8; 3) c-2 : c-3; 4) c-4 : c-4. 300. Ïіäíåñіòü ñòåïіíü äî ñòåïåíÿ: 1) (x-4)-2; 2) (x-1)17; 3) (x0)-5; 4) (x7)-4. 301. Ïіäíåñіòü ñòåïіíü äî ñòåïåíÿ: 1) (n-2)-7; 2) (n15)-1; 3) (n-8)0; 4) (n5)-3. Середній рівень 302. Ïîäàéòå a-10 ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ ñòåïåíіâ ç îäíàêîâè- ìè îñíîâàìè, ÿêùî îäèí ç ìíîæíèêіâ äîðіâíþє: 1) a-3; 2) a7; 3) a-1; 4) a12. 303. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ ñòåïåíіâ ç îäíà- êîâèìè îñíîâàìè: 1) m8; 2) m-2; 3) m-17; 4) m0. 304. Îá÷èñëіòü: 1) 27 ∙ 2-6; 2) 5-3 ∙ 5; 3) ; 4) ; 5) 38 : 39; 6) 7-15 : 7-16; 7) 9 : 9-1; 8) ; 9) (2-2)3; 10) ; 11) (0,1-1)4; 12) . 305. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 39 ∙ 3-8; 2) 2-3 ∙ 2; 3) ; 4) ; 5) 104 : 105; 6) 8-12 : 8-13; 7) 7 : 7-1; 8) ; 9) (3-1)4; 10) ; 11) (0,23)-1; 12) .

78. 78. РОЗДІЛ 1 78 306. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ a: 1) a7 : a3 ∙ a-12; 2) (a5)-3 ∙ a12; 3) (a-8)3 : a4; 4) a0 ∙ (a-3)4 ∙ a5; 5) a-3 ∙ a0 : a5 : a; 6) (a3)-2 ∙ (a-1)-6. 307. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ b: 1) b3 : b7 ∙ b2; 2) (b-2)4 ∙ b10; 3) (b3)-2 : b3; 4) b7 ∙ (b-2)3 ∙ b0; 5) b0 ∙ b-4 : b3 : b; 6) (b-4)-1 ∙ (b2)-2. 308. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 3) ; 4) . 309. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 310. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) (xy)-2; 2) (ab-2)-3; 3) (x-4y3)-1; 4) (m0c-3)-2; 5) (0,1a-2)-1; 6) ; 7) (-2c-3p3 )-3; 8) 311. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) (p(( -2n)-5; 2) (a-2b3)-4; 3) (0,2m-4)-1; 4) ; 5) (-4ab-2)-3; 6) Достатній рівень 312. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) 64m-3; 2) 0,01p-8; 3) 0,0025c-8p8 12; 4) .

# data[].attributes.attachment_link.description
Published on 1. 88 АЛГЕБРААЛГЕБРА Î.Ñ. ²ñòåðÎ.Ñ. ²ñòååð 2. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0699 3ISBN 978-966-11-0699-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Àëãåáðà : ïіäðó÷. äëÿ 8-ãî êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016.

# data[].attributes.headline
Опрацювати § 23

# data[].attributes.subject
Опрацювати § 23

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Published on

1. 1. 88 АЛГЕБРААЛГЕБРА Î.Ñ. ²ñòåðÎ.Ñ. ²ñòååð

2. 2. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0699 3ISBN 978-966-11-0699-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Àëãåáðà : ïіäðó÷. äëÿ 8-ãî êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016. - 272 ñ. ISBN 978-966-11-0699-3. Підручник відповідає новій програмі з математики, містить до- статню кількість диференційованих вправ та прикладних задач. Після кожного розділу наведено вправи для його повторення. Для підготовки до контрольної роботи передбачено "Домашню самостійну роботу" та "Завдання для перевірки знань". Наприкінці підручника наведено ма- теріал для повторення курсу математики 5-6 класів та курсу алгебри 7 класу, задачі підвищеної складності, предметний покажчик та відпо- віді до більшості вправ. Для найдопитливіших є низка нестандартних задач у рубриці "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий ма- теріал. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè (Íàêàç Ìіíіñòåðñòâà îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè âіä 10.05.2016 № 491) Åêñïåðòè, ÿêі çäіéñíèëè åêñïåðòèçó ïіäðó÷íèêà ïіä ÷àñ ïðîâå- äåííÿ êîíêóðñíîãî âіäáîðó ïðîåêòіâ ïіäðó÷íèêіâ äëÿ ó÷íіâ 8 êëà- ñó çàãàëüíîîñâіòíіõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäіâ і çðîáèëè âèñíîâîê ïðî äîöіëüíіñòü íàäàííÿ ïіäðó÷íèêó ãðèôà "Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñ- òåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè": Áіäþê Â.Ã., ó÷èòåëü-ìåòîäèñò Íîâîñåëèöüêîãî ðàéîííîãî ìåòî- äè÷íîãî êàáіíåòó ×åðíіâåöüêîї îáëàñòі; Ãðèíüêіâ Î.І., ó÷èòåëü-ìåòîäèñò Äіäèëіâñüêîãî ÍÂÊ Êàì'ÿíêà- Áóçüêîãî ðàéîíó Ëüâіâñüêîї îáëàñòі; Ïàäàëêî Í.É., äîöåíò êàôåäðè äèôåðåíöіàëüíèõ ðіâíÿíü і ìàòå- ìàòè÷íîї ôіçèêè Ñõіäíîєâðîïåéñüêîãî íàöіîíàëüíîãî óíіâåðñèòå- òó іì. Ëåñі Óêðàїíêè, êàíäèäàò ïåäàãîãі÷íèõ íàóê. Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

3. 3. 3 Øàíîâíі ó÷íі!! Öüîãîðі÷ âè ïðîäîâæèòå âèâ÷àòè îäíó ç íàéâàæëèâіøèõ ìàòåìàòè÷íèõ äèñöèïëіí - àëãåáðó. Äîïîìîæå âàì ó öüîìó ïіäðó÷íèê, ÿêèé âè òðèìàєòå â ðóêàõ. Ïіä ÷àñ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çâåðíіòü óâàãó íà òåêñò, íàäðóêîâàíèé æèðíèì øðèôòîì. Éîãî òðåáà çàïàì'ÿòàòè. Çâåðíіòü óâàãó é íà óìîâíі ïîçíà÷åííÿ: - òðåáà çàïàì'ÿòàòè; - âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ; - çàïèòàííÿ і çàâäàííÿ äî âèâ÷åíîãî ìàòåðіàëó; - ðóáðèêà "Ðîçâ'ÿæіòü òà ïіäãîòóéòåñÿ äî âèâ÷åííÿ íîâîãî ìàòåðіàëó"; 1 - çàâäàííÿ äëÿ êëàñíîї ðîáîòè; 2 - äëÿ äîìàøíüîї ðîáîòè; - ðóáðèêà "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ" òà äî- äàòêîâèé ìàòåðіàë. Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü і ïîçíà÷åíî òàê: Ïîçíà÷êîþ âèîêðåìëåíî âïðàâè ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі. Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ ìîæíà, âèêîíóþ÷è çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìî- ñòіéíîї ðîáîòè" òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Ïіñëÿ êîæíîãî ðîçäіëó íàâåäåíî âïðàâè äëÿ éîãî ïîâòîðåííÿ, à â êіíöі ïіäðó÷íèêà - "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü çà êóðñ àëãåáðè 8 êëàñó". "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі" äîïîìî- æóòü ïіäãîòóâàòèñÿ äî ìàòåìàòè÷íîї îëіìïіàäè òà ïîãëèáèòè çíàííÿ ç ìàòåìàòèêè. Ïðèãàäàòè ðàíіøå âèâ÷åíі òåìè äîïî- ìîæóòü "Âіäîìîñòі ç êóðñó ìàòåìàòèêè 5-6 êëàñіâ òà êóð- ñó àëãåáðè 7 êëàñó", à ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ íà ïî÷àòêó íàâ÷àëüíîãî ðîêó - "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó àëãåáðè 7 êëàñó" â êіíöі ïіäðó÷íèêà. Àâòîð íàìàãàâñÿ ïîäàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ïіäðó÷íè- êà ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ, ïðîіëþñòðóâàòè éîãî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó ó øêîëі éîãî îáîâ'ÿçêîâî òðåáà îïðàöþâàòè âäîìà.

4. 4. 4 Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Áіëüøіñòü ç íèõ âè ðîçãëÿíåòå íà óðîêàõ òà ïіä ÷àñ äîìàøíüîї ðîáîòè, іíøі âïðàâè ðåêîìåíäóєòüñÿ ðîçâ'ÿçàòè ñàìîñòіéíî. Öіêàâі ôàêòè ç іñòîðії ðîçâèòêó òà ñòàíîâëåííÿ ìàòåìàòè- êè ÿê íàóêè âè çíàéäåòå ó ðóáðèöі "À ùå ðàíіøå..." Øàíîâíі â÷èòåëі! Ïðîïîíîâàíèé ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ; âïðàâè áіëüøîñòі ïàðàãðàôіâ ïîäàíî "іç çàïàñîì". Òîæ îáè- ðàéòå їõ äëÿ âèêîðèñòàííÿ íà óðîêàõ і ïîçàóðî÷íèõ çàíÿòòÿõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ, ñòóïåíÿ äèôåðåíöіàöії íàâ÷àííÿ òîùî. "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó àëãåáðè 7 êëàñó" äîïîìî- æóòü äіàãíîñòóâàòè âìіííÿ é íàâè÷êè ó÷íіâ ç àëãåáðè çà ïî- ïåðåäíіé ðіê òà ïîâòîðèòè íàâ÷àëüíèé ìàòåðіàë. Äîäàòêîâі âïðàâè ðóáðèêè "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü" ïðèçíà÷å- íî äëÿ ó÷íіâ, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàííÿìè ðàíіøå çà іíøèõ ó÷íіâ. Ïðàâèëüíå їõ ðîçâ'ÿçàííÿ â÷èòåëü ìîæå îöі- íèòè îêðåìî. Âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ ðîçäіëіâ ìîæíà çàïðî- ïîíóâàòè ó÷íÿì ïіä ÷àñ óçàãàëüíþþ÷èõ óðîêіâ àáî ïіä ÷àñ ïîâòîðåííÿ і ñèñòåìàòèçàöії íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó â êіíöі íàâ÷àëüíîãî ðîêó. Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі òà "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ" äîïîìîæóòü çàäîâîëüíèòè ïіäâè- ùåíó öіêàâіñòü ó÷íіâ äî ïðåäìåòà і ñïðèÿòèìóòü їõ ïіäãîòîâöі äî ðіçíîìàíіòíèõ ìàòåìàòè÷íèõ çìàãàíü. Øàíîâíі áàòüêè! ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ ç àë- ãåáðè, íåîáõіäíî çàïðîïîíóâàòè їé çà ïіäðó÷íèêîì óäîìà ñàìîñòіéíî îïðàöþâàòè ìàòåðіàë öèõ óðîêіâ. Ñïî÷àòêó ó÷åíü ìàє ïðî÷èòàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë, ÿêèé âèêëàäåíî ïðî- ñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ òà ìіñòèòü çíà÷íó êіëüêіñòü çðàçêіâ ðîçâ'ÿçóâàííÿ âïðàâ, à ïîòіì іç çàïðîïîíîâàíèõ ó âіäïîâіäíîìó òåìàòè÷íîìó ïàðàãðàôі çàâäàíü ðîçâ'ÿçàòè ïîñèëüíі їé âïðàâè. Óïðîäîâæ îïðàöþâàííÿ äèòèíîþ êóðñó àëãåáðè 8 êëàñó âè ìîæåòå ïðîïîíóâàòè їé äîäàòêîâî ðîçâ'ÿçóâàòè âäîìà âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ ïіä ÷àñ óðîêó. Öå ñïðèÿòèìå ÿêíàéêðà- ùîìó çàñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó. Êîæíà òåìà çàêіí÷óєòüñÿ òåìàòè÷íèì îöіíþâàííÿì. Ïåðåä éîãî ïðîâåäåííÿì çàïðîïîíóéòå äèòèíі ðîçâ'ÿçàòè çàâäàí- íÿ "Äîìàøíüîї ñàìîñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Öå äîïîìîæå ïðè- ãàäàòè îñíîâíі òèïè âïðàâ òà ÿêіñíî ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìà- òè÷íîãî îöіíþâàííÿ.

5. 5. 5 Ðîçäіë 1 Раціональні вирази Ó êóðñі àëãåáðè 7 êëàñó âè âæå çíàéîìèëèñÿ іç öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè, òîáòî ç âèðàçàìè, ùî íå ìіñòÿòü äіëåííÿ íà âèðàç çі çìіííîþ, íàïðèêëàä: 5m2p2 ; 4c3 + t9; (m - n)(m2 + n7); . Áóäü-ÿêèé öіëèé âèðàç ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі ìíîãî÷ëå- íà ñòàíäàðòíîãî âèãëÿäó, íàïðèêëàä: (m - n)(m2 + n7)  m3 + mn7 - nm2 - n8; . Íà âіäìіíó âіä öіëèõ âèðàçіâ, âèðàçè ; ; ; ; ìіñòÿòü äіëåííÿ íà âèðàç çі çìіííîþ. Òàêі âèðàçè íàçèâàþòü äðîáîâèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè. Öіëі ðàöіîíàëüíі і äðîáîâі ðàöіîíàëüíі âèðàçè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè. Раціоналльні виррази У цьому розділі ви: пригадаєте основну властивість звичайного дробу та основні властивості рівнянь; ознайомитеся з поняттями раціонального виразу, раціо- нального дробу, раціонального рівняння; з функцією , степенем із цілим показником, стандартним виглядом числа; навчитеся скорочувати раціональні дроби та зводити їх до нового знаменника; виконувати арифметичні дії з раціо- нальними дробами; розв'язувати раціональні рівняння. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÂÈÐÀÇÈ. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÄÐÎÁÈ1. Ðàöіîíàëüíі âèðàçè - öå ìàòåìàòè÷íі âèðàçè, ÿêі ìіñ- òÿòü äії äîäàâàííÿ, âіäíіìàííÿ, ìíîæåííÿ, äіëåííÿ òà ïіäíåñåííÿ äî ñòåïåíÿ іç öіëèì ïîêàçíèêîì.

6. 6. РОЗДІЛ 1 6 Ðàöіîíàëüíèé âèðàç âèãëÿäó , äå P і Q - âèðàçè, ùî ìіñ- òÿòü ÷èñëà àáî çìіííі, íàçèâàþòü äðîáîì. Âèðàç Ð є éîãî ÷è- ñåëüíèêîì, à Q - çíàìåííèêîì. ßêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó - ìíîãî÷ëåíè, òî äðіá íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèì äðîáîì. Öіëèé ðàöіîíàëüíèé âèðàç ìàє çìіñò ïðè áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åííÿõ çìіííèõ, ùî äî íüîãî âõîäÿòü, îñêіëüêè äëÿ çíàõî- äæåííÿ éîãî çíà÷åííÿ òðåáà âèêîíàòè äії äîäàâàííÿ, âіäíі- ìàííÿ і ìíîæåííÿ òà äіëåííÿ íà ÷èñëî, âіäìіííå âіä íóëÿ, ùî çàâæäè ìîæëèâî. Ðîçãëÿíåìî äðîáîâèé ðàöіîíàëüíèé âèðàç . Éîãî çíà- ÷åííÿ ìîæíà çíàéòè äëÿ áóäü-ÿêîãî çíà÷åííÿ x, êðіì x  3, îñêіëüêè ïðè x  3 çíàìåííèê äðîáó äîðіâíþâàòèìå íóëþ. Ó òàêîìó âèïàäêó êàæóòü, ùî âèðàç ìàє çìіñò ïðè âñіõ çíà÷åííÿõ çìіííîї x, êðіì x  3 (àáî ïðè x  3 íå ìàє çìіñòó). Öі çíà÷åííÿ óòâîðþþòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó, àáî îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííèõ ó âèðàçі. Ïðèêëàä 1. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) Âèðàç ìàє çìіñò ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åí- íÿõ çìіííîї m. 2) Äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї p - óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñëà -2, îñêіëüêè öå çíà÷åííÿ çìіííîї ïåðåòâîðþє çíà- ìåííèê äðîáó íà íóëü. 3) Çíàìåííèê äðîáó ïåðåòâî- ðþєòüñÿ íà íóëü, ÿêùî x  0 àáî x  9. Òîìó äîïóñòèìі çíà- ÷åííÿ çìіííîї x - óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñåë 0 і 9. 4) Äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї y - óñі ÷èñëà, êðіì 3 і -3. Ñêîðî÷åíî âіäïîâіäі ìîæíà çàïèñàòè òàê: 1) m - áóäü-ÿêå ÷èñëî; 2) p  -2; 3) x  0; x  9; 4) y  3; y  -3. Ðîçãëÿíåìî óìîâó ðіâíîñòі äðîáó íóëþ. Îñêіëüêè , ÿêùî Q  0, òî ìîæíà ïðèéòè äî âèñíîâêó, ùî äðіá äî- ðіâíþє íóëþ òîäі і òіëüêè òîäі, êîëè ÷èñåëüíèê P äîðіâíþє Çíà÷åííÿ çìіííèõ, ïðè ÿêèõ âèðàç ìàє çìіñò, íàçèâà- þòü äîïóñòèìèìè çíà÷åííÿìè çìіííèõ ó âèðàçі.

7. 7. Раціональні вирази 7 íóëþ, à çíàìåííèê Q íå äîðіâíþє íóëþ, òîáòî Ïðèêëàä 2. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї äîðіâíþє íóëþ çíà÷åííÿ äðîáó: 1) ; 2) ? Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ×èñåëüíèê äðîáó äîðіâíþє íóëþ, ÿêùî x  3. Öå çíà÷åííÿ çìіííîї íå ïåðåòâîðþє çíàìåííèê íà íóëü, òîìó x  3 є òèì çíà÷åííÿì çìіííîї, ïðè ÿêîìó äàíèé äðіá äîðіâ- íþє íóëþ. 2) ×èñåëüíèê äðîáó äîðіâíþє íóëþ, ÿêùî a  2 àáî a  -1. Ïðè êîæíîìó іç öèõ çíà÷åíü çíàìåííèê äðîáó íóëþ íå äîðіâíþє. Òîìó a  2 і a  -1 є òèìè çíà÷åííÿìè çìіííîї, ïðè ÿêèõ äàíèé äðіá äîðіâíþє íóëþ. 3) ×èñåëüíèê äðîáó äî- ðіâíþє íóëþ, ÿêùî b  0 àáî b  7. ßêùî b  0, çíàìåííèê äðîáó íóëþ íå äîðіâíþє, à ÿêùî b  7, çíàìåííèê äðîáó ïå- ðåòâîðþєòüñÿ íà íóëü, òîáòî äðіá íå іñíóє. Îòæå, äàíèé äðіá äîðіâíþє íóëþ ëèøå ïðè b  0. Â і ä ï î â і ä ü. 1) x  3; 2) a  2, a  -1; 3) b  0. Давньогрецький математик Діофант (бл. ІІІ ст. н. е.) розглянув раціональні дроби та дії з ними у своїй праці "Арифметика". Зо- крема на сторінках цієї книжки можна зустріти доведення тотожностей та , які записано тодішньою символікою. Видатний англійський учений Ісаак Ньютон (1643-1727) у своїй мо- нографії "Універсальна арифметика" (1707 р.) означує дріб наступ- ним чином: "Запис однієї з двох величин під іншою, нижче якої між ними проведено риску, означає частку або ж величину, що виникає при діленні верхньої величини на нижню". У цій роботі Ньютон роз- глядає не тільки звичайні дроби, а й раціональні. 1. ßêі âèðàçè íàçèâàþòü öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðà- çàìè, à ÿêі - äðîáîâèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè? Íà- âåäіòü ïðèêëàäè òàêèõ âèðàçіâ. 2. ßêі âèðàçè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè? 3. ßêі äðîáè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè äðîáàìè? 4. Ùî íàçèâàþòü äîïóñòèìèìè çíà÷åííÿìè çìіííîї? 5. Êîëè äðіá äîðіâíþє íóëþ?

8. 8. РОЗДІЛ 1 8 Початковий рівень 1. (Óñíî.) ßêі ç âèðàçіâ є öіëèìè, à ÿêі - äðîáîâèìè: 1) ; 2) ; 3) m2 + 2m - 8; 4) ; 5) ; 6) ; 7) (p(( - 2)2 + 7p7 ; 8) ? 2. Ç ðàöіîíàëüíèõ âèðàçіâ a3 - ab; ; ; ; ; âèïèøіòü òі, ùî є: 1) öіëèìè; 2) äðîáîâèìè. 3. ßêі ç äðîáіâ є ðàöіîíàëüíèìè äðîáàìè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? Середній рівень 4. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî a  1; -2; -3; 2) , ÿêùî x  4; -1. 5. Äіçíàéòåñÿ ïðіçâèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî àâіàêîíñòðóê- òîðà. Äëÿ öüîãî çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó ç ïåðøîї òàáëèöі òà ïåðåíåñіòü ëіòåðè, ùî âіäïîâіäàþòü öèì çíà÷åííÿì, ó äðóãó òàáëèöþ. Êîðèñòóþ÷èñü áóäü-ÿêèìè іíôîðìàöіéíèìè äæåðå- ëàìè, îçíàéîìòåñÿ ç áіîãðàôієþ öüîãî àâіàêîíñòðóêòîðà. x -3 -1 0 2 3 Ëіòåðè Ò Â À Î Í 1 -2 -0,5 -3 -2 -3 0

9. 9. Раціональні вирази 9 6. Ñêëàäіòü äðіá: 1) ÷èñåëüíèêîì ÿêîãî є ðіçíèöÿ çìіííèõ a і b, à çíàìåííè- êîì - їõ ñóìà; 2) ÷èñåëüíèêîì ÿêîãî є äîáóòîê çìіííèõ x і y, à çíàìåííè- êîì - ñóìà їõ êâàäðàòіâ. 7. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) m2 - 5; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 8. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) p + 9; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 9. Çà t ãîä àâòîìîáіëü ïîäîëàâ 240 êì. Ñêëàäіòü âèðàç äëÿ îá- ÷èñëåííÿ øâèäêîñòі àâòîìîáіëÿ (ó êì/ãîä). Çíàéäіòü çíà÷åííÿ îäåðæàíîãî âèðàçó, ÿêùî t  3; 4. 10. Ó÷åíü âèòðàòèâ 48 ãðí äëÿ ïðèäáàííÿ ï ðó÷îê. Ñêëàäіòü âèðàç äëÿ îá÷èñëåííÿ öіíè ðó÷êè (ó ãðí) òà îá÷èñëіòü éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî ï  8; 10. Достатній рівень 11. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâ- íþє: 1) -2; 2) 9; 3) 0,01; 4) -4,9? 12. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâ- íþє: 1) -8; 2) 0,25? 13. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі x äîðіâíþє íóëþ äðіá: 1) ; 2) ; 3) ?

10. 10. РОЗДІЛ 1 10 14. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі y äîðіâíþє íóëþ äðіá: 1) ; 2) ; 3) ? 15. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 3) ; 4) . 16. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 17. Ñêëàäіòü âèðàç çі çìіííîþ x, ùî ìàâ áè çìіñò ïðè áóäü- ÿêèõ çíà÷åííÿõ x, êðіì: 1) x  2; 2) x  1 і x  -4. Високий рівень 18. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 3) ; 4) . 19. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 3) ; 4) . 20. Âèçíà÷òå çíàê äðîáó: 1) , ÿêùî x > 0, y < 0; 2) , ÿêùî m > 0, n < 0; 3) , ÿêùî p < 0, n > 0; 4) , ÿêùî a < 0, c < 0. 21. Äîâåäіòü, ùî ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó: 1) є äîäàòíèì; 2) є âіä'єìíèì; 3) є íåâіä'єìíèì; 4) є íåäîäàòíèì.

11. 11. Раціональні вирази 11 Вправи для повторення 22. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà ìíîãî÷ëåí: 1) (a2 + 2a - 7) - (a2 - 4a - 9); 2) 3x2y(2x - 3y + 7); 3) (x2 - 2x)(x + 9); 4) (x2 - 5)2 + 10x2. 23. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 4x(2x - 7) + 3x(5 - 2x)  2x2 + 39. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 4. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 25. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 24; 2) äî çíàìåííèêà 28; 3) äî çíàìåííèêà 30; 4) äî çíàìåííèêà 63. 26. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ âèðàç: 1) m3m4; 2) pp7; 3) x9 : x3; 4) (a3)7; 5) b2  (b3)4; 6) (c4)5 : c12. 27. Íà ÿêèé âèðàç òðåáà ïîìíîæèòè îäíî÷ëåí , ùîá îòðè- ìàòè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 28. Ðîçêëàäіòü íà ìíîæíèêè ìíîãî÷ëåí: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) . Цікаві задачі для учнів неледачих 29. (Êèїâñüêà ìіñüêà îëіìïіàäà, 1985 ð.) Çíàéäіòü óñі òàêі òðè- öèôðîâі ÷èñëà, ÿêі ó 12 ðàçіâ áіëüøі çà ñóìó ñâîїõ öèôð.

12. 12. РОЗДІЛ 1 12 Ïðèãàäàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü çâè÷àéíîãî äðîáó: ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäíå é òå ñàìå íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî îäåðæèìî äðіá, ùî äî- ðіâíþє äàíîìó. Іíàêøå êàæó÷è, äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë a, b і c ñïðàâäæóþòüñÿ ðіâíîñòі: і . Äîâåäåìî, ùî öі ðіâíîñòі є ïðàâèëüíèìè íå òіëüêè äëÿ íà- òóðàëüíèõ çíà÷åíü a, b і c, à é äëÿ áóäü-ÿêèõ іíøèõ çíà÷åíü çà óìîâè b  0 і c  0. Äîâåäåìî ñïî÷àòêó, ùî . Íåõàé . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  bp. Ïîìíîæèìî îáèäâі ÷àñòèíè öієї ðіâíîñòі íà c, ìàòèìåìî: ac  (bp)c. Âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâíó і ñïîëó÷íó âëàñòèâîñ- òі ìíîæåííÿ, îäåðæèìî: ac  (bc)p)) . Îñêіëüêè b  0 і c  0, òî і bñ  0. Ç îñòàííüîї ðіâíîñòі (çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè) ìàєìî: . Îñêіëüêè і , òî . Öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ, îòæå, ìîæåìî ïîìіíÿòè â íіé ëіâó і ïðàâó ÷àñòèíè ìіñöÿìè: . Öÿ òîòîæíіñòü äàє çìîãó çàìіíèòè äðіá íà äðіá , òîá- òî ñêîðîòèòè äðіá íà ñïіëüíèé ìíîæíèê c ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà. Âëàñòèâіñòü äðîáó, ùî çàïèñóєòüñÿ ðіâíîñòÿìè і , íàçèâàþòü îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ðàöіîíàëüíîãî äðîáó. Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè çàñòîñóâàííÿ öієї âëàñòèâîñòі äëÿ äðîáіâ íà їõ îáëàñòі äîïóñòèìèõ çíà÷åíü. ÎÑÍÎÂÍÀ ÂËÀÑÒÈÂІÑÒÜ ÐÀÖІÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÄÐÎÁÓ2. ßêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäèí і òîé ñàìèé âіäìіííèé âіä íóëÿ âè- ðàç, òî îäåðæèìî äðіá, ùî äîðіâíþє äàíîìó.

13. 13. Раціональні вирази 13 Ïðèêëàä 1. Ñêîðîòіòü äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïîäàìî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê öüîãî äðîáó ó âèãëÿäі äîáóòêіâ, ùî ìіñòÿòü îäíàêîâèé (ñïіëüíèé) ìíîæíèê 8a, і ñêîðîòèìî äðіá íà öåé âèðàç: . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 2. Ñêîðîòіòü äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ðîçêëàäåìî íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó: . Ñêîðîòèìî äðіá íà x + 3y - ñïіëüíèé ìíîæíèê ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà: . Â і ä ï î â і ä ü. . Îòæå, ùîá ñêîðîòèòè äðіá, òðåáà: Òîòîæíіñòü äàє çìîãó çâîäèòè äðîáè äî çàäàíîãî іíøîãî (íîâîãî) çíàìåííèêà. Ïðèêëàä 3. Çâåäіòü äðіá äî çíàìåííèêà 12p2 4. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè 12p2 4  4p4 ∙ 3p3 3, òî, ïîìíîæèâøè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó íà 3p3 3, îäåðæèìî äðіá çі çíàìåííèêîì 12p2 4: . Ìíîæíèê 3p3 3 íàçèâàþòü äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì ÷èñåëü- íèêà і çíàìåííèêà äðîáó . 1) ðîçêëàñòè íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðî- áó, ÿêùî öå íåîáõіäíî; 2) âèêîíàòè äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà íà їõ ñïіëüíèé ìíîæíèê òà çàïèñàòè â і ä ï î â і ä ü.

14. 14. РОЗДІЛ 1 14 Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 4. Çâåäіòü äðіá äî çíàìåííèêà b - a. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè b - a  -1 ∙ (a - b), òî, ïîìíîæèâ- øè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó íà -1, îäåðæèìî äðіá çі çíàìåííèêîì b - a: . Äðіá ìîæíà çàìіíèòè òîòîæíî ðіâíèì éîìó âèðàçîì , îñêіëüêè çìіíà çíàêà ïåðåä äðîáîì ïðèçâîäèòü äî çìі- íè çíàêà ÷èñåëüíèêà àáî çíàìåííèêà. Òîìó . Â і ä ï î â і ä ü. . Àíàëîãі÷íî, íàïðèêëàä, . Îòæå, Öå ïðàâèëî ìîæíà çàïèñàòè çà äîïîìîãîþ òîòîæíîñòі: . Ïðèêëàä 5. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії і ïîáóäóéòå її ãðàôіê. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíêöії є óñі ÷èñ- ëà, êðіì òèõ, ùî ïåðåòâîðþþòü çíàìåííèê 2x - 4 íà íóëü. Îñêіëüêè 2x - 4  0 ïðè x  2, òî îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíê- öії є óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñëà 2. Ñïðîñòèìî âèðàç , ñêî- ðîòèâøè äàíèé äðіá: . Îòæå, ôóíêöіÿ ìàє âèãëÿä çà óìîâè x  2, à її ãðàôіêîì є ÿêùî çìіíèòè çíàê ó ÷èñåëüíèêó (àáî çíàìåííèêó) äðîáó îäíî÷àñíî іç çíàêîì ïåðåä äðîáîì, òî îäåðæè- ìî äðіá, òîòîæíî ðіâíèé äàíîìó.

15. 15. Раціональні вирази 15 ïðÿìà áåç òî÷êè ç àáñöèñîþ 2, òîáòî áåç òî÷êè (2; 1). Òàêó òî÷êó íàçè- âàþòü "âèêîëîòîþ" і îáîâ'ÿçêîâî âèëó- ÷àþòü її ç ãðàôіêà, çîáðàæóþ÷è "ïî- ðîæíüîþ". Ãðàôіê ôóíêöії ïîäàíî íà ìàëþíêó 1. Початковий рівень 30. (Óñíî.) Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 31. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Середній рівень 32. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 33. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Ìàë. 1 1. ßêèìè ðіâíîñòÿìè çàïèñóþòü îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó? Ñôîðìóëþéòå öþ âëàñòèâіñòü. 2. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 3. Ïîÿñíіòü, ÿê ñêîðîòèòè ðàöіîíàëüíèé äðіá.

16. 16. РОЗДІЛ 1 16 34. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі äðîáó і ñêîðîòіòü öåé äðіá: 1) 12x2y : (4xy3); 2) 3a2bc : (-18ab2c2); 3) -10ap3 : (-15a2); 4) -14x9 : (2x7y). 35. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 20m; 2) äî çíàìåííèêà a5. 36. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 15p5 ; 2) äî çíàìåííèêà y7. 37. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 4) . 38. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 4) . 39. Ðîçêëàäіòü íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó òà ñêîðîòіòü éîãî: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 40. Ñêîðîòіòü äðіá, ïîïåðåäíüî ðîçêëàâøè éîãî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà ìíîæíèêè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 41. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

17. 17. Раціональні вирази 17 42. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) Достатній рівень 43. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) ; 6) . 44. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 45. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà a2 - ab; 2) äî çíàìåííèêà m2 + 2mn + n2; 3) äî çíàìåííèêà x2 - y2; 4) äî çíàìåííèêà k3 - 1; 5) äî çíàìåííèêà b - a; 6) äî çíàìåííèêà 4 - p2. 46. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà m2 + mn; 2) äî çíàìåííèêà x2 - 2xy + y2;

18. 18. РОЗДІЛ 1 18 3) äî çíàìåííèêà a2 - b2; 4) äî çíàìåííèêà 7 - c. 47. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó , ÿêùî c  5, x  2016. 48. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó , . 49. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 50. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Високий рівень 51. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 3) 52. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) 53. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії òà ïîáóäóéòå її ãðà- ôіê: 1) ; 2) . 54. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії òà ïîáóäóéòå її ãðà- ôіê: 1) ; 2) .

19. 19. Раціональні вирази 19 Вправи для повторення 55. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 56. Ðîçâ'ÿæіòü ñèñòåìó ðіâíÿíü: 1) 2) 57. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) (2x + 3y)2 - (x + 7y)(4x - y); 2) (m + 3)(m2 - 5) - m(m - 4)2. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 8. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Цікаві задачі для учнів неледачих 59. (Íàöіîíàëüíà îëіìïіàäà Âåëèêîї Áðèòàíії, 1968 ð.) Íåõàé a1, a2, ..., a7 - öіëі ÷èñëà, à b1, b2, ..., b7 - òі ñàìі ÷èñëà, ÿêі âçÿòî â іíøîìó ïîðÿäêó. Äîâåäіòü, ùî ÷èñëî є ïàðíèì. Ïðèãàäàєìî, ÿê äîäàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêà- ìè. Òðåáà äîäàòè їõ ÷èñåëüíèêè, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé. Íàïðèêëàä: . ÄÎÄÀÂÀÍÍß І ÂІÄÍІÌÀÍÍß ÄÐÎÁІÂ Ç ÎÄÍÀÊÎÂÈÌÈ ÇÍÀÌÅÍÍÈÊÀÌÈ3.

20. 20. РОЗДІЛ 1 20 Çàïèøåìî öå ïðàâèëî ó âèãëÿäі ôîðìóëè: . Öÿ ðіâíіñòü ñïðàâäæóєòüñÿ äëÿ áóäü-ÿêèõ äðîáіâ. Äîâåäåìî її (çà óìîâè c  0). Íåõàé і . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  cp і b  cq. Ìàєìî: a + b  cp + cq  c(p(( + q). Îñêіëüêè c  0, òî çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè , îòæå, . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî äîäàâàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíà- ìåííèêàìè: Ïðèêëàä 1. . Àíàëîãі÷íî ìîæíà äîâåñòè òîòîæíіñòü , ÿêîþ çàïèñóþòü ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè. Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè: Ïðèêëàä 2. . Ðîçãëÿíåìî ùå êіëüêà ïðèêëàäіâ. Ïðèêëàä 3. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ і . ùîá äîäàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè, òðå- áà äîäàòè їõ ÷èñåëüíèêè, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé. ùîá âіäíÿòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè, òðåáà âіä ÷èñåëüíèêà çìåíøóâàíîãî âіäíÿòè ÷èñåëü- íèê âіä'єìíèêà, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé.

21. 21. Раціональні вирази 21 Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. ; Â і ä ï î â і ä ü. ; . Ïðèêëàä 4. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 5. Çíàéäіòü ñóìó Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè 2x - y  -(y - 2x), òî äðóãèé äîäàíîê ìîæíà ïîäàòè ç òèì ñàìèì çíàìåííèêîì, ùî é ó ïåðøîãî äîäàíêà: . Òîäі Â і ä ï î â і ä ü. -5. ßêùî ó òîòîæíîñòÿõ і ïîìі- íÿòè ìіñöÿìè ëіâі і ïðàâі ÷àñòèíè, òî îäåðæèìî òîòîæíîñòі: і . Çà äîïîìîãîþ öèõ òîòîæíîñòåé äðіá, ÷èñåëüíèê ÿêîãî є ñó- ìîþ àáî ðіçíèöåþ êіëüêîõ âèðàçіâ, ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі êіëüêîõ äðîáіâ. Ïðèêëàä 6.

22. 22. РОЗДІЛ 1 22 Ïðèêëàä 7. Çàïèøіòü äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëî- ãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) Â і ä ï î â і ä ü. 1) ; 2) . Початковий рівень 60. (Óñíî.) Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 61. Çíàéäіòü ñóìó àáî ðіçíèöþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 62. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 63. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 1. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî äîäàâàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâè- ìè çíàìåííèêàìè. Äîâåäіòü éîãî. 2. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâè- ìè çíàìåííèêàìè.

23. 23. Раціональні вирази 23 5) 64. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 65. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 66. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 3) ; 4) . 67. Îá÷èñëіòü . 68. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . 69. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 5) ; 6) . 70. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2)

24. 24. РОЗДІЛ 1 24 3) ; 4) . 71. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 72. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) Достатній рівень 73. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 74. Çíàéäіòü ðіçíèöþ: 1) ; 2) . 75. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 76. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî m  25; 2) , ÿêùî x  2016, . 77. Îá÷èñëіòü: 1) , ÿêùî x  -12;

25. 25. Раціональні вирази 25 2) , ÿêùî c  199, k  0,2. 78. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 79. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Високий рівень 80. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) . 81. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) . Вправи для повторення 82. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ìíîãî÷ëåíà: 1) ; 2) . 83. Ñêîðîòіòü äðіá .

26. 26. РОЗДІЛ 1 26 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 84. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) . 85. Ïîäàéòå îäíî÷ëåí ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ îäíî÷ëå- íіâ, îäèí ç ÿêèõ äîðіâíþє: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Цікаві задачі для учнів неледачих 86. Êàòåð çà òå÷ієþ ðі÷êè äîëàє âіäñòàíü âіä ïóíêòó A äî ïóíêòó B çà 2 ãîä, à ïðîòè òå÷ії - çà 3 ãîä. Çà ÿêèé ÷àñ âіä ïóíêòó A äî ïóíêòó B ïðîïëèâå ïëіò? ßêùî äðîáè ìàþòü ðіçíі çíàìåííèêè, òî їõ, ÿê і çâè÷àéíі äðîáè, ñïî÷àòêó çâîäÿòü äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà, à ïîòіì äî- äàþòü àáî âіäíіìàþòü çà ïðàâèëîì äîäàâàííÿ àáî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè. Ðîçãëÿíåìî ÿê äîäàòè äðîáè і . Çâåäåìî öі äðîáè äî їõ ñïіëüíîãî çíàìåííèêà bd. Äëÿ öüîãî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèìî íà d: , à ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèìî íà b: . Äðîáè і çâåëè äî ñïіëü- íîãî çíàìåííèêà bd. Íàãàäàєìî, ùî d íàçèâàþòü äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó , à b - äîäàòêî- âèì ìíîæíèêîì ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó . Çàçíà÷åíó ïîñëіäîâíіñòü äіé äëÿ äîäàâàííÿ äðîáіâ ç ðіçíè- ìè çíàìåííèêàìè ìîæíà çàïèñàòè òàê: , àáî ñêîðî÷åíî: ÄÎÄÀÂÀÍÍß І ÂІÄÍІÌÀÍÍß ÄÐÎÁІÂ Ç ÐІÇÍÈÌÈ ÇÍÀÌÅÍÍÈÊÀÌÈ4.

27. 27. Раціональні вирази 27 . Àíàëîãі÷íî âèêîíóþòü і âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíà- ìåííèêàìè: . Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) . Ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äâîõ àáî áіëüøå äðîáіâ ìîæå áóòè íå ëèøå äîáóòîê їõ çíàìåííèêіâ. Óçàãàëі ó äðîáіâ є áåçëі÷ ñïіëüíèõ çíàìåííèêіâ. ×àñòî ïðè äîäàâàííі é âіäíіìàííі äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè âäàєòüñÿ çíàéòè ïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê, íіæ äîáóòîê çíàìåííèêіâ öèõ äðîáіâ. Ó òàêîìó âèïàäêó êàæóòü ïðî íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíà- ìåííèê (àíàëîãі÷íî äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äëÿ ÷èñëîâèõ äðîáіâ). Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä, äå çíàìåííèêè äðîáіâ - îäíî÷ëåíè. Ïðèêëàä 2. Âèêîíàéòå äîäàâàííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äàíèõ äðîáіâ ìîæíà ââàæàòè îäíî÷ëåí 48x3y2, ùî є äîáóòêîì çíàìåííèêіâ äðîáіâ, àëå â äàíîìó âèïàäêó âіí íå áóäå íàéïðîñòіøèì ñïіëü- íèì çíàìåííèêîì. Ñïðîáóєìî çíàéòè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê. Íèì äëÿ äðîáіâ, çíàìåííèêè ÿêèõ є îäíî÷ëåíà- ìè, áóäå òàêîæ îäíî÷ëåí. Êîåôіöієíò öüîãî îäíî÷ëåíà ïîâè- íåí äіëèòèñÿ і íà 6, і íà 8. Íàéìåíøèì òàêèì ÷èñëîì є 24. Äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà êîæíà çі çìіííèõ ìàє âõîäèòè ç íàéáіëüøèì іç ïîêàçíèêіâ ñòåïåíÿ, ç ÿêèìè âîíà âõîäèòü äî çíàìåííèêіâ äðîáіâ. Òàêèì ÷èíîì, íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì áóäå îäíî÷ëåí 24x2y3. Òîäі äîäàòêîâèì ìíîæíè- êîì äëÿ ïåðøîãî äðîáó ñòàíå âèðàç 4y2, áî 24x2y3  6x2y ∙ 4y2, à äëÿ äðóãîãî - âèðàç 3x, áî 24x2y3  8xy3 ∙ 3x. Îòæå, ìàєìî: . Â і ä ï î â і ä ü.

28. 28. РОЗДІЛ 1 28 Çâåðíіòü óâàãó, ùî ó ïðèêëàäі 2 ïіä ÷àñ çâåäåííÿ äðîáіâ äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äîäàòêîâі ìíîæíèêè 4y2 òà 3x íå ìіñ- òèëè æîäíîãî ñïіëüíîãî ìíîæíèêà, âіäìіííîãî âіä îäèíèöі. Öå îçíà÷àє, ùî ìè çíàéøëè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåí- íèê äðîáіâ. Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä, ó ÿêîìó çíàìåííèêàìè äðîáіâ є ìíî- ãî÷ëåíè. Ïðèêëàä 3. Âèêîíàéòå âіäíіìàííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ùîá çíàéòè ñïіëüíèé çíàìåííèê, ðîçêëà- äåìî çíàìåííèêè íà ìíîæíèêè: xy - x2  x(y - x) і y2 - xy  y(y - x). Íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äðîáіâ áóäå âèðàç xy(y - x). Òîäі äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì äëÿ ïåðøîãî äðîáó áóäå y, à äëÿ äðóãîãî - x. Âèêîíàєìî âіäíіìàííÿ: . Â і ä ï î â і ä ü. . Îòæå, ùîá âèêîíàòè äîäàâàííÿ àáî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè, òðåáà: Àíàëîãі÷íî âèêîíóþòü äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ öіëîãî âè- ðàçó і äðîáó. Ïðèêëàä 4. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çàïèøåìî âèðàç a + 1 ó âèãëÿäі äðîáó іç çíàìåííèêîì 1 òà âèêîíàєìî âіäíіìàííÿ: 1) ðîçêëàñòè íà ìíîæíèêè çíàìåííèêè äðîáіâ, ÿêùî öå íåîáõіäíî; 2) çíàéòè ñïіëüíèé çíàìåííèê, áàæàíî íàéïðîñòіøèé; 3) çàïèñàòè äîäàòêîâі ìíîæíèêè; 4) çíàéòè äðіá, ùî є ñóìîþ àáî ðіçíèöåþ äàíèõ äðîáіâ; 5) ñïðîñòèòè öåé äðіá òà îòðèìàòè â і ä ï î â і ä ü.

29. 29. Раціональні вирази 29 . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 87. (Óñíî.) Çíàéäіòü ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ: 1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і . 88. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 89. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 90. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 91. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 92. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 1. ßêèé çíàìåííèê є ñïіëüíèì äëÿ äðîáіâ і ? 2. ßê âèêîíàòè äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíè- ìè çíàìåííèêàìè?

30. 30. РОЗДІЛ 1 30 93. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 94. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 95. Ñïðîñòіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 96. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 97. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 98. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 99. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 100. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

31. 31. Раціональні вирази 31 101. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 102. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 103. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 104. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ: 1) і ; 2) і . 105. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ: 1) і ; 2) і . 106. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 107. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 108. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 3) ; 4)

32. 32. РОЗДІЛ 1 32 5) ; 6) . 109. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 3) ; 4) 5) ; 6) . 110. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 3) . 111. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ; 3) . Достатній рівень 112. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 113. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 114. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü .

33. 33. Раціональні вирази 33 115. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 116. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) . 117. Äîâåäіòü, ùî äëÿ âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї m çíà- ÷åííÿ âèðàçó m. 118. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 119. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 120. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 121. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 122. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) 2) . 123. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ;

34. 34. РОЗДІЛ 1 34 2) . 124. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі a âèðàç òîòîæíî äîðіâíþє äðîáó ? Високий рівень 125. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї є äîäàòíèì. 126. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 127. Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії . 128. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  -3, b  19. 129. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî x  -10, y  49. 130. ×è іñíóє òàêå çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêîìó çíà÷åííÿ âèðàçó äîðіâíþє íóëþ? Вправи для повторення . Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ñîëі ìіñòèòüñÿ ó 60 êã її 5-âіäñîò- êîâîãî ðîç÷èíó?

35. 35. Раціональні вирази 35 . Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèїõàëè äâà âåëîñèïåäèñòè. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè ñòàíîâèòü s êì, øâèäêîñòі âåëîñèïåäèñòіâ v1 êì/ãîä і v2 êì/ãîä. ×åðåç t ãîä âîíè çóñòðіëèñÿ. Ñêëàäіòü ôîðìóëó äëÿ îá÷èñëåííÿ t. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ t, ÿêùî s  150 êì, v1  12 êì/ãîä, v2  13 êì/ãîä. 133. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 34. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 135. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Цікаві задачі для учнів неледачих 136. Äëÿ øêіëüíîї àêòîâîї çàëè ïðèäáàëè ëþñòðó íà 31 ëàì- ïî÷êó. Äèðåêòîð øêîëè õî÷å ìàòè ìîæëèâіñòü âìèêàòè áóäü- ÿêó їõ êіëüêіñòü, âіä 1 äî 31. ßêà íàéìåíøà êіëüêіñòü çâè÷àé- íèõ âèìèêà÷іâ äëÿ öüîãî çíàäîáèòüñÿ? Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 1 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäі (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âà- ðіàíò âіäïîâіäі. 1. ßêèé ç âèðàçіâ íå є öіëèì ðàöіîíàëüíèì âèðàçîì? À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 2. Ñêîðîòіòü äðіá . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

36. 36. РОЗДІЛ 1 36 3. Âèêîíàéòå äіþ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . . Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі . À. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî; Á. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3; Â. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -2; Ã. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -2 і 3. 5. Ñêîðîòіòü äðіá . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 6. Âèêîíàéòå äіþ . À. ; Á. 4; Â. -4; Ã. . . Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x äðіá äîðіâíþє íóëþ? À. -3 і 1; Á. -3; Â. 1; Ã. òàêèõ çíà÷åíü x íåìàє. 8. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 9. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè öіëîãî âèðàçó і äðîáó. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . . Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x âèðàç ìàє çìіñò? À. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî; Á. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3; Â. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -5; Ã. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3 і -5.

37. 37. Раціональні вирази 37 11. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x äðіá äîðіâíþє íóëþ? À. 3; Á. 3 і -3; Â. -3; Ã. 3; -5. 12. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî , . À. 1300; Á. -1300; Â. 130; Ã. -130. ÇÀÂÄÀÍÍß ÄËß ÏÅÐÅÂІÐÊÈ ÇÍÀÍÜ ÄÎ § 1-4 1. ßêі ç âèðàçіâ є öіëèìè, à ÿêі - äðîáîâèìè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) p2 - p - 19? 2. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) . 3. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 4. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) . 5. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 6. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 7. Ñïðîñòіòü âèðàç . 8. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) . 9. Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії .

38. 38. РОЗДІЛ 1 38 Äîäàòêîâі çàâäàííÿ . Çíàéäіòü: 1) îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó ; 2) çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêèõ äðіá äîðіâíþє íóëþ. 11. Ñïðîñòіòü âèðàç . Íàãàäàєìî, ùî äîáóòêîì äâîõ çâè÷àéíèõ äðîáіâ є äðіá, ÷è- ñåëüíèê ÿêîãî äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñåëüíèêіâ, à çíàìåííèê - äîáóòêó çíàìåííèêіâ äàíèõ äðîáіâ: . Äîâåäåìî, ùî öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ äëÿ áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åíü a, b, c і d çà óìîâè, ùî b  0 і d  0. Íåõàé , . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  bp, c  dq. Òîìó ac  (bp)(dq)  (bd)(pq(( ). Îñêіëüêè bd  0, òî, çíî- âó âðàõóâàâøè îçíà÷åííÿ ÷àñòêè, îäåðæèìî: . Îòæå, ÿêùî b  0 і d  0, òî . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ. Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . ÌÍÎÆÅÍÍß ÄÐÎÁІÂ. ÏІÄÍÅÑÅÍÍß ÄÐÎÁÓ ÄÎ ÑÒÅÏÅÍß5. Ùîá ïîìíîæèòè äðіá íà äðіá, òðåáà ïåðåìíîæèòè îêðåìî ÷èñåëüíèêè і îêðåìî çíàìåííèêè òà çàïèñà- òè ïåðøèé äîáóòîê ÷èñåëüíèêîì, à äðóãèé - çíàìåí- íèêîì äðîáó.

39. 39. Раціональні вирази 39 Ïðèêëàä 2. Çíàéäіòü äîáóòîê . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Âèêîðèñòàєìî ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ òà ðîçêëàäåìî íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê ïåðøîãî äðîáó і çíà- ìåííèê äðóãîãî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Çâåðíіòü óâàãó, ùî ó ïðèêëàäàõ 1 і 2 ïіä ÷àñ ìíîæåííÿ äðîáіâ ìè íå çíàõîäèëè îäðàçó ðåçóëüòàò ìíîæåííÿ ÷èñåëü- íèêіâ і çíàìåííèêіâ. Ñïî÷àòêó ìè çàïèñàëè äîáóòêè â ÷èñåëü- íèêó і çíàìåííèêó çà ïðàâèëîì ìíîæåííÿ äðîáіâ, ïîòіì ñêî- ðîòèëè îòðèìàíèé äðіá, áî âіí âèÿâèâñÿ ñêîðîòíèì, à âæå ïîòіì âèêîíàëè ìíîæåííÿ â ÷èñåëüíèêó і â çíàìåííèêó òà çàïèñàëè âіäïîâіäü. Äîöіëüíî öå âðàõîâóâàòè і íàäàëі. Ïðèêëàä 3. Ïîìíîæèòè äðіá íà ìíîãî÷ëåí x2 + 4x + 4. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Âðàõóâàâøè, ùî x2 + 4x + 4x  , ìàєìî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ ìîæíà ïîøèðèòè íà äîáóòîê òðüîõ і áіëüøå ìíîæíèêіâ. Ïðèêëàä 4. Ðîçãëÿíåìî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ n, äå n - íà- òóðàëüíå ÷èñëî. Çà îçíà÷åííÿì ñòåïåíÿ і ïðàâèëîì ìíîæåííÿ äðîáіâ ìàєìî:

40. 40. РОЗДІЛ 1 40 . Îòæå, Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ. Ïðèêëàä 5. . Ïðèêëàä 6. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 137. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 138. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ùîá ïіäíåñòè äðіá äî ñòåïåíÿ, òðåáà ïіäíåñòè äî öüîãî ñòåïåíÿ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê і ïåðøèé ðå- çóëüòàò çàïèñàòè â ÷èñåëüíèê, à äðóãèé - ó çíàìåí- íèê äðîáó. 1. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ. Äîâåäіòü éîãî. 2. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ. Äîâåäіòü éîãî.

41. 41. Раціональні вирази 41 139. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 140. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 141. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 4) ; 5) ; 6) . 142. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 4) ; 5) . 143. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 144. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 6) 145. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2)

42. 42. РОЗДІЛ 1 42 3) ; 4) . 146. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 147. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 148. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 5) ; 6) . 149. Ïіäíåñіòü äî ñòåïåíÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 150. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

43. 43. Раціональні вирази 43 Достатній рівень 151. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) . 152. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 153. Çíàéäіòü äîáóòîê: 1) ; 2) . 154. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 155. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 156. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá: 1) ; 2) . 157. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 158. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) .

44. 44. РОЗДІЛ 1 44 159. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî a  1,2, b  6; 2) , ÿêùî a  6. Високий рівень 160. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 161. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  100, b  101. Вправи для повторення . Ðîçâ'ÿæіòü ñèñòåìó ðіâíÿíü: 1) 2) . Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 164. Çíàéäіòü ÷èñëî, âçàєìíî îáåðíåíå іç ÷èñëîì: 1) 4; 2) -7; 3) ; 4) ; 5) 0,16; 6) 1,2. 165. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

45. 45. Раціональні вирази 45 Цікаві задачі для учнів неледачих 166. (XV Âñåóêðàїíñüêà îëіìïіàäà, 1975 ð.) Ïðè ÿêèõ íàòó- ðàëüíèõ çíà÷åííÿõ n ÷èñëî є êâàäðàòîì öіëîãî ÷èñëà? Íàãàäàєìî, ùîá çíàéòè ÷àñòêó äâîõ çâè÷àéíèõ äðîáіâ, òðå- áà äіëåíå ïîìíîæèòè íà äðіá, îáåðíåíèé äî äіëüíèêà: . Ôîðìóëîþ öå ìîæíà çàïèñàòè òàê: . Äîâåäåìî, ùî öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ äëÿ áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åíü a, b, c і d çà óìîâè, ùî b  0, c  0 і d  0. Îñêіëüêè , òî çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè ìàєìî: . Îòæå, ÿêùî b  0, c  0 і d  0, òî . Äðіá íàçèâàþòü îáåðíåíèì äî äðîáó . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî äіëåííÿ äðîáіâ. Ïðèêëàä 1. Ïîäіëіòü äðіá íà äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Â і ä ï î â і ä ü. . ÄІËÅÍÍß ÄÐÎÁІÂ6. Ùîá ïîäіëèòè îäèí äðіá íà äðóãèé, òðåáà ïåðøèé äðіá ïîìíîæèòè íà äðіá, îáåðíåíèé äî äðóãîãî.

46. 46. РОЗДІЛ 1 46 Ïðèêëàä 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 3. Ñïðîñòіòü âèðàç : (a2 + 4a + 4). Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè , òî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 167. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 168. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 169. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 3) Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî äіëåííÿ äðîáіâ. Äîâåäіòü éîãî.

47. 47. Раціональні вирази 47 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 170. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 6) . 171. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 172. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) 3) ; 4) . 173. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 3) 5) ; 6) . 174. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) 3) ; 4) .

48. 48. РОЗДІЛ 1 48 175. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 176. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Достатній рівень 177. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 178. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі íåñêîðîòíîãî äðîáó âèðàç: 1) ; 2) . 179. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 180. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî x  -3; 2) , ÿêùî m  10, n  3.

49. 49. Раціональні вирази 49 181. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî , y  0,02; 2) , ÿêùî x  4,2, y  1,6. Високий рівень 182. Ñïðîñòіòü âèðàç . 183. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 184. Ñïðîñòіòü . 185. Âèêîíàéòå äіþ . Вправи для повторення 186. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі äâîõ äðîáіâ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 187. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó: 1) , ÿêùî , ; 2) , ÿêùî x  100, y  20. 188. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü .

50. 50. РОЗДІЛ 1 50 Цікаві задачі для учнів неледачих 189. Óêðàїíñüêèé ãðîñìåéñòåð іç øàõіâ Âàñèëü Іâàí÷óê âçÿâ ó÷àñòü ó ÷åìïіîíàòі ñâіòó ç áëіöó. Ó ïåðøèé äåíü âіí ïåðåìіã ñóïåðíèêіâ ó 70 % ïàðòіé, à íà äðóãèé äåíü âèãðàâ ùå 15 ïàð- òіé ïîñïіëü. Âіäñîòîê âèãðàøíèõ ïàðòіé çà äâà äíі ñÿãíóâ äî 80 %. Ñêіëüêè ïàðòіé çà öі äâà äíі çіãðàâ Âàñèëü Іâàí÷óê? Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè ïåðåòâîðåíü ðàöіîíàëüíèõ âèðàçіâ. Ïðèêëàä 1. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïðîñòèìî ëіâó ÷àñòèíó ðіâíîñòі: . Çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü ìè çâåëè ëіâó ÷àñòè- íó ðіâíîñòі äî ïðàâîї. Îòæå, ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ. Ïðèêëàä 2. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïî÷àòêó âèêîíàєìî äіþ â êîæíіé ç äó- æîê, à ïîòіì - äіþ äіëåííÿ: 1) 2) ; ÒÎÒÎÆÍІ ÏÅÐÅÒÂÎÐÅÍÍß ÐÀÖІÎÍÀËÜÍÈÕ ÂÈÐÀÇІÂ7.

51. 51. Раціональні вирази 51 3) . Â і ä ï î â і ä ü: . Ðîçâ'ÿçàííÿ ìîæíà áóëî çàïèñàòè é "ëàíöþæêîì": Êîæíèé âèðàç, ùî ìіñòèòü ñóìó, ðіçíèöþ, äîáóòîê і ÷àñòêó ðà- öіîíàëüíèõ äðîáіâ, ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó. Ïðèêëàä 3. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííèõ çíà÷åííÿ âèðàçó є íåâіä'єìíèì. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ìîæíà ïîäàòè öåé âèðàç ó âèãëÿäі ÷àñò- êè і äàëі ïåðåòâîðèòè éîãî, ÿê çà- ïðîïîíîâàíî ó ïðèêëàäі 2. À ìîæíà, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó, ïî- ìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äàíîãî äðîáó íà їõ ñïіëüíèé çíàìåííèê, òîáòî íà y: , àëå x2 I 0 ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííі x.

52. 52. РОЗДІЛ 1 52 Середній рівень 190. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 191. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 192. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 193. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 194. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 195. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) .

53. 53. Раціональні вирази 53 Достатній рівень 196. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 197. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 198. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 199. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) . 200. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 201. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 202. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2)

54. 54. РОЗДІЛ 1 54 203. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 204. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 205. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà- ÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííîї íå çàëåæèòü: 1) ; 2) . 206. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà- ÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííîї íå çàëåæèòü. 207. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 208. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ; 2) .

55. 55. Раціональні вирази 55 209. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) ; 6) . 210. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 4) ; 5) ; 6) . Високий рівень 211. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííèõ çíà÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííèõ íå çàëåæèòü: . 212. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  197. 213. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . 214. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó .

56. 56. РОЗДІЛ 1 56 215. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) 2) . 216. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї. 217. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó є äîäàòíèì ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї. 218. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó àáî öіëîãî âèðàçó: 1) ; 2) . 219. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó àáî öіëîãî âèðàçó: 1) ; 2) . Вправи для повторення . Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) x7x3 : x2; 2) (x5:x2) : x; 3) (a2)3 ∙ a; 4) (x3)5 : x4. . Äîâåäіòü, ùî ÷èñëî 89 - 412 äіëèòüñÿ íà 7. . Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії: 1) 2)

57. 57. Раціональні вирази 57 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 223. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї âèðàç ìàє çìіñò: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ? 224. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâíþє íóëþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 225. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) . 226. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) Цікаві задачі для учнів неледачих 227. (Ç êíèãè "Óíіâåðñàëüíà àðèôìåòèêà" Íüþòîíà). Äåõòî çàáàæàâ ðîçäіëèòè ïåâíó ñóìó êîøòіâ ìіæ æåáðàêàìè ïîðіâ- íó. ßêáè â íüîãî áóëî íà 8 äèíàðіâ áіëüøå, òî âіí ìàâ áè äàòè êîæíîìó ïî 3 äèíàðè, àëå âіí ðîçäàâ ëèøå ïî 2 äèíàðè і ùå 3 ó íüîãî çàëèøèëîñÿ. Ñêіëüêè áóëî æåáðàêіâ? Íàãàäàєìî, ùî Òàê, íàïðèêëàä, ðіâíîñèëüíèìè є ðіâíÿííÿ і , îñêіëüêè êîðåíåì êîæíîãî ç íèõ є ÷èñëî 2. Ðіâíÿííÿ і íå є ðіâíîñèëüíèìè, îñêіëü- êè êîðåíåì ïåðøîãî ç íèõ є ÷èñëî 10, à êîðåíåì äðóãîãî - ÷èñëî 9. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÐІÂÍßÍÍß. ÐІÂÍÎÑÈËÜÍІ ÐІÂÍßÍÍß8. äâà ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðіâíîñèëüíèìè, ÿêùî âîíè ìàþòü îäíі é òі ñàìі êîðåíі. Ðіâíîñèëüíèìè ââàæàþòü і òі ðіâíÿííÿ, ÿêі êîðåíіâ íå ìàþòü.

58. 58. РОЗДІЛ 1 58 Ðàíіøå, ó 7 êëàñі, âè îçíàéîìèëèñÿ ç âëàñòèâîñòÿìè, ùî ïåðåòâîðþþòü ðіâíÿííÿ íà ðіâíîñèëüíі їì ðіâíÿííÿ. Ðîçãëÿíåìî ðіâíÿííÿ: Ëіâà і ïðàâà ÷àñòèíè êîæíîãî ç íèõ є ðàöіîíàëüíèìè âè- ðàçàìè. Ó ïåðøèõ äâîõ іç çàïèñàíèõ âèùå ðіâíÿíü ëіâà і ïðàâà ÷àñ- òèíè є öіëèìè âèðàçàìè. Òàêі ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè ðіâíÿííÿìè. ßêùî â ðіâíÿííі õî÷à á îäíà ÷àñòèíà є äðîáîâèì âèðàçîì, òî ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü äðîáî- âèì ðàöіîíàëüíèì ðіâíÿííÿì. Òðåòє іç çàïèñàíèõ âèùå ðіâ- íÿíü є äðîáîâèì ðàöіîíàëüíèì. ßê ðîçâ'ÿçóâàòè öіëі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, ìè ðîçãëÿíó- ëè â ïîïåðåäíіõ êëàñàõ. Ðîçãëÿíåìî òåïåð, ÿê ðîçâ'ÿçóâàòè äðîáîâі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, òîáòî ðіâíÿííÿ çі çìіííîþ â çíàìåííèêó. 1. Âèêîðèñòàííÿ óìîâè ðіâíîñòі äðîáó íóëþ. Íàãàäàєìî, ùî  0, êîëè Ïðèêëàä 1. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü òà âëàñòèâîñòåé ðіâíÿíü çâåäåìî ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó , äå P і Q - öіëі ðàöіîíàëüíі âèðàçè. Ìàєìî: . 1) ßêùî â áóäü-ÿêіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ ðîçêðèòè äóæêè àáî çâåñòè ïîäіáíі äîäàíêè, òî îäåðæèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó; 2) ÿêùî â ðіâíÿííі ïåðåíåñòè äîäàíîê ç îäíієї ÷àñòèíè ó äðóãó, çìіíèâøè éîãî çíàê íà ïðîòèëåæíèé, òî îäåð- æèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó; 3) ÿêùî îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ ïîìíîæèòè àáî ïîäі- ëèòè íà îäíå é òå ñàìå âіäìіííå âіä íóëÿ ÷èñëî, òî îäåðæèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó. Ðіâíÿííÿ, ëіâà і ïðàâà ÷àñòèíè ÿêèõ є ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè, íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè ðіâíÿííÿìè.

59. 59. Раціональні вирази 59 Îñòàòî÷íî ìàєìî ðіâíÿííÿ: Ùîá äðіá äîðіâíþâàâ íóëþ, òðåáà, ùîá ÷èñåëüíèê 6 - 2x äîðіâíþâàâ íóëþ, à çíàìåííèê x - 2 íå äîðіâíþâàâ íóëþ. Òîäі: 6 - 2x  0, çâіäêè x  3. Ïðè x  3 çíàìåííèê x - 2  3 - 2  1  0. Îòæå, x  3 - єäèíèé êîðіíü ðіâíÿííÿ. Ðîçâ'ÿçóâàííÿ îñòàííüîãî ðіâíîñèëüíîãî äàíîìó ðіâíÿííÿ, âðàõîâóþ÷è óìîâó ðіâíîñòі äðîáó íóëþ, çðó÷íî çàïèñóâàòè òàê: Â і ä ï î â і ä ü. 3. Îòæå, ðîçâ'ÿçóþ÷è äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ, ìîæíà: 2. Âèêîðèñòàííÿ îñíîâíîї âëàñòèâîñòі ïðîïîðöії. ßêùî , òî PN  MQ, äå Q  0, N  0. Ïðèêëàä 2. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çíàéäåìî îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü (ÎÄÇ) çìіííîї â ðіâíÿííі. Îñêіëüêè çíàìåííèêè äðîáіâ íå ìî- æóòü äîðіâíþâàòè íóëþ, òî x - 1  0 і x - 2  0. Ìàєìî: x  1 і x  2, òîáòî ÎÄÇ çìіííîї x ìіñòèòü óñі ÷èñëà, êðіì 1 і 2. Çâåäåìî ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó ïðîïîðöії, äîäàâøè âèðà- çè ó ïðàâіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ: . Îäåðæèìî: . Çà îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîïîðöії ìàєìî: (2x + 1)(x - 2)  (2x - 2)(x - 1). Ðîçâ'ÿæåìî öå ðіâíÿííÿ: 2x2 - 4x +x - 2  2x2 - 2x - 2x + 2, çâіäêè x  4. 1) çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü çâåñòè ðіâíÿí- íÿ äî âèãëÿäó ; 2) ïðèðіâíÿòè ÷èñåëüíèê P äî íóëÿ і ðîçâ'ÿçàòè îäåð- æàíå öіëå ðіâíÿííÿ; 3) âèêëþ÷èòè ç éîãî êîðåíіâ òі, ïðè ÿêèõ çíàìåííèê Q äîðіâíþє íóëþ.

60. 60. РОЗДІЛ 1 60 Îñêіëüêè ÷èñëî 4 íàëåæèòü ÎÄÇ çìіííîї ïî÷àòêîâîãî ðіâ- íÿííÿ, òî 4 є éîãî êîðåíåì. Çàïèñ ðîçâ'ÿçóâàííÿ, ùîá íå çàáóòè âðàõóâàòè ÎÄÇ, çðó÷- íî çàêіí÷èòè òàê: Îòæå, äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ äðîáîâîãî ðàöіîíàëüíîãî ðіâíÿí- íÿ ìîæíà: 3. Ìåòîä ìíîæåííÿ îáîõ ÷àñòèí ðіâíÿííÿ íà ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ. Ïðèêëàä 3. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çíàéäåìî ÎÄÇ çìіííîї òà íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê óñіõ äðîáіâ ðіâíÿííÿ, ðîçêëàâøè çíà- ìåííèêè íà ìíîæíèêè: . Îáëàñòþ äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї áóäóòü òі çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêèõ x  0, x - 1  0, x + 1  0. Îòæå, âñі çíà÷åííÿ x, êðіì ÷èñåë 0; 1 і -1. À íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì áóäå âèðàç x(x - 1)(x + 1). Ïîìíîæèìî îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ íà öåé âèðàç: . 1) çíàéòè îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü (ÎÄÇ) çìіííîї â ðіâíÿííі; 2) çâåñòè ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó ; 3) çàïèñàòè öіëå ðіâíÿííÿ P *P N  M *M Q і ðîçâ'ÿçàòè éîãî;Q 4) âèêëþ÷èòè ç îòðèìàíèõ êîðåíіâ òі, ùî íå íàëåæàòü ÎÄÇ і çàïèñàòè âіäïîâіäü.

61. 61. Раціональні вирази 61 Ìàòèìåìî: x(x - 2)  5(x + 1) + 5(x - 1), à ïіñëÿ ñïðîùåí- íÿ: x2 - 12x  0, òîáòî x(x - 12)  0, çâіäêè x  0 àáî x  12. Àëå ÷èñëî 0 íå íàëåæèòü ÎÄÇ çìіííîї ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿí- íÿ, òîìó íå є éîãî êîðåíåì. Îòæå, ÷èñëî 12 - єäèíèé êîðіíü ðіâíÿííÿ. Â і ä ï î â і ä ü. 12. Ðîçâ'ÿçóþ÷è äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ, ìîæíà: Ïðèêëàä 4. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðіâíîñèëü- íèìè, ÿêùî âîíè ìàþòü îäíі é òі ñàìі êîðåíі, àáî íå ìàþòü êîðåíіâ, çíàéäåìî êîðåíі äàíèõ ðіâíÿíü. Ïåðøå ðіâíÿííÿ ìàє єäèíèé êîðіíü x  2, à äðóãå - äâà êîðåíі x  0 і x  2 (ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ ñàìîñòіéíî). Òîìó ðіâíÿííÿ íå є ðіâíîñèëüíèìè. Â і ä ï î â і ä ü. Íі. Початковий рівень 228. (Óñíî.) Íàçâіòü öіëі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, äðîáîâі ðàöіî- íàëüíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 1) çíàéòè îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї â ðіâíÿííі; 2) çíàéòè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ, ùî âõîäÿòü ó ðіâíÿííÿ; 3) ïîìíîæèòè îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ íà öåé ñïіëü- íèé çíàìåííèê; 4) ðîçâ'ÿçàòè îäåðæàíå öіëå ðіâíÿííÿ; 5) âèêëþ÷èòè ç éîãî êîðåíіâ òі, ùî íå íàëåæàòü îáëàñ- òі äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї ðіâíÿííÿ. 1. ßêі ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè? 2. ßêå ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü öіëèì ðàöіîíàëüíèì, à ÿêå - äðîáîâèì ðàöіîíàëüíèì? 3. ßê ìîæíà ðîçâ'ÿçàòè äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ?

62. 62. РОЗДІЛ 1 62 229. ×è є ÷èñëî 1 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 230. ×è є ÷èñëî 2 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 231. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 232. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 233. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 234. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 235. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 236. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

63. 63. Раціональні вирази 63 237. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) і ; 2) 238. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) і ; 2) і ? 239. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 240. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 241. Çíàéäіòü äðіá, ùî äîðіâíþє , ó ÿêîãî çíàìåííèê íà 5 áіëüøèé çà ÷èñåëüíèê. 242. Çíàéäіòü äðіá, ùî äîðіâíþє , ó ÿêîãî ÷èñåëüíèê íà 12 ìåíøèé âіä çíàìåííèêà. 243. ßêå ÷èñëî òðåáà äîäàòè äî ÷èñåëüíèêà äðîáó , ùîá îòðèìàòè äðіá ? 244. ßêå ÷èñëî òðåáà âіäíÿòè âіä çíàìåííèêà äðîáó , ùîá îòðèìàòè äðіá ?

64. 64. РОЗДІЛ 1 64 Достатній рівень 245. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) 246. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 247. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? 248. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? 249. ×èñåëüíèê äðîáó íà 5 ìåíøèé âіä çíàìåííèêà. ßêùî äî ÷èñåëüíèêà äîäàòè 14, à âіä çíàìåííèêà âіäíÿòè 1, òî îäåðæè- ìî äðіá, îáåðíåíèé äàíîìó. Çíàéäіòü ïî÷àòêîâèé äðіá. 250. Çíàìåííèê äðîáó íà 3 áіëüøèé çà ÷èñåëüíèê. ßêùî äî ÷èñåëüíèêà äîäàòè 8, à âіä çíàìåííèêà âіäíÿòè 1, òî îäåðæè- ìî äðіá, îáåðíåíèé äàíîìó. Çíàéäіòü ïî÷àòêîâèé äðіá. 251. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 252. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) .

65. 65. Раціональні вирази 65 Високий рівень 253. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) 254. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) 255. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ a ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ'ÿçêіâ: 1) ; 2) ? 256. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ a ðіâíÿííÿ ìàє ëèøå îäèí êîðіíü? Вправи для повторення 257. Ñïðîñòіòü âèðàç òà çíàéäіòü éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî x  100. 258. Ñêîðîòіòü äðіá . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 259. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ ñòåïåíÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 260. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

66. 66. РОЗДІЛ 1 66 261. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) ç îñíîâîþ 2 ÷èñëà 2, 4, 8, 16, 32, 128, 512; 2) ç îñíîâîþ 3 ÷èñëà 81, 243; 3) ç îñíîâîþ 5 ÷èñëà 5, 25, 625; 4) ç îñíîâîþ 10 ÷èñëà 100, 10 000. Цікаві задачі для учнів неледачих 262. Âèäàòíі óêðàїíöі. Çàïèøіòü ïî ãîðèçîíòàëÿõ ïðіçâèùà âèäàòíèõ óêðàїíöіâ (çà ïîòðåáè âèêîðèñòîâóéòå äîäàòêîâó ëі- òåðàòóðó òà Іíòåðíåò) і îòðèìàєòå ó âèäіëåíîìó ñòîâï÷èêó ïðіçâèùå âèäàòíîãî ôðàíöóçüêîãî ìàòåìàòèêà, ïðî äîñëі- äæåííÿ ÿêîãî ìè ðîçêàæåìî â îäíîìó ç íàñòóïíèõ ðîçäіëіâ. 1 2 3 4 1. Óêðàїíñüêèé øàõіñò, ãðîñìåéñòåð, ÷åìïіîí ñâіòó іç øàõіâ 2002 ðîêó. 2. Іíæåíåð-àâіàêîíñòðóêòîð, ùî íàðîäèâñÿ â Óêðàїíі, êîí- ñòðóêòîð ïåðøîãî ãåëіêîïòåðà. 3. Óêðàїíñüêèé ôóòáîëіñò, âîëîäàð "Çîëîòîãî ì'ÿ÷à" 1986 ðîêó. 4. Óêðàїíñüêèé ïèñüìåííèê, ïîåò, äðàìàòóðã, ãðîìàäñüêèé äіÿ÷, àâòîð ïîåìè "Åíåїäà". Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 2 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäі (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âà- ðіàíò âіäïîâіäі. . Çíàéäіòü äîáóòîê . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

67. 67. Раціональні вирази 67 3. Óêàæіòü ðіâíÿííÿ, êîðåíåì ÿêîãî є ÷èñëî 2. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 4. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 5. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 6. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ . À. -2,5; Á. 2,5; Â. ; Ã. êîðåíіâ íåìàє. 7. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. 2; Á. ; Â. ; Ã. . 8. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî . À. 0; Á. 1; Â. 2,01; Ã. 2. 9. Óêàæіòü ðіâíÿííÿ, ùî є ðіâíîñèëüíèì ðіâíÿííþ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 10. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

68. 68. РОЗДІЛ 1 68 11. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . À. 3; Á. 7; Â. 23; Ã. 27. 12. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . À. ðîçâ'ÿçêіâ íåìàє; Á. 7; Â. 3; Ã. 3; 7. ÇÀÂÄÀÍÍß ÄËß ÏÅÐÅÂІÐÊÈ ÇÍÀÍÜ ÄÎ § 5-8 . Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) . 3. ×è є ÷èñëî 4 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ? . Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 5. Ïіäíåñіòü äðіá äî ñòåïåíÿ: 1) ; 2) . 6. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . . Ñïðîñòіòü âèðàç .

69. 69. Раціональні вирази 69 8. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 9. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . Äîäàòêîâі çàâäàííÿ 10. Ñïðîñòіòü âèðàç 11. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Íàãàäàєìî, ùî â 7 êëàñі ìè âèâ÷àëè ñòåïіíü ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì. Çà îçíà÷åííÿì: , äå n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, n > 1 і a1  a. Ó ìàòåìàòèöі, à òàêîæ ïіä ÷àñ ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷ ïðàê- òè÷íîãî çìіñòó, íàïðèêëàä ç ôіçèêè àáî õіìії, òðàïëÿþòüñÿ ñòåïåíі, ïîêàçíèê ÿêèõ äîðіâíþє íóëþ àáî є öіëèì âіä'єìíèì ÷èñëîì. Ñòåïіíü ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì ìîæíà çíàéòè â íà- óêîâіé òà äîâіäêîâіé ëіòåðàòóðі. Íàïðèêëàä, ìàñó àòîìà ãåëіþ çàïèñóþòü òàê: 6,64 ∙ 10-27 êã. ßê ðîçóìіòè çìіñò çàïèñó 10-27? Ðîçãëÿíåìî ñòåïåíі ÷èñëà 3 ç ïîêàçíèêàìè 1, 2, 3, 4, ...: 31, 32, 33, 34, ... - öå âіäïîâіäíî 3, 9, 27, 81, ... Ó öüîìó ðÿäêó êîæíå íàñòóïíå ÷èñëî âòðè÷і áіëüøå çà ïîïåðåäíє. Ïðîäîâæèìî ðÿäîê ó ïðîòèëåæíîìó íàïðÿìêó, çìåíøóþ÷è êîæíîãî ðàçó ïîêàçíèê ñòåïåíÿ íà 1. Îäåðæèìî: ..., 3-3, 3-2, 3-1, 30, 31, 32, 33, 34, ... ×èñëî 30 ïîâèííî áóòè âòðè÷і ìåíøèì âіä 31, òîáòî - âіä ÷èñëà 3. Àëå âòðè÷і ìåíøèì âіä ÷èñëà 3 є ÷èñëî 1, îòæå, 30  1. Ðіâíіñòü a0  1 ñïðàâäæóєòüñÿ äëÿ áóäü-ÿêîї îñíîâè a, ÿêùî . ÑÒÅÏІÍÜ ІÇ ÖІËÈÌ ÏÎÊÀÇÍÈÊÎÌ9. Íóëüîâèé ñòåïіíü âіäìіííîãî âіä íóëÿ ÷èñëà à äîðіâ- íþє îäèíèöі, òîáòî a0  1 (ÿêùî a  0).

70. 70. РОЗДІЛ 1 70 Ïîâåðíіìîñÿ äî ðÿäêà çі ñòåïåíÿìè ÷èñëà 3, äå ëіâîðó÷ âіä ÷èñëà 30  1 çàïèñàíî ÷èñëî 3-1. Öå ÷èñëî âòðè÷і ìåíøå çà 1, òîáòî äîðіâíþє . Îòæå, . Ìіðêóþ÷è àíàëîãі÷íî, ìàòèìåìî: ; і ò. ä. Ïðèõîäèìî äî íà- ñòóïíîãî îçíà÷åííÿ ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: Ïðèêëàä 1. Çàìіíіòü ñòåïіíü äðîáîì: 1) 5-7; 2) x-1; 3) (a + b)-9. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çà îçíà÷åííÿì: 1) ; 2) ; 3) . Ïðèêëàä 2. Çàìіíіòü äðіá ñòåïåíåì іç öіëèì âіä'єìíèì ïî- êàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) ; 3) . Ïðèêëàä 3. Îá÷èñëіòü: 1) 4-2; 2) (-9)0; 3) (-5)-3. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) ; 3) . Ðîçãëÿíåìî, ÿê ïіäíåñòè äðіá äî öіëîãî âіä'єìíîãî ñòå- ïåíÿ. ßêùî n - íàòóðàëüíå ÷èñëî і a  0, ìàєìî: Îòæå, ÿêùî a  0 і n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî . ÿêùî a  0, b  0, n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî .

71. 71. Раціональні вирази 71 Ïðèêëàä 4. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) . 2) Âðàõîâóþ÷è ïîñëіäîâíіñòü âèêîíàííÿ àðèôìåòè÷èõ äіé, ñïî÷àòêó ïіäíåñåìî äðіá äî ñòåïåíÿ, à ïîòіì âèêîíàєìî ìíî- æåííÿ: Â і ä ï î â і ä ü. 1) ; 2) . Початковий рівень 263. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíà ðіâíіñòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 264. Çàìіíіòü äðîáîì ñòåïіíü іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 4-5; 2) a-1; 3) p-10; 4) c-8; 5) (2a)-3; 6) (a + b)-4. 265. Çàïèøіòü ñòåïіíü іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì ó âè- ãëÿäі äðîáó: 1) b-3; 2) 7-1; 3) 2-7; 4) t-6; 5) (3m)-2; 6) (c - d)-7. 266. Çàïèøіòü äðіá ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïî- êàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 1. ßêîãî çíà÷åííÿ íàáóâàє âèðàç a0, ÿêùî a  0? 2. Ñôîðìóëþéòå îçíà÷åííÿ ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì. 3. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü , äå a  0, b  0.

72. 72. РОЗДІЛ 1 72 267. Çàìіíіòü äðіá ñòåïåíåì іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Середній рівень 268. Îá÷èñëіòü: 1) 7-2; 2) (-2)-2; 3) (-1)-5; 4) 12-1; 5) (-7)-1; 6) 10-3; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) 0,1-1; 14) (-0,2)-2; 15) (1,2)-2; 16) (-0,25)-3. 269. Îá÷èñëіòü: 1) 2-3; 2) (-1)-6; 3) 15-1; 4) (-9)-1; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 0,2-1; 10) (-0,1)-2; 11) (1,5)-2; 12) (-0,5)-4. 270. Ïîäàéòå ÷èñëà 16; 8; 4; 2; 1; ; ; ; ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ 2. 271. Ïîäàéòå ÷èñëà 100; 10; 1; 0,1; 0,01 ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ 10. 272. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) -5-2; 2) (-0,8)-2; 3) ; 4) . 273. Îá÷èñëіòü: 1) -2-3; 2) (-0,4)-2; 3) ; 4) . 274. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó, ùî íå ìіñòèòü ñòåïåíÿ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 2a-3; 2) 3mb-1; 3) a2b-3c; 4) a-3b-7.

73. 73. Раціональні вирази 73 275. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó, ùî íå ìіñòèòü ñòåïåíÿ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 4b-5; 2) 7a-1p1 ; 3) mn-2p2 7; 4) c-2b-5. Достатній рівень 276. Îá÷èñëіòü: 1) 81 ∙ 3-5; 2) -25 ∙ 10-2; 3) 27 ∙ (-18)-1; 4) -4 + 30; 6) 8-2 + 6-1; 7) 2,5-1 + (-13)0; 8) 4-3 - (-4)-2; 9) (-8)-2 + (0,4)-1; 10) ; 12) 1,25-2 + 2,5-3. 277. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) -64 ∙ 4-4; 2) 36 ∙ (-27)-1; 3) 4) -7 ∙ 0,1-2 + 50; 5) 5-2 - 10-1; 6) ; 7) -2 - 1,2-3. 278. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì âèðàç: 1) 8-13; 2) (-3,7)-10; 3) (-2,9)-11; 4) -(-2,1)-7. 279. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì çíà÷åííÿ âèðàçó an, ÿêùî: 1) a > 0 і n - öіëå ÷èñëî; 2) a < 0 і n - ïàðíå âіä'єìíå ÷èñëî; 3) a < 0 і n - íåïàðíå âіä'єìíå ÷èñëî. 280. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì çíà÷åííÿ âèðàçó bm, ÿêùî: 1) b  5, m  -13; 2) b  -1, m  -200; 3) b  -3, m  -41. 281. Ïåðåòâîðіòü âèðàç òàê, ùîá âіí íå ìіñòèâ ñòåïåíіâ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) .

74. 74. РОЗДІЛ 1 74 282. Âèêîðèñòîâóþ÷è âіä'єìíèé ïîêàçíèê ñòåïåíÿ, ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 283. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі äîáóòêó, âèêîðèñòîâóþ÷è ñòåïіíü ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 284. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) m-3 + n-2; 2) ab-1 + ba-1 + c0; 3) (m + n-1)(m-1 + n); 4) (a-1 + b-1) : (a-2 - b-2). 285. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) xy-3 + x-1y2; 2) (x-2 - y-2) : (x-1 - y-1). Високий рівень 286. Îá÷èñëіòü: 1) (1 + (1 - 5-2)-1)-1; 2) (1 - (1 + 3-1)-2)-2. 287. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó (1 + (1 - 3-1)-1)-1 + (1 - (1 + 3-1)-1)-1. 288. Ñïðîñòіòü âèðàç . Вправи для повторення . Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) . . Ñåðãіé ñêàçàâ Îëåêñіþ: "Äàé ìåíі 2 ãðèâíі, і òîäі ãðî- øåé ó íàñ ñòàíå ïîðіâíó". Îëåêñіé âіäïîâіâ Ñåðãіþ: "Êðàùå òè äàé ìåíі 2 ãðèâíі, і òîäі ãðîøåé â ìåíå ñòàíå âäâі÷і áіëüøå, íіæ ó òåáå". Ñêіëüêè ãðîøåé ó êîæíîãî ç õëîïöіâ?

75. 75. Раціональні вирази 75 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 291. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) a5a3; 2) b7 : b3; 3) (c5)4; 4) m7m; 5) t10 : t; 6) (p(( 7)2. 292. Ïіäíåñіòü äî ñòåïåíÿ îäíî÷ëåí: 1) (mn2)7; 2) (-2p2 3)2; 3) (-5cm2)3; 4) (-a2c3)10. 293. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) (5m2n)3 ∙ (0,2m3n)2; 2) (-0,1p7c3)4 ∙ (10pc0 2)3. Цікаві задачі для учнів неледачих 294. (Çàäà÷à Ñòåíôîðäñüêîãî óíіâåðñèòåòó). Ñåðåä äіäóñåâèõ ïàïåðіâ áóëî çíàéäåíî ðàõóíîê іç çàïèñîì: 72 іíäèêè - *67,9* äîëàðіâ. Ïåðøó é îñòàííþ öèôðè âàðòîñòі іíäèêіâ çàìіíèëè çіðî÷- êàìè, îñêіëüêè âîíè ñòåðëèñÿ і ñòàëè íåðîçáіðëèâèìè. Ùî öå çà öèôðè і ñêіëüêè êîøòóâàâ îäèí іíäèê? Âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì ñïðàâäæó- þòüñÿ і äëÿ ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ, âіäìіííîþ âіä íóëÿ, і öіëèì ïîêàçíèêîì. Îòæå, Öі âëàñòèâîñòі ìîæíà äîâåñòè, ñïèðàþ÷èñÿ íà ôîðìóëó òà âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì. Äîâåäåìî, íàïðèêëàä, ôîðìóëó am ∙ an  am+n äëÿ âèïàäêó, êîëè m і n - âіä'єìíі öіëі ÷èñëà. ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒІ ÑÒÅÏÅÍß ІÇ ÖІËÈÌ ÏÎÊÀÇÍÈÊÎÌ10. äëÿ áóäü-ÿêîãî a  0, b  0 і áóäü-ÿêèõ öіëèõ m і n: am ∙ an  am+n; am : an  am-n; (am)n  amn; (ab)n  anbn; .

76. 76. РОЗДІЛ 1 76 Íåõàé m  -p- , n  -q, äå p і q - íàòóðàëüíі ÷èñëà. Ìàєìî: . Îòæå, am ∙ an  am+n, ÿêùî m і n - âіä'єìíі öіëі ÷èñëà. Ó ðàçі ÿêùî îäèí ç ïîêàçíèêіâ m àáî n - âіä'єìíå öіëå ÷èñëî, à äðóãèé - íàòóðàëüíå ÷èñëî àáî íóëü, ôîðìóëà äîâîäèòüñÿ àíàëîãі÷íî. Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå äіþ: 1) a2a-7; 2) b15 : b20; 3) (x-3)2 ∙ x-14. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) a2a-7  a2+(-7)  a-5; 2) b15 : b20  b15-20  b-5; 3) (x-3)2 ∙ x-14  x-3∙2 ∙ x-14  x-6 ∙ x-14  x-6+(-14)  x-20. Ïðèêëàä 2. Ñïðîñòіòü âèðàç (4a5b-6)-2. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïðèêëàä 3. . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïîäàìî 9 òà 27 ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíî- âîþ 3 òà âèêîðèñòàєìî âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ: . Â і ä ï î â і ä ü. 3. Початковий рівень 295. (Óñíî.) ßêі ç ðіâíîñòåé є òîòîæíîñòÿìè: 1) m3 ∙ m-7  m-21; 2) a7 ∙ a-9  a-2; 3) a5 ∙ a-5  a; 4) c8 : c-5  c13; 5) c4 : c5  c; 6) m : m8  m-7; 7) (a7)-1  a-7; 8) (b-2)-3  b-6; 9) (t5)-2  t10? 296. Ïîäàéòå äîáóòîê ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) a5a-2; 2) a-7a6; 3) a9a-9; 4) a-4a-3. 297. Ïîäàéòå äîáóòîê ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) b7b-3; 2) b-6b3; 3) b-5b-7; 4) b-8b8. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ іç öіëèì ïîêàçíèêîì.

77. 77. Раціональні вирази 77 298. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) m3 : m-2; 2) m5 : m6; 3) m-3 : m-3; 4) m-1 : m-8. 299. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) c5 : c-1; 2) c2 : c8; 3) c-2 : c-3; 4) c-4 : c-4. 300. Ïіäíåñіòü ñòåïіíü äî ñòåïåíÿ: 1) (x-4)-2; 2) (x-1)17; 3) (x0)-5; 4) (x7)-4. 301. Ïіäíåñіòü ñòåïіíü äî ñòåïåíÿ: 1) (n-2)-7; 2) (n15)-1; 3) (n-8)0; 4) (n5)-3. Середній рівень 302. Ïîäàéòå a-10 ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ ñòåïåíіâ ç îäíàêîâè- ìè îñíîâàìè, ÿêùî îäèí ç ìíîæíèêіâ äîðіâíþє: 1) a-3; 2) a7; 3) a-1; 4) a12. 303. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ ñòåïåíіâ ç îäíà- êîâèìè îñíîâàìè: 1) m8; 2) m-2; 3) m-17; 4) m0. 304. Îá÷èñëіòü: 1) 27 ∙ 2-6; 2) 5-3 ∙ 5; 3) ; 4) ; 5) 38 : 39; 6) 7-15 : 7-16; 7) 9 : 9-1; 8) ; 9) (2-2)3; 10) ; 11) (0,1-1)4; 12) . 305. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 39 ∙ 3-8; 2) 2-3 ∙ 2; 3) ; 4) ; 5) 104 : 105; 6) 8-12 : 8-13; 7) 7 : 7-1; 8) ; 9) (3-1)4; 10) ; 11) (0,23)-1; 12) .

78. 78. РОЗДІЛ 1 78 306. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ a: 1) a7 : a3 ∙ a-12; 2) (a5)-3 ∙ a12; 3) (a-8)3 : a4; 4) a0 ∙ (a-3)4 ∙ a5; 5) a-3 ∙ a0 : a5 : a; 6) (a3)-2 ∙ (a-1)-6. 307. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ b: 1) b3 : b7 ∙ b2; 2) (b-2)4 ∙ b10; 3) (b3)-2 : b3; 4) b7 ∙ (b-2)3 ∙ b0; 5) b0 ∙ b-4 : b3 : b; 6) (b-4)-1 ∙ (b2)-2. 308. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 3) ; 4) . 309. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 310. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) (xy)-2; 2) (ab-2)-3; 3) (x-4y3)-1; 4) (m0c-3)-2; 5) (0,1a-2)-1; 6) ; 7) (-2c-3p3 )-3; 8) 311. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) (p(( -2n)-5; 2) (a-2b3)-4; 3) (0,2m-4)-1; 4) ; 5) (-4ab-2)-3; 6) Достатній рівень 312. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) 64m-3; 2) 0,01p-8; 3) 0,0025c-8p8 12; 4) .

# data[].attributes.attachment_link.description
Published on 1. 88 АЛГЕБРААЛГЕБРА Î.Ñ. ²ñòåðÎ.Ñ. ²ñòååð 2. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0699 3ISBN 978-966-11-0699-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Àëãåáðà : ïіäðó÷. äëÿ 8-ãî êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016.

# data[].attributes.headline
Опрацювати § 22

# data[].attributes.subject
Опрацювати § 22

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Published on

1. 1. 88 АЛГЕБРААЛГЕБРА Î.Ñ. ²ñòåðÎ.Ñ. ²ñòååð

2. 2. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0699 3ISBN 978-966-11-0699-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Àëãåáðà : ïіäðó÷. äëÿ 8-ãî êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016. - 272 ñ. ISBN 978-966-11-0699-3. Підручник відповідає новій програмі з математики, містить до- статню кількість диференційованих вправ та прикладних задач. Після кожного розділу наведено вправи для його повторення. Для підготовки до контрольної роботи передбачено "Домашню самостійну роботу" та "Завдання для перевірки знань". Наприкінці підручника наведено ма- теріал для повторення курсу математики 5-6 класів та курсу алгебри 7 класу, задачі підвищеної складності, предметний покажчик та відпо- віді до більшості вправ. Для найдопитливіших є низка нестандартних задач у рубриці "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий ма- теріал. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè (Íàêàç Ìіíіñòåðñòâà îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè âіä 10.05.2016 № 491) Åêñïåðòè, ÿêі çäіéñíèëè åêñïåðòèçó ïіäðó÷íèêà ïіä ÷àñ ïðîâå- äåííÿ êîíêóðñíîãî âіäáîðó ïðîåêòіâ ïіäðó÷íèêіâ äëÿ ó÷íіâ 8 êëà- ñó çàãàëüíîîñâіòíіõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäіâ і çðîáèëè âèñíîâîê ïðî äîöіëüíіñòü íàäàííÿ ïіäðó÷íèêó ãðèôà "Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñ- òåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè": Áіäþê Â.Ã., ó÷èòåëü-ìåòîäèñò Íîâîñåëèöüêîãî ðàéîííîãî ìåòî- äè÷íîãî êàáіíåòó ×åðíіâåöüêîї îáëàñòі; Ãðèíüêіâ Î.І., ó÷èòåëü-ìåòîäèñò Äіäèëіâñüêîãî ÍÂÊ Êàì'ÿíêà- Áóçüêîãî ðàéîíó Ëüâіâñüêîї îáëàñòі; Ïàäàëêî Í.É., äîöåíò êàôåäðè äèôåðåíöіàëüíèõ ðіâíÿíü і ìàòå- ìàòè÷íîї ôіçèêè Ñõіäíîєâðîïåéñüêîãî íàöіîíàëüíîãî óíіâåðñèòå- òó іì. Ëåñі Óêðàїíêè, êàíäèäàò ïåäàãîãі÷íèõ íàóê. Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

3. 3. 3 Øàíîâíі ó÷íі!! Öüîãîðі÷ âè ïðîäîâæèòå âèâ÷àòè îäíó ç íàéâàæëèâіøèõ ìàòåìàòè÷íèõ äèñöèïëіí - àëãåáðó. Äîïîìîæå âàì ó öüîìó ïіäðó÷íèê, ÿêèé âè òðèìàєòå â ðóêàõ. Ïіä ÷àñ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çâåðíіòü óâàãó íà òåêñò, íàäðóêîâàíèé æèðíèì øðèôòîì. Éîãî òðåáà çàïàì'ÿòàòè. Çâåðíіòü óâàãó é íà óìîâíі ïîçíà÷åííÿ: - òðåáà çàïàì'ÿòàòè; - âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ; - çàïèòàííÿ і çàâäàííÿ äî âèâ÷åíîãî ìàòåðіàëó; - ðóáðèêà "Ðîçâ'ÿæіòü òà ïіäãîòóéòåñÿ äî âèâ÷åííÿ íîâîãî ìàòåðіàëó"; 1 - çàâäàííÿ äëÿ êëàñíîї ðîáîòè; 2 - äëÿ äîìàøíüîї ðîáîòè; - ðóáðèêà "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ" òà äî- äàòêîâèé ìàòåðіàë. Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü і ïîçíà÷åíî òàê: Ïîçíà÷êîþ âèîêðåìëåíî âïðàâè ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі. Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ ìîæíà, âèêîíóþ÷è çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìî- ñòіéíîї ðîáîòè" òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Ïіñëÿ êîæíîãî ðîçäіëó íàâåäåíî âïðàâè äëÿ éîãî ïîâòîðåííÿ, à â êіíöі ïіäðó÷íèêà - "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü çà êóðñ àëãåáðè 8 êëàñó". "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі" äîïîìî- æóòü ïіäãîòóâàòèñÿ äî ìàòåìàòè÷íîї îëіìïіàäè òà ïîãëèáèòè çíàííÿ ç ìàòåìàòèêè. Ïðèãàäàòè ðàíіøå âèâ÷åíі òåìè äîïî- ìîæóòü "Âіäîìîñòі ç êóðñó ìàòåìàòèêè 5-6 êëàñіâ òà êóð- ñó àëãåáðè 7 êëàñó", à ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ íà ïî÷àòêó íàâ÷àëüíîãî ðîêó - "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó àëãåáðè 7 êëàñó" â êіíöі ïіäðó÷íèêà. Àâòîð íàìàãàâñÿ ïîäàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ïіäðó÷íè- êà ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ, ïðîіëþñòðóâàòè éîãî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó ó øêîëі éîãî îáîâ'ÿçêîâî òðåáà îïðàöþâàòè âäîìà.

4. 4. 4 Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Áіëüøіñòü ç íèõ âè ðîçãëÿíåòå íà óðîêàõ òà ïіä ÷àñ äîìàøíüîї ðîáîòè, іíøі âïðàâè ðåêîìåíäóєòüñÿ ðîçâ'ÿçàòè ñàìîñòіéíî. Öіêàâі ôàêòè ç іñòîðії ðîçâèòêó òà ñòàíîâëåííÿ ìàòåìàòè- êè ÿê íàóêè âè çíàéäåòå ó ðóáðèöі "À ùå ðàíіøå..." Øàíîâíі â÷èòåëі! Ïðîïîíîâàíèé ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ; âïðàâè áіëüøîñòі ïàðàãðàôіâ ïîäàíî "іç çàïàñîì". Òîæ îáè- ðàéòå їõ äëÿ âèêîðèñòàííÿ íà óðîêàõ і ïîçàóðî÷íèõ çàíÿòòÿõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ, ñòóïåíÿ äèôåðåíöіàöії íàâ÷àííÿ òîùî. "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó àëãåáðè 7 êëàñó" äîïîìî- æóòü äіàãíîñòóâàòè âìіííÿ é íàâè÷êè ó÷íіâ ç àëãåáðè çà ïî- ïåðåäíіé ðіê òà ïîâòîðèòè íàâ÷àëüíèé ìàòåðіàë. Äîäàòêîâі âïðàâè ðóáðèêè "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü" ïðèçíà÷å- íî äëÿ ó÷íіâ, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàííÿìè ðàíіøå çà іíøèõ ó÷íіâ. Ïðàâèëüíå їõ ðîçâ'ÿçàííÿ â÷èòåëü ìîæå îöі- íèòè îêðåìî. Âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ ðîçäіëіâ ìîæíà çàïðî- ïîíóâàòè ó÷íÿì ïіä ÷àñ óçàãàëüíþþ÷èõ óðîêіâ àáî ïіä ÷àñ ïîâòîðåííÿ і ñèñòåìàòèçàöії íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó â êіíöі íàâ÷àëüíîãî ðîêó. Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі òà "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ" äîïîìîæóòü çàäîâîëüíèòè ïіäâè- ùåíó öіêàâіñòü ó÷íіâ äî ïðåäìåòà і ñïðèÿòèìóòü їõ ïіäãîòîâöі äî ðіçíîìàíіòíèõ ìàòåìàòè÷íèõ çìàãàíü. Øàíîâíі áàòüêè! ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ ç àë- ãåáðè, íåîáõіäíî çàïðîïîíóâàòè їé çà ïіäðó÷íèêîì óäîìà ñàìîñòіéíî îïðàöþâàòè ìàòåðіàë öèõ óðîêіâ. Ñïî÷àòêó ó÷åíü ìàє ïðî÷èòàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë, ÿêèé âèêëàäåíî ïðî- ñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ òà ìіñòèòü çíà÷íó êіëüêіñòü çðàçêіâ ðîçâ'ÿçóâàííÿ âïðàâ, à ïîòіì іç çàïðîïîíîâàíèõ ó âіäïîâіäíîìó òåìàòè÷íîìó ïàðàãðàôі çàâäàíü ðîçâ'ÿçàòè ïîñèëüíі їé âïðàâè. Óïðîäîâæ îïðàöþâàííÿ äèòèíîþ êóðñó àëãåáðè 8 êëàñó âè ìîæåòå ïðîïîíóâàòè їé äîäàòêîâî ðîçâ'ÿçóâàòè âäîìà âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ ïіä ÷àñ óðîêó. Öå ñïðèÿòèìå ÿêíàéêðà- ùîìó çàñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó. Êîæíà òåìà çàêіí÷óєòüñÿ òåìàòè÷íèì îöіíþâàííÿì. Ïåðåä éîãî ïðîâåäåííÿì çàïðîïîíóéòå äèòèíі ðîçâ'ÿçàòè çàâäàí- íÿ "Äîìàøíüîї ñàìîñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Öå äîïîìîæå ïðè- ãàäàòè îñíîâíі òèïè âïðàâ òà ÿêіñíî ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìà- òè÷íîãî îöіíþâàííÿ.

5. 5. 5 Ðîçäіë 1 Раціональні вирази Ó êóðñі àëãåáðè 7 êëàñó âè âæå çíàéîìèëèñÿ іç öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè, òîáòî ç âèðàçàìè, ùî íå ìіñòÿòü äіëåííÿ íà âèðàç çі çìіííîþ, íàïðèêëàä: 5m2p2 ; 4c3 + t9; (m - n)(m2 + n7); . Áóäü-ÿêèé öіëèé âèðàç ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі ìíîãî÷ëå- íà ñòàíäàðòíîãî âèãëÿäó, íàïðèêëàä: (m - n)(m2 + n7)  m3 + mn7 - nm2 - n8; . Íà âіäìіíó âіä öіëèõ âèðàçіâ, âèðàçè ; ; ; ; ìіñòÿòü äіëåííÿ íà âèðàç çі çìіííîþ. Òàêі âèðàçè íàçèâàþòü äðîáîâèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè. Öіëі ðàöіîíàëüíі і äðîáîâі ðàöіîíàëüíі âèðàçè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè. Раціоналльні виррази У цьому розділі ви: пригадаєте основну властивість звичайного дробу та основні властивості рівнянь; ознайомитеся з поняттями раціонального виразу, раціо- нального дробу, раціонального рівняння; з функцією , степенем із цілим показником, стандартним виглядом числа; навчитеся скорочувати раціональні дроби та зводити їх до нового знаменника; виконувати арифметичні дії з раціо- нальними дробами; розв'язувати раціональні рівняння. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÂÈÐÀÇÈ. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÄÐÎÁÈ1. Ðàöіîíàëüíі âèðàçè - öå ìàòåìàòè÷íі âèðàçè, ÿêі ìіñ- òÿòü äії äîäàâàííÿ, âіäíіìàííÿ, ìíîæåííÿ, äіëåííÿ òà ïіäíåñåííÿ äî ñòåïåíÿ іç öіëèì ïîêàçíèêîì.

6. 6. РОЗДІЛ 1 6 Ðàöіîíàëüíèé âèðàç âèãëÿäó , äå P і Q - âèðàçè, ùî ìіñ- òÿòü ÷èñëà àáî çìіííі, íàçèâàþòü äðîáîì. Âèðàç Ð є éîãî ÷è- ñåëüíèêîì, à Q - çíàìåííèêîì. ßêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó - ìíîãî÷ëåíè, òî äðіá íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèì äðîáîì. Öіëèé ðàöіîíàëüíèé âèðàç ìàє çìіñò ïðè áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åííÿõ çìіííèõ, ùî äî íüîãî âõîäÿòü, îñêіëüêè äëÿ çíàõî- äæåííÿ éîãî çíà÷åííÿ òðåáà âèêîíàòè äії äîäàâàííÿ, âіäíі- ìàííÿ і ìíîæåííÿ òà äіëåííÿ íà ÷èñëî, âіäìіííå âіä íóëÿ, ùî çàâæäè ìîæëèâî. Ðîçãëÿíåìî äðîáîâèé ðàöіîíàëüíèé âèðàç . Éîãî çíà- ÷åííÿ ìîæíà çíàéòè äëÿ áóäü-ÿêîãî çíà÷åííÿ x, êðіì x  3, îñêіëüêè ïðè x  3 çíàìåííèê äðîáó äîðіâíþâàòèìå íóëþ. Ó òàêîìó âèïàäêó êàæóòü, ùî âèðàç ìàє çìіñò ïðè âñіõ çíà÷åííÿõ çìіííîї x, êðіì x  3 (àáî ïðè x  3 íå ìàє çìіñòó). Öі çíà÷åííÿ óòâîðþþòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó, àáî îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííèõ ó âèðàçі. Ïðèêëàä 1. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) Âèðàç ìàє çìіñò ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åí- íÿõ çìіííîї m. 2) Äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї p - óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñëà -2, îñêіëüêè öå çíà÷åííÿ çìіííîї ïåðåòâîðþє çíà- ìåííèê äðîáó íà íóëü. 3) Çíàìåííèê äðîáó ïåðåòâî- ðþєòüñÿ íà íóëü, ÿêùî x  0 àáî x  9. Òîìó äîïóñòèìі çíà- ÷åííÿ çìіííîї x - óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñåë 0 і 9. 4) Äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї y - óñі ÷èñëà, êðіì 3 і -3. Ñêîðî÷åíî âіäïîâіäі ìîæíà çàïèñàòè òàê: 1) m - áóäü-ÿêå ÷èñëî; 2) p  -2; 3) x  0; x  9; 4) y  3; y  -3. Ðîçãëÿíåìî óìîâó ðіâíîñòі äðîáó íóëþ. Îñêіëüêè , ÿêùî Q  0, òî ìîæíà ïðèéòè äî âèñíîâêó, ùî äðіá äî- ðіâíþє íóëþ òîäі і òіëüêè òîäі, êîëè ÷èñåëüíèê P äîðіâíþє Çíà÷åííÿ çìіííèõ, ïðè ÿêèõ âèðàç ìàє çìіñò, íàçèâà- þòü äîïóñòèìèìè çíà÷åííÿìè çìіííèõ ó âèðàçі.

7. 7. Раціональні вирази 7 íóëþ, à çíàìåííèê Q íå äîðіâíþє íóëþ, òîáòî Ïðèêëàä 2. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї äîðіâíþє íóëþ çíà÷åííÿ äðîáó: 1) ; 2) ? Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ×èñåëüíèê äðîáó äîðіâíþє íóëþ, ÿêùî x  3. Öå çíà÷åííÿ çìіííîї íå ïåðåòâîðþє çíàìåííèê íà íóëü, òîìó x  3 є òèì çíà÷åííÿì çìіííîї, ïðè ÿêîìó äàíèé äðіá äîðіâ- íþє íóëþ. 2) ×èñåëüíèê äðîáó äîðіâíþє íóëþ, ÿêùî a  2 àáî a  -1. Ïðè êîæíîìó іç öèõ çíà÷åíü çíàìåííèê äðîáó íóëþ íå äîðіâíþє. Òîìó a  2 і a  -1 є òèìè çíà÷åííÿìè çìіííîї, ïðè ÿêèõ äàíèé äðіá äîðіâíþє íóëþ. 3) ×èñåëüíèê äðîáó äî- ðіâíþє íóëþ, ÿêùî b  0 àáî b  7. ßêùî b  0, çíàìåííèê äðîáó íóëþ íå äîðіâíþє, à ÿêùî b  7, çíàìåííèê äðîáó ïå- ðåòâîðþєòüñÿ íà íóëü, òîáòî äðіá íå іñíóє. Îòæå, äàíèé äðіá äîðіâíþє íóëþ ëèøå ïðè b  0. Â і ä ï î â і ä ü. 1) x  3; 2) a  2, a  -1; 3) b  0. Давньогрецький математик Діофант (бл. ІІІ ст. н. е.) розглянув раціональні дроби та дії з ними у своїй праці "Арифметика". Зо- крема на сторінках цієї книжки можна зустріти доведення тотожностей та , які записано тодішньою символікою. Видатний англійський учений Ісаак Ньютон (1643-1727) у своїй мо- нографії "Універсальна арифметика" (1707 р.) означує дріб наступ- ним чином: "Запис однієї з двох величин під іншою, нижче якої між ними проведено риску, означає частку або ж величину, що виникає при діленні верхньої величини на нижню". У цій роботі Ньютон роз- глядає не тільки звичайні дроби, а й раціональні. 1. ßêі âèðàçè íàçèâàþòü öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðà- çàìè, à ÿêі - äðîáîâèìè ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè? Íà- âåäіòü ïðèêëàäè òàêèõ âèðàçіâ. 2. ßêі âèðàçè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè? 3. ßêі äðîáè íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè äðîáàìè? 4. Ùî íàçèâàþòü äîïóñòèìèìè çíà÷åííÿìè çìіííîї? 5. Êîëè äðіá äîðіâíþє íóëþ?

8. 8. РОЗДІЛ 1 8 Початковий рівень 1. (Óñíî.) ßêі ç âèðàçіâ є öіëèìè, à ÿêі - äðîáîâèìè: 1) ; 2) ; 3) m2 + 2m - 8; 4) ; 5) ; 6) ; 7) (p(( - 2)2 + 7p7 ; 8) ? 2. Ç ðàöіîíàëüíèõ âèðàçіâ a3 - ab; ; ; ; ; âèïèøіòü òі, ùî є: 1) öіëèìè; 2) äðîáîâèìè. 3. ßêі ç äðîáіâ є ðàöіîíàëüíèìè äðîáàìè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? Середній рівень 4. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî a  1; -2; -3; 2) , ÿêùî x  4; -1. 5. Äіçíàéòåñÿ ïðіçâèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî àâіàêîíñòðóê- òîðà. Äëÿ öüîãî çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó ç ïåðøîї òàáëèöі òà ïåðåíåñіòü ëіòåðè, ùî âіäïîâіäàþòü öèì çíà÷åííÿì, ó äðóãó òàáëèöþ. Êîðèñòóþ÷èñü áóäü-ÿêèìè іíôîðìàöіéíèìè äæåðå- ëàìè, îçíàéîìòåñÿ ç áіîãðàôієþ öüîãî àâіàêîíñòðóêòîðà. x -3 -1 0 2 3 Ëіòåðè Ò Â À Î Í 1 -2 -0,5 -3 -2 -3 0

9. 9. Раціональні вирази 9 6. Ñêëàäіòü äðіá: 1) ÷èñåëüíèêîì ÿêîãî є ðіçíèöÿ çìіííèõ a і b, à çíàìåííè- êîì - їõ ñóìà; 2) ÷èñåëüíèêîì ÿêîãî є äîáóòîê çìіííèõ x і y, à çíàìåííè- êîì - ñóìà їõ êâàäðàòіâ. 7. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) m2 - 5; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 8. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) p + 9; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 9. Çà t ãîä àâòîìîáіëü ïîäîëàâ 240 êì. Ñêëàäіòü âèðàç äëÿ îá- ÷èñëåííÿ øâèäêîñòі àâòîìîáіëÿ (ó êì/ãîä). Çíàéäіòü çíà÷åííÿ îäåðæàíîãî âèðàçó, ÿêùî t  3; 4. 10. Ó÷åíü âèòðàòèâ 48 ãðí äëÿ ïðèäáàííÿ ï ðó÷îê. Ñêëàäіòü âèðàç äëÿ îá÷èñëåííÿ öіíè ðó÷êè (ó ãðí) òà îá÷èñëіòü éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî ï  8; 10. Достатній рівень 11. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâ- íþє: 1) -2; 2) 9; 3) 0,01; 4) -4,9? 12. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâ- íþє: 1) -8; 2) 0,25? 13. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі x äîðіâíþє íóëþ äðіá: 1) ; 2) ; 3) ?

10. 10. РОЗДІЛ 1 10 14. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі y äîðіâíþє íóëþ äðіá: 1) ; 2) ; 3) ? 15. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 3) ; 4) . 16. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 17. Ñêëàäіòü âèðàç çі çìіííîþ x, ùî ìàâ áè çìіñò ïðè áóäü- ÿêèõ çíà÷åííÿõ x, êðіì: 1) x  2; 2) x  1 і x  -4. Високий рівень 18. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 3) ; 4) . 19. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 3) ; 4) . 20. Âèçíà÷òå çíàê äðîáó: 1) , ÿêùî x > 0, y < 0; 2) , ÿêùî m > 0, n < 0; 3) , ÿêùî p < 0, n > 0; 4) , ÿêùî a < 0, c < 0. 21. Äîâåäіòü, ùî ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó: 1) є äîäàòíèì; 2) є âіä'єìíèì; 3) є íåâіä'єìíèì; 4) є íåäîäàòíèì.

11. 11. Раціональні вирази 11 Вправи для повторення 22. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà ìíîãî÷ëåí: 1) (a2 + 2a - 7) - (a2 - 4a - 9); 2) 3x2y(2x - 3y + 7); 3) (x2 - 2x)(x + 9); 4) (x2 - 5)2 + 10x2. 23. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 4x(2x - 7) + 3x(5 - 2x)  2x2 + 39. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 4. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 25. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 24; 2) äî çíàìåííèêà 28; 3) äî çíàìåííèêà 30; 4) äî çíàìåííèêà 63. 26. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ âèðàç: 1) m3m4; 2) pp7; 3) x9 : x3; 4) (a3)7; 5) b2  (b3)4; 6) (c4)5 : c12. 27. Íà ÿêèé âèðàç òðåáà ïîìíîæèòè îäíî÷ëåí , ùîá îòðè- ìàòè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 28. Ðîçêëàäіòü íà ìíîæíèêè ìíîãî÷ëåí: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) . Цікаві задачі для учнів неледачих 29. (Êèїâñüêà ìіñüêà îëіìïіàäà, 1985 ð.) Çíàéäіòü óñі òàêі òðè- öèôðîâі ÷èñëà, ÿêі ó 12 ðàçіâ áіëüøі çà ñóìó ñâîїõ öèôð.

12. 12. РОЗДІЛ 1 12 Ïðèãàäàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü çâè÷àéíîãî äðîáó: ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäíå é òå ñàìå íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî îäåðæèìî äðіá, ùî äî- ðіâíþє äàíîìó. Іíàêøå êàæó÷è, äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë a, b і c ñïðàâäæóþòüñÿ ðіâíîñòі: і . Äîâåäåìî, ùî öі ðіâíîñòі є ïðàâèëüíèìè íå òіëüêè äëÿ íà- òóðàëüíèõ çíà÷åíü a, b і c, à é äëÿ áóäü-ÿêèõ іíøèõ çíà÷åíü çà óìîâè b  0 і c  0. Äîâåäåìî ñïî÷àòêó, ùî . Íåõàé . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  bp. Ïîìíîæèìî îáèäâі ÷àñòèíè öієї ðіâíîñòі íà c, ìàòèìåìî: ac  (bp)c. Âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâíó і ñïîëó÷íó âëàñòèâîñ- òі ìíîæåííÿ, îäåðæèìî: ac  (bc)p)) . Îñêіëüêè b  0 і c  0, òî і bñ  0. Ç îñòàííüîї ðіâíîñòі (çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè) ìàєìî: . Îñêіëüêè і , òî . Öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ, îòæå, ìîæåìî ïîìіíÿòè â íіé ëіâó і ïðàâó ÷àñòèíè ìіñöÿìè: . Öÿ òîòîæíіñòü äàє çìîãó çàìіíèòè äðіá íà äðіá , òîá- òî ñêîðîòèòè äðіá íà ñïіëüíèé ìíîæíèê c ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà. Âëàñòèâіñòü äðîáó, ùî çàïèñóєòüñÿ ðіâíîñòÿìè і , íàçèâàþòü îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ðàöіîíàëüíîãî äðîáó. Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè çàñòîñóâàííÿ öієї âëàñòèâîñòі äëÿ äðîáіâ íà їõ îáëàñòі äîïóñòèìèõ çíà÷åíü. ÎÑÍÎÂÍÀ ÂËÀÑÒÈÂІÑÒÜ ÐÀÖІÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÄÐÎÁÓ2. ßêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäèí і òîé ñàìèé âіäìіííèé âіä íóëÿ âè- ðàç, òî îäåðæèìî äðіá, ùî äîðіâíþє äàíîìó.

13. 13. Раціональні вирази 13 Ïðèêëàä 1. Ñêîðîòіòü äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïîäàìî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê öüîãî äðîáó ó âèãëÿäі äîáóòêіâ, ùî ìіñòÿòü îäíàêîâèé (ñïіëüíèé) ìíîæíèê 8a, і ñêîðîòèìî äðіá íà öåé âèðàç: . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 2. Ñêîðîòіòü äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ðîçêëàäåìî íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó: . Ñêîðîòèìî äðіá íà x + 3y - ñïіëüíèé ìíîæíèê ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà: . Â і ä ï î â і ä ü. . Îòæå, ùîá ñêîðîòèòè äðіá, òðåáà: Òîòîæíіñòü äàє çìîãó çâîäèòè äðîáè äî çàäàíîãî іíøîãî (íîâîãî) çíàìåííèêà. Ïðèêëàä 3. Çâåäіòü äðіá äî çíàìåííèêà 12p2 4. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè 12p2 4  4p4 ∙ 3p3 3, òî, ïîìíîæèâøè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó íà 3p3 3, îäåðæèìî äðіá çі çíàìåííèêîì 12p2 4: . Ìíîæíèê 3p3 3 íàçèâàþòü äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì ÷èñåëü- íèêà і çíàìåííèêà äðîáó . 1) ðîçêëàñòè íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðî- áó, ÿêùî öå íåîáõіäíî; 2) âèêîíàòè äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà íà їõ ñïіëüíèé ìíîæíèê òà çàïèñàòè â і ä ï î â і ä ü.

14. 14. РОЗДІЛ 1 14 Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 4. Çâåäіòü äðіá äî çíàìåííèêà b - a. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè b - a  -1 ∙ (a - b), òî, ïîìíîæèâ- øè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó íà -1, îäåðæèìî äðіá çі çíàìåííèêîì b - a: . Äðіá ìîæíà çàìіíèòè òîòîæíî ðіâíèì éîìó âèðàçîì , îñêіëüêè çìіíà çíàêà ïåðåä äðîáîì ïðèçâîäèòü äî çìі- íè çíàêà ÷èñåëüíèêà àáî çíàìåííèêà. Òîìó . Â і ä ï î â і ä ü. . Àíàëîãі÷íî, íàïðèêëàä, . Îòæå, Öå ïðàâèëî ìîæíà çàïèñàòè çà äîïîìîãîþ òîòîæíîñòі: . Ïðèêëàä 5. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії і ïîáóäóéòå її ãðàôіê. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíêöії є óñі ÷èñ- ëà, êðіì òèõ, ùî ïåðåòâîðþþòü çíàìåííèê 2x - 4 íà íóëü. Îñêіëüêè 2x - 4  0 ïðè x  2, òî îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíê- öії є óñі ÷èñëà, êðіì ÷èñëà 2. Ñïðîñòèìî âèðàç , ñêî- ðîòèâøè äàíèé äðіá: . Îòæå, ôóíêöіÿ ìàє âèãëÿä çà óìîâè x  2, à її ãðàôіêîì є ÿêùî çìіíèòè çíàê ó ÷èñåëüíèêó (àáî çíàìåííèêó) äðîáó îäíî÷àñíî іç çíàêîì ïåðåä äðîáîì, òî îäåðæè- ìî äðіá, òîòîæíî ðіâíèé äàíîìó.

15. 15. Раціональні вирази 15 ïðÿìà áåç òî÷êè ç àáñöèñîþ 2, òîáòî áåç òî÷êè (2; 1). Òàêó òî÷êó íàçè- âàþòü "âèêîëîòîþ" і îáîâ'ÿçêîâî âèëó- ÷àþòü її ç ãðàôіêà, çîáðàæóþ÷è "ïî- ðîæíüîþ". Ãðàôіê ôóíêöії ïîäàíî íà ìàëþíêó 1. Початковий рівень 30. (Óñíî.) Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 31. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Середній рівень 32. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 33. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Ìàë. 1 1. ßêèìè ðіâíîñòÿìè çàïèñóþòü îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó? Ñôîðìóëþéòå öþ âëàñòèâіñòü. 2. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 3. Ïîÿñíіòü, ÿê ñêîðîòèòè ðàöіîíàëüíèé äðіá.

16. 16. РОЗДІЛ 1 16 34. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі äðîáó і ñêîðîòіòü öåé äðіá: 1) 12x2y : (4xy3); 2) 3a2bc : (-18ab2c2); 3) -10ap3 : (-15a2); 4) -14x9 : (2x7y). 35. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 20m; 2) äî çíàìåííèêà a5. 36. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà 15p5 ; 2) äî çíàìåííèêà y7. 37. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 4) . 38. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 4) . 39. Ðîçêëàäіòü íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó òà ñêîðîòіòü éîãî: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 40. Ñêîðîòіòü äðіá, ïîïåðåäíüî ðîçêëàâøè éîãî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà ìíîæíèêè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 41. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

17. 17. Раціональні вирази 17 42. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) Достатній рівень 43. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) ; 6) . 44. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 45. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà a2 - ab; 2) äî çíàìåííèêà m2 + 2mn + n2; 3) äî çíàìåííèêà x2 - y2; 4) äî çíàìåííèêà k3 - 1; 5) äî çíàìåííèêà b - a; 6) äî çíàìåííèêà 4 - p2. 46. Çâåäіòü äðіá: 1) äî çíàìåííèêà m2 + mn; 2) äî çíàìåííèêà x2 - 2xy + y2;

18. 18. РОЗДІЛ 1 18 3) äî çíàìåííèêà a2 - b2; 4) äî çíàìåííèêà 7 - c. 47. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó , ÿêùî c  5, x  2016. 48. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó , . 49. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 50. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Високий рівень 51. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 3) 52. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) 53. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії òà ïîáóäóéòå її ãðà- ôіê: 1) ; 2) . 54. Çíàéäіòü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöії òà ïîáóäóéòå її ãðà- ôіê: 1) ; 2) .

19. 19. Раціональні вирази 19 Вправи для повторення 55. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 56. Ðîçâ'ÿæіòü ñèñòåìó ðіâíÿíü: 1) 2) 57. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) (2x + 3y)2 - (x + 7y)(4x - y); 2) (m + 3)(m2 - 5) - m(m - 4)2. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 8. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Цікаві задачі для учнів неледачих 59. (Íàöіîíàëüíà îëіìïіàäà Âåëèêîї Áðèòàíії, 1968 ð.) Íåõàé a1, a2, ..., a7 - öіëі ÷èñëà, à b1, b2, ..., b7 - òі ñàìі ÷èñëà, ÿêі âçÿòî â іíøîìó ïîðÿäêó. Äîâåäіòü, ùî ÷èñëî є ïàðíèì. Ïðèãàäàєìî, ÿê äîäàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêà- ìè. Òðåáà äîäàòè їõ ÷èñåëüíèêè, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé. Íàïðèêëàä: . ÄÎÄÀÂÀÍÍß І ÂІÄÍІÌÀÍÍß ÄÐÎÁІÂ Ç ÎÄÍÀÊÎÂÈÌÈ ÇÍÀÌÅÍÍÈÊÀÌÈ3.

20. 20. РОЗДІЛ 1 20 Çàïèøåìî öå ïðàâèëî ó âèãëÿäі ôîðìóëè: . Öÿ ðіâíіñòü ñïðàâäæóєòüñÿ äëÿ áóäü-ÿêèõ äðîáіâ. Äîâåäåìî її (çà óìîâè c  0). Íåõàé і . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  cp і b  cq. Ìàєìî: a + b  cp + cq  c(p(( + q). Îñêіëüêè c  0, òî çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè , îòæå, . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî äîäàâàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíà- ìåííèêàìè: Ïðèêëàä 1. . Àíàëîãі÷íî ìîæíà äîâåñòè òîòîæíіñòü , ÿêîþ çàïèñóþòü ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè. Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè: Ïðèêëàä 2. . Ðîçãëÿíåìî ùå êіëüêà ïðèêëàäіâ. Ïðèêëàä 3. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ і . ùîá äîäàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè, òðå- áà äîäàòè їõ ÷èñåëüíèêè, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé. ùîá âіäíÿòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè, òðåáà âіä ÷èñåëüíèêà çìåíøóâàíîãî âіäíÿòè ÷èñåëü- íèê âіä'єìíèêà, à çíàìåííèê çàëèøèòè òîé ñàìèé.

21. 21. Раціональні вирази 21 Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. ; Â і ä ï î â і ä ü. ; . Ïðèêëàä 4. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 5. Çíàéäіòü ñóìó Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè 2x - y  -(y - 2x), òî äðóãèé äîäàíîê ìîæíà ïîäàòè ç òèì ñàìèì çíàìåííèêîì, ùî é ó ïåðøîãî äîäàíêà: . Òîäі Â і ä ï î â і ä ü. -5. ßêùî ó òîòîæíîñòÿõ і ïîìі- íÿòè ìіñöÿìè ëіâі і ïðàâі ÷àñòèíè, òî îäåðæèìî òîòîæíîñòі: і . Çà äîïîìîãîþ öèõ òîòîæíîñòåé äðіá, ÷èñåëüíèê ÿêîãî є ñó- ìîþ àáî ðіçíèöåþ êіëüêîõ âèðàçіâ, ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі êіëüêîõ äðîáіâ. Ïðèêëàä 6.

22. 22. РОЗДІЛ 1 22 Ïðèêëàä 7. Çàïèøіòü äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëî- ãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) Â і ä ï î â і ä ü. 1) ; 2) . Початковий рівень 60. (Óñíî.) Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 61. Çíàéäіòü ñóìó àáî ðіçíèöþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 62. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 63. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 1. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî äîäàâàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâè- ìè çíàìåííèêàìè. Äîâåäіòü éîãî. 2. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâè- ìè çíàìåííèêàìè.

23. 23. Раціональні вирази 23 5) 64. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 65. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 66. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 3) ; 4) . 67. Îá÷èñëіòü . 68. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . 69. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 5) ; 6) . 70. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2)

24. 24. РОЗДІЛ 1 24 3) ; 4) . 71. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 72. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) Достатній рівень 73. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 74. Çíàéäіòü ðіçíèöþ: 1) ; 2) . 75. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 76. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî m  25; 2) , ÿêùî x  2016, . 77. Îá÷èñëіòü: 1) , ÿêùî x  -12;

25. 25. Раціональні вирази 25 2) , ÿêùî c  199, k  0,2. 78. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 79. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Високий рівень 80. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) . 81. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) . Вправи для повторення 82. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ìíîãî÷ëåíà: 1) ; 2) . 83. Ñêîðîòіòü äðіá .

26. 26. РОЗДІЛ 1 26 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 84. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) . 85. Ïîäàéòå îäíî÷ëåí ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ îäíî÷ëå- íіâ, îäèí ç ÿêèõ äîðіâíþє: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Цікаві задачі для учнів неледачих 86. Êàòåð çà òå÷ієþ ðі÷êè äîëàє âіäñòàíü âіä ïóíêòó A äî ïóíêòó B çà 2 ãîä, à ïðîòè òå÷ії - çà 3 ãîä. Çà ÿêèé ÷àñ âіä ïóíêòó A äî ïóíêòó B ïðîïëèâå ïëіò? ßêùî äðîáè ìàþòü ðіçíі çíàìåííèêè, òî їõ, ÿê і çâè÷àéíі äðîáè, ñïî÷àòêó çâîäÿòü äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà, à ïîòіì äî- äàþòü àáî âіäíіìàþòü çà ïðàâèëîì äîäàâàííÿ àáî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè. Ðîçãëÿíåìî ÿê äîäàòè äðîáè і . Çâåäåìî öі äðîáè äî їõ ñïіëüíîãî çíàìåííèêà bd. Äëÿ öüîãî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèìî íà d: , à ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèìî íà b: . Äðîáè і çâåëè äî ñïіëü- íîãî çíàìåííèêà bd. Íàãàäàєìî, ùî d íàçèâàþòü äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó , à b - äîäàòêî- âèì ìíîæíèêîì ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó . Çàçíà÷åíó ïîñëіäîâíіñòü äіé äëÿ äîäàâàííÿ äðîáіâ ç ðіçíè- ìè çíàìåííèêàìè ìîæíà çàïèñàòè òàê: , àáî ñêîðî÷åíî: ÄÎÄÀÂÀÍÍß І ÂІÄÍІÌÀÍÍß ÄÐÎÁІÂ Ç ÐІÇÍÈÌÈ ÇÍÀÌÅÍÍÈÊÀÌÈ4.

27. 27. Раціональні вирази 27 . Àíàëîãі÷íî âèêîíóþòü і âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíà- ìåííèêàìè: . Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) . Ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äâîõ àáî áіëüøå äðîáіâ ìîæå áóòè íå ëèøå äîáóòîê їõ çíàìåííèêіâ. Óçàãàëі ó äðîáіâ є áåçëі÷ ñïіëüíèõ çíàìåííèêіâ. ×àñòî ïðè äîäàâàííі é âіäíіìàííі äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè âäàєòüñÿ çíàéòè ïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê, íіæ äîáóòîê çíàìåííèêіâ öèõ äðîáіâ. Ó òàêîìó âèïàäêó êàæóòü ïðî íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíà- ìåííèê (àíàëîãі÷íî äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äëÿ ÷èñëîâèõ äðîáіâ). Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä, äå çíàìåííèêè äðîáіâ - îäíî÷ëåíè. Ïðèêëàä 2. Âèêîíàéòå äîäàâàííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äàíèõ äðîáіâ ìîæíà ââàæàòè îäíî÷ëåí 48x3y2, ùî є äîáóòêîì çíàìåííèêіâ äðîáіâ, àëå â äàíîìó âèïàäêó âіí íå áóäå íàéïðîñòіøèì ñïіëü- íèì çíàìåííèêîì. Ñïðîáóєìî çíàéòè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê. Íèì äëÿ äðîáіâ, çíàìåííèêè ÿêèõ є îäíî÷ëåíà- ìè, áóäå òàêîæ îäíî÷ëåí. Êîåôіöієíò öüîãî îäíî÷ëåíà ïîâè- íåí äіëèòèñÿ і íà 6, і íà 8. Íàéìåíøèì òàêèì ÷èñëîì є 24. Äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà êîæíà çі çìіííèõ ìàє âõîäèòè ç íàéáіëüøèì іç ïîêàçíèêіâ ñòåïåíÿ, ç ÿêèìè âîíà âõîäèòü äî çíàìåííèêіâ äðîáіâ. Òàêèì ÷èíîì, íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì áóäå îäíî÷ëåí 24x2y3. Òîäі äîäàòêîâèì ìíîæíè- êîì äëÿ ïåðøîãî äðîáó ñòàíå âèðàç 4y2, áî 24x2y3  6x2y ∙ 4y2, à äëÿ äðóãîãî - âèðàç 3x, áî 24x2y3  8xy3 ∙ 3x. Îòæå, ìàєìî: . Â і ä ï î â і ä ü.

28. 28. РОЗДІЛ 1 28 Çâåðíіòü óâàãó, ùî ó ïðèêëàäі 2 ïіä ÷àñ çâåäåííÿ äðîáіâ äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äîäàòêîâі ìíîæíèêè 4y2 òà 3x íå ìіñ- òèëè æîäíîãî ñïіëüíîãî ìíîæíèêà, âіäìіííîãî âіä îäèíèöі. Öå îçíà÷àє, ùî ìè çíàéøëè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåí- íèê äðîáіâ. Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä, ó ÿêîìó çíàìåííèêàìè äðîáіâ є ìíî- ãî÷ëåíè. Ïðèêëàä 3. Âèêîíàéòå âіäíіìàííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ùîá çíàéòè ñïіëüíèé çíàìåííèê, ðîçêëà- äåìî çíàìåííèêè íà ìíîæíèêè: xy - x2  x(y - x) і y2 - xy  y(y - x). Íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì äðîáіâ áóäå âèðàç xy(y - x). Òîäі äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì äëÿ ïåðøîãî äðîáó áóäå y, à äëÿ äðóãîãî - x. Âèêîíàєìî âіäíіìàííÿ: . Â і ä ï î â і ä ü. . Îòæå, ùîá âèêîíàòè äîäàâàííÿ àáî âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè, òðåáà: Àíàëîãі÷íî âèêîíóþòü äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ öіëîãî âè- ðàçó і äðîáó. Ïðèêëàä 4. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çàïèøåìî âèðàç a + 1 ó âèãëÿäі äðîáó іç çíàìåííèêîì 1 òà âèêîíàєìî âіäíіìàííÿ: 1) ðîçêëàñòè íà ìíîæíèêè çíàìåííèêè äðîáіâ, ÿêùî öå íåîáõіäíî; 2) çíàéòè ñïіëüíèé çíàìåííèê, áàæàíî íàéïðîñòіøèé; 3) çàïèñàòè äîäàòêîâі ìíîæíèêè; 4) çíàéòè äðіá, ùî є ñóìîþ àáî ðіçíèöåþ äàíèõ äðîáіâ; 5) ñïðîñòèòè öåé äðіá òà îòðèìàòè â і ä ï î â і ä ü.

29. 29. Раціональні вирази 29 . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 87. (Óñíî.) Çíàéäіòü ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ: 1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і . 88. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 89. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 90. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 91. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 92. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 1. ßêèé çíàìåííèê є ñïіëüíèì äëÿ äðîáіâ і ? 2. ßê âèêîíàòè äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíè- ìè çíàìåííèêàìè?

30. 30. РОЗДІЛ 1 30 93. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 94. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 95. Ñïðîñòіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 96. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 97. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 98. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 99. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 100. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

31. 31. Раціональні вирази 31 101. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 102. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 103. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 104. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ: 1) і ; 2) і . 105. Çíàéäіòü ñóìó і ðіçíèöþ äðîáіâ: 1) і ; 2) і . 106. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 107. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 108. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 3) ; 4)

32. 32. РОЗДІЛ 1 32 5) ; 6) . 109. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 3) ; 4) 5) ; 6) . 110. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 3) . 111. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ; 3) . Достатній рівень 112. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 113. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 114. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü .

33. 33. Раціональні вирази 33 115. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 116. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) . 117. Äîâåäіòü, ùî äëÿ âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї m çíà- ÷åííÿ âèðàçó m. 118. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 119. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 120. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 121. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 122. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) 2) . 123. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ;

34. 34. РОЗДІЛ 1 34 2) . 124. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі a âèðàç òîòîæíî äîðіâíþє äðîáó ? Високий рівень 125. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї є äîäàòíèì. 126. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 127. Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії . 128. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  -3, b  19. 129. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî x  -10, y  49. 130. ×è іñíóє òàêå çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêîìó çíà÷åííÿ âèðàçó äîðіâíþє íóëþ? Вправи для повторення . Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ñîëі ìіñòèòüñÿ ó 60 êã її 5-âіäñîò- êîâîãî ðîç÷èíó?

35. 35. Раціональні вирази 35 . Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèїõàëè äâà âåëîñèïåäèñòè. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè ñòàíîâèòü s êì, øâèäêîñòі âåëîñèïåäèñòіâ v1 êì/ãîä і v2 êì/ãîä. ×åðåç t ãîä âîíè çóñòðіëèñÿ. Ñêëàäіòü ôîðìóëó äëÿ îá÷èñëåííÿ t. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ t, ÿêùî s  150 êì, v1  12 êì/ãîä, v2  13 êì/ãîä. 133. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 34. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 135. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Цікаві задачі для учнів неледачих 136. Äëÿ øêіëüíîї àêòîâîї çàëè ïðèäáàëè ëþñòðó íà 31 ëàì- ïî÷êó. Äèðåêòîð øêîëè õî÷å ìàòè ìîæëèâіñòü âìèêàòè áóäü- ÿêó їõ êіëüêіñòü, âіä 1 äî 31. ßêà íàéìåíøà êіëüêіñòü çâè÷àé- íèõ âèìèêà÷іâ äëÿ öüîãî çíàäîáèòüñÿ? Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 1 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäі (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âà- ðіàíò âіäïîâіäі. 1. ßêèé ç âèðàçіâ íå є öіëèì ðàöіîíàëüíèì âèðàçîì? À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 2. Ñêîðîòіòü äðіá . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

36. 36. РОЗДІЛ 1 36 3. Âèêîíàéòå äіþ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . . Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі . À. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî; Á. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3; Â. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -2; Ã. a - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -2 і 3. 5. Ñêîðîòіòü äðіá . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 6. Âèêîíàéòå äіþ . À. ; Á. 4; Â. -4; Ã. . . Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x äðіá äîðіâíþє íóëþ? À. -3 і 1; Á. -3; Â. 1; Ã. òàêèõ çíà÷åíü x íåìàє. 8. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 9. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè öіëîãî âèðàçó і äðîáó. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . . Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x âèðàç ìàє çìіñò? À. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî; Á. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3; Â. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì -5; Ã. x - áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì 3 і -5.

37. 37. Раціональні вирази 37 11. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x äðіá äîðіâíþє íóëþ? À. 3; Á. 3 і -3; Â. -3; Ã. 3; -5. 12. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî , . À. 1300; Á. -1300; Â. 130; Ã. -130. ÇÀÂÄÀÍÍß ÄËß ÏÅÐÅÂІÐÊÈ ÇÍÀÍÜ ÄÎ § 1-4 1. ßêі ç âèðàçіâ є öіëèìè, à ÿêі - äðîáîâèìè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) p2 - p - 19? 2. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) . 3. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 4. Çíàéäіòü äîïóñòèìі çíà÷åííÿ çìіííîї ó âèðàçі: 1) ; 2) . 5. Ñêîðîòіòü äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 6. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) . 7. Ñïðîñòіòü âèðàç . 8. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі öіëîãî âèðàçó і äðîáó: 1) ; 2) . 9. Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії .

38. 38. РОЗДІЛ 1 38 Äîäàòêîâі çàâäàííÿ . Çíàéäіòü: 1) îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèðàçó ; 2) çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêèõ äðіá äîðіâíþє íóëþ. 11. Ñïðîñòіòü âèðàç . Íàãàäàєìî, ùî äîáóòêîì äâîõ çâè÷àéíèõ äðîáіâ є äðіá, ÷è- ñåëüíèê ÿêîãî äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñåëüíèêіâ, à çíàìåííèê - äîáóòêó çíàìåííèêіâ äàíèõ äðîáіâ: . Äîâåäåìî, ùî öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ äëÿ áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åíü a, b, c і d çà óìîâè, ùî b  0 і d  0. Íåõàé , . Òîäі çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè a  bp, c  dq. Òîìó ac  (bp)(dq)  (bd)(pq(( ). Îñêіëüêè bd  0, òî, çíî- âó âðàõóâàâøè îçíà÷åííÿ ÷àñòêè, îäåðæèìî: . Îòæå, ÿêùî b  0 і d  0, òî . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ. Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . ÌÍÎÆÅÍÍß ÄÐÎÁІÂ. ÏІÄÍÅÑÅÍÍß ÄÐÎÁÓ ÄÎ ÑÒÅÏÅÍß5. Ùîá ïîìíîæèòè äðіá íà äðіá, òðåáà ïåðåìíîæèòè îêðåìî ÷èñåëüíèêè і îêðåìî çíàìåííèêè òà çàïèñà- òè ïåðøèé äîáóòîê ÷èñåëüíèêîì, à äðóãèé - çíàìåí- íèêîì äðîáó.

39. 39. Раціональні вирази 39 Ïðèêëàä 2. Çíàéäіòü äîáóòîê . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Âèêîðèñòàєìî ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ òà ðîçêëàäåìî íà ìíîæíèêè ÷èñåëüíèê ïåðøîãî äðîáó і çíà- ìåííèê äðóãîãî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Çâåðíіòü óâàãó, ùî ó ïðèêëàäàõ 1 і 2 ïіä ÷àñ ìíîæåííÿ äðîáіâ ìè íå çíàõîäèëè îäðàçó ðåçóëüòàò ìíîæåííÿ ÷èñåëü- íèêіâ і çíàìåííèêіâ. Ñïî÷àòêó ìè çàïèñàëè äîáóòêè â ÷èñåëü- íèêó і çíàìåííèêó çà ïðàâèëîì ìíîæåííÿ äðîáіâ, ïîòіì ñêî- ðîòèëè îòðèìàíèé äðіá, áî âіí âèÿâèâñÿ ñêîðîòíèì, à âæå ïîòіì âèêîíàëè ìíîæåííÿ â ÷èñåëüíèêó і â çíàìåííèêó òà çàïèñàëè âіäïîâіäü. Äîöіëüíî öå âðàõîâóâàòè і íàäàëі. Ïðèêëàä 3. Ïîìíîæèòè äðіá íà ìíîãî÷ëåí x2 + 4x + 4. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Âðàõóâàâøè, ùî x2 + 4x + 4x  , ìàєìî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ ìîæíà ïîøèðèòè íà äîáóòîê òðüîõ і áіëüøå ìíîæíèêіâ. Ïðèêëàä 4. Ðîçãëÿíåìî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ n, äå n - íà- òóðàëüíå ÷èñëî. Çà îçíà÷åííÿì ñòåïåíÿ і ïðàâèëîì ìíîæåííÿ äðîáіâ ìàєìî:

40. 40. РОЗДІЛ 1 40 . Îòæå, Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ. Ïðèêëàä 5. . Ïðèêëàä 6. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 137. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 138. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ùîá ïіäíåñòè äðіá äî ñòåïåíÿ, òðåáà ïіäíåñòè äî öüîãî ñòåïåíÿ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê і ïåðøèé ðå- çóëüòàò çàïèñàòè â ÷èñåëüíèê, à äðóãèé - ó çíàìåí- íèê äðîáó. 1. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáіâ. Äîâåäіòü éîãî. 2. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî ïіäíåñåííÿ äðîáó äî ñòåïåíÿ. Äîâåäіòü éîãî.

41. 41. Раціональні вирази 41 139. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 140. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 141. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 4) ; 5) ; 6) . 142. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 4) ; 5) . 143. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 144. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 6) 145. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2)

42. 42. РОЗДІЛ 1 42 3) ; 4) . 146. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 147. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 148. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 5) ; 6) . 149. Ïіäíåñіòü äî ñòåïåíÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 150. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

43. 43. Раціональні вирази 43 Достатній рівень 151. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) . 152. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 153. Çíàéäіòü äîáóòîê: 1) ; 2) . 154. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 155. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 156. Ïåðåòâîðіòü íà äðіá: 1) ; 2) . 157. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 158. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) .

44. 44. РОЗДІЛ 1 44 159. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî a  1,2, b  6; 2) , ÿêùî a  6. Високий рівень 160. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 161. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  100, b  101. Вправи для повторення . Ðîçâ'ÿæіòü ñèñòåìó ðіâíÿíü: 1) 2) . Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 164. Çíàéäіòü ÷èñëî, âçàєìíî îáåðíåíå іç ÷èñëîì: 1) 4; 2) -7; 3) ; 4) ; 5) 0,16; 6) 1,2. 165. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

45. 45. Раціональні вирази 45 Цікаві задачі для учнів неледачих 166. (XV Âñåóêðàїíñüêà îëіìïіàäà, 1975 ð.) Ïðè ÿêèõ íàòó- ðàëüíèõ çíà÷åííÿõ n ÷èñëî є êâàäðàòîì öіëîãî ÷èñëà? Íàãàäàєìî, ùîá çíàéòè ÷àñòêó äâîõ çâè÷àéíèõ äðîáіâ, òðå- áà äіëåíå ïîìíîæèòè íà äðіá, îáåðíåíèé äî äіëüíèêà: . Ôîðìóëîþ öå ìîæíà çàïèñàòè òàê: . Äîâåäåìî, ùî öÿ ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ äëÿ áóäü-ÿêèõ çíà- ÷åíü a, b, c і d çà óìîâè, ùî b  0, c  0 і d  0. Îñêіëüêè , òî çà îçíà÷åííÿì ÷àñòêè ìàєìî: . Îòæå, ÿêùî b  0, c  0 і d  0, òî . Äðіá íàçèâàþòü îáåðíåíèì äî äðîáó . Ñôîðìóëþєìî ïðàâèëî äіëåííÿ äðîáіâ. Ïðèêëàä 1. Ïîäіëіòü äðіá íà äðіá . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Â і ä ï î â і ä ü. . ÄІËÅÍÍß ÄÐÎÁІÂ6. Ùîá ïîäіëèòè îäèí äðіá íà äðóãèé, òðåáà ïåðøèé äðіá ïîìíîæèòè íà äðіá, îáåðíåíèé äî äðóãîãî.

46. 46. РОЗДІЛ 1 46 Ïðèêëàä 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Â і ä ï î â і ä ü. . Ïðèêëàä 3. Ñïðîñòіòü âèðàç : (a2 + 4a + 4). Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè , òî: . Â і ä ï î â і ä ü. . Початковий рівень 167. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 168. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 169. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 3) Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî äіëåííÿ äðîáіâ. Äîâåäіòü éîãî.

47. 47. Раціональні вирази 47 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 170. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 6) . 171. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 172. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі äðîáó: 1) 3) ; 4) . 173. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 3) 5) ; 6) . 174. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) 3) ; 4) .

48. 48. РОЗДІЛ 1 48 175. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 176. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Достатній рівень 177. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 178. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі íåñêîðîòíîãî äðîáó âèðàç: 1) ; 2) . 179. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 180. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî x  -3; 2) , ÿêùî m  10, n  3.

49. 49. Раціональні вирази 49 181. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) , ÿêùî , y  0,02; 2) , ÿêùî x  4,2, y  1,6. Високий рівень 182. Ñïðîñòіòü âèðàç . 183. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 184. Ñïðîñòіòü . 185. Âèêîíàéòå äіþ . Вправи для повторення 186. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі ñóìè àáî ðіçíèöі äâîõ äðîáіâ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 187. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ äðîáó: 1) , ÿêùî , ; 2) , ÿêùî x  100, y  20. 188. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü .

50. 50. РОЗДІЛ 1 50 Цікаві задачі для учнів неледачих 189. Óêðàїíñüêèé ãðîñìåéñòåð іç øàõіâ Âàñèëü Іâàí÷óê âçÿâ ó÷àñòü ó ÷åìïіîíàòі ñâіòó ç áëіöó. Ó ïåðøèé äåíü âіí ïåðåìіã ñóïåðíèêіâ ó 70 % ïàðòіé, à íà äðóãèé äåíü âèãðàâ ùå 15 ïàð- òіé ïîñïіëü. Âіäñîòîê âèãðàøíèõ ïàðòіé çà äâà äíі ñÿãíóâ äî 80 %. Ñêіëüêè ïàðòіé çà öі äâà äíі çіãðàâ Âàñèëü Іâàí÷óê? Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè ïåðåòâîðåíü ðàöіîíàëüíèõ âèðàçіâ. Ïðèêëàä 1. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïðîñòèìî ëіâó ÷àñòèíó ðіâíîñòі: . Çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü ìè çâåëè ëіâó ÷àñòè- íó ðіâíîñòі äî ïðàâîї. Îòæå, ðіâíіñòü є òîòîæíіñòþ. Ïðèêëàä 2. Ñïðîñòіòü âèðàç . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ñïî÷àòêó âèêîíàєìî äіþ â êîæíіé ç äó- æîê, à ïîòіì - äіþ äіëåííÿ: 1) 2) ; ÒÎÒÎÆÍІ ÏÅÐÅÒÂÎÐÅÍÍß ÐÀÖІÎÍÀËÜÍÈÕ ÂÈÐÀÇІÂ7.

51. 51. Раціональні вирази 51 3) . Â і ä ï î â і ä ü: . Ðîçâ'ÿçàííÿ ìîæíà áóëî çàïèñàòè é "ëàíöþæêîì": Êîæíèé âèðàç, ùî ìіñòèòü ñóìó, ðіçíèöþ, äîáóòîê і ÷àñòêó ðà- öіîíàëüíèõ äðîáіâ, ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó. Ïðèêëàä 3. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííèõ çíà÷åííÿ âèðàçó є íåâіä'єìíèì. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ìîæíà ïîäàòè öåé âèðàç ó âèãëÿäі ÷àñò- êè і äàëі ïåðåòâîðèòè éîãî, ÿê çà- ïðîïîíîâàíî ó ïðèêëàäі 2. À ìîæíà, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó, ïî- ìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äàíîãî äðîáó íà їõ ñïіëüíèé çíàìåííèê, òîáòî íà y: , àëå x2 I 0 ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííі x.

52. 52. РОЗДІЛ 1 52 Середній рівень 190. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 191. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 192. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 193. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 194. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 195. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) .

53. 53. Раціональні вирази 53 Достатній рівень 196. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 197. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 198. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 199. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) . 200. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 201. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 202. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2)

54. 54. РОЗДІЛ 1 54 203. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) . 204. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü: 1) ; 2) . 205. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà- ÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííîї íå çàëåæèòü: 1) ; 2) . 206. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà- ÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííîї íå çàëåæèòü. 207. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 208. Ïåðåòâîðіòü âèðàç íà äðіá: 1) ; 2) .

55. 55. Раціональні вирази 55 209. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) ; 6) . 210. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 4) ; 5) ; 6) . Високий рівень 211. Äîâåäіòü, ùî ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííèõ çíà÷åííÿ âèðàçó âіä çíà÷åííÿ çìіííèõ íå çàëåæèòü: . 212. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî a  197. 213. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . 214. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó .

56. 56. РОЗДІЛ 1 56 215. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) 2) . 216. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї. 217. Äîâåäіòü, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó є äîäàòíèì ïðè âñіõ äîïóñòèìèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї. 218. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó àáî öіëîãî âèðàçó: 1) ; 2) . 219. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ðàöіîíàëüíîãî äðîáó àáî öіëîãî âèðàçó: 1) ; 2) . Вправи для повторення . Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) x7x3 : x2; 2) (x5:x2) : x; 3) (a2)3 ∙ a; 4) (x3)5 : x4. . Äîâåäіòü, ùî ÷èñëî 89 - 412 äіëèòüñÿ íà 7. . Ïîáóäóéòå ãðàôіê ôóíêöії: 1) 2)

57. 57. Раціональні вирази 57 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 223. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї âèðàç ìàє çìіñò: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ? 224. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìіííîї çíà÷åííÿ äðîáó äîðіâíþє íóëþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 225. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) . 226. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) Цікаві задачі для учнів неледачих 227. (Ç êíèãè "Óíіâåðñàëüíà àðèôìåòèêà" Íüþòîíà). Äåõòî çàáàæàâ ðîçäіëèòè ïåâíó ñóìó êîøòіâ ìіæ æåáðàêàìè ïîðіâ- íó. ßêáè â íüîãî áóëî íà 8 äèíàðіâ áіëüøå, òî âіí ìàâ áè äàòè êîæíîìó ïî 3 äèíàðè, àëå âіí ðîçäàâ ëèøå ïî 2 äèíàðè і ùå 3 ó íüîãî çàëèøèëîñÿ. Ñêіëüêè áóëî æåáðàêіâ? Íàãàäàєìî, ùî Òàê, íàïðèêëàä, ðіâíîñèëüíèìè є ðіâíÿííÿ і , îñêіëüêè êîðåíåì êîæíîãî ç íèõ є ÷èñëî 2. Ðіâíÿííÿ і íå є ðіâíîñèëüíèìè, îñêіëü- êè êîðåíåì ïåðøîãî ç íèõ є ÷èñëî 10, à êîðåíåì äðóãîãî - ÷èñëî 9. ÐÀÖІÎÍÀËÜÍІ ÐІÂÍßÍÍß. ÐІÂÍÎÑÈËÜÍІ ÐІÂÍßÍÍß8. äâà ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðіâíîñèëüíèìè, ÿêùî âîíè ìàþòü îäíі é òі ñàìі êîðåíі. Ðіâíîñèëüíèìè ââàæàþòü і òі ðіâíÿííÿ, ÿêі êîðåíіâ íå ìàþòü.

58. 58. РОЗДІЛ 1 58 Ðàíіøå, ó 7 êëàñі, âè îçíàéîìèëèñÿ ç âëàñòèâîñòÿìè, ùî ïåðåòâîðþþòü ðіâíÿííÿ íà ðіâíîñèëüíі їì ðіâíÿííÿ. Ðîçãëÿíåìî ðіâíÿííÿ: Ëіâà і ïðàâà ÷àñòèíè êîæíîãî ç íèõ є ðàöіîíàëüíèìè âè- ðàçàìè. Ó ïåðøèõ äâîõ іç çàïèñàíèõ âèùå ðіâíÿíü ëіâà і ïðàâà ÷àñ- òèíè є öіëèìè âèðàçàìè. Òàêі ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü öіëèìè ðàöіîíàëüíèìè ðіâíÿííÿìè. ßêùî â ðіâíÿííі õî÷à á îäíà ÷àñòèíà є äðîáîâèì âèðàçîì, òî ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü äðîáî- âèì ðàöіîíàëüíèì ðіâíÿííÿì. Òðåòє іç çàïèñàíèõ âèùå ðіâ- íÿíü є äðîáîâèì ðàöіîíàëüíèì. ßê ðîçâ'ÿçóâàòè öіëі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, ìè ðîçãëÿíó- ëè â ïîïåðåäíіõ êëàñàõ. Ðîçãëÿíåìî òåïåð, ÿê ðîçâ'ÿçóâàòè äðîáîâі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, òîáòî ðіâíÿííÿ çі çìіííîþ â çíàìåííèêó. 1. Âèêîðèñòàííÿ óìîâè ðіâíîñòі äðîáó íóëþ. Íàãàäàєìî, ùî  0, êîëè Ïðèêëàä 1. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü òà âëàñòèâîñòåé ðіâíÿíü çâåäåìî ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó , äå P і Q - öіëі ðàöіîíàëüíі âèðàçè. Ìàєìî: . 1) ßêùî â áóäü-ÿêіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ ðîçêðèòè äóæêè àáî çâåñòè ïîäіáíі äîäàíêè, òî îäåðæèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó; 2) ÿêùî â ðіâíÿííі ïåðåíåñòè äîäàíîê ç îäíієї ÷àñòèíè ó äðóãó, çìіíèâøè éîãî çíàê íà ïðîòèëåæíèé, òî îäåð- æèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó; 3) ÿêùî îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ ïîìíîæèòè àáî ïîäі- ëèòè íà îäíå é òå ñàìå âіäìіííå âіä íóëÿ ÷èñëî, òî îäåðæèìî ðіâíÿííÿ, ðіâíîñèëüíå äàíîìó. Ðіâíÿííÿ, ëіâà і ïðàâà ÷àñòèíè ÿêèõ є ðàöіîíàëüíèìè âèðàçàìè, íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè ðіâíÿííÿìè.

59. 59. Раціональні вирази 59 Îñòàòî÷íî ìàєìî ðіâíÿííÿ: Ùîá äðіá äîðіâíþâàâ íóëþ, òðåáà, ùîá ÷èñåëüíèê 6 - 2x äîðіâíþâàâ íóëþ, à çíàìåííèê x - 2 íå äîðіâíþâàâ íóëþ. Òîäі: 6 - 2x  0, çâіäêè x  3. Ïðè x  3 çíàìåííèê x - 2  3 - 2  1  0. Îòæå, x  3 - єäèíèé êîðіíü ðіâíÿííÿ. Ðîçâ'ÿçóâàííÿ îñòàííüîãî ðіâíîñèëüíîãî äàíîìó ðіâíÿííÿ, âðàõîâóþ÷è óìîâó ðіâíîñòі äðîáó íóëþ, çðó÷íî çàïèñóâàòè òàê: Â і ä ï î â і ä ü. 3. Îòæå, ðîçâ'ÿçóþ÷è äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ, ìîæíà: 2. Âèêîðèñòàííÿ îñíîâíîї âëàñòèâîñòі ïðîïîðöії. ßêùî , òî PN  MQ, äå Q  0, N  0. Ïðèêëàä 2. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çíàéäåìî îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü (ÎÄÇ) çìіííîї â ðіâíÿííі. Îñêіëüêè çíàìåííèêè äðîáіâ íå ìî- æóòü äîðіâíþâàòè íóëþ, òî x - 1  0 і x - 2  0. Ìàєìî: x  1 і x  2, òîáòî ÎÄÇ çìіííîї x ìіñòèòü óñі ÷èñëà, êðіì 1 і 2. Çâåäåìî ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó ïðîïîðöії, äîäàâøè âèðà- çè ó ïðàâіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ: . Îäåðæèìî: . Çà îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîïîðöії ìàєìî: (2x + 1)(x - 2)  (2x - 2)(x - 1). Ðîçâ'ÿæåìî öå ðіâíÿííÿ: 2x2 - 4x +x - 2  2x2 - 2x - 2x + 2, çâіäêè x  4. 1) çà äîïîìîãîþ òîòîæíèõ ïåðåòâîðåíü çâåñòè ðіâíÿí- íÿ äî âèãëÿäó ; 2) ïðèðіâíÿòè ÷èñåëüíèê P äî íóëÿ і ðîçâ'ÿçàòè îäåð- æàíå öіëå ðіâíÿííÿ; 3) âèêëþ÷èòè ç éîãî êîðåíіâ òі, ïðè ÿêèõ çíàìåííèê Q äîðіâíþє íóëþ.

60. 60. РОЗДІЛ 1 60 Îñêіëüêè ÷èñëî 4 íàëåæèòü ÎÄÇ çìіííîї ïî÷àòêîâîãî ðіâ- íÿííÿ, òî 4 є éîãî êîðåíåì. Çàïèñ ðîçâ'ÿçóâàííÿ, ùîá íå çàáóòè âðàõóâàòè ÎÄÇ, çðó÷- íî çàêіí÷èòè òàê: Îòæå, äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ äðîáîâîãî ðàöіîíàëüíîãî ðіâíÿí- íÿ ìîæíà: 3. Ìåòîä ìíîæåííÿ îáîõ ÷àñòèí ðіâíÿííÿ íà ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ. Ïðèêëàä 3. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çíàéäåìî ÎÄÇ çìіííîї òà íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê óñіõ äðîáіâ ðіâíÿííÿ, ðîçêëàâøè çíà- ìåííèêè íà ìíîæíèêè: . Îáëàñòþ äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї áóäóòü òі çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêèõ x  0, x - 1  0, x + 1  0. Îòæå, âñі çíà÷åííÿ x, êðіì ÷èñåë 0; 1 і -1. À íàéïðîñòіøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì áóäå âèðàç x(x - 1)(x + 1). Ïîìíîæèìî îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ íà öåé âèðàç: . 1) çíàéòè îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü (ÎÄÇ) çìіííîї â ðіâíÿííі; 2) çâåñòè ðіâíÿííÿ äî âèãëÿäó ; 3) çàïèñàòè öіëå ðіâíÿííÿ P *P N  M *M Q і ðîçâ'ÿçàòè éîãî;Q 4) âèêëþ÷èòè ç îòðèìàíèõ êîðåíіâ òі, ùî íå íàëåæàòü ÎÄÇ і çàïèñàòè âіäïîâіäü.

61. 61. Раціональні вирази 61 Ìàòèìåìî: x(x - 2)  5(x + 1) + 5(x - 1), à ïіñëÿ ñïðîùåí- íÿ: x2 - 12x  0, òîáòî x(x - 12)  0, çâіäêè x  0 àáî x  12. Àëå ÷èñëî 0 íå íàëåæèòü ÎÄÇ çìіííîї ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿí- íÿ, òîìó íå є éîãî êîðåíåì. Îòæå, ÷èñëî 12 - єäèíèé êîðіíü ðіâíÿííÿ. Â і ä ï î â і ä ü. 12. Ðîçâ'ÿçóþ÷è äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ, ìîæíà: Ïðèêëàä 4. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðіâíîñèëü- íèìè, ÿêùî âîíè ìàþòü îäíі é òі ñàìі êîðåíі, àáî íå ìàþòü êîðåíіâ, çíàéäåìî êîðåíі äàíèõ ðіâíÿíü. Ïåðøå ðіâíÿííÿ ìàє єäèíèé êîðіíü x  2, à äðóãå - äâà êîðåíі x  0 і x  2 (ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ ñàìîñòіéíî). Òîìó ðіâíÿííÿ íå є ðіâíîñèëüíèìè. Â і ä ï î â і ä ü. Íі. Початковий рівень 228. (Óñíî.) Íàçâіòü öіëі ðàöіîíàëüíі ðіâíÿííÿ, äðîáîâі ðàöіî- íàëüíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 1) çíàéòè îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї â ðіâíÿííі; 2) çíàéòè íàéïðîñòіøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ, ùî âõîäÿòü ó ðіâíÿííÿ; 3) ïîìíîæèòè îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ íà öåé ñïіëü- íèé çíàìåííèê; 4) ðîçâ'ÿçàòè îäåðæàíå öіëå ðіâíÿííÿ; 5) âèêëþ÷èòè ç éîãî êîðåíіâ òі, ùî íå íàëåæàòü îáëàñ- òі äîïóñòèìèõ çíà÷åíü çìіííîї ðіâíÿííÿ. 1. ßêі ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè? 2. ßêå ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü öіëèì ðàöіîíàëüíèì, à ÿêå - äðîáîâèì ðàöіîíàëüíèì? 3. ßê ìîæíà ðîçâ'ÿçàòè äðîáîâå ðàöіîíàëüíå ðіâíÿííÿ?

62. 62. РОЗДІЛ 1 62 229. ×è є ÷èñëî 1 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 230. ×è є ÷èñëî 2 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 231. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 232. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Середній рівень 233. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 234. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 235. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 236. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

63. 63. Раціональні вирази 63 237. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) і ; 2) 238. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) і ; 2) і ? 239. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 240. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòè- âіñòü ïðîïîðöії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 241. Çíàéäіòü äðіá, ùî äîðіâíþє , ó ÿêîãî çíàìåííèê íà 5 áіëüøèé çà ÷èñåëüíèê. 242. Çíàéäіòü äðіá, ùî äîðіâíþє , ó ÿêîãî ÷èñåëüíèê íà 12 ìåíøèé âіä çíàìåííèêà. 243. ßêå ÷èñëî òðåáà äîäàòè äî ÷èñåëüíèêà äðîáó , ùîá îòðèìàòè äðіá ? 244. ßêå ÷èñëî òðåáà âіäíÿòè âіä çíàìåííèêà äðîáó , ùîá îòðèìàòè äðіá ?

64. 64. РОЗДІЛ 1 64 Достатній рівень 245. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) 246. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 247. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? 248. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ і ? 249. ×èñåëüíèê äðîáó íà 5 ìåíøèé âіä çíàìåííèêà. ßêùî äî ÷èñåëüíèêà äîäàòè 14, à âіä çíàìåííèêà âіäíÿòè 1, òî îäåðæè- ìî äðіá, îáåðíåíèé äàíîìó. Çíàéäіòü ïî÷àòêîâèé äðіá. 250. Çíàìåííèê äðîáó íà 3 áіëüøèé çà ÷èñåëüíèê. ßêùî äî ÷èñåëüíèêà äîäàòè 8, à âіä çíàìåííèêà âіäíÿòè 1, òî îäåðæè- ìî äðіá, îáåðíåíèé äàíîìó. Çíàéäіòü ïî÷àòêîâèé äðіá. 251. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 252. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) .

65. 65. Раціональні вирази 65 Високий рівень 253. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) 254. Çíàéäіòü êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) 255. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ a ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ'ÿçêіâ: 1) ; 2) ? 256. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ a ðіâíÿííÿ ìàє ëèøå îäèí êîðіíü? Вправи для повторення 257. Ñïðîñòіòü âèðàç òà çíàéäіòü éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî x  100. 258. Ñêîðîòіòü äðіá . Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 259. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ ñòåïåíÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 260. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

66. 66. РОЗДІЛ 1 66 261. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) ç îñíîâîþ 2 ÷èñëà 2, 4, 8, 16, 32, 128, 512; 2) ç îñíîâîþ 3 ÷èñëà 81, 243; 3) ç îñíîâîþ 5 ÷èñëà 5, 25, 625; 4) ç îñíîâîþ 10 ÷èñëà 100, 10 000. Цікаві задачі для учнів неледачих 262. Âèäàòíі óêðàїíöі. Çàïèøіòü ïî ãîðèçîíòàëÿõ ïðіçâèùà âèäàòíèõ óêðàїíöіâ (çà ïîòðåáè âèêîðèñòîâóéòå äîäàòêîâó ëі- òåðàòóðó òà Іíòåðíåò) і îòðèìàєòå ó âèäіëåíîìó ñòîâï÷èêó ïðіçâèùå âèäàòíîãî ôðàíöóçüêîãî ìàòåìàòèêà, ïðî äîñëі- äæåííÿ ÿêîãî ìè ðîçêàæåìî â îäíîìó ç íàñòóïíèõ ðîçäіëіâ. 1 2 3 4 1. Óêðàїíñüêèé øàõіñò, ãðîñìåéñòåð, ÷åìïіîí ñâіòó іç øàõіâ 2002 ðîêó. 2. Іíæåíåð-àâіàêîíñòðóêòîð, ùî íàðîäèâñÿ â Óêðàїíі, êîí- ñòðóêòîð ïåðøîãî ãåëіêîïòåðà. 3. Óêðàїíñüêèé ôóòáîëіñò, âîëîäàð "Çîëîòîãî ì'ÿ÷à" 1986 ðîêó. 4. Óêðàїíñüêèé ïèñüìåííèê, ïîåò, äðàìàòóðã, ãðîìàäñüêèé äіÿ÷, àâòîð ïîåìè "Åíåїäà". Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 2 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäі (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âà- ðіàíò âіäïîâіäі. . Çíàéäіòü äîáóòîê . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

67. 67. Раціональні вирази 67 3. Óêàæіòü ðіâíÿííÿ, êîðåíåì ÿêîãî є ÷èñëî 2. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 4. Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 5. À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 6. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ . À. -2,5; Á. 2,5; Â. ; Ã. êîðåíіâ íåìàє. 7. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. 2; Á. ; Â. ; Ã. . 8. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî . À. 0; Á. 1; Â. 2,01; Ã. 2. 9. Óêàæіòü ðіâíÿííÿ, ùî є ðіâíîñèëüíèì ðіâíÿííþ . À. ; Á. ; Â. ; Ã. . 10. Ñïðîñòіòü âèðàç . À. ; Á. ; Â. ; Ã. .

68. 68. РОЗДІЛ 1 68 11. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . À. 3; Á. 7; Â. 23; Ã. 27. 12. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . À. ðîçâ'ÿçêіâ íåìàє; Á. 7; Â. 3; Ã. 3; 7. ÇÀÂÄÀÍÍß ÄËß ÏÅÐÅÂІÐÊÈ ÇÍÀÍÜ ÄÎ § 5-8 . Âèêîíàéòå ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 2. Âèêîíàéòå äіëåííÿ: 1) ; 2) . 3. ×è є ÷èñëî 4 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ? . Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 5. Ïіäíåñіòü äðіá äî ñòåïåíÿ: 1) ; 2) . 6. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . . Ñïðîñòіòü âèðàç .

69. 69. Раціональні вирази 69 8. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü . 9. Âіäîìî, ùî . Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó . Äîäàòêîâі çàâäàííÿ 10. Ñïðîñòіòü âèðàç 11. Ðîçâ'ÿæіòü ðіâíÿííÿ . Íàãàäàєìî, ùî â 7 êëàñі ìè âèâ÷àëè ñòåïіíü ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì. Çà îçíà÷åííÿì: , äå n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, n > 1 і a1  a. Ó ìàòåìàòèöі, à òàêîæ ïіä ÷àñ ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷ ïðàê- òè÷íîãî çìіñòó, íàïðèêëàä ç ôіçèêè àáî õіìії, òðàïëÿþòüñÿ ñòåïåíі, ïîêàçíèê ÿêèõ äîðіâíþє íóëþ àáî є öіëèì âіä'єìíèì ÷èñëîì. Ñòåïіíü ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì ìîæíà çíàéòè â íà- óêîâіé òà äîâіäêîâіé ëіòåðàòóðі. Íàïðèêëàä, ìàñó àòîìà ãåëіþ çàïèñóþòü òàê: 6,64 ∙ 10-27 êã. ßê ðîçóìіòè çìіñò çàïèñó 10-27? Ðîçãëÿíåìî ñòåïåíі ÷èñëà 3 ç ïîêàçíèêàìè 1, 2, 3, 4, ...: 31, 32, 33, 34, ... - öå âіäïîâіäíî 3, 9, 27, 81, ... Ó öüîìó ðÿäêó êîæíå íàñòóïíå ÷èñëî âòðè÷і áіëüøå çà ïîïåðåäíє. Ïðîäîâæèìî ðÿäîê ó ïðîòèëåæíîìó íàïðÿìêó, çìåíøóþ÷è êîæíîãî ðàçó ïîêàçíèê ñòåïåíÿ íà 1. Îäåðæèìî: ..., 3-3, 3-2, 3-1, 30, 31, 32, 33, 34, ... ×èñëî 30 ïîâèííî áóòè âòðè÷і ìåíøèì âіä 31, òîáòî - âіä ÷èñëà 3. Àëå âòðè÷і ìåíøèì âіä ÷èñëà 3 є ÷èñëî 1, îòæå, 30  1. Ðіâíіñòü a0  1 ñïðàâäæóєòüñÿ äëÿ áóäü-ÿêîї îñíîâè a, ÿêùî . ÑÒÅÏІÍÜ ІÇ ÖІËÈÌ ÏÎÊÀÇÍÈÊÎÌ9. Íóëüîâèé ñòåïіíü âіäìіííîãî âіä íóëÿ ÷èñëà à äîðіâ- íþє îäèíèöі, òîáòî a0  1 (ÿêùî a  0).

70. 70. РОЗДІЛ 1 70 Ïîâåðíіìîñÿ äî ðÿäêà çі ñòåïåíÿìè ÷èñëà 3, äå ëіâîðó÷ âіä ÷èñëà 30  1 çàïèñàíî ÷èñëî 3-1. Öå ÷èñëî âòðè÷і ìåíøå çà 1, òîáòî äîðіâíþє . Îòæå, . Ìіðêóþ÷è àíàëîãі÷íî, ìàòèìåìî: ; і ò. ä. Ïðèõîäèìî äî íà- ñòóïíîãî îçíà÷åííÿ ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: Ïðèêëàä 1. Çàìіíіòü ñòåïіíü äðîáîì: 1) 5-7; 2) x-1; 3) (a + b)-9. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Çà îçíà÷åííÿì: 1) ; 2) ; 3) . Ïðèêëàä 2. Çàìіíіòü äðіá ñòåïåíåì іç öіëèì âіä'єìíèì ïî- êàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) ; 3) . Ïðèêëàä 3. Îá÷èñëіòü: 1) 4-2; 2) (-9)0; 3) (-5)-3. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) ; 2) ; 3) . Ðîçãëÿíåìî, ÿê ïіäíåñòè äðіá äî öіëîãî âіä'єìíîãî ñòå- ïåíÿ. ßêùî n - íàòóðàëüíå ÷èñëî і a  0, ìàєìî: Îòæå, ÿêùî a  0 і n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî . ÿêùî a  0, b  0, n - íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî .

71. 71. Раціональні вирази 71 Ïðèêëàä 4. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) . 2) Âðàõîâóþ÷è ïîñëіäîâíіñòü âèêîíàííÿ àðèôìåòè÷èõ äіé, ñïî÷àòêó ïіäíåñåìî äðіá äî ñòåïåíÿ, à ïîòіì âèêîíàєìî ìíî- æåííÿ: Â і ä ï î â і ä ü. 1) ; 2) . Початковий рівень 263. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíà ðіâíіñòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 264. Çàìіíіòü äðîáîì ñòåïіíü іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 4-5; 2) a-1; 3) p-10; 4) c-8; 5) (2a)-3; 6) (a + b)-4. 265. Çàïèøіòü ñòåïіíü іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì ó âè- ãëÿäі äðîáó: 1) b-3; 2) 7-1; 3) 2-7; 4) t-6; 5) (3m)-2; 6) (c - d)-7. 266. Çàïèøіòü äðіá ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïî- êàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 1. ßêîãî çíà÷åííÿ íàáóâàє âèðàç a0, ÿêùî a  0? 2. Ñôîðìóëþéòå îçíà÷åííÿ ñòåïåíÿ іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì. 3. Äîâåäіòü òîòîæíіñòü , äå a  0, b  0.

72. 72. РОЗДІЛ 1 72 267. Çàìіíіòü äðіá ñòåïåíåì іç öіëèì âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Середній рівень 268. Îá÷èñëіòü: 1) 7-2; 2) (-2)-2; 3) (-1)-5; 4) 12-1; 5) (-7)-1; 6) 10-3; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) 0,1-1; 14) (-0,2)-2; 15) (1,2)-2; 16) (-0,25)-3. 269. Îá÷èñëіòü: 1) 2-3; 2) (-1)-6; 3) 15-1; 4) (-9)-1; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 0,2-1; 10) (-0,1)-2; 11) (1,5)-2; 12) (-0,5)-4. 270. Ïîäàéòå ÷èñëà 16; 8; 4; 2; 1; ; ; ; ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ 2. 271. Ïîäàéòå ÷èñëà 100; 10; 1; 0,1; 0,01 ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ 10. 272. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) -5-2; 2) (-0,8)-2; 3) ; 4) . 273. Îá÷èñëіòü: 1) -2-3; 2) (-0,4)-2; 3) ; 4) . 274. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó, ùî íå ìіñòèòü ñòåïåíÿ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 2a-3; 2) 3mb-1; 3) a2b-3c; 4) a-3b-7.

73. 73. Раціональні вирази 73 275. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó, ùî íå ìіñòèòü ñòåïåíÿ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) 4b-5; 2) 7a-1p1 ; 3) mn-2p2 7; 4) c-2b-5. Достатній рівень 276. Îá÷èñëіòü: 1) 81 ∙ 3-5; 2) -25 ∙ 10-2; 3) 27 ∙ (-18)-1; 4) -4 + 30; 6) 8-2 + 6-1; 7) 2,5-1 + (-13)0; 8) 4-3 - (-4)-2; 9) (-8)-2 + (0,4)-1; 10) ; 12) 1,25-2 + 2,5-3. 277. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) -64 ∙ 4-4; 2) 36 ∙ (-27)-1; 3) 4) -7 ∙ 0,1-2 + 50; 5) 5-2 - 10-1; 6) ; 7) -2 - 1,2-3. 278. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì âèðàç: 1) 8-13; 2) (-3,7)-10; 3) (-2,9)-11; 4) -(-2,1)-7. 279. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì çíà÷åííÿ âèðàçó an, ÿêùî: 1) a > 0 і n - öіëå ÷èñëî; 2) a < 0 і n - ïàðíå âіä'єìíå ÷èñëî; 3) a < 0 і n - íåïàðíå âіä'єìíå ÷èñëî. 280. Ïîðіâíÿéòå ç íóëåì çíà÷åííÿ âèðàçó bm, ÿêùî: 1) b  5, m  -13; 2) b  -1, m  -200; 3) b  -3, m  -41. 281. Ïåðåòâîðіòü âèðàç òàê, ùîá âіí íå ìіñòèâ ñòåïåíіâ ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) .

74. 74. РОЗДІЛ 1 74 282. Âèêîðèñòîâóþ÷è âіä'єìíèé ïîêàçíèê ñòåïåíÿ, ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 283. Ïîäàéòå äðіá ó âèãëÿäі äîáóòêó, âèêîðèñòîâóþ÷è ñòåïіíü ç âіä'єìíèì ïîêàçíèêîì: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 284. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) m-3 + n-2; 2) ab-1 + ba-1 + c0; 3) (m + n-1)(m-1 + n); 4) (a-1 + b-1) : (a-2 - b-2). 285. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) xy-3 + x-1y2; 2) (x-2 - y-2) : (x-1 - y-1). Високий рівень 286. Îá÷èñëіòü: 1) (1 + (1 - 5-2)-1)-1; 2) (1 - (1 + 3-1)-2)-2. 287. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó (1 + (1 - 3-1)-1)-1 + (1 - (1 + 3-1)-1)-1. 288. Ñïðîñòіòü âèðàç . Вправи для повторення . Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі äðîáó: 1) ; 2) . . Ñåðãіé ñêàçàâ Îëåêñіþ: "Äàé ìåíі 2 ãðèâíі, і òîäі ãðî- øåé ó íàñ ñòàíå ïîðіâíó". Îëåêñіé âіäïîâіâ Ñåðãіþ: "Êðàùå òè äàé ìåíі 2 ãðèâíі, і òîäі ãðîøåé â ìåíå ñòàíå âäâі÷і áіëüøå, íіæ ó òåáå". Ñêіëüêè ãðîøåé ó êîæíîãî ç õëîïöіâ?

75. 75. Раціональні вирази 75 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 291. Ïîäàéòå ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) a5a3; 2) b7 : b3; 3) (c5)4; 4) m7m; 5) t10 : t; 6) (p(( 7)2. 292. Ïіäíåñіòü äî ñòåïåíÿ îäíî÷ëåí: 1) (mn2)7; 2) (-2p2 3)2; 3) (-5cm2)3; 4) (-a2c3)10. 293. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) (5m2n)3 ∙ (0,2m3n)2; 2) (-0,1p7c3)4 ∙ (10pc0 2)3. Цікаві задачі для учнів неледачих 294. (Çàäà÷à Ñòåíôîðäñüêîãî óíіâåðñèòåòó). Ñåðåä äіäóñåâèõ ïàïåðіâ áóëî çíàéäåíî ðàõóíîê іç çàïèñîì: 72 іíäèêè - *67,9* äîëàðіâ. Ïåðøó é îñòàííþ öèôðè âàðòîñòі іíäèêіâ çàìіíèëè çіðî÷- êàìè, îñêіëüêè âîíè ñòåðëèñÿ і ñòàëè íåðîçáіðëèâèìè. Ùî öå çà öèôðè і ñêіëüêè êîøòóâàâ îäèí іíäèê? Âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì ñïðàâäæó- þòüñÿ і äëÿ ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ, âіäìіííîþ âіä íóëÿ, і öіëèì ïîêàçíèêîì. Îòæå, Öі âëàñòèâîñòі ìîæíà äîâåñòè, ñïèðàþ÷èñÿ íà ôîðìóëó òà âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ ç íàòóðàëüíèì ïîêàçíèêîì. Äîâåäåìî, íàïðèêëàä, ôîðìóëó am ∙ an  am+n äëÿ âèïàäêó, êîëè m і n - âіä'єìíі öіëі ÷èñëà. ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒІ ÑÒÅÏÅÍß ІÇ ÖІËÈÌ ÏÎÊÀÇÍÈÊÎÌ10. äëÿ áóäü-ÿêîãî a  0, b  0 і áóäü-ÿêèõ öіëèõ m і n: am ∙ an  am+n; am : an  am-n; (am)n  amn; (ab)n  anbn; .

76. 76. РОЗДІЛ 1 76 Íåõàé m  -p- , n  -q, äå p і q - íàòóðàëüíі ÷èñëà. Ìàєìî: . Îòæå, am ∙ an  am+n, ÿêùî m і n - âіä'єìíі öіëі ÷èñëà. Ó ðàçі ÿêùî îäèí ç ïîêàçíèêіâ m àáî n - âіä'єìíå öіëå ÷èñëî, à äðóãèé - íàòóðàëüíå ÷èñëî àáî íóëü, ôîðìóëà äîâîäèòüñÿ àíàëîãі÷íî. Ïðèêëàä 1. Âèêîíàéòå äіþ: 1) a2a-7; 2) b15 : b20; 3) (x-3)2 ∙ x-14. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. 1) a2a-7  a2+(-7)  a-5; 2) b15 : b20  b15-20  b-5; 3) (x-3)2 ∙ x-14  x-3∙2 ∙ x-14  x-6 ∙ x-14  x-6+(-14)  x-20. Ïðèêëàä 2. Ñïðîñòіòü âèðàç (4a5b-6)-2. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïðèêëàä 3. . Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Ïîäàìî 9 òà 27 ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíî- âîþ 3 òà âèêîðèñòàєìî âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ: . Â і ä ï î â і ä ü. 3. Початковий рівень 295. (Óñíî.) ßêі ç ðіâíîñòåé є òîòîæíîñòÿìè: 1) m3 ∙ m-7  m-21; 2) a7 ∙ a-9  a-2; 3) a5 ∙ a-5  a; 4) c8 : c-5  c13; 5) c4 : c5  c; 6) m : m8  m-7; 7) (a7)-1  a-7; 8) (b-2)-3  b-6; 9) (t5)-2  t10? 296. Ïîäàéòå äîáóòîê ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) a5a-2; 2) a-7a6; 3) a9a-9; 4) a-4a-3. 297. Ïîäàéòå äîáóòîê ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) b7b-3; 2) b-6b3; 3) b-5b-7; 4) b-8b8. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі ñòåïåíÿ іç öіëèì ïîêàçíèêîì.

77. 77. Раціональні вирази 77 298. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) m3 : m-2; 2) m5 : m6; 3) m-3 : m-3; 4) m-1 : m-8. 299. Ïîäàéòå ÷àñòêó ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) c5 : c-1; 2) c2 : c8; 3) c-2 : c-3; 4) c-4 : c-4. 300. Ïіäíåñіòü ñòåïіíü äî ñòåïåíÿ: 1) (x-4)-2; 2) (x-1)17; 3) (x0)-5; 4) (x7)-4. 301. Ïіäíåñіòü ñòåïіíü äî ñòåïåíÿ: 1) (n-2)-7; 2) (n15)-1; 3) (n-8)0; 4) (n5)-3. Середній рівень 302. Ïîäàéòå a-10 ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ ñòåïåíіâ ç îäíàêîâè- ìè îñíîâàìè, ÿêùî îäèí ç ìíîæíèêіâ äîðіâíþє: 1) a-3; 2) a7; 3) a-1; 4) a12. 303. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ ñòåïåíіâ ç îäíà- êîâèìè îñíîâàìè: 1) m8; 2) m-2; 3) m-17; 4) m0. 304. Îá÷èñëіòü: 1) 27 ∙ 2-6; 2) 5-3 ∙ 5; 3) ; 4) ; 5) 38 : 39; 6) 7-15 : 7-16; 7) 9 : 9-1; 8) ; 9) (2-2)3; 10) ; 11) (0,1-1)4; 12) . 305. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 39 ∙ 3-8; 2) 2-3 ∙ 2; 3) ; 4) ; 5) 104 : 105; 6) 8-12 : 8-13; 7) 7 : 7-1; 8) ; 9) (3-1)4; 10) ; 11) (0,23)-1; 12) .

78. 78. РОЗДІЛ 1 78 306. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ a: 1) a7 : a3 ∙ a-12; 2) (a5)-3 ∙ a12; 3) (a-8)3 : a4; 4) a0 ∙ (a-3)4 ∙ a5; 5) a-3 ∙ a0 : a5 : a; 6) (a3)-2 ∙ (a-1)-6. 307. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ ç îñíîâîþ b: 1) b3 : b7 ∙ b2; 2) (b-2)4 ∙ b10; 3) (b3)-2 : b3; 4) b7 ∙ (b-2)3 ∙ b0; 5) b0 ∙ b-4 : b3 : b; 6) (b-4)-1 ∙ (b2)-2. 308. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) 3) ; 4) . 309. Ñïðîñòіòü âèðàç: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 310. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) (xy)-2; 2) (ab-2)-3; 3) (x-4y3)-1; 4) (m0c-3)-2; 5) (0,1a-2)-1; 6) ; 7) (-2c-3p3 )-3; 8) 311. Ïîäàéòå ñòåïіíü ó âèãëÿäі äîáóòêó: 1) (p(( -2n)-5; 2) (a-2b3)-4; 3) (0,2m-4)-1; 4) ; 5) (-4ab-2)-3; 6) Достатній рівень 312. Ïîäàéòå âèðàç ó âèãëÿäі ñòåïåíÿ: 1) 64m-3; 2) 0,01p-8; 3) 0,0025c-8p8 12; 4) .

# data[].attributes.attachment_link.description
Published on 1. 88 АЛГЕБРААЛГЕБРА Î.Ñ. ²ñòåðÎ.Ñ. ²ñòååð 2. ÓÄÊ 512(075.3) ÁÁÊ 22.14ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0699 3ISBN 978-966-11-0699-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Àëãåáðà : ïіäðó÷. äëÿ 8-ãî êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016.

# data[].attributes.headline
Опрацювати § 26.

# data[].attributes.subject
Опрацювати § 26.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Published on

1. 1. ÓÄÊ 514(075.3) ÁÁÊ 22.151ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0701 3ISBN 978-966-11-0701-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Ãåîìåòðіÿ : ïіäðó÷. äëÿ 8 êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016. - 216 ñ. ISBN 978-966-11-0701-3. Підручник відповідає новій програмі з математики, містить до- статню кількість диференційованих вправ та прикладних задач. Після кожного розділу наведено вправи для його повторення. Для підготовки до контрольної роботи передбачено "Домашню само- стійну роботу" та "Завдання для перевірки знань". Наприкінці під- ручника наведено матеріал для повторення курсу геометрії 7 кла- су, задачі підвищеної складності, предметний покажчик та відповіді до більшості вправ. Для найдопитливіших є низка нестандартних задач у рубриці "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий матеріал. ÓÄÊ 514(075.3) ÁÁÊ 22.151ÿ721 Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè (Íàêàç Ìіíіñòåðñòâà îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè âіä 10.05.2016 № 491) Åêñïåðòè, ÿêі çäіéñíèëè åêñïåðòèçó ïіäðó÷íèêà ïіä ÷àñ ïðîâå- äåííÿ êîíêóðñíîãî âіäáîðó ïðîåêòіâ ïіäðó÷íèêіâ äëÿ ó÷íіâ 8 êëà- ñó çàãàëüíîîñâіòíіõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäіâ і çðîáèëè âèñíîâîê ïðî äîöіëüíіñòü íàäàííÿ ïіäðó÷íèêó ãðèôà "Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñ- òåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè": Äóíàé Ñ.Ì., ó÷èòåëü ñïåöіàëіçîâàíîї çàãàëüíîîñâіòíüîї ñåðåäíüîї øêîëè № 1 ç ïîãëèáëåíèì âèâ÷åííÿì іíîçåìíèõ ìîâ ì. ×åðíіãîâà; Òåñëåíêî Î.Â., ìåòîäèñò ìåòîäè÷íîãî öåíòðó Óïðàâëіííÿ îñâіòè àäìіíіñòðàöії Êîìіíòåðíіâñüêîãî ðàéîíó Õàðêіâñüêîї ìіñüêîї ðàäè; ×îðíèé Â.Ç., çàâіäóâà÷ êàôåäðè ìàòåìàòèêè òà ìåòîäèêè її íà- â÷àííÿ Òåðíîïіëüñüêîãî íàöіîíàëüíîãî ïåäàãîãі÷íîãî óíіâåðñèòå- òó іì. Âîëîäèìèðà Ãíàòþêà, êàíäèäàò ôіçèêî-ìàòåìàòè÷íèõ íàóê, äîöåíò. Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

2. 2. 3 Øàíîâíі âîñüìèêëàñíèêè! Ó öüîìó íàâ÷àëüíîìó ðîöі âè ïðîäîâæèòå âèâ÷àòè ãåîìåò- ðіþ, à ïіäðó÷íèê, ÿêèé âè òðèìàєòå â ðóêàõ, äîïîìîæå âàì ó öüîìó. Ïіä ÷àñ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çâåðíіòü óâàãó íà òåêñò, íàäðóêîâàíèé æèðíèì øðèôòîì. Éîãî òðåáà çàïàì'ÿ- òàòè. Ó ïіäðó÷íèêó âè ïîáà÷èòå óìîâíі ïîçíà÷åííÿ. Îñü ùî âîíè îçíà÷àþòü: - означення, важливі геометричні твердження (аксіоми, теоре- ми, властивості); - запитання до вивченого теоретичного матеріалу;  - закінчення доведення теореми або задачі; - "ключова" задача, висновки якої використовуються під час розв'язування інших задач; - вправи для повторення; - рубрика "Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового мате- ріалу"; - вправи підвищеної складності; - рубрика "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий матеріал. ×îðíèì êîëüîðîì ïîçíà÷åíî íîìåðè âïðàâ äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ ó êëàñі, à ñèíіì - äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ âäîìà. Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü і âèîêðåìëåíî òàê: ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ñåðåäíüîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè äîñòàòíüîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè âèñîêîãî ðіâíÿ. Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ ìîæíà, âèêîíóþ÷è çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìî-

3. 3. 4 ñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Ïіñëÿ êîæíîãî ðîçäіëó íàâåäåíî âïðàâè äëÿ éîãî ïîâòîðåííÿ, à â êіíöі ïіäðó÷íèêà - "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðå- âіðêè çíàíü çà êóðñ ãåîìåòðії 8 êëàñó" òà "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі". Çàíÿòòÿ ãåîìåòðієþ ñòàíóòü ùå öіêàâіøèìè, ÿêùî âè ðîçâ'ÿçóâàòèìåòå âïðàâè ðóáðèêè "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ". Ïðèãàäàòè ðàíіøå âèâ÷åíå âàì äîïîìîæóòü "Âіäîìîñòі ç êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó" òà "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó", ÿêі ðîçìіùåíî â êіíöі ïіäðó÷íèêà. Àâòîð íàìàãàâñÿ ïîäàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ïіäðó÷íèêà ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ, ïðîіëþñòðóâàòè éîãî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó ó øêîëі éîãî îáîâ'ÿçêîâî ïîòðіáíî äîîïðàöþâàòè âäîìà. Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Áіëüøіñòü іç íèõ âè ðîçãëÿíåòå íà óðîêàõ і ïіä ÷àñ äîìàøíüîї ðîáîòè; іíøі âïðàâè ðåêîìåíäóєòüñÿ ðîçâ'ÿçàòè ñàìîñòіéíî. Ó êіíöі ïіäðó÷íèêà â äîäàòêó ïіä íàçâîþ "Ãîòóєìîñÿ äî ÇÍÎ" ïîäàíî äîáіðêó çàäà÷, ùî â ðіçíі ðîêè ïðîïîíóâàëèñÿ àáіòóðієíòàì íà çîâíіøíüîìó íåçàëåæíîìó îöіíþâàííі ç ìàòå- ìàòèêè, äëÿ ðîçâ'ÿçàííÿ ÿêèõ äîñòàòíüî çíàíü ç ãåîìåòðії çà 8-é êëàñ. Ðîçâ'ÿçàâøè öі çàäà÷і, âè çðîáèòå ùå îäèí êðîê óïåðåä äëÿ óñïіøíîї ïіäãîòîâêè äî ìàéáóòíіõ âèïðîáóâàíü, ÿêі ÷åêàòèìóòü íà âàñ ïіä ÷àñ âñòóïó äî îìðіÿíîãî âèøó. Öіêàâі ôàêòè ç іñòîðії ðîçâèòêó ãåîìåòðії ÿê íàóêè âè çíà- éäåòå ó ðóáðèöі "À ùå ðàíіøå..." Áàæàþ óñïіõіâ â îïàíóâàííі êóðñó!

4. 4. 5 Øàíîâíі â÷èòåëі! Ïðîïîíîâàíèé ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ; âïðàâè áіëüøîñòі ïàðàãðàôіâ ïîäàíî "іç çàïàñîì". Òîæ îáè- ðàéòå їõ äëÿ âèêîðèñòàííÿ íà óðîêàõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ, ñòóïåíÿ іíäèâіäóàëіçàöії òîùî. Âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ íà óðîöі, ìîæíà âèêîðèñòàòè íà äîäàòêîâèõ, ôàêóëüòàòèâíèõ òà іíäèâіäóàëüíèõ çàíÿòòÿõ. Äîäàòêîâі âïðàâè ó "Çàâäàííÿõ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü" ïðè- çíà÷åíî äëÿ ó÷íіâ, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàííÿìè ðàíіøå çà іíøèõ ó÷íіâ. Ïðàâèëüíå їõ ðîçâ'ÿçàííÿ â÷èòåëü ìîæå îöіíèòè îêðåìî. Âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ ðîçäіëіâ òà çàäà÷і ç äîäàòêà "Ãîòó- єìîñÿ äî ÇÍÎ" ìîæíà çàïðîïîíóâàòè ó÷íÿì, íàïðèêëàä, ïіä ÷àñ óçàãàëüíþþ÷èõ óðîêіâ ç òåìè àáî ïîâòîðåííÿ і ñèñòåìàòè- çàöії íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó â êіíöі íàâ÷àëüíîãî ðîêó. Îðãàíіçóâàòè ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó íà ïî÷àò- êó íàâ÷àëüíîãî ðîêó òà ïðèãàäàòè âіäïîâіäíèé òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ìîæíà, çàïðîïîíóâàâøè ó÷íÿì ðîçâ'ÿçàòè "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó" òà ïðî÷èòàòè âіäïî- âіäíі òåîðåòè÷íі âіäîìîñòі, ÿêі ðîçìіùåíî ó êіíöі ïіäðó÷íèêà. Øàíîâíі áàòüêè! ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ ó øêîëі, ïîòðіáíî çàïðîïîíóâàòè їé ñàìîñòіéíî îïðàöþâàòè öåé ìàòåðіàë çà ïіäðó÷íèêîì óäîìà. Ñïî÷àòêó áàæàíî, ùîá âîíà ïðî÷èòàëà òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë, ÿêèé âèêëàäåíî ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ òà ïðîіëþñòðîâàíî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ öüîãî - ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷і і âïðàâè, ùî їé ïîñèëüíі, ç ðîçãëÿíóòîãî ïàðàãðàôà. Óïðîäîâæ îïðàöþâàííÿ äèòèíîþ êóðñó ãåîìåòðії 8 êëàñó âè ìîæåòå ïðîïîíóâàòè їé äîäàòêîâî ðîçâ'ÿçóâàòè âäîìà âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ ïіä ÷àñ óðîêó. Öå ñïðèÿòèìå ÿêíàéêðàùîìó çàñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó. Êîæíà òåìà çàêіí÷óєòüñÿ òåìàòè÷íèì îöіíþâàííÿì. Ïåðåä éîãî ïðîâåäåííÿì çàïðîïîíóéòå äèòèíі ðîçâ'ÿçàòè çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìîñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Öå äîïîìîæå ïðèãàäàòè îñíîâíі òèïè âïðàâ òà ÿêіñíî ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ. Ó êіíöі ïіäðó÷íèêà "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі" äîïîìî- æóòü âàøіé äèòèíі ïîãëèáèòè çíàííÿ ç ãåîìåòðії òà ïіäãîòó- âàòèñÿ äî ìàòåìàòè÷íèõ çìàãàíü.

5. 5. 6 ОЧОТИРИКУТНИКИ У цьому розділі ви:У  пригадаєте поняття прямокутника і квадрата;  дізнаєтеся про паралелограм та його властивості, трапецію; центральні та вписані кути; вписані та описані чотирикутни- ки; середню лінію трикутника та середню лінію трапеції; теорему Фалеса;  навчитеся обґрунтовувати належність чотирикутника до пев- ного виду, застосовувати вивчені означення і властивості до розв'язування задач. 1. Чотирикутником називають фігуру, що складається зм чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх спо- лучають. Íіÿêі òðè ç äàíèõ òî÷îê íå ïîâèííі ëåæàòè íà îäíіé ïðÿìіé, à âіäðіçêè, ÿêі їõ ñïîëó÷àþòü, íå ïîâèííі ìàòè æîäíèõ іíøèõ ñïіëüíèõ òî÷îê, êðіì äàíèõ. Áóäü-ÿêèé ÷îòèðèêóòíèê îáìåæóє ïåâíó ÷àñòèíó ïëîùèíè, ÿêà є âíóòðіøíüîþ îáëàñòþ ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàëþíêó 1 çîáðàæåíî ÷îòèðèêóòíèê ABCD. Òî÷êè A, B, C, D íàçèâàþòü âåðøèíàìè ÷îòèðèêóòíèêà, à âіäðіçêè AB, BC, CD і DA, ùî їõ ñïîëó÷àþòü, - ñòîðîíàìè ÷îòèðèêóòíèêà. Âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêі є êіíöÿìè îäíієї éîãî ñòîðî- íè, íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, íåñóñіäíі âåðøèíè íàçèâàþòü ïðî- òèëåæíèìè. Íà ìàë. 1 âåðøèíè A і B - ñóñіäíі, A і C - ïðîòèëåæíі. Ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêі ìàþòü ñïіëü- íó âåðøèíó, íàçèâàþòü ñóñіäíіìè àáî ñóìіæíèìè, à ÿêі íå ìàþòü ñïіëüíîї âåðøè- íè, - ïðîòèëåæíèìè. Íà ìàë. 1 ñòîðîíè AB і BC - ñóñіäíі (ñóìіæíі), ñòîðîíè AB і CD - ïðîòèëåæíі. ЧОТИРИКУТНИК, ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ. СУМА КУТІВ ЧОТИРИКУТНИКА Ìàë. 1

6. 6. 7 ЧОТИРИКУТНИКИ Ñóìó äîâæèí óñіõ ñòîðіí ÷îòèðè- êóòíèêà íàçèâàþòü éîãî ïåðèìåòðîì. Ïåðèìåòð ïîçíà÷àþòü ëіòåðîþ P. Íàïðè- êëàä, ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà ABCD ìîæíà ïîçíà÷èòè ÿê PABCDP : PABCDP  AB + BC + CD + DA. Âіäðіçêè, ÿêі ñïîëó÷àþòü ïðîòèëåæíі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, íàçèâàþòü äіàãîíàëÿìè ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàë. 2 âіäðіçêè KM і LN - äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà KLMN. Áóäü-ÿêèé ÷îòèðèêóòíèê ìàє äâі äіàãîíàëі. Êóòàìè ÷îòèðèêóòíèêà ABCD íàçèâàþòü êóòè DAB, ABC, BCD і CDA (ìàë. 1). Êóòè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ïðîòèëåæíèìè, ÿêùî їõ âåðøèíè - ïðîòèëåæíі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, і ñóñіäíіìè, ÿêùî їõ âåðøèíè - ñóñіäíі âåð- øèíè ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàëþíêó 1 êóòè A іA C - ïðîòèëåæíі,C A іA B - ñóñіäíі. Îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà ìîæå áóòè áіëüøèì çà ðîçãîð- íóòèé. Íàïðèêëàä, íà ìàëþíêó 3 êóò A ÷îòèðèêóòíèêà ABCD є áіëüøèì çà ðîçãîðíóòèé. Òàêèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü íåîïóêëèì. ßêùî æ óñі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà ìåíøі âіä 180, òî éîãî íàçèâàþòü îïóêëèì. Äіàãîíàëі îïóêëîãî ÷îòèðèêóò- íèêà ïåðåòèíàþòüñÿ (ìàë. 2), à íåîïóêëîãî íå ïåðåòèíàþòüñÿ (ìàë. 4). Ìàë. 3 Ìàë. 4 Ìàë. 5 Ò å î ð å ì à (ïðî ñóìó êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà). Ñóìà êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 360. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ÀÂÑD - äåÿêèé ÷îòèðèêóòíèê. Ïðîâåäåìî â íüîìó äіàãîíàëü ÀÑ (ìàë. 5). Òîäі À  1 + 2, Ñ  3 + 4. Âðàõîâóþ÷è, ùî 2 + B + 3  180 (ÿê ñóìà êóòіâ  ÀÂÑ), 1 + D + 4  180 (ÿê ñóìà êóòіâ ÀDÑ), ìàòèìåìî: À +À Â + Ñ + D  1 + 2 + Â + 3 + + 4 + D  (2 + Â + 3) + (1 + D + 4)  180+ 180  360.  Ìàë. 2

7. 7. 8 Розділ 1 Çàäà÷à. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî їõ ãðàäóñíі ìіðè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 3 : 10 : 4 : 1. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì є öåé ÷îòèðèêóòíèê? Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. Íåõàé êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 3x, 10x, 4x і x. Ìàєìî ðіâíÿííÿ 3x + 10x + 4x + x  360, çâіäêè x  20. Îòæå, êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 3  20  60, 10  20  200, 4  20  80 і 20. Îñêіëüêè îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà áіëüøèé çà 180, òî öåé ÷îòèðèêóò- íèê - íåîïóêëèé. Â і ä ï î â і ä ü. 60, 200, 80, 20; íåîïóêëèé. Початковий рівень 1. (Óñíî.) ßêі ç ôіãóð (ìàë. 6-9) є ÷îòèðèêóòíèêàìè? Íà- çâіòü îïóêëі òà íåîïóêëі ÷îòèðèêóòíèêè. Ìàë. 6 Ìàë. 7 Ìàë. 8 Ìàë. 9 2. Íàçâіòü ïàðè ïðîòèëåæíèõ ñòîðіí ÷îòèðèêóòíèêà EGOR (ìàë. 9), ïàðè ñóñіäíіõ ñòîðіí. Íàçâіòü ïàðè ñóñіäíіõ âåð- øèí öüîãî ÷îòèðèêóòíèêà, ïàðè ïðîòèëåæíèõ âåðøèí. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ÷îòèðèêóòíèêîì? 2. Ùî íàçèâàþòü âåðøèíàìè ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðî- íàìè ÷îòèðèêóòíèêà? 3. ßêі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, ÿêі - ïðîòèëåæíèìè? 4. Ùî òàêå äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà? 5. ßêі ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, ÿêі - ïðîòèëåæíèìè? 6. Ùî íàçèâàþòü ïåðèìåòðîì ÷îòèðèêóòíèêà? 7. Ùî íàçèâàþòü êóòàìè ÷îòèðèêóòíèêà? 8. ßêі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ïðîòèëåæíè- ìè, à ÿêі - ñóñіäíіìè? 9. ßêèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü íåîïóêëèì, à ÿêèé - îïóêëèì? 10. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü òåîðåìó ïðî ñóìó êóòіâ ÷îòè- ðèêóòíèêà.

8. 8. 9 ЧОТИРИКУТНИКИ 3. Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê KLMN. Íàçâіòü ïàðè éîãî ïðî- òèëåæíèõ ñòîðіí, ñóñіäíіõ ñòîðіí, ïðîòèëåæíèõ âåðøèí, ñóñіäíіõ âåðøèí. Ïðîâåäіòü äіàãîíàëі öüîãî ÷îòèðèêóòíèêà. 4. Íàêðåñëіòü îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê ABCD і íåîïóêëèé PMLK. Ïðîâåäіòü äіàãîíàëü ó êîæíîìó ç íèõ. 5. ×è іñíóє ÷îòèðèêóòíèê ç êóòàìè: 1) 80, 90, 100 і 110; 2) 150, 60, 70 і 80? 6. ×è ìîæóòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþâàòè: 1) 120, 80, 90 і 70; 2) 130, 110, 80 і 50? Середній рівень 7. Çíàéäіòü ÷åòâåðòèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî òðè éîãî êóòè äîðіâíþþòü: 1) 150, 110 і 80; 2) 80, 60 і 30. ßêèì - îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì - є êîæíèé ÷îòèðèêóòíèê? 8. Çíàéäіòü ÷åòâåðòèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî òðè éîãî êóòè äîðіâíþþòü: 1) 20, 70 і 80; 2) 120, 50 і 40. ßêèì - îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì - є êîæíèé ÷îòèðèêóòíèê? 9. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâ- íþþòü 32 ìì, 2,5 ñì, 0,4 äì і 0,07 ì. 10. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþ- þòü 0,08 ì, 0,7 äì, 6,3 ñì і 54 ìì. 11. ×è ìîæóòü óñі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà áóòè: 1) ãîñòðèìè; 2) ïðÿìèìè; 3) òóïèìè? 12. Îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâ- íþє 120, à іíøі - ìіæ ñîáîþ ðіâíі. Çíàéäіòü íåâіäîìі êóòè ÷îòèðèêóò- íèêà. 13. Ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 60 ñì, à îäíà ç éîãî ñòîðіí - 24 ñì. Çíàéäіòü íåâіäîìі ñòîðîíè ÷îòèðè- êóòíèêà, ÿêùî âîíè ìіæ ñîáîþ ðіâíі. 14. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 10) BC  CD і ACB  ACD. Äîâåäіòü, ùî B  D. 15. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 11) BAC  ACD, BCA  CAD. Äîâåäіòü, ùî AB  CD. Ìàë. 10 Ìàë. 11

9. 9. 10 Розділ 1 Достатній рівень 16. Çíàéäіòü ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 4, 5, 8 і 9, à ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 65 ñì. 17. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 4, 5, 7 і 8. 18. Çíàéäіòü íåâіäîìі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 90, äðóãèé і òðåòіé âіäíîñÿòüñÿ ÿê 7 : 5, à ÷åò- âåðòèé äîðіâíþє ïіâñóìі äðóãîãî òà òðåòüîãî. 19. Çíàéäіòü íåâіäîìі ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ïåðèìåòð ÿêî- ãî äîðіâíþє 54 ñì, îäíà çі ñòîðіí 18 ñì, äðóãà òà òðåòÿ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 7 : 3, à ÷åòâåðòà äîðіâíþє ïіâðіçíèöі äðó- ãîї òà òðåòüîї. 20. Äîâåäіòü, ùî â êîæíîìó ÷îòèðèêóòíèêó є êóò, íå áіëüøèé çà 90. 21. Äîâåäіòü, ùî â êîæíîìó ÷îòèðèêóòíèêó є êóò, íå ìåíøèé âіä 90. 22. ×è ìîæå êóò ÷îòèðèêóòíèêà áóòè áіëüøèì çà ñóìó іíøèõ éîãî êóòіâ? Високий рівень 23. Ïîáóäóéòå ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 6 ñì, 6 ñì, 3 ñì, 4 ñì òà êóòîì 50 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíàìè. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿç- êіâ ìàє çàäà÷à? 24. Ïîáóäóéòå ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 5 ñì, 5 ñì, 4 ñì, 3 ñì òà êóòîì 70 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíàìè. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿçêіâ ìàє çàäà÷à? 25. Îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü äåëüòîїäîì, ÿêùî âіí ìàє äâі ïàðè ðіâ- íèõ ñóñіäíіõ ñòîðіí (ìàë. 12). Äîâåäіòü, ùî: 1) äіàãîíàëü BD äіëèòü íàâïіë ÿê êóò B, òàê і êóò D; 2) äіàãîíàëі äåëüòîїäà âçàєìíî ïåðïåí- äèêóëÿðíі. 26. Ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà ABCD äîðіâíþє 29 ñì, ïåðè- ìåòð òðèêóòíèêà ADB - 20 ñì, à òðèêóòíèêà CDB - 21 ñì. Çíàéäіòü äîâæèíó äіàãîíàëі BD. Ìàë. 12

10. 10. 11 ЧОТИРИКУТНИКИ Вправи для повторення 27. Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ, ùî óòâîðèëèñÿ ïðè ïåðåòèíі äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ñі÷íîþ, äîðіâíþє 70. Çíàéäіòü ãðàäóñíі ìіðè ðåøòè ñåìè êóòіâ. 28. Çíàéäіòü êóòè ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 70. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿçêіâ ìàє çàäà÷à? 29. Ó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 60, à ñóìà ìåíøîãî êàòåòà і ìåäіàíè, ïðîâåäåíîї äî ãіïîòåíó- çè, - 10 ñì. Çíàéäіòü ãіïîòåíóçó öüîãî òðèêóòíèêà. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 30. Ïðÿìà AB є ñі÷íîþ äëÿ ïðÿìèõ KL і MN (ìàë. 13). Çàïèøіòü óñі ïàðè âíóòðіøíіõ îäíîñòîðîííіõ êóòіâ, âíó- òðіøíіõ ðіçíîñòîðîííіõ êóòіâ òà âіäïîâіäíèõ êóòіâ. Ìàë. 13 Ìàë. 14 Ìàë. 15 31. ßêèì є âçàєìíå ðîçìіùåííÿ ïðÿìèõ a і b (ìàë. 14), ÿêùî: 1) 2 + 4  180; 2) 1 > 4; 3) 3  120; 4  121; 4) 2  60; 4  119; 5) 1  4  122; 6) 3  4? 32. 1) Äîâåäіòü, ùî {ABC  {CDA (ìàë. 15), ÿêùî AB  CD і BAC  ACD . 2) Äîâåäіòü, ùî BC  AD і BCA  CAD. 3) ×è ïàðàëåëüíі ïðÿìі BC і AD? Цікаві задачі для учнів неледачих 33. (Âñåóêðàїíñüêà îëіìïіàäà ç ìàòåìàòèêè, 1964 ð.) Çíàé- äіòü íàéáіëüøå çíà÷åííÿ n, ïðè ÿêîìó n òî÷îê ìîæíà ðîçìіñòèòè íà ïëîùèíі òàê, ùîá êîæíі òðè ç íèõ áóëè âåðøèíàìè ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà.

11. 11. 12 Розділ 1 2. Паралелограмом називають чотирикутник, у якого проти-м лежні сторони попарно паралельні. Íà ìàëþíêó 16 çîáðàæåíî ïàðàëåëîãðàì ABCD, äå AB || CD, AD || BC. Ðîçãëÿíåìî âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. Сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Ñïðàâäі, íàïðèêëàä êóòè A і B ïàðà- ëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 16) є âíóòðіøíіìè îäíîñòîðîííіìè êóòàìè äëÿ ïàðàëåëü- íèõ ïðÿìèõ AD і BC òà ñі÷íîї AB. Òîìó A + B  180. Àíàëîãі÷íî öþ âëàñòè- âіñòü ìîæíà äîâåñòè äëÿ áóäü-ÿêîї іíøîї ïàðè ñóñіäíіõ êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà. 2. Паралелограм є опуклим чотирикутником. Îñêіëüêè A + B  180, òî A < 180, B < 180. Àíà- ëîãі÷íî C < 180, D < 180. Òîìó ïàðàëåëîãðàì - îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê. 3. У паралелограмі протилежні сторони рівні й протилежні кути рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. Ðîçãëÿíåìî ïàðàëåëîãðàì ABCD (ìàë. 17). Äіàãîíàëü AC ðîçáèâàє éîãî íà äâà òðèêóòíèêè ABC і ADC. AC - ñïіëüíà ñòîðîíà öèõ òðèêóòíèêіâ é CAD  ACB, CAB  ACD (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ñі÷íîþ AC ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC, AB і CD âіäïîâіäíî). Òîäі {ABC  {CDA (çà ñòîðîíîþ і äâîìà ïðèëåãëèìè êóòà- ìè). Îòæå, AB  CD, BC  AD і B  D (ÿê âіäïîâіäíі åëåìåíòè ðіâíèõ òðè- êóòíèêіâ). Îñêіëüêè BAC + CAD   BCA + DCA, òî BAD  BCD.  4. Периметр паралелограма РАВСDР = 2(D АВ + ВС). 5. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. ПАРАЛЕЛОГРАМ, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ Й ОЗНАКИ Ìàë. 16 Ìàë. 17

12. 12. 13 ЧОТИРИКУТНИКИ Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé AC і BD ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 18). AD  BC (ÿê ïðîòè- ëåæíі ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà), CAD  ACB, BDA  DBC (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íèìè AC і BD âіäïîâіäíî). Îòæå, {AOD  {COB (çà ñòîðîíîþ і äâîìà ïðèëåãëèìè êóòàìè). Òîäі AO  OC, BO  OD (ÿê âіäïîâіäíі ñòîðîíè ðіâíèõ òðè- êóòíèêіâ).  Ìàë. 18 Ìàë. 19 Çàäà÷à 1. Ä à í î: ABCD ïàðàëåëîãðàì, ÀK - áіñåêòðèñà êóòà A, BK  5 ñì, KC  3 ñì (ìàë. 19). Ç í à é ä іòü: PABCDP . Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) BC  BK + KC  5 + 3  8 (cì); 2) KAD  BKA (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íîþ AK); 3) KAD  KAB (çà óìîâîþ), òîäі BKA  KAB. Îòæå, çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà: {ABK - ðіâíîáåäðå- íèé, AB  BK  5 (ñì); 4) PABCDP  2(AB(( + BC)  2(5 + 8)  26 (ñì). Â і ä ï î â і ä ü. 26 ñì. Висотою паралелограма називають перпендикуляр, про- ведений з будь-якої точки сторони паралелограма до пря- мої, що містить протилежну сторону. Íà ìàëþíêó 20 MN - âèñîòà ïàðàëåëîãðàìà; MN  AD, MN  BC. Ç êîæíîї âåðøèíè ïàðàëåëîãðàìà ìîæíà ïðîâåñòè äâі âè- ñîòè. Íàïðèêëàä, íà ìàëþíêó 21 BF і BT - âèñîòè ïàðàëåëî- ãðàìà, ïðîâåäåíі âіäïîâіäíî äî ñòîðіí AD і CD. Ìàë. 20 Ìàë. 21

13. 13. 14 Розділ 1 Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà). ßêùî â ÷îòèðèêóò- íèêó: 1) äâі ñòîðîíè ðіâíі і ïàðàëåëüíі, àáî 2) ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ðіâíі, àáî 3) äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ і òî÷êîþ ïåðåòèíó äіëÿòüñÿ íàâïіë, àáî 4) ïðîòèëåæíі êóòè ïîïàðíî ðіâíі, - òî ÷îòèðèêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD AD  BC і AD || BC (ìàë. 22). Ïðîâåäåìî äіàãîíàëü AC. Ðîçãëÿíåìî {CAD і {ACB. CAD  BCA (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íîþ AC). AC - ñïіëüíà ñòîðîíà, AD BC (çà óìîâîþ). Îòæå, {CAD  {ACB (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Òîäі ACD  CAB (ÿê âіäïîâіäíі). Àëå öå ðіçíîñòîðîííі êóòè, ùî óòâîðèëèñÿ ïðè ïåðåòèíі ïðÿìèõ AB і CD ñі÷íîþ AC. Òîìó AB || CD (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі ïðÿìèõ). Îòæå, ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ïàðàëåëüíі. Òîìó ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD: AD  BC і AB  CD (ìàë. 22). Ïðîâåäåìî äіàãîíàëü AC. Òîäі {CAD  {ACB (çà òðüîìà ñòîðîíàìè). Òîìó ACD  CAB, à îòæå, AB || CD (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі ïðÿìèõ). Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AD || BC. Îòæå, ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ìàë. 22 Ìàë. 23 3) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі AC і BD ïåðå- òèíàþòüñÿ â òî÷öі O і AO  OC, BO  OD (ìàë. 23). AOD  COB (ÿê âåðòèêàëüíі). Òîìó {AOD  {COB (çà äâî- ìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Çâіäñè AD  BC. Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AB  CD. Çâàæàþ÷è íà ï. 2) öієї òåîðåìè, ïðè- õîäèìî äî âèñíîâêó, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 4) Íåõàé ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD: A  C, B  D (ìàë. 16). Îñêіëüêè A + B + C + D  360, òî A + + B + A + B  360, 2(A + B)  360; A + B  180. Àëå A і B - âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè äëÿ ïðÿìèõ AD і BC òà ñі÷íîї AB. Òîìó AD || BC (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі

14. 14. 15 ЧОТИРИКУТНИКИ ïðÿìèõ). Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AB || CD. Îòæå, ABCD - ïàðàëåëîãðàì.  Çàäà÷à 2. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD, AD  BC, CAD  ACB. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ABCD - äàíèé ÷îòèðèêóòíèê (ìàë. 22). Ðîçãëÿíåìî {CAD і {ACB{{ . AC - їõ ñïіëüíà ñòîðîíà, AD  BC, CAD  ACB (çà óìîâîþ). Îòæå, {CAD  {ACB (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Òîìó AB  CD. Àëå òîäі ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ðіâíі, òîìó âіí є ïàðàëåëîãðàìîì.  Про деякі види чотирикутників (квадрати, прямокутники, рівнобічні та прямокутні трапеції) знали ще давньоєгипетські та вавилонські матема- тики. Термін "паралелограм" грецького походження, вважають, що його уведено Евклідом (близько 300 р. до н. е.). Також відомо, що про парале- лограм і деякі його властивості було відомо учням школи Піфагора ("піфагорійцям") ще раніше. В "Началах" Евкліда доведено наступну теорему: у паралелограмі протилежні сторони рівні і протилежні кути рівні, а діагональ поділяє його навпіл, але не згадується про те, що точка перетину діагоналей паралелограма ділить кожну з них навпіл. Евклід також не згадує ані про прямокутник, ані про ромб. Повну теорію паралелограмів було розроблено лише в кінці Середньовіччя, а в підручниках вона з'явилася в XVII ст. Усі теореми та властивості паралелограма в цих підручниках ґрунтувалися на аксіомі паралельності Евкліда. Термін "діагональ" - грецького походження; "діа" означає "через", а "гоніос" - "кут", що можна розуміти як відрізок, що сполучає вершини кутів. Слід зазначити, що Евклід, як і більшість математиків того часу, для назви відрізка, що сполучає протилежні вершини чотирикутника, зокре- ма прямокутника, використовував інший термін - "діаметр". Це можна пояснити тим, що перші геометри свої міркування ґрунтували на вписа- них у коло прямокутниках. У Середні віки для назви згаданого відрізка використовували обидва терміни. Лише у XVIII ст. термін "діагональ" став загальновживаним. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ïàðàëåëîãðàìîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 3. Ùî íàçèâàþòü âèñîòîþ ïàðàëåëîãðàìà? 4. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà.

15. 15. 16 Розділ 1 Початковий рівень 34. Ñåðåä ÷îòèðèêóòíèêіâ, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêàõ 24-29, óêàæіòü ïàðàëåëîãðàìè. Ìàë. 24 Ìàë. 25 Ìàë. 26 Ìàë. 27 Ìàë. 28 Ìàë. 29 35. Íàêðåñëіòü ïàðàëåëîãðàì ABCD, ó ÿêîãî êóò D òóïèé. 36. Íàêðåñëіòü ïàðàëåëîãðàì KLMN, ó ÿêîãî êóò K ãîñòðèé. 37. (Óñíî.) Îäíà çі ñòîðіí ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 5 ñì. ßêà äîâæèíà ñòîðîíè, ùî їé ïðîòèëåæíà? 38. Îäèí ç êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 70. Çíàéäіòü іíøі éîãî êóòè. 39. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâ- íþє 100. Середній рівень 40. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ó ÿêîãî îäíà ñòîðîíà äîðіâíþє 12 ñì, à äðóãà - íà 3 ñì áіëüøà çà íåї. 41. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ó ÿêîãî îäíà ñòîðîíà äîðіâíþє 18 ñì, à äðóãà - óäâі÷і âіä íåї ìåíøà. 42. Çíàéäіòü óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ ç íèõ äîðіâíþє 120; 2) îäèí ç íèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé; 3) îäèí ç íèõ óòðè÷і ìåíøèé âіä äðóãîãî; 4) äâà ç íèõ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 43. Çíàéäіòü óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ ç íèõ äîðіâíþє 200; 2) îäèí ç íèõ íà 40 ìåíøèé âіä äðóãîãî; 3) îäèí ç íèõ óäâі÷і áіëüøèé çà äðóãèé; 4) ãðàäóñíі ìіðè äâîõ ç íèõ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 4 : 5. 44. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD BAD  80, ACD  50. Çíàé- äіòü ACB і  ABC. 45. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD BAC  35, BCA  40. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà.

16. 16. 17 ЧОТИРИКУТНИКИ 46. (Óñíî.) ßêі ïîìèëêè äîïóùåíî â çîáðàæåííі ïàðàëåëî- ãðàìà íà ìàëþíêàõ 30-32? Ìàë. 30 Ìàë. 31 Ìàë. 32 47. Ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî: 1) îäíà ç íèõ íà 4 ñì áіëüøà çà äðóãó; 2) âîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 3 : 7. 48. Ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 36 äì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî: 1) îäíà ç íèõ íà 2 äì ìåíøà âіä äðóãîї; 2) îäíà ç íèõ ó 5 ðàçіâ áіëüøà çà äðóãó. 49. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïàðàëåëîãðàìà ABCD. Çíàéäіòü äіàãîíàëü AC, ÿêùî BD  20 ñì, AB  15 ñì, à ïåðèìåòð òðèêóòíèêà AOB äîðіâíþє 32 ñì. 50. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 33) 1  2, 3  4. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 51. {ABC  {CDA (ìàë. 33). Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 52. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè. 53. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà ñòîðîíàìè і äіàãîíàëëþ. Достатній рівень 54. Áіñåêòðèñà êóòà ïàðàëåëîãðàìà ïåðåòèíàє éîãî ñòîðîíó ïіä êóòîì 48. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà. 55. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD áіñåêòðèñà êóòà A äіëèòü ñòîðî- íó BC íà âіäðіçêè BM  5 ñì і MC  7 ñì. Çíàéäіòü ïåðè- ìåòð ïàðàëåëîãðàìà. 56. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD AB  4 ñì, BC  12 ñì. Áіñåêòðè- ñà êóòà A ïåðåòèíàє ñòîðîíóA BC ó òî÷öіC P. Çíàéäіòü BP і PC. 57. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà ñòîðîíîþ і äіàãîíàëÿìè. 58. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà äіàãîíàëÿìè і êóòîì ìіæ íèìè. Ìàë. 33

17. 17. 18 Розділ 1 59. Íà ñòîðîíàõ AD і BC ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 34) ïîçíà÷åíî òî÷êè M і K òàê, ùî ABM  CDK. Äîâåäіòü, ùî BMDK - ïàðàëåëîãðàì. 60. Íà ñòîðîíàõ AD і BC ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 34) ïîçíà÷åíî òî÷êè M і K òàê, ùî AM  KC. Äîâåäіòü, ùî BMDK - ïàðàëåëîãðàì. 61. Äîâåäіòü, ùî áіñåêòðèñè äâîõ ñóñіä- íіõ êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà âçàєìíî ïåð- ïåíäèêóëÿðíі. 62. Ó ïàðàëåëîãðàìі ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 60. Âèñîòà ïàðà- ëåëîãðàìà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, äіëèòü ïðîòèëåæíó ñòîðîíó íà âіäðіçêè 3 ñì і 5 ñì, ïî÷èíàþ÷è âіä âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëî- ãðàìà. 63. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD AB  6 ñì, B  120. Âèñîòà BK äіëèòü ñòîðîíó AD íà äâà ðіâíèõ âіäðіçêè. Çíàéäіòü ïåðè- ìåòð ïàðàëåëîãðàìà. 64. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà A ïðîâå- äåíî âèñîòè AL і AK. LAK  140. Çíàéäіòü êóò C ïàðà- ëåëîãðàìà. 65. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïðîâåäå- íî âèñîòè BM і BN. MBN  70. Çíàéäіòü êóò D ïàðàëå- ëîãðàìà. Високий рівень 66. Áіñåêòðèñà êóòà B ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіëèòü ñòîðîíó AD íà äâà âіäðіçêè AK і KD òàê, ùî AK - KD  1 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 40 ñì. 67. Áіñåêòðèñà êóòà A ïàðàëåëîãðàìàA ABCD äіëèòü ñòîðîíó BC íà äâà âіäðіçêè BK і KC òàê, ùî BK : KC  3 : 7. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 78 ñì. 68. Äâà êóòè ïàðàëåëîãðàìà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 5 : 7. Çíàéäіòü êóò ìіæ âèñîòàìè ïàðàëåëîãðàìà, ïðîâåäåíèìè ç âåðøèíè: 1) òóïîãî êóòà; 2) ãîñòðîãî êóòà. 69. Îäèí ç êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà íà 12 áіëüøèé çà äðóãèé. Çíàéäіòü êóò ìіæ âèñîòàìè ïàðàëåëîãðàìà, ïðîâåäåíèìè ç âåðøèíè: 1) ãîñòðîãî êóòà; 2) òóïîãî êóòà. Ìàë. 34

18. 18. 19 ЧОТИРИКУТНИКИ 70. Äîâåäіòü, ùî òðè âèñîòè òðèêóòíèêà àáî їõ ïðîäîâ- æåííÿ ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі (îðòîöåíòðі òðè- êóòíèêà). Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé AH1, BH2, CH3 - âèñîòè ãîñ- òðîêóòíîãî òðèêóòíèêà ABC (ìàë. 35). Ïðîâåäåìî ÷åðåç âåðøèíè òðèêóòíèêà ïðÿìі, ïàðàëåëüíі ïðîòèëåæíèì ñòîðîíàì. Îäåðæèìî òðèêóòíèê A1B1C1. ×îòèðèêóòíèê ABA1C - ïàðàëåëîãðàì (çà ïîáóäîâîþ). Òîìó BA1  AC. Àíàëîãі÷íî ACBC1 - ïàðàëåëîãðàì і C1B  AC. Îòæå, C1B  BA1, òî÷êà B - ñåðåäèíà A1C1. Îñêіëüêè BH2  AC і AC || A1C1, òî BH2  A1C1. Òîìó BH2 íàëåæèòü ñåðåäèííîìó ïåðïåíäèêóëÿðó äî ñòîðîíè A1C1 òðèêóòíèêà A1B1C1. Àíàëîãі÷íî AH1 і CH3 íàëåæàòü ñåðåäèííèì ïåðïåí- äèêóëÿðàì äî äâîõ іíøèõ ñòîðіí öüîãî òðèêóòíèêà. ßê âіäîìî, ñåðå- äèííі ïåðïåíäèêóëÿðè äî ñòîðіí òðèêóòíèêà ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. Îòæå, AH1, BH2 і CH3 ïåðåòè- íàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. 2) ßêùî {ABC - ïðÿìîêóòíèé, íàïðèêëàä C  90, òî î÷åâèäíî, ùî òðè âèñîòè ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі C. 3) ßêùî {ABC - òóïîêóòíèé, òî ïðîäîâæåííÿ òðüîõ âèñîò òðèêóòíèêà ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. Äîâåäåí- íÿ àíàëîãі÷íå äî äîâåäåííÿ ó ï. 1.  Вправи для повторення 71. Çíàéäіòü äðóãèé ãîñòðèé êóò ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíè- êà, ÿêùî ïåðøèé äîðіâíþє: 1) 20; 2) 65. 72. Äâі ñòîðîíè òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 7,2 ñì і 2,5 ñì. ßêîìó íàéáіëüøîìó öіëîìó ÷èñëó ñàíòèìåòðіâ ìîæå äîðіâíþâàòè òðåòÿ ñòîðîíà? 73. Çîâíіøíіé êóò òðèêóòíèêà ó 2 ðàçè áіëüøèé çà îäèí ç âíóòðіøíіõ êóòіâ, íå ñóìіæíèé ç íèì. Äîâåäіòü, ùî òðè- êóòíèê є ðіâíîáåäðåíèì. 74. ×è ìîæíà ïîáóäóâàòè ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 6 ñì, 6 ñì, 4 ñì і 2 ñì òà êóòîì 60 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíà- ìè? Ìàë. 35

19. 19. 20 Розділ 1 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 75. Çíàéäіòü ïåðèìåòð і ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþþòü: 1) 5 ñì і 7 ñì; 2) 2 äì і 14 ñì. Цікаві задачі для учнів неледачих 76. Âèäàòíі óêðàїíöі. Çàïèøіòü ïî ãîðèçîíòàëÿõ ïðіçâèùà âèäàòíèõ óêðàїíöіâ (çà ïîòðåáè âèêîðèñòàéòå äîäàòêîâó ëіòåðàòóðó òà Іíòåðíåò) і îòðèìàєòå ó âèäіëåíîìó ñòîâï÷è- êó іì'ÿ äàâíüîãðåöüêîãî ôіëîñîôà, ìàòåìàòèêà, ðåëіãіéíî- ãî òà ïîëіòè÷íîãî äіÿ÷à. 1 2 3 4 5 6 7 1. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé íàóêîçíàâåöü ó ãàëóçі çâàðþ- âàëüíèõ ïðîöåñіâ, äîêòîð òåõíі÷íèõ íàóê, Ãåðîé Óêðàїíè. 2. Óêðàїíñüêèé ïîëіòèê, ïóáëіöèñò, ëіòåðàòóðíèé êðèòèê, ïðîâіäíèê íàöіîíàëüíî-äåìîêðàòè÷íîãî âèçâîëüíîãî ðóõó êіíöÿ 1980-1990-õ ðîêіâ, Ãåðîé Óêðàїíè. 3. Óêðàїíñüêèé ïèñüìåííèê, ïîåò, ïóáëіöèñò, ïåðåêëàäà÷, ó÷åíèé, ãðîìàäñüêèé і ïîëіòè÷íèé äіÿ÷ (1856-1916). 4. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé ëіêàð ñâіòîâîãî ðіâíÿ, ó÷åíèé ó ãàëóçÿõ ìåäèöèíè, áіîêіáåðíåòèêè; éîãî іì'ÿì íàçâàíî Іíñòèòóò ñåðöåâî-ñóäèííîї õіðóðãії, ÿêèé âіí î÷îëþâàâ ïðîòÿãîì äâàäöÿòè ðîêіâ. 5. Ïîëіòè÷íèé äіÿ÷ і ïóáëіöèñò, îðãàíіçàòîð óêðàїíñüêîї íàóêè; Ãîëîâà Öåíòðàëüíîї Ðàäè Óêðàїíñüêîї Íàðîäíîї Ðåñïóáëіêè. 6. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé ïîåò, ïèñüìåííèê, õóäîæíèê, ãðîìàäñüêèé і ïîëіòè÷íèé äіÿ÷, ôîëüêëîðèñò, åòíîãðàô. 7. Óêðàїíñüêèé ïðîñâіòèòåëü-ãóìàíіñò, ôіëîñîô, ïîåò, ïåäàãîã.

20. 20. 21 ЧОТИРИКУТНИКИ 3. Прямокутником називають паралелограм, у якого всім кути прямі (мал. 36). Îñêіëüêè ïðÿìîêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì, òî âіí ìàє âñі âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. У прямокутнику протилежні сторони рівні. 2. Периметр прямокутника PABCDP = 2(D AB + BC). 3. Діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл. Êðіì öüîãî, ïðÿìîêóòíèê ìàє ùå âëàñòèâîñòі. 4. Діагоналі прямокутника рівні. Ìàë. 36 Ìàë. 37 Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé äàíî ïðÿìîêóòíèê ABCD (ìàë. 37). {ACD  {DBA (çà äâîìà êàòåòàìè). Òîìó AC  BD.  5. Точка перетину діагоналей прямокутника рівновіддале- на від усіх його вершин. Îñêіëüêè AC  BD, à AO  OC, BO  OD (ìàë. 37), òî, î÷å- âèäíî, ùî AO  BO  OC  OD. Çàäà÷à 1. Äіàãîíàëü äіëèòü êóò ïðÿìîêóòíèêà ó âіäíî- øåííі 2 : 3. Çíàéäіòü êóò ìіæ äіàãîíàëÿìè äàíîãî ïðÿìîêóò- íèêà. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) Íåõàé ADO : ODC  2 : 3 (ìàë. 37). Ïîçíà÷èìî ADO  2x, ODC  3x. Òîäі 2x + 3x  90, x  18. Òîìó ADO  2  18  36; ODC  3  18  54. 2) {OCD - ðіâíîáåäðåíèé (áî DO  OC). Òîìó OCD   ODC  54. Ó {OCD: COD  180 - 2  54  72. Îòæå, êóò ìіæ äіàãîíàëÿìè äàíîãî ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 72. Â і ä ï î â і ä ü. 72. ПРЯМОКУТНИК І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

21. 21. 22 Розділ 1 Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà). ßêùî ó ïàðàëåëî- ãðàìà: 1) óñі êóòè ðіâíі, àáî 2) îäèí êóò ïðÿìèé, àáî 3) äіàãî- íàëі ðіâíі, - òî ïàðàëåëîãðàì є ïðÿìîêóòíèêîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Îñêіëüêè âñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà ðіâ- íі, à їõ ñóìà äîðіâíþє 360, òî êîæíèé ç íèõ äîðіâíþє 360 : 4  90. À òîìó ïàðàëåëîãðàì є ïðÿìîêóòíèêîì. 2) Íåõàé êóò A ïàðàëåëîãðàìà ABCD ïðÿìèé (ìàë. 36). Òîäі C  A  90; B  D  180 - A  180 - 90   90. Îòæå, óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà ïðÿìі, à òîìó âіí є ïðÿ- ìîêóòíèêîì. 3) Íåõàé ó ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіàãîíàëі AC і BD ðіâíі (ìàë. 37). AD - ñïіëüíà ñòîðîíà òðèêóòíèêіâ ABD і DCA. Îòæå, {ABD  {DCA (çà òðüîìà ñòîðîíàìè). ÒîìóA BAD  CDA. Àëå æ ABC  ADC, BCD  BAD. Ó ïàðàëåëîãðàìà âñі êóòè ðіâíі ìіæ ñîáîþ. Òîìó âіí є ïðÿìîêóòíèêîì (çà ï. 1 öієї òåîðåìè).  Çàäà÷à 2. Ó êîëі іç öåíòðîì O ïðîâå- äåíî äіàìåòðè AC і BD (ìàë. 38). Âèçíà÷- òå âèä ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) Îñêіëüêè AO  OC, BO  OD (ÿê ðàäіóñè), òî, çà îçíàêîþ ïàðàëåëîãðàìà, ìàєìî, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Îñêіëüêè AC  BD (ÿê äіàìåòðè), òî, âèêîðèñòîâóþ÷è îçíàêó ïðÿìîêóò- íèêà, ìàєìî, ùî ïàðàëåëîãðàì ABCD є ïðÿìîêóòíèêîì. Â і ä ï î â і ä ü. Ïðÿìîêóòíèê. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíèêîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ïðÿìîêóòíèêà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà. Початковий рівень 77. ßêі іç ÷îòèðèêóòíèêіâ, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêàõ 39-43, є ïðÿìîêóòíèêàìè? 78. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëü AC äîðіâíþє 5 ñì. ßêà äîâæèíà äіàãîíàëі BD? Ìàë. 38

22. 22. 23 ЧОТИРИКУТНИКИ Ìàë. 39 Ìàë. 40 Ìàë. 41 Ìàë. 42 Ìàë. 43 79. Ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü 4 ñì і 7 ñì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 80. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþ- þòü 2 ñì і 5 ñì. 81. ßêùî ÷îòèðèêóòíèê є ïðÿìîêóòíèêîì, òî éîãî äіàãîíàëі ìіæ ñîáîþ ðіâíі. ×è ïðàâèëüíå îáåðíåíå òâåðäæåííÿ? Íà- âåäіòü ïðèêëàä. Середній рівень 82. Ñòîðîíà BC ïðÿìîêóòíèêà ABCD äîðіâíþє 8 ñì, à äіàãî- íàëü BD - 12 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðèêóòíèêà BOC, äå O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà. 83. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà ABCD. AC  12 ñì, ïåðèìåòð òðèêóòíèêà AOB äîðіâíþє 16 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíó AB. 84. (Óñíî.) Ùî ìîæíà ñêàçàòè ïðî âèä ïàðàëåëîãðàìà, êîëè âіäîìî, ùî: 1) æîäåí ç éîãî êóòіâ íå є ãîñòðèì; 2) æîäåí ç éîãî êóòіâ íå є òóïèì; 3) âіí ìàє òðè ðіâíèõ ìіæ ñîáîþ êóòè? 85. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó òðè êóòè ïðÿìі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ïðÿìîêóòíèê. 86. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі êóòè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ïðÿìîêóòíèê. 87. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, êîëè âіäîìî, ùî: 1) îäíà ç íèõ íà 2 ñì áіëüøà çà äðóãó; 2) ñòîðîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 88. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 50 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, êîëè âіäîìî, ùî: 1) îäíà ç íèõ íà 5 ñì ìåíøà âіä äðóãîї; 2) ñòîðîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 4 : 1.

23. 23. 24 Розділ 1 89. (Óñíî.) Íà ìàëþíêó 44 çîáðàæåíî ïðÿìîêóòíèê ABCD. Çíàéäіòü óñі ðіâíі ìіæ ñîáîþ êóòè. 90. Çíàéäіòü çà ìàëþíêîì 44: 1) 3, ÿêùî 8  52; 2) 2, ÿêùî 10  40. 91. Çíàéäіòü çà ìàëþíêîì 44: 1) 5, ÿêùî 2  37; 2) 12, ÿêùî 3  30. 92. Äіàãîíàëü ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü êóò ïðÿìîêóòíèêà íà äâà êóòè, îäèí ç ÿêèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé. Çíàéäіòü öі êóòè. Достатній рівень 93. Äîâåäіòü, ùî íàâêîëî ïðÿìîêóòíèêà ìîæíà îïèñàòè êîëî. 94. Çíàéäіòü êóò ìіæ ìåíøîþ ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ ïðÿìî- êóòíèêà, ÿêùî âіí: 1) íà 15 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè ìåíøîї ñòîðîíè; 2) íà 50 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè áіëüøîї ñòîðîíè. 95. Çíàéäіòü êóò ìіæ áіëüøîþ ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ ïðÿìî- êóòíèêà, ÿêùî âіí: 1) íà 90 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè áіëüøîї ñòîðîíè; 2) íà 40 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè ìåíøîї ñòîðîíè. 96. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі O, E - ñåðåäèíà AB, CAB  70. Çíàéäіòü DOE. 97. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі O. OP - áіñåêòðèñà òðèêóòíèêà AOB, DOP  130. Çíàéäіòü CAB. 98. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç ãîñòðèì êóòîì A äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ âA òî÷öі O. Íà âіäðіçêàõ AO і OC ïîçíà- ÷åíî òî÷êè M і N òàê, ùî OM  OB, ON  OD. Äîâåäіòü, ùî BMDN - ïðÿ- ìîêóòíèê. 99. Òî÷êè Â і D íàëåæàòü êîëó іç öåíò- ðîì Î, AC - äіàìåòð êîëà, AD  BC (ìàë. 45). Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïðÿ- ìîêóòíèê. Ìàë. 44 Ìàë. 45

24. 24. 25 ЧОТИРИКУТНИКИ 100. Ïåðïåíäèêóëÿðè, ïðîâåäåíі ç òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà äî äâîõ éîãî ñóñіäíіõ ñòîðіí, äîðіâíþþòü 4 ñì і 9 ñì. Âèçíà÷òå ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. 101. Áіñåêòðèñà îäíîãî ç êóòіâ ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü éîãî ñòîðîíó íàâïіë. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî áіëüøà ñòîðîíà äîðіâíþє 20 ñì. 102. Áіñåêòðèñà îäíîãî ç êóòіâ ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü éîãî ñòîðîíó íàâïіë. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ìåíøà ñòîðîíà äîðіâíþє 8 äì. Високий рівень 103. Íà ìàëþíêó 46 ABCD - ïðÿìîêóò- íèê, BK  AC, ACD  60. 1) OK  a. Çíàéäіòü: DB і AB; 2) AC  m. Çíàéäіòü: AK і CD. 104. Íà ìàëþíêó 46 ABCD - ïðÿìîêóò- íèê, BK  AC, ACD  60, AB  b. Çíàéäіòü BD і OK. 105. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC ç ãіïîòå- íóçîþ BC  35 ñì âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê KLMN òàê, ùî òî÷êè K і L ëåæàòü íà ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè M і N - íà êàòåòàõ. KL : KN  3 : 2. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿ- ìîêóòíèêà. 106. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê, êàòåò ÿêîãî äîðіâíþє 20 ñì, âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê, ÿêèé ìàє ç òðè- êóòíèêîì ñïіëüíèé ïðÿìèé êóò, à âåðøèíà ïðîòèëåæíîãî êóòà íàëåæèòü ãіïîòåíóçі. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. Вправи для повторення 107. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïàðàëåëîãðàìà ABCD ïðî- âåäåíî âèñîòó BK. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî . 108. 1) Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ òðèêóòíèêà є ñåðåä- íіì àðèôìåòè÷íèì äâîõ іíøèõ êóòіâ. Çíàéäіòü öåé êóò. 2) Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà є ñåðåäíіì àðèôìåòè÷íèì òðüîõ іíøèõ êóòіâ. Çíàéäіòü öåé êóò. 109. ×åðåç òî÷êó P, ùî íàëåæèòü âíóòðіøíіé îáëàñòі êóòà ABC, ïðîâåäіòü ïðÿìó òàê, ùîá її âіäðіçîê, ÿêèé ëåæèòü ìіæ ñòîðîíàìè êóòà, äіëèâñÿ òî÷êîþ Ð íàâïіë. Ìàë. 46

25. 25. 26 Розділ 1 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 110. Äàíî: AB  BC  CD  DA (ìàë. 47). Äîâåñòè: A  C, B  D. Цікаві задачі для учнів неледачих 111. ×è ìîæíà ðîçðіçàòè êâàäðàò ðîçìі- ðîì 6 6 íà ïðÿìîêóòíèêè ðîçìіðîì 1  4? 4. Ромбом називають паралелограм, у якого всі стороним рівні (мал. 48). Îñêіëüêè ðîìá є ïàðàëåëîãðàìîì, òî âіí ìàє âñі âëàñòè- âîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. Сума будь-яких двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. 2. У ромба протилежні кути рівні. 3. Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл. 4. Периметр ромба PABCDP = 4D AB. Êðіì òîãî, ðîìá ìàє ùå òàêó âëàñòèâіñòü. 5. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і ділять його кути навпіл. Ìàë. 48 Ìàë. 49 Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé AC і BD - äіàãîíàëі ðîìáà ABCD (ìàë. 49), O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé. Îñêіëüêè AB  AD і DO  OB, òî AO - ìåäіàíà ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà ABD, ïðîâåäåíà äî îñíîâè BD. Òîìó AO є òàêîæ âèñîòîþ і áіñåêòðè- ñîþ òðèêóòíèêà ABD. Ìàë. 47 РОМБ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

26. 26. 27 ЧОТИРИКУТНИКИ Îòæå, AC  BD і DAO  BAO.  Àíàëîãі÷íî ìîæíà äîâåñòè, ùî äіàãîíàëü AC äіëèòü íàâïіë êóò DCB, à äіàãîíàëü BD äіëèòü íàâïіë êóòè ABC і ADC. Çàäà÷à 1. Êóò ìіæ âèñîòîþ і äіàãîíàëëþ ðîìáà, ïðîâåäåíèìè ç îäíієї âåðøèíè, äîðіâíþє 28. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. BD - äіàãîíàëü ðîìáà ABCD, à BK - éîãî âèñîòà (ìàë. 50), KBD  28 (çà óìîâîþ). Ìàë. 50 1) Ó {BKD BDK  90 - 28  62. 2) Îñêіëüêè DB äіëèòü êóò ADC íàâïіë, òî ADC   2  62  124. 3) Òîäі ABC  ADC  124; A  C  180 - 124  56. Â і ä ï î â і ä ü. 124, 56, 124, 56. Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ðîìáà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ðîìáà). ßêùî â ïàðàëåëîãðàìі: 1) äâі ñóñіäíі ñòîðîíè ðіâíі, àáî 2) äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ ïіä ïðÿìèì êóòîì, àáî 3) äіàãîíàëü äіëèòü íàâïіë êóòè ïàðàëå- ëîãðàìà, - òî ïàðàëåëîãðàì є ðîìáîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ABCD - ïàðàëåëîãðàì (äèâ. ìàë. 49). Îñêіëüêè AB  AD (çà óìîâîþ) і AB  CD, AD  BC (çà âëàñòèâіñòþ ïàðàëåëîãðàìà), òî AB  AD  BC  ÑD. Îòæå, ABCD - ðîìá. 2) Íåõàé AC  BD (ìàë. 49). Îñêіëüêè OB  OD (çà âëàñ- òèâіñòþ ïàðàëåëîãðàìà), òî {AOB  {AOD (çà äâîìà êàòåòà- ìè). Òîìó AB  AD. Çà ï. 1 öієї òåîðåìè ABCD - ðîìá. 3) Äіàãîíàëü DB äіëèòü íàâïіë êóò D ïàðàëåëîãðàìà ABCD, òîáòî ADB  BDC (çà óìîâîþ). Îñêіëüêè ïàðàëåëüíі ïðÿìі AB і DC ïåðåòíóëè ñі÷íîþ DB, òî ABD  BDC (ÿê âíóò- ðіøíі ðіçíîñòîðîííі). Îòæå, ADB  ABD. Òîìó çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà {ABD - ðіâíîáåäðåíèé і AD  AB. Çà ï. 1 öієї òåîðåìè ABCD - ðîìá. 

27. 27. 28 Розділ 1 Çàäà÷à 2. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі ñòîðîíè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ðîìá. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé AB  BC  CD  DA (äèâ. ìàë. 48). 1) Îñêіëüêè â ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðî- íè ïîïàðíî ðіâíі, òî çà îçíàêîþ ïàðàëåëîãðàìà ìàєìî, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Ó ïàðàëåëîãðàìà ABCD ñóñіäíі ñòîðîíè ðіâíі. Òîìó ABCD - ðîìá (çà îçíàêîþ ðîìáà).  Слово "ромб" грецького походження, у давнину воно означало тіло, що обертається, - веретено, дзиґу. Ромб тоді пов'язували з перерізом веретена, на яке намотано нитки. У "Началах" Евкліда термін "ромб" зустрічається лише один раз, а властивості ромба Евклід взагалі не розглянув. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ðîìáîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ðîìáà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ðîìáà. Початковий рівень 112. (Óñíî.) ßêі іç ÷îòèðèêóòíèêіâ íà ìàëþíêàõ 51-55 є ðîì- áàìè? Ìàë. 51 Ìàë. 52 Ìàë. 53 Ìàë. 54 Ìàë. 55 113. Íàêðåñëіòü ðîìá ABCD, ó ÿêîãî êóò B òóïèé. 114. Íàêðåñëіòü ðîìá ABCD, ó ÿêîãî êóò A ãîñòðèé. 115. Ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 28 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíó. 116. Ñòîðîíà ðîìáà äîðіâíþє 5 äì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 117. Ãîñòðèé êóò ðîìáà äîðіâíþє 50. ßêèé êóò óòâîðþє äіàãîíàëü, ïðîâåäåíà іç öüîãî êóòà, çі ñòîðîíîþ ðîìáà? 118. Òóïèé êóò ðîìáà äîðіâíþє 110. ßêèé êóò óòâîðþє äіàãî- íàëü, ïðîâåäåíà іç öüîãî êóòà, çі ñòîðîíîþ ðîìáà?

28. 28. 29 ЧОТИРИКУТНИКИ 119. Äіàãîíàëü ðîìáà óòâîðþє çі ñòîðîíîþ êóò 60. Çíàéäіòü òóïèé êóò ðîìáà. 120. Äіàãîíàëü ðîìáà óòâîðþє çі ñòîðîíîþ êóò 20. Çíàéäіòü ãîñòðèé êóò ðîìáà. Середній рівень 121. Ó ðîìáі ABCD êóò A äîðіâíþє 36. Çíàéäіòü êóòè òðèêóò- íèêà AOB, äå O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé. 122. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ðîìáà ABCD, B  118. Çíàéäіòü êóòè òðèêóòíèêà BOC. 123. Ñóìà äîâæèí òðüîõ ñòîðіí ðîìáà äîðіâíþє 15 ñì. Çíàé- äіòü éîãî ïåðèìåòð. 124. Ñóìà äîâæèí äâîõ ñòîðіí ðîìáà äîðіâíþє 18 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ðîìáà. 125. ABCD - ðîìá, 2  66 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 1. 126. ABCD - ðîìá, 1  58 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 2. 127. ABCD - ðîìá, 1  55 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 3. 128. ABCD - ðîìá, 3  50 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 1. 129. Ó ðîìáі ABCD AB  BD. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 130. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü ðîìá і ïàðàëåëî- ãðàì? 131. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ éîãî êóòіâ äîðіâíþє 80; 2) îäèí ç íèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé. 132. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ éîãî êóòіâ äîðіâíþє 210; 2) îäèí ç íèõ íà 50 ìåíøèé âіä äðóãîãî. 133. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: 1) ÿêùî â ÷îòèðèêóòíèêó äіàãîíàëі ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є ðîìáîì; 2) ÿêùî â ÷îòèðèêóòíèêó äіàãîíàëі íå ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí íå ìîæå áóòè ðîìáîì; 3) іñíóє ðîìá, ÿêèé є ïðÿìîêóòíèêîì; 4) æîäåí ïðÿìîêóòíèê íå є ðîìáîì? Ìàë. 56

29. 29. 30 Розділ 1 Достатній рівень 134. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãî- íàëÿìè êóòè, ðіçíèöÿ ÿêèõ äîðіâíþє 10. 135. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãî- íàëÿìè êóòè, ÿêі âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 136. Ïîáóäóéòå ðîìá: 1) çà ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ; 2) çà äіàãîíàëÿìè. 137. Ïîáóäóéòå ðîìá çà ñòîðîíîþ і êóòîì. 138. Ó ðîìáі ABCD ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïðîâåäåíî âèñî- òè BM і BN. Äîâåäіòü, ùî BM  BN. 139. Ó ðîìáі ABCD ç âåðøèí òóïèõ êóòіâ ïðîâåäåíî âèñîòè BK і DL. Äîâåäіòü, ùî BK  DL. 140. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà ðîìáà, óòâî- ðþþòü ìіæ ñîáîþ êóò 110. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 141. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè òóïîãî êóòà ðîìáà, óòâîðþ- þòü ìіæ ñîáîþ êóò 50. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. Високий рівень 142. Äіàãîíàëü ðîìáà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, óòâî- ðþє ç âèñîòîþ, ïðîâåäåíîþ іç öієї ñàìîї âåðøèíè, êóò 30. Ìåíøà äіàãîíàëü ðîìáà äîðіâíþє a ñì. Çíàéäіòü: 1) êóòè ðîìáà; 2) ïåðèìåòð ðîìáà. 143. Ó ðîìáі âèñîòà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, äіëèòü ñòîðîíó ðîìáà íàâïіë. Çíàéäіòü: 1) êóòè ðîìáà; 2) ïåðèìåòð ðîìáà, ÿêùî éîãî ìåíøà äіàãîíàëü äîðіâíþє b ñì. 144. Íà äіàãîíàëі AC ðîìáà ABCD ïîçíà÷åíî òî÷êè M іM N òàêі,N ùî AM  CN. Äîâåäіòü, ùî ÷îòèðèêóòíèê DMBN є ðîìáîìN (ðîçãëÿíüòå äâà âèïàäêè ðîçìіùåííÿ òî÷îê M іM N). 145. Äîâåäіòü, ùî ñåðåäèíè ñòîðіí ïðÿìîêóòíèêà є âåðøèíà- ìè ðîìáà. 146. Ó ðіâíîñòîðîííіé òðèêóòíèê ABC âïèñàíî ðîìá AMNK òàê, ùî òðèêóòíèê і ðîìá ìàþòü ñïіëüíèé êóò A, à òî÷êà N ëåæèòü íà ñòîðîíі BC. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðèêóòíèêà, ÿêùî ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 40 ñì.

30. 30. 31 ЧОТИРИКУТНИКИ Вправи для повторення 147. Ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 5 : 2. Çíàé- äіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî ðіçíèöÿ öèõ ñòîðіí äîðіâíþє 15 ñì. 148. Îäèí ç êóòіâ òðèêóòíèêà äîðіâíþє ñóìі äâîõ іíøèõ. Çíàéäіòü íàéáіëüøó ñòîðîíó öüîãî òðèêóòíèêà, ÿêùî ìåäіàíà, ïðîâåäåíà äî íåї, äîðіâíþє 5 ñì. 149. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє 2p2 ñì. ×è ìîæå îäíà ç éîãî ñòîðіí äîðіâíþâàòè: 1) (p(( - 1) ñì; 2) p ñì; 3) (p(( + 1) ñì? 150. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD áіñåêòðèñà êóòà A ïåðåòèíàє áіñåêòðèñè êóòіâ B і D ïіä ïðÿìèì êóòîì. Âèçíà÷òå âèä ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 151. Çíàéäіòü ïåðèìåòð і ïëîùó êâàäðàòà, ñòîðîíà ÿêîãî äî- ðіâíþє: 1) 5 ñì; 2) 2,1 äì; 3) ì; 4) äì. Цікаві задачі для учнів неледачих 152. (Êèїâñüêà ìіñüêà îëіìïіàäà, 1987 ð.) Âïèñàíå ó òðèêóò- íèê ABC êîëî äîòèêàєòüñÿ äî ñòîðîíè BC ó òî÷öі K. Äîâåäіòü, ùî âіäðіçîê AK äîâøèé çà äіàìåòð êîëà. 5. Квадратом називають прямокутник, у якого всі стороним рівні. Íà ìàë. 57 çîáðàæåíî êâàäðàò ABCD. Ïðÿìîêóòíèê є ïàðà- ëåëîãðàìîì, òîìó і êâàäðàò - ïàðàëåëîãðàì, ó ÿêîãî âñі ñòî- ðîíè ðіâíі, òîáòî âіí є і ðîìáîì. Îòæå, êâàäðàò ìàє âëàñòè- âîñòі ïðÿìîêóòíèêà і ðîìáà. Ñôîðìóëþєìî âëàñòèâîñòі êâàäðàòà. 1. Усі кути квадрата прямі. 2. Периметр квадрата PABCDP = 4D AB. 3. Діагоналі квадрата між собою рівні (мал. 58). КВАДРАТ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

31. 31. 32 Розділ 1 4. Діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл (мал. 58). 5. Діагоналі квадрата ділять його кути навпіл, тобто утво- рюють кути 45° зі сторонами квадрата (мал. 58). 6. Точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від усіх його вершин: AO =O BO =O CO =O DO. Ìàë. 57 Ìàë. 58 Ìàë. 59 Çàäà÷à 1. Òî÷êè K і M íàëåæàòü âіäïîâіäíî äіàãîíàëÿì BD і AC êâàäðàòà ABCD, ïðè÷îìó , . Äîâå- äіòü, ùî {ADM  {BAK (ìàë. 59). Ä î â å ä å í í ÿ. 1) MAD  ABK  45, AD  AB (ÿê ñòîðîíè êâàäðàòà). 2) Îñêіëüêè AC  BD (ÿê äіàãîíàëі êâàäðàòà) і , , òî AM  BK. 3) Òîìó {ADM  {BAK (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè).  Ðîçãëÿíåìî îçíàêè êâàäðàòà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè êâàäðàòà). 1) ßêùî äіàãîíàëі ïðÿ- ìîêóòíèêà âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є êâàäðàòîì. 2) ßêùî äіàãîíàëі ðîìáà ìіæ ñîáîþ ðіâíі, òî âіí є êâàäðàòîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Ïðÿìîêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì, à ïàðàëåëîãðàì іç âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíèìè äіàãîíàëÿìè є ðîìáîì. Îòæå, ó çàäàíîãî ïðÿìîêóòíèêà âñі ñòîðîíè ðіâíі, à òîìó âіí є êâàäðàòîì. 2) Ðîìá є ïàðàëåëîãðàìîì, à ïàðàëåëîãðàì ç ðіâíèìè äіàãî- íàëÿìè є ïðÿìîêóòíèêîì. Îòæå, ó ðîçãëÿäóâàíîãî ðîìáà âñі êóòè ïðÿìі, à òîìó âіí є êâàäðàòîì.  Çàäà÷à 2. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі ñòîðîíè ðіâíі і âñі êóòè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - êâàäðàò.

32. 32. 33 ЧОТИРИКУТНИКИ Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Îñêіëüêè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі êóòè ðіâíі, òî, çà îçíàêîþ ïðÿìîêóòíèêà, âіí є ïðÿìîêóòíèêîì. 2) Îñêіëüêè ó ïðÿìîêóòíèêà âñі ñòîðîíè ðіâíі, òî âіí є êâàäðàòîì.  Термін "квадрат" походить від латинського quadratum (quadrate - зробити чотирикутним). Відомий історик математики Д. Д. Мордухай-Болтовський (1876-1952) писав: "Першим чотирикутником, з яким познайомилася геометрія, був квадрат". 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü êâàäðàòîì? 2. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі êâàäðàòà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè êâàäðàòà. Початковий рівень 153. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 20 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíó. 154. Ñòîðîíà êâàäðàòà äîðіâíþє 7 äì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 155. (Óñíî.) Íà ìàë. 58 çîáðàæåíî êâàäðàò ABCD. Íàçâіòü ðіâíі ìіæ ñîáîþ âіäðіçêè íà öüîìó ìàëþíêó. 156. ßêùî ÷îòèðèêóòíèê є êâàäðàòîì, òî éîãî äіàãîíàëі ðіâíі і âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі. ×è ïðàâèëüíå îáåðíåíå òâåð- äæåííÿ? Íàâåäіòü ïðèêëàä. Середній рівень 157. Òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà çíàõîäèòüñÿ íà âіä- ñòàíі 2 ñì âіä îäíієї ç éîãî âåðøèí. Çíàéäіòü ñóìó äîâæèí äіàãîíàëåé öüîãî êâàäðàòà. 158. Ñóìà äîâæèí äіàãîíàëåé êâàäðàòà äîðіâíþє 32 ñì. Çíàé- äіòü âіäñòàíü âіä òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà äî îäíієї ç éîãî âåðøèí. 159. Ñóìà äîâæèí äâîõ ñòîðіí êâàäðàòà äîðіâíþє 10 ñì. Çíàé- äіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 160. Ñóìà äîâæèí òðüîõ ñòîðіí êâàäðàòà äîðіâíþє 18 äì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 161. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü êâàäðàò і ðîìá?

33. 33. 34 Розділ 1 162. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü êâàäðàò і ïðÿìî- êóòíèê? 163. Ðіçíèöÿ ìіæ ïåðèìåòðîì êâàäðàòà і éîãî ñòîðîíîþ äîðіâ- íþє 18 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíó êâàäðàòà òà éîãî ïåðèìåòð. 164. Ñóñіäíі ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà ðіâíі. Äîâåäіòü, ùî âіí є êâàäðàòîì. 165. Îäèí ç êóòіâ ðîìáà - ïðÿìèé. Äîâåäіòü, ùî öåé ðîìá є êâàäðàòîì. 166. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: 1) êîæíèé êâàäðàò є ïðÿìîêóòíèêîì; 2) іñíóє êâàäðàò, ÿêèé íå є ðîìáîì; 3) êîæíèé ðîìá є êâàäðàòîì; 4) êîæíèé êâàäðàò є ðîìáîì; 5) áóäü-ÿêèé ïðÿìîêóòíèê є êâàäðàòîì; 6) âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà êâàäðàòà äî éîãî ñòîðîíè є ñòà- ëèì äëÿ âñіõ êâàäðàòіâ? 167. ABCD - êâàäðàò, EF  BD (ìàë. 60). Çíàéäіòü BFE. 168. ABCD - êâàäðàò, BOC  70(ìàë. 61). Çíàéäіòü OKA. Ìàë. 60 Ìàë. 61 Достатній рівень 169. Ïîáóäóéòå êâàäðàò: 1) çà éîãî ïåðèìåòðîì; 2) çà éîãî äіàãîíàëëþ. 170. Ïîáóäóéòå êâàäðàò çà ñóìîþ éîãî äіàãîíàëåé. 171. Òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà âіääàëåíà âіä éîãî ñòîðîíè íà 3 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 172. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 32 ñì. Çíàéäіòü âіäñòàíü âіä òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà äî éîãî ñòîðіí.

34. 34. 35 ЧОТИРИКУТНИКИ 173. ABCD - êâàäðàò, AE  FC (ìàë. 62). Äîâåäіòü, ùî BEDF -F ðîìá. 174. ABCD - êâàäðàò, AE  AF  CG  CH (ìàë. 63). Äîâåäіòü, ùî EFGH - ïðÿìîêóòíèê. Ìàë. 62 Ìàë. 63 175. Äî êîëà іç öåíòðîì ó òî÷öі O ç òî÷êè A ïðîâåäåíî äâі âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі äîòè÷íі AB і AC, B і C - òî÷êè äîòèêó. Äîâåäіòü, ùî ABOC - êâàäðàò. Високий рівень 176. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC (C  90) âïèñàíî êâàäðàò CMNK òàê, ùî ïðÿìèé êóò ó íèõ ñïіëü- íèé, à òî÷êà N íàëåæèòü ñòîðîíі AB. Êàòåò òðèêóòíèêà äîðіâíþє b ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 177. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC (C  90) âïèñàíî êâàäðàò KMNL òàê, ùî òî÷êè K і M ëåæàòü íà ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè L і N - íà êàòåòàõ AC і BC âіäïîâіäíî. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 12 ñì. Çíàéäіòü ãіïîòåíóçó òðèêóòíèêà. 178. Íà ñòîðîíàõ êâàäðàòà çîâíі ïîáóäîâàíî ðіâíîñòîðîííі òðèêóòíèêè. Äîâåäіòü, ùî âåðøèíè òðèêóòíèêіâ, ÿêі íå є âåðøèíàìè çàäàíîãî êâàäðàòà, є âåðøèíàìè іíøîãî êâàä- ðàòà. Вправи для повторення 179. Ó ðîìáі ABCD äіàãîíàëü óòâîðþє ç îäíієþ çі ñòîðіí êóò 30. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 180. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD A : B : C : D   1 : 3 : 4 : 10. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì є öåé ÷îòèðèêóòíèê?

35. 35. 36 Розділ 1 181. Áіñåêòðèñà êóòà B ïðÿìîêóòíèêà ABCD äіëèòü ñòîðîíó AD íà âіäðіçêè AK іK KD òàê, ùî AK :K KD  3 : 5. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 110 ñì. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 182. 1) Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê, äâі ñòîðîíè ÿêîãî ìіæ ñî- áîþ ïàðàëåëüíі, à äâі іíøі - íåïàðàëåëüíі. 2) ßêà íàéáіëüøà êіëüêіñòü ãîñòðèõ êóòіâ ìîæå áóòè â òàêîìó ÷îòèðèêóòíèêó? Цікаві задачі для учнів неледачих 183. Î 12-é ãîäèíі ãîäèííà і õâèëèííà ñòðіëêè çáіãàþòüñÿ. ×åðåç ÿêó íàéìåíøó êіëüêіñòü õâèëèí ñòðіëêè çíîâó çáіæàòüñÿ? Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 1 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäåé (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âàðіàíò âіäïîâіäі. 1. Óêàæіòü âіäðіçîê, ùî є äіàãîíàëëþ ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. À. AB; Á. BD; Â. BC; Ã. AD. 2. Çíàéäіòü òóïèé êóò ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 35. À. 125; Á. 135; Â. 145; Ã. 155. 3. Çíàéäіòü ñòîðîíó êâàäðàòà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 36 ñì. À. 4 ñì; Á. 6 ñì; Â. 9 ñì; Ã. 12 ñì. 4. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 24 ñì, à îäíà ç éîãî ñòîðіí íà 2 ñì áіëüøà çà äðóãó. Çíàéäіòü äîâæèíó ìåíøîї ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà. À. 5 ñì; Á. 6 ñì; Â. 7 ñì; Ã. 8 ñì. 5. ABCD - ðîìá; A  50 (ìàë. 64). Çíàéäіòü ABD. À. 55; Â. 75; Á. 50; Ã. 65. 6. Óêàæіòü ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: À. ÿêùî äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà âçà- єìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є ðîìáîì; Á. âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà ðîìáà äî éîãî ñòîðîíè є ñòàëèì äëÿ âñіõ ðîìáіâ; Ìàë. 64

36. 36. 37 ЧОТИРИКУТНИКИ Â. ÿêùî äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà ðіâíі, òî âіí є ïðÿìîêóò- íèêîì; Ã. âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà ïðÿìîêóòíèêà, ÿêèé íå є êâàäðàòîì, äî éîãî íàéáіëüøîї ñòîðîíè є íåçìіííèì äëÿ âñіõ ïðÿìîêóòíèêіâ. 7. Çíàéäіòü íàéáіëüøèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ó ÿêîãî ãðà- äóñíі ìіðè êóòіâ ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 2; 3; 5 і 8. À. 120; Á. 130; Â. 150; Ã. 160. 8. Âèñîòè, ÿêі ïðîâåäåíî ç âåðøèíè òóïîãî êóòà ïàðàëåëî- ãðàìà, óòâîðþþòü ìіæ ñîáîþ êóò 30. Çíàéäіòü òóïèé êóò ïàðàëåëîãðàìà. À. 120; Á. 130; Â. 150; Ã. 160. 9. Çíàéäіòü ãîñòðèé êóò ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãîíàëÿìè êóòè, ðіçíèöÿ ÿêèõ äîðіâíþє 40. À. 25; Á. 30; Â. 50; Ã. 60. 10. Áіñåêòðèñà êóòà D ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіëèòü ñòî- ðîíó AB íà âіäðіçêè AK і KB òàê, ùî AK : KB  1 : 3. Çíàéäіòü AB, ÿêùî ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 60 ñì. À. 26 ñì; Á. 24 ñì; Â. 20 ñì; Ã. 15 ñì. 11. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà A ðîìáà ABCD ïðîâåäåíî âèñîòó AK. CAK  30, AC  6 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ðîìáà. À. 18 ñì; Á. 24 ñì; Â. 30 ñì; Ã. 36 ñì. 12. Ó {ABC (C  90, AC  ÂC) âïèñàíî êâàäðàò KLMN òàê, ùî K  AB; L  AB; M  CB; N  AC. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà, ÿêùî AB  12 ñì. À. 24 ñì; Á. 20 ñì; Â. 12 ñì; Ã. 16 ñì. Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü äî § 1-5 1. Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê MNPL і ïðîâåäіòü ó íüîìó äіà- ãîíàëі. 2. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 80. 3. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà äîðіâíþє 7 ñì. 4. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâ- íþє 18 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî îäíà ç íèõ íà 1 ñì áіëüøà çà äðóãó. 5. ABCD - ðîìá. ABD  50. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 6. Íà ìàëþíêó 65 ABD  BDC, AB  DC. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ìàë. 65

37. 37. 38 Розділ 1 7. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 2, 3, 4, 6. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì âіí є? 8. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà ðîìáà, óòâîðþ- þòü ìіæ ñîáîþ êóò 120. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 9. Áіñåêòðèñà êóòà À ïàðàëåëîãðàìàÀ ABCD äіëèòü ñòîðîíó BC íà âіäðіçêè BK і KC òàê, ùî BK : KC  4 : 3. Çíàéäіòü ñòîðî- íè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 88 ñì. Äîäàòêîâі çàâäàííÿ 10. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC ç ãіïî- òåíóçîþ BC  23 ñì âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê KLMN òàê, ùî òî÷êè K і L íàëåæàòü ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè M і N - êàòåòàì. Ñòîðîíà KL ïðÿìîêóòíèêà íà 2 ñì áіëüøà çà ñòîðîíó LM. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. 11. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà Â ðîìáà ABCD ïðîâåäåíî âèñî- òó ÂÌ, DÂÌ  30. Ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü ìåíøó äіàãîíàëü ðîìáà. 6. Трапецією називають чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні. Íà ìàëþíêó 66 çîáðàæåíî òðàïå- öіþ ABCD. Ïàðàëåëüíі ñòîðîíè òðàïåöії íàçèâàþòü îñíîâàìè, à íå ïàðàëåëüíі - áі÷íèìè ñòîðîíàìè. Íà ìàëþíêó 66 AD і BC - îñíîâè òðàïåöії, AB і CD - її áі÷íі ñòîðîíè. Ðîçãëÿíåìî äåÿêі âëàñòèâîñòі òðàïåöії. 1. Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорів- нює 180. Îñêіëüêè AD || BC, òî A + B  180 (ÿê ñóìà âíóòðіøíіõ îäíîñòîðîííіõ êóòіâ). Àíàëîãі÷íî C + D  180. 2. Трапеція є опуклим чотирикутником. Îñêіëüêè A + B  180, òî A < 180, B < 180. Àíà- ëîãі÷íî C < 180, D < 180. Îòæå, òðàïåöіÿ - îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê. ТРАПЕЦІЯ Ìàë. 66

38. 38. 39 ЧОТИРИКУТНИКИ Висотою трапеції називають перпендикуляр, проведе-ї ний з будь-якої точки основи трапеції до прямої, що міс- тить протилежну основу. Íàé÷àñòіøå âèñîòó òðàïåöії ïðîâîäÿòü ç її âåðøèíè. Íà ìàëþíêó 67 BK - âèñîòà òðàïåöії ABCD. Òðàïåöіþ íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíîþ, ÿêùî îäèí ç її êóòіâ - ïðÿìèé. Íà ìàëþíêó 68 - ïðÿìîêóòíà òðàïåöіÿ ABCD (A  90). Î÷åâèäíî, ùî B  90. ÀÂ є ìåíøîþ áі÷íîþ ñòî- ðîíîþ ïðÿìîêóòíîї òðàïåöії і її âèñîòîþ. Ìàë. 67 Ìàë. 68 Òðàïåöіþ íàçèâàþòü ðіâíîáі÷íîþ, ÿêùî її áі÷íі ñòîðîíè ðіâíі. Íà ìàëþíêó 69 - ðіâíîáі÷íà òðàïåöіÿ ABCD. Ðîçãëÿíåìî äåÿêі âàæëèâі âëàñòèâîñòі ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії. 1. У рівнобічній трапеції кути при основі між собою рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé â òðàïåöії ABCD ÀB  CD. Ïðî- âåäåìî âèñîòè òðàïåöії BK і CM ç âåðøèí її òóïèõ êóòіâ Â і Ñ (ìàë. 70). Óòâîðèâñÿ ïðÿìîêóòíèê BKMC. Òîìó BK  CM. Ìàë. 69 Ìàë. 70 2) {ABK  {DCM (çà êàòåòîì і ãіïîòåíóçîþ). Òîìó BAD  CDA. 3) Òàêîæ ABK  DCM. Îñêіëüêè KBC  MCB   90, òîABC  ABK + 90 i DCB DCM + 90. Òîìó ABC  DCB. 

39. 39. 40 Розділ 1 2. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. Ðîçãëÿíåìî ìàëþ- íîê 71. BAD  CDA (ÿê êóòè ïðè îñíîâі ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії), AB  DC, AD - ñïіëüíà ñòîðîíà òðèêóòíèêіâ ABD і DCÀ. Òîìó {ABD  {DCA (çà äâîìà ñòî- ðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Îòæå, AC  ÂD. Çàäà÷à. Î - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії ABCD ç îñíîâàìè AD і BC (ìàë. 71). Äîâåäіòü, ùî AÎ  ÎD, BÎ  ÎC. Ä î â å ä å í í ÿ. {ABD  {DCA (äîâåäåíî âèùå). Òîìó ODA  OAD. Çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà - òðè- êóòíèê AOD - ðіâíîáåäðåíèé. Òîìó AÎ  ÎD. Îñêіëüêè AC  ÂD і AÎ  ÎD, òî ÎC  BÎ (áî OC  AC - AO, BO  BD - OD).  Ò å î ð å ì à (îçíàêà ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії). ßêùî ó òðà- ïåöії êóòè ïðè îäíіé îñíîâі ðіâíі, òî òðàïåöіÿ - ðіâíîáі÷íà. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ó òðàïåöії ABCD êóòè ïðè áіëü- øіé îñíîâі AD ðіâíі (ìàë. 70), òîáòî BAD  CDA. Ïðîâåäå- ìî âèñîòè BK і CM, ÿêі ðіâíі ìіæ ñîáîþ. 2) Òîäі {BAK  {CDM (çà êàòåòîì і ïðîòèëåæíèì êóòîì).M Òîìó AB  DC. Òðàïåöіÿ ðіâíîáі÷íà, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.  Термін "трапеція" грецького походження (грецькою мовою "трапе- дзіон" означає "столик", зокрема столик для обіду; слова "трапеція" і "трапеза" - однокореневі). У своїй праці "Начала" Евклід під терміном "трапеція" розумів будь- який чотирикутник, який не є паралелограмом. Більшість математиків Середньовіччя використовувала термін "трапеція" з тим самим змістом. Трапеція в сучасному розумінні вперше зустрічається у давньогрець- кого математика Посидонія (I ст.), але лише починаючи з XVIII ст. цей термін став загальновживаним для чотирикутників, у яких дві сторони паралельні, а дві інші - непаралельні. Ìàë. 71 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü òðàïåöієþ? 2. Ùî íàçèâàþòü îñíîâàìè òðàïåöії, áі÷íèìè ñòîðîíàìè òðàïåöії? 3. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі òðàïåöії. 4. Ùî òàêå âèñîòà òðàïåöії?

40. 40. 41 ЧОТИРИКУТНИКИ Початковий рівень 184. Íà ÿêèõ ç ìàëþíêіâ 72-76 çîáðàæåíî òðàïåöіþ? Ìàë. 72 Ìàë. 73 Ìàë. 74 Ìàë. 75 Ìàë. 76 185. Íàêðåñëіòü òðàïåöіþ PKML (PK || ML). Óêàæіòü îñíîâè òðàïåöії, áі÷íі ñòîðîíè òðàïåöії. 186. Íàêðåñëіòü òðàïåöіþ DMFK (DM || FK). Óêàæіòü îñíîâè òðàïåöії, áі÷íі ñòîðîíè òðàïåöії. 187. Íàêðåñëіòü ïðÿìîêóòíó òðàïåöіþ ABCD (A  B  90). 188. Íàêðåñëіòü ðіâíîáі÷íó òðàïåöіþ ABCD (AB((  CD). 189. Äâà êóòè òðàïåöії äîðіâíþþòü 20 і 100. Çíàéäіòü äâà іíøèõ її êóòè. 190. Äâà êóòè òðàïåöії äîðіâíþþòü 110 і 40. Çíàéäіòü äâà іíøèõ її êóòè. Середній рівень 191. Îñíîâè ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії äîðіâíþþòü 8 ñì і 10 ñì, à ïåðèìåòð 28 ñì. Çíàéäіòü áі÷íó ñòîðîíó òðàïåöії. 192. Îñíîâè ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії äîðіâíþþòü 7 ñì і 5 ñì, à áі÷íà ñòîðîíà - 3 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðàïåöії. 193. ×è іñíóє òðàïåöіÿ, ó ÿêîї äâà ïðîòèëåæíèõ êóòè: 1) ãîñòðі; 2) ïðÿìі; 3) òóïі? Ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі íàêðåñëіòü òàêó òðàïåöіþ. 194. ×è іñíóє òðàïåöіÿ, ó ÿêîї: 1) îñíîâè ìіæ ñîáîþ ðіâíі; 2) òðè ñòîðîíè ìіæ ñîáîþ ðіâíі? Ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі íàêðåñëіòü òàêó òðàïåöіþ. 5. ßêó òðàïåöіþ íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíîþ, ÿêó - ðіâíî- áі÷íîþ? 6. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ðіâíîáі÷íîї òðà- ïåöії. 7. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêó ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії.

# data[].attributes.headline
Опрацювати § 25, 

# data[].attributes.subject
Опрацювати § 25, 

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Published on

1. 1. ÓÄÊ 514(075.3) ÁÁÊ 22.151ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0701 3ISBN 978-966-11-0701-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Ãåîìåòðіÿ : ïіäðó÷. äëÿ 8 êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016. - 216 ñ. ISBN 978-966-11-0701-3. Підручник відповідає новій програмі з математики, містить до- статню кількість диференційованих вправ та прикладних задач. Після кожного розділу наведено вправи для його повторення. Для підготовки до контрольної роботи передбачено "Домашню само- стійну роботу" та "Завдання для перевірки знань". Наприкінці під- ручника наведено матеріал для повторення курсу геометрії 7 кла- су, задачі підвищеної складності, предметний покажчик та відповіді до більшості вправ. Для найдопитливіших є низка нестандартних задач у рубриці "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий матеріал. ÓÄÊ 514(075.3) ÁÁÊ 22.151ÿ721 Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè (Íàêàç Ìіíіñòåðñòâà îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè âіä 10.05.2016 № 491) Åêñïåðòè, ÿêі çäіéñíèëè åêñïåðòèçó ïіäðó÷íèêà ïіä ÷àñ ïðîâå- äåííÿ êîíêóðñíîãî âіäáîðó ïðîåêòіâ ïіäðó÷íèêіâ äëÿ ó÷íіâ 8 êëà- ñó çàãàëüíîîñâіòíіõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäіâ і çðîáèëè âèñíîâîê ïðî äîöіëüíіñòü íàäàííÿ ïіäðó÷íèêó ãðèôà "Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñ- òåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè": Äóíàé Ñ.Ì., ó÷èòåëü ñïåöіàëіçîâàíîї çàãàëüíîîñâіòíüîї ñåðåäíüîї øêîëè № 1 ç ïîãëèáëåíèì âèâ÷åííÿì іíîçåìíèõ ìîâ ì. ×åðíіãîâà; Òåñëåíêî Î.Â., ìåòîäèñò ìåòîäè÷íîãî öåíòðó Óïðàâëіííÿ îñâіòè àäìіíіñòðàöії Êîìіíòåðíіâñüêîãî ðàéîíó Õàðêіâñüêîї ìіñüêîї ðàäè; ×îðíèé Â.Ç., çàâіäóâà÷ êàôåäðè ìàòåìàòèêè òà ìåòîäèêè її íà- â÷àííÿ Òåðíîïіëüñüêîãî íàöіîíàëüíîãî ïåäàãîãі÷íîãî óíіâåðñèòå- òó іì. Âîëîäèìèðà Ãíàòþêà, êàíäèäàò ôіçèêî-ìàòåìàòè÷íèõ íàóê, äîöåíò. Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

2. 2. 3 Øàíîâíі âîñüìèêëàñíèêè! Ó öüîìó íàâ÷àëüíîìó ðîöі âè ïðîäîâæèòå âèâ÷àòè ãåîìåò- ðіþ, à ïіäðó÷íèê, ÿêèé âè òðèìàєòå â ðóêàõ, äîïîìîæå âàì ó öüîìó. Ïіä ÷àñ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çâåðíіòü óâàãó íà òåêñò, íàäðóêîâàíèé æèðíèì øðèôòîì. Éîãî òðåáà çàïàì'ÿ- òàòè. Ó ïіäðó÷íèêó âè ïîáà÷èòå óìîâíі ïîçíà÷åííÿ. Îñü ùî âîíè îçíà÷àþòü: - означення, важливі геометричні твердження (аксіоми, теоре- ми, властивості); - запитання до вивченого теоретичного матеріалу;  - закінчення доведення теореми або задачі; - "ключова" задача, висновки якої використовуються під час розв'язування інших задач; - вправи для повторення; - рубрика "Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового мате- ріалу"; - вправи підвищеної складності; - рубрика "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий матеріал. ×îðíèì êîëüîðîì ïîçíà÷åíî íîìåðè âïðàâ äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ ó êëàñі, à ñèíіì - äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ âäîìà. Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü і âèîêðåìëåíî òàê: ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ñåðåäíüîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè äîñòàòíüîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè âèñîêîãî ðіâíÿ. Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ ìîæíà, âèêîíóþ÷è çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìî-

3. 3. 4 ñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Ïіñëÿ êîæíîãî ðîçäіëó íàâåäåíî âïðàâè äëÿ éîãî ïîâòîðåííÿ, à â êіíöі ïіäðó÷íèêà - "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðå- âіðêè çíàíü çà êóðñ ãåîìåòðії 8 êëàñó" òà "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі". Çàíÿòòÿ ãåîìåòðієþ ñòàíóòü ùå öіêàâіøèìè, ÿêùî âè ðîçâ'ÿçóâàòèìåòå âïðàâè ðóáðèêè "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ". Ïðèãàäàòè ðàíіøå âèâ÷åíå âàì äîïîìîæóòü "Âіäîìîñòі ç êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó" òà "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó", ÿêі ðîçìіùåíî â êіíöі ïіäðó÷íèêà. Àâòîð íàìàãàâñÿ ïîäàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ïіäðó÷íèêà ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ, ïðîіëþñòðóâàòè éîãî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó ó øêîëі éîãî îáîâ'ÿçêîâî ïîòðіáíî äîîïðàöþâàòè âäîìà. Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Áіëüøіñòü іç íèõ âè ðîçãëÿíåòå íà óðîêàõ і ïіä ÷àñ äîìàøíüîї ðîáîòè; іíøі âïðàâè ðåêîìåíäóєòüñÿ ðîçâ'ÿçàòè ñàìîñòіéíî. Ó êіíöі ïіäðó÷íèêà â äîäàòêó ïіä íàçâîþ "Ãîòóєìîñÿ äî ÇÍÎ" ïîäàíî äîáіðêó çàäà÷, ùî â ðіçíі ðîêè ïðîïîíóâàëèñÿ àáіòóðієíòàì íà çîâíіøíüîìó íåçàëåæíîìó îöіíþâàííі ç ìàòå- ìàòèêè, äëÿ ðîçâ'ÿçàííÿ ÿêèõ äîñòàòíüî çíàíü ç ãåîìåòðії çà 8-é êëàñ. Ðîçâ'ÿçàâøè öі çàäà÷і, âè çðîáèòå ùå îäèí êðîê óïåðåä äëÿ óñïіøíîї ïіäãîòîâêè äî ìàéáóòíіõ âèïðîáóâàíü, ÿêі ÷åêàòèìóòü íà âàñ ïіä ÷àñ âñòóïó äî îìðіÿíîãî âèøó. Öіêàâі ôàêòè ç іñòîðії ðîçâèòêó ãåîìåòðії ÿê íàóêè âè çíà- éäåòå ó ðóáðèöі "À ùå ðàíіøå..." Áàæàþ óñïіõіâ â îïàíóâàííі êóðñó!

4. 4. 5 Øàíîâíі â÷èòåëі! Ïðîïîíîâàíèé ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ; âïðàâè áіëüøîñòі ïàðàãðàôіâ ïîäàíî "іç çàïàñîì". Òîæ îáè- ðàéòå їõ äëÿ âèêîðèñòàííÿ íà óðîêàõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ, ñòóïåíÿ іíäèâіäóàëіçàöії òîùî. Âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ íà óðîöі, ìîæíà âèêîðèñòàòè íà äîäàòêîâèõ, ôàêóëüòàòèâíèõ òà іíäèâіäóàëüíèõ çàíÿòòÿõ. Äîäàòêîâі âïðàâè ó "Çàâäàííÿõ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü" ïðè- çíà÷åíî äëÿ ó÷íіâ, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàííÿìè ðàíіøå çà іíøèõ ó÷íіâ. Ïðàâèëüíå їõ ðîçâ'ÿçàííÿ â÷èòåëü ìîæå îöіíèòè îêðåìî. Âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ ðîçäіëіâ òà çàäà÷і ç äîäàòêà "Ãîòó- єìîñÿ äî ÇÍÎ" ìîæíà çàïðîïîíóâàòè ó÷íÿì, íàïðèêëàä, ïіä ÷àñ óçàãàëüíþþ÷èõ óðîêіâ ç òåìè àáî ïîâòîðåííÿ і ñèñòåìàòè- çàöії íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó â êіíöі íàâ÷àëüíîãî ðîêó. Îðãàíіçóâàòè ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó íà ïî÷àò- êó íàâ÷àëüíîãî ðîêó òà ïðèãàäàòè âіäïîâіäíèé òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ìîæíà, çàïðîïîíóâàâøè ó÷íÿì ðîçâ'ÿçàòè "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó" òà ïðî÷èòàòè âіäïî- âіäíі òåîðåòè÷íі âіäîìîñòі, ÿêі ðîçìіùåíî ó êіíöі ïіäðó÷íèêà. Øàíîâíі áàòüêè! ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ ó øêîëі, ïîòðіáíî çàïðîïîíóâàòè їé ñàìîñòіéíî îïðàöþâàòè öåé ìàòåðіàë çà ïіäðó÷íèêîì óäîìà. Ñïî÷àòêó áàæàíî, ùîá âîíà ïðî÷èòàëà òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë, ÿêèé âèêëàäåíî ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ òà ïðîіëþñòðîâàíî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ öüîãî - ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷і і âïðàâè, ùî їé ïîñèëüíі, ç ðîçãëÿíóòîãî ïàðàãðàôà. Óïðîäîâæ îïðàöþâàííÿ äèòèíîþ êóðñó ãåîìåòðії 8 êëàñó âè ìîæåòå ïðîïîíóâàòè їé äîäàòêîâî ðîçâ'ÿçóâàòè âäîìà âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ ïіä ÷àñ óðîêó. Öå ñïðèÿòèìå ÿêíàéêðàùîìó çàñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó. Êîæíà òåìà çàêіí÷óєòüñÿ òåìàòè÷íèì îöіíþâàííÿì. Ïåðåä éîãî ïðîâåäåííÿì çàïðîïîíóéòå äèòèíі ðîçâ'ÿçàòè çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìîñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Öå äîïîìîæå ïðèãàäàòè îñíîâíі òèïè âïðàâ òà ÿêіñíî ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ. Ó êіíöі ïіäðó÷íèêà "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі" äîïîìî- æóòü âàøіé äèòèíі ïîãëèáèòè çíàííÿ ç ãåîìåòðії òà ïіäãîòó- âàòèñÿ äî ìàòåìàòè÷íèõ çìàãàíü.

5. 5. 6 ОЧОТИРИКУТНИКИ У цьому розділі ви:У  пригадаєте поняття прямокутника і квадрата;  дізнаєтеся про паралелограм та його властивості, трапецію; центральні та вписані кути; вписані та описані чотирикутни- ки; середню лінію трикутника та середню лінію трапеції; теорему Фалеса;  навчитеся обґрунтовувати належність чотирикутника до пев- ного виду, застосовувати вивчені означення і властивості до розв'язування задач. 1. Чотирикутником називають фігуру, що складається зм чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх спо- лучають. Íіÿêі òðè ç äàíèõ òî÷îê íå ïîâèííі ëåæàòè íà îäíіé ïðÿìіé, à âіäðіçêè, ÿêі їõ ñïîëó÷àþòü, íå ïîâèííі ìàòè æîäíèõ іíøèõ ñïіëüíèõ òî÷îê, êðіì äàíèõ. Áóäü-ÿêèé ÷îòèðèêóòíèê îáìåæóє ïåâíó ÷àñòèíó ïëîùèíè, ÿêà є âíóòðіøíüîþ îáëàñòþ ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàëþíêó 1 çîáðàæåíî ÷îòèðèêóòíèê ABCD. Òî÷êè A, B, C, D íàçèâàþòü âåðøèíàìè ÷îòèðèêóòíèêà, à âіäðіçêè AB, BC, CD і DA, ùî їõ ñïîëó÷àþòü, - ñòîðîíàìè ÷îòèðèêóòíèêà. Âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêі є êіíöÿìè îäíієї éîãî ñòîðî- íè, íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, íåñóñіäíі âåðøèíè íàçèâàþòü ïðî- òèëåæíèìè. Íà ìàë. 1 âåðøèíè A і B - ñóñіäíі, A і C - ïðîòèëåæíі. Ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêі ìàþòü ñïіëü- íó âåðøèíó, íàçèâàþòü ñóñіäíіìè àáî ñóìіæíèìè, à ÿêі íå ìàþòü ñïіëüíîї âåðøè- íè, - ïðîòèëåæíèìè. Íà ìàë. 1 ñòîðîíè AB і BC - ñóñіäíі (ñóìіæíі), ñòîðîíè AB і CD - ïðîòèëåæíі. ЧОТИРИКУТНИК, ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ. СУМА КУТІВ ЧОТИРИКУТНИКА Ìàë. 1

6. 6. 7 ЧОТИРИКУТНИКИ Ñóìó äîâæèí óñіõ ñòîðіí ÷îòèðè- êóòíèêà íàçèâàþòü éîãî ïåðèìåòðîì. Ïåðèìåòð ïîçíà÷àþòü ëіòåðîþ P. Íàïðè- êëàä, ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà ABCD ìîæíà ïîçíà÷èòè ÿê PABCDP : PABCDP  AB + BC + CD + DA. Âіäðіçêè, ÿêі ñïîëó÷àþòü ïðîòèëåæíі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, íàçèâàþòü äіàãîíàëÿìè ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàë. 2 âіäðіçêè KM і LN - äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà KLMN. Áóäü-ÿêèé ÷îòèðèêóòíèê ìàє äâі äіàãîíàëі. Êóòàìè ÷îòèðèêóòíèêà ABCD íàçèâàþòü êóòè DAB, ABC, BCD і CDA (ìàë. 1). Êóòè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ïðîòèëåæíèìè, ÿêùî їõ âåðøèíè - ïðîòèëåæíі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, і ñóñіäíіìè, ÿêùî їõ âåðøèíè - ñóñіäíі âåð- øèíè ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàëþíêó 1 êóòè A іA C - ïðîòèëåæíі,C A іA B - ñóñіäíі. Îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà ìîæå áóòè áіëüøèì çà ðîçãîð- íóòèé. Íàïðèêëàä, íà ìàëþíêó 3 êóò A ÷îòèðèêóòíèêà ABCD є áіëüøèì çà ðîçãîðíóòèé. Òàêèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü íåîïóêëèì. ßêùî æ óñі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà ìåíøі âіä 180, òî éîãî íàçèâàþòü îïóêëèì. Äіàãîíàëі îïóêëîãî ÷îòèðèêóò- íèêà ïåðåòèíàþòüñÿ (ìàë. 2), à íåîïóêëîãî íå ïåðåòèíàþòüñÿ (ìàë. 4). Ìàë. 3 Ìàë. 4 Ìàë. 5 Ò å î ð å ì à (ïðî ñóìó êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà). Ñóìà êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 360. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ÀÂÑD - äåÿêèé ÷îòèðèêóòíèê. Ïðîâåäåìî â íüîìó äіàãîíàëü ÀÑ (ìàë. 5). Òîäі À  1 + 2, Ñ  3 + 4. Âðàõîâóþ÷è, ùî 2 + B + 3  180 (ÿê ñóìà êóòіâ  ÀÂÑ), 1 + D + 4  180 (ÿê ñóìà êóòіâ ÀDÑ), ìàòèìåìî: À +À Â + Ñ + D  1 + 2 + Â + 3 + + 4 + D  (2 + Â + 3) + (1 + D + 4)  180+ 180  360.  Ìàë. 2

7. 7. 8 Розділ 1 Çàäà÷à. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî їõ ãðàäóñíі ìіðè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 3 : 10 : 4 : 1. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì є öåé ÷îòèðèêóòíèê? Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. Íåõàé êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 3x, 10x, 4x і x. Ìàєìî ðіâíÿííÿ 3x + 10x + 4x + x  360, çâіäêè x  20. Îòæå, êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 3  20  60, 10  20  200, 4  20  80 і 20. Îñêіëüêè îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà áіëüøèé çà 180, òî öåé ÷îòèðèêóò- íèê - íåîïóêëèé. Â і ä ï î â і ä ü. 60, 200, 80, 20; íåîïóêëèé. Початковий рівень 1. (Óñíî.) ßêі ç ôіãóð (ìàë. 6-9) є ÷îòèðèêóòíèêàìè? Íà- çâіòü îïóêëі òà íåîïóêëі ÷îòèðèêóòíèêè. Ìàë. 6 Ìàë. 7 Ìàë. 8 Ìàë. 9 2. Íàçâіòü ïàðè ïðîòèëåæíèõ ñòîðіí ÷îòèðèêóòíèêà EGOR (ìàë. 9), ïàðè ñóñіäíіõ ñòîðіí. Íàçâіòü ïàðè ñóñіäíіõ âåð- øèí öüîãî ÷îòèðèêóòíèêà, ïàðè ïðîòèëåæíèõ âåðøèí. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ÷îòèðèêóòíèêîì? 2. Ùî íàçèâàþòü âåðøèíàìè ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðî- íàìè ÷îòèðèêóòíèêà? 3. ßêі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, ÿêі - ïðîòèëåæíèìè? 4. Ùî òàêå äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà? 5. ßêі ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, ÿêі - ïðîòèëåæíèìè? 6. Ùî íàçèâàþòü ïåðèìåòðîì ÷îòèðèêóòíèêà? 7. Ùî íàçèâàþòü êóòàìè ÷îòèðèêóòíèêà? 8. ßêі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ïðîòèëåæíè- ìè, à ÿêі - ñóñіäíіìè? 9. ßêèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü íåîïóêëèì, à ÿêèé - îïóêëèì? 10. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü òåîðåìó ïðî ñóìó êóòіâ ÷îòè- ðèêóòíèêà.

8. 8. 9 ЧОТИРИКУТНИКИ 3. Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê KLMN. Íàçâіòü ïàðè éîãî ïðî- òèëåæíèõ ñòîðіí, ñóñіäíіõ ñòîðіí, ïðîòèëåæíèõ âåðøèí, ñóñіäíіõ âåðøèí. Ïðîâåäіòü äіàãîíàëі öüîãî ÷îòèðèêóòíèêà. 4. Íàêðåñëіòü îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê ABCD і íåîïóêëèé PMLK. Ïðîâåäіòü äіàãîíàëü ó êîæíîìó ç íèõ. 5. ×è іñíóє ÷îòèðèêóòíèê ç êóòàìè: 1) 80, 90, 100 і 110; 2) 150, 60, 70 і 80? 6. ×è ìîæóòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþâàòè: 1) 120, 80, 90 і 70; 2) 130, 110, 80 і 50? Середній рівень 7. Çíàéäіòü ÷åòâåðòèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî òðè éîãî êóòè äîðіâíþþòü: 1) 150, 110 і 80; 2) 80, 60 і 30. ßêèì - îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì - є êîæíèé ÷îòèðèêóòíèê? 8. Çíàéäіòü ÷åòâåðòèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî òðè éîãî êóòè äîðіâíþþòü: 1) 20, 70 і 80; 2) 120, 50 і 40. ßêèì - îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì - є êîæíèé ÷îòèðèêóòíèê? 9. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâ- íþþòü 32 ìì, 2,5 ñì, 0,4 äì і 0,07 ì. 10. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþ- þòü 0,08 ì, 0,7 äì, 6,3 ñì і 54 ìì. 11. ×è ìîæóòü óñі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà áóòè: 1) ãîñòðèìè; 2) ïðÿìèìè; 3) òóïèìè? 12. Îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâ- íþє 120, à іíøі - ìіæ ñîáîþ ðіâíі. Çíàéäіòü íåâіäîìі êóòè ÷îòèðèêóò- íèêà. 13. Ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 60 ñì, à îäíà ç éîãî ñòîðіí - 24 ñì. Çíàéäіòü íåâіäîìі ñòîðîíè ÷îòèðè- êóòíèêà, ÿêùî âîíè ìіæ ñîáîþ ðіâíі. 14. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 10) BC  CD і ACB  ACD. Äîâåäіòü, ùî B  D. 15. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 11) BAC  ACD, BCA  CAD. Äîâåäіòü, ùî AB  CD. Ìàë. 10 Ìàë. 11

9. 9. 10 Розділ 1 Достатній рівень 16. Çíàéäіòü ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 4, 5, 8 і 9, à ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 65 ñì. 17. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 4, 5, 7 і 8. 18. Çíàéäіòü íåâіäîìі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 90, äðóãèé і òðåòіé âіäíîñÿòüñÿ ÿê 7 : 5, à ÷åò- âåðòèé äîðіâíþє ïіâñóìі äðóãîãî òà òðåòüîãî. 19. Çíàéäіòü íåâіäîìі ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ïåðèìåòð ÿêî- ãî äîðіâíþє 54 ñì, îäíà çі ñòîðіí 18 ñì, äðóãà òà òðåòÿ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 7 : 3, à ÷åòâåðòà äîðіâíþє ïіâðіçíèöі äðó- ãîї òà òðåòüîї. 20. Äîâåäіòü, ùî â êîæíîìó ÷îòèðèêóòíèêó є êóò, íå áіëüøèé çà 90. 21. Äîâåäіòü, ùî â êîæíîìó ÷îòèðèêóòíèêó є êóò, íå ìåíøèé âіä 90. 22. ×è ìîæå êóò ÷îòèðèêóòíèêà áóòè áіëüøèì çà ñóìó іíøèõ éîãî êóòіâ? Високий рівень 23. Ïîáóäóéòå ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 6 ñì, 6 ñì, 3 ñì, 4 ñì òà êóòîì 50 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíàìè. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿç- êіâ ìàє çàäà÷à? 24. Ïîáóäóéòå ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 5 ñì, 5 ñì, 4 ñì, 3 ñì òà êóòîì 70 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíàìè. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿçêіâ ìàє çàäà÷à? 25. Îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü äåëüòîїäîì, ÿêùî âіí ìàє äâі ïàðè ðіâ- íèõ ñóñіäíіõ ñòîðіí (ìàë. 12). Äîâåäіòü, ùî: 1) äіàãîíàëü BD äіëèòü íàâïіë ÿê êóò B, òàê і êóò D; 2) äіàãîíàëі äåëüòîїäà âçàєìíî ïåðïåí- äèêóëÿðíі. 26. Ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà ABCD äîðіâíþє 29 ñì, ïåðè- ìåòð òðèêóòíèêà ADB - 20 ñì, à òðèêóòíèêà CDB - 21 ñì. Çíàéäіòü äîâæèíó äіàãîíàëі BD. Ìàë. 12

10. 10. 11 ЧОТИРИКУТНИКИ Вправи для повторення 27. Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ, ùî óòâîðèëèñÿ ïðè ïåðåòèíі äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ñі÷íîþ, äîðіâíþє 70. Çíàéäіòü ãðàäóñíі ìіðè ðåøòè ñåìè êóòіâ. 28. Çíàéäіòü êóòè ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 70. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿçêіâ ìàє çàäà÷à? 29. Ó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 60, à ñóìà ìåíøîãî êàòåòà і ìåäіàíè, ïðîâåäåíîї äî ãіïîòåíó- çè, - 10 ñì. Çíàéäіòü ãіïîòåíóçó öüîãî òðèêóòíèêà. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 30. Ïðÿìà AB є ñі÷íîþ äëÿ ïðÿìèõ KL і MN (ìàë. 13). Çàïèøіòü óñі ïàðè âíóòðіøíіõ îäíîñòîðîííіõ êóòіâ, âíó- òðіøíіõ ðіçíîñòîðîííіõ êóòіâ òà âіäïîâіäíèõ êóòіâ. Ìàë. 13 Ìàë. 14 Ìàë. 15 31. ßêèì є âçàєìíå ðîçìіùåííÿ ïðÿìèõ a і b (ìàë. 14), ÿêùî: 1) 2 + 4  180; 2) 1 > 4; 3) 3  120; 4  121; 4) 2  60; 4  119; 5) 1  4  122; 6) 3  4? 32. 1) Äîâåäіòü, ùî {ABC  {CDA (ìàë. 15), ÿêùî AB  CD і BAC  ACD . 2) Äîâåäіòü, ùî BC  AD і BCA  CAD. 3) ×è ïàðàëåëüíі ïðÿìі BC і AD? Цікаві задачі для учнів неледачих 33. (Âñåóêðàїíñüêà îëіìïіàäà ç ìàòåìàòèêè, 1964 ð.) Çíàé- äіòü íàéáіëüøå çíà÷åííÿ n, ïðè ÿêîìó n òî÷îê ìîæíà ðîçìіñòèòè íà ïëîùèíі òàê, ùîá êîæíі òðè ç íèõ áóëè âåðøèíàìè ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà.

11. 11. 12 Розділ 1 2. Паралелограмом називають чотирикутник, у якого проти-м лежні сторони попарно паралельні. Íà ìàëþíêó 16 çîáðàæåíî ïàðàëåëîãðàì ABCD, äå AB || CD, AD || BC. Ðîçãëÿíåìî âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. Сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Ñïðàâäі, íàïðèêëàä êóòè A і B ïàðà- ëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 16) є âíóòðіøíіìè îäíîñòîðîííіìè êóòàìè äëÿ ïàðàëåëü- íèõ ïðÿìèõ AD і BC òà ñі÷íîї AB. Òîìó A + B  180. Àíàëîãі÷íî öþ âëàñòè- âіñòü ìîæíà äîâåñòè äëÿ áóäü-ÿêîї іíøîї ïàðè ñóñіäíіõ êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà. 2. Паралелограм є опуклим чотирикутником. Îñêіëüêè A + B  180, òî A < 180, B < 180. Àíà- ëîãі÷íî C < 180, D < 180. Òîìó ïàðàëåëîãðàì - îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê. 3. У паралелограмі протилежні сторони рівні й протилежні кути рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. Ðîçãëÿíåìî ïàðàëåëîãðàì ABCD (ìàë. 17). Äіàãîíàëü AC ðîçáèâàє éîãî íà äâà òðèêóòíèêè ABC і ADC. AC - ñïіëüíà ñòîðîíà öèõ òðèêóòíèêіâ é CAD  ACB, CAB  ACD (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ñі÷íîþ AC ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC, AB і CD âіäïîâіäíî). Òîäі {ABC  {CDA (çà ñòîðîíîþ і äâîìà ïðèëåãëèìè êóòà- ìè). Îòæå, AB  CD, BC  AD і B  D (ÿê âіäïîâіäíі åëåìåíòè ðіâíèõ òðè- êóòíèêіâ). Îñêіëüêè BAC + CAD   BCA + DCA, òî BAD  BCD.  4. Периметр паралелограма РАВСDР = 2(D АВ + ВС). 5. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. ПАРАЛЕЛОГРАМ, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ Й ОЗНАКИ Ìàë. 16 Ìàë. 17

12. 12. 13 ЧОТИРИКУТНИКИ Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé AC і BD ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 18). AD  BC (ÿê ïðîòè- ëåæíі ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà), CAD  ACB, BDA  DBC (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íèìè AC і BD âіäïîâіäíî). Îòæå, {AOD  {COB (çà ñòîðîíîþ і äâîìà ïðèëåãëèìè êóòàìè). Òîäі AO  OC, BO  OD (ÿê âіäïîâіäíі ñòîðîíè ðіâíèõ òðè- êóòíèêіâ).  Ìàë. 18 Ìàë. 19 Çàäà÷à 1. Ä à í î: ABCD ïàðàëåëîãðàì, ÀK - áіñåêòðèñà êóòà A, BK  5 ñì, KC  3 ñì (ìàë. 19). Ç í à é ä іòü: PABCDP . Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) BC  BK + KC  5 + 3  8 (cì); 2) KAD  BKA (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íîþ AK); 3) KAD  KAB (çà óìîâîþ), òîäі BKA  KAB. Îòæå, çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà: {ABK - ðіâíîáåäðå- íèé, AB  BK  5 (ñì); 4) PABCDP  2(AB(( + BC)  2(5 + 8)  26 (ñì). Â і ä ï î â і ä ü. 26 ñì. Висотою паралелограма називають перпендикуляр, про- ведений з будь-якої точки сторони паралелограма до пря- мої, що містить протилежну сторону. Íà ìàëþíêó 20 MN - âèñîòà ïàðàëåëîãðàìà; MN  AD, MN  BC. Ç êîæíîї âåðøèíè ïàðàëåëîãðàìà ìîæíà ïðîâåñòè äâі âè- ñîòè. Íàïðèêëàä, íà ìàëþíêó 21 BF і BT - âèñîòè ïàðàëåëî- ãðàìà, ïðîâåäåíі âіäïîâіäíî äî ñòîðіí AD і CD. Ìàë. 20 Ìàë. 21

13. 13. 14 Розділ 1 Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà). ßêùî â ÷îòèðèêóò- íèêó: 1) äâі ñòîðîíè ðіâíі і ïàðàëåëüíі, àáî 2) ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ðіâíі, àáî 3) äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ і òî÷êîþ ïåðåòèíó äіëÿòüñÿ íàâïіë, àáî 4) ïðîòèëåæíі êóòè ïîïàðíî ðіâíі, - òî ÷îòèðèêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD AD  BC і AD || BC (ìàë. 22). Ïðîâåäåìî äіàãîíàëü AC. Ðîçãëÿíåìî {CAD і {ACB. CAD  BCA (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íîþ AC). AC - ñïіëüíà ñòîðîíà, AD BC (çà óìîâîþ). Îòæå, {CAD  {ACB (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Òîäі ACD  CAB (ÿê âіäïîâіäíі). Àëå öå ðіçíîñòîðîííі êóòè, ùî óòâîðèëèñÿ ïðè ïåðåòèíі ïðÿìèõ AB і CD ñі÷íîþ AC. Òîìó AB || CD (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі ïðÿìèõ). Îòæå, ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ïàðàëåëüíі. Òîìó ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD: AD  BC і AB  CD (ìàë. 22). Ïðîâåäåìî äіàãîíàëü AC. Òîäі {CAD  {ACB (çà òðüîìà ñòîðîíàìè). Òîìó ACD  CAB, à îòæå, AB || CD (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі ïðÿìèõ). Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AD || BC. Îòæå, ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ìàë. 22 Ìàë. 23 3) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі AC і BD ïåðå- òèíàþòüñÿ â òî÷öі O і AO  OC, BO  OD (ìàë. 23). AOD  COB (ÿê âåðòèêàëüíі). Òîìó {AOD  {COB (çà äâî- ìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Çâіäñè AD  BC. Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AB  CD. Çâàæàþ÷è íà ï. 2) öієї òåîðåìè, ïðè- õîäèìî äî âèñíîâêó, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 4) Íåõàé ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD: A  C, B  D (ìàë. 16). Îñêіëüêè A + B + C + D  360, òî A + + B + A + B  360, 2(A + B)  360; A + B  180. Àëå A і B - âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè äëÿ ïðÿìèõ AD і BC òà ñі÷íîї AB. Òîìó AD || BC (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі

14. 14. 15 ЧОТИРИКУТНИКИ ïðÿìèõ). Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AB || CD. Îòæå, ABCD - ïàðàëåëîãðàì.  Çàäà÷à 2. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD, AD  BC, CAD  ACB. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ABCD - äàíèé ÷îòèðèêóòíèê (ìàë. 22). Ðîçãëÿíåìî {CAD і {ACB{{ . AC - їõ ñïіëüíà ñòîðîíà, AD  BC, CAD  ACB (çà óìîâîþ). Îòæå, {CAD  {ACB (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Òîìó AB  CD. Àëå òîäі ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ðіâíі, òîìó âіí є ïàðàëåëîãðàìîì.  Про деякі види чотирикутників (квадрати, прямокутники, рівнобічні та прямокутні трапеції) знали ще давньоєгипетські та вавилонські матема- тики. Термін "паралелограм" грецького походження, вважають, що його уведено Евклідом (близько 300 р. до н. е.). Також відомо, що про парале- лограм і деякі його властивості було відомо учням школи Піфагора ("піфагорійцям") ще раніше. В "Началах" Евкліда доведено наступну теорему: у паралелограмі протилежні сторони рівні і протилежні кути рівні, а діагональ поділяє його навпіл, але не згадується про те, що точка перетину діагоналей паралелограма ділить кожну з них навпіл. Евклід також не згадує ані про прямокутник, ані про ромб. Повну теорію паралелограмів було розроблено лише в кінці Середньовіччя, а в підручниках вона з'явилася в XVII ст. Усі теореми та властивості паралелограма в цих підручниках ґрунтувалися на аксіомі паралельності Евкліда. Термін "діагональ" - грецького походження; "діа" означає "через", а "гоніос" - "кут", що можна розуміти як відрізок, що сполучає вершини кутів. Слід зазначити, що Евклід, як і більшість математиків того часу, для назви відрізка, що сполучає протилежні вершини чотирикутника, зокре- ма прямокутника, використовував інший термін - "діаметр". Це можна пояснити тим, що перші геометри свої міркування ґрунтували на вписа- них у коло прямокутниках. У Середні віки для назви згаданого відрізка використовували обидва терміни. Лише у XVIII ст. термін "діагональ" став загальновживаним. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ïàðàëåëîãðàìîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 3. Ùî íàçèâàþòü âèñîòîþ ïàðàëåëîãðàìà? 4. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà.

15. 15. 16 Розділ 1 Початковий рівень 34. Ñåðåä ÷îòèðèêóòíèêіâ, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêàõ 24-29, óêàæіòü ïàðàëåëîãðàìè. Ìàë. 24 Ìàë. 25 Ìàë. 26 Ìàë. 27 Ìàë. 28 Ìàë. 29 35. Íàêðåñëіòü ïàðàëåëîãðàì ABCD, ó ÿêîãî êóò D òóïèé. 36. Íàêðåñëіòü ïàðàëåëîãðàì KLMN, ó ÿêîãî êóò K ãîñòðèé. 37. (Óñíî.) Îäíà çі ñòîðіí ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 5 ñì. ßêà äîâæèíà ñòîðîíè, ùî їé ïðîòèëåæíà? 38. Îäèí ç êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 70. Çíàéäіòü іíøі éîãî êóòè. 39. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâ- íþє 100. Середній рівень 40. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ó ÿêîãî îäíà ñòîðîíà äîðіâíþє 12 ñì, à äðóãà - íà 3 ñì áіëüøà çà íåї. 41. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ó ÿêîãî îäíà ñòîðîíà äîðіâíþє 18 ñì, à äðóãà - óäâі÷і âіä íåї ìåíøà. 42. Çíàéäіòü óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ ç íèõ äîðіâíþє 120; 2) îäèí ç íèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé; 3) îäèí ç íèõ óòðè÷і ìåíøèé âіä äðóãîãî; 4) äâà ç íèõ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 43. Çíàéäіòü óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ ç íèõ äîðіâíþє 200; 2) îäèí ç íèõ íà 40 ìåíøèé âіä äðóãîãî; 3) îäèí ç íèõ óäâі÷і áіëüøèé çà äðóãèé; 4) ãðàäóñíі ìіðè äâîõ ç íèõ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 4 : 5. 44. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD BAD  80, ACD  50. Çíàé- äіòü ACB і  ABC. 45. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD BAC  35, BCA  40. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà.

16. 16. 17 ЧОТИРИКУТНИКИ 46. (Óñíî.) ßêі ïîìèëêè äîïóùåíî â çîáðàæåííі ïàðàëåëî- ãðàìà íà ìàëþíêàõ 30-32? Ìàë. 30 Ìàë. 31 Ìàë. 32 47. Ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî: 1) îäíà ç íèõ íà 4 ñì áіëüøà çà äðóãó; 2) âîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 3 : 7. 48. Ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 36 äì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî: 1) îäíà ç íèõ íà 2 äì ìåíøà âіä äðóãîї; 2) îäíà ç íèõ ó 5 ðàçіâ áіëüøà çà äðóãó. 49. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïàðàëåëîãðàìà ABCD. Çíàéäіòü äіàãîíàëü AC, ÿêùî BD  20 ñì, AB  15 ñì, à ïåðèìåòð òðèêóòíèêà AOB äîðіâíþє 32 ñì. 50. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 33) 1  2, 3  4. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 51. {ABC  {CDA (ìàë. 33). Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 52. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè. 53. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà ñòîðîíàìè і äіàãîíàëëþ. Достатній рівень 54. Áіñåêòðèñà êóòà ïàðàëåëîãðàìà ïåðåòèíàє éîãî ñòîðîíó ïіä êóòîì 48. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà. 55. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD áіñåêòðèñà êóòà A äіëèòü ñòîðî- íó BC íà âіäðіçêè BM  5 ñì і MC  7 ñì. Çíàéäіòü ïåðè- ìåòð ïàðàëåëîãðàìà. 56. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD AB  4 ñì, BC  12 ñì. Áіñåêòðè- ñà êóòà A ïåðåòèíàє ñòîðîíóA BC ó òî÷öіC P. Çíàéäіòü BP і PC. 57. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà ñòîðîíîþ і äіàãîíàëÿìè. 58. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà äіàãîíàëÿìè і êóòîì ìіæ íèìè. Ìàë. 33

17. 17. 18 Розділ 1 59. Íà ñòîðîíàõ AD і BC ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 34) ïîçíà÷åíî òî÷êè M і K òàê, ùî ABM  CDK. Äîâåäіòü, ùî BMDK - ïàðàëåëîãðàì. 60. Íà ñòîðîíàõ AD і BC ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 34) ïîçíà÷åíî òî÷êè M і K òàê, ùî AM  KC. Äîâåäіòü, ùî BMDK - ïàðàëåëîãðàì. 61. Äîâåäіòü, ùî áіñåêòðèñè äâîõ ñóñіä- íіõ êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà âçàєìíî ïåð- ïåíäèêóëÿðíі. 62. Ó ïàðàëåëîãðàìі ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 60. Âèñîòà ïàðà- ëåëîãðàìà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, äіëèòü ïðîòèëåæíó ñòîðîíó íà âіäðіçêè 3 ñì і 5 ñì, ïî÷èíàþ÷è âіä âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëî- ãðàìà. 63. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD AB  6 ñì, B  120. Âèñîòà BK äіëèòü ñòîðîíó AD íà äâà ðіâíèõ âіäðіçêè. Çíàéäіòü ïåðè- ìåòð ïàðàëåëîãðàìà. 64. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà A ïðîâå- äåíî âèñîòè AL і AK. LAK  140. Çíàéäіòü êóò C ïàðà- ëåëîãðàìà. 65. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïðîâåäå- íî âèñîòè BM і BN. MBN  70. Çíàéäіòü êóò D ïàðàëå- ëîãðàìà. Високий рівень 66. Áіñåêòðèñà êóòà B ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіëèòü ñòîðîíó AD íà äâà âіäðіçêè AK і KD òàê, ùî AK - KD  1 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 40 ñì. 67. Áіñåêòðèñà êóòà A ïàðàëåëîãðàìàA ABCD äіëèòü ñòîðîíó BC íà äâà âіäðіçêè BK і KC òàê, ùî BK : KC  3 : 7. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 78 ñì. 68. Äâà êóòè ïàðàëåëîãðàìà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 5 : 7. Çíàéäіòü êóò ìіæ âèñîòàìè ïàðàëåëîãðàìà, ïðîâåäåíèìè ç âåðøèíè: 1) òóïîãî êóòà; 2) ãîñòðîãî êóòà. 69. Îäèí ç êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà íà 12 áіëüøèé çà äðóãèé. Çíàéäіòü êóò ìіæ âèñîòàìè ïàðàëåëîãðàìà, ïðîâåäåíèìè ç âåðøèíè: 1) ãîñòðîãî êóòà; 2) òóïîãî êóòà. Ìàë. 34

18. 18. 19 ЧОТИРИКУТНИКИ 70. Äîâåäіòü, ùî òðè âèñîòè òðèêóòíèêà àáî їõ ïðîäîâ- æåííÿ ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі (îðòîöåíòðі òðè- êóòíèêà). Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé AH1, BH2, CH3 - âèñîòè ãîñ- òðîêóòíîãî òðèêóòíèêà ABC (ìàë. 35). Ïðîâåäåìî ÷åðåç âåðøèíè òðèêóòíèêà ïðÿìі, ïàðàëåëüíі ïðîòèëåæíèì ñòîðîíàì. Îäåðæèìî òðèêóòíèê A1B1C1. ×îòèðèêóòíèê ABA1C - ïàðàëåëîãðàì (çà ïîáóäîâîþ). Òîìó BA1  AC. Àíàëîãі÷íî ACBC1 - ïàðàëåëîãðàì і C1B  AC. Îòæå, C1B  BA1, òî÷êà B - ñåðåäèíà A1C1. Îñêіëüêè BH2  AC і AC || A1C1, òî BH2  A1C1. Òîìó BH2 íàëåæèòü ñåðåäèííîìó ïåðïåíäèêóëÿðó äî ñòîðîíè A1C1 òðèêóòíèêà A1B1C1. Àíàëîãі÷íî AH1 і CH3 íàëåæàòü ñåðåäèííèì ïåðïåí- äèêóëÿðàì äî äâîõ іíøèõ ñòîðіí öüîãî òðèêóòíèêà. ßê âіäîìî, ñåðå- äèííі ïåðïåíäèêóëÿðè äî ñòîðіí òðèêóòíèêà ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. Îòæå, AH1, BH2 і CH3 ïåðåòè- íàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. 2) ßêùî {ABC - ïðÿìîêóòíèé, íàïðèêëàä C  90, òî î÷åâèäíî, ùî òðè âèñîòè ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі C. 3) ßêùî {ABC - òóïîêóòíèé, òî ïðîäîâæåííÿ òðüîõ âèñîò òðèêóòíèêà ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. Äîâåäåí- íÿ àíàëîãі÷íå äî äîâåäåííÿ ó ï. 1.  Вправи для повторення 71. Çíàéäіòü äðóãèé ãîñòðèé êóò ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíè- êà, ÿêùî ïåðøèé äîðіâíþє: 1) 20; 2) 65. 72. Äâі ñòîðîíè òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 7,2 ñì і 2,5 ñì. ßêîìó íàéáіëüøîìó öіëîìó ÷èñëó ñàíòèìåòðіâ ìîæå äîðіâíþâàòè òðåòÿ ñòîðîíà? 73. Çîâíіøíіé êóò òðèêóòíèêà ó 2 ðàçè áіëüøèé çà îäèí ç âíóòðіøíіõ êóòіâ, íå ñóìіæíèé ç íèì. Äîâåäіòü, ùî òðè- êóòíèê є ðіâíîáåäðåíèì. 74. ×è ìîæíà ïîáóäóâàòè ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 6 ñì, 6 ñì, 4 ñì і 2 ñì òà êóòîì 60 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíà- ìè? Ìàë. 35

19. 19. 20 Розділ 1 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 75. Çíàéäіòü ïåðèìåòð і ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþþòü: 1) 5 ñì і 7 ñì; 2) 2 äì і 14 ñì. Цікаві задачі для учнів неледачих 76. Âèäàòíі óêðàїíöі. Çàïèøіòü ïî ãîðèçîíòàëÿõ ïðіçâèùà âèäàòíèõ óêðàїíöіâ (çà ïîòðåáè âèêîðèñòàéòå äîäàòêîâó ëіòåðàòóðó òà Іíòåðíåò) і îòðèìàєòå ó âèäіëåíîìó ñòîâï÷è- êó іì'ÿ äàâíüîãðåöüêîãî ôіëîñîôà, ìàòåìàòèêà, ðåëіãіéíî- ãî òà ïîëіòè÷íîãî äіÿ÷à. 1 2 3 4 5 6 7 1. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé íàóêîçíàâåöü ó ãàëóçі çâàðþ- âàëüíèõ ïðîöåñіâ, äîêòîð òåõíі÷íèõ íàóê, Ãåðîé Óêðàїíè. 2. Óêðàїíñüêèé ïîëіòèê, ïóáëіöèñò, ëіòåðàòóðíèé êðèòèê, ïðîâіäíèê íàöіîíàëüíî-äåìîêðàòè÷íîãî âèçâîëüíîãî ðóõó êіíöÿ 1980-1990-õ ðîêіâ, Ãåðîé Óêðàїíè. 3. Óêðàїíñüêèé ïèñüìåííèê, ïîåò, ïóáëіöèñò, ïåðåêëàäà÷, ó÷åíèé, ãðîìàäñüêèé і ïîëіòè÷íèé äіÿ÷ (1856-1916). 4. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé ëіêàð ñâіòîâîãî ðіâíÿ, ó÷åíèé ó ãàëóçÿõ ìåäèöèíè, áіîêіáåðíåòèêè; éîãî іì'ÿì íàçâàíî Іíñòèòóò ñåðöåâî-ñóäèííîї õіðóðãії, ÿêèé âіí î÷îëþâàâ ïðîòÿãîì äâàäöÿòè ðîêіâ. 5. Ïîëіòè÷íèé äіÿ÷ і ïóáëіöèñò, îðãàíіçàòîð óêðàїíñüêîї íàóêè; Ãîëîâà Öåíòðàëüíîї Ðàäè Óêðàїíñüêîї Íàðîäíîї Ðåñïóáëіêè. 6. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé ïîåò, ïèñüìåííèê, õóäîæíèê, ãðîìàäñüêèé і ïîëіòè÷íèé äіÿ÷, ôîëüêëîðèñò, åòíîãðàô. 7. Óêðàїíñüêèé ïðîñâіòèòåëü-ãóìàíіñò, ôіëîñîô, ïîåò, ïåäàãîã.

20. 20. 21 ЧОТИРИКУТНИКИ 3. Прямокутником називають паралелограм, у якого всім кути прямі (мал. 36). Îñêіëüêè ïðÿìîêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì, òî âіí ìàє âñі âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. У прямокутнику протилежні сторони рівні. 2. Периметр прямокутника PABCDP = 2(D AB + BC). 3. Діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл. Êðіì öüîãî, ïðÿìîêóòíèê ìàє ùå âëàñòèâîñòі. 4. Діагоналі прямокутника рівні. Ìàë. 36 Ìàë. 37 Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé äàíî ïðÿìîêóòíèê ABCD (ìàë. 37). {ACD  {DBA (çà äâîìà êàòåòàìè). Òîìó AC  BD.  5. Точка перетину діагоналей прямокутника рівновіддале- на від усіх його вершин. Îñêіëüêè AC  BD, à AO  OC, BO  OD (ìàë. 37), òî, î÷å- âèäíî, ùî AO  BO  OC  OD. Çàäà÷à 1. Äіàãîíàëü äіëèòü êóò ïðÿìîêóòíèêà ó âіäíî- øåííі 2 : 3. Çíàéäіòü êóò ìіæ äіàãîíàëÿìè äàíîãî ïðÿìîêóò- íèêà. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) Íåõàé ADO : ODC  2 : 3 (ìàë. 37). Ïîçíà÷èìî ADO  2x, ODC  3x. Òîäі 2x + 3x  90, x  18. Òîìó ADO  2  18  36; ODC  3  18  54. 2) {OCD - ðіâíîáåäðåíèé (áî DO  OC). Òîìó OCD   ODC  54. Ó {OCD: COD  180 - 2  54  72. Îòæå, êóò ìіæ äіàãîíàëÿìè äàíîãî ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 72. Â і ä ï î â і ä ü. 72. ПРЯМОКУТНИК І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

21. 21. 22 Розділ 1 Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà). ßêùî ó ïàðàëåëî- ãðàìà: 1) óñі êóòè ðіâíі, àáî 2) îäèí êóò ïðÿìèé, àáî 3) äіàãî- íàëі ðіâíі, - òî ïàðàëåëîãðàì є ïðÿìîêóòíèêîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Îñêіëüêè âñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà ðіâ- íі, à їõ ñóìà äîðіâíþє 360, òî êîæíèé ç íèõ äîðіâíþє 360 : 4  90. À òîìó ïàðàëåëîãðàì є ïðÿìîêóòíèêîì. 2) Íåõàé êóò A ïàðàëåëîãðàìà ABCD ïðÿìèé (ìàë. 36). Òîäі C  A  90; B  D  180 - A  180 - 90   90. Îòæå, óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà ïðÿìі, à òîìó âіí є ïðÿ- ìîêóòíèêîì. 3) Íåõàé ó ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіàãîíàëі AC і BD ðіâíі (ìàë. 37). AD - ñïіëüíà ñòîðîíà òðèêóòíèêіâ ABD і DCA. Îòæå, {ABD  {DCA (çà òðüîìà ñòîðîíàìè). ÒîìóA BAD  CDA. Àëå æ ABC  ADC, BCD  BAD. Ó ïàðàëåëîãðàìà âñі êóòè ðіâíі ìіæ ñîáîþ. Òîìó âіí є ïðÿìîêóòíèêîì (çà ï. 1 öієї òåîðåìè).  Çàäà÷à 2. Ó êîëі іç öåíòðîì O ïðîâå- äåíî äіàìåòðè AC і BD (ìàë. 38). Âèçíà÷- òå âèä ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) Îñêіëüêè AO  OC, BO  OD (ÿê ðàäіóñè), òî, çà îçíàêîþ ïàðàëåëîãðàìà, ìàєìî, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Îñêіëüêè AC  BD (ÿê äіàìåòðè), òî, âèêîðèñòîâóþ÷è îçíàêó ïðÿìîêóò- íèêà, ìàєìî, ùî ïàðàëåëîãðàì ABCD є ïðÿìîêóòíèêîì. Â і ä ï î â і ä ü. Ïðÿìîêóòíèê. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíèêîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ïðÿìîêóòíèêà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà. Початковий рівень 77. ßêі іç ÷îòèðèêóòíèêіâ, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêàõ 39-43, є ïðÿìîêóòíèêàìè? 78. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëü AC äîðіâíþє 5 ñì. ßêà äîâæèíà äіàãîíàëі BD? Ìàë. 38

22. 22. 23 ЧОТИРИКУТНИКИ Ìàë. 39 Ìàë. 40 Ìàë. 41 Ìàë. 42 Ìàë. 43 79. Ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü 4 ñì і 7 ñì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 80. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþ- þòü 2 ñì і 5 ñì. 81. ßêùî ÷îòèðèêóòíèê є ïðÿìîêóòíèêîì, òî éîãî äіàãîíàëі ìіæ ñîáîþ ðіâíі. ×è ïðàâèëüíå îáåðíåíå òâåðäæåííÿ? Íà- âåäіòü ïðèêëàä. Середній рівень 82. Ñòîðîíà BC ïðÿìîêóòíèêà ABCD äîðіâíþє 8 ñì, à äіàãî- íàëü BD - 12 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðèêóòíèêà BOC, äå O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà. 83. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà ABCD. AC  12 ñì, ïåðèìåòð òðèêóòíèêà AOB äîðіâíþє 16 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíó AB. 84. (Óñíî.) Ùî ìîæíà ñêàçàòè ïðî âèä ïàðàëåëîãðàìà, êîëè âіäîìî, ùî: 1) æîäåí ç éîãî êóòіâ íå є ãîñòðèì; 2) æîäåí ç éîãî êóòіâ íå є òóïèì; 3) âіí ìàє òðè ðіâíèõ ìіæ ñîáîþ êóòè? 85. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó òðè êóòè ïðÿìі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ïðÿìîêóòíèê. 86. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі êóòè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ïðÿìîêóòíèê. 87. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, êîëè âіäîìî, ùî: 1) îäíà ç íèõ íà 2 ñì áіëüøà çà äðóãó; 2) ñòîðîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 88. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 50 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, êîëè âіäîìî, ùî: 1) îäíà ç íèõ íà 5 ñì ìåíøà âіä äðóãîї; 2) ñòîðîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 4 : 1.

23. 23. 24 Розділ 1 89. (Óñíî.) Íà ìàëþíêó 44 çîáðàæåíî ïðÿìîêóòíèê ABCD. Çíàéäіòü óñі ðіâíі ìіæ ñîáîþ êóòè. 90. Çíàéäіòü çà ìàëþíêîì 44: 1) 3, ÿêùî 8  52; 2) 2, ÿêùî 10  40. 91. Çíàéäіòü çà ìàëþíêîì 44: 1) 5, ÿêùî 2  37; 2) 12, ÿêùî 3  30. 92. Äіàãîíàëü ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü êóò ïðÿìîêóòíèêà íà äâà êóòè, îäèí ç ÿêèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé. Çíàéäіòü öі êóòè. Достатній рівень 93. Äîâåäіòü, ùî íàâêîëî ïðÿìîêóòíèêà ìîæíà îïèñàòè êîëî. 94. Çíàéäіòü êóò ìіæ ìåíøîþ ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ ïðÿìî- êóòíèêà, ÿêùî âіí: 1) íà 15 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè ìåíøîї ñòîðîíè; 2) íà 50 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè áіëüøîї ñòîðîíè. 95. Çíàéäіòü êóò ìіæ áіëüøîþ ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ ïðÿìî- êóòíèêà, ÿêùî âіí: 1) íà 90 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè áіëüøîї ñòîðîíè; 2) íà 40 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè ìåíøîї ñòîðîíè. 96. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі O, E - ñåðåäèíà AB, CAB  70. Çíàéäіòü DOE. 97. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі O. OP - áіñåêòðèñà òðèêóòíèêà AOB, DOP  130. Çíàéäіòü CAB. 98. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç ãîñòðèì êóòîì A äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ âA òî÷öі O. Íà âіäðіçêàõ AO і OC ïîçíà- ÷åíî òî÷êè M і N òàê, ùî OM  OB, ON  OD. Äîâåäіòü, ùî BMDN - ïðÿ- ìîêóòíèê. 99. Òî÷êè Â і D íàëåæàòü êîëó іç öåíò- ðîì Î, AC - äіàìåòð êîëà, AD  BC (ìàë. 45). Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïðÿ- ìîêóòíèê. Ìàë. 44 Ìàë. 45

24. 24. 25 ЧОТИРИКУТНИКИ 100. Ïåðïåíäèêóëÿðè, ïðîâåäåíі ç òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà äî äâîõ éîãî ñóñіäíіõ ñòîðіí, äîðіâíþþòü 4 ñì і 9 ñì. Âèçíà÷òå ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. 101. Áіñåêòðèñà îäíîãî ç êóòіâ ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü éîãî ñòîðîíó íàâïіë. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî áіëüøà ñòîðîíà äîðіâíþє 20 ñì. 102. Áіñåêòðèñà îäíîãî ç êóòіâ ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü éîãî ñòîðîíó íàâïіë. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ìåíøà ñòîðîíà äîðіâíþє 8 äì. Високий рівень 103. Íà ìàëþíêó 46 ABCD - ïðÿìîêóò- íèê, BK  AC, ACD  60. 1) OK  a. Çíàéäіòü: DB і AB; 2) AC  m. Çíàéäіòü: AK і CD. 104. Íà ìàëþíêó 46 ABCD - ïðÿìîêóò- íèê, BK  AC, ACD  60, AB  b. Çíàéäіòü BD і OK. 105. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC ç ãіïîòå- íóçîþ BC  35 ñì âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê KLMN òàê, ùî òî÷êè K і L ëåæàòü íà ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè M і N - íà êàòåòàõ. KL : KN  3 : 2. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿ- ìîêóòíèêà. 106. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê, êàòåò ÿêîãî äîðіâíþє 20 ñì, âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê, ÿêèé ìàє ç òðè- êóòíèêîì ñïіëüíèé ïðÿìèé êóò, à âåðøèíà ïðîòèëåæíîãî êóòà íàëåæèòü ãіïîòåíóçі. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. Вправи для повторення 107. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïàðàëåëîãðàìà ABCD ïðî- âåäåíî âèñîòó BK. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî . 108. 1) Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ òðèêóòíèêà є ñåðåä- íіì àðèôìåòè÷íèì äâîõ іíøèõ êóòіâ. Çíàéäіòü öåé êóò. 2) Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà є ñåðåäíіì àðèôìåòè÷íèì òðüîõ іíøèõ êóòіâ. Çíàéäіòü öåé êóò. 109. ×åðåç òî÷êó P, ùî íàëåæèòü âíóòðіøíіé îáëàñòі êóòà ABC, ïðîâåäіòü ïðÿìó òàê, ùîá її âіäðіçîê, ÿêèé ëåæèòü ìіæ ñòîðîíàìè êóòà, äіëèâñÿ òî÷êîþ Ð íàâïіë. Ìàë. 46

25. 25. 26 Розділ 1 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 110. Äàíî: AB  BC  CD  DA (ìàë. 47). Äîâåñòè: A  C, B  D. Цікаві задачі для учнів неледачих 111. ×è ìîæíà ðîçðіçàòè êâàäðàò ðîçìі- ðîì 6 6 íà ïðÿìîêóòíèêè ðîçìіðîì 1  4? 4. Ромбом називають паралелограм, у якого всі стороним рівні (мал. 48). Îñêіëüêè ðîìá є ïàðàëåëîãðàìîì, òî âіí ìàє âñі âëàñòè- âîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. Сума будь-яких двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. 2. У ромба протилежні кути рівні. 3. Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл. 4. Периметр ромба PABCDP = 4D AB. Êðіì òîãî, ðîìá ìàє ùå òàêó âëàñòèâіñòü. 5. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і ділять його кути навпіл. Ìàë. 48 Ìàë. 49 Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé AC і BD - äіàãîíàëі ðîìáà ABCD (ìàë. 49), O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé. Îñêіëüêè AB  AD і DO  OB, òî AO - ìåäіàíà ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà ABD, ïðîâåäåíà äî îñíîâè BD. Òîìó AO є òàêîæ âèñîòîþ і áіñåêòðè- ñîþ òðèêóòíèêà ABD. Ìàë. 47 РОМБ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

26. 26. 27 ЧОТИРИКУТНИКИ Îòæå, AC  BD і DAO  BAO.  Àíàëîãі÷íî ìîæíà äîâåñòè, ùî äіàãîíàëü AC äіëèòü íàâïіë êóò DCB, à äіàãîíàëü BD äіëèòü íàâïіë êóòè ABC і ADC. Çàäà÷à 1. Êóò ìіæ âèñîòîþ і äіàãîíàëëþ ðîìáà, ïðîâåäåíèìè ç îäíієї âåðøèíè, äîðіâíþє 28. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. BD - äіàãîíàëü ðîìáà ABCD, à BK - éîãî âèñîòà (ìàë. 50), KBD  28 (çà óìîâîþ). Ìàë. 50 1) Ó {BKD BDK  90 - 28  62. 2) Îñêіëüêè DB äіëèòü êóò ADC íàâïіë, òî ADC   2  62  124. 3) Òîäі ABC  ADC  124; A  C  180 - 124  56. Â і ä ï î â і ä ü. 124, 56, 124, 56. Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ðîìáà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ðîìáà). ßêùî â ïàðàëåëîãðàìі: 1) äâі ñóñіäíі ñòîðîíè ðіâíі, àáî 2) äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ ïіä ïðÿìèì êóòîì, àáî 3) äіàãîíàëü äіëèòü íàâïіë êóòè ïàðàëå- ëîãðàìà, - òî ïàðàëåëîãðàì є ðîìáîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ABCD - ïàðàëåëîãðàì (äèâ. ìàë. 49). Îñêіëüêè AB  AD (çà óìîâîþ) і AB  CD, AD  BC (çà âëàñòèâіñòþ ïàðàëåëîãðàìà), òî AB  AD  BC  ÑD. Îòæå, ABCD - ðîìá. 2) Íåõàé AC  BD (ìàë. 49). Îñêіëüêè OB  OD (çà âëàñ- òèâіñòþ ïàðàëåëîãðàìà), òî {AOB  {AOD (çà äâîìà êàòåòà- ìè). Òîìó AB  AD. Çà ï. 1 öієї òåîðåìè ABCD - ðîìá. 3) Äіàãîíàëü DB äіëèòü íàâïіë êóò D ïàðàëåëîãðàìà ABCD, òîáòî ADB  BDC (çà óìîâîþ). Îñêіëüêè ïàðàëåëüíі ïðÿìі AB і DC ïåðåòíóëè ñі÷íîþ DB, òî ABD  BDC (ÿê âíóò- ðіøíі ðіçíîñòîðîííі). Îòæå, ADB  ABD. Òîìó çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà {ABD - ðіâíîáåäðåíèé і AD  AB. Çà ï. 1 öієї òåîðåìè ABCD - ðîìá. 

27. 27. 28 Розділ 1 Çàäà÷à 2. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі ñòîðîíè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ðîìá. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé AB  BC  CD  DA (äèâ. ìàë. 48). 1) Îñêіëüêè â ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðî- íè ïîïàðíî ðіâíі, òî çà îçíàêîþ ïàðàëåëîãðàìà ìàєìî, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Ó ïàðàëåëîãðàìà ABCD ñóñіäíі ñòîðîíè ðіâíі. Òîìó ABCD - ðîìá (çà îçíàêîþ ðîìáà).  Слово "ромб" грецького походження, у давнину воно означало тіло, що обертається, - веретено, дзиґу. Ромб тоді пов'язували з перерізом веретена, на яке намотано нитки. У "Началах" Евкліда термін "ромб" зустрічається лише один раз, а властивості ромба Евклід взагалі не розглянув. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ðîìáîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ðîìáà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ðîìáà. Початковий рівень 112. (Óñíî.) ßêі іç ÷îòèðèêóòíèêіâ íà ìàëþíêàõ 51-55 є ðîì- áàìè? Ìàë. 51 Ìàë. 52 Ìàë. 53 Ìàë. 54 Ìàë. 55 113. Íàêðåñëіòü ðîìá ABCD, ó ÿêîãî êóò B òóïèé. 114. Íàêðåñëіòü ðîìá ABCD, ó ÿêîãî êóò A ãîñòðèé. 115. Ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 28 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíó. 116. Ñòîðîíà ðîìáà äîðіâíþє 5 äì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 117. Ãîñòðèé êóò ðîìáà äîðіâíþє 50. ßêèé êóò óòâîðþє äіàãîíàëü, ïðîâåäåíà іç öüîãî êóòà, çі ñòîðîíîþ ðîìáà? 118. Òóïèé êóò ðîìáà äîðіâíþє 110. ßêèé êóò óòâîðþє äіàãî- íàëü, ïðîâåäåíà іç öüîãî êóòà, çі ñòîðîíîþ ðîìáà?

28. 28. 29 ЧОТИРИКУТНИКИ 119. Äіàãîíàëü ðîìáà óòâîðþє çі ñòîðîíîþ êóò 60. Çíàéäіòü òóïèé êóò ðîìáà. 120. Äіàãîíàëü ðîìáà óòâîðþє çі ñòîðîíîþ êóò 20. Çíàéäіòü ãîñòðèé êóò ðîìáà. Середній рівень 121. Ó ðîìáі ABCD êóò A äîðіâíþє 36. Çíàéäіòü êóòè òðèêóò- íèêà AOB, äå O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé. 122. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ðîìáà ABCD, B  118. Çíàéäіòü êóòè òðèêóòíèêà BOC. 123. Ñóìà äîâæèí òðüîõ ñòîðіí ðîìáà äîðіâíþє 15 ñì. Çíàé- äіòü éîãî ïåðèìåòð. 124. Ñóìà äîâæèí äâîõ ñòîðіí ðîìáà äîðіâíþє 18 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ðîìáà. 125. ABCD - ðîìá, 2  66 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 1. 126. ABCD - ðîìá, 1  58 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 2. 127. ABCD - ðîìá, 1  55 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 3. 128. ABCD - ðîìá, 3  50 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 1. 129. Ó ðîìáі ABCD AB  BD. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 130. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü ðîìá і ïàðàëåëî- ãðàì? 131. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ éîãî êóòіâ äîðіâíþє 80; 2) îäèí ç íèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé. 132. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ éîãî êóòіâ äîðіâíþє 210; 2) îäèí ç íèõ íà 50 ìåíøèé âіä äðóãîãî. 133. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: 1) ÿêùî â ÷îòèðèêóòíèêó äіàãîíàëі ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є ðîìáîì; 2) ÿêùî â ÷îòèðèêóòíèêó äіàãîíàëі íå ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí íå ìîæå áóòè ðîìáîì; 3) іñíóє ðîìá, ÿêèé є ïðÿìîêóòíèêîì; 4) æîäåí ïðÿìîêóòíèê íå є ðîìáîì? Ìàë. 56

29. 29. 30 Розділ 1 Достатній рівень 134. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãî- íàëÿìè êóòè, ðіçíèöÿ ÿêèõ äîðіâíþє 10. 135. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãî- íàëÿìè êóòè, ÿêі âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 136. Ïîáóäóéòå ðîìá: 1) çà ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ; 2) çà äіàãîíàëÿìè. 137. Ïîáóäóéòå ðîìá çà ñòîðîíîþ і êóòîì. 138. Ó ðîìáі ABCD ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïðîâåäåíî âèñî- òè BM і BN. Äîâåäіòü, ùî BM  BN. 139. Ó ðîìáі ABCD ç âåðøèí òóïèõ êóòіâ ïðîâåäåíî âèñîòè BK і DL. Äîâåäіòü, ùî BK  DL. 140. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà ðîìáà, óòâî- ðþþòü ìіæ ñîáîþ êóò 110. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 141. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè òóïîãî êóòà ðîìáà, óòâîðþ- þòü ìіæ ñîáîþ êóò 50. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. Високий рівень 142. Äіàãîíàëü ðîìáà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, óòâî- ðþє ç âèñîòîþ, ïðîâåäåíîþ іç öієї ñàìîї âåðøèíè, êóò 30. Ìåíøà äіàãîíàëü ðîìáà äîðіâíþє a ñì. Çíàéäіòü: 1) êóòè ðîìáà; 2) ïåðèìåòð ðîìáà. 143. Ó ðîìáі âèñîòà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, äіëèòü ñòîðîíó ðîìáà íàâïіë. Çíàéäіòü: 1) êóòè ðîìáà; 2) ïåðèìåòð ðîìáà, ÿêùî éîãî ìåíøà äіàãîíàëü äîðіâíþє b ñì. 144. Íà äіàãîíàëі AC ðîìáà ABCD ïîçíà÷åíî òî÷êè M іM N òàêі,N ùî AM  CN. Äîâåäіòü, ùî ÷îòèðèêóòíèê DMBN є ðîìáîìN (ðîçãëÿíüòå äâà âèïàäêè ðîçìіùåííÿ òî÷îê M іM N). 145. Äîâåäіòü, ùî ñåðåäèíè ñòîðіí ïðÿìîêóòíèêà є âåðøèíà- ìè ðîìáà. 146. Ó ðіâíîñòîðîííіé òðèêóòíèê ABC âïèñàíî ðîìá AMNK òàê, ùî òðèêóòíèê і ðîìá ìàþòü ñïіëüíèé êóò A, à òî÷êà N ëåæèòü íà ñòîðîíі BC. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðèêóòíèêà, ÿêùî ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 40 ñì.

30. 30. 31 ЧОТИРИКУТНИКИ Вправи для повторення 147. Ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 5 : 2. Çíàé- äіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî ðіçíèöÿ öèõ ñòîðіí äîðіâíþє 15 ñì. 148. Îäèí ç êóòіâ òðèêóòíèêà äîðіâíþє ñóìі äâîõ іíøèõ. Çíàéäіòü íàéáіëüøó ñòîðîíó öüîãî òðèêóòíèêà, ÿêùî ìåäіàíà, ïðîâåäåíà äî íåї, äîðіâíþє 5 ñì. 149. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє 2p2 ñì. ×è ìîæå îäíà ç éîãî ñòîðіí äîðіâíþâàòè: 1) (p(( - 1) ñì; 2) p ñì; 3) (p(( + 1) ñì? 150. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD áіñåêòðèñà êóòà A ïåðåòèíàє áіñåêòðèñè êóòіâ B і D ïіä ïðÿìèì êóòîì. Âèçíà÷òå âèä ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 151. Çíàéäіòü ïåðèìåòð і ïëîùó êâàäðàòà, ñòîðîíà ÿêîãî äî- ðіâíþє: 1) 5 ñì; 2) 2,1 äì; 3) ì; 4) äì. Цікаві задачі для учнів неледачих 152. (Êèїâñüêà ìіñüêà îëіìïіàäà, 1987 ð.) Âïèñàíå ó òðèêóò- íèê ABC êîëî äîòèêàєòüñÿ äî ñòîðîíè BC ó òî÷öі K. Äîâåäіòü, ùî âіäðіçîê AK äîâøèé çà äіàìåòð êîëà. 5. Квадратом називають прямокутник, у якого всі стороним рівні. Íà ìàë. 57 çîáðàæåíî êâàäðàò ABCD. Ïðÿìîêóòíèê є ïàðà- ëåëîãðàìîì, òîìó і êâàäðàò - ïàðàëåëîãðàì, ó ÿêîãî âñі ñòî- ðîíè ðіâíі, òîáòî âіí є і ðîìáîì. Îòæå, êâàäðàò ìàє âëàñòè- âîñòі ïðÿìîêóòíèêà і ðîìáà. Ñôîðìóëþєìî âëàñòèâîñòі êâàäðàòà. 1. Усі кути квадрата прямі. 2. Периметр квадрата PABCDP = 4D AB. 3. Діагоналі квадрата між собою рівні (мал. 58). КВАДРАТ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

31. 31. 32 Розділ 1 4. Діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл (мал. 58). 5. Діагоналі квадрата ділять його кути навпіл, тобто утво- рюють кути 45° зі сторонами квадрата (мал. 58). 6. Точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від усіх його вершин: AO =O BO =O CO =O DO. Ìàë. 57 Ìàë. 58 Ìàë. 59 Çàäà÷à 1. Òî÷êè K і M íàëåæàòü âіäïîâіäíî äіàãîíàëÿì BD і AC êâàäðàòà ABCD, ïðè÷îìó , . Äîâå- äіòü, ùî {ADM  {BAK (ìàë. 59). Ä î â å ä å í í ÿ. 1) MAD  ABK  45, AD  AB (ÿê ñòîðîíè êâàäðàòà). 2) Îñêіëüêè AC  BD (ÿê äіàãîíàëі êâàäðàòà) і , , òî AM  BK. 3) Òîìó {ADM  {BAK (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè).  Ðîçãëÿíåìî îçíàêè êâàäðàòà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè êâàäðàòà). 1) ßêùî äіàãîíàëі ïðÿ- ìîêóòíèêà âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є êâàäðàòîì. 2) ßêùî äіàãîíàëі ðîìáà ìіæ ñîáîþ ðіâíі, òî âіí є êâàäðàòîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Ïðÿìîêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì, à ïàðàëåëîãðàì іç âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíèìè äіàãîíàëÿìè є ðîìáîì. Îòæå, ó çàäàíîãî ïðÿìîêóòíèêà âñі ñòîðîíè ðіâíі, à òîìó âіí є êâàäðàòîì. 2) Ðîìá є ïàðàëåëîãðàìîì, à ïàðàëåëîãðàì ç ðіâíèìè äіàãî- íàëÿìè є ïðÿìîêóòíèêîì. Îòæå, ó ðîçãëÿäóâàíîãî ðîìáà âñі êóòè ïðÿìі, à òîìó âіí є êâàäðàòîì.  Çàäà÷à 2. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі ñòîðîíè ðіâíі і âñі êóòè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - êâàäðàò.

32. 32. 33 ЧОТИРИКУТНИКИ Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Îñêіëüêè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі êóòè ðіâíі, òî, çà îçíàêîþ ïðÿìîêóòíèêà, âіí є ïðÿìîêóòíèêîì. 2) Îñêіëüêè ó ïðÿìîêóòíèêà âñі ñòîðîíè ðіâíі, òî âіí є êâàäðàòîì.  Термін "квадрат" походить від латинського quadratum (quadrate - зробити чотирикутним). Відомий історик математики Д. Д. Мордухай-Болтовський (1876-1952) писав: "Першим чотирикутником, з яким познайомилася геометрія, був квадрат". 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü êâàäðàòîì? 2. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі êâàäðàòà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè êâàäðàòà. Початковий рівень 153. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 20 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíó. 154. Ñòîðîíà êâàäðàòà äîðіâíþє 7 äì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 155. (Óñíî.) Íà ìàë. 58 çîáðàæåíî êâàäðàò ABCD. Íàçâіòü ðіâíі ìіæ ñîáîþ âіäðіçêè íà öüîìó ìàëþíêó. 156. ßêùî ÷îòèðèêóòíèê є êâàäðàòîì, òî éîãî äіàãîíàëі ðіâíі і âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі. ×è ïðàâèëüíå îáåðíåíå òâåð- äæåííÿ? Íàâåäіòü ïðèêëàä. Середній рівень 157. Òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà çíàõîäèòüñÿ íà âіä- ñòàíі 2 ñì âіä îäíієї ç éîãî âåðøèí. Çíàéäіòü ñóìó äîâæèí äіàãîíàëåé öüîãî êâàäðàòà. 158. Ñóìà äîâæèí äіàãîíàëåé êâàäðàòà äîðіâíþє 32 ñì. Çíàé- äіòü âіäñòàíü âіä òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà äî îäíієї ç éîãî âåðøèí. 159. Ñóìà äîâæèí äâîõ ñòîðіí êâàäðàòà äîðіâíþє 10 ñì. Çíàé- äіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 160. Ñóìà äîâæèí òðüîõ ñòîðіí êâàäðàòà äîðіâíþє 18 äì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 161. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü êâàäðàò і ðîìá?

33. 33. 34 Розділ 1 162. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü êâàäðàò і ïðÿìî- êóòíèê? 163. Ðіçíèöÿ ìіæ ïåðèìåòðîì êâàäðàòà і éîãî ñòîðîíîþ äîðіâ- íþє 18 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíó êâàäðàòà òà éîãî ïåðèìåòð. 164. Ñóñіäíі ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà ðіâíі. Äîâåäіòü, ùî âіí є êâàäðàòîì. 165. Îäèí ç êóòіâ ðîìáà - ïðÿìèé. Äîâåäіòü, ùî öåé ðîìá є êâàäðàòîì. 166. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: 1) êîæíèé êâàäðàò є ïðÿìîêóòíèêîì; 2) іñíóє êâàäðàò, ÿêèé íå є ðîìáîì; 3) êîæíèé ðîìá є êâàäðàòîì; 4) êîæíèé êâàäðàò є ðîìáîì; 5) áóäü-ÿêèé ïðÿìîêóòíèê є êâàäðàòîì; 6) âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà êâàäðàòà äî éîãî ñòîðîíè є ñòà- ëèì äëÿ âñіõ êâàäðàòіâ? 167. ABCD - êâàäðàò, EF  BD (ìàë. 60). Çíàéäіòü BFE. 168. ABCD - êâàäðàò, BOC  70(ìàë. 61). Çíàéäіòü OKA. Ìàë. 60 Ìàë. 61 Достатній рівень 169. Ïîáóäóéòå êâàäðàò: 1) çà éîãî ïåðèìåòðîì; 2) çà éîãî äіàãîíàëëþ. 170. Ïîáóäóéòå êâàäðàò çà ñóìîþ éîãî äіàãîíàëåé. 171. Òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà âіääàëåíà âіä éîãî ñòîðîíè íà 3 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 172. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 32 ñì. Çíàéäіòü âіäñòàíü âіä òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà äî éîãî ñòîðіí.

34. 34. 35 ЧОТИРИКУТНИКИ 173. ABCD - êâàäðàò, AE  FC (ìàë. 62). Äîâåäіòü, ùî BEDF -F ðîìá. 174. ABCD - êâàäðàò, AE  AF  CG  CH (ìàë. 63). Äîâåäіòü, ùî EFGH - ïðÿìîêóòíèê. Ìàë. 62 Ìàë. 63 175. Äî êîëà іç öåíòðîì ó òî÷öі O ç òî÷êè A ïðîâåäåíî äâі âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі äîòè÷íі AB і AC, B і C - òî÷êè äîòèêó. Äîâåäіòü, ùî ABOC - êâàäðàò. Високий рівень 176. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC (C  90) âïèñàíî êâàäðàò CMNK òàê, ùî ïðÿìèé êóò ó íèõ ñïіëü- íèé, à òî÷êà N íàëåæèòü ñòîðîíі AB. Êàòåò òðèêóòíèêà äîðіâíþє b ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 177. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC (C  90) âïèñàíî êâàäðàò KMNL òàê, ùî òî÷êè K і M ëåæàòü íà ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè L і N - íà êàòåòàõ AC і BC âіäïîâіäíî. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 12 ñì. Çíàéäіòü ãіïîòåíóçó òðèêóòíèêà. 178. Íà ñòîðîíàõ êâàäðàòà çîâíі ïîáóäîâàíî ðіâíîñòîðîííі òðèêóòíèêè. Äîâåäіòü, ùî âåðøèíè òðèêóòíèêіâ, ÿêі íå є âåðøèíàìè çàäàíîãî êâàäðàòà, є âåðøèíàìè іíøîãî êâàä- ðàòà. Вправи для повторення 179. Ó ðîìáі ABCD äіàãîíàëü óòâîðþє ç îäíієþ çі ñòîðіí êóò 30. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 180. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD A : B : C : D   1 : 3 : 4 : 10. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì є öåé ÷îòèðèêóòíèê?

35. 35. 36 Розділ 1 181. Áіñåêòðèñà êóòà B ïðÿìîêóòíèêà ABCD äіëèòü ñòîðîíó AD íà âіäðіçêè AK іK KD òàê, ùî AK :K KD  3 : 5. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 110 ñì. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 182. 1) Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê, äâі ñòîðîíè ÿêîãî ìіæ ñî- áîþ ïàðàëåëüíі, à äâі іíøі - íåïàðàëåëüíі. 2) ßêà íàéáіëüøà êіëüêіñòü ãîñòðèõ êóòіâ ìîæå áóòè â òàêîìó ÷îòèðèêóòíèêó? Цікаві задачі для учнів неледачих 183. Î 12-é ãîäèíі ãîäèííà і õâèëèííà ñòðіëêè çáіãàþòüñÿ. ×åðåç ÿêó íàéìåíøó êіëüêіñòü õâèëèí ñòðіëêè çíîâó çáіæàòüñÿ? Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 1 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäåé (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âàðіàíò âіäïîâіäі. 1. Óêàæіòü âіäðіçîê, ùî є äіàãîíàëëþ ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. À. AB; Á. BD; Â. BC; Ã. AD. 2. Çíàéäіòü òóïèé êóò ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 35. À. 125; Á. 135; Â. 145; Ã. 155. 3. Çíàéäіòü ñòîðîíó êâàäðàòà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 36 ñì. À. 4 ñì; Á. 6 ñì; Â. 9 ñì; Ã. 12 ñì. 4. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 24 ñì, à îäíà ç éîãî ñòîðіí íà 2 ñì áіëüøà çà äðóãó. Çíàéäіòü äîâæèíó ìåíøîї ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà. À. 5 ñì; Á. 6 ñì; Â. 7 ñì; Ã. 8 ñì. 5. ABCD - ðîìá; A  50 (ìàë. 64). Çíàéäіòü ABD. À. 55; Â. 75; Á. 50; Ã. 65. 6. Óêàæіòü ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: À. ÿêùî äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà âçà- єìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є ðîìáîì; Á. âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà ðîìáà äî éîãî ñòîðîíè є ñòàëèì äëÿ âñіõ ðîìáіâ; Ìàë. 64

36. 36. 37 ЧОТИРИКУТНИКИ Â. ÿêùî äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà ðіâíі, òî âіí є ïðÿìîêóò- íèêîì; Ã. âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà ïðÿìîêóòíèêà, ÿêèé íå є êâàäðàòîì, äî éîãî íàéáіëüøîї ñòîðîíè є íåçìіííèì äëÿ âñіõ ïðÿìîêóòíèêіâ. 7. Çíàéäіòü íàéáіëüøèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ó ÿêîãî ãðà- äóñíі ìіðè êóòіâ ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 2; 3; 5 і 8. À. 120; Á. 130; Â. 150; Ã. 160. 8. Âèñîòè, ÿêі ïðîâåäåíî ç âåðøèíè òóïîãî êóòà ïàðàëåëî- ãðàìà, óòâîðþþòü ìіæ ñîáîþ êóò 30. Çíàéäіòü òóïèé êóò ïàðàëåëîãðàìà. À. 120; Á. 130; Â. 150; Ã. 160. 9. Çíàéäіòü ãîñòðèé êóò ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãîíàëÿìè êóòè, ðіçíèöÿ ÿêèõ äîðіâíþє 40. À. 25; Á. 30; Â. 50; Ã. 60. 10. Áіñåêòðèñà êóòà D ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіëèòü ñòî- ðîíó AB íà âіäðіçêè AK і KB òàê, ùî AK : KB  1 : 3. Çíàéäіòü AB, ÿêùî ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 60 ñì. À. 26 ñì; Á. 24 ñì; Â. 20 ñì; Ã. 15 ñì. 11. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà A ðîìáà ABCD ïðîâåäåíî âèñîòó AK. CAK  30, AC  6 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ðîìáà. À. 18 ñì; Á. 24 ñì; Â. 30 ñì; Ã. 36 ñì. 12. Ó {ABC (C  90, AC  ÂC) âïèñàíî êâàäðàò KLMN òàê, ùî K  AB; L  AB; M  CB; N  AC. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà, ÿêùî AB  12 ñì. À. 24 ñì; Á. 20 ñì; Â. 12 ñì; Ã. 16 ñì. Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü äî § 1-5 1. Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê MNPL і ïðîâåäіòü ó íüîìó äіà- ãîíàëі. 2. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 80. 3. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà äîðіâíþє 7 ñì. 4. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâ- íþє 18 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî îäíà ç íèõ íà 1 ñì áіëüøà çà äðóãó. 5. ABCD - ðîìá. ABD  50. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 6. Íà ìàëþíêó 65 ABD  BDC, AB  DC. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ìàë. 65

37. 37. 38 Розділ 1 7. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 2, 3, 4, 6. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì âіí є? 8. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà ðîìáà, óòâîðþ- þòü ìіæ ñîáîþ êóò 120. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 9. Áіñåêòðèñà êóòà À ïàðàëåëîãðàìàÀ ABCD äіëèòü ñòîðîíó BC íà âіäðіçêè BK і KC òàê, ùî BK : KC  4 : 3. Çíàéäіòü ñòîðî- íè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 88 ñì. Äîäàòêîâі çàâäàííÿ 10. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC ç ãіïî- òåíóçîþ BC  23 ñì âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê KLMN òàê, ùî òî÷êè K і L íàëåæàòü ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè M і N - êàòåòàì. Ñòîðîíà KL ïðÿìîêóòíèêà íà 2 ñì áіëüøà çà ñòîðîíó LM. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. 11. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà Â ðîìáà ABCD ïðîâåäåíî âèñî- òó ÂÌ, DÂÌ  30. Ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü ìåíøó äіàãîíàëü ðîìáà. 6. Трапецією називають чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні. Íà ìàëþíêó 66 çîáðàæåíî òðàïå- öіþ ABCD. Ïàðàëåëüíі ñòîðîíè òðàïåöії íàçèâàþòü îñíîâàìè, à íå ïàðàëåëüíі - áі÷íèìè ñòîðîíàìè. Íà ìàëþíêó 66 AD і BC - îñíîâè òðàïåöії, AB і CD - її áі÷íі ñòîðîíè. Ðîçãëÿíåìî äåÿêі âëàñòèâîñòі òðàïåöії. 1. Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорів- нює 180. Îñêіëüêè AD || BC, òî A + B  180 (ÿê ñóìà âíóòðіøíіõ îäíîñòîðîííіõ êóòіâ). Àíàëîãі÷íî C + D  180. 2. Трапеція є опуклим чотирикутником. Îñêіëüêè A + B  180, òî A < 180, B < 180. Àíà- ëîãі÷íî C < 180, D < 180. Îòæå, òðàïåöіÿ - îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê. ТРАПЕЦІЯ Ìàë. 66

38. 38. 39 ЧОТИРИКУТНИКИ Висотою трапеції називають перпендикуляр, проведе-ї ний з будь-якої точки основи трапеції до прямої, що міс- тить протилежну основу. Íàé÷àñòіøå âèñîòó òðàïåöії ïðîâîäÿòü ç її âåðøèíè. Íà ìàëþíêó 67 BK - âèñîòà òðàïåöії ABCD. Òðàïåöіþ íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíîþ, ÿêùî îäèí ç її êóòіâ - ïðÿìèé. Íà ìàëþíêó 68 - ïðÿìîêóòíà òðàïåöіÿ ABCD (A  90). Î÷åâèäíî, ùî B  90. ÀÂ є ìåíøîþ áі÷íîþ ñòî- ðîíîþ ïðÿìîêóòíîї òðàïåöії і її âèñîòîþ. Ìàë. 67 Ìàë. 68 Òðàïåöіþ íàçèâàþòü ðіâíîáі÷íîþ, ÿêùî її áі÷íі ñòîðîíè ðіâíі. Íà ìàëþíêó 69 - ðіâíîáі÷íà òðàïåöіÿ ABCD. Ðîçãëÿíåìî äåÿêі âàæëèâі âëàñòèâîñòі ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії. 1. У рівнобічній трапеції кути при основі між собою рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé â òðàïåöії ABCD ÀB  CD. Ïðî- âåäåìî âèñîòè òðàïåöії BK і CM ç âåðøèí її òóïèõ êóòіâ Â і Ñ (ìàë. 70). Óòâîðèâñÿ ïðÿìîêóòíèê BKMC. Òîìó BK  CM. Ìàë. 69 Ìàë. 70 2) {ABK  {DCM (çà êàòåòîì і ãіïîòåíóçîþ). Òîìó BAD  CDA. 3) Òàêîæ ABK  DCM. Îñêіëüêè KBC  MCB   90, òîABC  ABK + 90 i DCB DCM + 90. Òîìó ABC  DCB. 

39. 39. 40 Розділ 1 2. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. Ðîçãëÿíåìî ìàëþ- íîê 71. BAD  CDA (ÿê êóòè ïðè îñíîâі ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії), AB  DC, AD - ñïіëüíà ñòîðîíà òðèêóòíèêіâ ABD і DCÀ. Òîìó {ABD  {DCA (çà äâîìà ñòî- ðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Îòæå, AC  ÂD. Çàäà÷à. Î - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії ABCD ç îñíîâàìè AD і BC (ìàë. 71). Äîâåäіòü, ùî AÎ  ÎD, BÎ  ÎC. Ä î â å ä å í í ÿ. {ABD  {DCA (äîâåäåíî âèùå). Òîìó ODA  OAD. Çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà - òðè- êóòíèê AOD - ðіâíîáåäðåíèé. Òîìó AÎ  ÎD. Îñêіëüêè AC  ÂD і AÎ  ÎD, òî ÎC  BÎ (áî OC  AC - AO, BO  BD - OD).  Ò å î ð å ì à (îçíàêà ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії). ßêùî ó òðà- ïåöії êóòè ïðè îäíіé îñíîâі ðіâíі, òî òðàïåöіÿ - ðіâíîáі÷íà. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ó òðàïåöії ABCD êóòè ïðè áіëü- øіé îñíîâі AD ðіâíі (ìàë. 70), òîáòî BAD  CDA. Ïðîâåäå- ìî âèñîòè BK і CM, ÿêі ðіâíі ìіæ ñîáîþ. 2) Òîäі {BAK  {CDM (çà êàòåòîì і ïðîòèëåæíèì êóòîì).M Òîìó AB  DC. Òðàïåöіÿ ðіâíîáі÷íà, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.  Термін "трапеція" грецького походження (грецькою мовою "трапе- дзіон" означає "столик", зокрема столик для обіду; слова "трапеція" і "трапеза" - однокореневі). У своїй праці "Начала" Евклід під терміном "трапеція" розумів будь- який чотирикутник, який не є паралелограмом. Більшість математиків Середньовіччя використовувала термін "трапеція" з тим самим змістом. Трапеція в сучасному розумінні вперше зустрічається у давньогрець- кого математика Посидонія (I ст.), але лише починаючи з XVIII ст. цей термін став загальновживаним для чотирикутників, у яких дві сторони паралельні, а дві інші - непаралельні. Ìàë. 71 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü òðàïåöієþ? 2. Ùî íàçèâàþòü îñíîâàìè òðàïåöії, áі÷íèìè ñòîðîíàìè òðàïåöії? 3. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі òðàïåöії. 4. Ùî òàêå âèñîòà òðàïåöії?

40. 40. 41 ЧОТИРИКУТНИКИ Початковий рівень 184. Íà ÿêèõ ç ìàëþíêіâ 72-76 çîáðàæåíî òðàïåöіþ? Ìàë. 72 Ìàë. 73 Ìàë. 74 Ìàë. 75 Ìàë. 76 185. Íàêðåñëіòü òðàïåöіþ PKML (PK || ML). Óêàæіòü îñíîâè òðàïåöії, áі÷íі ñòîðîíè òðàïåöії. 186. Íàêðåñëіòü òðàïåöіþ DMFK (DM || FK). Óêàæіòü îñíîâè òðàïåöії, áі÷íі ñòîðîíè òðàïåöії. 187. Íàêðåñëіòü ïðÿìîêóòíó òðàïåöіþ ABCD (A  B  90). 188. Íàêðåñëіòü ðіâíîáі÷íó òðàïåöіþ ABCD (AB((  CD). 189. Äâà êóòè òðàïåöії äîðіâíþþòü 20 і 100. Çíàéäіòü äâà іíøèõ її êóòè. 190. Äâà êóòè òðàïåöії äîðіâíþþòü 110 і 40. Çíàéäіòü äâà іíøèõ її êóòè. Середній рівень 191. Îñíîâè ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії äîðіâíþþòü 8 ñì і 10 ñì, à ïåðèìåòð 28 ñì. Çíàéäіòü áі÷íó ñòîðîíó òðàïåöії. 192. Îñíîâè ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії äîðіâíþþòü 7 ñì і 5 ñì, à áі÷íà ñòîðîíà - 3 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðàïåöії. 193. ×è іñíóє òðàïåöіÿ, ó ÿêîї äâà ïðîòèëåæíèõ êóòè: 1) ãîñòðі; 2) ïðÿìі; 3) òóïі? Ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі íàêðåñëіòü òàêó òðàïåöіþ. 194. ×è іñíóє òðàïåöіÿ, ó ÿêîї: 1) îñíîâè ìіæ ñîáîþ ðіâíі; 2) òðè ñòîðîíè ìіæ ñîáîþ ðіâíі? Ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі íàêðåñëіòü òàêó òðàïåöіþ. 5. ßêó òðàïåöіþ íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíîþ, ÿêó - ðіâíî- áі÷íîþ? 6. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ðіâíîáі÷íîї òðà- ïåöії. 7. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêó ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії.

# data[].attributes.headline
§ 24 опрацювати.

# data[].attributes.subject
§ 24 опрацювати.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Published on

1. 1. ÓÄÊ 514(075.3) ÁÁÊ 22.151ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0701 3ISBN 978-966-11-0701-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Ãåîìåòðіÿ : ïіäðó÷. äëÿ 8 êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016. - 216 ñ. ISBN 978-966-11-0701-3. Підручник відповідає новій програмі з математики, містить до- статню кількість диференційованих вправ та прикладних задач. Після кожного розділу наведено вправи для його повторення. Для підготовки до контрольної роботи передбачено "Домашню само- стійну роботу" та "Завдання для перевірки знань". Наприкінці під- ручника наведено матеріал для повторення курсу геометрії 7 кла- су, задачі підвищеної складності, предметний покажчик та відповіді до більшості вправ. Для найдопитливіших є низка нестандартних задач у рубриці "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий матеріал. ÓÄÊ 514(075.3) ÁÁÊ 22.151ÿ721 Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè (Íàêàç Ìіíіñòåðñòâà îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè âіä 10.05.2016 № 491) Åêñïåðòè, ÿêі çäіéñíèëè åêñïåðòèçó ïіäðó÷íèêà ïіä ÷àñ ïðîâå- äåííÿ êîíêóðñíîãî âіäáîðó ïðîåêòіâ ïіäðó÷íèêіâ äëÿ ó÷íіâ 8 êëà- ñó çàãàëüíîîñâіòíіõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäіâ і çðîáèëè âèñíîâîê ïðî äîöіëüíіñòü íàäàííÿ ïіäðó÷íèêó ãðèôà "Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñ- òåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè": Äóíàé Ñ.Ì., ó÷èòåëü ñïåöіàëіçîâàíîї çàãàëüíîîñâіòíüîї ñåðåäíüîї øêîëè № 1 ç ïîãëèáëåíèì âèâ÷åííÿì іíîçåìíèõ ìîâ ì. ×åðíіãîâà; Òåñëåíêî Î.Â., ìåòîäèñò ìåòîäè÷íîãî öåíòðó Óïðàâëіííÿ îñâіòè àäìіíіñòðàöії Êîìіíòåðíіâñüêîãî ðàéîíó Õàðêіâñüêîї ìіñüêîї ðàäè; ×îðíèé Â.Ç., çàâіäóâà÷ êàôåäðè ìàòåìàòèêè òà ìåòîäèêè її íà- â÷àííÿ Òåðíîïіëüñüêîãî íàöіîíàëüíîãî ïåäàãîãі÷íîãî óíіâåðñèòå- òó іì. Âîëîäèìèðà Ãíàòþêà, êàíäèäàò ôіçèêî-ìàòåìàòè÷íèõ íàóê, äîöåíò. Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

2. 2. 3 Øàíîâíі âîñüìèêëàñíèêè! Ó öüîìó íàâ÷àëüíîìó ðîöі âè ïðîäîâæèòå âèâ÷àòè ãåîìåò- ðіþ, à ïіäðó÷íèê, ÿêèé âè òðèìàєòå â ðóêàõ, äîïîìîæå âàì ó öüîìó. Ïіä ÷àñ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çâåðíіòü óâàãó íà òåêñò, íàäðóêîâàíèé æèðíèì øðèôòîì. Éîãî òðåáà çàïàì'ÿ- òàòè. Ó ïіäðó÷íèêó âè ïîáà÷èòå óìîâíі ïîçíà÷åííÿ. Îñü ùî âîíè îçíà÷àþòü: - означення, важливі геометричні твердження (аксіоми, теоре- ми, властивості); - запитання до вивченого теоретичного матеріалу;  - закінчення доведення теореми або задачі; - "ключова" задача, висновки якої використовуються під час розв'язування інших задач; - вправи для повторення; - рубрика "Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового мате- ріалу"; - вправи підвищеної складності; - рубрика "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий матеріал. ×îðíèì êîëüîðîì ïîçíà÷åíî íîìåðè âïðàâ äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ ó êëàñі, à ñèíіì - äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ âäîìà. Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü і âèîêðåìëåíî òàê: ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ñåðåäíüîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè äîñòàòíüîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè âèñîêîãî ðіâíÿ. Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ ìîæíà, âèêîíóþ÷è çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìî-

3. 3. 4 ñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Ïіñëÿ êîæíîãî ðîçäіëó íàâåäåíî âïðàâè äëÿ éîãî ïîâòîðåííÿ, à â êіíöі ïіäðó÷íèêà - "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðå- âіðêè çíàíü çà êóðñ ãåîìåòðії 8 êëàñó" òà "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі". Çàíÿòòÿ ãåîìåòðієþ ñòàíóòü ùå öіêàâіøèìè, ÿêùî âè ðîçâ'ÿçóâàòèìåòå âïðàâè ðóáðèêè "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ". Ïðèãàäàòè ðàíіøå âèâ÷åíå âàì äîïîìîæóòü "Âіäîìîñòі ç êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó" òà "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó", ÿêі ðîçìіùåíî â êіíöі ïіäðó÷íèêà. Àâòîð íàìàãàâñÿ ïîäàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ïіäðó÷íèêà ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ, ïðîіëþñòðóâàòè éîãî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó ó øêîëі éîãî îáîâ'ÿçêîâî ïîòðіáíî äîîïðàöþâàòè âäîìà. Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Áіëüøіñòü іç íèõ âè ðîçãëÿíåòå íà óðîêàõ і ïіä ÷àñ äîìàøíüîї ðîáîòè; іíøі âïðàâè ðåêîìåíäóєòüñÿ ðîçâ'ÿçàòè ñàìîñòіéíî. Ó êіíöі ïіäðó÷íèêà â äîäàòêó ïіä íàçâîþ "Ãîòóєìîñÿ äî ÇÍÎ" ïîäàíî äîáіðêó çàäà÷, ùî â ðіçíі ðîêè ïðîïîíóâàëèñÿ àáіòóðієíòàì íà çîâíіøíüîìó íåçàëåæíîìó îöіíþâàííі ç ìàòå- ìàòèêè, äëÿ ðîçâ'ÿçàííÿ ÿêèõ äîñòàòíüî çíàíü ç ãåîìåòðії çà 8-é êëàñ. Ðîçâ'ÿçàâøè öі çàäà÷і, âè çðîáèòå ùå îäèí êðîê óïåðåä äëÿ óñïіøíîї ïіäãîòîâêè äî ìàéáóòíіõ âèïðîáóâàíü, ÿêі ÷åêàòèìóòü íà âàñ ïіä ÷àñ âñòóïó äî îìðіÿíîãî âèøó. Öіêàâі ôàêòè ç іñòîðії ðîçâèòêó ãåîìåòðії ÿê íàóêè âè çíà- éäåòå ó ðóáðèöі "À ùå ðàíіøå..." Áàæàþ óñïіõіâ â îïàíóâàííі êóðñó!

4. 4. 5 Øàíîâíі â÷èòåëі! Ïðîïîíîâàíèé ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ; âïðàâè áіëüøîñòі ïàðàãðàôіâ ïîäàíî "іç çàïàñîì". Òîæ îáè- ðàéòå їõ äëÿ âèêîðèñòàííÿ íà óðîêàõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ, ñòóïåíÿ іíäèâіäóàëіçàöії òîùî. Âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ íà óðîöі, ìîæíà âèêîðèñòàòè íà äîäàòêîâèõ, ôàêóëüòàòèâíèõ òà іíäèâіäóàëüíèõ çàíÿòòÿõ. Äîäàòêîâі âïðàâè ó "Çàâäàííÿõ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü" ïðè- çíà÷åíî äëÿ ó÷íіâ, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàííÿìè ðàíіøå çà іíøèõ ó÷íіâ. Ïðàâèëüíå їõ ðîçâ'ÿçàííÿ â÷èòåëü ìîæå îöіíèòè îêðåìî. Âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ ðîçäіëіâ òà çàäà÷і ç äîäàòêà "Ãîòó- єìîñÿ äî ÇÍÎ" ìîæíà çàïðîïîíóâàòè ó÷íÿì, íàïðèêëàä, ïіä ÷àñ óçàãàëüíþþ÷èõ óðîêіâ ç òåìè àáî ïîâòîðåííÿ і ñèñòåìàòè- çàöії íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó â êіíöі íàâ÷àëüíîãî ðîêó. Îðãàíіçóâàòè ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó íà ïî÷àò- êó íàâ÷àëüíîãî ðîêó òà ïðèãàäàòè âіäïîâіäíèé òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ìîæíà, çàïðîïîíóâàâøè ó÷íÿì ðîçâ'ÿçàòè "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó" òà ïðî÷èòàòè âіäïî- âіäíі òåîðåòè÷íі âіäîìîñòі, ÿêі ðîçìіùåíî ó êіíöі ïіäðó÷íèêà. Øàíîâíі áàòüêè! ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ ó øêîëі, ïîòðіáíî çàïðîïîíóâàòè їé ñàìîñòіéíî îïðàöþâàòè öåé ìàòåðіàë çà ïіäðó÷íèêîì óäîìà. Ñïî÷àòêó áàæàíî, ùîá âîíà ïðî÷èòàëà òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë, ÿêèé âèêëàäåíî ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ òà ïðîіëþñòðîâàíî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ öüîãî - ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷і і âïðàâè, ùî їé ïîñèëüíі, ç ðîçãëÿíóòîãî ïàðàãðàôà. Óïðîäîâæ îïðàöþâàííÿ äèòèíîþ êóðñó ãåîìåòðії 8 êëàñó âè ìîæåòå ïðîïîíóâàòè їé äîäàòêîâî ðîçâ'ÿçóâàòè âäîìà âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ ïіä ÷àñ óðîêó. Öå ñïðèÿòèìå ÿêíàéêðàùîìó çàñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó. Êîæíà òåìà çàêіí÷óєòüñÿ òåìàòè÷íèì îöіíþâàííÿì. Ïåðåä éîãî ïðîâåäåííÿì çàïðîïîíóéòå äèòèíі ðîçâ'ÿçàòè çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìîñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Öå äîïîìîæå ïðèãàäàòè îñíîâíі òèïè âïðàâ òà ÿêіñíî ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ. Ó êіíöі ïіäðó÷íèêà "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі" äîïîìî- æóòü âàøіé äèòèíі ïîãëèáèòè çíàííÿ ç ãåîìåòðії òà ïіäãîòó- âàòèñÿ äî ìàòåìàòè÷íèõ çìàãàíü.

5. 5. 6 ОЧОТИРИКУТНИКИ У цьому розділі ви:У  пригадаєте поняття прямокутника і квадрата;  дізнаєтеся про паралелограм та його властивості, трапецію; центральні та вписані кути; вписані та описані чотирикутни- ки; середню лінію трикутника та середню лінію трапеції; теорему Фалеса;  навчитеся обґрунтовувати належність чотирикутника до пев- ного виду, застосовувати вивчені означення і властивості до розв'язування задач. 1. Чотирикутником називають фігуру, що складається зм чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх спо- лучають. Íіÿêі òðè ç äàíèõ òî÷îê íå ïîâèííі ëåæàòè íà îäíіé ïðÿìіé, à âіäðіçêè, ÿêі їõ ñïîëó÷àþòü, íå ïîâèííі ìàòè æîäíèõ іíøèõ ñïіëüíèõ òî÷îê, êðіì äàíèõ. Áóäü-ÿêèé ÷îòèðèêóòíèê îáìåæóє ïåâíó ÷àñòèíó ïëîùèíè, ÿêà є âíóòðіøíüîþ îáëàñòþ ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàëþíêó 1 çîáðàæåíî ÷îòèðèêóòíèê ABCD. Òî÷êè A, B, C, D íàçèâàþòü âåðøèíàìè ÷îòèðèêóòíèêà, à âіäðіçêè AB, BC, CD і DA, ùî їõ ñïîëó÷àþòü, - ñòîðîíàìè ÷îòèðèêóòíèêà. Âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêі є êіíöÿìè îäíієї éîãî ñòîðî- íè, íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, íåñóñіäíі âåðøèíè íàçèâàþòü ïðî- òèëåæíèìè. Íà ìàë. 1 âåðøèíè A і B - ñóñіäíі, A і C - ïðîòèëåæíі. Ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêі ìàþòü ñïіëü- íó âåðøèíó, íàçèâàþòü ñóñіäíіìè àáî ñóìіæíèìè, à ÿêі íå ìàþòü ñïіëüíîї âåðøè- íè, - ïðîòèëåæíèìè. Íà ìàë. 1 ñòîðîíè AB і BC - ñóñіäíі (ñóìіæíі), ñòîðîíè AB і CD - ïðîòèëåæíі. ЧОТИРИКУТНИК, ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ. СУМА КУТІВ ЧОТИРИКУТНИКА Ìàë. 1

6. 6. 7 ЧОТИРИКУТНИКИ Ñóìó äîâæèí óñіõ ñòîðіí ÷îòèðè- êóòíèêà íàçèâàþòü éîãî ïåðèìåòðîì. Ïåðèìåòð ïîçíà÷àþòü ëіòåðîþ P. Íàïðè- êëàä, ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà ABCD ìîæíà ïîçíà÷èòè ÿê PABCDP : PABCDP  AB + BC + CD + DA. Âіäðіçêè, ÿêі ñïîëó÷àþòü ïðîòèëåæíі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, íàçèâàþòü äіàãîíàëÿìè ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàë. 2 âіäðіçêè KM і LN - äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà KLMN. Áóäü-ÿêèé ÷îòèðèêóòíèê ìàє äâі äіàãîíàëі. Êóòàìè ÷îòèðèêóòíèêà ABCD íàçèâàþòü êóòè DAB, ABC, BCD і CDA (ìàë. 1). Êóòè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ïðîòèëåæíèìè, ÿêùî їõ âåðøèíè - ïðîòèëåæíі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, і ñóñіäíіìè, ÿêùî їõ âåðøèíè - ñóñіäíі âåð- øèíè ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàëþíêó 1 êóòè A іA C - ïðîòèëåæíі,C A іA B - ñóñіäíі. Îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà ìîæå áóòè áіëüøèì çà ðîçãîð- íóòèé. Íàïðèêëàä, íà ìàëþíêó 3 êóò A ÷îòèðèêóòíèêà ABCD є áіëüøèì çà ðîçãîðíóòèé. Òàêèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü íåîïóêëèì. ßêùî æ óñі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà ìåíøі âіä 180, òî éîãî íàçèâàþòü îïóêëèì. Äіàãîíàëі îïóêëîãî ÷îòèðèêóò- íèêà ïåðåòèíàþòüñÿ (ìàë. 2), à íåîïóêëîãî íå ïåðåòèíàþòüñÿ (ìàë. 4). Ìàë. 3 Ìàë. 4 Ìàë. 5 Ò å î ð å ì à (ïðî ñóìó êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà). Ñóìà êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 360. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ÀÂÑD - äåÿêèé ÷îòèðèêóòíèê. Ïðîâåäåìî â íüîìó äіàãîíàëü ÀÑ (ìàë. 5). Òîäі À  1 + 2, Ñ  3 + 4. Âðàõîâóþ÷è, ùî 2 + B + 3  180 (ÿê ñóìà êóòіâ  ÀÂÑ), 1 + D + 4  180 (ÿê ñóìà êóòіâ ÀDÑ), ìàòèìåìî: À +À Â + Ñ + D  1 + 2 + Â + 3 + + 4 + D  (2 + Â + 3) + (1 + D + 4)  180+ 180  360.  Ìàë. 2

7. 7. 8 Розділ 1 Çàäà÷à. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî їõ ãðàäóñíі ìіðè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 3 : 10 : 4 : 1. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì є öåé ÷îòèðèêóòíèê? Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. Íåõàé êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 3x, 10x, 4x і x. Ìàєìî ðіâíÿííÿ 3x + 10x + 4x + x  360, çâіäêè x  20. Îòæå, êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 3  20  60, 10  20  200, 4  20  80 і 20. Îñêіëüêè îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà áіëüøèé çà 180, òî öåé ÷îòèðèêóò- íèê - íåîïóêëèé. Â і ä ï î â і ä ü. 60, 200, 80, 20; íåîïóêëèé. Початковий рівень 1. (Óñíî.) ßêі ç ôіãóð (ìàë. 6-9) є ÷îòèðèêóòíèêàìè? Íà- çâіòü îïóêëі òà íåîïóêëі ÷îòèðèêóòíèêè. Ìàë. 6 Ìàë. 7 Ìàë. 8 Ìàë. 9 2. Íàçâіòü ïàðè ïðîòèëåæíèõ ñòîðіí ÷îòèðèêóòíèêà EGOR (ìàë. 9), ïàðè ñóñіäíіõ ñòîðіí. Íàçâіòü ïàðè ñóñіäíіõ âåð- øèí öüîãî ÷îòèðèêóòíèêà, ïàðè ïðîòèëåæíèõ âåðøèí. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ÷îòèðèêóòíèêîì? 2. Ùî íàçèâàþòü âåðøèíàìè ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðî- íàìè ÷îòèðèêóòíèêà? 3. ßêі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, ÿêі - ïðîòèëåæíèìè? 4. Ùî òàêå äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà? 5. ßêі ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, ÿêі - ïðîòèëåæíèìè? 6. Ùî íàçèâàþòü ïåðèìåòðîì ÷îòèðèêóòíèêà? 7. Ùî íàçèâàþòü êóòàìè ÷îòèðèêóòíèêà? 8. ßêі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ïðîòèëåæíè- ìè, à ÿêі - ñóñіäíіìè? 9. ßêèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü íåîïóêëèì, à ÿêèé - îïóêëèì? 10. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü òåîðåìó ïðî ñóìó êóòіâ ÷îòè- ðèêóòíèêà.

8. 8. 9 ЧОТИРИКУТНИКИ 3. Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê KLMN. Íàçâіòü ïàðè éîãî ïðî- òèëåæíèõ ñòîðіí, ñóñіäíіõ ñòîðіí, ïðîòèëåæíèõ âåðøèí, ñóñіäíіõ âåðøèí. Ïðîâåäіòü äіàãîíàëі öüîãî ÷îòèðèêóòíèêà. 4. Íàêðåñëіòü îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê ABCD і íåîïóêëèé PMLK. Ïðîâåäіòü äіàãîíàëü ó êîæíîìó ç íèõ. 5. ×è іñíóє ÷îòèðèêóòíèê ç êóòàìè: 1) 80, 90, 100 і 110; 2) 150, 60, 70 і 80? 6. ×è ìîæóòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþâàòè: 1) 120, 80, 90 і 70; 2) 130, 110, 80 і 50? Середній рівень 7. Çíàéäіòü ÷åòâåðòèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî òðè éîãî êóòè äîðіâíþþòü: 1) 150, 110 і 80; 2) 80, 60 і 30. ßêèì - îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì - є êîæíèé ÷îòèðèêóòíèê? 8. Çíàéäіòü ÷åòâåðòèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî òðè éîãî êóòè äîðіâíþþòü: 1) 20, 70 і 80; 2) 120, 50 і 40. ßêèì - îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì - є êîæíèé ÷îòèðèêóòíèê? 9. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâ- íþþòü 32 ìì, 2,5 ñì, 0,4 äì і 0,07 ì. 10. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþ- þòü 0,08 ì, 0,7 äì, 6,3 ñì і 54 ìì. 11. ×è ìîæóòü óñі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà áóòè: 1) ãîñòðèìè; 2) ïðÿìèìè; 3) òóïèìè? 12. Îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâ- íþє 120, à іíøі - ìіæ ñîáîþ ðіâíі. Çíàéäіòü íåâіäîìі êóòè ÷îòèðèêóò- íèêà. 13. Ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 60 ñì, à îäíà ç éîãî ñòîðіí - 24 ñì. Çíàéäіòü íåâіäîìі ñòîðîíè ÷îòèðè- êóòíèêà, ÿêùî âîíè ìіæ ñîáîþ ðіâíі. 14. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 10) BC  CD і ACB  ACD. Äîâåäіòü, ùî B  D. 15. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 11) BAC  ACD, BCA  CAD. Äîâåäіòü, ùî AB  CD. Ìàë. 10 Ìàë. 11

9. 9. 10 Розділ 1 Достатній рівень 16. Çíàéäіòü ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 4, 5, 8 і 9, à ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 65 ñì. 17. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 4, 5, 7 і 8. 18. Çíàéäіòü íåâіäîìі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 90, äðóãèé і òðåòіé âіäíîñÿòüñÿ ÿê 7 : 5, à ÷åò- âåðòèé äîðіâíþє ïіâñóìі äðóãîãî òà òðåòüîãî. 19. Çíàéäіòü íåâіäîìі ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ïåðèìåòð ÿêî- ãî äîðіâíþє 54 ñì, îäíà çі ñòîðіí 18 ñì, äðóãà òà òðåòÿ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 7 : 3, à ÷åòâåðòà äîðіâíþє ïіâðіçíèöі äðó- ãîї òà òðåòüîї. 20. Äîâåäіòü, ùî â êîæíîìó ÷îòèðèêóòíèêó є êóò, íå áіëüøèé çà 90. 21. Äîâåäіòü, ùî â êîæíîìó ÷îòèðèêóòíèêó є êóò, íå ìåíøèé âіä 90. 22. ×è ìîæå êóò ÷îòèðèêóòíèêà áóòè áіëüøèì çà ñóìó іíøèõ éîãî êóòіâ? Високий рівень 23. Ïîáóäóéòå ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 6 ñì, 6 ñì, 3 ñì, 4 ñì òà êóòîì 50 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíàìè. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿç- êіâ ìàє çàäà÷à? 24. Ïîáóäóéòå ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 5 ñì, 5 ñì, 4 ñì, 3 ñì òà êóòîì 70 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíàìè. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿçêіâ ìàє çàäà÷à? 25. Îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü äåëüòîїäîì, ÿêùî âіí ìàє äâі ïàðè ðіâ- íèõ ñóñіäíіõ ñòîðіí (ìàë. 12). Äîâåäіòü, ùî: 1) äіàãîíàëü BD äіëèòü íàâïіë ÿê êóò B, òàê і êóò D; 2) äіàãîíàëі äåëüòîїäà âçàєìíî ïåðïåí- äèêóëÿðíі. 26. Ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà ABCD äîðіâíþє 29 ñì, ïåðè- ìåòð òðèêóòíèêà ADB - 20 ñì, à òðèêóòíèêà CDB - 21 ñì. Çíàéäіòü äîâæèíó äіàãîíàëі BD. Ìàë. 12

10. 10. 11 ЧОТИРИКУТНИКИ Вправи для повторення 27. Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ, ùî óòâîðèëèñÿ ïðè ïåðåòèíі äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ñі÷íîþ, äîðіâíþє 70. Çíàéäіòü ãðàäóñíі ìіðè ðåøòè ñåìè êóòіâ. 28. Çíàéäіòü êóòè ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 70. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿçêіâ ìàє çàäà÷à? 29. Ó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 60, à ñóìà ìåíøîãî êàòåòà і ìåäіàíè, ïðîâåäåíîї äî ãіïîòåíó- çè, - 10 ñì. Çíàéäіòü ãіïîòåíóçó öüîãî òðèêóòíèêà. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 30. Ïðÿìà AB є ñі÷íîþ äëÿ ïðÿìèõ KL і MN (ìàë. 13). Çàïèøіòü óñі ïàðè âíóòðіøíіõ îäíîñòîðîííіõ êóòіâ, âíó- òðіøíіõ ðіçíîñòîðîííіõ êóòіâ òà âіäïîâіäíèõ êóòіâ. Ìàë. 13 Ìàë. 14 Ìàë. 15 31. ßêèì є âçàєìíå ðîçìіùåííÿ ïðÿìèõ a і b (ìàë. 14), ÿêùî: 1) 2 + 4  180; 2) 1 > 4; 3) 3  120; 4  121; 4) 2  60; 4  119; 5) 1  4  122; 6) 3  4? 32. 1) Äîâåäіòü, ùî {ABC  {CDA (ìàë. 15), ÿêùî AB  CD і BAC  ACD . 2) Äîâåäіòü, ùî BC  AD і BCA  CAD. 3) ×è ïàðàëåëüíі ïðÿìі BC і AD? Цікаві задачі для учнів неледачих 33. (Âñåóêðàїíñüêà îëіìïіàäà ç ìàòåìàòèêè, 1964 ð.) Çíàé- äіòü íàéáіëüøå çíà÷åííÿ n, ïðè ÿêîìó n òî÷îê ìîæíà ðîçìіñòèòè íà ïëîùèíі òàê, ùîá êîæíі òðè ç íèõ áóëè âåðøèíàìè ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà.

11. 11. 12 Розділ 1 2. Паралелограмом називають чотирикутник, у якого проти-м лежні сторони попарно паралельні. Íà ìàëþíêó 16 çîáðàæåíî ïàðàëåëîãðàì ABCD, äå AB || CD, AD || BC. Ðîçãëÿíåìî âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. Сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Ñïðàâäі, íàïðèêëàä êóòè A і B ïàðà- ëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 16) є âíóòðіøíіìè îäíîñòîðîííіìè êóòàìè äëÿ ïàðàëåëü- íèõ ïðÿìèõ AD і BC òà ñі÷íîї AB. Òîìó A + B  180. Àíàëîãі÷íî öþ âëàñòè- âіñòü ìîæíà äîâåñòè äëÿ áóäü-ÿêîї іíøîї ïàðè ñóñіäíіõ êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà. 2. Паралелограм є опуклим чотирикутником. Îñêіëüêè A + B  180, òî A < 180, B < 180. Àíà- ëîãі÷íî C < 180, D < 180. Òîìó ïàðàëåëîãðàì - îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê. 3. У паралелограмі протилежні сторони рівні й протилежні кути рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. Ðîçãëÿíåìî ïàðàëåëîãðàì ABCD (ìàë. 17). Äіàãîíàëü AC ðîçáèâàє éîãî íà äâà òðèêóòíèêè ABC і ADC. AC - ñïіëüíà ñòîðîíà öèõ òðèêóòíèêіâ é CAD  ACB, CAB  ACD (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ñі÷íîþ AC ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC, AB і CD âіäïîâіäíî). Òîäі {ABC  {CDA (çà ñòîðîíîþ і äâîìà ïðèëåãëèìè êóòà- ìè). Îòæå, AB  CD, BC  AD і B  D (ÿê âіäïîâіäíі åëåìåíòè ðіâíèõ òðè- êóòíèêіâ). Îñêіëüêè BAC + CAD   BCA + DCA, òî BAD  BCD.  4. Периметр паралелограма РАВСDР = 2(D АВ + ВС). 5. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. ПАРАЛЕЛОГРАМ, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ Й ОЗНАКИ Ìàë. 16 Ìàë. 17

12. 12. 13 ЧОТИРИКУТНИКИ Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé AC і BD ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 18). AD  BC (ÿê ïðîòè- ëåæíі ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà), CAD  ACB, BDA  DBC (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íèìè AC і BD âіäïîâіäíî). Îòæå, {AOD  {COB (çà ñòîðîíîþ і äâîìà ïðèëåãëèìè êóòàìè). Òîäі AO  OC, BO  OD (ÿê âіäïîâіäíі ñòîðîíè ðіâíèõ òðè- êóòíèêіâ).  Ìàë. 18 Ìàë. 19 Çàäà÷à 1. Ä à í î: ABCD ïàðàëåëîãðàì, ÀK - áіñåêòðèñà êóòà A, BK  5 ñì, KC  3 ñì (ìàë. 19). Ç í à é ä іòü: PABCDP . Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) BC  BK + KC  5 + 3  8 (cì); 2) KAD  BKA (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íîþ AK); 3) KAD  KAB (çà óìîâîþ), òîäі BKA  KAB. Îòæå, çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà: {ABK - ðіâíîáåäðå- íèé, AB  BK  5 (ñì); 4) PABCDP  2(AB(( + BC)  2(5 + 8)  26 (ñì). Â і ä ï î â і ä ü. 26 ñì. Висотою паралелограма називають перпендикуляр, про- ведений з будь-якої точки сторони паралелограма до пря- мої, що містить протилежну сторону. Íà ìàëþíêó 20 MN - âèñîòà ïàðàëåëîãðàìà; MN  AD, MN  BC. Ç êîæíîї âåðøèíè ïàðàëåëîãðàìà ìîæíà ïðîâåñòè äâі âè- ñîòè. Íàïðèêëàä, íà ìàëþíêó 21 BF і BT - âèñîòè ïàðàëåëî- ãðàìà, ïðîâåäåíі âіäïîâіäíî äî ñòîðіí AD і CD. Ìàë. 20 Ìàë. 21

13. 13. 14 Розділ 1 Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà). ßêùî â ÷îòèðèêóò- íèêó: 1) äâі ñòîðîíè ðіâíі і ïàðàëåëüíі, àáî 2) ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ðіâíі, àáî 3) äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ і òî÷êîþ ïåðåòèíó äіëÿòüñÿ íàâïіë, àáî 4) ïðîòèëåæíі êóòè ïîïàðíî ðіâíі, - òî ÷îòèðèêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD AD  BC і AD || BC (ìàë. 22). Ïðîâåäåìî äіàãîíàëü AC. Ðîçãëÿíåìî {CAD і {ACB. CAD  BCA (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íîþ AC). AC - ñïіëüíà ñòîðîíà, AD BC (çà óìîâîþ). Îòæå, {CAD  {ACB (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Òîäі ACD  CAB (ÿê âіäïîâіäíі). Àëå öå ðіçíîñòîðîííі êóòè, ùî óòâîðèëèñÿ ïðè ïåðåòèíі ïðÿìèõ AB і CD ñі÷íîþ AC. Òîìó AB || CD (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі ïðÿìèõ). Îòæå, ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ïàðàëåëüíі. Òîìó ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD: AD  BC і AB  CD (ìàë. 22). Ïðîâåäåìî äіàãîíàëü AC. Òîäі {CAD  {ACB (çà òðüîìà ñòîðîíàìè). Òîìó ACD  CAB, à îòæå, AB || CD (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі ïðÿìèõ). Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AD || BC. Îòæå, ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ìàë. 22 Ìàë. 23 3) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі AC і BD ïåðå- òèíàþòüñÿ â òî÷öі O і AO  OC, BO  OD (ìàë. 23). AOD  COB (ÿê âåðòèêàëüíі). Òîìó {AOD  {COB (çà äâî- ìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Çâіäñè AD  BC. Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AB  CD. Çâàæàþ÷è íà ï. 2) öієї òåîðåìè, ïðè- õîäèìî äî âèñíîâêó, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 4) Íåõàé ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD: A  C, B  D (ìàë. 16). Îñêіëüêè A + B + C + D  360, òî A + + B + A + B  360, 2(A + B)  360; A + B  180. Àëå A і B - âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè äëÿ ïðÿìèõ AD і BC òà ñі÷íîї AB. Òîìó AD || BC (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі

14. 14. 15 ЧОТИРИКУТНИКИ ïðÿìèõ). Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AB || CD. Îòæå, ABCD - ïàðàëåëîãðàì.  Çàäà÷à 2. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD, AD  BC, CAD  ACB. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ABCD - äàíèé ÷îòèðèêóòíèê (ìàë. 22). Ðîçãëÿíåìî {CAD і {ACB{{ . AC - їõ ñïіëüíà ñòîðîíà, AD  BC, CAD  ACB (çà óìîâîþ). Îòæå, {CAD  {ACB (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Òîìó AB  CD. Àëå òîäі ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ðіâíі, òîìó âіí є ïàðàëåëîãðàìîì.  Про деякі види чотирикутників (квадрати, прямокутники, рівнобічні та прямокутні трапеції) знали ще давньоєгипетські та вавилонські матема- тики. Термін "паралелограм" грецького походження, вважають, що його уведено Евклідом (близько 300 р. до н. е.). Також відомо, що про парале- лограм і деякі його властивості було відомо учням школи Піфагора ("піфагорійцям") ще раніше. В "Началах" Евкліда доведено наступну теорему: у паралелограмі протилежні сторони рівні і протилежні кути рівні, а діагональ поділяє його навпіл, але не згадується про те, що точка перетину діагоналей паралелограма ділить кожну з них навпіл. Евклід також не згадує ані про прямокутник, ані про ромб. Повну теорію паралелограмів було розроблено лише в кінці Середньовіччя, а в підручниках вона з'явилася в XVII ст. Усі теореми та властивості паралелограма в цих підручниках ґрунтувалися на аксіомі паралельності Евкліда. Термін "діагональ" - грецького походження; "діа" означає "через", а "гоніос" - "кут", що можна розуміти як відрізок, що сполучає вершини кутів. Слід зазначити, що Евклід, як і більшість математиків того часу, для назви відрізка, що сполучає протилежні вершини чотирикутника, зокре- ма прямокутника, використовував інший термін - "діаметр". Це можна пояснити тим, що перші геометри свої міркування ґрунтували на вписа- них у коло прямокутниках. У Середні віки для назви згаданого відрізка використовували обидва терміни. Лише у XVIII ст. термін "діагональ" став загальновживаним. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ïàðàëåëîãðàìîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 3. Ùî íàçèâàþòü âèñîòîþ ïàðàëåëîãðàìà? 4. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà.

15. 15. 16 Розділ 1 Початковий рівень 34. Ñåðåä ÷îòèðèêóòíèêіâ, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêàõ 24-29, óêàæіòü ïàðàëåëîãðàìè. Ìàë. 24 Ìàë. 25 Ìàë. 26 Ìàë. 27 Ìàë. 28 Ìàë. 29 35. Íàêðåñëіòü ïàðàëåëîãðàì ABCD, ó ÿêîãî êóò D òóïèé. 36. Íàêðåñëіòü ïàðàëåëîãðàì KLMN, ó ÿêîãî êóò K ãîñòðèé. 37. (Óñíî.) Îäíà çі ñòîðіí ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 5 ñì. ßêà äîâæèíà ñòîðîíè, ùî їé ïðîòèëåæíà? 38. Îäèí ç êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 70. Çíàéäіòü іíøі éîãî êóòè. 39. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâ- íþє 100. Середній рівень 40. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ó ÿêîãî îäíà ñòîðîíà äîðіâíþє 12 ñì, à äðóãà - íà 3 ñì áіëüøà çà íåї. 41. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ó ÿêîãî îäíà ñòîðîíà äîðіâíþє 18 ñì, à äðóãà - óäâі÷і âіä íåї ìåíøà. 42. Çíàéäіòü óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ ç íèõ äîðіâíþє 120; 2) îäèí ç íèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé; 3) îäèí ç íèõ óòðè÷і ìåíøèé âіä äðóãîãî; 4) äâà ç íèõ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 43. Çíàéäіòü óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ ç íèõ äîðіâíþє 200; 2) îäèí ç íèõ íà 40 ìåíøèé âіä äðóãîãî; 3) îäèí ç íèõ óäâі÷і áіëüøèé çà äðóãèé; 4) ãðàäóñíі ìіðè äâîõ ç íèõ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 4 : 5. 44. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD BAD  80, ACD  50. Çíàé- äіòü ACB і  ABC. 45. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD BAC  35, BCA  40. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà.

16. 16. 17 ЧОТИРИКУТНИКИ 46. (Óñíî.) ßêі ïîìèëêè äîïóùåíî â çîáðàæåííі ïàðàëåëî- ãðàìà íà ìàëþíêàõ 30-32? Ìàë. 30 Ìàë. 31 Ìàë. 32 47. Ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî: 1) îäíà ç íèõ íà 4 ñì áіëüøà çà äðóãó; 2) âîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 3 : 7. 48. Ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 36 äì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî: 1) îäíà ç íèõ íà 2 äì ìåíøà âіä äðóãîї; 2) îäíà ç íèõ ó 5 ðàçіâ áіëüøà çà äðóãó. 49. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïàðàëåëîãðàìà ABCD. Çíàéäіòü äіàãîíàëü AC, ÿêùî BD  20 ñì, AB  15 ñì, à ïåðèìåòð òðèêóòíèêà AOB äîðіâíþє 32 ñì. 50. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 33) 1  2, 3  4. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 51. {ABC  {CDA (ìàë. 33). Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 52. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè. 53. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà ñòîðîíàìè і äіàãîíàëëþ. Достатній рівень 54. Áіñåêòðèñà êóòà ïàðàëåëîãðàìà ïåðåòèíàє éîãî ñòîðîíó ïіä êóòîì 48. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà. 55. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD áіñåêòðèñà êóòà A äіëèòü ñòîðî- íó BC íà âіäðіçêè BM  5 ñì і MC  7 ñì. Çíàéäіòü ïåðè- ìåòð ïàðàëåëîãðàìà. 56. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD AB  4 ñì, BC  12 ñì. Áіñåêòðè- ñà êóòà A ïåðåòèíàє ñòîðîíóA BC ó òî÷öіC P. Çíàéäіòü BP і PC. 57. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà ñòîðîíîþ і äіàãîíàëÿìè. 58. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà äіàãîíàëÿìè і êóòîì ìіæ íèìè. Ìàë. 33

17. 17. 18 Розділ 1 59. Íà ñòîðîíàõ AD і BC ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 34) ïîçíà÷åíî òî÷êè M і K òàê, ùî ABM  CDK. Äîâåäіòü, ùî BMDK - ïàðàëåëîãðàì. 60. Íà ñòîðîíàõ AD і BC ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 34) ïîçíà÷åíî òî÷êè M і K òàê, ùî AM  KC. Äîâåäіòü, ùî BMDK - ïàðàëåëîãðàì. 61. Äîâåäіòü, ùî áіñåêòðèñè äâîõ ñóñіä- íіõ êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà âçàєìíî ïåð- ïåíäèêóëÿðíі. 62. Ó ïàðàëåëîãðàìі ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 60. Âèñîòà ïàðà- ëåëîãðàìà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, äіëèòü ïðîòèëåæíó ñòîðîíó íà âіäðіçêè 3 ñì і 5 ñì, ïî÷èíàþ÷è âіä âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëî- ãðàìà. 63. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD AB  6 ñì, B  120. Âèñîòà BK äіëèòü ñòîðîíó AD íà äâà ðіâíèõ âіäðіçêè. Çíàéäіòü ïåðè- ìåòð ïàðàëåëîãðàìà. 64. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà A ïðîâå- äåíî âèñîòè AL і AK. LAK  140. Çíàéäіòü êóò C ïàðà- ëåëîãðàìà. 65. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïðîâåäå- íî âèñîòè BM і BN. MBN  70. Çíàéäіòü êóò D ïàðàëå- ëîãðàìà. Високий рівень 66. Áіñåêòðèñà êóòà B ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіëèòü ñòîðîíó AD íà äâà âіäðіçêè AK і KD òàê, ùî AK - KD  1 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 40 ñì. 67. Áіñåêòðèñà êóòà A ïàðàëåëîãðàìàA ABCD äіëèòü ñòîðîíó BC íà äâà âіäðіçêè BK і KC òàê, ùî BK : KC  3 : 7. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 78 ñì. 68. Äâà êóòè ïàðàëåëîãðàìà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 5 : 7. Çíàéäіòü êóò ìіæ âèñîòàìè ïàðàëåëîãðàìà, ïðîâåäåíèìè ç âåðøèíè: 1) òóïîãî êóòà; 2) ãîñòðîãî êóòà. 69. Îäèí ç êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà íà 12 áіëüøèé çà äðóãèé. Çíàéäіòü êóò ìіæ âèñîòàìè ïàðàëåëîãðàìà, ïðîâåäåíèìè ç âåðøèíè: 1) ãîñòðîãî êóòà; 2) òóïîãî êóòà. Ìàë. 34

18. 18. 19 ЧОТИРИКУТНИКИ 70. Äîâåäіòü, ùî òðè âèñîòè òðèêóòíèêà àáî їõ ïðîäîâ- æåííÿ ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі (îðòîöåíòðі òðè- êóòíèêà). Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé AH1, BH2, CH3 - âèñîòè ãîñ- òðîêóòíîãî òðèêóòíèêà ABC (ìàë. 35). Ïðîâåäåìî ÷åðåç âåðøèíè òðèêóòíèêà ïðÿìі, ïàðàëåëüíі ïðîòèëåæíèì ñòîðîíàì. Îäåðæèìî òðèêóòíèê A1B1C1. ×îòèðèêóòíèê ABA1C - ïàðàëåëîãðàì (çà ïîáóäîâîþ). Òîìó BA1  AC. Àíàëîãі÷íî ACBC1 - ïàðàëåëîãðàì і C1B  AC. Îòæå, C1B  BA1, òî÷êà B - ñåðåäèíà A1C1. Îñêіëüêè BH2  AC і AC || A1C1, òî BH2  A1C1. Òîìó BH2 íàëåæèòü ñåðåäèííîìó ïåðïåíäèêóëÿðó äî ñòîðîíè A1C1 òðèêóòíèêà A1B1C1. Àíàëîãі÷íî AH1 і CH3 íàëåæàòü ñåðåäèííèì ïåðïåí- äèêóëÿðàì äî äâîõ іíøèõ ñòîðіí öüîãî òðèêóòíèêà. ßê âіäîìî, ñåðå- äèííі ïåðïåíäèêóëÿðè äî ñòîðіí òðèêóòíèêà ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. Îòæå, AH1, BH2 і CH3 ïåðåòè- íàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. 2) ßêùî {ABC - ïðÿìîêóòíèé, íàïðèêëàä C  90, òî î÷åâèäíî, ùî òðè âèñîòè ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі C. 3) ßêùî {ABC - òóïîêóòíèé, òî ïðîäîâæåííÿ òðüîõ âèñîò òðèêóòíèêà ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. Äîâåäåí- íÿ àíàëîãі÷íå äî äîâåäåííÿ ó ï. 1.  Вправи для повторення 71. Çíàéäіòü äðóãèé ãîñòðèé êóò ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíè- êà, ÿêùî ïåðøèé äîðіâíþє: 1) 20; 2) 65. 72. Äâі ñòîðîíè òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 7,2 ñì і 2,5 ñì. ßêîìó íàéáіëüøîìó öіëîìó ÷èñëó ñàíòèìåòðіâ ìîæå äîðіâíþâàòè òðåòÿ ñòîðîíà? 73. Çîâíіøíіé êóò òðèêóòíèêà ó 2 ðàçè áіëüøèé çà îäèí ç âíóòðіøíіõ êóòіâ, íå ñóìіæíèé ç íèì. Äîâåäіòü, ùî òðè- êóòíèê є ðіâíîáåäðåíèì. 74. ×è ìîæíà ïîáóäóâàòè ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 6 ñì, 6 ñì, 4 ñì і 2 ñì òà êóòîì 60 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíà- ìè? Ìàë. 35

19. 19. 20 Розділ 1 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 75. Çíàéäіòü ïåðèìåòð і ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþþòü: 1) 5 ñì і 7 ñì; 2) 2 äì і 14 ñì. Цікаві задачі для учнів неледачих 76. Âèäàòíі óêðàїíöі. Çàïèøіòü ïî ãîðèçîíòàëÿõ ïðіçâèùà âèäàòíèõ óêðàїíöіâ (çà ïîòðåáè âèêîðèñòàéòå äîäàòêîâó ëіòåðàòóðó òà Іíòåðíåò) і îòðèìàєòå ó âèäіëåíîìó ñòîâï÷è- êó іì'ÿ äàâíüîãðåöüêîãî ôіëîñîôà, ìàòåìàòèêà, ðåëіãіéíî- ãî òà ïîëіòè÷íîãî äіÿ÷à. 1 2 3 4 5 6 7 1. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé íàóêîçíàâåöü ó ãàëóçі çâàðþ- âàëüíèõ ïðîöåñіâ, äîêòîð òåõíі÷íèõ íàóê, Ãåðîé Óêðàїíè. 2. Óêðàїíñüêèé ïîëіòèê, ïóáëіöèñò, ëіòåðàòóðíèé êðèòèê, ïðîâіäíèê íàöіîíàëüíî-äåìîêðàòè÷íîãî âèçâîëüíîãî ðóõó êіíöÿ 1980-1990-õ ðîêіâ, Ãåðîé Óêðàїíè. 3. Óêðàїíñüêèé ïèñüìåííèê, ïîåò, ïóáëіöèñò, ïåðåêëàäà÷, ó÷åíèé, ãðîìàäñüêèé і ïîëіòè÷íèé äіÿ÷ (1856-1916). 4. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé ëіêàð ñâіòîâîãî ðіâíÿ, ó÷åíèé ó ãàëóçÿõ ìåäèöèíè, áіîêіáåðíåòèêè; éîãî іì'ÿì íàçâàíî Іíñòèòóò ñåðöåâî-ñóäèííîї õіðóðãії, ÿêèé âіí î÷îëþâàâ ïðîòÿãîì äâàäöÿòè ðîêіâ. 5. Ïîëіòè÷íèé äіÿ÷ і ïóáëіöèñò, îðãàíіçàòîð óêðàїíñüêîї íàóêè; Ãîëîâà Öåíòðàëüíîї Ðàäè Óêðàїíñüêîї Íàðîäíîї Ðåñïóáëіêè. 6. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé ïîåò, ïèñüìåííèê, õóäîæíèê, ãðîìàäñüêèé і ïîëіòè÷íèé äіÿ÷, ôîëüêëîðèñò, åòíîãðàô. 7. Óêðàїíñüêèé ïðîñâіòèòåëü-ãóìàíіñò, ôіëîñîô, ïîåò, ïåäàãîã.

20. 20. 21 ЧОТИРИКУТНИКИ 3. Прямокутником називають паралелограм, у якого всім кути прямі (мал. 36). Îñêіëüêè ïðÿìîêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì, òî âіí ìàє âñі âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. У прямокутнику протилежні сторони рівні. 2. Периметр прямокутника PABCDP = 2(D AB + BC). 3. Діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл. Êðіì öüîãî, ïðÿìîêóòíèê ìàє ùå âëàñòèâîñòі. 4. Діагоналі прямокутника рівні. Ìàë. 36 Ìàë. 37 Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé äàíî ïðÿìîêóòíèê ABCD (ìàë. 37). {ACD  {DBA (çà äâîìà êàòåòàìè). Òîìó AC  BD.  5. Точка перетину діагоналей прямокутника рівновіддале- на від усіх його вершин. Îñêіëüêè AC  BD, à AO  OC, BO  OD (ìàë. 37), òî, î÷å- âèäíî, ùî AO  BO  OC  OD. Çàäà÷à 1. Äіàãîíàëü äіëèòü êóò ïðÿìîêóòíèêà ó âіäíî- øåííі 2 : 3. Çíàéäіòü êóò ìіæ äіàãîíàëÿìè äàíîãî ïðÿìîêóò- íèêà. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) Íåõàé ADO : ODC  2 : 3 (ìàë. 37). Ïîçíà÷èìî ADO  2x, ODC  3x. Òîäі 2x + 3x  90, x  18. Òîìó ADO  2  18  36; ODC  3  18  54. 2) {OCD - ðіâíîáåäðåíèé (áî DO  OC). Òîìó OCD   ODC  54. Ó {OCD: COD  180 - 2  54  72. Îòæå, êóò ìіæ äіàãîíàëÿìè äàíîãî ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 72. Â і ä ï î â і ä ü. 72. ПРЯМОКУТНИК І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

21. 21. 22 Розділ 1 Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà). ßêùî ó ïàðàëåëî- ãðàìà: 1) óñі êóòè ðіâíі, àáî 2) îäèí êóò ïðÿìèé, àáî 3) äіàãî- íàëі ðіâíі, - òî ïàðàëåëîãðàì є ïðÿìîêóòíèêîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Îñêіëüêè âñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà ðіâ- íі, à їõ ñóìà äîðіâíþє 360, òî êîæíèé ç íèõ äîðіâíþє 360 : 4  90. À òîìó ïàðàëåëîãðàì є ïðÿìîêóòíèêîì. 2) Íåõàé êóò A ïàðàëåëîãðàìà ABCD ïðÿìèé (ìàë. 36). Òîäі C  A  90; B  D  180 - A  180 - 90   90. Îòæå, óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà ïðÿìі, à òîìó âіí є ïðÿ- ìîêóòíèêîì. 3) Íåõàé ó ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіàãîíàëі AC і BD ðіâíі (ìàë. 37). AD - ñïіëüíà ñòîðîíà òðèêóòíèêіâ ABD і DCA. Îòæå, {ABD  {DCA (çà òðüîìà ñòîðîíàìè). ÒîìóA BAD  CDA. Àëå æ ABC  ADC, BCD  BAD. Ó ïàðàëåëîãðàìà âñі êóòè ðіâíі ìіæ ñîáîþ. Òîìó âіí є ïðÿìîêóòíèêîì (çà ï. 1 öієї òåîðåìè).  Çàäà÷à 2. Ó êîëі іç öåíòðîì O ïðîâå- äåíî äіàìåòðè AC і BD (ìàë. 38). Âèçíà÷- òå âèä ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) Îñêіëüêè AO  OC, BO  OD (ÿê ðàäіóñè), òî, çà îçíàêîþ ïàðàëåëîãðàìà, ìàєìî, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Îñêіëüêè AC  BD (ÿê äіàìåòðè), òî, âèêîðèñòîâóþ÷è îçíàêó ïðÿìîêóò- íèêà, ìàєìî, ùî ïàðàëåëîãðàì ABCD є ïðÿìîêóòíèêîì. Â і ä ï î â і ä ü. Ïðÿìîêóòíèê. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíèêîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ïðÿìîêóòíèêà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà. Початковий рівень 77. ßêі іç ÷îòèðèêóòíèêіâ, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêàõ 39-43, є ïðÿìîêóòíèêàìè? 78. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëü AC äîðіâíþє 5 ñì. ßêà äîâæèíà äіàãîíàëі BD? Ìàë. 38

22. 22. 23 ЧОТИРИКУТНИКИ Ìàë. 39 Ìàë. 40 Ìàë. 41 Ìàë. 42 Ìàë. 43 79. Ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü 4 ñì і 7 ñì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 80. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþ- þòü 2 ñì і 5 ñì. 81. ßêùî ÷îòèðèêóòíèê є ïðÿìîêóòíèêîì, òî éîãî äіàãîíàëі ìіæ ñîáîþ ðіâíі. ×è ïðàâèëüíå îáåðíåíå òâåðäæåííÿ? Íà- âåäіòü ïðèêëàä. Середній рівень 82. Ñòîðîíà BC ïðÿìîêóòíèêà ABCD äîðіâíþє 8 ñì, à äіàãî- íàëü BD - 12 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðèêóòíèêà BOC, äå O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà. 83. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà ABCD. AC  12 ñì, ïåðèìåòð òðèêóòíèêà AOB äîðіâíþє 16 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíó AB. 84. (Óñíî.) Ùî ìîæíà ñêàçàòè ïðî âèä ïàðàëåëîãðàìà, êîëè âіäîìî, ùî: 1) æîäåí ç éîãî êóòіâ íå є ãîñòðèì; 2) æîäåí ç éîãî êóòіâ íå є òóïèì; 3) âіí ìàє òðè ðіâíèõ ìіæ ñîáîþ êóòè? 85. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó òðè êóòè ïðÿìі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ïðÿìîêóòíèê. 86. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі êóòè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ïðÿìîêóòíèê. 87. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, êîëè âіäîìî, ùî: 1) îäíà ç íèõ íà 2 ñì áіëüøà çà äðóãó; 2) ñòîðîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 88. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 50 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, êîëè âіäîìî, ùî: 1) îäíà ç íèõ íà 5 ñì ìåíøà âіä äðóãîї; 2) ñòîðîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 4 : 1.

23. 23. 24 Розділ 1 89. (Óñíî.) Íà ìàëþíêó 44 çîáðàæåíî ïðÿìîêóòíèê ABCD. Çíàéäіòü óñі ðіâíі ìіæ ñîáîþ êóòè. 90. Çíàéäіòü çà ìàëþíêîì 44: 1) 3, ÿêùî 8  52; 2) 2, ÿêùî 10  40. 91. Çíàéäіòü çà ìàëþíêîì 44: 1) 5, ÿêùî 2  37; 2) 12, ÿêùî 3  30. 92. Äіàãîíàëü ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü êóò ïðÿìîêóòíèêà íà äâà êóòè, îäèí ç ÿêèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé. Çíàéäіòü öі êóòè. Достатній рівень 93. Äîâåäіòü, ùî íàâêîëî ïðÿìîêóòíèêà ìîæíà îïèñàòè êîëî. 94. Çíàéäіòü êóò ìіæ ìåíøîþ ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ ïðÿìî- êóòíèêà, ÿêùî âіí: 1) íà 15 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè ìåíøîї ñòîðîíè; 2) íà 50 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè áіëüøîї ñòîðîíè. 95. Çíàéäіòü êóò ìіæ áіëüøîþ ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ ïðÿìî- êóòíèêà, ÿêùî âіí: 1) íà 90 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè áіëüøîї ñòîðîíè; 2) íà 40 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè ìåíøîї ñòîðîíè. 96. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі O, E - ñåðåäèíà AB, CAB  70. Çíàéäіòü DOE. 97. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі O. OP - áіñåêòðèñà òðèêóòíèêà AOB, DOP  130. Çíàéäіòü CAB. 98. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç ãîñòðèì êóòîì A äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ âA òî÷öі O. Íà âіäðіçêàõ AO і OC ïîçíà- ÷åíî òî÷êè M і N òàê, ùî OM  OB, ON  OD. Äîâåäіòü, ùî BMDN - ïðÿ- ìîêóòíèê. 99. Òî÷êè Â і D íàëåæàòü êîëó іç öåíò- ðîì Î, AC - äіàìåòð êîëà, AD  BC (ìàë. 45). Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïðÿ- ìîêóòíèê. Ìàë. 44 Ìàë. 45

24. 24. 25 ЧОТИРИКУТНИКИ 100. Ïåðïåíäèêóëÿðè, ïðîâåäåíі ç òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà äî äâîõ éîãî ñóñіäíіõ ñòîðіí, äîðіâíþþòü 4 ñì і 9 ñì. Âèçíà÷òå ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. 101. Áіñåêòðèñà îäíîãî ç êóòіâ ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü éîãî ñòîðîíó íàâïіë. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî áіëüøà ñòîðîíà äîðіâíþє 20 ñì. 102. Áіñåêòðèñà îäíîãî ç êóòіâ ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü éîãî ñòîðîíó íàâïіë. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ìåíøà ñòîðîíà äîðіâíþє 8 äì. Високий рівень 103. Íà ìàëþíêó 46 ABCD - ïðÿìîêóò- íèê, BK  AC, ACD  60. 1) OK  a. Çíàéäіòü: DB і AB; 2) AC  m. Çíàéäіòü: AK і CD. 104. Íà ìàëþíêó 46 ABCD - ïðÿìîêóò- íèê, BK  AC, ACD  60, AB  b. Çíàéäіòü BD і OK. 105. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC ç ãіïîòå- íóçîþ BC  35 ñì âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê KLMN òàê, ùî òî÷êè K і L ëåæàòü íà ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè M і N - íà êàòåòàõ. KL : KN  3 : 2. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿ- ìîêóòíèêà. 106. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê, êàòåò ÿêîãî äîðіâíþє 20 ñì, âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê, ÿêèé ìàє ç òðè- êóòíèêîì ñïіëüíèé ïðÿìèé êóò, à âåðøèíà ïðîòèëåæíîãî êóòà íàëåæèòü ãіïîòåíóçі. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. Вправи для повторення 107. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïàðàëåëîãðàìà ABCD ïðî- âåäåíî âèñîòó BK. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî . 108. 1) Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ òðèêóòíèêà є ñåðåä- íіì àðèôìåòè÷íèì äâîõ іíøèõ êóòіâ. Çíàéäіòü öåé êóò. 2) Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà є ñåðåäíіì àðèôìåòè÷íèì òðüîõ іíøèõ êóòіâ. Çíàéäіòü öåé êóò. 109. ×åðåç òî÷êó P, ùî íàëåæèòü âíóòðіøíіé îáëàñòі êóòà ABC, ïðîâåäіòü ïðÿìó òàê, ùîá її âіäðіçîê, ÿêèé ëåæèòü ìіæ ñòîðîíàìè êóòà, äіëèâñÿ òî÷êîþ Ð íàâïіë. Ìàë. 46

25. 25. 26 Розділ 1 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 110. Äàíî: AB  BC  CD  DA (ìàë. 47). Äîâåñòè: A  C, B  D. Цікаві задачі для учнів неледачих 111. ×è ìîæíà ðîçðіçàòè êâàäðàò ðîçìі- ðîì 6 6 íà ïðÿìîêóòíèêè ðîçìіðîì 1  4? 4. Ромбом називають паралелограм, у якого всі стороним рівні (мал. 48). Îñêіëüêè ðîìá є ïàðàëåëîãðàìîì, òî âіí ìàє âñі âëàñòè- âîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. Сума будь-яких двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. 2. У ромба протилежні кути рівні. 3. Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл. 4. Периметр ромба PABCDP = 4D AB. Êðіì òîãî, ðîìá ìàє ùå òàêó âëàñòèâіñòü. 5. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і ділять його кути навпіл. Ìàë. 48 Ìàë. 49 Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé AC і BD - äіàãîíàëі ðîìáà ABCD (ìàë. 49), O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé. Îñêіëüêè AB  AD і DO  OB, òî AO - ìåäіàíà ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà ABD, ïðîâåäåíà äî îñíîâè BD. Òîìó AO є òàêîæ âèñîòîþ і áіñåêòðè- ñîþ òðèêóòíèêà ABD. Ìàë. 47 РОМБ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

26. 26. 27 ЧОТИРИКУТНИКИ Îòæå, AC  BD і DAO  BAO.  Àíàëîãі÷íî ìîæíà äîâåñòè, ùî äіàãîíàëü AC äіëèòü íàâïіë êóò DCB, à äіàãîíàëü BD äіëèòü íàâïіë êóòè ABC і ADC. Çàäà÷à 1. Êóò ìіæ âèñîòîþ і äіàãîíàëëþ ðîìáà, ïðîâåäåíèìè ç îäíієї âåðøèíè, äîðіâíþє 28. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. BD - äіàãîíàëü ðîìáà ABCD, à BK - éîãî âèñîòà (ìàë. 50), KBD  28 (çà óìîâîþ). Ìàë. 50 1) Ó {BKD BDK  90 - 28  62. 2) Îñêіëüêè DB äіëèòü êóò ADC íàâïіë, òî ADC   2  62  124. 3) Òîäі ABC  ADC  124; A  C  180 - 124  56. Â і ä ï î â і ä ü. 124, 56, 124, 56. Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ðîìáà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ðîìáà). ßêùî â ïàðàëåëîãðàìі: 1) äâі ñóñіäíі ñòîðîíè ðіâíі, àáî 2) äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ ïіä ïðÿìèì êóòîì, àáî 3) äіàãîíàëü äіëèòü íàâïіë êóòè ïàðàëå- ëîãðàìà, - òî ïàðàëåëîãðàì є ðîìáîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ABCD - ïàðàëåëîãðàì (äèâ. ìàë. 49). Îñêіëüêè AB  AD (çà óìîâîþ) і AB  CD, AD  BC (çà âëàñòèâіñòþ ïàðàëåëîãðàìà), òî AB  AD  BC  ÑD. Îòæå, ABCD - ðîìá. 2) Íåõàé AC  BD (ìàë. 49). Îñêіëüêè OB  OD (çà âëàñ- òèâіñòþ ïàðàëåëîãðàìà), òî {AOB  {AOD (çà äâîìà êàòåòà- ìè). Òîìó AB  AD. Çà ï. 1 öієї òåîðåìè ABCD - ðîìá. 3) Äіàãîíàëü DB äіëèòü íàâïіë êóò D ïàðàëåëîãðàìà ABCD, òîáòî ADB  BDC (çà óìîâîþ). Îñêіëüêè ïàðàëåëüíі ïðÿìі AB і DC ïåðåòíóëè ñі÷íîþ DB, òî ABD  BDC (ÿê âíóò- ðіøíі ðіçíîñòîðîííі). Îòæå, ADB  ABD. Òîìó çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà {ABD - ðіâíîáåäðåíèé і AD  AB. Çà ï. 1 öієї òåîðåìè ABCD - ðîìá. 

27. 27. 28 Розділ 1 Çàäà÷à 2. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі ñòîðîíè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ðîìá. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé AB  BC  CD  DA (äèâ. ìàë. 48). 1) Îñêіëüêè â ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðî- íè ïîïàðíî ðіâíі, òî çà îçíàêîþ ïàðàëåëîãðàìà ìàєìî, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Ó ïàðàëåëîãðàìà ABCD ñóñіäíі ñòîðîíè ðіâíі. Òîìó ABCD - ðîìá (çà îçíàêîþ ðîìáà).  Слово "ромб" грецького походження, у давнину воно означало тіло, що обертається, - веретено, дзиґу. Ромб тоді пов'язували з перерізом веретена, на яке намотано нитки. У "Началах" Евкліда термін "ромб" зустрічається лише один раз, а властивості ромба Евклід взагалі не розглянув. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ðîìáîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ðîìáà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ðîìáà. Початковий рівень 112. (Óñíî.) ßêі іç ÷îòèðèêóòíèêіâ íà ìàëþíêàõ 51-55 є ðîì- áàìè? Ìàë. 51 Ìàë. 52 Ìàë. 53 Ìàë. 54 Ìàë. 55 113. Íàêðåñëіòü ðîìá ABCD, ó ÿêîãî êóò B òóïèé. 114. Íàêðåñëіòü ðîìá ABCD, ó ÿêîãî êóò A ãîñòðèé. 115. Ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 28 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíó. 116. Ñòîðîíà ðîìáà äîðіâíþє 5 äì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 117. Ãîñòðèé êóò ðîìáà äîðіâíþє 50. ßêèé êóò óòâîðþє äіàãîíàëü, ïðîâåäåíà іç öüîãî êóòà, çі ñòîðîíîþ ðîìáà? 118. Òóïèé êóò ðîìáà äîðіâíþє 110. ßêèé êóò óòâîðþє äіàãî- íàëü, ïðîâåäåíà іç öüîãî êóòà, çі ñòîðîíîþ ðîìáà?

28. 28. 29 ЧОТИРИКУТНИКИ 119. Äіàãîíàëü ðîìáà óòâîðþє çі ñòîðîíîþ êóò 60. Çíàéäіòü òóïèé êóò ðîìáà. 120. Äіàãîíàëü ðîìáà óòâîðþє çі ñòîðîíîþ êóò 20. Çíàéäіòü ãîñòðèé êóò ðîìáà. Середній рівень 121. Ó ðîìáі ABCD êóò A äîðіâíþє 36. Çíàéäіòü êóòè òðèêóò- íèêà AOB, äå O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé. 122. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ðîìáà ABCD, B  118. Çíàéäіòü êóòè òðèêóòíèêà BOC. 123. Ñóìà äîâæèí òðüîõ ñòîðіí ðîìáà äîðіâíþє 15 ñì. Çíàé- äіòü éîãî ïåðèìåòð. 124. Ñóìà äîâæèí äâîõ ñòîðіí ðîìáà äîðіâíþє 18 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ðîìáà. 125. ABCD - ðîìá, 2  66 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 1. 126. ABCD - ðîìá, 1  58 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 2. 127. ABCD - ðîìá, 1  55 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 3. 128. ABCD - ðîìá, 3  50 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 1. 129. Ó ðîìáі ABCD AB  BD. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 130. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü ðîìá і ïàðàëåëî- ãðàì? 131. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ éîãî êóòіâ äîðіâíþє 80; 2) îäèí ç íèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé. 132. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ éîãî êóòіâ äîðіâíþє 210; 2) îäèí ç íèõ íà 50 ìåíøèé âіä äðóãîãî. 133. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: 1) ÿêùî â ÷îòèðèêóòíèêó äіàãîíàëі ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є ðîìáîì; 2) ÿêùî â ÷îòèðèêóòíèêó äіàãîíàëі íå ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí íå ìîæå áóòè ðîìáîì; 3) іñíóє ðîìá, ÿêèé є ïðÿìîêóòíèêîì; 4) æîäåí ïðÿìîêóòíèê íå є ðîìáîì? Ìàë. 56

29. 29. 30 Розділ 1 Достатній рівень 134. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãî- íàëÿìè êóòè, ðіçíèöÿ ÿêèõ äîðіâíþє 10. 135. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãî- íàëÿìè êóòè, ÿêі âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 136. Ïîáóäóéòå ðîìá: 1) çà ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ; 2) çà äіàãîíàëÿìè. 137. Ïîáóäóéòå ðîìá çà ñòîðîíîþ і êóòîì. 138. Ó ðîìáі ABCD ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïðîâåäåíî âèñî- òè BM і BN. Äîâåäіòü, ùî BM  BN. 139. Ó ðîìáі ABCD ç âåðøèí òóïèõ êóòіâ ïðîâåäåíî âèñîòè BK і DL. Äîâåäіòü, ùî BK  DL. 140. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà ðîìáà, óòâî- ðþþòü ìіæ ñîáîþ êóò 110. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 141. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè òóïîãî êóòà ðîìáà, óòâîðþ- þòü ìіæ ñîáîþ êóò 50. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. Високий рівень 142. Äіàãîíàëü ðîìáà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, óòâî- ðþє ç âèñîòîþ, ïðîâåäåíîþ іç öієї ñàìîї âåðøèíè, êóò 30. Ìåíøà äіàãîíàëü ðîìáà äîðіâíþє a ñì. Çíàéäіòü: 1) êóòè ðîìáà; 2) ïåðèìåòð ðîìáà. 143. Ó ðîìáі âèñîòà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, äіëèòü ñòîðîíó ðîìáà íàâïіë. Çíàéäіòü: 1) êóòè ðîìáà; 2) ïåðèìåòð ðîìáà, ÿêùî éîãî ìåíøà äіàãîíàëü äîðіâíþє b ñì. 144. Íà äіàãîíàëі AC ðîìáà ABCD ïîçíà÷åíî òî÷êè M іM N òàêі,N ùî AM  CN. Äîâåäіòü, ùî ÷îòèðèêóòíèê DMBN є ðîìáîìN (ðîçãëÿíüòå äâà âèïàäêè ðîçìіùåííÿ òî÷îê M іM N). 145. Äîâåäіòü, ùî ñåðåäèíè ñòîðіí ïðÿìîêóòíèêà є âåðøèíà- ìè ðîìáà. 146. Ó ðіâíîñòîðîííіé òðèêóòíèê ABC âïèñàíî ðîìá AMNK òàê, ùî òðèêóòíèê і ðîìá ìàþòü ñïіëüíèé êóò A, à òî÷êà N ëåæèòü íà ñòîðîíі BC. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðèêóòíèêà, ÿêùî ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 40 ñì.

30. 30. 31 ЧОТИРИКУТНИКИ Вправи для повторення 147. Ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 5 : 2. Çíàé- äіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî ðіçíèöÿ öèõ ñòîðіí äîðіâíþє 15 ñì. 148. Îäèí ç êóòіâ òðèêóòíèêà äîðіâíþє ñóìі äâîõ іíøèõ. Çíàéäіòü íàéáіëüøó ñòîðîíó öüîãî òðèêóòíèêà, ÿêùî ìåäіàíà, ïðîâåäåíà äî íåї, äîðіâíþє 5 ñì. 149. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє 2p2 ñì. ×è ìîæå îäíà ç éîãî ñòîðіí äîðіâíþâàòè: 1) (p(( - 1) ñì; 2) p ñì; 3) (p(( + 1) ñì? 150. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD áіñåêòðèñà êóòà A ïåðåòèíàє áіñåêòðèñè êóòіâ B і D ïіä ïðÿìèì êóòîì. Âèçíà÷òå âèä ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 151. Çíàéäіòü ïåðèìåòð і ïëîùó êâàäðàòà, ñòîðîíà ÿêîãî äî- ðіâíþє: 1) 5 ñì; 2) 2,1 äì; 3) ì; 4) äì. Цікаві задачі для учнів неледачих 152. (Êèїâñüêà ìіñüêà îëіìïіàäà, 1987 ð.) Âïèñàíå ó òðèêóò- íèê ABC êîëî äîòèêàєòüñÿ äî ñòîðîíè BC ó òî÷öі K. Äîâåäіòü, ùî âіäðіçîê AK äîâøèé çà äіàìåòð êîëà. 5. Квадратом називають прямокутник, у якого всі стороним рівні. Íà ìàë. 57 çîáðàæåíî êâàäðàò ABCD. Ïðÿìîêóòíèê є ïàðà- ëåëîãðàìîì, òîìó і êâàäðàò - ïàðàëåëîãðàì, ó ÿêîãî âñі ñòî- ðîíè ðіâíі, òîáòî âіí є і ðîìáîì. Îòæå, êâàäðàò ìàє âëàñòè- âîñòі ïðÿìîêóòíèêà і ðîìáà. Ñôîðìóëþєìî âëàñòèâîñòі êâàäðàòà. 1. Усі кути квадрата прямі. 2. Периметр квадрата PABCDP = 4D AB. 3. Діагоналі квадрата між собою рівні (мал. 58). КВАДРАТ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

31. 31. 32 Розділ 1 4. Діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл (мал. 58). 5. Діагоналі квадрата ділять його кути навпіл, тобто утво- рюють кути 45° зі сторонами квадрата (мал. 58). 6. Точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від усіх його вершин: AO =O BO =O CO =O DO. Ìàë. 57 Ìàë. 58 Ìàë. 59 Çàäà÷à 1. Òî÷êè K і M íàëåæàòü âіäïîâіäíî äіàãîíàëÿì BD і AC êâàäðàòà ABCD, ïðè÷îìó , . Äîâå- äіòü, ùî {ADM  {BAK (ìàë. 59). Ä î â å ä å í í ÿ. 1) MAD  ABK  45, AD  AB (ÿê ñòîðîíè êâàäðàòà). 2) Îñêіëüêè AC  BD (ÿê äіàãîíàëі êâàäðàòà) і , , òî AM  BK. 3) Òîìó {ADM  {BAK (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè).  Ðîçãëÿíåìî îçíàêè êâàäðàòà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè êâàäðàòà). 1) ßêùî äіàãîíàëі ïðÿ- ìîêóòíèêà âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є êâàäðàòîì. 2) ßêùî äіàãîíàëі ðîìáà ìіæ ñîáîþ ðіâíі, òî âіí є êâàäðàòîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Ïðÿìîêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì, à ïàðàëåëîãðàì іç âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíèìè äіàãîíàëÿìè є ðîìáîì. Îòæå, ó çàäàíîãî ïðÿìîêóòíèêà âñі ñòîðîíè ðіâíі, à òîìó âіí є êâàäðàòîì. 2) Ðîìá є ïàðàëåëîãðàìîì, à ïàðàëåëîãðàì ç ðіâíèìè äіàãî- íàëÿìè є ïðÿìîêóòíèêîì. Îòæå, ó ðîçãëÿäóâàíîãî ðîìáà âñі êóòè ïðÿìі, à òîìó âіí є êâàäðàòîì.  Çàäà÷à 2. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі ñòîðîíè ðіâíі і âñі êóòè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - êâàäðàò.

32. 32. 33 ЧОТИРИКУТНИКИ Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Îñêіëüêè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі êóòè ðіâíі, òî, çà îçíàêîþ ïðÿìîêóòíèêà, âіí є ïðÿìîêóòíèêîì. 2) Îñêіëüêè ó ïðÿìîêóòíèêà âñі ñòîðîíè ðіâíі, òî âіí є êâàäðàòîì.  Термін "квадрат" походить від латинського quadratum (quadrate - зробити чотирикутним). Відомий історик математики Д. Д. Мордухай-Болтовський (1876-1952) писав: "Першим чотирикутником, з яким познайомилася геометрія, був квадрат". 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü êâàäðàòîì? 2. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі êâàäðàòà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè êâàäðàòà. Початковий рівень 153. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 20 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíó. 154. Ñòîðîíà êâàäðàòà äîðіâíþє 7 äì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 155. (Óñíî.) Íà ìàë. 58 çîáðàæåíî êâàäðàò ABCD. Íàçâіòü ðіâíі ìіæ ñîáîþ âіäðіçêè íà öüîìó ìàëþíêó. 156. ßêùî ÷îòèðèêóòíèê є êâàäðàòîì, òî éîãî äіàãîíàëі ðіâíі і âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі. ×è ïðàâèëüíå îáåðíåíå òâåð- äæåííÿ? Íàâåäіòü ïðèêëàä. Середній рівень 157. Òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà çíàõîäèòüñÿ íà âіä- ñòàíі 2 ñì âіä îäíієї ç éîãî âåðøèí. Çíàéäіòü ñóìó äîâæèí äіàãîíàëåé öüîãî êâàäðàòà. 158. Ñóìà äîâæèí äіàãîíàëåé êâàäðàòà äîðіâíþє 32 ñì. Çíàé- äіòü âіäñòàíü âіä òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà äî îäíієї ç éîãî âåðøèí. 159. Ñóìà äîâæèí äâîõ ñòîðіí êâàäðàòà äîðіâíþє 10 ñì. Çíàé- äіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 160. Ñóìà äîâæèí òðüîõ ñòîðіí êâàäðàòà äîðіâíþє 18 äì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 161. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü êâàäðàò і ðîìá?

33. 33. 34 Розділ 1 162. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü êâàäðàò і ïðÿìî- êóòíèê? 163. Ðіçíèöÿ ìіæ ïåðèìåòðîì êâàäðàòà і éîãî ñòîðîíîþ äîðіâ- íþє 18 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíó êâàäðàòà òà éîãî ïåðèìåòð. 164. Ñóñіäíі ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà ðіâíі. Äîâåäіòü, ùî âіí є êâàäðàòîì. 165. Îäèí ç êóòіâ ðîìáà - ïðÿìèé. Äîâåäіòü, ùî öåé ðîìá є êâàäðàòîì. 166. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: 1) êîæíèé êâàäðàò є ïðÿìîêóòíèêîì; 2) іñíóє êâàäðàò, ÿêèé íå є ðîìáîì; 3) êîæíèé ðîìá є êâàäðàòîì; 4) êîæíèé êâàäðàò є ðîìáîì; 5) áóäü-ÿêèé ïðÿìîêóòíèê є êâàäðàòîì; 6) âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà êâàäðàòà äî éîãî ñòîðîíè є ñòà- ëèì äëÿ âñіõ êâàäðàòіâ? 167. ABCD - êâàäðàò, EF  BD (ìàë. 60). Çíàéäіòü BFE. 168. ABCD - êâàäðàò, BOC  70(ìàë. 61). Çíàéäіòü OKA. Ìàë. 60 Ìàë. 61 Достатній рівень 169. Ïîáóäóéòå êâàäðàò: 1) çà éîãî ïåðèìåòðîì; 2) çà éîãî äіàãîíàëëþ. 170. Ïîáóäóéòå êâàäðàò çà ñóìîþ éîãî äіàãîíàëåé. 171. Òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà âіääàëåíà âіä éîãî ñòîðîíè íà 3 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 172. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 32 ñì. Çíàéäіòü âіäñòàíü âіä òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà äî éîãî ñòîðіí.

34. 34. 35 ЧОТИРИКУТНИКИ 173. ABCD - êâàäðàò, AE  FC (ìàë. 62). Äîâåäіòü, ùî BEDF -F ðîìá. 174. ABCD - êâàäðàò, AE  AF  CG  CH (ìàë. 63). Äîâåäіòü, ùî EFGH - ïðÿìîêóòíèê. Ìàë. 62 Ìàë. 63 175. Äî êîëà іç öåíòðîì ó òî÷öі O ç òî÷êè A ïðîâåäåíî äâі âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі äîòè÷íі AB і AC, B і C - òî÷êè äîòèêó. Äîâåäіòü, ùî ABOC - êâàäðàò. Високий рівень 176. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC (C  90) âïèñàíî êâàäðàò CMNK òàê, ùî ïðÿìèé êóò ó íèõ ñïіëü- íèé, à òî÷êà N íàëåæèòü ñòîðîíі AB. Êàòåò òðèêóòíèêà äîðіâíþє b ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 177. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC (C  90) âïèñàíî êâàäðàò KMNL òàê, ùî òî÷êè K і M ëåæàòü íà ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè L і N - íà êàòåòàõ AC і BC âіäïîâіäíî. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 12 ñì. Çíàéäіòü ãіïîòåíóçó òðèêóòíèêà. 178. Íà ñòîðîíàõ êâàäðàòà çîâíі ïîáóäîâàíî ðіâíîñòîðîííі òðèêóòíèêè. Äîâåäіòü, ùî âåðøèíè òðèêóòíèêіâ, ÿêі íå є âåðøèíàìè çàäàíîãî êâàäðàòà, є âåðøèíàìè іíøîãî êâàä- ðàòà. Вправи для повторення 179. Ó ðîìáі ABCD äіàãîíàëü óòâîðþє ç îäíієþ çі ñòîðіí êóò 30. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 180. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD A : B : C : D   1 : 3 : 4 : 10. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì є öåé ÷îòèðèêóòíèê?

35. 35. 36 Розділ 1 181. Áіñåêòðèñà êóòà B ïðÿìîêóòíèêà ABCD äіëèòü ñòîðîíó AD íà âіäðіçêè AK іK KD òàê, ùî AK :K KD  3 : 5. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 110 ñì. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 182. 1) Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê, äâі ñòîðîíè ÿêîãî ìіæ ñî- áîþ ïàðàëåëüíі, à äâі іíøі - íåïàðàëåëüíі. 2) ßêà íàéáіëüøà êіëüêіñòü ãîñòðèõ êóòіâ ìîæå áóòè â òàêîìó ÷îòèðèêóòíèêó? Цікаві задачі для учнів неледачих 183. Î 12-é ãîäèíі ãîäèííà і õâèëèííà ñòðіëêè çáіãàþòüñÿ. ×åðåç ÿêó íàéìåíøó êіëüêіñòü õâèëèí ñòðіëêè çíîâó çáіæàòüñÿ? Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 1 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäåé (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âàðіàíò âіäïîâіäі. 1. Óêàæіòü âіäðіçîê, ùî є äіàãîíàëëþ ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. À. AB; Á. BD; Â. BC; Ã. AD. 2. Çíàéäіòü òóïèé êóò ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 35. À. 125; Á. 135; Â. 145; Ã. 155. 3. Çíàéäіòü ñòîðîíó êâàäðàòà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 36 ñì. À. 4 ñì; Á. 6 ñì; Â. 9 ñì; Ã. 12 ñì. 4. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 24 ñì, à îäíà ç éîãî ñòîðіí íà 2 ñì áіëüøà çà äðóãó. Çíàéäіòü äîâæèíó ìåíøîї ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà. À. 5 ñì; Á. 6 ñì; Â. 7 ñì; Ã. 8 ñì. 5. ABCD - ðîìá; A  50 (ìàë. 64). Çíàéäіòü ABD. À. 55; Â. 75; Á. 50; Ã. 65. 6. Óêàæіòü ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: À. ÿêùî äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà âçà- єìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є ðîìáîì; Á. âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà ðîìáà äî éîãî ñòîðîíè є ñòàëèì äëÿ âñіõ ðîìáіâ; Ìàë. 64

36. 36. 37 ЧОТИРИКУТНИКИ Â. ÿêùî äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà ðіâíі, òî âіí є ïðÿìîêóò- íèêîì; Ã. âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà ïðÿìîêóòíèêà, ÿêèé íå є êâàäðàòîì, äî éîãî íàéáіëüøîї ñòîðîíè є íåçìіííèì äëÿ âñіõ ïðÿìîêóòíèêіâ. 7. Çíàéäіòü íàéáіëüøèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ó ÿêîãî ãðà- äóñíі ìіðè êóòіâ ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 2; 3; 5 і 8. À. 120; Á. 130; Â. 150; Ã. 160. 8. Âèñîòè, ÿêі ïðîâåäåíî ç âåðøèíè òóïîãî êóòà ïàðàëåëî- ãðàìà, óòâîðþþòü ìіæ ñîáîþ êóò 30. Çíàéäіòü òóïèé êóò ïàðàëåëîãðàìà. À. 120; Á. 130; Â. 150; Ã. 160. 9. Çíàéäіòü ãîñòðèé êóò ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãîíàëÿìè êóòè, ðіçíèöÿ ÿêèõ äîðіâíþє 40. À. 25; Á. 30; Â. 50; Ã. 60. 10. Áіñåêòðèñà êóòà D ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіëèòü ñòî- ðîíó AB íà âіäðіçêè AK і KB òàê, ùî AK : KB  1 : 3. Çíàéäіòü AB, ÿêùî ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 60 ñì. À. 26 ñì; Á. 24 ñì; Â. 20 ñì; Ã. 15 ñì. 11. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà A ðîìáà ABCD ïðîâåäåíî âèñîòó AK. CAK  30, AC  6 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ðîìáà. À. 18 ñì; Á. 24 ñì; Â. 30 ñì; Ã. 36 ñì. 12. Ó {ABC (C  90, AC  ÂC) âïèñàíî êâàäðàò KLMN òàê, ùî K  AB; L  AB; M  CB; N  AC. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà, ÿêùî AB  12 ñì. À. 24 ñì; Á. 20 ñì; Â. 12 ñì; Ã. 16 ñì. Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü äî § 1-5 1. Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê MNPL і ïðîâåäіòü ó íüîìó äіà- ãîíàëі. 2. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 80. 3. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà äîðіâíþє 7 ñì. 4. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâ- íþє 18 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî îäíà ç íèõ íà 1 ñì áіëüøà çà äðóãó. 5. ABCD - ðîìá. ABD  50. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 6. Íà ìàëþíêó 65 ABD  BDC, AB  DC. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ìàë. 65

37. 37. 38 Розділ 1 7. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 2, 3, 4, 6. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì âіí є? 8. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà ðîìáà, óòâîðþ- þòü ìіæ ñîáîþ êóò 120. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 9. Áіñåêòðèñà êóòà À ïàðàëåëîãðàìàÀ ABCD äіëèòü ñòîðîíó BC íà âіäðіçêè BK і KC òàê, ùî BK : KC  4 : 3. Çíàéäіòü ñòîðî- íè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 88 ñì. Äîäàòêîâі çàâäàííÿ 10. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC ç ãіïî- òåíóçîþ BC  23 ñì âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê KLMN òàê, ùî òî÷êè K і L íàëåæàòü ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè M і N - êàòåòàì. Ñòîðîíà KL ïðÿìîêóòíèêà íà 2 ñì áіëüøà çà ñòîðîíó LM. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. 11. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà Â ðîìáà ABCD ïðîâåäåíî âèñî- òó ÂÌ, DÂÌ  30. Ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü ìåíøó äіàãîíàëü ðîìáà. 6. Трапецією називають чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні. Íà ìàëþíêó 66 çîáðàæåíî òðàïå- öіþ ABCD. Ïàðàëåëüíі ñòîðîíè òðàïåöії íàçèâàþòü îñíîâàìè, à íå ïàðàëåëüíі - áі÷íèìè ñòîðîíàìè. Íà ìàëþíêó 66 AD і BC - îñíîâè òðàïåöії, AB і CD - її áі÷íі ñòîðîíè. Ðîçãëÿíåìî äåÿêі âëàñòèâîñòі òðàïåöії. 1. Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорів- нює 180. Îñêіëüêè AD || BC, òî A + B  180 (ÿê ñóìà âíóòðіøíіõ îäíîñòîðîííіõ êóòіâ). Àíàëîãі÷íî C + D  180. 2. Трапеція є опуклим чотирикутником. Îñêіëüêè A + B  180, òî A < 180, B < 180. Àíà- ëîãі÷íî C < 180, D < 180. Îòæå, òðàïåöіÿ - îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê. ТРАПЕЦІЯ Ìàë. 66

38. 38. 39 ЧОТИРИКУТНИКИ Висотою трапеції називають перпендикуляр, проведе-ї ний з будь-якої точки основи трапеції до прямої, що міс- тить протилежну основу. Íàé÷àñòіøå âèñîòó òðàïåöії ïðîâîäÿòü ç її âåðøèíè. Íà ìàëþíêó 67 BK - âèñîòà òðàïåöії ABCD. Òðàïåöіþ íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíîþ, ÿêùî îäèí ç її êóòіâ - ïðÿìèé. Íà ìàëþíêó 68 - ïðÿìîêóòíà òðàïåöіÿ ABCD (A  90). Î÷åâèäíî, ùî B  90. ÀÂ є ìåíøîþ áі÷íîþ ñòî- ðîíîþ ïðÿìîêóòíîї òðàïåöії і її âèñîòîþ. Ìàë. 67 Ìàë. 68 Òðàïåöіþ íàçèâàþòü ðіâíîáі÷íîþ, ÿêùî її áі÷íі ñòîðîíè ðіâíі. Íà ìàëþíêó 69 - ðіâíîáі÷íà òðàïåöіÿ ABCD. Ðîçãëÿíåìî äåÿêі âàæëèâі âëàñòèâîñòі ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії. 1. У рівнобічній трапеції кути при основі між собою рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé â òðàïåöії ABCD ÀB  CD. Ïðî- âåäåìî âèñîòè òðàïåöії BK і CM ç âåðøèí її òóïèõ êóòіâ Â і Ñ (ìàë. 70). Óòâîðèâñÿ ïðÿìîêóòíèê BKMC. Òîìó BK  CM. Ìàë. 69 Ìàë. 70 2) {ABK  {DCM (çà êàòåòîì і ãіïîòåíóçîþ). Òîìó BAD  CDA. 3) Òàêîæ ABK  DCM. Îñêіëüêè KBC  MCB   90, òîABC  ABK + 90 i DCB DCM + 90. Òîìó ABC  DCB. 

39. 39. 40 Розділ 1 2. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. Ðîçãëÿíåìî ìàëþ- íîê 71. BAD  CDA (ÿê êóòè ïðè îñíîâі ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії), AB  DC, AD - ñïіëüíà ñòîðîíà òðèêóòíèêіâ ABD і DCÀ. Òîìó {ABD  {DCA (çà äâîìà ñòî- ðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Îòæå, AC  ÂD. Çàäà÷à. Î - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії ABCD ç îñíîâàìè AD і BC (ìàë. 71). Äîâåäіòü, ùî AÎ  ÎD, BÎ  ÎC. Ä î â å ä å í í ÿ. {ABD  {DCA (äîâåäåíî âèùå). Òîìó ODA  OAD. Çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà - òðè- êóòíèê AOD - ðіâíîáåäðåíèé. Òîìó AÎ  ÎD. Îñêіëüêè AC  ÂD і AÎ  ÎD, òî ÎC  BÎ (áî OC  AC - AO, BO  BD - OD).  Ò å î ð å ì à (îçíàêà ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії). ßêùî ó òðà- ïåöії êóòè ïðè îäíіé îñíîâі ðіâíі, òî òðàïåöіÿ - ðіâíîáі÷íà. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ó òðàïåöії ABCD êóòè ïðè áіëü- øіé îñíîâі AD ðіâíі (ìàë. 70), òîáòî BAD  CDA. Ïðîâåäå- ìî âèñîòè BK і CM, ÿêі ðіâíі ìіæ ñîáîþ. 2) Òîäі {BAK  {CDM (çà êàòåòîì і ïðîòèëåæíèì êóòîì).M Òîìó AB  DC. Òðàïåöіÿ ðіâíîáі÷íà, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.  Термін "трапеція" грецького походження (грецькою мовою "трапе- дзіон" означає "столик", зокрема столик для обіду; слова "трапеція" і "трапеза" - однокореневі). У своїй праці "Начала" Евклід під терміном "трапеція" розумів будь- який чотирикутник, який не є паралелограмом. Більшість математиків Середньовіччя використовувала термін "трапеція" з тим самим змістом. Трапеція в сучасному розумінні вперше зустрічається у давньогрець- кого математика Посидонія (I ст.), але лише починаючи з XVIII ст. цей термін став загальновживаним для чотирикутників, у яких дві сторони паралельні, а дві інші - непаралельні. Ìàë. 71 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü òðàïåöієþ? 2. Ùî íàçèâàþòü îñíîâàìè òðàïåöії, áі÷íèìè ñòîðîíàìè òðàïåöії? 3. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі òðàïåöії. 4. Ùî òàêå âèñîòà òðàïåöії?

40. 40. 41 ЧОТИРИКУТНИКИ Початковий рівень 184. Íà ÿêèõ ç ìàëþíêіâ 72-76 çîáðàæåíî òðàïåöіþ? Ìàë. 72 Ìàë. 73 Ìàë. 74 Ìàë. 75 Ìàë. 76 185. Íàêðåñëіòü òðàïåöіþ PKML (PK || ML). Óêàæіòü îñíîâè òðàïåöії, áі÷íі ñòîðîíè òðàïåöії. 186. Íàêðåñëіòü òðàïåöіþ DMFK (DM || FK). Óêàæіòü îñíîâè òðàïåöії, áі÷íі ñòîðîíè òðàïåöії. 187. Íàêðåñëіòü ïðÿìîêóòíó òðàïåöіþ ABCD (A  B  90). 188. Íàêðåñëіòü ðіâíîáі÷íó òðàïåöіþ ABCD (AB((  CD). 189. Äâà êóòè òðàïåöії äîðіâíþþòü 20 і 100. Çíàéäіòü äâà іíøèõ її êóòè. 190. Äâà êóòè òðàïåöії äîðіâíþþòü 110 і 40. Çíàéäіòü äâà іíøèõ її êóòè. Середній рівень 191. Îñíîâè ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії äîðіâíþþòü 8 ñì і 10 ñì, à ïåðèìåòð 28 ñì. Çíàéäіòü áі÷íó ñòîðîíó òðàïåöії. 192. Îñíîâè ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії äîðіâíþþòü 7 ñì і 5 ñì, à áі÷íà ñòîðîíà - 3 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðàïåöії. 193. ×è іñíóє òðàïåöіÿ, ó ÿêîї äâà ïðîòèëåæíèõ êóòè: 1) ãîñòðі; 2) ïðÿìі; 3) òóïі? Ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі íàêðåñëіòü òàêó òðàïåöіþ. 194. ×è іñíóє òðàïåöіÿ, ó ÿêîї: 1) îñíîâè ìіæ ñîáîþ ðіâíі; 2) òðè ñòîðîíè ìіæ ñîáîþ ðіâíі? Ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі íàêðåñëіòü òàêó òðàïåöіþ. 5. ßêó òðàïåöіþ íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíîþ, ÿêó - ðіâíî- áі÷íîþ? 6. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ðіâíîáі÷íîї òðà- ïåöії. 7. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêó ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Published on

1. 1. ÓÄÊ 514(075.3) ÁÁÊ 22.151ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0701 3ISBN 978-966-11-0701-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Ãåîìåòðіÿ : ïіäðó÷. äëÿ 8 êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016. - 216 ñ. ISBN 978-966-11-0701-3. Підручник відповідає новій програмі з математики, містить до- статню кількість диференційованих вправ та прикладних задач. Після кожного розділу наведено вправи для його повторення. Для підготовки до контрольної роботи передбачено "Домашню само- стійну роботу" та "Завдання для перевірки знань". Наприкінці під- ручника наведено матеріал для повторення курсу геометрії 7 кла- су, задачі підвищеної складності, предметний покажчик та відповіді до більшості вправ. Для найдопитливіших є низка нестандартних задач у рубриці "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий матеріал. ÓÄÊ 514(075.3) ÁÁÊ 22.151ÿ721 Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè (Íàêàç Ìіíіñòåðñòâà îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè âіä 10.05.2016 № 491) Åêñïåðòè, ÿêі çäіéñíèëè åêñïåðòèçó ïіäðó÷íèêà ïіä ÷àñ ïðîâå- äåííÿ êîíêóðñíîãî âіäáîðó ïðîåêòіâ ïіäðó÷íèêіâ äëÿ ó÷íіâ 8 êëà- ñó çàãàëüíîîñâіòíіõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäіâ і çðîáèëè âèñíîâîê ïðî äîöіëüíіñòü íàäàííÿ ïіäðó÷íèêó ãðèôà "Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñ- òåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè": Äóíàé Ñ.Ì., ó÷èòåëü ñïåöіàëіçîâàíîї çàãàëüíîîñâіòíüîї ñåðåäíüîї øêîëè № 1 ç ïîãëèáëåíèì âèâ÷åííÿì іíîçåìíèõ ìîâ ì. ×åðíіãîâà; Òåñëåíêî Î.Â., ìåòîäèñò ìåòîäè÷íîãî öåíòðó Óïðàâëіííÿ îñâіòè àäìіíіñòðàöії Êîìіíòåðíіâñüêîãî ðàéîíó Õàðêіâñüêîї ìіñüêîї ðàäè; ×îðíèé Â.Ç., çàâіäóâà÷ êàôåäðè ìàòåìàòèêè òà ìåòîäèêè її íà- â÷àííÿ Òåðíîïіëüñüêîãî íàöіîíàëüíîãî ïåäàãîãі÷íîãî óíіâåðñèòå- òó іì. Âîëîäèìèðà Ãíàòþêà, êàíäèäàò ôіçèêî-ìàòåìàòè÷íèõ íàóê, äîöåíò. Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

2. 2. 3 Øàíîâíі âîñüìèêëàñíèêè! Ó öüîìó íàâ÷àëüíîìó ðîöі âè ïðîäîâæèòå âèâ÷àòè ãåîìåò- ðіþ, à ïіäðó÷íèê, ÿêèé âè òðèìàєòå â ðóêàõ, äîïîìîæå âàì ó öüîìó. Ïіä ÷àñ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çâåðíіòü óâàãó íà òåêñò, íàäðóêîâàíèé æèðíèì øðèôòîì. Éîãî òðåáà çàïàì'ÿ- òàòè. Ó ïіäðó÷íèêó âè ïîáà÷èòå óìîâíі ïîçíà÷åííÿ. Îñü ùî âîíè îçíà÷àþòü: - означення, важливі геометричні твердження (аксіоми, теоре- ми, властивості); - запитання до вивченого теоретичного матеріалу;  - закінчення доведення теореми або задачі; - "ключова" задача, висновки якої використовуються під час розв'язування інших задач; - вправи для повторення; - рубрика "Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового мате- ріалу"; - вправи підвищеної складності; - рубрика "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий матеріал. ×îðíèì êîëüîðîì ïîçíà÷åíî íîìåðè âïðàâ äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ ó êëàñі, à ñèíіì - äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ âäîìà. Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü і âèîêðåìëåíî òàê: ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ñåðåäíüîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè äîñòàòíüîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè âèñîêîãî ðіâíÿ. Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ ìîæíà, âèêîíóþ÷è çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìî-

3. 3. 4 ñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Ïіñëÿ êîæíîãî ðîçäіëó íàâåäåíî âïðàâè äëÿ éîãî ïîâòîðåííÿ, à â êіíöі ïіäðó÷íèêà - "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðå- âіðêè çíàíü çà êóðñ ãåîìåòðії 8 êëàñó" òà "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі". Çàíÿòòÿ ãåîìåòðієþ ñòàíóòü ùå öіêàâіøèìè, ÿêùî âè ðîçâ'ÿçóâàòèìåòå âïðàâè ðóáðèêè "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ". Ïðèãàäàòè ðàíіøå âèâ÷åíå âàì äîïîìîæóòü "Âіäîìîñòі ç êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó" òà "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó", ÿêі ðîçìіùåíî â êіíöі ïіäðó÷íèêà. Àâòîð íàìàãàâñÿ ïîäàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ïіäðó÷íèêà ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ, ïðîіëþñòðóâàòè éîãî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó ó øêîëі éîãî îáîâ'ÿçêîâî ïîòðіáíî äîîïðàöþâàòè âäîìà. Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Áіëüøіñòü іç íèõ âè ðîçãëÿíåòå íà óðîêàõ і ïіä ÷àñ äîìàøíüîї ðîáîòè; іíøі âïðàâè ðåêîìåíäóєòüñÿ ðîçâ'ÿçàòè ñàìîñòіéíî. Ó êіíöі ïіäðó÷íèêà â äîäàòêó ïіä íàçâîþ "Ãîòóєìîñÿ äî ÇÍÎ" ïîäàíî äîáіðêó çàäà÷, ùî â ðіçíі ðîêè ïðîïîíóâàëèñÿ àáіòóðієíòàì íà çîâíіøíüîìó íåçàëåæíîìó îöіíþâàííі ç ìàòå- ìàòèêè, äëÿ ðîçâ'ÿçàííÿ ÿêèõ äîñòàòíüî çíàíü ç ãåîìåòðії çà 8-é êëàñ. Ðîçâ'ÿçàâøè öі çàäà÷і, âè çðîáèòå ùå îäèí êðîê óïåðåä äëÿ óñïіøíîї ïіäãîòîâêè äî ìàéáóòíіõ âèïðîáóâàíü, ÿêі ÷åêàòèìóòü íà âàñ ïіä ÷àñ âñòóïó äî îìðіÿíîãî âèøó. Öіêàâі ôàêòè ç іñòîðії ðîçâèòêó ãåîìåòðії ÿê íàóêè âè çíà- éäåòå ó ðóáðèöі "À ùå ðàíіøå..." Áàæàþ óñïіõіâ â îïàíóâàííі êóðñó!

4. 4. 5 Øàíîâíі â÷èòåëі! Ïðîïîíîâàíèé ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ; âïðàâè áіëüøîñòі ïàðàãðàôіâ ïîäàíî "іç çàïàñîì". Òîæ îáè- ðàéòå їõ äëÿ âèêîðèñòàííÿ íà óðîêàõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ, ñòóïåíÿ іíäèâіäóàëіçàöії òîùî. Âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ íà óðîöі, ìîæíà âèêîðèñòàòè íà äîäàòêîâèõ, ôàêóëüòàòèâíèõ òà іíäèâіäóàëüíèõ çàíÿòòÿõ. Äîäàòêîâі âïðàâè ó "Çàâäàííÿõ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü" ïðè- çíà÷åíî äëÿ ó÷íіâ, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàííÿìè ðàíіøå çà іíøèõ ó÷íіâ. Ïðàâèëüíå їõ ðîçâ'ÿçàííÿ â÷èòåëü ìîæå îöіíèòè îêðåìî. Âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ ðîçäіëіâ òà çàäà÷і ç äîäàòêà "Ãîòó- єìîñÿ äî ÇÍÎ" ìîæíà çàïðîïîíóâàòè ó÷íÿì, íàïðèêëàä, ïіä ÷àñ óçàãàëüíþþ÷èõ óðîêіâ ç òåìè àáî ïîâòîðåííÿ і ñèñòåìàòè- çàöії íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó â êіíöі íàâ÷àëüíîãî ðîêó. Îðãàíіçóâàòè ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó íà ïî÷àò- êó íàâ÷àëüíîãî ðîêó òà ïðèãàäàòè âіäïîâіäíèé òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ìîæíà, çàïðîïîíóâàâøè ó÷íÿì ðîçâ'ÿçàòè "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó" òà ïðî÷èòàòè âіäïî- âіäíі òåîðåòè÷íі âіäîìîñòі, ÿêі ðîçìіùåíî ó êіíöі ïіäðó÷íèêà. Øàíîâíі áàòüêè! ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ ó øêîëі, ïîòðіáíî çàïðîïîíóâàòè їé ñàìîñòіéíî îïðàöþâàòè öåé ìàòåðіàë çà ïіäðó÷íèêîì óäîìà. Ñïî÷àòêó áàæàíî, ùîá âîíà ïðî÷èòàëà òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë, ÿêèé âèêëàäåíî ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ òà ïðîіëþñòðîâàíî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ öüîãî - ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷і і âïðàâè, ùî їé ïîñèëüíі, ç ðîçãëÿíóòîãî ïàðàãðàôà. Óïðîäîâæ îïðàöþâàííÿ äèòèíîþ êóðñó ãåîìåòðії 8 êëàñó âè ìîæåòå ïðîïîíóâàòè їé äîäàòêîâî ðîçâ'ÿçóâàòè âäîìà âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ ïіä ÷àñ óðîêó. Öå ñïðèÿòèìå ÿêíàéêðàùîìó çàñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó. Êîæíà òåìà çàêіí÷óєòüñÿ òåìàòè÷íèì îöіíþâàííÿì. Ïåðåä éîãî ïðîâåäåííÿì çàïðîïîíóéòå äèòèíі ðîçâ'ÿçàòè çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìîñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Öå äîïîìîæå ïðèãàäàòè îñíîâíі òèïè âïðàâ òà ÿêіñíî ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ. Ó êіíöі ïіäðó÷íèêà "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі" äîïîìî- æóòü âàøіé äèòèíі ïîãëèáèòè çíàííÿ ç ãåîìåòðії òà ïіäãîòó- âàòèñÿ äî ìàòåìàòè÷íèõ çìàãàíü.

5. 5. 6 ОЧОТИРИКУТНИКИ У цьому розділі ви:У  пригадаєте поняття прямокутника і квадрата;  дізнаєтеся про паралелограм та його властивості, трапецію; центральні та вписані кути; вписані та описані чотирикутни- ки; середню лінію трикутника та середню лінію трапеції; теорему Фалеса;  навчитеся обґрунтовувати належність чотирикутника до пев- ного виду, застосовувати вивчені означення і властивості до розв'язування задач. 1. Чотирикутником називають фігуру, що складається зм чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх спо- лучають. Íіÿêі òðè ç äàíèõ òî÷îê íå ïîâèííі ëåæàòè íà îäíіé ïðÿìіé, à âіäðіçêè, ÿêі їõ ñïîëó÷àþòü, íå ïîâèííі ìàòè æîäíèõ іíøèõ ñïіëüíèõ òî÷îê, êðіì äàíèõ. Áóäü-ÿêèé ÷îòèðèêóòíèê îáìåæóє ïåâíó ÷àñòèíó ïëîùèíè, ÿêà є âíóòðіøíüîþ îáëàñòþ ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàëþíêó 1 çîáðàæåíî ÷îòèðèêóòíèê ABCD. Òî÷êè A, B, C, D íàçèâàþòü âåðøèíàìè ÷îòèðèêóòíèêà, à âіäðіçêè AB, BC, CD і DA, ùî їõ ñïîëó÷àþòü, - ñòîðîíàìè ÷îòèðèêóòíèêà. Âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêі є êіíöÿìè îäíієї éîãî ñòîðî- íè, íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, íåñóñіäíі âåðøèíè íàçèâàþòü ïðî- òèëåæíèìè. Íà ìàë. 1 âåðøèíè A і B - ñóñіäíі, A і C - ïðîòèëåæíі. Ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêі ìàþòü ñïіëü- íó âåðøèíó, íàçèâàþòü ñóñіäíіìè àáî ñóìіæíèìè, à ÿêі íå ìàþòü ñïіëüíîї âåðøè- íè, - ïðîòèëåæíèìè. Íà ìàë. 1 ñòîðîíè AB і BC - ñóñіäíі (ñóìіæíі), ñòîðîíè AB і CD - ïðîòèëåæíі. ЧОТИРИКУТНИК, ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ. СУМА КУТІВ ЧОТИРИКУТНИКА Ìàë. 1

6. 6. 7 ЧОТИРИКУТНИКИ Ñóìó äîâæèí óñіõ ñòîðіí ÷îòèðè- êóòíèêà íàçèâàþòü éîãî ïåðèìåòðîì. Ïåðèìåòð ïîçíà÷àþòü ëіòåðîþ P. Íàïðè- êëàä, ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà ABCD ìîæíà ïîçíà÷èòè ÿê PABCDP : PABCDP  AB + BC + CD + DA. Âіäðіçêè, ÿêі ñïîëó÷àþòü ïðîòèëåæíі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, íàçèâàþòü äіàãîíàëÿìè ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàë. 2 âіäðіçêè KM і LN - äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà KLMN. Áóäü-ÿêèé ÷îòèðèêóòíèê ìàє äâі äіàãîíàëі. Êóòàìè ÷îòèðèêóòíèêà ABCD íàçèâàþòü êóòè DAB, ABC, BCD і CDA (ìàë. 1). Êóòè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ïðîòèëåæíèìè, ÿêùî їõ âåðøèíè - ïðîòèëåæíі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, і ñóñіäíіìè, ÿêùî їõ âåðøèíè - ñóñіäíі âåð- øèíè ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàëþíêó 1 êóòè A іA C - ïðîòèëåæíі,C A іA B - ñóñіäíі. Îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà ìîæå áóòè áіëüøèì çà ðîçãîð- íóòèé. Íàïðèêëàä, íà ìàëþíêó 3 êóò A ÷îòèðèêóòíèêà ABCD є áіëüøèì çà ðîçãîðíóòèé. Òàêèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü íåîïóêëèì. ßêùî æ óñі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà ìåíøі âіä 180, òî éîãî íàçèâàþòü îïóêëèì. Äіàãîíàëі îïóêëîãî ÷îòèðèêóò- íèêà ïåðåòèíàþòüñÿ (ìàë. 2), à íåîïóêëîãî íå ïåðåòèíàþòüñÿ (ìàë. 4). Ìàë. 3 Ìàë. 4 Ìàë. 5 Ò å î ð å ì à (ïðî ñóìó êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà). Ñóìà êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 360. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ÀÂÑD - äåÿêèé ÷îòèðèêóòíèê. Ïðîâåäåìî â íüîìó äіàãîíàëü ÀÑ (ìàë. 5). Òîäі À  1 + 2, Ñ  3 + 4. Âðàõîâóþ÷è, ùî 2 + B + 3  180 (ÿê ñóìà êóòіâ  ÀÂÑ), 1 + D + 4  180 (ÿê ñóìà êóòіâ ÀDÑ), ìàòèìåìî: À +À Â + Ñ + D  1 + 2 + Â + 3 + + 4 + D  (2 + Â + 3) + (1 + D + 4)  180+ 180  360.  Ìàë. 2

7. 7. 8 Розділ 1 Çàäà÷à. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî їõ ãðàäóñíі ìіðè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 3 : 10 : 4 : 1. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì є öåé ÷îòèðèêóòíèê? Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. Íåõàé êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 3x, 10x, 4x і x. Ìàєìî ðіâíÿííÿ 3x + 10x + 4x + x  360, çâіäêè x  20. Îòæå, êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 3  20  60, 10  20  200, 4  20  80 і 20. Îñêіëüêè îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà áіëüøèé çà 180, òî öåé ÷îòèðèêóò- íèê - íåîïóêëèé. Â і ä ï î â і ä ü. 60, 200, 80, 20; íåîïóêëèé. Початковий рівень 1. (Óñíî.) ßêі ç ôіãóð (ìàë. 6-9) є ÷îòèðèêóòíèêàìè? Íà- çâіòü îïóêëі òà íåîïóêëі ÷îòèðèêóòíèêè. Ìàë. 6 Ìàë. 7 Ìàë. 8 Ìàë. 9 2. Íàçâіòü ïàðè ïðîòèëåæíèõ ñòîðіí ÷îòèðèêóòíèêà EGOR (ìàë. 9), ïàðè ñóñіäíіõ ñòîðіí. Íàçâіòü ïàðè ñóñіäíіõ âåð- øèí öüîãî ÷îòèðèêóòíèêà, ïàðè ïðîòèëåæíèõ âåðøèí. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ÷îòèðèêóòíèêîì? 2. Ùî íàçèâàþòü âåðøèíàìè ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðî- íàìè ÷îòèðèêóòíèêà? 3. ßêі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, ÿêі - ïðîòèëåæíèìè? 4. Ùî òàêå äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà? 5. ßêі ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, ÿêі - ïðîòèëåæíèìè? 6. Ùî íàçèâàþòü ïåðèìåòðîì ÷îòèðèêóòíèêà? 7. Ùî íàçèâàþòü êóòàìè ÷îòèðèêóòíèêà? 8. ßêі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ïðîòèëåæíè- ìè, à ÿêі - ñóñіäíіìè? 9. ßêèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü íåîïóêëèì, à ÿêèé - îïóêëèì? 10. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü òåîðåìó ïðî ñóìó êóòіâ ÷îòè- ðèêóòíèêà.

8. 8. 9 ЧОТИРИКУТНИКИ 3. Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê KLMN. Íàçâіòü ïàðè éîãî ïðî- òèëåæíèõ ñòîðіí, ñóñіäíіõ ñòîðіí, ïðîòèëåæíèõ âåðøèí, ñóñіäíіõ âåðøèí. Ïðîâåäіòü äіàãîíàëі öüîãî ÷îòèðèêóòíèêà. 4. Íàêðåñëіòü îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê ABCD і íåîïóêëèé PMLK. Ïðîâåäіòü äіàãîíàëü ó êîæíîìó ç íèõ. 5. ×è іñíóє ÷îòèðèêóòíèê ç êóòàìè: 1) 80, 90, 100 і 110; 2) 150, 60, 70 і 80? 6. ×è ìîæóòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþâàòè: 1) 120, 80, 90 і 70; 2) 130, 110, 80 і 50? Середній рівень 7. Çíàéäіòü ÷åòâåðòèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî òðè éîãî êóòè äîðіâíþþòü: 1) 150, 110 і 80; 2) 80, 60 і 30. ßêèì - îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì - є êîæíèé ÷îòèðèêóòíèê? 8. Çíàéäіòü ÷åòâåðòèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî òðè éîãî êóòè äîðіâíþþòü: 1) 20, 70 і 80; 2) 120, 50 і 40. ßêèì - îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì - є êîæíèé ÷îòèðèêóòíèê? 9. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâ- íþþòü 32 ìì, 2,5 ñì, 0,4 äì і 0,07 ì. 10. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþ- þòü 0,08 ì, 0,7 äì, 6,3 ñì і 54 ìì. 11. ×è ìîæóòü óñі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà áóòè: 1) ãîñòðèìè; 2) ïðÿìèìè; 3) òóïèìè? 12. Îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâ- íþє 120, à іíøі - ìіæ ñîáîþ ðіâíі. Çíàéäіòü íåâіäîìі êóòè ÷îòèðèêóò- íèêà. 13. Ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 60 ñì, à îäíà ç éîãî ñòîðіí - 24 ñì. Çíàéäіòü íåâіäîìі ñòîðîíè ÷îòèðè- êóòíèêà, ÿêùî âîíè ìіæ ñîáîþ ðіâíі. 14. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 10) BC  CD і ACB  ACD. Äîâåäіòü, ùî B  D. 15. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 11) BAC  ACD, BCA  CAD. Äîâåäіòü, ùî AB  CD. Ìàë. 10 Ìàë. 11

9. 9. 10 Розділ 1 Достатній рівень 16. Çíàéäіòü ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 4, 5, 8 і 9, à ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 65 ñì. 17. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 4, 5, 7 і 8. 18. Çíàéäіòü íåâіäîìі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 90, äðóãèé і òðåòіé âіäíîñÿòüñÿ ÿê 7 : 5, à ÷åò- âåðòèé äîðіâíþє ïіâñóìі äðóãîãî òà òðåòüîãî. 19. Çíàéäіòü íåâіäîìі ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ïåðèìåòð ÿêî- ãî äîðіâíþє 54 ñì, îäíà çі ñòîðіí 18 ñì, äðóãà òà òðåòÿ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 7 : 3, à ÷åòâåðòà äîðіâíþє ïіâðіçíèöі äðó- ãîї òà òðåòüîї. 20. Äîâåäіòü, ùî â êîæíîìó ÷îòèðèêóòíèêó є êóò, íå áіëüøèé çà 90. 21. Äîâåäіòü, ùî â êîæíîìó ÷îòèðèêóòíèêó є êóò, íå ìåíøèé âіä 90. 22. ×è ìîæå êóò ÷îòèðèêóòíèêà áóòè áіëüøèì çà ñóìó іíøèõ éîãî êóòіâ? Високий рівень 23. Ïîáóäóéòå ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 6 ñì, 6 ñì, 3 ñì, 4 ñì òà êóòîì 50 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíàìè. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿç- êіâ ìàє çàäà÷à? 24. Ïîáóäóéòå ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 5 ñì, 5 ñì, 4 ñì, 3 ñì òà êóòîì 70 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíàìè. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿçêіâ ìàє çàäà÷à? 25. Îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü äåëüòîїäîì, ÿêùî âіí ìàє äâі ïàðè ðіâ- íèõ ñóñіäíіõ ñòîðіí (ìàë. 12). Äîâåäіòü, ùî: 1) äіàãîíàëü BD äіëèòü íàâïіë ÿê êóò B, òàê і êóò D; 2) äіàãîíàëі äåëüòîїäà âçàєìíî ïåðïåí- äèêóëÿðíі. 26. Ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà ABCD äîðіâíþє 29 ñì, ïåðè- ìåòð òðèêóòíèêà ADB - 20 ñì, à òðèêóòíèêà CDB - 21 ñì. Çíàéäіòü äîâæèíó äіàãîíàëі BD. Ìàë. 12

10. 10. 11 ЧОТИРИКУТНИКИ Вправи для повторення 27. Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ, ùî óòâîðèëèñÿ ïðè ïåðåòèíі äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ñі÷íîþ, äîðіâíþє 70. Çíàéäіòü ãðàäóñíі ìіðè ðåøòè ñåìè êóòіâ. 28. Çíàéäіòü êóòè ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 70. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿçêіâ ìàє çàäà÷à? 29. Ó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 60, à ñóìà ìåíøîãî êàòåòà і ìåäіàíè, ïðîâåäåíîї äî ãіïîòåíó- çè, - 10 ñì. Çíàéäіòü ãіïîòåíóçó öüîãî òðèêóòíèêà. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 30. Ïðÿìà AB є ñі÷íîþ äëÿ ïðÿìèõ KL і MN (ìàë. 13). Çàïèøіòü óñі ïàðè âíóòðіøíіõ îäíîñòîðîííіõ êóòіâ, âíó- òðіøíіõ ðіçíîñòîðîííіõ êóòіâ òà âіäïîâіäíèõ êóòіâ. Ìàë. 13 Ìàë. 14 Ìàë. 15 31. ßêèì є âçàєìíå ðîçìіùåííÿ ïðÿìèõ a і b (ìàë. 14), ÿêùî: 1) 2 + 4  180; 2) 1 > 4; 3) 3  120; 4  121; 4) 2  60; 4  119; 5) 1  4  122; 6) 3  4? 32. 1) Äîâåäіòü, ùî {ABC  {CDA (ìàë. 15), ÿêùî AB  CD і BAC  ACD . 2) Äîâåäіòü, ùî BC  AD і BCA  CAD. 3) ×è ïàðàëåëüíі ïðÿìі BC і AD? Цікаві задачі для учнів неледачих 33. (Âñåóêðàїíñüêà îëіìïіàäà ç ìàòåìàòèêè, 1964 ð.) Çíàé- äіòü íàéáіëüøå çíà÷åííÿ n, ïðè ÿêîìó n òî÷îê ìîæíà ðîçìіñòèòè íà ïëîùèíі òàê, ùîá êîæíі òðè ç íèõ áóëè âåðøèíàìè ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà.

11. 11. 12 Розділ 1 2. Паралелограмом називають чотирикутник, у якого проти-м лежні сторони попарно паралельні. Íà ìàëþíêó 16 çîáðàæåíî ïàðàëåëîãðàì ABCD, äå AB || CD, AD || BC. Ðîçãëÿíåìî âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. Сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Ñïðàâäі, íàïðèêëàä êóòè A і B ïàðà- ëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 16) є âíóòðіøíіìè îäíîñòîðîííіìè êóòàìè äëÿ ïàðàëåëü- íèõ ïðÿìèõ AD і BC òà ñі÷íîї AB. Òîìó A + B  180. Àíàëîãі÷íî öþ âëàñòè- âіñòü ìîæíà äîâåñòè äëÿ áóäü-ÿêîї іíøîї ïàðè ñóñіäíіõ êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà. 2. Паралелограм є опуклим чотирикутником. Îñêіëüêè A + B  180, òî A < 180, B < 180. Àíà- ëîãі÷íî C < 180, D < 180. Òîìó ïàðàëåëîãðàì - îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê. 3. У паралелограмі протилежні сторони рівні й протилежні кути рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. Ðîçãëÿíåìî ïàðàëåëîãðàì ABCD (ìàë. 17). Äіàãîíàëü AC ðîçáèâàє éîãî íà äâà òðèêóòíèêè ABC і ADC. AC - ñïіëüíà ñòîðîíà öèõ òðèêóòíèêіâ é CAD  ACB, CAB  ACD (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ñі÷íîþ AC ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC, AB і CD âіäïîâіäíî). Òîäі {ABC  {CDA (çà ñòîðîíîþ і äâîìà ïðèëåãëèìè êóòà- ìè). Îòæå, AB  CD, BC  AD і B  D (ÿê âіäïîâіäíі åëåìåíòè ðіâíèõ òðè- êóòíèêіâ). Îñêіëüêè BAC + CAD   BCA + DCA, òî BAD  BCD.  4. Периметр паралелограма РАВСDР = 2(D АВ + ВС). 5. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. ПАРАЛЕЛОГРАМ, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ Й ОЗНАКИ Ìàë. 16 Ìàë. 17

12. 12. 13 ЧОТИРИКУТНИКИ Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé AC і BD ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 18). AD  BC (ÿê ïðîòè- ëåæíі ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà), CAD  ACB, BDA  DBC (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íèìè AC і BD âіäïîâіäíî). Îòæå, {AOD  {COB (çà ñòîðîíîþ і äâîìà ïðèëåãëèìè êóòàìè). Òîäі AO  OC, BO  OD (ÿê âіäïîâіäíі ñòîðîíè ðіâíèõ òðè- êóòíèêіâ).  Ìàë. 18 Ìàë. 19 Çàäà÷à 1. Ä à í î: ABCD ïàðàëåëîãðàì, ÀK - áіñåêòðèñà êóòà A, BK  5 ñì, KC  3 ñì (ìàë. 19). Ç í à é ä іòü: PABCDP . Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) BC  BK + KC  5 + 3  8 (cì); 2) KAD  BKA (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íîþ AK); 3) KAD  KAB (çà óìîâîþ), òîäі BKA  KAB. Îòæå, çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà: {ABK - ðіâíîáåäðå- íèé, AB  BK  5 (ñì); 4) PABCDP  2(AB(( + BC)  2(5 + 8)  26 (ñì). Â і ä ï î â і ä ü. 26 ñì. Висотою паралелограма називають перпендикуляр, про- ведений з будь-якої точки сторони паралелограма до пря- мої, що містить протилежну сторону. Íà ìàëþíêó 20 MN - âèñîòà ïàðàëåëîãðàìà; MN  AD, MN  BC. Ç êîæíîї âåðøèíè ïàðàëåëîãðàìà ìîæíà ïðîâåñòè äâі âè- ñîòè. Íàïðèêëàä, íà ìàëþíêó 21 BF і BT - âèñîòè ïàðàëåëî- ãðàìà, ïðîâåäåíі âіäïîâіäíî äî ñòîðіí AD і CD. Ìàë. 20 Ìàë. 21

13. 13. 14 Розділ 1 Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà). ßêùî â ÷îòèðèêóò- íèêó: 1) äâі ñòîðîíè ðіâíі і ïàðàëåëüíі, àáî 2) ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ðіâíі, àáî 3) äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ і òî÷êîþ ïåðåòèíó äіëÿòüñÿ íàâïіë, àáî 4) ïðîòèëåæíі êóòè ïîïàðíî ðіâíі, - òî ÷îòèðèêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD AD  BC і AD || BC (ìàë. 22). Ïðîâåäåìî äіàãîíàëü AC. Ðîçãëÿíåìî {CAD і {ACB. CAD  BCA (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íîþ AC). AC - ñïіëüíà ñòîðîíà, AD BC (çà óìîâîþ). Îòæå, {CAD  {ACB (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Òîäі ACD  CAB (ÿê âіäïîâіäíі). Àëå öå ðіçíîñòîðîííі êóòè, ùî óòâîðèëèñÿ ïðè ïåðåòèíі ïðÿìèõ AB і CD ñі÷íîþ AC. Òîìó AB || CD (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі ïðÿìèõ). Îòæå, ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ïàðàëåëüíі. Òîìó ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD: AD  BC і AB  CD (ìàë. 22). Ïðîâåäåìî äіàãîíàëü AC. Òîäі {CAD  {ACB (çà òðüîìà ñòîðîíàìè). Òîìó ACD  CAB, à îòæå, AB || CD (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі ïðÿìèõ). Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AD || BC. Îòæå, ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ìàë. 22 Ìàë. 23 3) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі AC і BD ïåðå- òèíàþòüñÿ â òî÷öі O і AO  OC, BO  OD (ìàë. 23). AOD  COB (ÿê âåðòèêàëüíі). Òîìó {AOD  {COB (çà äâî- ìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Çâіäñè AD  BC. Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AB  CD. Çâàæàþ÷è íà ï. 2) öієї òåîðåìè, ïðè- õîäèìî äî âèñíîâêó, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 4) Íåõàé ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD: A  C, B  D (ìàë. 16). Îñêіëüêè A + B + C + D  360, òî A + + B + A + B  360, 2(A + B)  360; A + B  180. Àëå A і B - âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè äëÿ ïðÿìèõ AD і BC òà ñі÷íîї AB. Òîìó AD || BC (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі

14. 14. 15 ЧОТИРИКУТНИКИ ïðÿìèõ). Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AB || CD. Îòæå, ABCD - ïàðàëåëîãðàì.  Çàäà÷à 2. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD, AD  BC, CAD  ACB. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ABCD - äàíèé ÷îòèðèêóòíèê (ìàë. 22). Ðîçãëÿíåìî {CAD і {ACB{{ . AC - їõ ñïіëüíà ñòîðîíà, AD  BC, CAD  ACB (çà óìîâîþ). Îòæå, {CAD  {ACB (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Òîìó AB  CD. Àëå òîäі ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ðіâíі, òîìó âіí є ïàðàëåëîãðàìîì.  Про деякі види чотирикутників (квадрати, прямокутники, рівнобічні та прямокутні трапеції) знали ще давньоєгипетські та вавилонські матема- тики. Термін "паралелограм" грецького походження, вважають, що його уведено Евклідом (близько 300 р. до н. е.). Також відомо, що про парале- лограм і деякі його властивості було відомо учням школи Піфагора ("піфагорійцям") ще раніше. В "Началах" Евкліда доведено наступну теорему: у паралелограмі протилежні сторони рівні і протилежні кути рівні, а діагональ поділяє його навпіл, але не згадується про те, що точка перетину діагоналей паралелограма ділить кожну з них навпіл. Евклід також не згадує ані про прямокутник, ані про ромб. Повну теорію паралелограмів було розроблено лише в кінці Середньовіччя, а в підручниках вона з'явилася в XVII ст. Усі теореми та властивості паралелограма в цих підручниках ґрунтувалися на аксіомі паралельності Евкліда. Термін "діагональ" - грецького походження; "діа" означає "через", а "гоніос" - "кут", що можна розуміти як відрізок, що сполучає вершини кутів. Слід зазначити, що Евклід, як і більшість математиків того часу, для назви відрізка, що сполучає протилежні вершини чотирикутника, зокре- ма прямокутника, використовував інший термін - "діаметр". Це можна пояснити тим, що перші геометри свої міркування ґрунтували на вписа- них у коло прямокутниках. У Середні віки для назви згаданого відрізка використовували обидва терміни. Лише у XVIII ст. термін "діагональ" став загальновживаним. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ïàðàëåëîãðàìîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 3. Ùî íàçèâàþòü âèñîòîþ ïàðàëåëîãðàìà? 4. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà.

15. 15. 16 Розділ 1 Початковий рівень 34. Ñåðåä ÷îòèðèêóòíèêіâ, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêàõ 24-29, óêàæіòü ïàðàëåëîãðàìè. Ìàë. 24 Ìàë. 25 Ìàë. 26 Ìàë. 27 Ìàë. 28 Ìàë. 29 35. Íàêðåñëіòü ïàðàëåëîãðàì ABCD, ó ÿêîãî êóò D òóïèé. 36. Íàêðåñëіòü ïàðàëåëîãðàì KLMN, ó ÿêîãî êóò K ãîñòðèé. 37. (Óñíî.) Îäíà çі ñòîðіí ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 5 ñì. ßêà äîâæèíà ñòîðîíè, ùî їé ïðîòèëåæíà? 38. Îäèí ç êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 70. Çíàéäіòü іíøі éîãî êóòè. 39. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâ- íþє 100. Середній рівень 40. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ó ÿêîãî îäíà ñòîðîíà äîðіâíþє 12 ñì, à äðóãà - íà 3 ñì áіëüøà çà íåї. 41. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ó ÿêîãî îäíà ñòîðîíà äîðіâíþє 18 ñì, à äðóãà - óäâі÷і âіä íåї ìåíøà. 42. Çíàéäіòü óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ ç íèõ äîðіâíþє 120; 2) îäèí ç íèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé; 3) îäèí ç íèõ óòðè÷і ìåíøèé âіä äðóãîãî; 4) äâà ç íèõ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 43. Çíàéäіòü óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ ç íèõ äîðіâíþє 200; 2) îäèí ç íèõ íà 40 ìåíøèé âіä äðóãîãî; 3) îäèí ç íèõ óäâі÷і áіëüøèé çà äðóãèé; 4) ãðàäóñíі ìіðè äâîõ ç íèõ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 4 : 5. 44. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD BAD  80, ACD  50. Çíàé- äіòü ACB і  ABC. 45. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD BAC  35, BCA  40. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà.

16. 16. 17 ЧОТИРИКУТНИКИ 46. (Óñíî.) ßêі ïîìèëêè äîïóùåíî â çîáðàæåííі ïàðàëåëî- ãðàìà íà ìàëþíêàõ 30-32? Ìàë. 30 Ìàë. 31 Ìàë. 32 47. Ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî: 1) îäíà ç íèõ íà 4 ñì áіëüøà çà äðóãó; 2) âîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 3 : 7. 48. Ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 36 äì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî: 1) îäíà ç íèõ íà 2 äì ìåíøà âіä äðóãîї; 2) îäíà ç íèõ ó 5 ðàçіâ áіëüøà çà äðóãó. 49. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïàðàëåëîãðàìà ABCD. Çíàéäіòü äіàãîíàëü AC, ÿêùî BD  20 ñì, AB  15 ñì, à ïåðèìåòð òðèêóòíèêà AOB äîðіâíþє 32 ñì. 50. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 33) 1  2, 3  4. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 51. {ABC  {CDA (ìàë. 33). Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 52. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè. 53. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà ñòîðîíàìè і äіàãîíàëëþ. Достатній рівень 54. Áіñåêòðèñà êóòà ïàðàëåëîãðàìà ïåðåòèíàє éîãî ñòîðîíó ïіä êóòîì 48. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà. 55. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD áіñåêòðèñà êóòà A äіëèòü ñòîðî- íó BC íà âіäðіçêè BM  5 ñì і MC  7 ñì. Çíàéäіòü ïåðè- ìåòð ïàðàëåëîãðàìà. 56. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD AB  4 ñì, BC  12 ñì. Áіñåêòðè- ñà êóòà A ïåðåòèíàє ñòîðîíóA BC ó òî÷öіC P. Çíàéäіòü BP і PC. 57. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà ñòîðîíîþ і äіàãîíàëÿìè. 58. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà äіàãîíàëÿìè і êóòîì ìіæ íèìè. Ìàë. 33

17. 17. 18 Розділ 1 59. Íà ñòîðîíàõ AD і BC ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 34) ïîçíà÷åíî òî÷êè M і K òàê, ùî ABM  CDK. Äîâåäіòü, ùî BMDK - ïàðàëåëîãðàì. 60. Íà ñòîðîíàõ AD і BC ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 34) ïîçíà÷åíî òî÷êè M і K òàê, ùî AM  KC. Äîâåäіòü, ùî BMDK - ïàðàëåëîãðàì. 61. Äîâåäіòü, ùî áіñåêòðèñè äâîõ ñóñіä- íіõ êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà âçàєìíî ïåð- ïåíäèêóëÿðíі. 62. Ó ïàðàëåëîãðàìі ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 60. Âèñîòà ïàðà- ëåëîãðàìà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, äіëèòü ïðîòèëåæíó ñòîðîíó íà âіäðіçêè 3 ñì і 5 ñì, ïî÷èíàþ÷è âіä âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëî- ãðàìà. 63. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD AB  6 ñì, B  120. Âèñîòà BK äіëèòü ñòîðîíó AD íà äâà ðіâíèõ âіäðіçêè. Çíàéäіòü ïåðè- ìåòð ïàðàëåëîãðàìà. 64. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà A ïðîâå- äåíî âèñîòè AL і AK. LAK  140. Çíàéäіòü êóò C ïàðà- ëåëîãðàìà. 65. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïðîâåäå- íî âèñîòè BM і BN. MBN  70. Çíàéäіòü êóò D ïàðàëå- ëîãðàìà. Високий рівень 66. Áіñåêòðèñà êóòà B ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіëèòü ñòîðîíó AD íà äâà âіäðіçêè AK і KD òàê, ùî AK - KD  1 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 40 ñì. 67. Áіñåêòðèñà êóòà A ïàðàëåëîãðàìàA ABCD äіëèòü ñòîðîíó BC íà äâà âіäðіçêè BK і KC òàê, ùî BK : KC  3 : 7. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 78 ñì. 68. Äâà êóòè ïàðàëåëîãðàìà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 5 : 7. Çíàéäіòü êóò ìіæ âèñîòàìè ïàðàëåëîãðàìà, ïðîâåäåíèìè ç âåðøèíè: 1) òóïîãî êóòà; 2) ãîñòðîãî êóòà. 69. Îäèí ç êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà íà 12 áіëüøèé çà äðóãèé. Çíàéäіòü êóò ìіæ âèñîòàìè ïàðàëåëîãðàìà, ïðîâåäåíèìè ç âåðøèíè: 1) ãîñòðîãî êóòà; 2) òóïîãî êóòà. Ìàë. 34

18. 18. 19 ЧОТИРИКУТНИКИ 70. Äîâåäіòü, ùî òðè âèñîòè òðèêóòíèêà àáî їõ ïðîäîâ- æåííÿ ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі (îðòîöåíòðі òðè- êóòíèêà). Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé AH1, BH2, CH3 - âèñîòè ãîñ- òðîêóòíîãî òðèêóòíèêà ABC (ìàë. 35). Ïðîâåäåìî ÷åðåç âåðøèíè òðèêóòíèêà ïðÿìі, ïàðàëåëüíі ïðîòèëåæíèì ñòîðîíàì. Îäåðæèìî òðèêóòíèê A1B1C1. ×îòèðèêóòíèê ABA1C - ïàðàëåëîãðàì (çà ïîáóäîâîþ). Òîìó BA1  AC. Àíàëîãі÷íî ACBC1 - ïàðàëåëîãðàì і C1B  AC. Îòæå, C1B  BA1, òî÷êà B - ñåðåäèíà A1C1. Îñêіëüêè BH2  AC і AC || A1C1, òî BH2  A1C1. Òîìó BH2 íàëåæèòü ñåðåäèííîìó ïåðïåíäèêóëÿðó äî ñòîðîíè A1C1 òðèêóòíèêà A1B1C1. Àíàëîãі÷íî AH1 і CH3 íàëåæàòü ñåðåäèííèì ïåðïåí- äèêóëÿðàì äî äâîõ іíøèõ ñòîðіí öüîãî òðèêóòíèêà. ßê âіäîìî, ñåðå- äèííі ïåðïåíäèêóëÿðè äî ñòîðіí òðèêóòíèêà ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. Îòæå, AH1, BH2 і CH3 ïåðåòè- íàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. 2) ßêùî {ABC - ïðÿìîêóòíèé, íàïðèêëàä C  90, òî î÷åâèäíî, ùî òðè âèñîòè ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі C. 3) ßêùî {ABC - òóïîêóòíèé, òî ïðîäîâæåííÿ òðüîõ âèñîò òðèêóòíèêà ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. Äîâåäåí- íÿ àíàëîãі÷íå äî äîâåäåííÿ ó ï. 1.  Вправи для повторення 71. Çíàéäіòü äðóãèé ãîñòðèé êóò ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíè- êà, ÿêùî ïåðøèé äîðіâíþє: 1) 20; 2) 65. 72. Äâі ñòîðîíè òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 7,2 ñì і 2,5 ñì. ßêîìó íàéáіëüøîìó öіëîìó ÷èñëó ñàíòèìåòðіâ ìîæå äîðіâíþâàòè òðåòÿ ñòîðîíà? 73. Çîâíіøíіé êóò òðèêóòíèêà ó 2 ðàçè áіëüøèé çà îäèí ç âíóòðіøíіõ êóòіâ, íå ñóìіæíèé ç íèì. Äîâåäіòü, ùî òðè- êóòíèê є ðіâíîáåäðåíèì. 74. ×è ìîæíà ïîáóäóâàòè ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 6 ñì, 6 ñì, 4 ñì і 2 ñì òà êóòîì 60 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíà- ìè? Ìàë. 35

19. 19. 20 Розділ 1 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 75. Çíàéäіòü ïåðèìåòð і ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþþòü: 1) 5 ñì і 7 ñì; 2) 2 äì і 14 ñì. Цікаві задачі для учнів неледачих 76. Âèäàòíі óêðàїíöі. Çàïèøіòü ïî ãîðèçîíòàëÿõ ïðіçâèùà âèäàòíèõ óêðàїíöіâ (çà ïîòðåáè âèêîðèñòàéòå äîäàòêîâó ëіòåðàòóðó òà Іíòåðíåò) і îòðèìàєòå ó âèäіëåíîìó ñòîâï÷è- êó іì'ÿ äàâíüîãðåöüêîãî ôіëîñîôà, ìàòåìàòèêà, ðåëіãіéíî- ãî òà ïîëіòè÷íîãî äіÿ÷à. 1 2 3 4 5 6 7 1. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé íàóêîçíàâåöü ó ãàëóçі çâàðþ- âàëüíèõ ïðîöåñіâ, äîêòîð òåõíі÷íèõ íàóê, Ãåðîé Óêðàїíè. 2. Óêðàїíñüêèé ïîëіòèê, ïóáëіöèñò, ëіòåðàòóðíèé êðèòèê, ïðîâіäíèê íàöіîíàëüíî-äåìîêðàòè÷íîãî âèçâîëüíîãî ðóõó êіíöÿ 1980-1990-õ ðîêіâ, Ãåðîé Óêðàїíè. 3. Óêðàїíñüêèé ïèñüìåííèê, ïîåò, ïóáëіöèñò, ïåðåêëàäà÷, ó÷åíèé, ãðîìàäñüêèé і ïîëіòè÷íèé äіÿ÷ (1856-1916). 4. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé ëіêàð ñâіòîâîãî ðіâíÿ, ó÷åíèé ó ãàëóçÿõ ìåäèöèíè, áіîêіáåðíåòèêè; éîãî іì'ÿì íàçâàíî Іíñòèòóò ñåðöåâî-ñóäèííîї õіðóðãії, ÿêèé âіí î÷îëþâàâ ïðîòÿãîì äâàäöÿòè ðîêіâ. 5. Ïîëіòè÷íèé äіÿ÷ і ïóáëіöèñò, îðãàíіçàòîð óêðàїíñüêîї íàóêè; Ãîëîâà Öåíòðàëüíîї Ðàäè Óêðàїíñüêîї Íàðîäíîї Ðåñïóáëіêè. 6. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé ïîåò, ïèñüìåííèê, õóäîæíèê, ãðîìàäñüêèé і ïîëіòè÷íèé äіÿ÷, ôîëüêëîðèñò, åòíîãðàô. 7. Óêðàїíñüêèé ïðîñâіòèòåëü-ãóìàíіñò, ôіëîñîô, ïîåò, ïåäàãîã.

20. 20. 21 ЧОТИРИКУТНИКИ 3. Прямокутником називають паралелограм, у якого всім кути прямі (мал. 36). Îñêіëüêè ïðÿìîêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì, òî âіí ìàє âñі âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. У прямокутнику протилежні сторони рівні. 2. Периметр прямокутника PABCDP = 2(D AB + BC). 3. Діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл. Êðіì öüîãî, ïðÿìîêóòíèê ìàє ùå âëàñòèâîñòі. 4. Діагоналі прямокутника рівні. Ìàë. 36 Ìàë. 37 Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé äàíî ïðÿìîêóòíèê ABCD (ìàë. 37). {ACD  {DBA (çà äâîìà êàòåòàìè). Òîìó AC  BD.  5. Точка перетину діагоналей прямокутника рівновіддале- на від усіх його вершин. Îñêіëüêè AC  BD, à AO  OC, BO  OD (ìàë. 37), òî, î÷å- âèäíî, ùî AO  BO  OC  OD. Çàäà÷à 1. Äіàãîíàëü äіëèòü êóò ïðÿìîêóòíèêà ó âіäíî- øåííі 2 : 3. Çíàéäіòü êóò ìіæ äіàãîíàëÿìè äàíîãî ïðÿìîêóò- íèêà. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) Íåõàé ADO : ODC  2 : 3 (ìàë. 37). Ïîçíà÷èìî ADO  2x, ODC  3x. Òîäі 2x + 3x  90, x  18. Òîìó ADO  2  18  36; ODC  3  18  54. 2) {OCD - ðіâíîáåäðåíèé (áî DO  OC). Òîìó OCD   ODC  54. Ó {OCD: COD  180 - 2  54  72. Îòæå, êóò ìіæ äіàãîíàëÿìè äàíîãî ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 72. Â і ä ï î â і ä ü. 72. ПРЯМОКУТНИК І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

21. 21. 22 Розділ 1 Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà). ßêùî ó ïàðàëåëî- ãðàìà: 1) óñі êóòè ðіâíі, àáî 2) îäèí êóò ïðÿìèé, àáî 3) äіàãî- íàëі ðіâíі, - òî ïàðàëåëîãðàì є ïðÿìîêóòíèêîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Îñêіëüêè âñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà ðіâ- íі, à їõ ñóìà äîðіâíþє 360, òî êîæíèé ç íèõ äîðіâíþє 360 : 4  90. À òîìó ïàðàëåëîãðàì є ïðÿìîêóòíèêîì. 2) Íåõàé êóò A ïàðàëåëîãðàìà ABCD ïðÿìèé (ìàë. 36). Òîäі C  A  90; B  D  180 - A  180 - 90   90. Îòæå, óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà ïðÿìі, à òîìó âіí є ïðÿ- ìîêóòíèêîì. 3) Íåõàé ó ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіàãîíàëі AC і BD ðіâíі (ìàë. 37). AD - ñïіëüíà ñòîðîíà òðèêóòíèêіâ ABD і DCA. Îòæå, {ABD  {DCA (çà òðüîìà ñòîðîíàìè). ÒîìóA BAD  CDA. Àëå æ ABC  ADC, BCD  BAD. Ó ïàðàëåëîãðàìà âñі êóòè ðіâíі ìіæ ñîáîþ. Òîìó âіí є ïðÿìîêóòíèêîì (çà ï. 1 öієї òåîðåìè).  Çàäà÷à 2. Ó êîëі іç öåíòðîì O ïðîâå- äåíî äіàìåòðè AC і BD (ìàë. 38). Âèçíà÷- òå âèä ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) Îñêіëüêè AO  OC, BO  OD (ÿê ðàäіóñè), òî, çà îçíàêîþ ïàðàëåëîãðàìà, ìàєìî, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Îñêіëüêè AC  BD (ÿê äіàìåòðè), òî, âèêîðèñòîâóþ÷è îçíàêó ïðÿìîêóò- íèêà, ìàєìî, ùî ïàðàëåëîãðàì ABCD є ïðÿìîêóòíèêîì. Â і ä ï î â і ä ü. Ïðÿìîêóòíèê. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíèêîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ïðÿìîêóòíèêà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà. Початковий рівень 77. ßêі іç ÷îòèðèêóòíèêіâ, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêàõ 39-43, є ïðÿìîêóòíèêàìè? 78. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëü AC äîðіâíþє 5 ñì. ßêà äîâæèíà äіàãîíàëі BD? Ìàë. 38

22. 22. 23 ЧОТИРИКУТНИКИ Ìàë. 39 Ìàë. 40 Ìàë. 41 Ìàë. 42 Ìàë. 43 79. Ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü 4 ñì і 7 ñì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 80. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþ- þòü 2 ñì і 5 ñì. 81. ßêùî ÷îòèðèêóòíèê є ïðÿìîêóòíèêîì, òî éîãî äіàãîíàëі ìіæ ñîáîþ ðіâíі. ×è ïðàâèëüíå îáåðíåíå òâåðäæåííÿ? Íà- âåäіòü ïðèêëàä. Середній рівень 82. Ñòîðîíà BC ïðÿìîêóòíèêà ABCD äîðіâíþє 8 ñì, à äіàãî- íàëü BD - 12 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðèêóòíèêà BOC, äå O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà. 83. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà ABCD. AC  12 ñì, ïåðèìåòð òðèêóòíèêà AOB äîðіâíþє 16 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíó AB. 84. (Óñíî.) Ùî ìîæíà ñêàçàòè ïðî âèä ïàðàëåëîãðàìà, êîëè âіäîìî, ùî: 1) æîäåí ç éîãî êóòіâ íå є ãîñòðèì; 2) æîäåí ç éîãî êóòіâ íå є òóïèì; 3) âіí ìàє òðè ðіâíèõ ìіæ ñîáîþ êóòè? 85. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó òðè êóòè ïðÿìі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ïðÿìîêóòíèê. 86. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі êóòè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ïðÿìîêóòíèê. 87. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, êîëè âіäîìî, ùî: 1) îäíà ç íèõ íà 2 ñì áіëüøà çà äðóãó; 2) ñòîðîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 88. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 50 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, êîëè âіäîìî, ùî: 1) îäíà ç íèõ íà 5 ñì ìåíøà âіä äðóãîї; 2) ñòîðîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 4 : 1.

23. 23. 24 Розділ 1 89. (Óñíî.) Íà ìàëþíêó 44 çîáðàæåíî ïðÿìîêóòíèê ABCD. Çíàéäіòü óñі ðіâíі ìіæ ñîáîþ êóòè. 90. Çíàéäіòü çà ìàëþíêîì 44: 1) 3, ÿêùî 8  52; 2) 2, ÿêùî 10  40. 91. Çíàéäіòü çà ìàëþíêîì 44: 1) 5, ÿêùî 2  37; 2) 12, ÿêùî 3  30. 92. Äіàãîíàëü ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü êóò ïðÿìîêóòíèêà íà äâà êóòè, îäèí ç ÿêèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé. Çíàéäіòü öі êóòè. Достатній рівень 93. Äîâåäіòü, ùî íàâêîëî ïðÿìîêóòíèêà ìîæíà îïèñàòè êîëî. 94. Çíàéäіòü êóò ìіæ ìåíøîþ ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ ïðÿìî- êóòíèêà, ÿêùî âіí: 1) íà 15 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè ìåíøîї ñòîðîíè; 2) íà 50 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè áіëüøîї ñòîðîíè. 95. Çíàéäіòü êóò ìіæ áіëüøîþ ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ ïðÿìî- êóòíèêà, ÿêùî âіí: 1) íà 90 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè áіëüøîї ñòîðîíè; 2) íà 40 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè ìåíøîї ñòîðîíè. 96. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі O, E - ñåðåäèíà AB, CAB  70. Çíàéäіòü DOE. 97. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі O. OP - áіñåêòðèñà òðèêóòíèêà AOB, DOP  130. Çíàéäіòü CAB. 98. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç ãîñòðèì êóòîì A äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ âA òî÷öі O. Íà âіäðіçêàõ AO і OC ïîçíà- ÷åíî òî÷êè M і N òàê, ùî OM  OB, ON  OD. Äîâåäіòü, ùî BMDN - ïðÿ- ìîêóòíèê. 99. Òî÷êè Â і D íàëåæàòü êîëó іç öåíò- ðîì Î, AC - äіàìåòð êîëà, AD  BC (ìàë. 45). Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïðÿ- ìîêóòíèê. Ìàë. 44 Ìàë. 45

24. 24. 25 ЧОТИРИКУТНИКИ 100. Ïåðïåíäèêóëÿðè, ïðîâåäåíі ç òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà äî äâîõ éîãî ñóñіäíіõ ñòîðіí, äîðіâíþþòü 4 ñì і 9 ñì. Âèçíà÷òå ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. 101. Áіñåêòðèñà îäíîãî ç êóòіâ ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü éîãî ñòîðîíó íàâïіë. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî áіëüøà ñòîðîíà äîðіâíþє 20 ñì. 102. Áіñåêòðèñà îäíîãî ç êóòіâ ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü éîãî ñòîðîíó íàâïіë. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ìåíøà ñòîðîíà äîðіâíþє 8 äì. Високий рівень 103. Íà ìàëþíêó 46 ABCD - ïðÿìîêóò- íèê, BK  AC, ACD  60. 1) OK  a. Çíàéäіòü: DB і AB; 2) AC  m. Çíàéäіòü: AK і CD. 104. Íà ìàëþíêó 46 ABCD - ïðÿìîêóò- íèê, BK  AC, ACD  60, AB  b. Çíàéäіòü BD і OK. 105. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC ç ãіïîòå- íóçîþ BC  35 ñì âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê KLMN òàê, ùî òî÷êè K і L ëåæàòü íà ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè M і N - íà êàòåòàõ. KL : KN  3 : 2. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿ- ìîêóòíèêà. 106. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê, êàòåò ÿêîãî äîðіâíþє 20 ñì, âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê, ÿêèé ìàє ç òðè- êóòíèêîì ñïіëüíèé ïðÿìèé êóò, à âåðøèíà ïðîòèëåæíîãî êóòà íàëåæèòü ãіïîòåíóçі. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. Вправи для повторення 107. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïàðàëåëîãðàìà ABCD ïðî- âåäåíî âèñîòó BK. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî . 108. 1) Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ òðèêóòíèêà є ñåðåä- íіì àðèôìåòè÷íèì äâîõ іíøèõ êóòіâ. Çíàéäіòü öåé êóò. 2) Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà є ñåðåäíіì àðèôìåòè÷íèì òðüîõ іíøèõ êóòіâ. Çíàéäіòü öåé êóò. 109. ×åðåç òî÷êó P, ùî íàëåæèòü âíóòðіøíіé îáëàñòі êóòà ABC, ïðîâåäіòü ïðÿìó òàê, ùîá її âіäðіçîê, ÿêèé ëåæèòü ìіæ ñòîðîíàìè êóòà, äіëèâñÿ òî÷êîþ Ð íàâïіë. Ìàë. 46

25. 25. 26 Розділ 1 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 110. Äàíî: AB  BC  CD  DA (ìàë. 47). Äîâåñòè: A  C, B  D. Цікаві задачі для учнів неледачих 111. ×è ìîæíà ðîçðіçàòè êâàäðàò ðîçìі- ðîì 6 6 íà ïðÿìîêóòíèêè ðîçìіðîì 1  4? 4. Ромбом називають паралелограм, у якого всі стороним рівні (мал. 48). Îñêіëüêè ðîìá є ïàðàëåëîãðàìîì, òî âіí ìàє âñі âëàñòè- âîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. Сума будь-яких двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. 2. У ромба протилежні кути рівні. 3. Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл. 4. Периметр ромба PABCDP = 4D AB. Êðіì òîãî, ðîìá ìàє ùå òàêó âëàñòèâіñòü. 5. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і ділять його кути навпіл. Ìàë. 48 Ìàë. 49 Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé AC і BD - äіàãîíàëі ðîìáà ABCD (ìàë. 49), O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé. Îñêіëüêè AB  AD і DO  OB, òî AO - ìåäіàíà ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà ABD, ïðîâåäåíà äî îñíîâè BD. Òîìó AO є òàêîæ âèñîòîþ і áіñåêòðè- ñîþ òðèêóòíèêà ABD. Ìàë. 47 РОМБ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

26. 26. 27 ЧОТИРИКУТНИКИ Îòæå, AC  BD і DAO  BAO.  Àíàëîãі÷íî ìîæíà äîâåñòè, ùî äіàãîíàëü AC äіëèòü íàâïіë êóò DCB, à äіàãîíàëü BD äіëèòü íàâïіë êóòè ABC і ADC. Çàäà÷à 1. Êóò ìіæ âèñîòîþ і äіàãîíàëëþ ðîìáà, ïðîâåäåíèìè ç îäíієї âåðøèíè, äîðіâíþє 28. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. BD - äіàãîíàëü ðîìáà ABCD, à BK - éîãî âèñîòà (ìàë. 50), KBD  28 (çà óìîâîþ). Ìàë. 50 1) Ó {BKD BDK  90 - 28  62. 2) Îñêіëüêè DB äіëèòü êóò ADC íàâïіë, òî ADC   2  62  124. 3) Òîäі ABC  ADC  124; A  C  180 - 124  56. Â і ä ï î â і ä ü. 124, 56, 124, 56. Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ðîìáà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ðîìáà). ßêùî â ïàðàëåëîãðàìі: 1) äâі ñóñіäíі ñòîðîíè ðіâíі, àáî 2) äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ ïіä ïðÿìèì êóòîì, àáî 3) äіàãîíàëü äіëèòü íàâïіë êóòè ïàðàëå- ëîãðàìà, - òî ïàðàëåëîãðàì є ðîìáîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ABCD - ïàðàëåëîãðàì (äèâ. ìàë. 49). Îñêіëüêè AB  AD (çà óìîâîþ) і AB  CD, AD  BC (çà âëàñòèâіñòþ ïàðàëåëîãðàìà), òî AB  AD  BC  ÑD. Îòæå, ABCD - ðîìá. 2) Íåõàé AC  BD (ìàë. 49). Îñêіëüêè OB  OD (çà âëàñ- òèâіñòþ ïàðàëåëîãðàìà), òî {AOB  {AOD (çà äâîìà êàòåòà- ìè). Òîìó AB  AD. Çà ï. 1 öієї òåîðåìè ABCD - ðîìá. 3) Äіàãîíàëü DB äіëèòü íàâïіë êóò D ïàðàëåëîãðàìà ABCD, òîáòî ADB  BDC (çà óìîâîþ). Îñêіëüêè ïàðàëåëüíі ïðÿìі AB і DC ïåðåòíóëè ñі÷íîþ DB, òî ABD  BDC (ÿê âíóò- ðіøíі ðіçíîñòîðîííі). Îòæå, ADB  ABD. Òîìó çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà {ABD - ðіâíîáåäðåíèé і AD  AB. Çà ï. 1 öієї òåîðåìè ABCD - ðîìá. 

27. 27. 28 Розділ 1 Çàäà÷à 2. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі ñòîðîíè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ðîìá. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé AB  BC  CD  DA (äèâ. ìàë. 48). 1) Îñêіëüêè â ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðî- íè ïîïàðíî ðіâíі, òî çà îçíàêîþ ïàðàëåëîãðàìà ìàєìî, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Ó ïàðàëåëîãðàìà ABCD ñóñіäíі ñòîðîíè ðіâíі. Òîìó ABCD - ðîìá (çà îçíàêîþ ðîìáà).  Слово "ромб" грецького походження, у давнину воно означало тіло, що обертається, - веретено, дзиґу. Ромб тоді пов'язували з перерізом веретена, на яке намотано нитки. У "Началах" Евкліда термін "ромб" зустрічається лише один раз, а властивості ромба Евклід взагалі не розглянув. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ðîìáîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ðîìáà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ðîìáà. Початковий рівень 112. (Óñíî.) ßêі іç ÷îòèðèêóòíèêіâ íà ìàëþíêàõ 51-55 є ðîì- áàìè? Ìàë. 51 Ìàë. 52 Ìàë. 53 Ìàë. 54 Ìàë. 55 113. Íàêðåñëіòü ðîìá ABCD, ó ÿêîãî êóò B òóïèé. 114. Íàêðåñëіòü ðîìá ABCD, ó ÿêîãî êóò A ãîñòðèé. 115. Ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 28 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíó. 116. Ñòîðîíà ðîìáà äîðіâíþє 5 äì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 117. Ãîñòðèé êóò ðîìáà äîðіâíþє 50. ßêèé êóò óòâîðþє äіàãîíàëü, ïðîâåäåíà іç öüîãî êóòà, çі ñòîðîíîþ ðîìáà? 118. Òóïèé êóò ðîìáà äîðіâíþє 110. ßêèé êóò óòâîðþє äіàãî- íàëü, ïðîâåäåíà іç öüîãî êóòà, çі ñòîðîíîþ ðîìáà?

28. 28. 29 ЧОТИРИКУТНИКИ 119. Äіàãîíàëü ðîìáà óòâîðþє çі ñòîðîíîþ êóò 60. Çíàéäіòü òóïèé êóò ðîìáà. 120. Äіàãîíàëü ðîìáà óòâîðþє çі ñòîðîíîþ êóò 20. Çíàéäіòü ãîñòðèé êóò ðîìáà. Середній рівень 121. Ó ðîìáі ABCD êóò A äîðіâíþє 36. Çíàéäіòü êóòè òðèêóò- íèêà AOB, äå O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé. 122. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ðîìáà ABCD, B  118. Çíàéäіòü êóòè òðèêóòíèêà BOC. 123. Ñóìà äîâæèí òðüîõ ñòîðіí ðîìáà äîðіâíþє 15 ñì. Çíàé- äіòü éîãî ïåðèìåòð. 124. Ñóìà äîâæèí äâîõ ñòîðіí ðîìáà äîðіâíþє 18 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ðîìáà. 125. ABCD - ðîìá, 2  66 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 1. 126. ABCD - ðîìá, 1  58 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 2. 127. ABCD - ðîìá, 1  55 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 3. 128. ABCD - ðîìá, 3  50 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 1. 129. Ó ðîìáі ABCD AB  BD. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 130. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü ðîìá і ïàðàëåëî- ãðàì? 131. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ éîãî êóòіâ äîðіâíþє 80; 2) îäèí ç íèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé. 132. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ éîãî êóòіâ äîðіâíþє 210; 2) îäèí ç íèõ íà 50 ìåíøèé âіä äðóãîãî. 133. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: 1) ÿêùî â ÷îòèðèêóòíèêó äіàãîíàëі ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є ðîìáîì; 2) ÿêùî â ÷îòèðèêóòíèêó äіàãîíàëі íå ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí íå ìîæå áóòè ðîìáîì; 3) іñíóє ðîìá, ÿêèé є ïðÿìîêóòíèêîì; 4) æîäåí ïðÿìîêóòíèê íå є ðîìáîì? Ìàë. 56

29. 29. 30 Розділ 1 Достатній рівень 134. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãî- íàëÿìè êóòè, ðіçíèöÿ ÿêèõ äîðіâíþє 10. 135. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãî- íàëÿìè êóòè, ÿêі âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 136. Ïîáóäóéòå ðîìá: 1) çà ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ; 2) çà äіàãîíàëÿìè. 137. Ïîáóäóéòå ðîìá çà ñòîðîíîþ і êóòîì. 138. Ó ðîìáі ABCD ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïðîâåäåíî âèñî- òè BM і BN. Äîâåäіòü, ùî BM  BN. 139. Ó ðîìáі ABCD ç âåðøèí òóïèõ êóòіâ ïðîâåäåíî âèñîòè BK і DL. Äîâåäіòü, ùî BK  DL. 140. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà ðîìáà, óòâî- ðþþòü ìіæ ñîáîþ êóò 110. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 141. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè òóïîãî êóòà ðîìáà, óòâîðþ- þòü ìіæ ñîáîþ êóò 50. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. Високий рівень 142. Äіàãîíàëü ðîìáà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, óòâî- ðþє ç âèñîòîþ, ïðîâåäåíîþ іç öієї ñàìîї âåðøèíè, êóò 30. Ìåíøà äіàãîíàëü ðîìáà äîðіâíþє a ñì. Çíàéäіòü: 1) êóòè ðîìáà; 2) ïåðèìåòð ðîìáà. 143. Ó ðîìáі âèñîòà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, äіëèòü ñòîðîíó ðîìáà íàâïіë. Çíàéäіòü: 1) êóòè ðîìáà; 2) ïåðèìåòð ðîìáà, ÿêùî éîãî ìåíøà äіàãîíàëü äîðіâíþє b ñì. 144. Íà äіàãîíàëі AC ðîìáà ABCD ïîçíà÷åíî òî÷êè M іM N òàêі,N ùî AM  CN. Äîâåäіòü, ùî ÷îòèðèêóòíèê DMBN є ðîìáîìN (ðîçãëÿíüòå äâà âèïàäêè ðîçìіùåííÿ òî÷îê M іM N). 145. Äîâåäіòü, ùî ñåðåäèíè ñòîðіí ïðÿìîêóòíèêà є âåðøèíà- ìè ðîìáà. 146. Ó ðіâíîñòîðîííіé òðèêóòíèê ABC âïèñàíî ðîìá AMNK òàê, ùî òðèêóòíèê і ðîìá ìàþòü ñïіëüíèé êóò A, à òî÷êà N ëåæèòü íà ñòîðîíі BC. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðèêóòíèêà, ÿêùî ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 40 ñì.

30. 30. 31 ЧОТИРИКУТНИКИ Вправи для повторення 147. Ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 5 : 2. Çíàé- äіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî ðіçíèöÿ öèõ ñòîðіí äîðіâíþє 15 ñì. 148. Îäèí ç êóòіâ òðèêóòíèêà äîðіâíþє ñóìі äâîõ іíøèõ. Çíàéäіòü íàéáіëüøó ñòîðîíó öüîãî òðèêóòíèêà, ÿêùî ìåäіàíà, ïðîâåäåíà äî íåї, äîðіâíþє 5 ñì. 149. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє 2p2 ñì. ×è ìîæå îäíà ç éîãî ñòîðіí äîðіâíþâàòè: 1) (p(( - 1) ñì; 2) p ñì; 3) (p(( + 1) ñì? 150. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD áіñåêòðèñà êóòà A ïåðåòèíàє áіñåêòðèñè êóòіâ B і D ïіä ïðÿìèì êóòîì. Âèçíà÷òå âèä ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 151. Çíàéäіòü ïåðèìåòð і ïëîùó êâàäðàòà, ñòîðîíà ÿêîãî äî- ðіâíþє: 1) 5 ñì; 2) 2,1 äì; 3) ì; 4) äì. Цікаві задачі для учнів неледачих 152. (Êèїâñüêà ìіñüêà îëіìïіàäà, 1987 ð.) Âïèñàíå ó òðèêóò- íèê ABC êîëî äîòèêàєòüñÿ äî ñòîðîíè BC ó òî÷öі K. Äîâåäіòü, ùî âіäðіçîê AK äîâøèé çà äіàìåòð êîëà. 5. Квадратом називають прямокутник, у якого всі стороним рівні. Íà ìàë. 57 çîáðàæåíî êâàäðàò ABCD. Ïðÿìîêóòíèê є ïàðà- ëåëîãðàìîì, òîìó і êâàäðàò - ïàðàëåëîãðàì, ó ÿêîãî âñі ñòî- ðîíè ðіâíі, òîáòî âіí є і ðîìáîì. Îòæå, êâàäðàò ìàє âëàñòè- âîñòі ïðÿìîêóòíèêà і ðîìáà. Ñôîðìóëþєìî âëàñòèâîñòі êâàäðàòà. 1. Усі кути квадрата прямі. 2. Периметр квадрата PABCDP = 4D AB. 3. Діагоналі квадрата між собою рівні (мал. 58). КВАДРАТ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

31. 31. 32 Розділ 1 4. Діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл (мал. 58). 5. Діагоналі квадрата ділять його кути навпіл, тобто утво- рюють кути 45° зі сторонами квадрата (мал. 58). 6. Точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від усіх його вершин: AO =O BO =O CO =O DO. Ìàë. 57 Ìàë. 58 Ìàë. 59 Çàäà÷à 1. Òî÷êè K і M íàëåæàòü âіäïîâіäíî äіàãîíàëÿì BD і AC êâàäðàòà ABCD, ïðè÷îìó , . Äîâå- äіòü, ùî {ADM  {BAK (ìàë. 59). Ä î â å ä å í í ÿ. 1) MAD  ABK  45, AD  AB (ÿê ñòîðîíè êâàäðàòà). 2) Îñêіëüêè AC  BD (ÿê äіàãîíàëі êâàäðàòà) і , , òî AM  BK. 3) Òîìó {ADM  {BAK (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè).  Ðîçãëÿíåìî îçíàêè êâàäðàòà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè êâàäðàòà). 1) ßêùî äіàãîíàëі ïðÿ- ìîêóòíèêà âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є êâàäðàòîì. 2) ßêùî äіàãîíàëі ðîìáà ìіæ ñîáîþ ðіâíі, òî âіí є êâàäðàòîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Ïðÿìîêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì, à ïàðàëåëîãðàì іç âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíèìè äіàãîíàëÿìè є ðîìáîì. Îòæå, ó çàäàíîãî ïðÿìîêóòíèêà âñі ñòîðîíè ðіâíі, à òîìó âіí є êâàäðàòîì. 2) Ðîìá є ïàðàëåëîãðàìîì, à ïàðàëåëîãðàì ç ðіâíèìè äіàãî- íàëÿìè є ïðÿìîêóòíèêîì. Îòæå, ó ðîçãëÿäóâàíîãî ðîìáà âñі êóòè ïðÿìі, à òîìó âіí є êâàäðàòîì.  Çàäà÷à 2. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі ñòîðîíè ðіâíі і âñі êóòè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - êâàäðàò.

32. 32. 33 ЧОТИРИКУТНИКИ Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Îñêіëüêè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі êóòè ðіâíі, òî, çà îçíàêîþ ïðÿìîêóòíèêà, âіí є ïðÿìîêóòíèêîì. 2) Îñêіëüêè ó ïðÿìîêóòíèêà âñі ñòîðîíè ðіâíі, òî âіí є êâàäðàòîì.  Термін "квадрат" походить від латинського quadratum (quadrate - зробити чотирикутним). Відомий історик математики Д. Д. Мордухай-Болтовський (1876-1952) писав: "Першим чотирикутником, з яким познайомилася геометрія, був квадрат". 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü êâàäðàòîì? 2. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі êâàäðàòà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè êâàäðàòà. Початковий рівень 153. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 20 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíó. 154. Ñòîðîíà êâàäðàòà äîðіâíþє 7 äì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 155. (Óñíî.) Íà ìàë. 58 çîáðàæåíî êâàäðàò ABCD. Íàçâіòü ðіâíі ìіæ ñîáîþ âіäðіçêè íà öüîìó ìàëþíêó. 156. ßêùî ÷îòèðèêóòíèê є êâàäðàòîì, òî éîãî äіàãîíàëі ðіâíі і âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі. ×è ïðàâèëüíå îáåðíåíå òâåð- äæåííÿ? Íàâåäіòü ïðèêëàä. Середній рівень 157. Òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà çíàõîäèòüñÿ íà âіä- ñòàíі 2 ñì âіä îäíієї ç éîãî âåðøèí. Çíàéäіòü ñóìó äîâæèí äіàãîíàëåé öüîãî êâàäðàòà. 158. Ñóìà äîâæèí äіàãîíàëåé êâàäðàòà äîðіâíþє 32 ñì. Çíàé- äіòü âіäñòàíü âіä òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà äî îäíієї ç éîãî âåðøèí. 159. Ñóìà äîâæèí äâîõ ñòîðіí êâàäðàòà äîðіâíþє 10 ñì. Çíàé- äіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 160. Ñóìà äîâæèí òðüîõ ñòîðіí êâàäðàòà äîðіâíþє 18 äì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 161. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü êâàäðàò і ðîìá?

33. 33. 34 Розділ 1 162. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü êâàäðàò і ïðÿìî- êóòíèê? 163. Ðіçíèöÿ ìіæ ïåðèìåòðîì êâàäðàòà і éîãî ñòîðîíîþ äîðіâ- íþє 18 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíó êâàäðàòà òà éîãî ïåðèìåòð. 164. Ñóñіäíі ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà ðіâíі. Äîâåäіòü, ùî âіí є êâàäðàòîì. 165. Îäèí ç êóòіâ ðîìáà - ïðÿìèé. Äîâåäіòü, ùî öåé ðîìá є êâàäðàòîì. 166. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: 1) êîæíèé êâàäðàò є ïðÿìîêóòíèêîì; 2) іñíóє êâàäðàò, ÿêèé íå є ðîìáîì; 3) êîæíèé ðîìá є êâàäðàòîì; 4) êîæíèé êâàäðàò є ðîìáîì; 5) áóäü-ÿêèé ïðÿìîêóòíèê є êâàäðàòîì; 6) âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà êâàäðàòà äî éîãî ñòîðîíè є ñòà- ëèì äëÿ âñіõ êâàäðàòіâ? 167. ABCD - êâàäðàò, EF  BD (ìàë. 60). Çíàéäіòü BFE. 168. ABCD - êâàäðàò, BOC  70(ìàë. 61). Çíàéäіòü OKA. Ìàë. 60 Ìàë. 61 Достатній рівень 169. Ïîáóäóéòå êâàäðàò: 1) çà éîãî ïåðèìåòðîì; 2) çà éîãî äіàãîíàëëþ. 170. Ïîáóäóéòå êâàäðàò çà ñóìîþ éîãî äіàãîíàëåé. 171. Òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà âіääàëåíà âіä éîãî ñòîðîíè íà 3 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 172. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 32 ñì. Çíàéäіòü âіäñòàíü âіä òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà äî éîãî ñòîðіí.

34. 34. 35 ЧОТИРИКУТНИКИ 173. ABCD - êâàäðàò, AE  FC (ìàë. 62). Äîâåäіòü, ùî BEDF -F ðîìá. 174. ABCD - êâàäðàò, AE  AF  CG  CH (ìàë. 63). Äîâåäіòü, ùî EFGH - ïðÿìîêóòíèê. Ìàë. 62 Ìàë. 63 175. Äî êîëà іç öåíòðîì ó òî÷öі O ç òî÷êè A ïðîâåäåíî äâі âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі äîòè÷íі AB і AC, B і C - òî÷êè äîòèêó. Äîâåäіòü, ùî ABOC - êâàäðàò. Високий рівень 176. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC (C  90) âïèñàíî êâàäðàò CMNK òàê, ùî ïðÿìèé êóò ó íèõ ñïіëü- íèé, à òî÷êà N íàëåæèòü ñòîðîíі AB. Êàòåò òðèêóòíèêà äîðіâíþє b ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 177. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC (C  90) âïèñàíî êâàäðàò KMNL òàê, ùî òî÷êè K і M ëåæàòü íà ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè L і N - íà êàòåòàõ AC і BC âіäïîâіäíî. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 12 ñì. Çíàéäіòü ãіïîòåíóçó òðèêóòíèêà. 178. Íà ñòîðîíàõ êâàäðàòà çîâíі ïîáóäîâàíî ðіâíîñòîðîííі òðèêóòíèêè. Äîâåäіòü, ùî âåðøèíè òðèêóòíèêіâ, ÿêі íå є âåðøèíàìè çàäàíîãî êâàäðàòà, є âåðøèíàìè іíøîãî êâàä- ðàòà. Вправи для повторення 179. Ó ðîìáі ABCD äіàãîíàëü óòâîðþє ç îäíієþ çі ñòîðіí êóò 30. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 180. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD A : B : C : D   1 : 3 : 4 : 10. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì є öåé ÷îòèðèêóòíèê?

35. 35. 36 Розділ 1 181. Áіñåêòðèñà êóòà B ïðÿìîêóòíèêà ABCD äіëèòü ñòîðîíó AD íà âіäðіçêè AK іK KD òàê, ùî AK :K KD  3 : 5. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 110 ñì. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 182. 1) Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê, äâі ñòîðîíè ÿêîãî ìіæ ñî- áîþ ïàðàëåëüíі, à äâі іíøі - íåïàðàëåëüíі. 2) ßêà íàéáіëüøà êіëüêіñòü ãîñòðèõ êóòіâ ìîæå áóòè â òàêîìó ÷îòèðèêóòíèêó? Цікаві задачі для учнів неледачих 183. Î 12-é ãîäèíі ãîäèííà і õâèëèííà ñòðіëêè çáіãàþòüñÿ. ×åðåç ÿêó íàéìåíøó êіëüêіñòü õâèëèí ñòðіëêè çíîâó çáіæàòüñÿ? Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 1 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäåé (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âàðіàíò âіäïîâіäі. 1. Óêàæіòü âіäðіçîê, ùî є äіàãîíàëëþ ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. À. AB; Á. BD; Â. BC; Ã. AD. 2. Çíàéäіòü òóïèé êóò ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 35. À. 125; Á. 135; Â. 145; Ã. 155. 3. Çíàéäіòü ñòîðîíó êâàäðàòà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 36 ñì. À. 4 ñì; Á. 6 ñì; Â. 9 ñì; Ã. 12 ñì. 4. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 24 ñì, à îäíà ç éîãî ñòîðіí íà 2 ñì áіëüøà çà äðóãó. Çíàéäіòü äîâæèíó ìåíøîї ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà. À. 5 ñì; Á. 6 ñì; Â. 7 ñì; Ã. 8 ñì. 5. ABCD - ðîìá; A  50 (ìàë. 64). Çíàéäіòü ABD. À. 55; Â. 75; Á. 50; Ã. 65. 6. Óêàæіòü ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: À. ÿêùî äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà âçà- єìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є ðîìáîì; Á. âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà ðîìáà äî éîãî ñòîðîíè є ñòàëèì äëÿ âñіõ ðîìáіâ; Ìàë. 64

36. 36. 37 ЧОТИРИКУТНИКИ Â. ÿêùî äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà ðіâíі, òî âіí є ïðÿìîêóò- íèêîì; Ã. âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà ïðÿìîêóòíèêà, ÿêèé íå є êâàäðàòîì, äî éîãî íàéáіëüøîї ñòîðîíè є íåçìіííèì äëÿ âñіõ ïðÿìîêóòíèêіâ. 7. Çíàéäіòü íàéáіëüøèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ó ÿêîãî ãðà- äóñíі ìіðè êóòіâ ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 2; 3; 5 і 8. À. 120; Á. 130; Â. 150; Ã. 160. 8. Âèñîòè, ÿêі ïðîâåäåíî ç âåðøèíè òóïîãî êóòà ïàðàëåëî- ãðàìà, óòâîðþþòü ìіæ ñîáîþ êóò 30. Çíàéäіòü òóïèé êóò ïàðàëåëîãðàìà. À. 120; Á. 130; Â. 150; Ã. 160. 9. Çíàéäіòü ãîñòðèé êóò ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãîíàëÿìè êóòè, ðіçíèöÿ ÿêèõ äîðіâíþє 40. À. 25; Á. 30; Â. 50; Ã. 60. 10. Áіñåêòðèñà êóòà D ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіëèòü ñòî- ðîíó AB íà âіäðіçêè AK і KB òàê, ùî AK : KB  1 : 3. Çíàéäіòü AB, ÿêùî ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 60 ñì. À. 26 ñì; Á. 24 ñì; Â. 20 ñì; Ã. 15 ñì. 11. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà A ðîìáà ABCD ïðîâåäåíî âèñîòó AK. CAK  30, AC  6 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ðîìáà. À. 18 ñì; Á. 24 ñì; Â. 30 ñì; Ã. 36 ñì. 12. Ó {ABC (C  90, AC  ÂC) âïèñàíî êâàäðàò KLMN òàê, ùî K  AB; L  AB; M  CB; N  AC. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà, ÿêùî AB  12 ñì. À. 24 ñì; Á. 20 ñì; Â. 12 ñì; Ã. 16 ñì. Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü äî § 1-5 1. Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê MNPL і ïðîâåäіòü ó íüîìó äіà- ãîíàëі. 2. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 80. 3. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà äîðіâíþє 7 ñì. 4. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâ- íþє 18 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî îäíà ç íèõ íà 1 ñì áіëüøà çà äðóãó. 5. ABCD - ðîìá. ABD  50. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 6. Íà ìàëþíêó 65 ABD  BDC, AB  DC. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ìàë. 65

37. 37. 38 Розділ 1 7. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 2, 3, 4, 6. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì âіí є? 8. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà ðîìáà, óòâîðþ- þòü ìіæ ñîáîþ êóò 120. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 9. Áіñåêòðèñà êóòà À ïàðàëåëîãðàìàÀ ABCD äіëèòü ñòîðîíó BC íà âіäðіçêè BK і KC òàê, ùî BK : KC  4 : 3. Çíàéäіòü ñòîðî- íè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 88 ñì. Äîäàòêîâі çàâäàííÿ 10. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC ç ãіïî- òåíóçîþ BC  23 ñì âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê KLMN òàê, ùî òî÷êè K і L íàëåæàòü ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè M і N - êàòåòàì. Ñòîðîíà KL ïðÿìîêóòíèêà íà 2 ñì áіëüøà çà ñòîðîíó LM. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. 11. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà Â ðîìáà ABCD ïðîâåäåíî âèñî- òó ÂÌ, DÂÌ  30. Ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü ìåíøó äіàãîíàëü ðîìáà. 6. Трапецією називають чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні. Íà ìàëþíêó 66 çîáðàæåíî òðàïå- öіþ ABCD. Ïàðàëåëüíі ñòîðîíè òðàïåöії íàçèâàþòü îñíîâàìè, à íå ïàðàëåëüíі - áі÷íèìè ñòîðîíàìè. Íà ìàëþíêó 66 AD і BC - îñíîâè òðàïåöії, AB і CD - її áі÷íі ñòîðîíè. Ðîçãëÿíåìî äåÿêі âëàñòèâîñòі òðàïåöії. 1. Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорів- нює 180. Îñêіëüêè AD || BC, òî A + B  180 (ÿê ñóìà âíóòðіøíіõ îäíîñòîðîííіõ êóòіâ). Àíàëîãі÷íî C + D  180. 2. Трапеція є опуклим чотирикутником. Îñêіëüêè A + B  180, òî A < 180, B < 180. Àíà- ëîãі÷íî C < 180, D < 180. Îòæå, òðàïåöіÿ - îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê. ТРАПЕЦІЯ Ìàë. 66

38. 38. 39 ЧОТИРИКУТНИКИ Висотою трапеції називають перпендикуляр, проведе-ї ний з будь-якої точки основи трапеції до прямої, що міс- тить протилежну основу. Íàé÷àñòіøå âèñîòó òðàïåöії ïðîâîäÿòü ç її âåðøèíè. Íà ìàëþíêó 67 BK - âèñîòà òðàïåöії ABCD. Òðàïåöіþ íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíîþ, ÿêùî îäèí ç її êóòіâ - ïðÿìèé. Íà ìàëþíêó 68 - ïðÿìîêóòíà òðàïåöіÿ ABCD (A  90). Î÷åâèäíî, ùî B  90. ÀÂ є ìåíøîþ áі÷íîþ ñòî- ðîíîþ ïðÿìîêóòíîї òðàïåöії і її âèñîòîþ. Ìàë. 67 Ìàë. 68 Òðàïåöіþ íàçèâàþòü ðіâíîáі÷íîþ, ÿêùî її áі÷íі ñòîðîíè ðіâíі. Íà ìàëþíêó 69 - ðіâíîáі÷íà òðàïåöіÿ ABCD. Ðîçãëÿíåìî äåÿêі âàæëèâі âëàñòèâîñòі ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії. 1. У рівнобічній трапеції кути при основі між собою рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé â òðàïåöії ABCD ÀB  CD. Ïðî- âåäåìî âèñîòè òðàïåöії BK і CM ç âåðøèí її òóïèõ êóòіâ Â і Ñ (ìàë. 70). Óòâîðèâñÿ ïðÿìîêóòíèê BKMC. Òîìó BK  CM. Ìàë. 69 Ìàë. 70 2) {ABK  {DCM (çà êàòåòîì і ãіïîòåíóçîþ). Òîìó BAD  CDA. 3) Òàêîæ ABK  DCM. Îñêіëüêè KBC  MCB   90, òîABC  ABK + 90 i DCB DCM + 90. Òîìó ABC  DCB. 

39. 39. 40 Розділ 1 2. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. Ðîçãëÿíåìî ìàëþ- íîê 71. BAD  CDA (ÿê êóòè ïðè îñíîâі ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії), AB  DC, AD - ñïіëüíà ñòîðîíà òðèêóòíèêіâ ABD і DCÀ. Òîìó {ABD  {DCA (çà äâîìà ñòî- ðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Îòæå, AC  ÂD. Çàäà÷à. Î - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії ABCD ç îñíîâàìè AD і BC (ìàë. 71). Äîâåäіòü, ùî AÎ  ÎD, BÎ  ÎC. Ä î â å ä å í í ÿ. {ABD  {DCA (äîâåäåíî âèùå). Òîìó ODA  OAD. Çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà - òðè- êóòíèê AOD - ðіâíîáåäðåíèé. Òîìó AÎ  ÎD. Îñêіëüêè AC  ÂD і AÎ  ÎD, òî ÎC  BÎ (áî OC  AC - AO, BO  BD - OD).  Ò å î ð å ì à (îçíàêà ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії). ßêùî ó òðà- ïåöії êóòè ïðè îäíіé îñíîâі ðіâíі, òî òðàïåöіÿ - ðіâíîáі÷íà. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ó òðàïåöії ABCD êóòè ïðè áіëü- øіé îñíîâі AD ðіâíі (ìàë. 70), òîáòî BAD  CDA. Ïðîâåäå- ìî âèñîòè BK і CM, ÿêі ðіâíі ìіæ ñîáîþ. 2) Òîäі {BAK  {CDM (çà êàòåòîì і ïðîòèëåæíèì êóòîì).M Òîìó AB  DC. Òðàïåöіÿ ðіâíîáі÷íà, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.  Термін "трапеція" грецького походження (грецькою мовою "трапе- дзіон" означає "столик", зокрема столик для обіду; слова "трапеція" і "трапеза" - однокореневі). У своїй праці "Начала" Евклід під терміном "трапеція" розумів будь- який чотирикутник, який не є паралелограмом. Більшість математиків Середньовіччя використовувала термін "трапеція" з тим самим змістом. Трапеція в сучасному розумінні вперше зустрічається у давньогрець- кого математика Посидонія (I ст.), але лише починаючи з XVIII ст. цей термін став загальновживаним для чотирикутників, у яких дві сторони паралельні, а дві інші - непаралельні. Ìàë. 71 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü òðàïåöієþ? 2. Ùî íàçèâàþòü îñíîâàìè òðàïåöії, áі÷íèìè ñòîðîíàìè òðàïåöії? 3. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі òðàïåöії. 4. Ùî òàêå âèñîòà òðàïåöії?

40. 40. 41 ЧОТИРИКУТНИКИ Початковий рівень 184. Íà ÿêèõ ç ìàëþíêіâ 72-76 çîáðàæåíî òðàïåöіþ? Ìàë. 72 Ìàë. 73 Ìàë. 74 Ìàë. 75 Ìàë. 76 185. Íàêðåñëіòü òðàïåöіþ PKML (PK || ML). Óêàæіòü îñíîâè òðàïåöії, áі÷íі ñòîðîíè òðàïåöії. 186. Íàêðåñëіòü òðàïåöіþ DMFK (DM || FK). Óêàæіòü îñíîâè òðàïåöії, áі÷íі ñòîðîíè òðàïåöії. 187. Íàêðåñëіòü ïðÿìîêóòíó òðàïåöіþ ABCD (A  B  90). 188. Íàêðåñëіòü ðіâíîáі÷íó òðàïåöіþ ABCD (AB((  CD). 189. Äâà êóòè òðàïåöії äîðіâíþþòü 20 і 100. Çíàéäіòü äâà іíøèõ її êóòè. 190. Äâà êóòè òðàïåöії äîðіâíþþòü 110 і 40. Çíàéäіòü äâà іíøèõ її êóòè. Середній рівень 191. Îñíîâè ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії äîðіâíþþòü 8 ñì і 10 ñì, à ïåðèìåòð 28 ñì. Çíàéäіòü áі÷íó ñòîðîíó òðàïåöії. 192. Îñíîâè ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії äîðіâíþþòü 7 ñì і 5 ñì, à áі÷íà ñòîðîíà - 3 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðàïåöії. 193. ×è іñíóє òðàïåöіÿ, ó ÿêîї äâà ïðîòèëåæíèõ êóòè: 1) ãîñòðі; 2) ïðÿìі; 3) òóïі? Ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі íàêðåñëіòü òàêó òðàïåöіþ. 194. ×è іñíóє òðàïåöіÿ, ó ÿêîї: 1) îñíîâè ìіæ ñîáîþ ðіâíі; 2) òðè ñòîðîíè ìіæ ñîáîþ ðіâíі? Ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі íàêðåñëіòü òàêó òðàïåöіþ. 5. ßêó òðàïåöіþ íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíîþ, ÿêó - ðіâíî- áі÷íîþ? 6. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ðіâíîáі÷íîї òðà- ïåöії. 7. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêó ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії.

# data[].attributes.headline
Опрацювати § 22.

# data[].attributes.subject
Опрацювати § 22.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Published on

1. 1. ÓÄÊ 514(075.3) ÁÁÊ 22.151ÿ721 89І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2016 © Âèäàâíèöòâî "Ãåíåçà", îðèãіíàë ìàêåò, 2016îðèãіíàë-ìàêåò, 2016ISBN 978 966 11 0701 3ISBN 978-966-11-0701-3 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Ãåîìåòðіÿ : ïіäðó÷. äëÿ 8 êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. - Êèїâ : Ãåíåçà, 2016. - 216 ñ. ISBN 978-966-11-0701-3. Підручник відповідає новій програмі з математики, містить до- статню кількість диференційованих вправ та прикладних задач. Після кожного розділу наведено вправи для його повторення. Для підготовки до контрольної роботи передбачено "Домашню само- стійну роботу" та "Завдання для перевірки знань". Наприкінці під- ручника наведено матеріал для повторення курсу геометрії 7 кла- су, задачі підвищеної складності, предметний покажчик та відповіді до більшості вправ. Для найдопитливіших є низка нестандартних задач у рубриці "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий матеріал. ÓÄÊ 514(075.3) ÁÁÊ 22.151ÿ721 Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè (Íàêàç Ìіíіñòåðñòâà îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè âіä 10.05.2016 № 491) Åêñïåðòè, ÿêі çäіéñíèëè åêñïåðòèçó ïіäðó÷íèêà ïіä ÷àñ ïðîâå- äåííÿ êîíêóðñíîãî âіäáîðó ïðîåêòіâ ïіäðó÷íèêіâ äëÿ ó÷íіâ 8 êëà- ñó çàãàëüíîîñâіòíіõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäіâ і çðîáèëè âèñíîâîê ïðî äîöіëüíіñòü íàäàííÿ ïіäðó÷íèêó ãðèôà "Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñ- òåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè": Äóíàé Ñ.Ì., ó÷èòåëü ñïåöіàëіçîâàíîї çàãàëüíîîñâіòíüîї ñåðåäíüîї øêîëè № 1 ç ïîãëèáëåíèì âèâ÷åííÿì іíîçåìíèõ ìîâ ì. ×åðíіãîâà; Òåñëåíêî Î.Â., ìåòîäèñò ìåòîäè÷íîãî öåíòðó Óïðàâëіííÿ îñâіòè àäìіíіñòðàöії Êîìіíòåðíіâñüêîãî ðàéîíó Õàðêіâñüêîї ìіñüêîї ðàäè; ×îðíèé Â.Ç., çàâіäóâà÷ êàôåäðè ìàòåìàòèêè òà ìåòîäèêè її íà- â÷àííÿ Òåðíîïіëüñüêîãî íàöіîíàëüíîãî ïåäàãîãі÷íîãî óíіâåðñèòå- òó іì. Âîëîäèìèðà Ãíàòþêà, êàíäèäàò ôіçèêî-ìàòåìàòè÷íèõ íàóê, äîöåíò. Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

2. 2. 3 Øàíîâíі âîñüìèêëàñíèêè! Ó öüîìó íàâ÷àëüíîìó ðîöі âè ïðîäîâæèòå âèâ÷àòè ãåîìåò- ðіþ, à ïіäðó÷íèê, ÿêèé âè òðèìàєòå â ðóêàõ, äîïîìîæå âàì ó öüîìó. Ïіä ÷àñ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çâåðíіòü óâàãó íà òåêñò, íàäðóêîâàíèé æèðíèì øðèôòîì. Éîãî òðåáà çàïàì'ÿ- òàòè. Ó ïіäðó÷íèêó âè ïîáà÷èòå óìîâíі ïîçíà÷åííÿ. Îñü ùî âîíè îçíà÷àþòü: - означення, важливі геометричні твердження (аксіоми, теоре- ми, властивості); - запитання до вивченого теоретичного матеріалу;  - закінчення доведення теореми або задачі; - "ключова" задача, висновки якої використовуються під час розв'язування інших задач; - вправи для повторення; - рубрика "Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового мате- ріалу"; - вправи підвищеної складності; - рубрика "Цікаві задачі для учнів неледачих" та додатковий матеріал. ×îðíèì êîëüîðîì ïîçíà÷åíî íîìåðè âïðàâ äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ ó êëàñі, à ñèíіì - äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ âäîìà. Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü і âèîêðåìëåíî òàê: ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ñåðåäíüîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè äîñòàòíüîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè âèñîêîãî ðіâíÿ. Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ ìîæíà, âèêîíóþ÷è çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìî-

3. 3. 4 ñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Ïіñëÿ êîæíîãî ðîçäіëó íàâåäåíî âïðàâè äëÿ éîãî ïîâòîðåííÿ, à â êіíöі ïіäðó÷íèêà - "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðå- âіðêè çíàíü çà êóðñ ãåîìåòðії 8 êëàñó" òà "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі". Çàíÿòòÿ ãåîìåòðієþ ñòàíóòü ùå öіêàâіøèìè, ÿêùî âè ðîçâ'ÿçóâàòèìåòå âïðàâè ðóáðèêè "Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ". Ïðèãàäàòè ðàíіøå âèâ÷åíå âàì äîïîìîæóòü "Âіäîìîñòі ç êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó" òà "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó", ÿêі ðîçìіùåíî â êіíöі ïіäðó÷íèêà. Àâòîð íàìàãàâñÿ ïîäàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ïіäðó÷íèêà ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ, ïðîіëþñòðóâàòè éîãî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó ó øêîëі éîãî îáîâ'ÿçêîâî ïîòðіáíî äîîïðàöþâàòè âäîìà. Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Áіëüøіñòü іç íèõ âè ðîçãëÿíåòå íà óðîêàõ і ïіä ÷àñ äîìàøíüîї ðîáîòè; іíøі âïðàâè ðåêîìåíäóєòüñÿ ðîçâ'ÿçàòè ñàìîñòіéíî. Ó êіíöі ïіäðó÷íèêà â äîäàòêó ïіä íàçâîþ "Ãîòóєìîñÿ äî ÇÍÎ" ïîäàíî äîáіðêó çàäà÷, ùî â ðіçíі ðîêè ïðîïîíóâàëèñÿ àáіòóðієíòàì íà çîâíіøíüîìó íåçàëåæíîìó îöіíþâàííі ç ìàòå- ìàòèêè, äëÿ ðîçâ'ÿçàííÿ ÿêèõ äîñòàòíüî çíàíü ç ãåîìåòðії çà 8-é êëàñ. Ðîçâ'ÿçàâøè öі çàäà÷і, âè çðîáèòå ùå îäèí êðîê óïåðåä äëÿ óñïіøíîї ïіäãîòîâêè äî ìàéáóòíіõ âèïðîáóâàíü, ÿêі ÷åêàòèìóòü íà âàñ ïіä ÷àñ âñòóïó äî îìðіÿíîãî âèøó. Öіêàâі ôàêòè ç іñòîðії ðîçâèòêó ãåîìåòðії ÿê íàóêè âè çíà- éäåòå ó ðóáðèöі "À ùå ðàíіøå..." Áàæàþ óñïіõіâ â îïàíóâàííі êóðñó!

4. 4. 5 Øàíîâíі â÷èòåëі! Ïðîïîíîâàíèé ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ; âïðàâè áіëüøîñòі ïàðàãðàôіâ ïîäàíî "іç çàïàñîì". Òîæ îáè- ðàéòå їõ äëÿ âèêîðèñòàííÿ íà óðîêàõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ, ñòóïåíÿ іíäèâіäóàëіçàöії òîùî. Âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ íà óðîöі, ìîæíà âèêîðèñòàòè íà äîäàòêîâèõ, ôàêóëüòàòèâíèõ òà іíäèâіäóàëüíèõ çàíÿòòÿõ. Äîäàòêîâі âïðàâè ó "Çàâäàííÿõ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü" ïðè- çíà÷åíî äëÿ ó÷íіâ, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàííÿìè ðàíіøå çà іíøèõ ó÷íіâ. Ïðàâèëüíå їõ ðîçâ'ÿçàííÿ â÷èòåëü ìîæå îöіíèòè îêðåìî. Âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ ðîçäіëіâ òà çàäà÷і ç äîäàòêà "Ãîòó- єìîñÿ äî ÇÍÎ" ìîæíà çàïðîïîíóâàòè ó÷íÿì, íàïðèêëàä, ïіä ÷àñ óçàãàëüíþþ÷èõ óðîêіâ ç òåìè àáî ïîâòîðåííÿ і ñèñòåìàòè- çàöії íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó â êіíöі íàâ÷àëüíîãî ðîêó. Îðãàíіçóâàòè ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó íà ïî÷àò- êó íàâ÷àëüíîãî ðîêó òà ïðèãàäàòè âіäïîâіäíèé òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ìîæíà, çàïðîïîíóâàâøè ó÷íÿì ðîçâ'ÿçàòè "Âïðàâè íà ïîâòîðåííÿ êóðñó ãåîìåòðії 7 êëàñó" òà ïðî÷èòàòè âіäïî- âіäíі òåîðåòè÷íі âіäîìîñòі, ÿêі ðîçìіùåíî ó êіíöі ïіäðó÷íèêà. Øàíîâíі áàòüêè! ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ ó øêîëі, ïîòðіáíî çàïðîïîíóâàòè їé ñàìîñòіéíî îïðàöþâàòè öåé ìàòåðіàë çà ïіäðó÷íèêîì óäîìà. Ñïî÷àòêó áàæàíî, ùîá âîíà ïðî÷èòàëà òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë, ÿêèé âèêëàäåíî ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ òà ïðîіëþñòðîâàíî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ öüîãî - ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷і і âïðàâè, ùî їé ïîñèëüíі, ç ðîçãëÿíóòîãî ïàðàãðàôà. Óïðîäîâæ îïðàöþâàííÿ äèòèíîþ êóðñó ãåîìåòðії 8 êëàñó âè ìîæåòå ïðîïîíóâàòè їé äîäàòêîâî ðîçâ'ÿçóâàòè âäîìà âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ ïіä ÷àñ óðîêó. Öå ñïðèÿòèìå ÿêíàéêðàùîìó çàñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó. Êîæíà òåìà çàêіí÷óєòüñÿ òåìàòè÷íèì îöіíþâàííÿì. Ïåðåä éîãî ïðîâåäåííÿì çàïðîïîíóéòå äèòèíі ðîçâ'ÿçàòè çàâäàííÿ "Äîìàøíüîї ñàìîñòіéíîї ðîáîòè", ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà "Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü". Öå äîïîìîæå ïðèãàäàòè îñíîâíі òèïè âïðàâ òà ÿêіñíî ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ. Ó êіíöі ïіäðó÷íèêà "Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі" äîïîìî- æóòü âàøіé äèòèíі ïîãëèáèòè çíàííÿ ç ãåîìåòðії òà ïіäãîòó- âàòèñÿ äî ìàòåìàòè÷íèõ çìàãàíü.

5. 5. 6 ОЧОТИРИКУТНИКИ У цьому розділі ви:У  пригадаєте поняття прямокутника і квадрата;  дізнаєтеся про паралелограм та його властивості, трапецію; центральні та вписані кути; вписані та описані чотирикутни- ки; середню лінію трикутника та середню лінію трапеції; теорему Фалеса;  навчитеся обґрунтовувати належність чотирикутника до пев- ного виду, застосовувати вивчені означення і властивості до розв'язування задач. 1. Чотирикутником називають фігуру, що складається зм чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх спо- лучають. Íіÿêі òðè ç äàíèõ òî÷îê íå ïîâèííі ëåæàòè íà îäíіé ïðÿìіé, à âіäðіçêè, ÿêі їõ ñïîëó÷àþòü, íå ïîâèííі ìàòè æîäíèõ іíøèõ ñïіëüíèõ òî÷îê, êðіì äàíèõ. Áóäü-ÿêèé ÷îòèðèêóòíèê îáìåæóє ïåâíó ÷àñòèíó ïëîùèíè, ÿêà є âíóòðіøíüîþ îáëàñòþ ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàëþíêó 1 çîáðàæåíî ÷îòèðèêóòíèê ABCD. Òî÷êè A, B, C, D íàçèâàþòü âåðøèíàìè ÷îòèðèêóòíèêà, à âіäðіçêè AB, BC, CD і DA, ùî їõ ñïîëó÷àþòü, - ñòîðîíàìè ÷îòèðèêóòíèêà. Âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêі є êіíöÿìè îäíієї éîãî ñòîðî- íè, íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, íåñóñіäíі âåðøèíè íàçèâàþòü ïðî- òèëåæíèìè. Íà ìàë. 1 âåðøèíè A і B - ñóñіäíі, A і C - ïðîòèëåæíі. Ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêі ìàþòü ñïіëü- íó âåðøèíó, íàçèâàþòü ñóñіäíіìè àáî ñóìіæíèìè, à ÿêі íå ìàþòü ñïіëüíîї âåðøè- íè, - ïðîòèëåæíèìè. Íà ìàë. 1 ñòîðîíè AB і BC - ñóñіäíі (ñóìіæíі), ñòîðîíè AB і CD - ïðîòèëåæíі. ЧОТИРИКУТНИК, ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ. СУМА КУТІВ ЧОТИРИКУТНИКА Ìàë. 1

6. 6. 7 ЧОТИРИКУТНИКИ Ñóìó äîâæèí óñіõ ñòîðіí ÷îòèðè- êóòíèêà íàçèâàþòü éîãî ïåðèìåòðîì. Ïåðèìåòð ïîçíà÷àþòü ëіòåðîþ P. Íàïðè- êëàä, ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà ABCD ìîæíà ïîçíà÷èòè ÿê PABCDP : PABCDP  AB + BC + CD + DA. Âіäðіçêè, ÿêі ñïîëó÷àþòü ïðîòèëåæíі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, íàçèâàþòü äіàãîíàëÿìè ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàë. 2 âіäðіçêè KM і LN - äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà KLMN. Áóäü-ÿêèé ÷îòèðèêóòíèê ìàє äâі äіàãîíàëі. Êóòàìè ÷îòèðèêóòíèêà ABCD íàçèâàþòü êóòè DAB, ABC, BCD і CDA (ìàë. 1). Êóòè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ïðîòèëåæíèìè, ÿêùî їõ âåðøèíè - ïðîòèëåæíі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà, і ñóñіäíіìè, ÿêùî їõ âåðøèíè - ñóñіäíі âåð- øèíè ÷îòèðèêóòíèêà. Íà ìàëþíêó 1 êóòè A іA C - ïðîòèëåæíі,C A іA B - ñóñіäíі. Îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà ìîæå áóòè áіëüøèì çà ðîçãîð- íóòèé. Íàïðèêëàä, íà ìàëþíêó 3 êóò A ÷îòèðèêóòíèêà ABCD є áіëüøèì çà ðîçãîðíóòèé. Òàêèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü íåîïóêëèì. ßêùî æ óñі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà ìåíøі âіä 180, òî éîãî íàçèâàþòü îïóêëèì. Äіàãîíàëі îïóêëîãî ÷îòèðèêóò- íèêà ïåðåòèíàþòüñÿ (ìàë. 2), à íåîïóêëîãî íå ïåðåòèíàþòüñÿ (ìàë. 4). Ìàë. 3 Ìàë. 4 Ìàë. 5 Ò å î ð å ì à (ïðî ñóìó êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà). Ñóìà êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 360. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ÀÂÑD - äåÿêèé ÷îòèðèêóòíèê. Ïðîâåäåìî â íüîìó äіàãîíàëü ÀÑ (ìàë. 5). Òîäі À  1 + 2, Ñ  3 + 4. Âðàõîâóþ÷è, ùî 2 + B + 3  180 (ÿê ñóìà êóòіâ  ÀÂÑ), 1 + D + 4  180 (ÿê ñóìà êóòіâ ÀDÑ), ìàòèìåìî: À +À Â + Ñ + D  1 + 2 + Â + 3 + + 4 + D  (2 + Â + 3) + (1 + D + 4)  180+ 180  360.  Ìàë. 2

7. 7. 8 Розділ 1 Çàäà÷à. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî їõ ãðàäóñíі ìіðè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 3 : 10 : 4 : 1. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì є öåé ÷îòèðèêóòíèê? Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. Íåõàé êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 3x, 10x, 4x і x. Ìàєìî ðіâíÿííÿ 3x + 10x + 4x + x  360, çâіäêè x  20. Îòæå, êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 3  20  60, 10  20  200, 4  20  80 і 20. Îñêіëüêè îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà áіëüøèé çà 180, òî öåé ÷îòèðèêóò- íèê - íåîïóêëèé. Â і ä ï î â і ä ü. 60, 200, 80, 20; íåîïóêëèé. Початковий рівень 1. (Óñíî.) ßêі ç ôіãóð (ìàë. 6-9) є ÷îòèðèêóòíèêàìè? Íà- çâіòü îïóêëі òà íåîïóêëі ÷îòèðèêóòíèêè. Ìàë. 6 Ìàë. 7 Ìàë. 8 Ìàë. 9 2. Íàçâіòü ïàðè ïðîòèëåæíèõ ñòîðіí ÷îòèðèêóòíèêà EGOR (ìàë. 9), ïàðè ñóñіäíіõ ñòîðіí. Íàçâіòü ïàðè ñóñіäíіõ âåð- øèí öüîãî ÷îòèðèêóòíèêà, ïàðè ïðîòèëåæíèõ âåðøèí. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ÷îòèðèêóòíèêîì? 2. Ùî íàçèâàþòü âåðøèíàìè ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðî- íàìè ÷îòèðèêóòíèêà? 3. ßêі âåðøèíè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, ÿêі - ïðîòèëåæíèìè? 4. Ùî òàêå äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà? 5. ßêі ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ñóñіäíіìè, ÿêі - ïðîòèëåæíèìè? 6. Ùî íàçèâàþòü ïåðèìåòðîì ÷îòèðèêóòíèêà? 7. Ùî íàçèâàþòü êóòàìè ÷îòèðèêóòíèêà? 8. ßêі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà íàçèâàþòü ïðîòèëåæíè- ìè, à ÿêі - ñóñіäíіìè? 9. ßêèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü íåîïóêëèì, à ÿêèé - îïóêëèì? 10. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü òåîðåìó ïðî ñóìó êóòіâ ÷îòè- ðèêóòíèêà.

8. 8. 9 ЧОТИРИКУТНИКИ 3. Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê KLMN. Íàçâіòü ïàðè éîãî ïðî- òèëåæíèõ ñòîðіí, ñóñіäíіõ ñòîðіí, ïðîòèëåæíèõ âåðøèí, ñóñіäíіõ âåðøèí. Ïðîâåäіòü äіàãîíàëі öüîãî ÷îòèðèêóòíèêà. 4. Íàêðåñëіòü îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê ABCD і íåîïóêëèé PMLK. Ïðîâåäіòü äіàãîíàëü ó êîæíîìó ç íèõ. 5. ×è іñíóє ÷îòèðèêóòíèê ç êóòàìè: 1) 80, 90, 100 і 110; 2) 150, 60, 70 і 80? 6. ×è ìîæóòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþâàòè: 1) 120, 80, 90 і 70; 2) 130, 110, 80 і 50? Середній рівень 7. Çíàéäіòü ÷åòâåðòèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî òðè éîãî êóòè äîðіâíþþòü: 1) 150, 110 і 80; 2) 80, 60 і 30. ßêèì - îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì - є êîæíèé ÷îòèðèêóòíèê? 8. Çíàéäіòü ÷åòâåðòèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî òðè éîãî êóòè äîðіâíþþòü: 1) 20, 70 і 80; 2) 120, 50 і 40. ßêèì - îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì - є êîæíèé ÷îòèðèêóòíèê? 9. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâ- íþþòü 32 ìì, 2,5 ñì, 0,4 äì і 0,07 ì. 10. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþ- þòü 0,08 ì, 0,7 äì, 6,3 ñì і 54 ìì. 11. ×è ìîæóòü óñі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà áóòè: 1) ãîñòðèìè; 2) ïðÿìèìè; 3) òóïèìè? 12. Îäèí ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâ- íþє 120, à іíøі - ìіæ ñîáîþ ðіâíі. Çíàéäіòü íåâіäîìі êóòè ÷îòèðèêóò- íèêà. 13. Ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 60 ñì, à îäíà ç éîãî ñòîðіí - 24 ñì. Çíàéäіòü íåâіäîìі ñòîðîíè ÷îòèðè- êóòíèêà, ÿêùî âîíè ìіæ ñîáîþ ðіâíі. 14. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 10) BC  CD і ACB  ACD. Äîâåäіòü, ùî B  D. 15. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 11) BAC  ACD, BCA  CAD. Äîâåäіòü, ùî AB  CD. Ìàë. 10 Ìàë. 11

9. 9. 10 Розділ 1 Достатній рівень 16. Çíàéäіòü ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 4, 5, 8 і 9, à ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 65 ñì. 17. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 4, 5, 7 і 8. 18. Çíàéäіòü íåâіäîìі êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 90, äðóãèé і òðåòіé âіäíîñÿòüñÿ ÿê 7 : 5, à ÷åò- âåðòèé äîðіâíþє ïіâñóìі äðóãîãî òà òðåòüîãî. 19. Çíàéäіòü íåâіäîìі ñòîðîíè ÷îòèðèêóòíèêà, ïåðèìåòð ÿêî- ãî äîðіâíþє 54 ñì, îäíà çі ñòîðіí 18 ñì, äðóãà òà òðåòÿ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 7 : 3, à ÷åòâåðòà äîðіâíþє ïіâðіçíèöі äðó- ãîї òà òðåòüîї. 20. Äîâåäіòü, ùî â êîæíîìó ÷îòèðèêóòíèêó є êóò, íå áіëüøèé çà 90. 21. Äîâåäіòü, ùî â êîæíîìó ÷îòèðèêóòíèêó є êóò, íå ìåíøèé âіä 90. 22. ×è ìîæå êóò ÷îòèðèêóòíèêà áóòè áіëüøèì çà ñóìó іíøèõ éîãî êóòіâ? Високий рівень 23. Ïîáóäóéòå ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 6 ñì, 6 ñì, 3 ñì, 4 ñì òà êóòîì 50 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíàìè. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿç- êіâ ìàє çàäà÷à? 24. Ïîáóäóéòå ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 5 ñì, 5 ñì, 4 ñì, 3 ñì òà êóòîì 70 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíàìè. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿçêіâ ìàє çàäà÷à? 25. Îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê íàçèâàþòü äåëüòîїäîì, ÿêùî âіí ìàє äâі ïàðè ðіâ- íèõ ñóñіäíіõ ñòîðіí (ìàë. 12). Äîâåäіòü, ùî: 1) äіàãîíàëü BD äіëèòü íàâïіë ÿê êóò B, òàê і êóò D; 2) äіàãîíàëі äåëüòîїäà âçàєìíî ïåðïåí- äèêóëÿðíі. 26. Ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà ABCD äîðіâíþє 29 ñì, ïåðè- ìåòð òðèêóòíèêà ADB - 20 ñì, à òðèêóòíèêà CDB - 21 ñì. Çíàéäіòü äîâæèíó äіàãîíàëі BD. Ìàë. 12

10. 10. 11 ЧОТИРИКУТНИКИ Вправи для повторення 27. Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ, ùî óòâîðèëèñÿ ïðè ïåðåòèíі äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ñі÷íîþ, äîðіâíþє 70. Çíàéäіòü ãðàäóñíі ìіðè ðåøòè ñåìè êóòіâ. 28. Çíàéäіòü êóòè ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 70. Ñêіëüêè ðîçâ'ÿçêіâ ìàє çàäà÷à? 29. Ó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 60, à ñóìà ìåíøîãî êàòåòà і ìåäіàíè, ïðîâåäåíîї äî ãіïîòåíó- çè, - 10 ñì. Çíàéäіòü ãіïîòåíóçó öüîãî òðèêóòíèêà. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 30. Ïðÿìà AB є ñі÷íîþ äëÿ ïðÿìèõ KL і MN (ìàë. 13). Çàïèøіòü óñі ïàðè âíóòðіøíіõ îäíîñòîðîííіõ êóòіâ, âíó- òðіøíіõ ðіçíîñòîðîííіõ êóòіâ òà âіäïîâіäíèõ êóòіâ. Ìàë. 13 Ìàë. 14 Ìàë. 15 31. ßêèì є âçàєìíå ðîçìіùåííÿ ïðÿìèõ a і b (ìàë. 14), ÿêùî: 1) 2 + 4  180; 2) 1 > 4; 3) 3  120; 4  121; 4) 2  60; 4  119; 5) 1  4  122; 6) 3  4? 32. 1) Äîâåäіòü, ùî {ABC  {CDA (ìàë. 15), ÿêùî AB  CD і BAC  ACD . 2) Äîâåäіòü, ùî BC  AD і BCA  CAD. 3) ×è ïàðàëåëüíі ïðÿìі BC і AD? Цікаві задачі для учнів неледачих 33. (Âñåóêðàїíñüêà îëіìïіàäà ç ìàòåìàòèêè, 1964 ð.) Çíàé- äіòü íàéáіëüøå çíà÷åííÿ n, ïðè ÿêîìó n òî÷îê ìîæíà ðîçìіñòèòè íà ïëîùèíі òàê, ùîá êîæíі òðè ç íèõ áóëè âåðøèíàìè ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà.

11. 11. 12 Розділ 1 2. Паралелограмом називають чотирикутник, у якого проти-м лежні сторони попарно паралельні. Íà ìàëþíêó 16 çîáðàæåíî ïàðàëåëîãðàì ABCD, äå AB || CD, AD || BC. Ðîçãëÿíåìî âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. Сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Ñïðàâäі, íàïðèêëàä êóòè A і B ïàðà- ëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 16) є âíóòðіøíіìè îäíîñòîðîííіìè êóòàìè äëÿ ïàðàëåëü- íèõ ïðÿìèõ AD і BC òà ñі÷íîї AB. Òîìó A + B  180. Àíàëîãі÷íî öþ âëàñòè- âіñòü ìîæíà äîâåñòè äëÿ áóäü-ÿêîї іíøîї ïàðè ñóñіäíіõ êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà. 2. Паралелограм є опуклим чотирикутником. Îñêіëüêè A + B  180, òî A < 180, B < 180. Àíà- ëîãі÷íî C < 180, D < 180. Òîìó ïàðàëåëîãðàì - îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê. 3. У паралелограмі протилежні сторони рівні й протилежні кути рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. Ðîçãëÿíåìî ïàðàëåëîãðàì ABCD (ìàë. 17). Äіàãîíàëü AC ðîçáèâàє éîãî íà äâà òðèêóòíèêè ABC і ADC. AC - ñïіëüíà ñòîðîíà öèõ òðèêóòíèêіâ é CAD  ACB, CAB  ACD (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ñі÷íîþ AC ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC, AB і CD âіäïîâіäíî). Òîäі {ABC  {CDA (çà ñòîðîíîþ і äâîìà ïðèëåãëèìè êóòà- ìè). Îòæå, AB  CD, BC  AD і B  D (ÿê âіäïîâіäíі åëåìåíòè ðіâíèõ òðè- êóòíèêіâ). Îñêіëüêè BAC + CAD   BCA + DCA, òî BAD  BCD.  4. Периметр паралелограма РАВСDР = 2(D АВ + ВС). 5. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. ПАРАЛЕЛОГРАМ, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ Й ОЗНАКИ Ìàë. 16 Ìàë. 17

12. 12. 13 ЧОТИРИКУТНИКИ Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé AC і BD ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 18). AD  BC (ÿê ïðîòè- ëåæíі ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà), CAD  ACB, BDA  DBC (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íèìè AC і BD âіäïîâіäíî). Îòæå, {AOD  {COB (çà ñòîðîíîþ і äâîìà ïðèëåãëèìè êóòàìè). Òîäі AO  OC, BO  OD (ÿê âіäïîâіäíі ñòîðîíè ðіâíèõ òðè- êóòíèêіâ).  Ìàë. 18 Ìàë. 19 Çàäà÷à 1. Ä à í î: ABCD ïàðàëåëîãðàì, ÀK - áіñåêòðèñà êóòà A, BK  5 ñì, KC  3 ñì (ìàë. 19). Ç í à é ä іòü: PABCDP . Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) BC  BK + KC  5 + 3  8 (cì); 2) KAD  BKA (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íîþ AK); 3) KAD  KAB (çà óìîâîþ), òîäі BKA  KAB. Îòæå, çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà: {ABK - ðіâíîáåäðå- íèé, AB  BK  5 (ñì); 4) PABCDP  2(AB(( + BC)  2(5 + 8)  26 (ñì). Â і ä ï î â і ä ü. 26 ñì. Висотою паралелограма називають перпендикуляр, про- ведений з будь-якої точки сторони паралелограма до пря- мої, що містить протилежну сторону. Íà ìàëþíêó 20 MN - âèñîòà ïàðàëåëîãðàìà; MN  AD, MN  BC. Ç êîæíîї âåðøèíè ïàðàëåëîãðàìà ìîæíà ïðîâåñòè äâі âè- ñîòè. Íàïðèêëàä, íà ìàëþíêó 21 BF і BT - âèñîòè ïàðàëåëî- ãðàìà, ïðîâåäåíі âіäïîâіäíî äî ñòîðіí AD і CD. Ìàë. 20 Ìàë. 21

13. 13. 14 Розділ 1 Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà). ßêùî â ÷îòèðèêóò- íèêó: 1) äâі ñòîðîíè ðіâíі і ïàðàëåëüíі, àáî 2) ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ðіâíі, àáî 3) äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ і òî÷êîþ ïåðåòèíó äіëÿòüñÿ íàâïіë, àáî 4) ïðîòèëåæíі êóòè ïîïàðíî ðіâíі, - òî ÷îòèðèêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD AD  BC і AD || BC (ìàë. 22). Ïðîâåäåìî äіàãîíàëü AC. Ðîçãëÿíåìî {CAD і {ACB. CAD  BCA (ÿê âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè ïðè ïåðåòèíі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ AD і BC ñі÷íîþ AC). AC - ñïіëüíà ñòîðîíà, AD BC (çà óìîâîþ). Îòæå, {CAD  {ACB (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Òîäі ACD  CAB (ÿê âіäïîâіäíі). Àëå öå ðіçíîñòîðîííі êóòè, ùî óòâîðèëèñÿ ïðè ïåðåòèíі ïðÿìèõ AB і CD ñі÷íîþ AC. Òîìó AB || CD (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі ïðÿìèõ). Îòæå, ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ïàðàëåëüíі. Òîìó ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD: AD  BC і AB  CD (ìàë. 22). Ïðîâåäåìî äіàãîíàëü AC. Òîäі {CAD  {ACB (çà òðüîìà ñòîðîíàìè). Òîìó ACD  CAB, à îòæå, AB || CD (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі ïðÿìèõ). Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AD || BC. Îòæå, ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ìàë. 22 Ìàë. 23 3) Íåõàé ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі AC і BD ïåðå- òèíàþòüñÿ â òî÷öі O і AO  OC, BO  OD (ìàë. 23). AOD  COB (ÿê âåðòèêàëüíі). Òîìó {AOD  {COB (çà äâî- ìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Çâіäñè AD  BC. Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AB  CD. Çâàæàþ÷è íà ï. 2) öієї òåîðåìè, ïðè- õîäèìî äî âèñíîâêó, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 4) Íåõàé ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD: A  C, B  D (ìàë. 16). Îñêіëüêè A + B + C + D  360, òî A + + B + A + B  360, 2(A + B)  360; A + B  180. Àëå A і B - âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè äëÿ ïðÿìèõ AD і BC òà ñі÷íîї AB. Òîìó AD || BC (çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñòі

14. 14. 15 ЧОТИРИКУТНИКИ ïðÿìèõ). Àíàëîãі÷íî äîâîäèìî, ùî AB || CD. Îòæå, ABCD - ïàðàëåëîãðàì.  Çàäà÷à 2. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD, AD  BC, CAD  ACB. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ABCD - äàíèé ÷îòèðèêóòíèê (ìàë. 22). Ðîçãëÿíåìî {CAD і {ACB{{ . AC - їõ ñïіëüíà ñòîðîíà, AD  BC, CAD  ACB (çà óìîâîþ). Îòæå, {CAD  {ACB (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Òîìó AB  CD. Àëå òîäі ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ðіâíі, òîìó âіí є ïàðàëåëîãðàìîì.  Про деякі види чотирикутників (квадрати, прямокутники, рівнобічні та прямокутні трапеції) знали ще давньоєгипетські та вавилонські матема- тики. Термін "паралелограм" грецького походження, вважають, що його уведено Евклідом (близько 300 р. до н. е.). Також відомо, що про парале- лограм і деякі його властивості було відомо учням школи Піфагора ("піфагорійцям") ще раніше. В "Началах" Евкліда доведено наступну теорему: у паралелограмі протилежні сторони рівні і протилежні кути рівні, а діагональ поділяє його навпіл, але не згадується про те, що точка перетину діагоналей паралелограма ділить кожну з них навпіл. Евклід також не згадує ані про прямокутник, ані про ромб. Повну теорію паралелограмів було розроблено лише в кінці Середньовіччя, а в підручниках вона з'явилася в XVII ст. Усі теореми та властивості паралелограма в цих підручниках ґрунтувалися на аксіомі паралельності Евкліда. Термін "діагональ" - грецького походження; "діа" означає "через", а "гоніос" - "кут", що можна розуміти як відрізок, що сполучає вершини кутів. Слід зазначити, що Евклід, як і більшість математиків того часу, для назви відрізка, що сполучає протилежні вершини чотирикутника, зокре- ма прямокутника, використовував інший термін - "діаметр". Це можна пояснити тим, що перші геометри свої міркування ґрунтували на вписа- них у коло прямокутниках. У Середні віки для назви згаданого відрізка використовували обидва терміни. Лише у XVIII ст. термін "діагональ" став загальновживаним. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ïàðàëåëîãðàìîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 3. Ùî íàçèâàþòü âèñîòîþ ïàðàëåëîãðàìà? 4. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà.

15. 15. 16 Розділ 1 Початковий рівень 34. Ñåðåä ÷îòèðèêóòíèêіâ, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêàõ 24-29, óêàæіòü ïàðàëåëîãðàìè. Ìàë. 24 Ìàë. 25 Ìàë. 26 Ìàë. 27 Ìàë. 28 Ìàë. 29 35. Íàêðåñëіòü ïàðàëåëîãðàì ABCD, ó ÿêîãî êóò D òóïèé. 36. Íàêðåñëіòü ïàðàëåëîãðàì KLMN, ó ÿêîãî êóò K ãîñòðèé. 37. (Óñíî.) Îäíà çі ñòîðіí ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 5 ñì. ßêà äîâæèíà ñòîðîíè, ùî їé ïðîòèëåæíà? 38. Îäèí ç êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 70. Çíàéäіòü іíøі éîãî êóòè. 39. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâ- íþє 100. Середній рівень 40. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ó ÿêîãî îäíà ñòîðîíà äîðіâíþє 12 ñì, à äðóãà - íà 3 ñì áіëüøà çà íåї. 41. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ó ÿêîãî îäíà ñòîðîíà äîðіâíþє 18 ñì, à äðóãà - óäâі÷і âіä íåї ìåíøà. 42. Çíàéäіòü óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ ç íèõ äîðіâíþє 120; 2) îäèí ç íèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé; 3) îäèí ç íèõ óòðè÷і ìåíøèé âіä äðóãîãî; 4) äâà ç íèõ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 43. Çíàéäіòü óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ ç íèõ äîðіâíþє 200; 2) îäèí ç íèõ íà 40 ìåíøèé âіä äðóãîãî; 3) îäèí ç íèõ óäâі÷і áіëüøèé çà äðóãèé; 4) ãðàäóñíі ìіðè äâîõ ç íèõ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 4 : 5. 44. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD BAD  80, ACD  50. Çíàé- äіòü ACB і  ABC. 45. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD BAC  35, BCA  40. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà.

16. 16. 17 ЧОТИРИКУТНИКИ 46. (Óñíî.) ßêі ïîìèëêè äîïóùåíî â çîáðàæåííі ïàðàëåëî- ãðàìà íà ìàëþíêàõ 30-32? Ìàë. 30 Ìàë. 31 Ìàë. 32 47. Ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî: 1) îäíà ç íèõ íà 4 ñì áіëüøà çà äðóãó; 2) âîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 3 : 7. 48. Ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 36 äì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî: 1) îäíà ç íèõ íà 2 äì ìåíøà âіä äðóãîї; 2) îäíà ç íèõ ó 5 ðàçіâ áіëüøà çà äðóãó. 49. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïàðàëåëîãðàìà ABCD. Çíàéäіòü äіàãîíàëü AC, ÿêùî BD  20 ñì, AB  15 ñì, à ïåðèìåòð òðèêóòíèêà AOB äîðіâíþє 32 ñì. 50. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD (ìàë. 33) 1  2, 3  4. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 51. {ABC  {CDA (ìàë. 33). Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 52. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè. 53. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà ñòîðîíàìè і äіàãîíàëëþ. Достатній рівень 54. Áіñåêòðèñà êóòà ïàðàëåëîãðàìà ïåðåòèíàє éîãî ñòîðîíó ïіä êóòîì 48. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà. 55. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD áіñåêòðèñà êóòà A äіëèòü ñòîðî- íó BC íà âіäðіçêè BM  5 ñì і MC  7 ñì. Çíàéäіòü ïåðè- ìåòð ïàðàëåëîãðàìà. 56. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD AB  4 ñì, BC  12 ñì. Áіñåêòðè- ñà êóòà A ïåðåòèíàє ñòîðîíóA BC ó òî÷öіC P. Çíàéäіòü BP і PC. 57. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà ñòîðîíîþ і äіàãîíàëÿìè. 58. Ïîáóäóéòå ïàðàëåëîãðàì çà äâîìà äіàãîíàëÿìè і êóòîì ìіæ íèìè. Ìàë. 33

17. 17. 18 Розділ 1 59. Íà ñòîðîíàõ AD і BC ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 34) ïîçíà÷åíî òî÷êè M і K òàê, ùî ABM  CDK. Äîâåäіòü, ùî BMDK - ïàðàëåëîãðàì. 60. Íà ñòîðîíàõ AD і BC ïàðàëåëîãðàìà ABCD (ìàë. 34) ïîçíà÷åíî òî÷êè M і K òàê, ùî AM  KC. Äîâåäіòü, ùî BMDK - ïàðàëåëîãðàì. 61. Äîâåäіòü, ùî áіñåêòðèñè äâîõ ñóñіä- íіõ êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà âçàєìíî ïåð- ïåíäèêóëÿðíі. 62. Ó ïàðàëåëîãðàìі ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 60. Âèñîòà ïàðà- ëåëîãðàìà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, äіëèòü ïðîòèëåæíó ñòîðîíó íà âіäðіçêè 3 ñì і 5 ñì, ïî÷èíàþ÷è âіä âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëî- ãðàìà. 63. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD AB  6 ñì, B  120. Âèñîòà BK äіëèòü ñòîðîíó AD íà äâà ðіâíèõ âіäðіçêè. Çíàéäіòü ïåðè- ìåòð ïàðàëåëîãðàìà. 64. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà A ïðîâå- äåíî âèñîòè AL і AK. LAK  140. Çíàéäіòü êóò C ïàðà- ëåëîãðàìà. 65. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïðîâåäå- íî âèñîòè BM і BN. MBN  70. Çíàéäіòü êóò D ïàðàëå- ëîãðàìà. Високий рівень 66. Áіñåêòðèñà êóòà B ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіëèòü ñòîðîíó AD íà äâà âіäðіçêè AK і KD òàê, ùî AK - KD  1 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 40 ñì. 67. Áіñåêòðèñà êóòà A ïàðàëåëîãðàìàA ABCD äіëèòü ñòîðîíó BC íà äâà âіäðіçêè BK і KC òàê, ùî BK : KC  3 : 7. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 78 ñì. 68. Äâà êóòè ïàðàëåëîãðàìà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 5 : 7. Çíàéäіòü êóò ìіæ âèñîòàìè ïàðàëåëîãðàìà, ïðîâåäåíèìè ç âåðøèíè: 1) òóïîãî êóòà; 2) ãîñòðîãî êóòà. 69. Îäèí ç êóòіâ ïàðàëåëîãðàìà íà 12 áіëüøèé çà äðóãèé. Çíàéäіòü êóò ìіæ âèñîòàìè ïàðàëåëîãðàìà, ïðîâåäåíèìè ç âåðøèíè: 1) ãîñòðîãî êóòà; 2) òóïîãî êóòà. Ìàë. 34

18. 18. 19 ЧОТИРИКУТНИКИ 70. Äîâåäіòü, ùî òðè âèñîòè òðèêóòíèêà àáî їõ ïðîäîâ- æåííÿ ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі (îðòîöåíòðі òðè- êóòíèêà). Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé AH1, BH2, CH3 - âèñîòè ãîñ- òðîêóòíîãî òðèêóòíèêà ABC (ìàë. 35). Ïðîâåäåìî ÷åðåç âåðøèíè òðèêóòíèêà ïðÿìі, ïàðàëåëüíі ïðîòèëåæíèì ñòîðîíàì. Îäåðæèìî òðèêóòíèê A1B1C1. ×îòèðèêóòíèê ABA1C - ïàðàëåëîãðàì (çà ïîáóäîâîþ). Òîìó BA1  AC. Àíàëîãі÷íî ACBC1 - ïàðàëåëîãðàì і C1B  AC. Îòæå, C1B  BA1, òî÷êà B - ñåðåäèíà A1C1. Îñêіëüêè BH2  AC і AC || A1C1, òî BH2  A1C1. Òîìó BH2 íàëåæèòü ñåðåäèííîìó ïåðïåíäèêóëÿðó äî ñòîðîíè A1C1 òðèêóòíèêà A1B1C1. Àíàëîãі÷íî AH1 і CH3 íàëåæàòü ñåðåäèííèì ïåðïåí- äèêóëÿðàì äî äâîõ іíøèõ ñòîðіí öüîãî òðèêóòíèêà. ßê âіäîìî, ñåðå- äèííі ïåðïåíäèêóëÿðè äî ñòîðіí òðèêóòíèêà ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. Îòæå, AH1, BH2 і CH3 ïåðåòè- íàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. 2) ßêùî {ABC - ïðÿìîêóòíèé, íàïðèêëàä C  90, òî î÷åâèäíî, ùî òðè âèñîòè ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі C. 3) ßêùî {ABC - òóïîêóòíèé, òî ïðîäîâæåííÿ òðüîõ âèñîò òðèêóòíèêà ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. Äîâåäåí- íÿ àíàëîãі÷íå äî äîâåäåííÿ ó ï. 1.  Вправи для повторення 71. Çíàéäіòü äðóãèé ãîñòðèé êóò ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíè- êà, ÿêùî ïåðøèé äîðіâíþє: 1) 20; 2) 65. 72. Äâі ñòîðîíè òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 7,2 ñì і 2,5 ñì. ßêîìó íàéáіëüøîìó öіëîìó ÷èñëó ñàíòèìåòðіâ ìîæå äîðіâíþâàòè òðåòÿ ñòîðîíà? 73. Çîâíіøíіé êóò òðèêóòíèêà ó 2 ðàçè áіëüøèé çà îäèí ç âíóòðіøíіõ êóòіâ, íå ñóìіæíèé ç íèì. Äîâåäіòü, ùî òðè- êóòíèê є ðіâíîáåäðåíèì. 74. ×è ìîæíà ïîáóäóâàòè ÷îòèðèêóòíèê çі ñòîðîíàìè 6 ñì, 6 ñì, 4 ñì і 2 ñì òà êóòîì 60 ìіæ ðіâíèìè ñòîðîíà- ìè? Ìàë. 35

19. 19. 20 Розділ 1 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 75. Çíàéäіòü ïåðèìåòð і ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþþòü: 1) 5 ñì і 7 ñì; 2) 2 äì і 14 ñì. Цікаві задачі для учнів неледачих 76. Âèäàòíі óêðàїíöі. Çàïèøіòü ïî ãîðèçîíòàëÿõ ïðіçâèùà âèäàòíèõ óêðàїíöіâ (çà ïîòðåáè âèêîðèñòàéòå äîäàòêîâó ëіòåðàòóðó òà Іíòåðíåò) і îòðèìàєòå ó âèäіëåíîìó ñòîâï÷è- êó іì'ÿ äàâíüîãðåöüêîãî ôіëîñîôà, ìàòåìàòèêà, ðåëіãіéíî- ãî òà ïîëіòè÷íîãî äіÿ÷à. 1 2 3 4 5 6 7 1. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé íàóêîçíàâåöü ó ãàëóçі çâàðþ- âàëüíèõ ïðîöåñіâ, äîêòîð òåõíі÷íèõ íàóê, Ãåðîé Óêðàїíè. 2. Óêðàїíñüêèé ïîëіòèê, ïóáëіöèñò, ëіòåðàòóðíèé êðèòèê, ïðîâіäíèê íàöіîíàëüíî-äåìîêðàòè÷íîãî âèçâîëüíîãî ðóõó êіíöÿ 1980-1990-õ ðîêіâ, Ãåðîé Óêðàїíè. 3. Óêðàїíñüêèé ïèñüìåííèê, ïîåò, ïóáëіöèñò, ïåðåêëàäà÷, ó÷åíèé, ãðîìàäñüêèé і ïîëіòè÷íèé äіÿ÷ (1856-1916). 4. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé ëіêàð ñâіòîâîãî ðіâíÿ, ó÷åíèé ó ãàëóçÿõ ìåäèöèíè, áіîêіáåðíåòèêè; éîãî іì'ÿì íàçâàíî Іíñòèòóò ñåðöåâî-ñóäèííîї õіðóðãії, ÿêèé âіí î÷îëþâàâ ïðîòÿãîì äâàäöÿòè ðîêіâ. 5. Ïîëіòè÷íèé äіÿ÷ і ïóáëіöèñò, îðãàíіçàòîð óêðàїíñüêîї íàóêè; Ãîëîâà Öåíòðàëüíîї Ðàäè Óêðàїíñüêîї Íàðîäíîї Ðåñïóáëіêè. 6. Âèäàòíèé óêðàїíñüêèé ïîåò, ïèñüìåííèê, õóäîæíèê, ãðîìàäñüêèé і ïîëіòè÷íèé äіÿ÷, ôîëüêëîðèñò, åòíîãðàô. 7. Óêðàїíñüêèé ïðîñâіòèòåëü-ãóìàíіñò, ôіëîñîô, ïîåò, ïåäàãîã.

20. 20. 21 ЧОТИРИКУТНИКИ 3. Прямокутником називають паралелограм, у якого всім кути прямі (мал. 36). Îñêіëüêè ïðÿìîêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì, òî âіí ìàє âñі âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. У прямокутнику протилежні сторони рівні. 2. Периметр прямокутника PABCDP = 2(D AB + BC). 3. Діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл. Êðіì öüîãî, ïðÿìîêóòíèê ìàє ùå âëàñòèâîñòі. 4. Діагоналі прямокутника рівні. Ìàë. 36 Ìàë. 37 Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé äàíî ïðÿìîêóòíèê ABCD (ìàë. 37). {ACD  {DBA (çà äâîìà êàòåòàìè). Òîìó AC  BD.  5. Точка перетину діагоналей прямокутника рівновіддале- на від усіх його вершин. Îñêіëüêè AC  BD, à AO  OC, BO  OD (ìàë. 37), òî, î÷å- âèäíî, ùî AO  BO  OC  OD. Çàäà÷à 1. Äіàãîíàëü äіëèòü êóò ïðÿìîêóòíèêà ó âіäíî- øåííі 2 : 3. Çíàéäіòü êóò ìіæ äіàãîíàëÿìè äàíîãî ïðÿìîêóò- íèêà. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) Íåõàé ADO : ODC  2 : 3 (ìàë. 37). Ïîçíà÷èìî ADO  2x, ODC  3x. Òîäі 2x + 3x  90, x  18. Òîìó ADO  2  18  36; ODC  3  18  54. 2) {OCD - ðіâíîáåäðåíèé (áî DO  OC). Òîìó OCD   ODC  54. Ó {OCD: COD  180 - 2  54  72. Îòæå, êóò ìіæ äіàãîíàëÿìè äàíîãî ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 72. Â і ä ï î â і ä ü. 72. ПРЯМОКУТНИК І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

21. 21. 22 Розділ 1 Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà). ßêùî ó ïàðàëåëî- ãðàìà: 1) óñі êóòè ðіâíі, àáî 2) îäèí êóò ïðÿìèé, àáî 3) äіàãî- íàëі ðіâíі, - òî ïàðàëåëîãðàì є ïðÿìîêóòíèêîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Îñêіëüêè âñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà ðіâ- íі, à їõ ñóìà äîðіâíþє 360, òî êîæíèé ç íèõ äîðіâíþє 360 : 4  90. À òîìó ïàðàëåëîãðàì є ïðÿìîêóòíèêîì. 2) Íåõàé êóò A ïàðàëåëîãðàìà ABCD ïðÿìèé (ìàë. 36). Òîäі C  A  90; B  D  180 - A  180 - 90   90. Îòæå, óñі êóòè ïàðàëåëîãðàìà ïðÿìі, à òîìó âіí є ïðÿ- ìîêóòíèêîì. 3) Íåõàé ó ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіàãîíàëі AC і BD ðіâíі (ìàë. 37). AD - ñïіëüíà ñòîðîíà òðèêóòíèêіâ ABD і DCA. Îòæå, {ABD  {DCA (çà òðüîìà ñòîðîíàìè). ÒîìóA BAD  CDA. Àëå æ ABC  ADC, BCD  BAD. Ó ïàðàëåëîãðàìà âñі êóòè ðіâíі ìіæ ñîáîþ. Òîìó âіí є ïðÿìîêóòíèêîì (çà ï. 1 öієї òåîðåìè).  Çàäà÷à 2. Ó êîëі іç öåíòðîì O ïðîâå- äåíî äіàìåòðè AC і BD (ìàë. 38). Âèçíà÷- òå âèä ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. 1) Îñêіëüêè AO  OC, BO  OD (ÿê ðàäіóñè), òî, çà îçíàêîþ ïàðàëåëîãðàìà, ìàєìî, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Îñêіëüêè AC  BD (ÿê äіàìåòðè), òî, âèêîðèñòîâóþ÷è îçíàêó ïðÿìîêóò- íèêà, ìàєìî, ùî ïàðàëåëîãðàì ABCD є ïðÿìîêóòíèêîì. Â і ä ï î â і ä ü. Ïðÿìîêóòíèê. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíèêîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ïðÿìîêóòíèêà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ïðÿìîêóòíèêà. Початковий рівень 77. ßêі іç ÷îòèðèêóòíèêіâ, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêàõ 39-43, є ïðÿìîêóòíèêàìè? 78. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëü AC äîðіâíþє 5 ñì. ßêà äîâæèíà äіàãîíàëі BD? Ìàë. 38

22. 22. 23 ЧОТИРИКУТНИКИ Ìàë. 39 Ìàë. 40 Ìàë. 41 Ìàë. 42 Ìàë. 43 79. Ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü 4 ñì і 7 ñì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 80. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþ- þòü 2 ñì і 5 ñì. 81. ßêùî ÷îòèðèêóòíèê є ïðÿìîêóòíèêîì, òî éîãî äіàãîíàëі ìіæ ñîáîþ ðіâíі. ×è ïðàâèëüíå îáåðíåíå òâåðäæåííÿ? Íà- âåäіòü ïðèêëàä. Середній рівень 82. Ñòîðîíà BC ïðÿìîêóòíèêà ABCD äîðіâíþє 8 ñì, à äіàãî- íàëü BD - 12 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðèêóòíèêà BOC, äå O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà. 83. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà ABCD. AC  12 ñì, ïåðèìåòð òðèêóòíèêà AOB äîðіâíþє 16 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíó AB. 84. (Óñíî.) Ùî ìîæíà ñêàçàòè ïðî âèä ïàðàëåëîãðàìà, êîëè âіäîìî, ùî: 1) æîäåí ç éîãî êóòіâ íå є ãîñòðèì; 2) æîäåí ç éîãî êóòіâ íå є òóïèì; 3) âіí ìàє òðè ðіâíèõ ìіæ ñîáîþ êóòè? 85. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó òðè êóòè ïðÿìі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ïðÿìîêóòíèê. 86. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі êóòè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ïðÿìîêóòíèê. 87. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, êîëè âіäîìî, ùî: 1) îäíà ç íèõ íà 2 ñì áіëüøà çà äðóãó; 2) ñòîðîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 88. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 50 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, êîëè âіäîìî, ùî: 1) îäíà ç íèõ íà 5 ñì ìåíøà âіä äðóãîї; 2) ñòîðîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 4 : 1.

23. 23. 24 Розділ 1 89. (Óñíî.) Íà ìàëþíêó 44 çîáðàæåíî ïðÿìîêóòíèê ABCD. Çíàéäіòü óñі ðіâíі ìіæ ñîáîþ êóòè. 90. Çíàéäіòü çà ìàëþíêîì 44: 1) 3, ÿêùî 8  52; 2) 2, ÿêùî 10  40. 91. Çíàéäіòü çà ìàëþíêîì 44: 1) 5, ÿêùî 2  37; 2) 12, ÿêùî 3  30. 92. Äіàãîíàëü ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü êóò ïðÿìîêóòíèêà íà äâà êóòè, îäèí ç ÿêèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé. Çíàéäіòü öі êóòè. Достатній рівень 93. Äîâåäіòü, ùî íàâêîëî ïðÿìîêóòíèêà ìîæíà îïèñàòè êîëî. 94. Çíàéäіòü êóò ìіæ ìåíøîþ ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ ïðÿìî- êóòíèêà, ÿêùî âіí: 1) íà 15 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè ìåíøîї ñòîðîíè; 2) íà 50 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè áіëüøîї ñòîðîíè. 95. Çíàéäіòü êóò ìіæ áіëüøîþ ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ ïðÿìî- êóòíèêà, ÿêùî âіí: 1) íà 90 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè áіëüøîї ñòîðîíè; 2) íà 40 ìåíøèé âіä êóòà ìіæ äіàãîíàëÿìè, ÿêèé ëåæèòü ïðîòè ìåíøîї ñòîðîíè. 96. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі O, E - ñåðåäèíà AB, CAB  70. Çíàéäіòü DOE. 97. Ó ïðÿìîêóòíèêó ABCD äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі O. OP - áіñåêòðèñà òðèêóòíèêà AOB, DOP  130. Çíàéäіòü CAB. 98. Ó ïàðàëåëîãðàìі ABCD ç ãîñòðèì êóòîì A äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ âA òî÷öі O. Íà âіäðіçêàõ AO і OC ïîçíà- ÷åíî òî÷êè M і N òàê, ùî OM  OB, ON  OD. Äîâåäіòü, ùî BMDN - ïðÿ- ìîêóòíèê. 99. Òî÷êè Â і D íàëåæàòü êîëó іç öåíò- ðîì Î, AC - äіàìåòð êîëà, AD  BC (ìàë. 45). Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïðÿ- ìîêóòíèê. Ìàë. 44 Ìàë. 45

24. 24. 25 ЧОТИРИКУТНИКИ 100. Ïåðïåíäèêóëÿðè, ïðîâåäåíі ç òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà äî äâîõ éîãî ñóñіäíіõ ñòîðіí, äîðіâíþþòü 4 ñì і 9 ñì. Âèçíà÷òå ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. 101. Áіñåêòðèñà îäíîãî ç êóòіâ ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü éîãî ñòîðîíó íàâïіë. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî áіëüøà ñòîðîíà äîðіâíþє 20 ñì. 102. Áіñåêòðèñà îäíîãî ç êóòіâ ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü éîãî ñòîðîíó íàâïіë. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ìåíøà ñòîðîíà äîðіâíþє 8 äì. Високий рівень 103. Íà ìàëþíêó 46 ABCD - ïðÿìîêóò- íèê, BK  AC, ACD  60. 1) OK  a. Çíàéäіòü: DB і AB; 2) AC  m. Çíàéäіòü: AK і CD. 104. Íà ìàëþíêó 46 ABCD - ïðÿìîêóò- íèê, BK  AC, ACD  60, AB  b. Çíàéäіòü BD і OK. 105. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC ç ãіïîòå- íóçîþ BC  35 ñì âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê KLMN òàê, ùî òî÷êè K і L ëåæàòü íà ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè M і N - íà êàòåòàõ. KL : KN  3 : 2. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿ- ìîêóòíèêà. 106. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê, êàòåò ÿêîãî äîðіâíþє 20 ñì, âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê, ÿêèé ìàє ç òðè- êóòíèêîì ñïіëüíèé ïðÿìèé êóò, à âåðøèíà ïðîòèëåæíîãî êóòà íàëåæèòü ãіïîòåíóçі. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. Вправи для повторення 107. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïàðàëåëîãðàìà ABCD ïðî- âåäåíî âèñîòó BK. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî . 108. 1) Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ òðèêóòíèêà є ñåðåä- íіì àðèôìåòè÷íèì äâîõ іíøèõ êóòіâ. Çíàéäіòü öåé êóò. 2) Ãðàäóñíà ìіðà îäíîãî ç êóòіâ ÷îòèðèêóòíèêà є ñåðåäíіì àðèôìåòè÷íèì òðüîõ іíøèõ êóòіâ. Çíàéäіòü öåé êóò. 109. ×åðåç òî÷êó P, ùî íàëåæèòü âíóòðіøíіé îáëàñòі êóòà ABC, ïðîâåäіòü ïðÿìó òàê, ùîá її âіäðіçîê, ÿêèé ëåæèòü ìіæ ñòîðîíàìè êóòà, äіëèâñÿ òî÷êîþ Ð íàâïіë. Ìàë. 46

25. 25. 26 Розділ 1 Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 110. Äàíî: AB  BC  CD  DA (ìàë. 47). Äîâåñòè: A  C, B  D. Цікаві задачі для учнів неледачих 111. ×è ìîæíà ðîçðіçàòè êâàäðàò ðîçìі- ðîì 6 6 íà ïðÿìîêóòíèêè ðîçìіðîì 1  4? 4. Ромбом називають паралелограм, у якого всі стороним рівні (мал. 48). Îñêіëüêè ðîìá є ïàðàëåëîãðàìîì, òî âіí ìàє âñі âëàñòè- âîñòі ïàðàëåëîãðàìà. 1. Сума будь-яких двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. 2. У ромба протилежні кути рівні. 3. Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл. 4. Периметр ромба PABCDP = 4D AB. Êðіì òîãî, ðîìá ìàє ùå òàêó âëàñòèâіñòü. 5. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і ділять його кути навпіл. Ìàë. 48 Ìàë. 49 Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé AC і BD - äіàãîíàëі ðîìáà ABCD (ìàë. 49), O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé. Îñêіëüêè AB  AD і DO  OB, òî AO - ìåäіàíà ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà ABD, ïðîâåäåíà äî îñíîâè BD. Òîìó AO є òàêîæ âèñîòîþ і áіñåêòðè- ñîþ òðèêóòíèêà ABD. Ìàë. 47 РОМБ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

26. 26. 27 ЧОТИРИКУТНИКИ Îòæå, AC  BD і DAO  BAO.  Àíàëîãі÷íî ìîæíà äîâåñòè, ùî äіàãîíàëü AC äіëèòü íàâïіë êóò DCB, à äіàãîíàëü BD äіëèòü íàâïіë êóòè ABC і ADC. Çàäà÷à 1. Êóò ìіæ âèñîòîþ і äіàãîíàëëþ ðîìáà, ïðîâåäåíèìè ç îäíієї âåðøèíè, äîðіâíþє 28. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. Ð î ç â' ÿ ç à í í ÿ. BD - äіàãîíàëü ðîìáà ABCD, à BK - éîãî âèñîòà (ìàë. 50), KBD  28 (çà óìîâîþ). Ìàë. 50 1) Ó {BKD BDK  90 - 28  62. 2) Îñêіëüêè DB äіëèòü êóò ADC íàâïіë, òî ADC   2  62  124. 3) Òîäі ABC  ADC  124; A  C  180 - 124  56. Â і ä ï î â і ä ü. 124, 56, 124, 56. Ðîçãëÿíåìî îçíàêè ðîìáà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè ðîìáà). ßêùî â ïàðàëåëîãðàìі: 1) äâі ñóñіäíі ñòîðîíè ðіâíі, àáî 2) äіàãîíàëі ïåðåòèíàþòüñÿ ïіä ïðÿìèì êóòîì, àáî 3) äіàãîíàëü äіëèòü íàâïіë êóòè ïàðàëå- ëîãðàìà, - òî ïàðàëåëîãðàì є ðîìáîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ABCD - ïàðàëåëîãðàì (äèâ. ìàë. 49). Îñêіëüêè AB  AD (çà óìîâîþ) і AB  CD, AD  BC (çà âëàñòèâіñòþ ïàðàëåëîãðàìà), òî AB  AD  BC  ÑD. Îòæå, ABCD - ðîìá. 2) Íåõàé AC  BD (ìàë. 49). Îñêіëüêè OB  OD (çà âëàñ- òèâіñòþ ïàðàëåëîãðàìà), òî {AOB  {AOD (çà äâîìà êàòåòà- ìè). Òîìó AB  AD. Çà ï. 1 öієї òåîðåìè ABCD - ðîìá. 3) Äіàãîíàëü DB äіëèòü íàâïіë êóò D ïàðàëåëîãðàìà ABCD, òîáòî ADB  BDC (çà óìîâîþ). Îñêіëüêè ïàðàëåëüíі ïðÿìі AB і DC ïåðåòíóëè ñі÷íîþ DB, òî ABD  BDC (ÿê âíóò- ðіøíі ðіçíîñòîðîííі). Îòæå, ADB  ABD. Òîìó çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà {ABD - ðіâíîáåäðåíèé і AD  AB. Çà ï. 1 öієї òåîðåìè ABCD - ðîìá. 

27. 27. 28 Розділ 1 Çàäà÷à 2. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі ñòîðîíè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - ðîìá. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé AB  BC  CD  DA (äèâ. ìàë. 48). 1) Îñêіëüêè â ÷îòèðèêóòíèêó ABCD ïðîòèëåæíі ñòîðî- íè ïîïàðíî ðіâíі, òî çà îçíàêîþ ïàðàëåëîãðàìà ìàєìî, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. 2) Ó ïàðàëåëîãðàìà ABCD ñóñіäíі ñòîðîíè ðіâíі. Òîìó ABCD - ðîìá (çà îçíàêîþ ðîìáà).  Слово "ромб" грецького походження, у давнину воно означало тіло, що обертається, - веретено, дзиґу. Ромб тоді пов'язували з перерізом веретена, на яке намотано нитки. У "Началах" Евкліда термін "ромб" зустрічається лише один раз, а властивості ромба Евклід взагалі не розглянув. 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü ðîìáîì? 2. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ðîìáà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè ðîìáà. Початковий рівень 112. (Óñíî.) ßêі іç ÷îòèðèêóòíèêіâ íà ìàëþíêàõ 51-55 є ðîì- áàìè? Ìàë. 51 Ìàë. 52 Ìàë. 53 Ìàë. 54 Ìàë. 55 113. Íàêðåñëіòü ðîìá ABCD, ó ÿêîãî êóò B òóïèé. 114. Íàêðåñëіòü ðîìá ABCD, ó ÿêîãî êóò A ãîñòðèé. 115. Ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 28 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíó. 116. Ñòîðîíà ðîìáà äîðіâíþє 5 äì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 117. Ãîñòðèé êóò ðîìáà äîðіâíþє 50. ßêèé êóò óòâîðþє äіàãîíàëü, ïðîâåäåíà іç öüîãî êóòà, çі ñòîðîíîþ ðîìáà? 118. Òóïèé êóò ðîìáà äîðіâíþє 110. ßêèé êóò óòâîðþє äіàãî- íàëü, ïðîâåäåíà іç öüîãî êóòà, çі ñòîðîíîþ ðîìáà?

28. 28. 29 ЧОТИРИКУТНИКИ 119. Äіàãîíàëü ðîìáà óòâîðþє çі ñòîðîíîþ êóò 60. Çíàéäіòü òóïèé êóò ðîìáà. 120. Äіàãîíàëü ðîìáà óòâîðþє çі ñòîðîíîþ êóò 20. Çíàéäіòü ãîñòðèé êóò ðîìáà. Середній рівень 121. Ó ðîìáі ABCD êóò A äîðіâíþє 36. Çíàéäіòü êóòè òðèêóò- íèêà AOB, äå O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé. 122. O - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ðîìáà ABCD, B  118. Çíàéäіòü êóòè òðèêóòíèêà BOC. 123. Ñóìà äîâæèí òðüîõ ñòîðіí ðîìáà äîðіâíþє 15 ñì. Çíàé- äіòü éîãî ïåðèìåòð. 124. Ñóìà äîâæèí äâîõ ñòîðіí ðîìáà äîðіâíþє 18 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ðîìáà. 125. ABCD - ðîìá, 2  66 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 1. 126. ABCD - ðîìá, 1  58 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 2. 127. ABCD - ðîìá, 1  55 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 3. 128. ABCD - ðîìá, 3  50 (ìàë. 56). Çíàéäіòü 1. 129. Ó ðîìáі ABCD AB  BD. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 130. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü ðîìá і ïàðàëåëî- ãðàì? 131. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ éîãî êóòіâ äîðіâíþє 80; 2) îäèí ç íèõ íà 20 áіëüøèé çà äðóãèé. 132. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî: 1) ñóìà äâîõ éîãî êóòіâ äîðіâíþє 210; 2) îäèí ç íèõ íà 50 ìåíøèé âіä äðóãîãî. 133. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: 1) ÿêùî â ÷îòèðèêóòíèêó äіàãîíàëі ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є ðîìáîì; 2) ÿêùî â ÷îòèðèêóòíèêó äіàãîíàëі íå ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí íå ìîæå áóòè ðîìáîì; 3) іñíóє ðîìá, ÿêèé є ïðÿìîêóòíèêîì; 4) æîäåí ïðÿìîêóòíèê íå є ðîìáîì? Ìàë. 56

29. 29. 30 Розділ 1 Достатній рівень 134. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãî- íàëÿìè êóòè, ðіçíèöÿ ÿêèõ äîðіâíþє 10. 135. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãî- íàëÿìè êóòè, ÿêі âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3. 136. Ïîáóäóéòå ðîìá: 1) çà ñòîðîíîþ і äіàãîíàëëþ; 2) çà äіàãîíàëÿìè. 137. Ïîáóäóéòå ðîìá çà ñòîðîíîþ і êóòîì. 138. Ó ðîìáі ABCD ç âåðøèíè òóïîãî êóòà B ïðîâåäåíî âèñî- òè BM і BN. Äîâåäіòü, ùî BM  BN. 139. Ó ðîìáі ABCD ç âåðøèí òóïèõ êóòіâ ïðîâåäåíî âèñîòè BK і DL. Äîâåäіòü, ùî BK  DL. 140. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà ðîìáà, óòâî- ðþþòü ìіæ ñîáîþ êóò 110. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 141. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè òóïîãî êóòà ðîìáà, óòâîðþ- þòü ìіæ ñîáîþ êóò 50. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. Високий рівень 142. Äіàãîíàëü ðîìáà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, óòâî- ðþє ç âèñîòîþ, ïðîâåäåíîþ іç öієї ñàìîї âåðøèíè, êóò 30. Ìåíøà äіàãîíàëü ðîìáà äîðіâíþє a ñì. Çíàéäіòü: 1) êóòè ðîìáà; 2) ïåðèìåòð ðîìáà. 143. Ó ðîìáі âèñîòà, ïðîâåäåíà ç âåðøèíè òóïîãî êóòà, äіëèòü ñòîðîíó ðîìáà íàâïіë. Çíàéäіòü: 1) êóòè ðîìáà; 2) ïåðèìåòð ðîìáà, ÿêùî éîãî ìåíøà äіàãîíàëü äîðіâíþє b ñì. 144. Íà äіàãîíàëі AC ðîìáà ABCD ïîçíà÷åíî òî÷êè M іM N òàêі,N ùî AM  CN. Äîâåäіòü, ùî ÷îòèðèêóòíèê DMBN є ðîìáîìN (ðîçãëÿíüòå äâà âèïàäêè ðîçìіùåííÿ òî÷îê M іM N). 145. Äîâåäіòü, ùî ñåðåäèíè ñòîðіí ïðÿìîêóòíèêà є âåðøèíà- ìè ðîìáà. 146. Ó ðіâíîñòîðîííіé òðèêóòíèê ABC âïèñàíî ðîìá AMNK òàê, ùî òðèêóòíèê і ðîìá ìàþòü ñïіëüíèé êóò A, à òî÷êà N ëåæèòü íà ñòîðîíі BC. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðèêóòíèêà, ÿêùî ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 40 ñì.

30. 30. 31 ЧОТИРИКУТНИКИ Вправи для повторення 147. Ñòîðîíè ïàðàëåëîãðàìà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 5 : 2. Çíàé- äіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî ðіçíèöÿ öèõ ñòîðіí äîðіâíþє 15 ñì. 148. Îäèí ç êóòіâ òðèêóòíèêà äîðіâíþє ñóìі äâîõ іíøèõ. Çíàéäіòü íàéáіëüøó ñòîðîíó öüîãî òðèêóòíèêà, ÿêùî ìåäіàíà, ïðîâåäåíà äî íåї, äîðіâíþє 5 ñì. 149. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє 2p2 ñì. ×è ìîæå îäíà ç éîãî ñòîðіí äîðіâíþâàòè: 1) (p(( - 1) ñì; 2) p ñì; 3) (p(( + 1) ñì? 150. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD áіñåêòðèñà êóòà A ïåðåòèíàє áіñåêòðèñè êóòіâ B і D ïіä ïðÿìèì êóòîì. Âèçíà÷òå âèä ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 151. Çíàéäіòü ïåðèìåòð і ïëîùó êâàäðàòà, ñòîðîíà ÿêîãî äî- ðіâíþє: 1) 5 ñì; 2) 2,1 äì; 3) ì; 4) äì. Цікаві задачі для учнів неледачих 152. (Êèїâñüêà ìіñüêà îëіìïіàäà, 1987 ð.) Âïèñàíå ó òðèêóò- íèê ABC êîëî äîòèêàєòüñÿ äî ñòîðîíè BC ó òî÷öі K. Äîâåäіòü, ùî âіäðіçîê AK äîâøèé çà äіàìåòð êîëà. 5. Квадратом називають прямокутник, у якого всі стороним рівні. Íà ìàë. 57 çîáðàæåíî êâàäðàò ABCD. Ïðÿìîêóòíèê є ïàðà- ëåëîãðàìîì, òîìó і êâàäðàò - ïàðàëåëîãðàì, ó ÿêîãî âñі ñòî- ðîíè ðіâíі, òîáòî âіí є і ðîìáîì. Îòæå, êâàäðàò ìàє âëàñòè- âîñòі ïðÿìîêóòíèêà і ðîìáà. Ñôîðìóëþєìî âëàñòèâîñòі êâàäðàòà. 1. Усі кути квадрата прямі. 2. Периметр квадрата PABCDP = 4D AB. 3. Діагоналі квадрата між собою рівні (мал. 58). КВАДРАТ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

31. 31. 32 Розділ 1 4. Діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл (мал. 58). 5. Діагоналі квадрата ділять його кути навпіл, тобто утво- рюють кути 45° зі сторонами квадрата (мал. 58). 6. Точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від усіх його вершин: AO =O BO =O CO =O DO. Ìàë. 57 Ìàë. 58 Ìàë. 59 Çàäà÷à 1. Òî÷êè K і M íàëåæàòü âіäïîâіäíî äіàãîíàëÿì BD і AC êâàäðàòà ABCD, ïðè÷îìó , . Äîâå- äіòü, ùî {ADM  {BAK (ìàë. 59). Ä î â å ä å í í ÿ. 1) MAD  ABK  45, AD  AB (ÿê ñòîðîíè êâàäðàòà). 2) Îñêіëüêè AC  BD (ÿê äіàãîíàëі êâàäðàòà) і , , òî AM  BK. 3) Òîìó {ADM  {BAK (çà äâîìà ñòîðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè).  Ðîçãëÿíåìî îçíàêè êâàäðàòà. Ò å î ð å ì à (îçíàêè êâàäðàòà). 1) ßêùî äіàãîíàëі ïðÿ- ìîêóòíèêà âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є êâàäðàòîì. 2) ßêùî äіàãîíàëі ðîìáà ìіæ ñîáîþ ðіâíі, òî âіí є êâàäðàòîì. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Ïðÿìîêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì, à ïàðàëåëîãðàì іç âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíèìè äіàãîíàëÿìè є ðîìáîì. Îòæå, ó çàäàíîãî ïðÿìîêóòíèêà âñі ñòîðîíè ðіâíі, à òîìó âіí є êâàäðàòîì. 2) Ðîìá є ïàðàëåëîãðàìîì, à ïàðàëåëîãðàì ç ðіâíèìè äіàãî- íàëÿìè є ïðÿìîêóòíèêîì. Îòæå, ó ðîçãëÿäóâàíîãî ðîìáà âñі êóòè ïðÿìі, à òîìó âіí є êâàäðàòîì.  Çàäà÷à 2. Äîâåäіòü, ùî êîëè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі ñòîðîíè ðіâíі і âñі êóòè ðіâíі, òî öåé ÷îòèðèêóòíèê - êâàäðàò.

32. 32. 33 ЧОТИРИКУТНИКИ Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Îñêіëüêè â ÷îòèðèêóòíèêó âñі êóòè ðіâíі, òî, çà îçíàêîþ ïðÿìîêóòíèêà, âіí є ïðÿìîêóòíèêîì. 2) Îñêіëüêè ó ïðÿìîêóòíèêà âñі ñòîðîíè ðіâíі, òî âіí є êâàäðàòîì.  Термін "квадрат" походить від латинського quadratum (quadrate - зробити чотирикутним). Відомий історик математики Д. Д. Мордухай-Болтовський (1876-1952) писав: "Першим чотирикутником, з яким познайомилася геометрія, був квадрат". 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü êâàäðàòîì? 2. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі êâàäðàòà. 3. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêè êâàäðàòà. Початковий рівень 153. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 20 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíó. 154. Ñòîðîíà êâàäðàòà äîðіâíþє 7 äì. Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð. 155. (Óñíî.) Íà ìàë. 58 çîáðàæåíî êâàäðàò ABCD. Íàçâіòü ðіâíі ìіæ ñîáîþ âіäðіçêè íà öüîìó ìàëþíêó. 156. ßêùî ÷îòèðèêóòíèê є êâàäðàòîì, òî éîãî äіàãîíàëі ðіâíі і âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі. ×è ïðàâèëüíå îáåðíåíå òâåð- äæåííÿ? Íàâåäіòü ïðèêëàä. Середній рівень 157. Òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà çíàõîäèòüñÿ íà âіä- ñòàíі 2 ñì âіä îäíієї ç éîãî âåðøèí. Çíàéäіòü ñóìó äîâæèí äіàãîíàëåé öüîãî êâàäðàòà. 158. Ñóìà äîâæèí äіàãîíàëåé êâàäðàòà äîðіâíþє 32 ñì. Çíàé- äіòü âіäñòàíü âіä òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà äî îäíієї ç éîãî âåðøèí. 159. Ñóìà äîâæèí äâîõ ñòîðіí êâàäðàòà äîðіâíþє 10 ñì. Çíàé- äіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 160. Ñóìà äîâæèí òðüîõ ñòîðіí êâàäðàòà äîðіâíþє 18 äì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 161. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü êâàäðàò і ðîìá?

33. 33. 34 Розділ 1 162. (Óñíî.) ßêі ñïіëüíі âëàñòèâîñòі ìàþòü êâàäðàò і ïðÿìî- êóòíèê? 163. Ðіçíèöÿ ìіæ ïåðèìåòðîì êâàäðàòà і éîãî ñòîðîíîþ äîðіâ- íþє 18 ñì. Çíàéäіòü ñòîðîíó êâàäðàòà òà éîãî ïåðèìåòð. 164. Ñóñіäíі ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà ðіâíі. Äîâåäіòü, ùî âіí є êâàäðàòîì. 165. Îäèí ç êóòіâ ðîìáà - ïðÿìèé. Äîâåäіòü, ùî öåé ðîìá є êâàäðàòîì. 166. (Óñíî.) ×è ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: 1) êîæíèé êâàäðàò є ïðÿìîêóòíèêîì; 2) іñíóє êâàäðàò, ÿêèé íå є ðîìáîì; 3) êîæíèé ðîìá є êâàäðàòîì; 4) êîæíèé êâàäðàò є ðîìáîì; 5) áóäü-ÿêèé ïðÿìîêóòíèê є êâàäðàòîì; 6) âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà êâàäðàòà äî éîãî ñòîðîíè є ñòà- ëèì äëÿ âñіõ êâàäðàòіâ? 167. ABCD - êâàäðàò, EF  BD (ìàë. 60). Çíàéäіòü BFE. 168. ABCD - êâàäðàò, BOC  70(ìàë. 61). Çíàéäіòü OKA. Ìàë. 60 Ìàë. 61 Достатній рівень 169. Ïîáóäóéòå êâàäðàò: 1) çà éîãî ïåðèìåòðîì; 2) çà éîãî äіàãîíàëëþ. 170. Ïîáóäóéòå êâàäðàò çà ñóìîþ éîãî äіàãîíàëåé. 171. Òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà âіääàëåíà âіä éîãî ñòîðîíè íà 3 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 172. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 32 ñì. Çíàéäіòü âіäñòàíü âіä òî÷êè ïåðåòèíó äіàãîíàëåé êâàäðàòà äî éîãî ñòîðіí.

34. 34. 35 ЧОТИРИКУТНИКИ 173. ABCD - êâàäðàò, AE  FC (ìàë. 62). Äîâåäіòü, ùî BEDF -F ðîìá. 174. ABCD - êâàäðàò, AE  AF  CG  CH (ìàë. 63). Äîâåäіòü, ùî EFGH - ïðÿìîêóòíèê. Ìàë. 62 Ìàë. 63 175. Äî êîëà іç öåíòðîì ó òî÷öі O ç òî÷êè A ïðîâåäåíî äâі âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі äîòè÷íі AB і AC, B і C - òî÷êè äîòèêó. Äîâåäіòü, ùî ABOC - êâàäðàò. Високий рівень 176. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC (C  90) âïèñàíî êâàäðàò CMNK òàê, ùî ïðÿìèé êóò ó íèõ ñïіëü- íèé, à òî÷êà N íàëåæèòü ñòîðîíі AB. Êàòåò òðèêóòíèêà äîðіâíþє b ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà. 177. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC (C  90) âïèñàíî êâàäðàò KMNL òàê, ùî òî÷êè K і M ëåæàòü íà ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè L і N - íà êàòåòàõ AC і BC âіäïîâіäíî. Ïåðèìåòð êâàäðàòà äîðіâíþє 12 ñì. Çíàéäіòü ãіïîòåíóçó òðèêóòíèêà. 178. Íà ñòîðîíàõ êâàäðàòà çîâíі ïîáóäîâàíî ðіâíîñòîðîííі òðèêóòíèêè. Äîâåäіòü, ùî âåðøèíè òðèêóòíèêіâ, ÿêі íå є âåðøèíàìè çàäàíîãî êâàäðàòà, є âåðøèíàìè іíøîãî êâàä- ðàòà. Вправи для повторення 179. Ó ðîìáі ABCD äіàãîíàëü óòâîðþє ç îäíієþ çі ñòîðіí êóò 30. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 180. Ó ÷îòèðèêóòíèêó ABCD A : B : C : D   1 : 3 : 4 : 10. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì є öåé ÷îòèðèêóòíèê?

35. 35. 36 Розділ 1 181. Áіñåêòðèñà êóòà B ïðÿìîêóòíèêà ABCD äіëèòü ñòîðîíó AD íà âіäðіçêè AK іK KD òàê, ùî AK :K KD  3 : 5. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 110 ñì. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу 182. 1) Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê, äâі ñòîðîíè ÿêîãî ìіæ ñî- áîþ ïàðàëåëüíі, à äâі іíøі - íåïàðàëåëüíі. 2) ßêà íàéáіëüøà êіëüêіñòü ãîñòðèõ êóòіâ ìîæå áóòè â òàêîìó ÷îòèðèêóòíèêó? Цікаві задачі для учнів неледачих 183. Î 12-é ãîäèíі ãîäèííà і õâèëèííà ñòðіëêè çáіãàþòüñÿ. ×åðåç ÿêó íàéìåíøó êіëüêіñòü õâèëèí ñòðіëêè çíîâó çáіæàòüñÿ? Äîìàøíÿ ñàìîñòіéíà ðîáîòà № 1 Êîæíå çàâäàííÿ ìàє ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäåé (À-Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âàðіàíò âіäïîâіäі. 1. Óêàæіòü âіäðіçîê, ùî є äіàãîíàëëþ ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. À. AB; Á. BD; Â. BC; Ã. AD. 2. Çíàéäіòü òóïèé êóò ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ãîñòðèé êóò äîðіâíþє 35. À. 125; Á. 135; Â. 145; Ã. 155. 3. Çíàéäіòü ñòîðîíó êâàäðàòà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 36 ñì. À. 4 ñì; Á. 6 ñì; Â. 9 ñì; Ã. 12 ñì. 4. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 24 ñì, à îäíà ç éîãî ñòîðіí íà 2 ñì áіëüøà çà äðóãó. Çíàéäіòü äîâæèíó ìåíøîї ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà. À. 5 ñì; Á. 6 ñì; Â. 7 ñì; Ã. 8 ñì. 5. ABCD - ðîìá; A  50 (ìàë. 64). Çíàéäіòü ABD. À. 55; Â. 75; Á. 50; Ã. 65. 6. Óêàæіòü ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: À. ÿêùî äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà âçà- єìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî âіí є ðîìáîì; Á. âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà ðîìáà äî éîãî ñòîðîíè є ñòàëèì äëÿ âñіõ ðîìáіâ; Ìàë. 64

36. 36. 37 ЧОТИРИКУТНИКИ Â. ÿêùî äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà ðіâíі, òî âіí є ïðÿìîêóò- íèêîì; Ã. âіäíîøåííÿ ïåðèìåòðà ïðÿìîêóòíèêà, ÿêèé íå є êâàäðàòîì, äî éîãî íàéáіëüøîї ñòîðîíè є íåçìіííèì äëÿ âñіõ ïðÿìîêóòíèêіâ. 7. Çíàéäіòü íàéáіëüøèé êóò ÷îòèðèêóòíèêà, ó ÿêîãî ãðà- äóñíі ìіðè êóòіâ ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 2; 3; 5 і 8. À. 120; Á. 130; Â. 150; Ã. 160. 8. Âèñîòè, ÿêі ïðîâåäåíî ç âåðøèíè òóïîãî êóòà ïàðàëåëî- ãðàìà, óòâîðþþòü ìіæ ñîáîþ êóò 30. Çíàéäіòü òóïèé êóò ïàðàëåëîãðàìà. À. 120; Á. 130; Â. 150; Ã. 160. 9. Çíàéäіòü ãîñòðèé êóò ðîìáà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà óòâîðþє ç äіàãîíàëÿìè êóòè, ðіçíèöÿ ÿêèõ äîðіâíþє 40. À. 25; Á. 30; Â. 50; Ã. 60. 10. Áіñåêòðèñà êóòà D ïàðàëåëîãðàìà ABCD äіëèòü ñòî- ðîíó AB íà âіäðіçêè AK і KB òàê, ùî AK : KB  1 : 3. Çíàéäіòü AB, ÿêùî ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 60 ñì. À. 26 ñì; Á. 24 ñì; Â. 20 ñì; Ã. 15 ñì. 11. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà A ðîìáà ABCD ïðîâåäåíî âèñîòó AK. CAK  30, AC  6 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ðîìáà. À. 18 ñì; Á. 24 ñì; Â. 30 ñì; Ã. 36 ñì. 12. Ó {ABC (C  90, AC  ÂC) âïèñàíî êâàäðàò KLMN òàê, ùî K  AB; L  AB; M  CB; N  AC. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà, ÿêùî AB  12 ñì. À. 24 ñì; Á. 20 ñì; Â. 12 ñì; Ã. 16 ñì. Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü äî § 1-5 1. Íàêðåñëіòü ÷îòèðèêóòíèê MNPL і ïðîâåäіòü ó íüîìó äіà- ãîíàëі. 2. Çíàéäіòü êóòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî îäèí ç íèõ äîðіâíþє 80. 3. Çíàéäіòü ïåðèìåòð êâàäðàòà, ÿêùî éîãî ñòîðîíà äîðіâíþє 7 ñì. 4. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâ- íþє 18 ñì. Çíàéäіòü éîãî ñòîðîíè, ÿêùî îäíà ç íèõ íà 1 ñì áіëüøà çà äðóãó. 5. ABCD - ðîìá. ABD  50. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 6. Íà ìàëþíêó 65 ABD  BDC, AB  DC. Äîâåäіòü, ùî ABCD - ïàðàëåëîãðàì. Ìàë. 65

37. 37. 38 Розділ 1 7. Çíàéäіòü êóòè ÷îòèðèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 2, 3, 4, 6. Îïóêëèì ÷è íåîïóêëèì âіí є? 8. Âèñîòè, ïðîâåäåíі ç âåðøèíè ãîñòðîãî êóòà ðîìáà, óòâîðþ- þòü ìіæ ñîáîþ êóò 120. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà. 9. Áіñåêòðèñà êóòà À ïàðàëåëîãðàìàÀ ABCD äіëèòü ñòîðîíó BC íà âіäðіçêè BK і KC òàê, ùî BK : KC  4 : 3. Çíàéäіòü ñòîðî- íè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 88 ñì. Äîäàòêîâі çàâäàííÿ 10. Ó ðіâíîáåäðåíèé ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC ç ãіïî- òåíóçîþ BC  23 ñì âïèñàíî ïðÿìîêóòíèê KLMN òàê, ùî òî÷êè K і L íàëåæàòü ãіïîòåíóçі òðèêóòíèêà, à òî÷êè M і N - êàòåòàì. Ñòîðîíà KL ïðÿìîêóòíèêà íà 2 ñì áіëüøà çà ñòîðîíó LM. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. 11. Ç âåðøèíè òóïîãî êóòà Â ðîìáà ABCD ïðîâåäåíî âèñî- òó ÂÌ, DÂÌ  30. Ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 40 ñì. Çíàéäіòü ìåíøó äіàãîíàëü ðîìáà. 6. Трапецією називають чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні. Íà ìàëþíêó 66 çîáðàæåíî òðàïå- öіþ ABCD. Ïàðàëåëüíі ñòîðîíè òðàïåöії íàçèâàþòü îñíîâàìè, à íå ïàðàëåëüíі - áі÷íèìè ñòîðîíàìè. Íà ìàëþíêó 66 AD і BC - îñíîâè òðàïåöії, AB і CD - її áі÷íі ñòîðîíè. Ðîçãëÿíåìî äåÿêі âëàñòèâîñòі òðàïåöії. 1. Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорів- нює 180. Îñêіëüêè AD || BC, òî A + B  180 (ÿê ñóìà âíóòðіøíіõ îäíîñòîðîííіõ êóòіâ). Àíàëîãі÷íî C + D  180. 2. Трапеція є опуклим чотирикутником. Îñêіëüêè A + B  180, òî A < 180, B < 180. Àíà- ëîãі÷íî C < 180, D < 180. Îòæå, òðàïåöіÿ - îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê. ТРАПЕЦІЯ Ìàë. 66

38. 38. 39 ЧОТИРИКУТНИКИ Висотою трапеції називають перпендикуляр, проведе-ї ний з будь-якої точки основи трапеції до прямої, що міс- тить протилежну основу. Íàé÷àñòіøå âèñîòó òðàïåöії ïðîâîäÿòü ç її âåðøèíè. Íà ìàëþíêó 67 BK - âèñîòà òðàïåöії ABCD. Òðàïåöіþ íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíîþ, ÿêùî îäèí ç її êóòіâ - ïðÿìèé. Íà ìàëþíêó 68 - ïðÿìîêóòíà òðàïåöіÿ ABCD (A  90). Î÷åâèäíî, ùî B  90. ÀÂ є ìåíøîþ áі÷íîþ ñòî- ðîíîþ ïðÿìîêóòíîї òðàïåöії і її âèñîòîþ. Ìàë. 67 Ìàë. 68 Òðàïåöіþ íàçèâàþòü ðіâíîáі÷íîþ, ÿêùî її áі÷íі ñòîðîíè ðіâíі. Íà ìàëþíêó 69 - ðіâíîáі÷íà òðàïåöіÿ ABCD. Ðîçãëÿíåìî äåÿêі âàæëèâі âëàñòèâîñòі ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії. 1. У рівнобічній трапеції кути при основі між собою рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé â òðàïåöії ABCD ÀB  CD. Ïðî- âåäåìî âèñîòè òðàïåöії BK і CM ç âåðøèí її òóïèõ êóòіâ Â і Ñ (ìàë. 70). Óòâîðèâñÿ ïðÿìîêóòíèê BKMC. Òîìó BK  CM. Ìàë. 69 Ìàë. 70 2) {ABK  {DCM (çà êàòåòîì і ãіïîòåíóçîþ). Òîìó BAD  CDA. 3) Òàêîæ ABK  DCM. Îñêіëüêè KBC  MCB   90, òîABC  ABK + 90 i DCB DCM + 90. Òîìó ABC  DCB. 

39. 39. 40 Розділ 1 2. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні. Ä î â å ä å í í ÿ. Ðîçãëÿíåìî ìàëþ- íîê 71. BAD  CDA (ÿê êóòè ïðè îñíîâі ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії), AB  DC, AD - ñïіëüíà ñòîðîíà òðèêóòíèêіâ ABD і DCÀ. Òîìó {ABD  {DCA (çà äâîìà ñòî- ðîíàìè і êóòîì ìіæ íèìè). Îòæå, AC  ÂD. Çàäà÷à. Î - òî÷êà ïåðåòèíó äіàãîíàëåé ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії ABCD ç îñíîâàìè AD і BC (ìàë. 71). Äîâåäіòü, ùî AÎ  ÎD, BÎ  ÎC. Ä î â å ä å í í ÿ. {ABD  {DCA (äîâåäåíî âèùå). Òîìó ODA  OAD. Çà îçíàêîþ ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà - òðè- êóòíèê AOD - ðіâíîáåäðåíèé. Òîìó AÎ  ÎD. Îñêіëüêè AC  ÂD і AÎ  ÎD, òî ÎC  BÎ (áî OC  AC - AO, BO  BD - OD).  Ò å î ð å ì à (îçíàêà ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії). ßêùî ó òðà- ïåöії êóòè ïðè îäíіé îñíîâі ðіâíі, òî òðàïåöіÿ - ðіâíîáі÷íà. Ä î â å ä å í í ÿ. 1) Íåõàé ó òðàïåöії ABCD êóòè ïðè áіëü- øіé îñíîâі AD ðіâíі (ìàë. 70), òîáòî BAD  CDA. Ïðîâåäå- ìî âèñîòè BK і CM, ÿêі ðіâíі ìіæ ñîáîþ. 2) Òîäі {BAK  {CDM (çà êàòåòîì і ïðîòèëåæíèì êóòîì).M Òîìó AB  DC. Òðàïåöіÿ ðіâíîáі÷íà, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.  Термін "трапеція" грецького походження (грецькою мовою "трапе- дзіон" означає "столик", зокрема столик для обіду; слова "трапеція" і "трапеза" - однокореневі). У своїй праці "Начала" Евклід під терміном "трапеція" розумів будь- який чотирикутник, який не є паралелограмом. Більшість математиків Середньовіччя використовувала термін "трапеція" з тим самим змістом. Трапеція в сучасному розумінні вперше зустрічається у давньогрець- кого математика Посидонія (I ст.), але лише починаючи з XVIII ст. цей термін став загальновживаним для чотирикутників, у яких дві сторони паралельні, а дві інші - непаралельні. Ìàë. 71 1. ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü òðàïåöієþ? 2. Ùî íàçèâàþòü îñíîâàìè òðàïåöії, áі÷íèìè ñòîðîíàìè òðàïåöії? 3. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі òðàïåöії. 4. Ùî òàêå âèñîòà òðàïåöії?

40. 40. 41 ЧОТИРИКУТНИКИ Початковий рівень 184. Íà ÿêèõ ç ìàëþíêіâ 72-76 çîáðàæåíî òðàïåöіþ? Ìàë. 72 Ìàë. 73 Ìàë. 74 Ìàë. 75 Ìàë. 76 185. Íàêðåñëіòü òðàïåöіþ PKML (PK || ML). Óêàæіòü îñíîâè òðàïåöії, áі÷íі ñòîðîíè òðàïåöії. 186. Íàêðåñëіòü òðàïåöіþ DMFK (DM || FK). Óêàæіòü îñíîâè òðàïåöії, áі÷íі ñòîðîíè òðàïåöії. 187. Íàêðåñëіòü ïðÿìîêóòíó òðàïåöіþ ABCD (A  B  90). 188. Íàêðåñëіòü ðіâíîáі÷íó òðàïåöіþ ABCD (AB((  CD). 189. Äâà êóòè òðàïåöії äîðіâíþþòü 20 і 100. Çíàéäіòü äâà іíøèõ її êóòè. 190. Äâà êóòè òðàïåöії äîðіâíþþòü 110 і 40. Çíàéäіòü äâà іíøèõ її êóòè. Середній рівень 191. Îñíîâè ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії äîðіâíþþòü 8 ñì і 10 ñì, à ïåðèìåòð 28 ñì. Çíàéäіòü áі÷íó ñòîðîíó òðàïåöії. 192. Îñíîâè ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії äîðіâíþþòü 7 ñì і 5 ñì, à áі÷íà ñòîðîíà - 3 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð òðàïåöії. 193. ×è іñíóє òðàïåöіÿ, ó ÿêîї äâà ïðîòèëåæíèõ êóòè: 1) ãîñòðі; 2) ïðÿìі; 3) òóïі? Ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі íàêðåñëіòü òàêó òðàïåöіþ. 194. ×è іñíóє òðàïåöіÿ, ó ÿêîї: 1) îñíîâè ìіæ ñîáîþ ðіâíі; 2) òðè ñòîðîíè ìіæ ñîáîþ ðіâíі? Ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі íàêðåñëіòü òàêó òðàïåöіþ. 5. ßêó òðàïåöіþ íàçèâàþòü ïðÿìîêóòíîþ, ÿêó - ðіâíî- áі÷íîþ? 6. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü âëàñòèâîñòі ðіâíîáі÷íîї òðà- ïåöії. 7. Ñôîðìóëþéòå і äîâåäіòü îçíàêó ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії.