# data[].attributes.wish_content.attachment_props.question
Найдите квадрат числа 78 по изученному способу (без калькулятора)

# data[].attributes.wish_content.attachment_props.question
Найдите сумму квадратов 22 и 99

# data[].attributes.wish_content.attachment_props.question
Найдите сумму чисел от 100 до 1000

# data[].attributes.headline
Вопросы для закрепления темы

# data[].attributes.subject
Вопросы для закрепления темы

# data[].attributes.wish_content.attachment_props.question
Найдите сумму четных чисел от 1 до 100.

# data[].attributes.headline
Зная формула, которая 

# data[].attributes.body
Зная формула, которая работает для любых двух чисел, близких к сотне. Человек, который становится случайным свидетелем таких вычислений, испытывает чувство, будто наблюдает за трюком фокусника.

Вот, например, 104 × 109. Рядом с каждым из них пишем число, на которое оно превышает сотню (см. пример ниже). В левом столбце сложим первое число со второй разностью и запишем результат: 104 + 9 = 113. В правом столбце перемножим две разности: 4 × 9 = 36. «Соединим» эти числа, то есть запишем их одно за другим и — тадам! — волшебным образом получим ответ: 11 336

# data[].attributes.headline
Квадрат двухзначного числа

# data[].attributes.subject
Квадрат двухзначного числа

# data[].attributes.body
Допустим, нам нужно знать квадрат 13. Вместо того чтобы умножать 13 × 13, можно сделать умножение попроще: 10 × 16 = 160. До правильного ответа уже рукой подать, и чтобы его получить, достаточно будет прибавить возведенное в квадрат 3 — число, составляющее разницу между 13 и числами, которые мы перемножили. То есть:

13² = 10 × 16 + 3² = 160 + 9 = 169

Можно взять еще один пример, скажем, 98 × 98. Для удобства к первому числу добавим 2 до 100, а от второго отнимем 2 до 96. Значит, к их произведению нужно будет прибавить 2² . Вот наше уравнение:

98² = 100 × 96 + 2² = 9600 + 4 = 9604

Теперь, когда вы профессионально возводите в квадрат двузначные числа, можно попробовать и трехзначные.

# data[].attributes.headline
Сумма первых n нечетных чисел

# data[].attributes.subject
Сумма первых n нечетных чисел

# data[].attributes.body
Давайте докажем и найдем формулу подсчета суммы первых n нечетных чисел. Самое мое любимое — методом подсчета кружков: он наглядно показывает, почему числа вроде 25 называются квадратами. Но почему вдруг мы должны складывать первые 5 нечетных чисел с 5² ? А просто посмотрите на квадрат размером 5 на

Кружков в нем 5 × 5 = 25, это очевидно. Но давайте подсчитаем иначе. Начнем с одинокого кружка в левом верхнем углу. Его окружают 3 кружка, потом 5, потом 7 и, наконец, 9. Следовательно, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5²=25

И возьми мы квадрат со сторонами n на n, его можно будет легко разбить на n-ное количество L-образных секторов, в каждом из которых будет соответственно 1, 3, 5, ..., (2n – 1) кружков. Это и есть формула суммы первых n нечетных чисел 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²

# data[].attributes.headline
А как насчет суммы первых нечетных, спросите вы? Давайте посмотрим, что говорят нам числа

# data[].attributes.subject
А как насчет суммы первых нечетных, спросите вы? Давайте посмотрим, что говорят нам числа

# data[].attributes.body
То, что справа — квадраты целых чисел. 1 × 1; 2 × 2; 3 × 3 и т. д. Сложно не заметить следующую закономерность: сумма первых n нечетных чисел равняется n × n. Или n² .

# data[].attributes.headline
Сумма первых n четных чисел

# data[].attributes.subject
Сумма первых n четных чисел

# data[].attributes.body
Если вдруг нам понадобится сложить между собой все числа от 1 до 1 000 000, сделать это можно будет всего за два шага: перемножив 1 000 000 и 1 000 001 и разделив результат пополам. Разобравшись в одной формуле, вы с легкостью разберетесь и в остальных. Например, если мы удвоим обе части последнего уравнения, получится формула суммы первых n четных чисел:

2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)

# data[].attributes.headline
Что произойдет, если мы расположим два треугольника основаниями друг к другу, вот так:

# data[].attributes.subject
Что произойдет, если мы расположим два треугольника основаниями друг к другу, вот так:

# data[].attributes.body
У нас получился прямоугольник из 5 рядов и 6 столбцов — всего 30 кружков. Значит, в каждом из двух наших треугольников была половина общего их количества, то есть по 15 кружков. Мы, это, разумеется, уже знаем, но давайте применим этот же принцип к двум прямоугольникам, количество рядов в которых равно n. Точно так же составим из них прямоугольник с n рядов и n + 1 столбцов. Кружков в нем будет n × (n + 1) — ну или в более привычной записи — n(n + 1). В результате мы получим формулу, которая позволит нам подсчитывать сумму первых n чисел:

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2

# data[].attributes.headline
Сумму первых n чисел, где n — любое нужное вам количество

# data[].attributes.subject
Сумму первых n чисел, где n — любое нужное вам количество

# data[].attributes.body
Числа 1, 3, 6, 10 и 15 иногда называют треугольными, потому что, заменив их соответствующим количеством кружков, можно легко сложить треугольники, вроде того, что изображен чуть выше (конечно, один кружок треугольником можно назвать с очень большой натяжкой, но число 1, несмотря на это, все же считается треугольным). Согласно определению, треугольное число n равняется 1 + 2 + 3 + ... + n

# data[].attributes.headline
Числовые 
закономерности

# data[].attributes.subject
Числовые 
закономерности

# data[].attributes.body
Изучение математики всегда начинается с чисел. Сначала мы учимся выражать количество с помощью букв, цифр или самих предметов. А потом долгие и долгие годы складываем, вычитаем, умножаем, делим и решаем разные арифметические задачи.

Вот, например, одна хитрость, с которой еще в детстве столкнулся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс1 . Как-то раз на уроке математики учитель попросил класс сложить между собой всей числа от 1 до 100. Вряд ли он хотел развлечь учеников — скорее, отвлечь: заставить заняться чем-нибудь нудным и требующим полного сосредоточения, а самому спокойно сделать другую работу. Представьте себе его удивление, когда через несколько секунд Гаусс вышел к доске и написал ответ — 5050. Хотите знать, как он это сделал? Он просто представил все эти числа в виде двух рядов: верхний — от 1 до 50, нижний — от 51 до 100, причем в нижнем ряду числа шли в обратном порядке.

Гаусс заметил, что сумма чисел в каждом из 50 столбцов одинаковая — 101, а значит, для того, чтобы получить искомый результат, нужно всего лишь умножить 101 на 50. Так у него и получилось 5050.