# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Формули скороченого множення застосовують для спрощення обчислень, а також розкладання многочленів на прості множники, швидкого множення многочленів. Більшість формул скороченого множення можна отримати з біному Ньютона, в цьому Ви скоро переконаєтеся.

Формули для квадратів застосовують в обчисленнях найчастіше. Їх починають вивчати в шкільній програми починаючи з 7 класу і до кінця навчання формули для квадратів та кубів школярі повинні знати на зубок.

Формули для кубів теж не надто складні і їх потрібно знати при зведенні многочленів до стандартного вигляду, для спрощення піднесення суми чи різниці змінної і числа до кубу.

Формули позначені червоним отримують з попередніх групуванням доданків.

Формули для четвертого степеня та п'ятого степеня в шкільному курсі мало кому пригодяться, однак є завдання при вивченні вищої математики де потрібно обчислювати коефіцієнти при степенях.

Формули для степеня n степеня розписані через біноміальні коефіцієнти з використанням факторіалів наведені нижче

Приклади застосування формул скороченого множення

Розв'язок. Якщо маєте калькулятор то без проблем знаходите

Це я пожартував - з калькулятором мудрі усі, без нього ... (не будемо про сумне).
Не маючи калькулятора та знаючи наведені вище правила квадрат числа знаходимо за правилом

Саме для таких спрощених обчислень і потрібні формули скороченого множенння.

Розв'язок. Застосуємо формулу для різниці в квадраті

Як можна переконатися з обчислень - це легше, ніж часом знайти в потрібний момент калькулятор.

Розв'язок. Суму перших двох доданків уявно вважаємо одним доданком і за другою формулою скороченого множення знаходимо

В такий спосіб отримали вадратичну залежність для двох змінних.

Розв'язок. Оскільки числа невеликі то можна просто підставити значення квадратів

Але мета в нас зовсім інша - навчитися використовувати формули скороченого множення для спрощення обчислень. Для цього прикладу застосуємо третю формулу

При великих числах і невеликою різницею між ними така схема набагато ефективніша ніж підносити до квадратів, а пізніше шукати різницю квадратів.

Розв'язок. На цьому прикладі Ви вже захочете вивчити правила, щоб обчислення звести до одного рядка

Як бачите - нічого складного ми не робили. Кінцевий результат в складніших умовах отримують множенням чисел у стовпчик.

Розв'язок. Можна розкладати квадрати, а пізніше сумувати подібні доданки. Проте можна прямо застосувати різницю квадратів

Тут пропущені проміжні перетворенн, які займають чимало місця, але наша практика дозволяє на так записати. Для перевіри нас розпишіть добуток дужок самостійно.

Розв'язок. Застосуємо 5 формулу скороченого множення

З кубами Вам доведеться часто мати справу в навчанні, тому раджу формуи вивчити або мати на шпаргалці.

Розв'язок. а) Перегрупуємо доданки

б) Спрощуємо на основі попередніх міркувань

Такі переторення досить часто доводиться виконувати на інтегруванні, коли наведені квадратичні залежності містяться в чисельнику чи знаменнику і потрібно звести запис під формулу інтегрування.

Приклад 9. Розкласти раціональний дріб

Розв'язок. Застосуємо формулу різниці квадратів

Складемо систему рівнянь для визначення констант

До потроєного першого рівняння додамо друге. Знайдене значення підставляємо в перше рівняння

Остаточно розклад прийме вигляд

Розкласти раціональний дріб часто необхідно перед інтегруванням, щоб понизити степінь знаменника.

Розв'язок. Що таке біном Ньютона Ви мабуть вже знаєте. Якщо ні то нижче наведені біноміальні коефіцієнти

Вони утворюються наступним чином: по краю ідуть одиниці, коефіцієнти між ними в нижньому рядку утворюють сумуванням сусідніх верхніх. Якщо нам потрібно знайти різницю в якомусь степені, то знаки в розкладі чергуються від плюса до мінуса. Таким чином для сьомого порядку отримаємо такий розклад

Уважно також погляньте як змінюються показники - для першої змінної вони спадають на одиницю в кожному наступному доданку, відповідно для другої - на одиницю зростають. В сумі показники при ожному множгику завжди повинні давати степінь розкладу (=7). Використовуйте це правило для самоперевірки.
Думаю на основі приведеного вище матеріалу Ви зможете розв'язати задачі на біном Ньютона. Вивчайте формули скороченого множення та застосовуйте всюди, де це може спростити обчислення та зекономити час виконання завдання.

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
вища математика

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
замовити контрольну

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
зно математика

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
знайти ймовірність

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
комплексні числа

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
послідовність

# data[].attributes.attachment_link.title
Формули скороченого множення. Приклади

# data[].attributes.attachment_link.description
Формули скороченого множення застосовують для спрощення обчислень, а також розкладання многочленів на прості множники, швидкого множення многочленів. Більшість формул скороченого множення можна отримати з біному Ньютона, в цьому Ви скоро переконаєтеся. Формули для квадратів застосовують в обчисленнях найчастіше. Їх починають вивчати в шкільній програми починаючи з 7 класу і до кінця навчання формули для квадратів та кубів школярі повинні знати на зубок.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Як вивчити формули скороченого множення назавжди? Легко! Потрібно лише їх зрозуміти та зробити, якомога більше прикладів.

Зрозуміти, що й звідки береться допоможе трикутник Паскаля, який нажаль не пояснюють в школі при вивченні цієї теми.

Що ж це таке? Це трикутник, який складається з коефіцієнтів (a+b) , n- це будь-який степінь дужки.

Розкладемо наприклад, (a+b):

Виглядає страшно, та й проводити таке множення кожного разу не найкраща ідея.

І так, почнімо з коефіцієнтів. Не потрібно їх запам'ятовувати! На чернетці чи полях зошита малюємо трикутник Паскаля і коефіцієнти вже перед нами. Почнемо малювати з трьох одиничок.

Першу одиничку вважаємо нульовою, тому починаємо дивитись зразу на другий рядок і назвемо його першим. Щоб отримати другий рядок по краях дописуємо одиниці, а по центру записуємо число, яке утворилось в результаті додавання двох чисел, що стоять над ним.

Запишемо третій рядок: знову по краях пишемо одиниці, а щоб отримати наступне число додаймо числа, що стоять на ним.

Як ви вже й догадались, ми отримали коефіцієнти нашої формули.

Ось ми і отримали коефіцієнти наших формул. Тепер розберімось зі степенями. Степінь першого доданка, в нашому випадку a у формулі (a+b) спадають. Тобто, спочатку ми маємо а, далі а, а і в останньому доданку а немає, тому а. Степені b, навпаки зростають: b, b, b, b.

А що ж робити коли в нашій формулі стоїть мінус між доданками? Все ще легше! Перший знак- такий самий як і в нашому двочлені ( розкладаємо суму - значить плюс, розкладаємо різницю - значить мінус), а далі знаки чергуються.

Декілька вправ для закріплення матеріалу.

1/16 = (1/4)*(1/4), 16=4*4

В цьому многочлені немає змінної в 2 степені, що робить задачу важчою. Та в математиці все що страшно виглядає дуже просто робиться. Все що потрібно зробити це степені крайніх доданків поділити на 2, Так ми отримаємо: x=x, y=y

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
формули скороченого множення

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
трикутник паскаля

# data[].attributes.attachment_link.title
Як вивчити формули скороченого множення назавжди?

# data[].attributes.attachment_link.description
Як вивчити формули скороченого множення назавжди? Легко! Потрібно лише їх зрозуміти та зробити, якомога більше прикладів. Зрозуміти, що й звідки береться допоможе трикутник Паскаля, який нажаль не пояснюють в школі при вивченні цієї теми. Що ж це таке? Це трикутник, який складається з коефіцієнтів (a+b) , n- це будь-який степінь дужки.

# data[].attributes.headline
перевірте себе

# data[].attributes.subject
перевірте себе

# data[].attributes.attachment_link.title
формули скороченого множення 7 клас

# data[].attributes.attachment_link.description
об'єднай праву і ліву частини формули