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2° ANO EM
Participantes:
• Beatriz Brito
• Fabiana Fernandes
• Fernando Fuques
• Giovanna Fontes
• Iasmin Mota
• Letícia Barreto
• Sara Silva

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As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico.

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• Plano Cartesiano:
O plano cartesiano é composto pelos eixos xx e yy , chamados de abscissa e ordenada. Uma função é caracterizada por existir apenas um valor de yy correspondente para cada xx .

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• Estes são os principais ângulos do círculo trigonométrico, sendo que uma volta completa nesse círculo equivale a 360°.
Se de 360°  andarmos  mais 30º no sentido anti horário vamos acrescentar 30°, formando 390º. Portanto, se andarmos 30° porém no sentido horário teremos 30º negativos, sendo antes 360° e indo para 330°.

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• Podemos definir as relações trigonométricas em um círculo unitário, dividida em 4 quadrantes, tendo seu centro como origem do plano cartesiano. Sendo, no sentido anti horário teremos variações positivas e no sentido horário variações negativas.

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• Para medir o ângulo na circunferência, pegamos o ponto que parou e vemos qual a abertura desse ponto até a origem, e dá origem até o eixo x.
• O "a" representa o ângulo e o "r" o raio. Se eu fizer uma abertura de 57,3° terei um arco da circunferência exatamente igual ao tamanho do raio no eixo x sendo isto denominando de  1 radiano.

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• Sabemos que uma volta completa na circunferência é equivalente a 360° graus, mas quantos radianos formam uma circunferência?
Como percebemos na imagem, 6 radianos quase completa uma volta e 7 raios passaria de uma volta. Portanto precisamos de algo para completar, porém sabemos que o Perímetro  (P) de uma circunferência é 2π rad ou seja, o valor  é 2pi. Pi equivale a 3,14 portanto 2π  se torna 6,28. Sendo assim uma volta completa em radianos vão ser 6,28 radianos, exatamente 2πR. E meia volta? Em graus seria 180° e em radianos seria π  radiano.

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As funções periódicas são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo, por exemplo, do número 3 até 4 existe um intervalo este sendo o período.

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• O período corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a repetição de determinado fenômeno.

• Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que
f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A
O menor valor positivo de p é chamado de período de f.

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É uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
função f(x) = cos x
No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo.
No primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente.

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O domínio e contradomínio da função cosseno são iguais a R. São o conjunto dos números reais, pois não existe nenhuma restrição para o valor de x, em que x é o ângulo em radianos. Para todo número real, é possível encontrar o valor de cos(x), então, Df = R.

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O gráfico da função cosseno está contido entre as retas y = -1 e y = 1. Vale lembrar que isso acontece porque a imagem da função é sempre um número entre -1 e 1 e possui parte crescente e parte decrescente, como podemos ver a seguir:

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Sabemos que o contradomínio da função cosseno é o conjunto dos números reais, entretanto, quando analisamos a imagem da função, é possível perceber que ela é sempre um valor maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1, pois o ciclo trigonométrico tem raio 1, então, o maior valor que a função cosseno pode assumir é 1, e, analogamente, o menor valor que ela pode assumir é -1. Im = [-1, 1]

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O gráfico da função cosseno tem um período de 2π. Analisando, é possível perceber que o gráfico está contido no intervalo de 0 a 2π. Para valores anteriores ou posteriores a esse intervalo, o gráfico se repete.

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Fazendo a correspondência do valor do ângulo com o valor da razão trigonométrica, é possível perceber que o gráfico possui um comportamento cíclico, ou seja, o comportamento sempre se repete de forma periódica. O gráfico da função cosseno é conhecido como cossenoide.

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A função cosseno é a função f : R → R, cuja lei de formação é f(x) = sen (x). Como o seno de um ângulo, assim como o cosseno, é sempre um número entre 1 e -1, então, -1 ≤ sen (x) ≤ 1.

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O domínio da função seno é o conjunto dos números reais. A função f(x) = sen (x) está definida para todos os números reais, então, Df = R.

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A imagem da função seno possui valor máximo em f(x) = 1 e valor mínimo quando f(x) = -1. Então, a imagem da função é o intervalo real [-1, 1].

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O gráfico da função seno é limitado também pelas retas horizontais y = -1 e y = 1. O comportamento é parecido com o da função seno periódico, tendo intervalos crescentes e intervalos decrescentes.

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A função seno é considerada uma função ímpar, pois há uma simetria no gráfico em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Quando uma função é considerada ímpar, temos que f (x) = -f (x), ou seja, sen (-x) = -sen (x).

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Sabemos que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno. Diferentemente das duas funções trigonométricas anteriores, a função tangente não possui valor de máximo nem valor de mínimo. Além disso, existem restrições para o domínio, mas a lei de formação da função tangente é f(x) = tan(x).

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Vejamos o valor do cosseno para os principais ângulos:

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A função tangente possui valor positivo para os quadrantes ímpares, ou seja, I e III quadrantes. Para ângulos entre 0º e 90º e ângulos entre 180º e 270º, a função possui valores positivos. Em radianos, o valor de x tem que estar entre 0 e π/2 ou π e 3π/2.

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A função tangente possui restrições para o seu domínio, como ela é formada pela razão entre o seno e o cosseno, não existem valores para tangente quando cos(x) = 0. Pesando no ciclo trigonométrico de 0º a 360º, a função tangente não está definida para os ângulos de 90º e 270º, pois são os valores em que o cosseno é igual a 0. Quando há ângulos maiores que uma volta completa, todos aqueles em que o valor de cosseno é 0 não fazem parte do domínio da função cosseno.

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Diferentemente da função seno e da função cosseno, a imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, ou seja, ela não é limitada e não possui valor de máximo nem de mínimo. Im = R

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A função tangente também é periódica como as funções seno e cosseno, ou seja, ela sempre se repete.

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O período da função tangente também é diferente das funções seno e cosseno. O período da função tangente é π.

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Para melhor qualidade de visualização dos vídeos apresentados, indicamos que baixem.

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A função tangente é uma função ímpar, pois tan(-x) = -tan(x), logo, há uma simetria no gráfico em relação à origem do plano cartesiano.

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A função cosseno é considerada uma função par, pois há uma simetria no gráfico em relação ao eixo y. Quando uma função é considerada par, temos que f (x) = f (-x), ou seja, cos (x) = cos (-x).

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Nesse vídeo evidenciamos as funções periódicas em cosseno, seno e tangente além de evidenciar a imagem e domínio das três funções.