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Circuito RC

En esta configuración tenemos una fuente de de voltaje constante en serie con un resistor y un capacitor:

Aquí se consideran dos configuraciones de circuitos RC, configuraciones que además determinan dos etapas de análisis en un circuito: t < 0 (condiciones iniciales) y t > 0 (respuesta transitoria).Circuito RC con fuente de voltaje constanteSe considera que el capacitor se encuentra descargado en t = 0, y a partir de ese instante el capacitor comienza a cargarse, ya que circula una corriente en el circuito. Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es igual a cero y el voltaje final en las terminales del circuito es Vs.Esta configuración simple modela la forma en que se carga un capacitor. Para lo cual podemos utilizar las herramientas:Como se carga un capacitor Calculadora de carga de un capacitor Circuito RC en descargaUna segunda configuración del circuito eléctrico RC es un capacitor en serie con una resistencia y un interruptor que se cierra en el tiempo t = 0. Se asume que el capacitor se encuentra cargado, por lo que al cerrar el interruptor comienza a descargarse a través de la resistencia.
El voltaje y la corriente en el capacitor comenzarán a disminuir hasta un valor de cero en ambos casos. Se puede encontrar una expresión del voltaje v(t), a partir del valor inicial de voltaje en el capacitor Vo.
donde τ = RC, es llamada la constante de tiempo del circuito RC , pues indica con qué celeridad el voltaje tiende a cero.

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fuente constante Una fuente constante aplicada a un sistema de primer orden tiene como ecuación de equilibrio una ODE de primer orden no homogénea, cuya respuesta consta de dos partes, la solución homogénea más la solución in homogénea. Consideremos para el análisis un circuito RC serie

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El análisis se inicia aplicando alguna de las leyes de Kirchhoff, en este caso por ser un circuito paralelo se aplica LKI en el nudo principal. Obsérvese que para t > 0 el circuito queda formado por tres ramas en paralelo, la rama de la fuente de corriente iin(t), la rama de la resistencia R y la rama del capacitor C. Tomando como positivas a las corrientes entrantes al nudo tendremos
iin(t) − iC(t) − iR(t) = 0 (3.54)
iin(t) = C dvC(t) dt + vR(t) R , (3.55)

como vC(t) = vR(t), (3.55)
se puede poner en términos de la respuesta
vC(t) iin(t) = C dvC(t) dt + vC(t) R , (3.56)
reemplazando el valor de fuente iin(t) = I0 y dividiendo ambos miembros por C para normalizar I0 C = dvC(t) dt + vC(t) RC . (3.57) La ecuación (3.57)
es una ODE de primer orden, no homogénea, de forma general dx(t) dt + x(t) τ = K1, (3.58) con τ = RC y K1 = I0 C en este caso. Del punto de vista del análisis matemático esta ODE tiene una solución general formada por la solución particular de la ODE no homogénea

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solución general de la homogénea. Luego se vera cómo estas dos soluciones representan las diferentes respuestas presentes en este circuito. Una forma de resolver esta ODE es separando variables para poder
integrar dx(t) dt + x(t) τ = K1 (3.59) Z 1 x(t) − K1τ dx(t) = − Z 1 τ dt (3.60)
ln |x(t) − K1τ | = K2 − t τ
(3.61) x(t) − K1τ = ±e K2 e − 1 τ t , (3.62)
de donde despejando x(t) se tiene en general
x(t) = K1τ ± e K2 e − 1 τ t = A + Be− 1 τ t ,