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Función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales N, y que asigna a cada número natural un valor real.

Formalmente, una sucesión {an} es una lista ordenada de números reales a1,a2,a3, donde cada término depende de su posición en la secuencia. Las sucesiones juegan un papel fundamental en el análisis, ya que permiten estudiar el comportamiento de funciones a través de límites. En cálculo integral, las sucesiones son esenciales en la definición de series infinitas y en procesos como la integración por aproximación y el desarrollo de series de potencias.

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5. Serie numérica y convergencia. Criterio de la  razón, raíz y la integral

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5. Serie numérica y convergencia. Criterio de la  razón, raíz y la integral

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8. Funciones  mediante  la Serie de Taylor  

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8. Funciones  mediante  la Serie de Taylor  

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10. Cálculo de  integrales  de funciones expresadas como serie de Taylor

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10. Cálculo de  integrales  de funciones expresadas como serie de Taylor

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Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.

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Larson, R., & Edwards, B. H. (2014). Cálculo (10.ª ed.). Cengage Learning.

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Apostol, T. M. (2004). Cálculo, Vol. 1: Un enfoque moderno de funciones y aplicaciones (2.ª ed.). Reverté.

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Es la suma de los términos de una sucesión. En particular, en el contexto del cálculo integral, las series aparecen frecuentemente como series infinitas, es decir, sumas de un número infinito de términos. Una de las aplicaciones más importantes es la representación de funciones mediante series de potencias o series de Taylor, que permiten expresar funciones complicadas como sumas infinitas de potencias de una variable.

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Anton, H., Bivens, I., & Davis, S. (2013). Cálculo multivariable (10.ª ed.). Wiley.

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Es la suma de un número limitado de términos de una sucesión. A diferencia de las series infinitas, las series finitas tienen un número determinado de elementos, lo cual permite calcular su suma exacta sin necesidad de considerar procesos de convergencia.

Donde N es un número natural que indica la cantidad total de términos que se suman. En cálculo integral, las series finitas se relacionan con las sumas de Riemann, que son aproximaciones del área bajo una curva mediante sumas de áreas de rectángulos. Estas sumas permiten estimar el valor de una integral definida y constituyen la base del concepto de integración.

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Larson, R., & Edwards, B. H. (2010). Cálculo (9.ª ed.). Cengage Learning.

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Tienen múltiples aplicaciones. Una de las más importantes es la aproximación de funciones a través de series de potencias, como las series de Taylor o series de Maclaurin, que permiten expresar funciones como sumas infinitas de potencias centradas en un punto. También se emplean en el desarrollo de técnicas avanzadas como la transformada de Fourier y en la solución de ecuaciones diferenciales.

Para que una serie infinita tenga sentido práctico, debe converger, es decir, su suma parcial debe tender a un valor finito a medida que se agregan más términos. De lo contrario, se dice que la serie diverge.

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5. Serie numérica y convergencia. Criterio de la  razón, raíz y la integral 

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5. Serie numérica y convergencia. Criterio de la  razón, raíz y la integral 

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Una serie numérica es la suma de los términos de una sucesión de números reales o complejos.

Criterio de la razón (Criterio de D’Alembert)

Consiste en evaluar el límite del cociente entre términos consecutivos.

Criterio de la raíz (Criterio de Cauchy)

Se analiza el límite de la raíz n-ésima del valor absoluto del término general.

Criterio de la integral

Se utiliza para series del tipo ∑n=1∞f(n, donde f(x) es una función continua, positiva y decreciente para x≥1x

Este criterio establece una conexión importante entre las series y el cálculo integral.

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Una serie de potencias es una serie infinita que representa una función como una suma de potencias de una variable con respecto a un punto determinado.

Las series de potencias son herramientas fundamentales en cálculo porque permiten expresar funciones complicadas como sumas infinitas de términos simples, facilitando su análisis, derivación, integración, y solución de ecuaciones diferenciales.

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El radio de convergencia es un valor real positivo que determina el intervalo en el cual una serie de potencias converge absolutamente, es necesario analizar cada caso por separado, ya que la serie puede converger o divergir dependiendo del comportamiento de los términos.

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Una serie de Taylor es una serie de potencias que representa una función como una suma infinita de términos calculados a partir de las derivadas de la función en un punto específico. Si una función f(x)f(x)f(x) es infinitamente derivable en un punto x=cx.

Esta serie es útil para aproximar funciones mediante polinomios cuando los cálculos exactos son complejos, y se utiliza ampliamente en análisis, física, ingeniería y otras ciencias aplicadas.

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Thomas, G. B., Weir, M. D., & Hass, J. (2018). Cálculo de varias variables (14.ª ed.). Pearson Educación.

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9. Funciones  mediante  la Serie de Taylor

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9. Funciones  mediante  la Serie de Taylor

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La Serie de Taylor es una herramienta matemática que permite expresar una función f(x), que sea infinitamente diferenciable en un punto aaa, como una suma infinita de términos calculados a partir de las derivadas de la función en dicho punto.

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10. Cálculo de  integrales  de funciones expresadas como serie de Taylor

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10. Cálculo de  integrales  de funciones expresadas como serie de Taylor

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El cálculo de integrales de funciones expresadas como series de Taylor consiste en integrar término a término la serie de potencias que representa la función. Si una función f(x) puede expresarse como una serie de Taylor.

Este método facilita el cálculo de integrales de funciones complejas al convertirlas en la integración de polinomios, que es un procedimiento sencillo y directo.

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Consideremos la serie finita de la función

f(x) = x^2` en el intervalo de 1 a 3.

Podemos calcular la integral definida de esta función en el intervalo mencionado:

1. Paso 1: Escribimos la integral:

∫(1 a 3) x^2 dx

2. Paso 2: Encontramos la antiderivada de x^2, que es x^3 / 3.

3. Paso 3: Evaluamos la antiderivada en los límites:

[(3^3)/3] - [(1^3)/3]

4. Paso 4: Calculamos:

[(27/3) - (1/3)] = (9 - (1/3)) = (27/3 - 1/3)

=(26/3)

Entonces, el resultado de la integral definida es 26/3.

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Consideremos la serie infinita de la función f(x) = 1/n^2, que es conocida como la serie de Basilea.

Podemos calcular la suma de esta serie infinita:

1. Paso 1: Escribimos la serie:

Σ(1/n^2) desde n=1 hasta ∞.

2. Paso 2: Sabemos que la suma de esta serie infinita es:

Σ(1/n^2) = π^2 / 6.

Por lo tanto, el resultado de la suma de la serie infinita es π^2 / .

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10 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de taylor 

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10 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de taylor 

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8.Funciones mediante la serie de Taylor 

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8.Funciones mediante la serie de Taylor 

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Pamela Palacios Quintero 24030554

Edith García Juárez 24030335

Alisson Safed Islas Blas 24030182

Jaretzy Romero Rodríguez 24030634

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Granville, W. A., Smith, P.F., Longley, W.R., Byington, S.T., Juárez, A. R., & Sors, M. S. (1963). Cálculo diferencial e integral. Uteha.

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Zill, D. G. (2015). Matemáticas: cálculo integral.

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Medina, L. R. (2010). Cálculo integral.

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Ramos Beltrán, J. A. (2018). Cálculo Integral. México. Alfaomega.

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Larson, R. (2009). Matemáticas 2: Cálculo Integral. México. McGraw Hill.

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Kong, Mm (2004). Cálculo integral. Fondo Editorial PUCP.

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Diferencial, C. Cálculo Integral. ESTADÍSTICA

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Stewart, J. (2016). Cálculo de varias variables: Trascendentes tempranas. Cengage Learning.

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Stewart, J. (2012). Cálculo: Conceptos y contextos. Cengage Learning.

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Stewart, J. (2016). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. Cengage Learning.

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Una sucesión aritmética es una lista de números que cambia siempre con el mismo valor entre uno y otro la fórmula para encontrar cualquier término de esa sucesión

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Solo necesitamos saber el primer término y la diferencia constante para calcular cualquier otro término sin tener que escribirlos todos.

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Esta fórmula se usa para calcular la suma de los primeros términos de una sucesión aritmética ya que solo necesitas el primer término el último término que vas a sumar y cuántos términos hay en total

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La fórmula de la serie geométrica finita te permite calcular la suma de los primeros términos cuando cada número se multiplica por una cantidad fija para obtener

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Esta fórmula calcula la suma de una serie geométrica cuando tiene infinitos términos y la razón está entre -1 y 1 (excluyendo los extremos).

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Ya que en ese caso la suma se acerca a un valor fijo que se puede encontrar con esta fórmula usando solo el primer término y la razón

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Formula numérica y convergencia Criterio de la  razón, raíz y la integral

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Formula numérica y convergencia Criterio de la  razón, raíz y la integral

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Una serie es la suma de los términos de una sucesión

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Si la serie converge.

Si o es infinito, la serie diverge.

Si el criterio es inconcluso

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Si la serie converge.

Si la serie diverge.

Si no se puede concluir

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Si donde es una función positiva continua y decreciente entonces la serie

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y la integral impropia

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ambas convergen o divergen juntas

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Es una suma infinita donde cada término tiene una potencia de los coeficientes es el centro de la serie y es la variable

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Esta fórmula sirve para representar funciones como sumas infinitas especialmente en cálculos avanzados como Taylor o análisis

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El radio de convergencia indica para qué valores de la serie de potencias

converge.

Si la serie converge

Si la serie diverge

En hay que analizar aparte

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Formula de funciones mediante  la Serie de Taylor  

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Formula de funciones mediante  la Serie de Taylor  

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Esta fórmula permite expresar una función como una suma infinita de potencias

es la derivada n-ésima evaluada en el punto

es el factorial

es el punto alrededor del cual se construye la serie

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Ya que solo necesitas saber el primer número cuánto se multiplica cada vez y cuántos términos quieres sumar

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Sirve para aproximar funciones complicadas usando polinomios

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Es una forma de escribir una función como suma de potencias basadas en sus derivadas en un punto

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Se usa mucho para aproximar funciones con polinomios

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Formula de cálculo de  integrales  de funciones expresadas como serie de Taylor

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Formula de cálculo de  integrales  de funciones expresadas como serie de Taylor

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Si una función se expresa mediante su serie de Taylor alrededor de un punto

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Ya que entonces su integral indefinida se obtiene integrando término a término

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Esta fórmula aprovecha la convergencia de la serie para integrar cada término individualmente