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Distribuzione t di Student e media campionaria

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Distribuzione t di Student e media campionaria

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Si definisce campione aleatorio un insieme di numeri aleatori X1,X2,…,Xn indipendenti e con la stessa distribuzione f.

In altre parole, ogni numero aleatorio, non è altro che un campione di ampiezza n estratto da una popolazione, a cui è associato una densità di probabilità f. Per ogni campione Xi, quindi, possiamo calcolare una data statistica, come la media o la varianza, che differisce dalle statistiche degli altri campioni. Otteniamo, così, una distribuzione della statistica stessa.

Si chiama distribuzione campionaria o di campionamento di una data statistica, la distribuzione dei possibili valori che possono essere assunti dalla statistica stessa, calcolati da campioni casuali (X1,X2,…,Xn) della stessa dimensione (n) estratti dalla stessa popolazione.

Una distribuzione campionaria è dunque la distribuzione congiunta di X1,X2,…,Xn numeri aleatori indipendenti:

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La distribuzione normale (o Distribuzione di Gauss) è considerata il caso base delle distribuzioni di probabilità continue a causa del suo ruolo nel teorema del limite centrale. Un insieme di valori dato potrebbe essere normale: per stabilirlo si può usare un test di normalità. Più specificamente, assumendo certe condizioni, la somma di n variabili casuali con media e varianza finite tende a una distribuzione normale al tendere di n all'infinito. Grazie a questo teorema, la distribuzione normale si incontra spesso nelle applicazioni pratiche, venendo usata in statistica e nelle scienze naturali e sociali[3] come un semplice modello per fenomeni complessi.

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La funzione di ripartizione per la variabile X di Poisson indica la probabilità di ottenere al più k successi in un determinato intervallo di tempo:

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La funzione di densità per la variabile X di Poisson rappresenta la probabilità di avere un certo numero k di successi in un determinato intervallo di tempo:

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Powerpoint

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Funzione di densità e funzione di ripartizione della distribuzione di Poisson

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Funzione di densità e funzione di ripartizione della distribuzione di Poisson

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Se indichiamo con X la variabile di Poisson e con λ il parametro di tale distribuzione diremo che X ha distribuzione di Poisson con parametro λ≥0.
Più precisamente, il parametro λ indica il numero medio di eventi che si verificano nell'unità o in un certo intervallo di tempo. Mentre, con X indichiamo il numero di eventi che si verificano nell'unità.

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La distribuzione binomiale o distribuzione di Bernoulli rappresenta la distribuzione di probabilità di prove ripetute indipendenti quando i risultati di ciascuna prova sono solo due: successo o insuccesso.

Ad esempio, nel lancio di una moneta, i risultati possibili sono testa e croce; la distribuzione di probabilità relativa ad n lanci è una distribuzione binomiale e mostra la probabilità che si verifichino 0,1,2,…,n volte testa (testa rappresenta un successo, croce rappresenta un insuccesso).

Si hanno le seguenti proprietà:

Ad ogni singola prova si hanno solo 2 esiti possibili, chiamati "successo" e "insuccesso". La probabilità associata al successo si indica con p, mentre quella associata all'insuccesso si indica con 1−p.
La probabilità dell'evento che da origine al successo è costante, ovvero uguale a p per tutte le n prove.
I risultati delle prove sono indipendenti (ovvero il verificarsi di un risultato in una determinata prova non influenza il risultato delle altre prove).
Quindi, se indichiamo con la variabile aleatoria X il numero di successi ottenuti in n prove (bernoulliane), diremo che X ha distribuzione binomiale con parametri n e p (in simboli X∼B(n,p)). È chiaro che X può assumere solo valori discreti da 0 fino ad n.

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Ipotesi di base della distribuzione di Poisson

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Ipotesi di base della distribuzione di Poisson

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Si assuma che un intervallo sia diviso in un numero molto grande di sottointervalli, in modo che la probabilità del verificarsi di un evento in ogni sottointervallo sia molto piccola. Le ipotesi di base di una variabile di Poisson sono:

la probabilità del verificarsi di un evento è costante per tutti i sottointervalli;
l'evento non si può verificare più di una volta in ciascuno dei sottointervalli;
eventi che si verificano in intervalli disgiunti sono indipendenti.

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Una variabile casuale di Poisson è una variabile casuale discreta che può assumere qualsiasi valore intero non negativo.

In particolare, è un modello probabilistico adoperato per rappresentare situazioni di conteggio del numero di occorrenze di certi eventi in una unità di tempo o più precisamente del numero di "successi" in un certo intervallo continuo (vedi pure Processi di Poisson).

Tale variabile può essere derivata in 2 differenti contesti:

1: Da prove bernulliane: quando si considerano moltissime prove ciascuna con probabilità di successo molto piccola.
2: Da eventi temporali: ripetizione di un evento in un intervallo di tempo formato da subintervalli più piccoli.

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Esempi test chi quadrato "χ²". Un dado viene lanciato 2000 volte con il seguente risultato:

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Esempi test chi quadrato "χ²". Un dado viene lanciato 2000 volte con il seguente risultato:

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Si può affermare che esso non sia equilibrato?

Effettivamente il risultato 1 è apparso un numero di volte sensibilmente superiore agli altri, la frequenza attesa è di 2000/6=333,333 per ciascun risultato (se il dado è equilibrato, segue una distribuzione uniforme, quindi la frequenza attesa è la stessa per tutti i risultati).

Se fissiamo l'errore tollerato al 5% (α = 0,05) e diamo uno sguardo alle tavole della distribuzione chi quadrato con 5 gradi di libertà dobbiamo rifiutare l'ipotesi nulla con valori della statistica test superiori a 11,07.
La nostra statistica test è uguale a 12,616 e pertanto dobbiamo respingere l'ipotesi nulla: ciò vuol dire che il dado non è equilibrato.

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Con test chi quadrato "χ²", si intende uno dei test di verifica d'ipotesi usati in statistica che utilizzano la distribuzione chi quadrato per decidere se rifiutare o non rifiutare l'ipotesi nulla. A seconda degli assunti di partenza usati tali test vengono considerati parametrici o non parametrici.
Il test chi quadrato è ampiamente utilizzato per verificare che le frequenze dei valori osservati si adattino alle frequenze teoriche di una distribuzione di probabilità prefissata. Per esempio, è noto che il risultato di 100 lanci di una moneta segue la distribuzione uniforme ed è difficile ottenere un risultato che si discosti sensibilmente dall'ottenere 50 teste e 50 croci. Il test chi quadrato consente di stabilire, dopo aver fissato l'errore massimo tollerato, se le discrepanze tra le frequenze osservate e quelle teoriche sono imputabili completamente al caso o se invece è lecito supporre che la moneta sia truccata.