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La famiglia di Eleonora gestisce un'azienda agricola e quest'anno ha acquistato un nuovo terreno che intende dedicare alla produzione vinicola.
L'appezzamento ha una forma quadrata e ciascun lato misura 560 metri. Sapendo che le piantine di vite devono essere disposte in filari paralleli che percorrono l'appezzamento da nord a sud, e che tra un filare e il successivo va lasciata una distanza di 2,8 metri, calcola quanti filari di vite potranno piantare nel loro appezzamento Eleonora e la sua famiglia.

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I filari di vite, le rotaie di un binario ferroviario, le strisce dell'attraversamento pedonale, le file di ombrelloni sulla spiaggia... Intorno a noi esistono numerosissimi esempi di parallelismo: ma qual è, esattamente, la definizione di rette parallele?

Due rette complanari si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune.

A partire da questa definizione, è inoltre facile verificare che due rette parallele hanno fra loro sempre la stessa distanza.

Prova tu - Lavorando con riga e squadra oppure utilizzando il software GeoGebra, disegna una retta r e un punto P esterno ad essa. Costruisci quindi tutte le rette esistenti passanti per P parallele a r: quante sono?

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Tenue o intensa, naturale o artificiale, dai toni caldi oppure freddi: la luce è una risorsa fondamentale per la nostra vita. In Fisica, la luce è definita come un particolare tipo di onda elettromagnetica che può essere percepita dai nostri occhi; le onde luminose vengono emesse da sorgenti luminose (naturali come il Sole e le altre stelle, oppure artificiali come candele e lampadine) e si propagano secondo una traiettoria rettilinea.
La propagazione della luce non avviene in modo istantaneo, ma la sua velocità è così grande che il nostro occhio non è in grado di cogliere il tempo impiegato dai raggi luminosi per passare da un punto a un altro.
La velocità della luce nel vuoto, che è indicata con la lettera c, è di circa 300000 chilometri al secondo: i raggi solari che in questo momento ci illuminano, hanno lasciato il Sole, distante circa 150 milioni di chilometri, solo 8 minuti fa!
In presenza d’aria, invece, il valore è leggermente inferiore e si riduce ulteriormente a seconda della densità del mezzo trasparente attraversato. Nell’acqua diminuisce a meno di 250000 km/s; nel vetro, che è più denso, a circa 200000 km/s.

Rifletti e rispondi - Quando il cielo è coperto, i raggi solari che filtrano dalle nuvole evidenziano la traiettoria rettilinea della luce. Ti vengono in mente altre situazioni quotidiane nelle quali questa caratteristica della luce appare evidente?

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Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale

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Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale

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Consideriamo due rette qualsiasi a e b e una terza retta t che le interseca entrambe, detta trasversale.
La retta t forma con a quattro angoli (numerati da 1 a 4) e con la retta b altri quattro angoli (numerati da 5 a 8) che, presi a coppie, assumono nomi diversi a seconda della posizione reciproca che occupano:

gli angoli delle coppie (3, 6) e (4, 5) si dicono alterni interni;

gli angoli delle coppie (1, 8) e (2, 7) si dicono si dicono alterni esterni;

gli angoli delle coppie (1, 5), (2, 6), (3, 7) e (4, 8) si dicono corrispondenti;

gli angoli delle coppie (3, 5) e (4, 6) si dicono coniugati interni;

gli angoli delle coppie (1, 7) e (2, 8) si dicono coniugati esterni.

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Molte delle città fondate dai Romani avevano forma quadrata o rettangolare. All'interno delle mura l'abitato seguiva un tracciato a scacchiera, determinato dall'incrocio di due strade principali che attraversavano da una parte all'altra la città: il decumano (con andamento est-ovest) e il cardo (con andamento nord-sud). Queste due vie erano perpendicolari fra loro; una trama di strade rettilinee si stendeva poi parallelamente al cardo e al decumano, definendo una serie di isolati (le insulae).

Tra ieri e oggi - Il tracciato romano originario è riconoscibile ancora oggi nella pianta di molte città contemporanee: nell'immagine puoi osservare l'incrocio di cardo e decumano nell'odierno impianto urbanistico della città di Piacenza.
Cerca sul tuo libro di Storia oppure informandoti in Internet altre città di fondazione romana e prova a individuare sulla loro pianta odierna le due vie perpendicolari principali riconducibili al modello romano.

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Se indirizziamo il fascio di luce di una torcia elettrica su una superficie ben levigata, come quella di uno specchio, il raggio luminoso rimbalza sulla superficie e il suo percorso subisce una deviazione. Questo fenomeno si chiama riflessione della luce: leggi la scheda in allegato per saperne di più.

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Osservando dalla battigia l'orizzonte viene spontaneo associare la linea che separa cielo e mare a una retta che si estende all'infinito in entrambe le direzioni. E se nella realtà che ci circonda possiamo individuare alcuni enti fondamentali della geometria come le rette, è sempre guardandoci intorno che possiamo farci un'idea delle relazioni tra questi elementi.
Considerando la posizione reciproca di due linee rette, possiamo ritrovare innumerevoli esempi di perpendicolarità e parallelismo: dai solchi di un aratro in un terreno agricolo alle rotaie di un binario, dagli spigoli delle pareti agli incroci stradali, dai raggi di luce che filtrano dalle nuvole alle corsie di un supermercato.

Rifletti e rispondi - Mussah e Giorgia stanno guardando un documentario sulle illusioni ottiche, con tante immagini
che sfidano le nostre percezioni! Osserva la vignetta: come possiamo verificare che le rette siano davvero parallele?

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Rette parallele, incidenti e coincidenti

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Rette parallele, incidenti e coincidenti

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In base alla loro posizione reciproca, due rette complanari si dicono:

incidenti se hanno un solo punto di intersezione;

parallele se non hanno alcun punto in comune;

coincidenti se hanno tutti i punti in comune.

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Angoli formati da due parallele tagliate da una trasversale

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Angoli formati da due parallele tagliate da una trasversale

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Se le due rette a e b sono parallele si verifica che:

gli angoli alterni (sia interni che esterni) sono fra loro congruenti;

gli angoli corrispondenti sono fra loro congruenti.

gli angoli coniugati (sia interni che esterni) sono supplementari.

Guarda il video per saperne di più!

Prova tu - Risolvi adesso i seguenti problemi:

1. Disegna due parallele tagliate da una trasversale; numera da 1 a 8 gli angoli così formati e calcolane la misura sapendo che l’angolo 5 è ampio 106°.

2. Disegna due parallele tagliate da una trasversale; numera da 1 a 8 gli angoli così formati e calcolane la misura sapendo che l’angolo 2 è ampio 48°.

Nota bene: nel numerare gli angoli, segui l'ordine utilizzato nella figura allegata al post precedente.

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Rette parallele tagliate da una trasversale

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Nel tracciato urbanistico romano cardo e decumano, le due vie principali, erano perpendicolari fra loro: ma cosa significa "perpendicolari"?

Due rette complanari si dicono perpendicolari se intersecandosi formano quattro angoli retti.

Prova tu - Lavorando con riga e squadra oppure utilizzando il software GeoGebra, disegna una retta r e un punto P esterno ad essa. Costruisci quindi tutte le rette esistenti passanti per P perpendicolari a r: quante sono?

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La proprietà enunciata al post precedente può essere invertita per determinare i cosiddetti criteri di parallelismo, che consentono di stabilire se due rette sono parallele.

Due rette sono parallele se, tagliate da una trasversale, hanno:
- una coppia di angoli alterni congruenti;
- una coppia di angoli corrispondenti congruenti;
- una coppia di angoli coniugati supplementari.

Nota Bene: per stabilire se due rette sono parallele è sufficiente verificare una delle tre condizioni sopra elencate.

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Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Redazione: Giulia Baccanelli

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell'Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

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- La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze e competenze fondamentali sui concetti di perpendicolarità e parallelismo.
- Il percorso offre la possibilità di approcciare attraverso strumenti multimediali: audio, video, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti online.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale, lo studente impara a misurare e utilizzare le grandezze per operare nella realtà.

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Conoscenze: conoscere le proprietà delle rette parallele e perpendicolari; conoscere gli angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale e le loro proprietà
Abilità: operare con rette parallele e perpendicolari; applicare i criteri del parallelismo
Competenze: riconoscere e rappresentare le rette perpendicolari e parallele; applicare i concetti di perpendicolarità e parallelismo per leggere e interpretare la realtà
Competenze digitali: utilizzare i mezzi informatici per cercare ed elaborare informazioni; lavorare in gruppo, anche a distanza, condividendo materiali ed elaborati; comprendere e produrre elaborati digitali

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Per usare i Moduli Google nelle proprie Google Classroom e, quindi, ricevere in modo automatico i risultati degli studenti, i moduli vanno copiati nel proprio spazio Google Drive e condivisi da lì mediante link. Il modulo nel vostro Drive sarà anche completamente modificabile. Per copiare i moduli vai ai seguenti link:

1. La perpendicolarità

2. Il parallelismo

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Cos'è una retta? Quale posizione può assumere rispetto agli altri enti fondamentali della geometria? Cosa sono due rette complanari?
Se ti serve un rapido ripasso, consulta la lezione digitale dedicata ai primi elementi della geometria!

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La distanza di un punto da una retta è la lunghezza del segmento di perpendicolare condotto per quel punto alla retta.

Consideriamo una retta r qualsiasi e sia RS un segmento non appartenente ad essa. Tracciando le distanze degli estremi R e S del segmento dalla retta r, avremo come loro intersezioni sulla retta r rispettivamente i punti R' e S'. Il segmento R'S' è detto proiezione del segmento RS sulla retta r.

Prova tu - Disegna una retta qualsiasi r. Traccia quindi il segmento di estremi PQ e costruisci la sua proiezione P'Q' nei seguenti tre casi:

1. il segmento PQ è obliquo e Q appartiene a r

2. il segmento PQ è incidente rispetto a r

3. il segmento PQ è perpendicolare rispetto a r

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Molti degli elementi della realtà che ci circonda sono assimilabili a rette complanari. Metti alla prova la tua capacità di osservazione e le tue conoscenze degli elementi geometrici con questo rapido gioco: per ciascuna delle foto proposte stabilisci se si tratta di un esempio di rette parallele o incidenti.

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La posizione reciproca di due rette complanari

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Trascina ogni oggetto per spostarlo nel gruppo a cui appartiene.. Rette parallele: , , , , , Rette incidenti: , , , .

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L’asse di un segmento è la retta ad esso perpendicolare che lo interseca nel suo punto medio.

I punti che appartengono all’asse di un segmento godono di una importante proprietà: qualunque punto appartenente all’asse di un segmento ha la stessa distanza dagli estremi del segmento.

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Mettiti alla prova - La perpendicolarità

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Mettiti alla prova - La perpendicolarità

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Verifica quello che hai imparato sulla perpendicolarità con questo breve test.

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Verifica quello che hai imparato sul parallelismo con questo breve test.

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Mettiti alla prova - La riflessione della luce

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Mettiti alla prova - La riflessione della luce

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L'immagine in allegato schematizza il fenomeno della riflessione della luce: i raggi provenienti da un faretto posto su una parete "rimbalzano" sulla superficie di uno specchio e vengono riflessi.
Considera la superficie della parete e quella dello specchio come due rette parallele intersecate dalle trasversali del raggio incidente e del raggio riflesso.
Sapendo che l'ampiezza dell'angolo di incidenza α è di 31°, calcola la misura degli angoli β e γ.
Nota Bene: ricorda che la normale è perpendicolare alla superficie riflettente.

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Sappiamo che Euclide, dopo aver elencato quali sono gli enti geometrici fondamentali, introdusse gli assiomi o postulati; cioè delle affermazioni vere per evidenza immediata e che pertanto non vengono e non devono essere dimostrate. In particolare definì l’assioma che viene ricordato come “quinto postulato di Euclide o postulato delle parallele”.
“Per un punto esterno ad una retta passa una e una sola parallela ad una retta data”.
Si tratta di un postulato molto importante. Se infatti ammettessimo come vero che per un punto P passa più di una parallela a una retta data, risulterebbe difficile, e spesso impossibile, considerare vere molte delle nozioni e delle regole geometriche di cui siamo abituati a servirci.
Continueremo dunque nei nostri studi futuri a ritenere valido tale assioma.
Tuttavia nella storia della matematica alcuni studiosi hanno provato a costruire delle geometrie non considerando valido il quinto postulato e, provarono a confutarlo, partendo dalla negazione che per un punto esterno a una retta passa una e una sola parallela alla retta data. Vediamo di che si tratta.

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Il primo matematico ad elaborare una pseudogeometria, che funzionava anche senza il quinto postulato, fu il gesuita italiano Gerolamo Saccheri.
La sua opera dopo la sua morte conobbe una certa fama, ma poi andò via via dimenticata.
La svolta avvenne circa un secolo dopo, quando i matematici Nikolaj Ivanovic Lobacewskij e Janos Bolyai, indipendentemente l’uno dall’altro, costruirono una geometria basata sul principio che, data una retta r ed un punto P fuori di essa, esiste più di una retta per P parallela alla retta r.
Con questo nuovo assioma riuscirono a costruire una nuova geometria alla quale fu dato il nome di geometria iperbolica.
Un secolo più tardi il matematico tedesco George F.B. Riemann, sempre negando il quinto postulato, costruì un’altra geometria, detta geometria ellittica, basata sul presupposto che per un punto esterno ad una retta non si può condurre alcuna parallela.
In entrambe le geometrie non valgono molti teoremi (per esempio, il teorema di Pitagora o quello relativo alla somma degli angoli interni di un triangolo); è però possibile compiere operazioni geometriche che con la geometria euclidea sono impossibili (ad esempio la quadratura del cerchio).
Per avere un esempio e ragionare secondo gli schemi
della geometria ellittica basta considerare un
mappamondo. Su di esso è possibile costruire un triangolo con tre angoli retti (nella geometria euclidea sappiamo invece che la somma degli angoli interni di un triangolo misura 180°).

Basta infatti:

Posizionarsi sull’Equatore in corrispondenza del meridiano di Greenwich (0°).

Spostarsi a destra lungo l’equatore per 90° di longitudine est.

Salire verso il polo Nord.

Ripercorrere il meridiano di Greenwich fino a giungere all’Equatore.

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L’orbita di un’astronauta è descritta dalla geometria ellittica

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Il genere umano è stato ingannato per lunghissimo tempo dal fatto che la terra è talmente grande da sembrare piatta, ma, come sappiamo bene, così non è. Prolungando infatti all’infinito due rette parallele disegnate sulla superficie terrestre, queste si incontrano ai due poli. Ciò accade perché nella geometria ellittica i segmenti giacciono in “rette” che sono in realtà oggetti curvi (geodetiche).
La geometria iperbolica, di cui disponiamo oggi, viene utilizzata, per esempio, nello studio dell’astronomia soprattutto per gli oggetti più distanti (quasar).
Nella robotica si possono far muovere i bracci dei robot lungo circonferenze o su una sfera utilizzando le leggi della geometria ellittica.
Un’altra importante applicazione la troviamo nella determinazione delle rotte degli aerei; i piloti infatti, sanno benissimo che per andare da Roma a New York è più veloce passare dal Polo Nord che viaggiare lungo il parallelo: utilizzano cioè la geometria ellittica anche se, forse non l’hanno mai studiata.
Ma allora perché studiare la geometria euclidea?
Possiamo affermare senza ombra di dubbio che le sue conclusioni continueranno a valere ancora per molti anni.
Gli esseri umani, infatti, continueremo ad usare questa geometria per costruire case, strade ed altro ancora sulla superficie terrestre. Allo stesso tempo però oggi
disponiamo anche di altre geometrie che possiamo
utilizzare a seconda dei nostri scopi.