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Brenda Delgado Roriguez. 2B T/V

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La resta de monomios es muy parecida a la suma, sólo que hay que cambiar los números del sustraendo por su simétrico y se resuelve aplicando las reglas de la suma.
Ahora bien, si tomamos en cuenta que el valor absoluto de un número algebraico es el valor de dicho número sin tener en cuenta su signo. tenemos entonces que:
Ejemplo: si tenemos (8x) – (6x) =
a) Se convierte la resta en suma cambiando el sustraendo por su simétrico.
(8x) + (-6x) =
b) Se resuelve aplicando las reglas de la suma.
(8x) + (-6x) = (8-6) x = +2x

Ejercicios:

1. 38 ab – (-8 ab)
2. –17 x – (-3 x)
3. –8cg² – (16 cg²)
Solución:
1.    46 ab
2.  –14 x
3.  -24 cg2

Si son semejantes, para sumarlos/restarlos basta con sumar/restar sus coeficientes y conservar la parte literal

Ejemplos:

no son semejantes
no son semejantes

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Multiplicando Monomios

Empecemos por multiplicar un monomio simple. Considera un cuadrado con longitud 2x. Para encontrar el área de este cuadrado, multiplicamos la longitud por sí misma, es decir, la longitud al cuadrado.

Área del cuadrado = (2x)(2x) =

El área, 4x ², es el producto de un número (4) y una variable con un número entero como exponente (x ²). En otras palabras, es también un monomio. Entonces el resultado de multiplicar dos monomios es — ¡otro monomio!

Intentemos otro problema un poco más complicado. Encontremos el área de un círculo con radio 2xy. La fórmula del área de un círculo es A = pr ², donde A= área y r = radio. Para encontrar el área de un círculo con radio 2xy, primero necesitamos elevar al cuadrado el radio, y luego multiplicarlo porp.

Ejemplo
Problema | Encontrar el área de un círculo con radio 2xy |   |
| A =pr ² |   | Escribir la fórmula para el área de un círculo
| |   | Sustituir 2xy por el radio
|   |   | Expandir 2xy y usar la Propiedad Conmutativa de la Multiplicación
| |   | Multiplicar los coeficientes y variables
| |   | es un número no una variable, y va incluido con el coeficiente
Solución | |   |
|  |  |  |  |

División de polinomios.

Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con elgrado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base, es decir, restando los exponentes.

ax n : bx m = (a : b)x n − m

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

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Polinomios

Un polinomio es así:

un ejemplo de polinomio
este tiene 3 términos

Están hechos de:

| constantes (como 3, -20, o ½)
| variables (como x e y)
| exponentes (como el 2 en y²) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc

Que se pueden combinar usando:

+ - × | sumas, restas y multiplicaciones...
| ... ¡pero no divisiones!

Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos!

¿Son polinomios o no?

Estos son polinomios:

3x

x - 2

3xyz + 3xy ² z - 0.1xz - 200y + 0.5

Y estos no son polinomios

2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido

3xy⁻² no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,...)

Pero esto sí está permitido:

x/2 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5)

también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)

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Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x.

Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.
Recuerda:
Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado.
Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divise pasa multipllicando.
Resuelve la ecuación

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DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La expresión a ≠ b significa que " a " no es igual a " b ". Según los valores particulares de a y de b , puede tenerse a > b , que se lee “ a mayor que b ”, cuando la diferencia a − b es positiva y a < b que se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia a − b es negativa. La notación a ≥ b , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que a > b o que a = b pero no ambos. Por su parte, la notación a ≤ b que se lee “ a es menor o igual que b ”, significa que a < b o que a = b pero no ambos. Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos >,<,≥ o ≤. Ejemplos de desigualdades: 1) 4 > 3 2) a < 10 3) b ≥ 5 4) 1 2 x ≤ Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, se deduce que: • Todo número positivo es mayor que cero • Todo número negativo es menor que cero • Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto • Si a > b entonces b < a . Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa. Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales. • Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella. Por ejemplo: x +1 > x 2 • Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por ejemplo: 3x −15 > 0 que solamente satisface para x > 5 . En este caso se dice que 5 es el límite de x .

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El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen números se llama lenguaje numérico .

En ocasiones empleamos letras para representar cualquier número desconocido, realizamos operaciones aritméticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico.

El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico .

La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra .

Características del lenguaje algebraico

1.- El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve.

El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 • = {±5, ±10, ±15, ...}.

En lenguaje algebraico se expresa 5 • n , con n un número entero.

2.- El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general.

La propiedad conmutativa del producto se expresa a • b = b • a , donde a y b son dos números cualesquiera.

3.- Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos.

El doble de un número es seis se expresa 2 • x = 6.

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas. Una expresión algebraica se define como aquella que está constituida por coeficientes, exponentes y bases .

Coeficiente numérico: es la cantidad numérica o letra que se encuentra a la izquierda de la base , la cual indica la cantidad de veces que la base se debe sumar o restar dependiendo del signo que tenga.

Ejemplos:

7x 4 = x 4 + x 4 + x 4 + x 4 + x 4 + x 4 + x 4

– 3x 2 = –  x 2 – x 2 – x 2

Exponente numérico: es la cantidad que se encuentra arriba a la derecha de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se toma como producto.

Ejemplos:

5x 3 =  5 (x) (x) (x)

8( – x + 5) 2 = 8(– x + 5) (– x + 5)

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Las ecuaciones simultáneas de primer grado, también llamadas sistemas de ecuaciones de primer grado, son un desafío bien interesante que no reviste demasiada complicación para ser resuelto. Es más, créeme que una vez que aprendes todos los métodos de resolución, generalmente te afilias o remites a uno de ellos que es el que más te gusta para utilizarlo siempre, por lo que adquieres solvencia y fluidez en su utilización.

¿Por qué se dice que estas ecuaciones simultáneas de primer grado constituyen un sistema? Por que el valor de las incógnitas es el mismo en ambas ecuaciones, en cada caso; vale decir: el valor de x en la primera ecuación será el mismo que en la segunda y con la otra incógnita(“y” en este caso) sucederá lo mismo, y en ambos casos, una vez sustituidos, las igualdades deben cumplirse.

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El método de reducción o eliminación consiste primeramente en  eliminar una de las variables x o y, queda una ecuación con una sola variable, se resuelve, el valor encontrado se sustituye en una de la ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable.Veamos el proceso de solución que se sigue en cada uno de  los ejercicios siguientes:

1. Resolver:

Para eliminar x, se multiplica la primera ecuación por -2  y la segunda ecuación por 1 (o se deja igual)

luego,  se suman las dos ecuaciones:

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En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

| Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):a

² + b² = c²

¿Seguro... ?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

|

Veamos si las áreas son la misma:
3² + 4² = 5²
Calculando obtenemos:9 + 16 = 25